Cálculo II, 5 Áreas

CÁLCULO II,
6 APLICACIONES
HANS SIGRIST
UAC
8
infinitus
cbna 2010
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.
1
L A INTEGRAL EN LA ECONOMÍA
Riemanna consulted a doctor about his diet. He
was told to reduce the amount of food he ate at
each meal but to increase the number of meals.
He proceeded to do so and ultimately ate
infinitesimal amount infinitely often, and he
found that his weight did not change. Shortly
Ingeniería Comercial (PCE) UAC
after this, he gave a precise definition of a
definite integral. b
a
dor de la Geometría Reimaniana, de vital imporatncia
tanto para matemáticos como a físicos.
b
Riemann consultó un doctor acerca de su dieta. Él le
dijo que redujera la cantidad de alimentos que comía
en cada comida, pero que aumentara el número de comidas. Procedió de esta forma y últimamente come una
/
[email protected]
8
cbna 2010
Georg Friedich Riemann (1826-66), matemático ale-
mán. Conocido es su aporte al Cálculo Integral, Funda-
cantidad infinitesimal menos, pero infinitas veces. Poco después de esto, ya tenía una definición precisa de
la integral definida.
M ATHAMATICA N AVIGATOR
Objetivos de aprendizaje
Al finalizar este capítulo, el alumno estará en condiciones de:
Comprender cómo la Integral Definida relaciona el área bajo la curva con el concepto de oferta y demanda
en modelos de economía.
Hallar el punto de equilibrio y determinar el superávit de los consumidores y productores.
Índice
1.1.
Oferta y demanda
1
1.2.
Superávit de consumidores y productores
2
1.3.
Problemas
5
1.4.
Soluciones
6
1.1 Oferta y demanda Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de
mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.
1
1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA
1.2 Superávit de consumidores y productores
Definición 1 (Función de oferta). Una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al
que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico.
Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al
reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una
función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la
ley (función) que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de
oferta.
p
p
q
q
Definición 2 (Función de demanda). La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos
demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la
demanda.
En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque
no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye
al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos.
Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese
producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto
está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina
función de demanda.
p
p
q
q
1.2 Superávit de consumidores y productores El mercado determina el precio al que un producto se vende.
El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de
equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los
fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el
2
I NGENIERÍA C OMERCIAL (PCE) UAC
CÁLCULO II,
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1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA
1.2 Superávit de consumidores y productores
precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios
que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit
de los consumidores.
El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por
q 0 artículos. El área sombreada bajo la recta y
p 0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente
gastarán en el precio p 0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.
p
p
Superávit
de los p 0
d pq q
Curva de demanda
b
b
consumidores
q
b
q0
El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p
d pq q y p p 0 , entonces su valor
puede encontrarse con una integral definida de la siguiente manera
» q0
d q
p0 d q
0
pq
r p q s
(1)
donde d q es una función de demanda con precio de equilibrio p 0 y demanda de equilibrio q 0 .
p q 50 0. 06x 2 . Encuentre el superávit o
Ejemplo 1. La curva de demanda está dada por la función (ley) d x
ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a 20 unidades.
Demostración. Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p
d p20q 50 0. 06 p20q2 26.
Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:
p
60
50
» 20
b
p q 50 0. 06x
d x
40
p0, 24q d px q p 0 24 0. 06x
30
2
b
20
p28. 87, 0q
q
5
10
b
5
» 20
0
24
10
15
0. 06x
2
20
dx
b
25
50
0. 06x 2 26
24
0. 06x 2
0
2
10
30
320
» 20
0
dx
dx
20
0. 02x 3 0
2
24 20 0. 02p20q3 (
p24( 0((0.(02(p0(
q(
q
480 0. 02 p8000q
480 160
24x
320
La ganancia de los consumidores asciende a $320, si el nivel de venta asciende a 20 unidades.
□
De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p 0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios
más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los
fabricantes y se llama el superávit de los productores.
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3
1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA
1.2 Superávit de consumidores y productores
p
p0
b
superávit de
curva de
los
productores
p
s pq q
demanda
q
b
q0
El área total bajo la curva de oferta entre q 0 y q q 0 es la cantidad mínima total que los fabricantes están
dispuestos a obtener por la venta de q 0 artículos. El área total bajo la recta p p 0 es la cantidad realmente ob-
tenida. La diferencia entre esas dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral
definida.
pq
Si s q es una función de oferta con precio p 0 de equilibrio y oferta q 0 de equilibrio, entonces el superávit de
los productores viene dado por
» q0
0
rp 0 s pq qs d q
(3)
p q x2
Ejemplo 2. Se conoce que la curva de oferta para un producto es s x
productores si la producción asciende a 10 artículos.
7. Encuentre la ganancia de los
p q 102
Demostración. Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s 10
rávit de los productores se calcula mediante la integral:
14 p
p q
12
s x
x
2
7
10
p0, 7q
8
b
» 10 5
6
p0, 5q
b
0
4
x 2
dx
25
2
2
» 10 12
p10, 0q
q
b
2
4
6
8
10
12
14
2
0
» 10 12
0
» 10 5
0
7
x
7
2
x2 7
x2
$12. La ganancia o supedx
dx
dx
x2 
10
5x

0
4
2
02
10
5 0
5 10
4
4
100
50
4
50 25
□
$25
Ejemplo 3. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta siguientes
Función de demanda:
Función de oferta:
pq p 2 pq q p1 q
1000
0. 4q 2
42q
El exceso de oferta y el de demanda están representadas por las áreas que se muestran a continuación:
4
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1.3 Problemas
p
Excedente
de demanda
Curva de oferta
Punto de
p0
b
b
equilibrio
Curva de
Excedente
demanda
de oferta
b
q
b
b
q0
p
q
p 1 pq q 1000 0. 4q 2 0,4q 2 42q 1000 (( _
q 1(
(
125
ñ(
La oferta coincide con la demanda en el punto q 0 , p 0 , es decir:
pq
p2 q
42q
0
q2
20
Como los valores de la abscisa corresponden a número de artículos ofrecidos o demandados, descartamos el
resultado negativo (q 1
125), en consecuencia q0 20 y luego, p 0 840. (¿Por qué?)
p q 10000. 4x 2
El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre p 1 q
y la recta p 840, entre 0 y 20, es decir:
» 20
» 20
2
1000 0. 4x
840 d q
160 0. 4x 2 d q
0
0
160q
0. 4x 2

20

0
203
160 20 0. 4
3
8000
3200 0. 4
3
2133. 3
p
3
0
160
00.
4
3
q
El excedente de demanda asciende a $2133, 33.
El excedente de oferta es la región comprendida entra las rectas p 840 y p 42q, entre 0 y 20, es decir:
» 20
840 42q d p
840q 21q 2 _020
0
p
q
840. 20 21. 202
8400
El superávit de oferta alcanza $8400.
1.3 Problemas
Ejercicio 1. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la
pq
?
p q 2700 x
función f x describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el mercado
por primera vez. Se sabe que f x
900, si 0
¤ 0 ¤ 5. Calcule las ventas totales durante los primeros
cuatro años. [Ayuda] Plantee la Venta total.
Ejercicio 2. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando
la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f x pesos al año donde f x
1000 5000x.
pq
p q
a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?
b) Si la máquina se compró a $67500. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola?
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5
1.4 Soluciones
1 LA INTEGRAL EN LA ECONOMÍA
Ejercicio 3. La curva de demanda de un producto está dada por la función p
1200 0. 2x 0. 0001x 2 . Calcule
el superávit de los consumidores cuando el número de unidades del producto vendido es 500.
p q 40 18q
Ejercicio 4. La curva de demanda de una firma está dada por d q
los consumidores si el nivel de venta asciende de 30 a 40?
p q5
Ejercicio 5. la curva de oferta de un producto es s x
el precio de venta es $10.
?x
10
4. 5q 2 . ¿Cuál es el superávit de
. Encuentre la ganancia de los productores cuando
Ejercicio 6. Una compañía modela la curva de demanda de un producto (en dólares) mediante
{
x 5000
p
d px q 800000e
x 20000
Use tecnología gráfica para estimar la demanda a la empresa cuando el precio de venta se fija en U $16. Encuentre
de manera aproximada el superávit de los consumidores para ese nivel de venta.
1.4 Soluciones
»4
1 VT
2700 x
2
?
0
900 d x
18000 unidades.
a) Al cabo de 6 años el ahorro asciende a $96000.
b) Se tardarán 5 años para que la máquina se pague sola.
3 33333, 33
4 $49600
5 $4166, 67
6 3727, 04 y $37, 753
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