guia4 - Eduardo Valenzuela Domínguez

GUIA Nº 4– Probabilidades
UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA – MAT-041-01-02
Profesores:
Sr. Eduardo Valenzuela Domínguez.
Sr. Patricio Videla Jiménez.
GUIA Nº4 – VARIABLES ALEATORIAS
1. Una variable aleatoria X discreta tiene una función de cuantía dada por px   k x , con
x tomando los valores 1, 2, 3 ó 4.
a) Determine k .
b) Calcule P 1  X  3 .
c) Calcule la esperanza y la varianza de X .
2. La distribución de probabilidad
px   cp x , x  0,1.2,...
de
la
variable
aleatoria
discreta
X
es
a) Determine c .
b) Determine F x  .
c) Si p  0.9 , calcule P X  5 X  10 .
3. Se lanzan tres monedas insesgadas distintas entre sí. Sea X :la cantidad de caras menos la
cantidad de sellos.
a) ¿Cuál es el espacio muestral asociado con el experimento?.
b) Calcule la probabilidad de que la distancia entre X y su valor esperado supere al triple
de la desviación estándar de X .
c) Obtenga y grafique F x  .
4. Supóngase que una urna contiene 7 bolas rojas y 3 azules. Si se seleccionan 5 bolas
aleatoriamente, con reemplazo, determínese
a) La función de cuantía de la variable aleatoria X: número de bolas rojas que se
obtienen.
b) P(3<X5).
c) La esperanza y la varianza de X.
Probabilidad y Estadística
GUIA Nº 4– Probabilidades
5. La función de densidad de la variable aleatoria W está dada por:
f w  a  bw2 , 0  w  1.
Si E W   2 5 , encuentre las constantes a y b .
6. Las evaluaciones (puntajes) en un examen de admisión a una determinada Universidad es
una variable aleatoria X , con función de densidad dada por:
x
 ; 2  x  10
.
f x    48

0 ; e.o.c .
Si sólo hay vacantes para el 20% de los postulantes, ¿con qué puntaje se ingresa a esta
Universidad?.
7. El tiempo de vida útil, en años, de un artículo es una variable aleatoria T con densidad
1
 t
f t    50

0
, 0  t  10
, e.o.c.
Un seguro paga 9u.m. si falla antes de 2 años, 5 u.m. si falla entre los 2 y 5 años y 0 u.m.
en otro caso.
a) Encuentre la función de distribución acumulada de T .
b) De los artículos por los que el seguro pagó, qué porcentaje no falló antes de los 4 años.
c) Encuentre la función de cuantía de la variable aleatoria Y : pago del seguro.
8. La distribución de Pareto está determinada por:
   
  ,
P(X > x) =  x 
1,

si x  
si x <  ,
 > 0,  > 0
a) Determine F(x), f(x), E[X], V[X].
b) Si  = 2 y  = 1, calcule P(1 < X < 2) y P(X > 3).
Probabilidad y Estadística
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9. Suponemos que la longitud de vida (en horas) de un cierto tubo de televisión es una
variable aleatoria continua X con función de densidad:


100 2 ,


x
f x   

0 ,
x  100
e.o.c.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tubo pueda fallar antes de las 200 horas, si se
conoce que el tubo estuvo funcionando después de 150 horas servicio?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que si 3 de tales tubo son instalados en un sistema,
exactamente uno sea reemplazado antes de las 150 horas?.
10. Un fabricante de autos vende, en el mismo día, a concesionarios, cinco vehículos
idénticos. Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de vehículos estén funcionando
correctamente dos años después es 0.80. Calcular la probabilidad de que:
a) tres autos estén fuera de servicio dos años más tarde.
b) dos autos a lo sumo estén fuera de servicio.
11. Un Ingeniero en Transporte está estudiando la reprobación de las personas al rendir los
exámenes para obtener la licencia de conducir clase B. Según su experiencia ha
determinado que el 5% de las personas que rinden el examen obtiene un puntaje para ser
reprobado, lo que él considera que es muy poco, por lo que exigirá un mayor puntaje para
la aprobación de este examen. Si en un día se presentan 15 personas a rendir examen:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan reprobados en el examen?
b) Si reprueban menos de 3 personas el examen deberá repetirse. ¿Cuál es la probabilidad
de que el examen se repita?
12. Para decidir acerca de un proyecto de remodelación en Valparaíso, SERVIU decide
seleccionar al azar 30 unidades habitacionales del sector. Si el 40% o más están en mal
estado se procederá a la remodelación; en caso contrario esta remodelación no se hará.
a) ¿Cuál es la probabilidad que se haga la remodelación si sólo el 35% de las viviendas
de este sector están en mal estado?.
b) ¿Cuál es la probabilidad que no se haga la remodelación si el 50% de las viviendas del
sector están en mal estado?.
13. En una población de 10.000 individuos, existen 1.000 que poseen una característica
determinada. Se toma una muestra de 20 de ellos con reposición. Determine la
probabilidad de que en esta muestra aparezcan a lo menos 5 individuos “marcados”.
Probabilidad y Estadística
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14. Se sabe que una caja de jeringas (12ues.) contiene 3 infectadas. Suponga que una
enfermera, antes de usarlas, escoge 3 al azar y las analiza. Si en las analizadas se
encuentran 2 o más infectadas, la caja completa se desecha.
a) ¿Cuál es la probabilidad de usar la caja?.
b) Si el muestreo se hace con sustitución, ¿cuál es la probabilidad de hallar 2 jeringas
infectadas?.
15. En un lote de 50 impresoras hay 2 defectuosas. Un inspector examina 5 impresoras que se
seleccionan al azar y sin reemplazo.
a) Hallar la probabilidad de que 1 de las 5 impresoras extraídas resulte defectuosa.
b) Hallar la probabilidad de que al menos 1 de las 5 impresoras resulte defectuosa.
16. Al pintar hojas de metal con cierto tipo de pintura ocurren pequeños defectos que se
distribuyen aleatoriamente en la superficie con un promedio de 2,5 defectos por cada
100cm2.
a) Calcule la probabilidad que hayan 0 defectos en una hoja de 4 cm. por 8 cm.
b) De 100 de tales hojas, ¿en cuántas se espera 2 o más defectos?.
17. Una fuente de partículas es observada durante 7 intervalos de 10 segundos de duración
cada uno y se cuenta el número de partículas emitidas durante cada período. Si se supone
que el número de partículas emitidas durante cada período observado tiene una
distribución de Poisson, donde las partículas son emitidas a razón de 0.5 partículas por
segundo.
a) Determine el valor promedio de partículas emitidas por intervalo.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un intervalo sean emitidas 4 o más partículas?
c) Cuál es la probabilidad de que al menos en 5 de los 7 intervalos de tiempo sean
emitidas menos de 4 partículas.
PVJ/pvj.
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