´ALGEBRA

ÁLGEBRA
Ejercicios no resueltos de la Práctica 3
Matrices y determinantes
(Curso 2007–2008)
15.– Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes
cuestiones:
(b) En una matriz cuadrada de orden n escribimos las filas en orden inverso.
° Su determinante queda multiplicado por −1.
FALSO. Por ejemplo si la matriz es de orden 1 su determinante no varı́a.
° Su determinante queda invariante.
FALSO. Por ejemplo si la matriz es no singular de orden 2, invertir el orden de sus
filas es hacer exactamente un único cambio de posición de dos de ellas, por tanto el
determinante cambia de signo.
° Su determinante queda multiplicado por (−1)n .
FALSO. De nuevo no se cumple para matrices no singulares de orden 2.
° Ninguna de las restantes respuestas es correcta.
VERDADERO. Para saber si cambia de signo hay que contar cuantos cambios de
posición de filas se hacen para invertir el orden completamente:
- Si n es par (n = 2k), entonces intercambiamos posiciones de las filas 1 y n; 2 y
n − 1; . . . ; k y k + 1. Es decir hacemos k cambios. Por tanto el determinante queda
multiplicado por (−1)k . Si k es par, se mantiene igual; si k es impar cambia de signo.
- Si n es impar (n = 2k + 1), entonces hacemos intercambios de las filas 1 y n; 2 y
n − 1; . . . ; k y k + 2. El determinante queda multiplicado por (−1)k . Si k es par, se
mantiene igual; si k es impar cambia de signo.
En definitiva el determinante cambia de signo sólo cuando n = 2k ó n = 2k + 1 con k
impar. Equivalentemente, cuando n es de la forma n = 4m + 2 ó n = 4m + 3.
(c) Sea A ∈ Mn×n (IR).
° A2 = Ω ⇒ A = Ω.
FALSO. Por ejemplo tomando A =
µ
0 1
0 0
¶
se cumple A2 = Ω, pero A 6= Ω.
° A2 singular ⇒ A singular.
VERDADERO. Si A2 es singuar, |A2 | = 0. Pero |A2 | = |A|2 , luego A es también
singular.
° A2 simétrica ⇒ A simétrica.
FALSO. Otra vez el ejemplo del primer apartado, A =
µ
0
0
1
0
¶
no es simétrica pero
su cuadrado si lo es.
° A2 triangular inferior ⇒ A triangular inferior.
FALSO. El mismo ejemplo de los puntos anteriores.
(d) Sean A y B matrices reales invertibles n × n. Indicar la proposición falsa.
° Si A y B conmutan entonces A−1 y B conmutan.
VERDADERA. Se tiene:
AB = BA ⇒ A−1 ABA−1 = A−1 BAA−1 ⇒ BA−1 = A−1 B
° Si A y B conmutan entonces A−1 y B −1 conmutan.
VERDADERA. Se tiene:
AB = BA ⇒ (AB)−1 = (BA)−1 ⇒ B −1 A−1 = A−1 B −1
° La matriz (A−1 · B)t siempre tiene inversa.
VERDADERA. Ya que si A y B son inversibles su determinantes es no nulo.
Por tanto
det(A−1 · B) = det(A)−1 det(B) 6= 0 ⇒ (A−1 · B)t siempre tiene inversa
° la matriz (A−1 + B)t siempre tiene inversa.
FALSA. Por ejemplo: A = (1) y B = (−1).
ÁLGEBRA
Problemas adicionales
Matrices y determinantes
(Curso 2007–2008)
I.– En el conjunto de las matrices n × n de elementos reales, demostrar que si AAT = Ω,
entonces A = Ω.
Llamemos B = AT . Entonces por definición de traspuesta, bij = aji . Ahora por
hipotésis Ω = AAt = AB. Haciendo el producto vemos que para cualquier i, j con,
1 ≤ i, j ≤ n:
n
n
X
X
0=
aik bkj =
aik ajk
k=0
k=0
En particular, si i = j:
0=
n
X
aik aik =
k=0
n
X
a2ik
k=0
Por ser A una matriz con coeficientes reales, los cuadrados a2ik son siempre números
no negativos. Si su suma es cero, todos ellos han de ser cero, y deducimos que aik = 0
para cualquier i, k con, 1 ≤ i, k ≤ n. Por tanto A = Ω.
II.– Calcular las potencias n-simas de las siguientes matrices:
El método (¡de momento!) más usual es hacer ”a mano” las primeras potencias y
luego encontrar una regla general:


1 0 0
(a) A =  0 3 0 
2 0 1
Calculamos las primeras potencias

1 0
A2 =  0 9
4 0

0
0,
1

1
A3 =  0
6

0 0
27 0  ,
0 1

1 0
A4 =  0 81
8 0
Parece razonable pensar que, en general:

1
0
n

A =
0 3n
2n 0

0
0
1
Hay que comprobarlo. Se hace por inducción. Para ello:
- Vemos que se cumple para A1 .

0
0,
1
...
- Comprobamos que, si suponemos cierta la fórmula para n − 1, entonces se cumple
para n, es decir:

 

1
0
0
1
0 0
An = A · An−1 = A · 
0
3n−1 0  =  0 3n 0 
2(n − 1)
0
1
2n 0 1


0 a 0
(b) C =  0 0 b 
c 0 0
Hacemos las primeras potencias:



abc
0 0 ab
C3 =  0
C 2 =  bc 0 0  ,
0
0 ac 0
0
abc
0


1 0
0
0  = abc  0 1
0 0
abc

0
0
1
Paramos en la tercera potencia. Nos fijamos que C 3 = abcId. Ahora es muy fácil
multiplicar por C 3 . Podemos en general hacer lo siguiente. Dado n > 0, sabemos que
n = 3q + r, donde q es el cociente y r < 3 es el resto de dividir n por 3. Por tanto:
C n = C 3q+r = (C 3 )q C r = (abcI)q C r = aq bq cq C r
y,
 q q q
a b c
Cn =  0
0

0
aq bq cq
0
0
n

C =
0
aq bq cq+1

0

0
0  , si n = 3q;
q
a bq cq
aq+1 bq cq
0
0
C n =  aq bq+1 cq+1
0

0
aq + bq+1 cq  , si n = 3q + 1;
0
0
0
q+1
a
bq cq+1

aq+1 bq+1 cq
 , si n = 3q + 2.
0
0
 2

a ab ac
(c) D =  ab b2 bc  . Hacemos las primeras potencias:
ac bc c2

 4
a + a2 b2 + a2 c2 a3 b + ab3 + abc2 a3 c + ab2 c + ac3
D2 =  a3 b + ab3 + abc2 a2 b2 + b4 + b2 c2 a2 bc + b3 c + bc3  = (a2 + b2 + c2 )D
a3 c + ab2 c + ac3 a2 bc + b3 c + bc3 a2 c2 + b2 c2 + c4
Ahora es fácil seguir haciendo las potencias de D, porque:
D3 = D2 D = (a2 + b2 + c2 )D2 = (a2 + b2 + c2 )2 D
D4 = D3 D = (a2 + b2 + c2 )2 D2 = (a2 + b2 + c2 )3 D
...
En general vemos que;
Dn = (a2 + b2 + c2 )n−1 D
De nuevo hay que comprobarlo por inducción:
- Para n = 1 es cierto, ya que D1 = (a2 + b2 + c2 )1−1 D = D.
- Lo suponemos cierto para n − 1 y lo probamos para n:
Dn = Dn−1 · D = (a2 + b2 + c2 )n−2 D · D = (a2 + b2 + c2 )n−2 D2 =
= (a2 + b2 + c2 )n−2 (a2 + b2 + c2 )D = (a2 + b2 + c2 )n−1 D.
III.– Para las siguientes familias de matrices no singulares de Mn×n (K), decidir si verifican
alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también
pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también
pertenece a la familia.
(1) las matrices simétricas regulares
(a) CIERTO. Que sea regular simplemente significa que tiene inversa. Y una matriz
simétrica es aquella que coincide con su traspuesta.
Hay que probar que si una matriz es simétrica su inversa es también simétrica.
Basta usar las propiedades de la trasposición: (A−1 )t = (At )−1 pero por ser A
simétrica At = A, luego (A−1 )t = A−1 y por tanto la inversa es simétrica.
(b) FALSO. Dadas A, B simétricas, veamos si lo es AB. Tenemos (AB)t = B t At ; por
ser A, B simétricas deducimos que (AB)t = BA. Teniendo en cuenta que el producto
de matrices no es conmutativo, en general BA 6= AB y por tanto AB no tiene porque
ser simétrica. Veamos un ejemplo del de dos matrices simétricas cuyo prdoducto NO
lo es:
µ
¶
µ
¶
µ
¶
0 1
1 0
0 2
A=
,
B=
,
AB =
1 0
0 2
1 0
(2) las matrices regulares que conmutan con una matriz dada A ∈ Mn×n (K)
(a) CIERTO. Supongamos que una matriz regular B conmuta con A. Veamos que
también conmuta su inversa. Por conmutar A yB se tiene AB = BA. Multiplicando
ambos términos, por la derecha y por la izquierda por B −1 tenemos, B −1 ABB −1 =
B −1 BAB −1 . Y como BB −1 = B −1 B = I queda, B −1 A = AB −1 .
(b) CIERTO. Supongamos que B y C conmutan con A. Veamos que entonces BC
también conmuta con A:
(BC)A = B(CA) = B(AC) = (BA)C = A(BC)
(3) las matrices ortogonales
Una matriz ortogonal es aquella cuya inversa es igual a su traspuesta.
(a) CIERTO. Sea A ortogonal (At = A−1 ). Veamos que A−1 es ortogonal:
(A−1 )t = (At )−1 = (A−1 )−1
Vemos que su traspuesta coincide con su inversa y es ortogonal.
(b) CIERTO. Sean A, B ortogonales. Veamos que AB es ortogonal.
(AB)t = B t At = B −1 A−1 = (AB)−1
Luego vemos que su inversa coincide con su traspuesta.
IV.– En el espacio vectorial real Mn×n sea U el conjunto de matrices que cumplen que la
suma de todos los elementos de cualquier fila y la suma de todos los elementos de
cualquier columna es constante. Si A ∈ U , denotamos esa constante por S(A), es
decir:
n
X
aij = ai1 + ai2 + · · · + ain = S(A)
i ∈ {1, 2, · · · , n}
aij = a1j + a2j + · · · + anj = S(A)
j ∈ {1, 2, · · · , n}
j=1
n
X
i=1
(a) Si se llama F a la matriz n × n que tiene todos sus elementos iguales a 1, demostrar
que:
A ∈ U ⇐⇒ (∃α ∈ IR
AF = F A = αF )
Hallar α en función de S(A).
Tenemos en cuenta lo siguiente. Dada una matriz A ∈ Mn×n cualquiera, se tiene que:
- La matriz AF tiene todos los elementos de cada fila iguales; en particular en la fila
n-sima de AF aparece repetida la suma de todos los elementos de la fila n-sima de A.
- Análogamente, en la columna n-sima de F A aparece repetida la suma de todos los
elementos de la columna n-sima de A.
Por tanto si A ∈ U todas las sumas de cada fila de A son iguales a S(A) y por tanto
AF = S(A)F . Análogamente, todas las sumas de cada columna de A son iguales a
S(A) y por tanto F A = S(A)F .
Recı́procamente si AF = αF = F A, entonces la suma de los elementos de cada fila y
cada columna de A suman precisamente α por tanto son iguales, A ∈ U y S(A) = α.
(b) Si A ∈ U y es regular, probar que S(A) es distinto de cero y que A−1 ∈ U . Hallar
S(A−1 ) en función de S(A).
Supongamos que A es regular, es decir, que tiene inversa. Por el aparatado anterior,
si A ∈ U , entonces:
AF = S(A)F ⇒ F = S(A)A−1 F
Por tanto S(A) no puede ser 0, ya que F no es la matriz 0. Además:
A−1 F = S(A)−1 F y análogamente F A−1 = S(A)−1 F
luego A−1 ∈ U y además S(A−1 ) = S(A)−1 .
V.–
(a) Sea n un número natural. Se considera la matriz A de dimensión n y cuyos elementos
son
aij = máx {i, j},
i, j ∈ {1, . . . , n}
Calcular el determinante de A.
El aspecto que tiene la matriz es el siguiente:

1
2
3
4
 2
2
3
4

 3
3
3
4

 4
4
4
4

..
..
..
 ...
.
.
.

n − 1 n − 1 n − 1 n − 1
n
n
n
n

n−1 n
n − 1 n

n − 1 n

n − 1 n
..
.. 
.
.

n − 1 n
n
n
...
...
...
...
...
...
...
Restándole a cada columna la posterior queda:

−1 −1
 0 −1

 0
0

 0
0
 .
..
 ..
.

 0
0
0
0
−1
−1
−1
0
..
.
0
0
−1
−1
−1
−1
..
.
0
0
...
...
...
...
..
.
...
...
−1
−1
−1
−1
..
.
−1
0

n
n

n

n
.. 
.

n
n
Ahora es una matriz triangular superior y su determinante es el producto de los
términos de la diagonal:
(−1)n−1 n.
(b) Lo mismo siendo aij = |i − j|.
Ahora la matriz es de la siguiente forma:

0
 1

 2

 3
 .
 ..

n − 2
n−1
1
0
1
2
..
.
n−3
n−2
2
1
0
1
..
.
n−4
n−3
3
2
1
0
..
.
n−5
n−4
...
...
...
...
...
...
...
n−2
n−3
n−4
n−5
..
.
0
1

n−1
n − 2

n − 3

n − 4
.. 
. 

1 
0
De nuevo restándole a cada columna

−1 −1 −1
 1 −1 −1

 1
1 −1

 1
1
1
 .
..
..
 ..
.
.

 1
1
1
1
1
1
la posterior queda:
−1
−1
−1
−1
..
.
1
1
...
...
...
...
..
.
...
...

n−1
n − 2

n − 3

n − 4
.. 
. 

1 
0
−1
−1
−1
−1
..
.
−1
1
Para ”hacer ceros” sumamos ahora la primera fila
anulando los ”unos” con signo opuesto:

−1 −1 −1 −1 . . . −1
 0 −2 −2 −2 . . . −2

 0
0 −2 −2 . . . −2

 0
0
0 −2 . . . −2
 .
.
..
..
..
...
 ..
..
.
.
.

 0
0
0
0 . . . −2
0
0
0
0 ... 0
a las demas, para que se vayan

n−1
2n − 3 

2n − 4 

2n − 5 
.. 
. 

n 
n−1
Por ser una matriz triangular superior, el determinante es el producto de los términos
de la diagonal:
(−2)n−2 (1 − n)
Nota: En este tipo de ejercicios es aconsejable primero trabajar con casos concretos
(n=2, n=3, n=4) para ver que ocurre, y luego generalizar.
VI.– Dada la matriz m × n con m, n > 1,

1
2

n
+
1
n
+
2
A=
.
.

..
..
(m − 1)n + 1 (m − 1)n + 2
...
...
..
.
...
n−1
2n − 1
..
.
mn − 1

n
2n 
.. 
. 
mn
expresar aij en función de i y j, y calcular su rango.
El término aij es de la forma:
aij = j + (i − 1) · n
Para hallar el rango hacemos operaciones fila y columna sobre la matriz A.
Le restamos la primera fila a todas las

1
2

n
n

..
..

.
.
(m − 1)n (m − 1)n
demás:
...
...
..
.
...
n−1
n
..
.
(m − 1)n

n

n

..

.
(m − 1)n
Ahora le restamos la primera columna a todas las demás:


1
1 ... n − 2 n − 1

n
0 ...
0
0 

.
.
.
.. 
.
..
..
..
..

. 
(m − 1)n 0 . . .
0
0
Vemos que las filas 3, . . . , m son proporcionales a la segunda. Por tanto el rango es a
lo sumo 2. Para ver que el rango es exactamente 2 basta mostrar un menor 2 × 2 de
determinante no nulo:
¯
¯
¯ 1 1¯
¯
¯
¯ n 0 ¯ = −n.
VII.– Calcular razonadamente el siguiente determinante:
¯
¯1
¯
¯2
¯
¯3
¯
4
12
23
34
41
123
234
341
412
¯
1234 ¯
¯
2341 ¯
¯.
3412 ¯
¯
4123
Restamos a cada columna la anterior multiplicada por 10 y queda:
¯
¯1
¯
¯2
¯
¯3
¯
4
12
23
34
41
123
234
341
412
¯ ¯
1234 ¯ ¯ 1
¯ ¯
2341 ¯ ¯ 2
¯=¯
3412 ¯ ¯ 3
¯ ¯
4123
4
2 3
3 4
4 1
1 2
¯
1
¯1
¯
1
¯0
= 10 ¯
0
1
¯
¯
0 −3
¯ ¯
4 ¯ ¯ 10 10 10
¯ ¯
1¯ ¯ 2 3
4
¯=¯
2¯ ¯ 3 4
1
¯ ¯
3
4 1
2
¯
¯
1
1¯
¯1
¯
¯
2 −1 ¯
¯0
¯ = 10 ¯
−2 −1 ¯
¯0
¯
¯
−2 −1
0
¯
¯
¯
10 ¯
¯1 1 1 1¯
¯
¯
¯
1 ¯
¯2 3 4 1¯
¯ = 10 ¯
¯=
2 ¯
¯3 4 1 2¯
¯
¯
¯
3
4 1 2 3
¯
1
1
1¯
¯
1
2 −1 ¯
¯ = 160.
0 −4
0¯
¯
0 −8 −4
VIII.– Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes
cuestiones:
(a) Sea A una matriz real cuadrada regular n × n y sea B una matriz que se obtiene
realizando sobre A la operación elemental fila Hij (λ), con λ 6= 0 e i 6= j.
Sabemos que B = Hij (λ)A. Por tanto:
B −1 = A−1 Hij (λ)−1 = A−1 Hij (−λ) = A−1 νji (−λ).
° B puede no tener inversa.
FALSO.
° La inversa de B se obtiene realizando sobre la inversa de A la operación fila
Hij (−λ).
FALSO.
° La inversa de B se obtiene realizando sobre la inversa de A la operación columna
νij (−λ).
FALSO.
° Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta.
VERDADERO.
(b) Sean A, B dos matrices cuadradas reales de dimensión 2 × 2 tales que A · B = Ω.
Entonces:
° A = Ω ó B = Ω.
µ
FALSO. Por ejemplo, si A =
1 0
0 0
¶
µ
yB=
¶
0 0
.
0 1
° rango(A) < 2.
FALSO. Por ejemplo, si A = Id y B = Ω.
° rango(A) + rango(B) < 3.
VERDADERO. Veamos los casos posibles:
- Si rango(A) = 2 entonces A es inversible, y
A · B = Ω ⇒ A−1 · A · B = A−1 · Ω ⇒ B = Ω ⇒ rango(B) = 0
por tanto rango(A) + rango(B) = 2 < 3.
- Si rango(B) = 2 entonces razonando como antes, volvemos a obtener rango(A) +
rango(B) = 2 < 3.
- En otro caso, rango(A) ≤ 1 y rango(B) ≤ 1 y por tanto rango(A) + rango(B) ≤
2 < 3.
° A = B = Ω.
FALSO. Por ejemplo, si A = Id y B = Ω.
(c) De una matriz A real 7 × 7 se sabe que su rango es 5 y que A4 = Ω.
Debido a que A4 = Ω, sabemos que 0 es el único autovalor de A y que A es
triangularizable. Además la multiplicidad geométrica del 0 es 7 − rango(A) = 2,
por lo que hay dos cajas de Jordan. Las posibilidades para sus dimensiones son
6 + 1, 5 + 2 o 4 + 3. Pero como A4 = Ω no puede haber una caja de dimensión
superior a 4. Deducimos que la forma de Jordan tiene dos cajas de dimensiones 4 y 3
respectivamente. Por tanto, el rango de A2 es 3 y el rango de A3 es 1.
° El rango de A3 es 2. FALSO.
° El rango de A3 es 3. FALSO.
° El rango de A2 es 2. FALSO.
° El rango de A2 es 3. VERDADERO.
(d) Sean A y B dos matrices reales n × n diagonalizables por semejanza.
° A + B es diagonalizable por semejanza.
FALSA. Ejemplo:
µ
A=
1 0
1 2
µ
¶
;
B=
2 0
1 1
µ
¶
;
A+B =
3 0
2 3
¶
;
Donde A y B diagonalizan, pero A + B no.
° A · B es diagonzalizable por semejanza.
FALSA. Ejemplo:
µ
A=
1 0
1 2
¶
µ
;
B=
2
1
0
1
¶
µ
;
A·B =
Donde A y B diagonalizan, pero A · B no.
° A nunca es singular.
FALSA. Ejemplo A = B = Ω.
° Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta.
VERDADERA.
2 0
4 2
¶
;