A.3. Convergencia uniforme

280
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
A.3.
Convergencia uniforme
Sea X un conjunto no vacı́o, (E, ρ) un espacio métrico y E X el conjunto de todas las
funciones f : X → E. Si ∅ =
6 K ⊂ X y f, g ∈ E X se define
ρK (f, g) = sup{ρ(f (x), g(x)) : x ∈ K}
(≤ +∞)
Definición A.3.1 Una sucesión fn en E X converge puntualmente hacia f ∈ E X si
lı́mn ρ(fn (x), f (x)) = 0 para cada x ∈ X. Si además se verifica que lı́mn ρK (fn , f ) = 0 se
dice que fn converge hacia f uniformemente sobre K
Proposición A.3.2 Si E es un espacio métrico completo, una condición necesaria y
suficiente para que la sucesión (fn ) sea uniformemente convergente sobre K es que se
cumpla la condición de Cauchy para la convergencia uniforme:
Para cada ǫ > 0 existe nǫ ∈ N tal que si q > p ≥ nǫ entonces ρK (fp fq ) < ǫ.
Dem: La necesidad se sigue de la desigualdad. ρK (fp , fq ) ≤ ρK (fp , f ) + ρK (f, fq ). Para
probar que la condición es suficiente obsérvese que para cada x ∈ K es ρ(fp (x), fq (x)) ≤
ρK (fp , fq ) luego (fn (x)) es una sucesión de Cauchy que converge hacia un punto f (x) ∈ E.
Dado ǫ > 0 tomando q > p ≥ nǫ se cumple que ρ(fp (x), fq (x)) < ǫ para todo x ∈ K.
Fijando x ∈ K y pasando al lı́mite en la última desigualdad cuando q → + ∞ se obtiene
que para todo x ∈ K y todo p > n(ǫ) se verifica ρ(fp (x), f (x)) ≤ ǫ es decir p > n(ǫ)
implica ρK (fp , f ) ≤ ǫ.
Teorema A.3.3 Si X es un espacio topológico y fn : X → E una sucesión de funciones
continuas que converge hacia f : X → E uniformemente sobre X entonces f es continua.
Dem: La prueba de que f es continua en cualquier punto a ∈ X se basa en la desigualdad
triangular:
ρ(f (x), f (a)) ≤ ρ(f (x), fn (x)) + ρ(fn (x), fn (a)) + ρ(fn (a), f (a))
(A.1)
Dado ǫ > 0 en virtud de la convergencia uniforme existe n ∈ N tal que para todo x ∈ X es
ρ(fn (x), f (x)) ≤ ǫ/3. Por la continuidad de fn existe un entorno Va de a tal que para todo
x ∈ Va se cumple ρ(fn (x), fn (a)) ≤ ǫ/3. Entonces, con la desigualdad A.1 se concluye que
para todo x ∈ Va se cumple ρ(f (x), f (a)) ≤ ǫ/3 + ǫ/3 + ǫ/3 = ǫ
Realmente, para obtener la continuidad de la función lı́mite de una sucesión de funciones continuas basta que haya convergencia uniforme local, e.d. cada x ∈ X posee un
entorno Va sobre el que la sucesión converge uniformemente. Cuando X es un espacio
métrico, para obtener la continuidad de la función lı́mite f basta que la sucesión sea uniformemente convergente sobre cada compacto K ⊂ X.
Para funciones
P∞ con valores reales o complejos (E = R ó C) se pueden considerar series
de funciones n=1 fn , donde fn : X → E. La serie se dice que converge puntualmente
Pm
(resp. uniformemente) sobre K si la sucesión de sumas parciales Sm (x) =
n=1 fn (x)
tiene la correspondiente propiedad. En ese caso queda definida sobre K la función suma
∞
X
f (x) =
fn (x)
n=1
281
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Proposición A.3.4 [Criterio de Weierstrass] Una condición suficiente para que la serie
P
n=1 fn (x) sea uniformemente convergente sobre K es que exista m ∈ N tal que
∞
X
n≥m
kfn kK < +∞
P∞
Dem: Para cada x ∈ K la serie numérica
absolutamente convergente
n=1 fn (x) esP
porque |fn (x)| ≤ kfn kK . Si f : K → C es su suma y Sn = nk=1 fk , para todo n ≥ m y
todo x ∈ K se cumple
X
X
X
|f (x) − Sn (x)| = |
fk (x)| ≤
|fk (x)| ≤
kfk kK
k>n
k>n
k>n
P
luego kf − Sk kK ≤ ǫn donde ǫn := k>n kfk kK es una sucesión que tiende hacia 0. Esto
significa que Sn converge hacia f uniformemente sobre K.
Al aplicar el criterio de Weierstrass, generalmente no es preciso calcular
P∞ explı́citamente los valores kfn kK . Basta encontrar una serie numérica convergente n=1 Mn tal que,
desde un valor de n en adelante, se cumpla |fn (x)| ≤ Mn para todo x ∈ K.
Los criterios de Abel y Dirichlet proporcionan condiciones suficientes bastante útiles
para establecer convergencia uniforme de series de funciones que no son absolutamente
convergentes:
Teorema A.3.5 (Abel y Dirichlet) Sea fn (z) = an (z)bn (z) una sucesión de funciones
complejas definidas en un conjunto
P K. Cada una de las siguientes condiciones es suficiente
para que la serie de funciones ∞
n=1 fn (z) sea uniformemente convergente sobre K:
P
a) La serie ∞
n=1 an converge uniformemente sobre K y bn es una sucesión de funciones
reales uniformemente acotada sobre K tal que para cada z ∈ K la sucesión bn (z) es
monótona.
P
b) La serie ∞
n=1 an converge uniformemente sobre K y existe C > 0 tal que para todo
z ∈ K se cumple
∞
X
|b1 (z)| +
|bn (z) − bn+1 (z)| ≤ C
n=1
Pm
c) La sucesión de sumas n=1 an está uniformemente acotada sobre K, la sucesión bn
converge hacia 0 uniformemente sobre K y para cada z ∈ K la sucesión bn (z) es
monótona.
P
d) La sucesión de sumas m
acotada sobre K, la sucesión bn
n=1 an está uniformemente P
converge hacia 0 uniformemente sobre K y la serie ∞
n=1 |bn (z) − bn+1 (z)| converge
uniformemente sobre K.
Dem: La prueba se basa en la fórmula de sumación parcial de Abel:
Fnm (z)
=
bm (z)Am
n (z)
+
m−1
X
j=n
Ajn (z)(bj (z) − bj+1 (z))
[*]
282
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
donde
Fnm (z)
=
m
X
fj (z), y
Am
n (z)
=
j=n
m
X
aj (z)
j=n
Para establecerla se supone, por comodidad, que n = 1:
bm (a1 +a2 +· · ·+am )+a1 (b1 −b2 )+(a1 +a2 )(b2 −b3 )+· · ·+(a1 +a2 +· · ·+am−1 )(bm−1 −bm ) =
= a1 (b1 − bm ) + a2 (b2 − bm ) + a3 (b3 − bm ) + · · · + am−1 (bm−1 − bm ) + bm (a1 + a2 + · · · + am )
= a1 b1 + a2 b2 + · · · + am bm = f1 + f2 + · · · + fm = F1m
Utilizando [*] se va a demostrar si se cumple b) o c) entonces se cumple la condición de
Cauchy para la convergencia uniforme sobre K: Para ello se introducen las sucesiones
ǫ(n) = sup kAm
n kK ;
m≥n
δ(n) = sup kFnm kK
m≥n
P
b) La condición de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K de la serie n an (z) se
traduce en que lı́mn ǫ(n) = 0. Por otra parte, para todo z ∈ K y todo m ∈ N se verifica
|bm (z)| ≤ |b1 (z)| + |bm (z) − b1 (z)| ≤ |b1 (z)| +
m−1
X
i=1
|bi+1 (z) − bi (z)| ≤ C
Para cada j ≥ n y todo z ∈ K se cumple |Ajn (z)| ≤ ǫ(n) y aplicando [*] se obtiene
|Fnm (z)|
≤ ǫ(n)C + ǫ(n)
m−1
X
j=1
|bj (z) − bj+1 (z)| ≤ 2Cǫ(n)
luego δ(n) ≤ 2Cǫ(n) y por lo tanto lı́mn δ( n) = 0, lo que significa que la serie
cumple la condición de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K.
P
n
fn (z)
d) Según la hipótesis existe R > 0 tal que para todo z ∈ K y todo m ∈ N se cumple
m
|Am
1 (z)| ≤ R, luego |An (z)| ≤ 2R para todo z ∈ K y todo m ≥ n. Utilizando [*] se
obtiene que para z ∈ K y m ≥ n se verifica:
!
∞
X
|Fnm (z)| ≤ 2R kbm kK +
|bj (z) − bj+1 (z)|
j=n
luego δ(n) ≤ 2C(α(n) + β(n)) donde las sucesiones
α(n) = sup
z∈K
∞
X
j=n
|bj (z) − bj+1 (z)|, β(n) = sup kbm kK
m≥n
convergen hacia 0 en virtud
P de las hipótesis. Se sigue que lı́mn δ(n) = 0 y se concluye
como antes que la serie n fn (z) cumple la condición de Cauchy para la convergencia
uniforme sobre K.
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
283
Para terminar basta ver que a) ⇒ b) y que c) ⇒ d): Si se cumple a) y |bn (z)| ≤ M
para todo n ∈ N y todo z ∈ K como la sucesión bn (z) es decreciente se tiene:
m
X
n=1
|bn (z) − bn+1 (z)| = b1 (z) − b2 (z) + b2 (z) − b3 (z) + · · · + bm (z) − bm+1 (z) =
= b1 (z) − bm+1 (z) ≤ 2M
P∞
luego |b1 (z)| + n=1 |bn (z) − bn+1 (z)| ≤ M + 2M = 3M para todo z ∈ K.
Por otra parte, si P
se cumple c) y la sucesión bn (z) es decreciente para cada z ∈ K,
entonces la sucesión m
n=1 |bn (z) − bn+1 (z)| = b1 (z) − bm+1 (z) converge uniformemente
sobre K hacia b1 (z) y por lo tanto se verifica d).
nota: El apartado a) del teorema A.3.5 proporciona el clásico criterio de Abel, [2,
Ejer.9.13]; y el apartado b) es una ligera mejora de este. El apartado c) es el clásico
criterio de Dirichlet, [2, teo. 9.15], y el apartado d) es una versión algo más general del
mismo.
A.3.1.
Ejercicios
Los siguientes ejercicios sobre convergencia uniforme de sucesiones sirven, entre otras
cosas, para insistir en el manejo y las propiedades de las funciones elementales de
variable compleja. Se suponen conocidas la función exponencial ez , la validez de la
ecuación funcional ez+w = ez ew , la función Log(1 + z), su desarrollo en serie de
potencias alrededor de 0 ası́ como las funciones
sen z =
eiz − e−iz
eiz + e−iz
sen z
cos z
, cos z =
, tg z =
, cot z =
2i
2
cos z
sen z
Ejercicio A.3.6 Se supone que la sucesión fn : K → C converge uniformemente sobre
K hacia una función f = u + iv cuya parte real u está acotada superiormente sobre K.
Demuestre que la sucesión efn (z) converge uniformemente sobre K.
solución
Se supone que u(z) ≤ M para todo z ∈ K. Entonces cuando z ∈ K se cumple
|efn (z) − ef (z) | = |ef (z) ||efn (z)−f (z) − 1| ≤
≤ eu(z) |efn (z)−f (z) − 1| ≤ eM |efn (z)−f (z) − 1|
Como ez es continua en z = 0, dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que
|w| < δ ⇒ |ew − 1| < ǫe−M .
Por la convergencia uniforme de fn existe n(δ) ∈ N tal que si n ≥ n(δ) entonces para
todo z ∈ K se cumple |fn (z) − f (z)| < δ. Combinando las dos afirmaciones anteriores se
concluye que para todo n ≥ n(δ) y todo z ∈ K se verifica
|efn (z) − ef (z) | ≤ eM |efn (z)−f (z) − 1| ≤ eM ǫe−M = ǫ
284
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
Ejercicio A.3.7 Establezca las desigualdades
m
|z|
|z|2 e|z|
z m
|z|
|e − 1 +
|≤e − 1+
≤
m
m
m
z
Deduzca de ellas que, para cada R > 0, la sucesión (1 + z/n)n converge hacia ez uniformemente sobre {z : |z| ≤ R}.
solución
ez − (1 + z/m)m = Dm + Rm donde
Dm (z) =
m
X
zn
n=0
z m
− 1+
,
n!
m
Rm (z) =
+∞
X
zn
.
n!
n=m+1
Usando la fórmula del binomio de Newton
m−1
z3
(m − 1)(m − 2)
zm
m!
z2
1−
+
1−
+···+
1− m
Dm (z) =
2!
m
3!
m2
m!
m
Aplicando la desigualdad triangular y teniendo en cuenta que en la expresión anterior los
paréntesis son positivos se obtiene que |Dm (z)| ≤ Dm (|z|).
Por otra parte, es inmediato que |Rm (z)| ≤ Rm (|z|), luego
m
z m |z|
z
|z|
e − 1 +
≤ Dm (|z|) + Rm (|z|) = e − 1 +
m
m
En virtud de la desigualdad 1 + x ≤ ex , válida para todo x ∈ R, se cumple
x m
x m
1+
≤ ex ,
1−
≤ e−x ,
m
m
y cuando 0 ≤ x ≤ m se obtienen las desigualdades
h
x m
x m i
0 ≤ ex − 1 +
≤ ex 1 − e−x 1 +
≤
m
m
m h
x m x m i
x2
x
x
≤e 1− 1−
=
1+
=e 1− 1− 2
m
m
m
"
2
m−1 #
2
2
2
2
x
x
x
x
= ex 2 1 + 1 − 2 + 1 − 2 + · · · + 1 − 2
≤
m
m
m
m
x2
x2 ex
≤ ex 2 m =
m
m
Con x = |z| se obtiene la segunda desigualdad del enunciado. En virtud de las desigualdades establecidas, si |z| ≤ R, se verifica
z m R2 eR
z
e − 1 +
≤
m
m
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
285
luego
z m
lı́m 1 +
= ez uniformemente en {z : |z| ≤ R}.
m
m
nota: En el ejercicio A.3.8 se puede ver otra solución que utiliza el desarrollo en serie de
potencias de Log(1 + z)
Ejercicio A.3.8 Para cada w ∈ C \ {0} sea fw (z) la determinación principal de la potencia (1 + z/w)w , definida para |z| < |w|. Demuestre que lı́mw→∞ fw (z) = ez , y que el
lı́mite es uniforme sobre compactos.
solución
La determinación principal de (1 + z/w)w es ew Log(1+z/w) , luego
|fw (z) − ez | = |ez ||ehw (z) − 1|, donde hw (z) = w Log(1 + z/w) − z.
Si |z| < |w|, usando el desarrollo en serie de potencias de Log(1 + z) en el disco D(0, 1)
se obtiene
1 z2 1 z3
1 z4
hw (z) = −
+
−
+···
2w
3 w2 4 w3
Si |w| > 2R, para todo z ∈ D(0, R) se cumple
R2
|hw (z)| ≤
|w|
1 1 |z|
1 |z|2
+
+
+···
2 3 |w| 4 |w|2
∞
X
C
1
2
≤
con C = R
< +∞
|w|
n2n−2
n=2
Como ez es continua en z = 0, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que
|a| < δ ⇒ |ea − 1| < ǫ/eR .
Cuando |w| > máx{2R, C/δ} se cumple |hw (z)| < δ para todo z ∈ D(0, R), luego
|fw (z) − ez | ≤ eR |ehw (z) − 1| ≤ eR e−R ǫ = ǫ
es decir, lı́mw → ∞ fw (z) = ez uniformemente sobre D(0, R).
(Un resultado análogo se puede ver en el ejercicio A.3.7.)
Ejercicio A.3.9 Demuestre que lı́mn→∞ tg nz = −i, y que para cada ǫ > 0 el lı́mite es
uniforme sobre el semiplano Hǫ := {z : Im z < −ǫ}.
solución
tg nz =
sen nz
1 einz − e−inz
1 ei2nz − 1
=
=
cos nz
i einz + e−inz
i ei2nz + 1
luego
| tg nz + i| = tg nz −
1 ei2nz − 1
2
= i2nz
− 1 = i2nz
i
e
+1
e
+ 1
286
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
de donde se sigue que para todo z ∈ Hǫ se verifica
| tg nz + i| ≤
2
|ei2nz |
−1
=
2
e−2ny
−1
≤
2
−1
e2nǫ
Como la sucesión 2/(e2nǫ − 1) converge hacia 0, la última desigualdad nos asegura que
lı́mn tg nz = −i, uniformemente sobre Hǫ .
Ejercicio A.3.10 Demuestre que la sucesión fn (x) = cotg(x + in) converge hacia −i
uniformemente en R. Deduzca que para todo m ∈ N la sucesión αn (x) = [cot(x + in)]m
converge uniformemente sobre compactos hacia (−i)m .
solución
Para todo z = x + iy se cumple
iz
−2y
e + e−iz
2ei2z ≤ 2e
| cotg z + i| = i iz
+
i
=
ei2z − 1 1 − e−2y
e − e−iz
donde la función h(y) = 2e−2y /(1 − e−2y ) converge hacia 0 cuando y → + ∞. Como para
todo x ∈ R se cumple la desigualdad | cot(x + in) + i| ≤ h(n) se concluye que la sucesión
fn (x) = cot(x + in) converge hacia −i uniformemente respecto de x ∈ R.
La segunda afirmación se obtiene, por inducción sobre m, utilizando que el producto
de dos sucesiones de funciones continuas que convergen uniformemente sobre compactos
también converge uniformemente sobre compactos.
A continuación se expone un repertorio de ejercicios sobre convergencia uniforme relacionados con las series de potencias. Los recursos para resolverlos son, esencialmente,
el criterio de Weierstrass A.3.4 y los criterios de Abel-Dirichlet A.3.5
P∞
n
converge uniforEjercicio A.3.11 Demuestre que la serie de potencias
nz
P∞ n=0 an−1
memente en cada conjunto donde la serie derivada
na
z
es
uniformemente
n
n=1
convergente.
solución
Basta aplicar el apartado a) de A.3.5.
Ejercicio A.3.12 Sea an ∈ R una
decreciente que converge hacia cero. DeP∞sucesión
n
muestre que la serie de potencias
converge uniformemente sobre
n=0 an z
Aδ = {z : |z| ≤ 1, |z − 1| ≥ δ},
0<δ<1
yPque la convergencia no es uniforme sobre Bδ = {z : |z| < 1, 0 < |z − 1| ≤ δ} cuando
∞
n=0 an = +∞.
287
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
solución
Para todo z ∈ Aδ se cumple
|1 + z + z 2 + · · · + z n | =
2
|1 − z n+1 |
≤
|1 − z|
δ
y aplicando el criterio de Dirichlet (apartado c) de A.3.5) se obtiene la convergencia
uniforme sobre Aδ .
Por otra parte, la condición de Cauchy para la convergencia uniforme sobre Bδ implica
la condición de Cauchy para la convergencia uniforme sobre Bδ . Por lo tanto, si la serie
no converge en z = 1 ∈ Bδ , no puede haber convergencia uniforme sobre Bδ .
P∞
n
Ejercicio A.3.13 Si la serie de potencias
converge uniformemente sobre
n=0 an z
E ⊂ {z : |z| = 1}, demuestre que también converge uniformementeP
sobre el conjunto
∞
H = {tz : 0 ≤ t ≤ 1, z ∈ E}. Deduzca el teorema de Abel: Si la serie
n=0 an converge
entonces
∞
∞
X
X
an = lı́m
an r n .
r→1
n=0
Como aplicación calcule
solución
P∞
n=1 (−1)
n+1
n=0
/n.
La hipótesis implica que el radio de convergencia ρ, es mayor o igual que 1. Si ρ > 1
entonces H es un subconjunto compacto de D(0, ρ), y por lo tanto hay convergencia
uniformemente sobre H. Si ρ = 1 basta probar la convergencia uniformemente sobre
M = H \ {0}, pues entonces
convergencia uniforme sobre H = M .
P también habrá
n
Por hipótesis, la serie ∞
a
(z/|z|)
converge
uniformemente sobre M y aplicando
n=1 n
el criterio de Abel (apartado a) de A.3.5) se obtiene que
∞
X
an z n =
n=0
∞
X
n=0
an (z/|z|)n |z|n
converge uniformemente
sobre M.
P∞
P
n
Si la serie n=0 an converge, con E =P
{1} se obtiene que la serie ∞
n=0 an r converge
∞
n
uniformemente sobre [0, 1], luego f (r) = n=0 an r define en [0, 1] una función continua,
y por ello
∞
X
an = f (1) = lı́m f (r)
r → 1
n=0
En particular, si a0 = 0 y an = (−1)n+1 /n, para n ≥ 1, resulta una serie alternada
convergente (en virtud del criterio de Leibniz) En este caso
1
1
f (r) = r − r 2 + r 3 − · · · = ln(1 + r)
2
3
luego
∞
X
(−1)n+1
n=0
n
= lı́m f (r) = ln 2.
r → 1
288
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
P
n
Ejercicio A.3.14 Sea f P
(z) = ∞
n=0 an z , definida en D(0, ρ), donde ρ es el radio de
∞
convergencia. Si la serie
n=0 an converge, demuestre que
lı́m f (z) =
Er ∋z→1
∞
X
an
n=0
donde Er = {z : |z| < 1, |1 − z| ≤ r(1 − |z|)}, y r > 1.
Se dice que M ⊂ D(0, 1) es un conjunto de Stolz si M ⊂ Er para algún r > 1. Si
M está contenido en un conjunto como el indicado en la figura, compruebe que M es un
conjunto de Stolz.
0
1
M
solución
P
La convergencia de la serie ∞
n=0 an implica que ρ ≥ 1. Cuando ρ > 1 es inmediato que
hay convergencia uniforme sobre el compacto Er ⊂ D(0, ρ).
Si ρ = 1 la serie también converge uniformemente sobre Er . En efecto, para cada
z ∈ Er se cumple
1+
∞
X
n=0
|z n − z n+1 | = 1 + |z − 1|
∞
X
n=0
|z|n = 1 +
|z − 1|
≤1+r
1 − |z|
y aplicando el criterio de Dirichlet (apartado c) de A.3.5) se obtiene la convergencia
uniforme sobre Er . Usando la condición de Cauchy es claro que la convergencia uniforme
sobre Er implica la convergencia uniforme sobre Er .
En virtud de la convergencia uniforme, la función suma f es continua sobre Er . Entonces, teniendo en cuenta que 1 ∈ Er (pues r > 1 ⇒ [0, 1) ⊂ Er ) se obtiene
lı́m f (z) = f (1) =
Er ∋z→1
∞
X
an
n=0
Para demostrar que el conjunto M de la figura es un conjunto de Stolz basta ver que
la función h(z) = |z − 1|/(1 − |z|) está acotada sobre M. Como h es continua sobre el
compacto M \ D(1, δ), 0 < δ < 1, basta ver que h está acotada sobre M ∩ D(1, δ) para
algún δ > 0.
Si m = v/(1 − u) y z = x + iy ∈ M se verifica |y/(1 − x)| ≤ m, luego z = x + i(1 − x)p
con |p| ≤ m. Por lo tanto
p
√
|1 − x| 1 + p2
|1 − z|
|1 − x| 1 + m2
p
p
=
≤
= ϕ(x)
1 − |z|
1 − x2 + (1 − x)2 p2
1 − x2 + (1 − x)2 m2
289
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
√
Como lı́mx → 1 ϕ(x) = 1 + m2 se obtiene δ ∈ (0, 1) tal que h está acotada en [1 − δ, 1),
lo que lleva consigo que h está acotada sobre M ∩ D(1, δ).
w = u + iv
z = x + iy
0
1
M
W
δ
P
1/2 n
Ejercicio A.3.15 Demuestre que la serie de potencias ∞
n=0 n z converge absoluta y
uniformemente sobre {z : |z| ≤ 1}. Deduzca de ello que existe una sucesión de polinomios
reales que converge hacia |x| uniformemente sobre [−1, 1].
solución
verifica lı́mn |an /an+1 | = 1, luego el radio de convergencia de la serie
La sucesión an = 1/2
n
de potencias es 1. Según el criterio
Pde Weierstrass para obtener la convergencia uniforme
sobre {z : |z| ≤ 1} basta ver que ∞
n=0 |an | < +∞.
Para todo n ≥ 1 se cumple an = (−1)n+1 |an |, lo que permite calcular, para 0 < r < 1,
la suma de la serie
∞
X
n=0
n
|an |r = 1 −
∞
X
n=1
√
√
an (−r)n = 1 − ( 1 − r − 1) = 2 − 1 − r ≤ 2
Pm
n
La desigualdad P
n=0 |an |r ≤ 2 es válida
P para todo m ∈ N y pasando al lı́mite cuando
m
r → 1 se obtiene n=0 |an | ≤ 2, luego ∞
n=0 |an | ≤ 2.
de lo que se acaba de establecer y del criterio de Weierstrass la serie
P∞En virtud
n
n=0 an t converge
√ uniformemente sobre [−1, 1] donde define una función continua√f que
verifica f (t) = 1 + t, si |t| < 1. Por continuidad también se cumple que f (t) = 1 + t
para todo t ∈ [−1, 1]. Entonces, si x ∈ [−1, 1] se tiene t = x2 − 1 ∈ [−1, 1], luego
|x| =
p
1+
(x2
− 1) =
∞
X
n=0
an (x2 − 1)n
Pm
2
n
es decir,
√ |x| = lı́mn Sm (x − 1) donde Sm (t) = n=0 an t . Como Sm (t) converge 2hacia
f (t) = 1 + t uniformemente en [−1, 1] se sigue que la sucesión de polinomios Sm (x −1)
converge hacia |x| uniformemente sobre [−1, 1].
Ejercicio A.3.16 Sea Ω = {z : |z(1 + z)| < 2} y fn (z) = (z(1 + z)/2)4 .
P
i) Demuestre que la serie f (z) = ∞
n=0 fn (z) converge uniformemente sobre cada subconjunto compacto de Ω y que su suma f admite un desarrollo en serie de potencias
alrededor de 0 con radio de convergencia 1.
n
290
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
P
n
ii) Sea Am (z) = m
n=0 an z la sucesión de las sumas parciales de la serie de potencias considerada en i). Compruebe que la subsucesión Am(n) (z), con m(n) = 22n+1 ,
converge hacia f (z) uniformemente sobre cada compacto K ⊂ Ω.
solución
Dado un compacto K ⊂ Ω, como está recubierto por la sucesión creciente de abiertos
Ωk = {z : |z(z + 1)| < 2 − 1/k}, existe m ∈ N tal que K ⊂ Ωm , luego para todo z ∈ K y
todo n ∈ N se cumple
4n
1
1 n
|fn (z)| ≤ 2−
= ρ4
2
m
con ρ < 1. Aplicando el criterio de Weierstrass se concluye que la serie del enunciado
converge uniformemente sobre K.
Desarrollando fn (z) mediante la fórmula del binomio, la serie se escribe ası́:
1
1
1
(z + z 2 ) + 4 (z 4 + 4z 5 + 6z 6 + 4z 7 + z 8 ) + 16 (z 16 + 16z 17 + · · · + 16z 31 + z 32 ) + · · ·
2
2
2
donde las potencias de z en los P
sucesivos paréntesis no se solapan. Quitando los paréntesis
n
resulta una serie de potencias ∞
n=0 an z que cumple
n
X
fk (z) = Am(n) (z) con m(n) = 22n+1 .
k=0
Si 0 < r < 1 entonces r ∈ Ω, luego
m(n)
X
k=0
m(n)
k
|ak |r =
X
ak r k = Am(n) (r) =
k=0
n
X
k=0
fk (r) ≤ f (r) < +∞
P
k
Se sigue que ∞
k=0 |ak |r < +∞, de modo
Pn que el radio de convergencia es ≤ 1.
Por otra parte, como Am(n) (1) = k=0 fk (1) = n + 1, la serie de potencias no converge
en z = 1, luego su radio de convergencia es exactamente 1. Obsérvese que en los puntos
donde la serie de potencias converge se cumple
∞
X
k=0
k
ak z = lı́m Am(n) (z) = lı́m
n
n
n
X
fk (z) = f (z)
k=0
nota: La frontera de Ω es un óvalo de Casini (el lugar geométrico de los puntos del
plano cuyo producto de distancias a los puntos 1 y −1 es constante = 2) y es claro que
Ω ⊃ D(0, 1) \ {1}. Aunque la serie de potencias no converge en Ω \ D(0, 1), sin embargo
existe una subsucesión de sumas parciales que converge uniformemente sobre compactos
en Ω.
P∞ −1
2 n
Ejercicio A.3.17 Obtenga la región de convergencia de la serie
y
n=1 n (1 − z )
estudie la convergencia uniforme sobre compactos. Obtenga la suma de la serie f (z) y su
desarrollo en serie de potencias alrededor de z = 1.
291
Lecciones de Análisis Complejo. G. Vera
solución
P∞ −1 n
Según el ejercicio A.3.12 para cada δ > 0 la serie de potencias
n=1 n w converge
uniformemente sobre Aδ = {w : |w| ≤ 1, |w − 1| ≥ δ}. Como δ > 0 es arbitrario, la región
de convergencia de esta serie de potencias es
A = {w : |w| ≤ 1, w 6= 1}
y la región de convergencia de la serie del enunciado es
B = {z : |z 2 − 1| ≤ 1, z 6= 0}
√
− 2
√
A
2
1
−1
La convergencia es uniforme sobre cada compacto K ⊂ B. En efecto, como H = {1 − z 2 :
z ∈ K}
subconjunto compacto de A, existe δ > 0 tal que H ⊂ Aδ , luego la
P es un
−1 n
serie ∞
n
w
converge uniformemente sobre H y se sigue que la serie del enunciado
n=1
converge uniformemente sobre K. P
−1 n
Por otra parte, utilizando que ∞
n=1 n w = − Log(1 − w) se obtiene la suma de la
serie
f (z) = − Log z 2
El desarrollo de f (z) en serie de potencias alrededor de z = 1 se obtiene fácilmente a
partir del desarrollo de su derivada
∞
X
−2
2
(1 − z)n si |z − 1| < 1
= −2
f (z) = − =
z
1 − (1 − z)
n=0
′
Como f (1) = 0, se concluye que f (z) =
∞
X
2(−1)n
n=0
n
(z − 1)n .
nota: El radio de convergencia de esta serie de potencias es 1, luego la serie converge en
puntos donde no está definida f .