Teoría de Juegos - Soluciones Tics

Teoría de Juegos
Ing. Eduardo Cruz Romero
www.tics-tlapa.com
Introducción a la Teoría de Juegos
Los psicólogos destacan la importancia del juego en la
infancia como medio de formar la personalidad y de
aprender de forma experimental a relacionarse en sociedad,
a resolver problemas y situaciones conflictivas. Todos los
juegos, de niños y de adultos, juegos de mesa o juegos
deportivos, son modelos de situaciones conflictivas y
cooperativas en las que podemos reconocer situaciones y
pautas que se repiten con frecuencia en el mundo real.
El estudio de los juegos ha inspirado a científicos de todos
los tiempos para el desarrollo de teorías y modelos
matemáticos. La estadística es una rama de las matemáticas
que surgió precisamente de los cálculos para diseñar
estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales
como probabilidad, media ponderada y distribución o
desviación estándar, son términos acuñados por la
estadística matemática y que tienen aplicación en el análisis
de juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y
económicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir
riesgos ante componentes aleatorios.
Pero la teoría de juegos tiene una relación muy lejana con
la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los
elementos aleatorios sino de los comportamientos
estratégicos de los jugadores. En el mundo real, tanto en las
relaciones económicas como en las políticas o sociales, son
muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los
juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones
de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un
comportamiento que es estratégico cuando se adopta
teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado
propio y ajeno de las decisiones propias y ajenas.
Teoría de Juegos
La teoría de los juegos es una rama de la matemática con
aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología,
que analiza las interacciones entre individuos que toman
decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos).
En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad
eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final
obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción
escogidos por el resto de los individuos.
La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar
problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos
tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La
mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos
implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De
particular interés son las situaciones en las que se puede
obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan
entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su
utilidad.
La teoría de juegos fue ideada en primer lugar por John von
Neumann. Luego, John Nash, A.W. Tucker y otros hicieron
grandes contribuciones a la teoría de juegos.
Juego
Se denomina juego a la situación interactiva especificada
por el conjunto de participantes, los posibles cursos de
acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de
utilidades.
Estrategia
Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros
jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador
tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones
completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se
explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada
decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso
del juego, dada la información disponible para el agente. La
estrategia puede incluir movimientos aleatorios.
Resultado de los Juegos
El resultado de un juego es una cierta asignación de
utilidades finales. Se denomina resultado de equilibrio si
ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente
dado que los otros jugadores se mantienen en sus
estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel que se
obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su
estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad
cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de
estrategias conforma un equilibrio si las estrategias
conforman la mejor respuesta a las otras.
Forma normal versus forma
extensiva de los Juegos
En juegos de forma normal, los jugadores mueven
simultáneamente. Si el conjunto de estrategias es discreto y
finito, el juego puede ser representado por una matriz NxM
(ver abajo). Un juego en forma extensiva especifica el orden
completo de movimientos a través de la dirección del juego,
generalmente en un árbol de juego.
Juegos NxM
Una forma de juegos de dos jugadores, en la cual un jugador
tiene N acciones posibles y el otro tiene M acciones posibles.
En un juego así, los pares de utilidades o pagos pueden ser
representados en una matriz y el juego es fácilmente
analizable. Los juegos NxM dan una idea de cómo puede
verse la estructura de un juego mas complejo.
Matriz de resultados de un Juego
La matriz de resultados de un juego representa el resultado
del juego en una matriz. Supongamos que dos personas, A y
B, están jugando un sencillo juego. El juego consiste en lo
siguiente: la persona A tiene la posibilidad de elegir “arriba”
o “abajo”, mientras que B puede elegir “izquierda” o
“derecha”. Los resultados del juego se representan en la
matriz de resultados:
Izquierda
Derecha
Arriba
(50 , 100)
(0 , 50)
Abajo
(100 , 50)
(50 , 0)
Estrategia Dominante
Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el
jugador independientemente de lo que haga el otro. En el
juego representado en la matriz de arriba, la estrategia
dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la
estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas
estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de
estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una
estrategia dominante se puede predecir el resultado del
juego.
Equilibrio de Nash
El equilibrio de Nash fue formulado por John Nash, que es un
matemático norteamericano, en 1951. Un par de estrategias
es un equilibrio de Nash si la elección de A es óptima dada la
de B y la de B es óptima, dada la de A. El equilibrio de Nash
se diferencia del equilibrio de las estrategias dominantes en
que, en el equilibrio de las estrategias dominantes, se exige
que la estrategia de A sea óptima en el caso de todas las
elecciones óptimas de B, y viceversa. El equilibrio de Nash
es menos restrictivo que el equilibrio de estrategias óptimas.
Un juego puede tener más de un equilibrio de Nash. Existen
juegos en los no existe un equilibrio de Nash.
Dilema del prisionero
El juego es un tipo de modelo matemático para entender la
toma de decisión y la interacción entre quienes toman las
decisiones. Y el mejor conocido se llama “El dilema del
prisionero”.
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Dos personas son arrestadas, encarceladas y se les fija la fecha
del juicio.
El fiscal del caso habla con cada prisionero por separado y les
presenta una oferta:
Si confiesa contra el socio, todos los cargos en su contra serán
retirados y la confesión será usada como evidencia para
condenar al otro. La sentencia que recibirá será de 20 años.
Si no confiesa y su socio lo hace, será condenado a 20 años y su
socio quedará libre.
Si ambos confiesan, serán condenados a 5 años de prisión.
Si ninguno confiesa, serán condenados a 1 años de prisión.
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En “El dilema del prisionero” el destino de cada uno
depende de las acciones del otro. Individualmente,
confesar sería la mejor opción, pero si ambos lo hacen el
castigo es peor que si ambos callan.
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“Cuando uno escoge algo, eso tiene un impacto en otras
personas”, señala Paul Schweinzer, catedrático en el
departamento de Economía de la Universidad de York,
Inglaterra. “La teoría de juegos es tener en cuenta el
impacto de mis decisiones en los otros cuando las voy a
tomar”.
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El “juego” es la interacción entre dos o más partes, y
depende de que la gente actúe racionalmente, consciente
de los límites del “juego” y de que la otra parte también
conoce las reglas.
Estas interacciones estratégicas forman el punto crucial
de la teoría de juegos. “A veces la usamos
conscientemente y otras intuitivamente”, anota Cabrales.
Incluso si la gente –y algunos animales- no razonan
conscientemente sobre las estrategias que van a usar,
otras fuerzas, como la evolución o la experiencia de
errores pasados, a menudo la hace comportarse de la
misma manera que si fueran jugadores fríamente
racionales.
Estrategias de Maximin Y Minimax
Por lo general, para cada estrategia que adopta un jugador o
empresa, existen varias estrategias (reacciones) abiertas
para el otro jugador. El resultado de cada combinación de
estrategias empleadas por los dos jugadores se conoce como
rendimiento. Al rendimiento de todas las estrategias se le
conoce como matriz de rendimiento.
En la teoría de los juegos, el jugador A sabe que el jugador B
siempre responderá a A con la acción que minimice las
ganancias de A, debido a que ésta es la estrategia que
minimiza las pérdidas de B. Así, el jugador A adoptará una
estrategia de maximín . Es decir, A seleccionará la estrategia
que maximice su ganancia mínima, anticipándose a la
reacción de B. Como es de esperarse, el jugador B adoptará
una estrategia de minimax que minimice las ganancias de A,
porque ésa es la estrategia que minimiza las pérdidas de B.
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Los juegos de suma cero son aquellos en los cuales las
ganancias de un jugador son iguales a las pérdidas del
otro.
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Los juegos estrictamente determinados son aquellos en los
cuales el maximín es igual al minimax.
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Se denomina punto de silla a la solución o el resultado de
un juego estrictamente determinado.
Bibliografía
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http://www.econlink.com.ar/definicion/teoriadejuegos.shtml
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http://www.taringa.net/post/info/2760727/21-Blackjack-Explicacion-alproblema-de-las-3-puertas.html

http://www.eumed.net/cursecon/juegos/
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http://www.aulafacil.com/cursosenviados/cursomicroeconomia/Lecc-18.htm
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http://www.animalpolitico.com/2015/05/que-le-deben-las-matematicas-ajohn-nash/