Trasformación de funciones

Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática.
Trasformación de funciones
Cuando nos referimos a trasformaciones en las funciones, reconocemos que la gráfica de una función
se puede “mover” en el plano cartesiano, es decir se puede: desplazar, reflejar y se puede alargar o
comprimir. A estos fenómenos también se les conoce como desplazamiento en las funciones. Para
lograr estas trasformaciones reconoceremos que existe una función primitiva (original) y una función
trasformada. Tampoco nos olvidemos que toda función depende de su variable, por lo que es natural
que ante cualquier cambio a la variable, entonces generaremos una variación.
Desplazamiento vertical de una función:
Si y  f ( x ) es la función primitiva e y  f ( x )  a es la función trasformada, se observa que para
todo valor de y, siempre será posible añadir fuera de la función un valor “a” (constante) que
incrementará cada uno de los valores de y  f ( x ) , obteniéndose como consecuencia una Traslación
vertical.
Ecuación
y  f( x) a
y  f ( x )   a 
Descripción
Si a>0 existe un desplazamiento vertical hacia arriba 
Si a<0 existe un desplazamiento vertical hacia abajo 
Ejemplo: Obsérvese en el siguiente grafico la trasformación de traslación vertical:
y 
x
2
y 
x
2
 2
(azul)
y 
x
2
 2
(rojo)
(negro)
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Doctorando en Educación Matemática.
Desplazamiento horizontal de una función:
Si y  f ( x ) es la función primitiva e y  f ( x  a ) es la función trasformada, obsérvese que para todo
valor de y, siempre será posible “añadir o retirar dentro de la función” un valor “a” (constante)
obteniéndose como consecuencia una traslación horizontal.
Ecuación
y  f(xa)
y  f(xa)
y  x
y 
y 
2
x
x
Descripción
Si a<0 existe un desplazamiento horizontal hacia la derecha 
Si a>0 existe un desplazamiento horizontal hacia la izquierda 
(negro)
 2
 2
2
2
(azul)
(rojo)
Estiramiento o encogimiento vertical de una función:
Si y  f ( x ) es la función primitiva e y  a f ( x ) es la función trasformada, obsérvese que para todo y
siempre será posible “multiplicar fuera de la función” un valor “a” (constante) obteniéndose como
consecuencia un estiramiento o encogimiento vertical.
Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática.
Ecuación
y a f(x)
y a f(x)
Descripción
Si a>1 existe un encogimiento vertical de la función
Si 0<a<1 existe un estiramiento (ensanchamiento) vertical de la función
Ejemplo: en el siguiente grafico la trasformación: Encogimiento (en azul), o estiramiento (en rojo)
y 
x
2
y  3 x
(negro)
2
y  0 ,5 x
(azul)
2
(rojo)
Encogimiento o alargamiento horizontal de una función:
Si y  f ( x ) es la función primitiva e y  f ( a x ) es la función trasformada, obsérvese que para todo y
siempre será posible “multiplicar dentro de la función” un valor “a” (constante) obteniéndose como
consecuencia un encogimiento o alargamiento horizontal
Ecuación
y  f(a x)
y  f(a x)
Ejemplo:
y  f ( x )  sen x
(negro)
y  f ( x )  sen (2x) (azul)
y  f ( x )  sen (0,8x) (rojo)
Descripción
Si a>1 existe un encogimiento horizontal de la función
Si 0<a<1 existe un alargamiento horizontal de la función
Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática.
Simetría respecto a los ejes de una función:
Si y  f ( x ) es la función primitiva e y   f ( x ) ó y  f (  x ) es la función trasformada, obsérvese
que para todo y siempre será posible “multiplicar fuera o dentro de la función” un valor “-1”
(constante) obteniéndose como consecuencia Simetría respecto a los ejes X, Y del plano
Ecuación
y f(x)
y  f( x)
y  f ( x )  2x
Ejemplo: y  f ( x )  -2
Descripción
Existe Simetría respecto al eje X del plano
Existe Simetría respecto al eje Y del plano
(negro)
x
(azul)
y  f ( x )  2  x (rojo)
Prof. Enrique Mateus Nieves
Doctorando en Educación Matemática.
En resumen:
Conclusiones

Las trasformaciones observadas se aplican para cualquier función y  f ( x )

Si conocemos la gráfica de una función y  f ( x ) y su ecuación se modifica con un número real
de valor absoluto “c” (cualquier número positivo), que sume algebraicamente, la nueva grafica
será fácil de realizar. Las trasformaciones producidas pueden ser:
 Desplazamientos horizontales con:
y  f ( x  c ) Hacia la izquierda
y  f ( x  c ) Hacia la derecha
 Desplazamientos verticales con.
y  f ( x )  c Hacia arriba
y  f ( x )  c Hacia abajo