Capítulo 4. Problemas unidimensionales

Capítulo 4. Problemas unidimensionales
4.1. Partícula encerrada
4.2. Barrera de potencial finita
4.2.1. Energías menores que la barrera, E < V
4.2.1.1. Coeficientes de transmisión y reflexión
4.2.1.2. Probabilidades
4.2.2. Energías mayores que la barrera, E > V
4.2.3. Energía igual a la barrera, E = V
4.3. Paridad
4.4. Pozo Finito
Anexo 4.1. Integración numérica de la ecuación de Schrödinger
4. Problemas unidimensionales
La diferencia entre un sistema y otro está en el tipo de fuerzas, o bien en la forma de
la energía potencial,
F = −∇V ( r) .
Para un sistema de una partícula, en una dimensión, la ecuación de Schrödinger se
expresa como
−
2
d2
+ V ( x ) u E ( x ) = Eu E ( x ) ,
2m dx 2
o bien
u E′′ = 2 m
V ( x) − E
2
uE .
Por lo tanto, el signo de la curvatura de la función u E depende de la diferencia
V ( x ) − E . Cuando E > V ( x ) , u E′′ y u E tienen signos contrarios y la función oscila,
mientras que cuando E < V ( x ) , u E′′ y u E tienen el mismo signo y la función es
monótona. En el Anexo 4.1 se muestra un procedimiento de integración numérica en el
que se refleja este tratamiento cualitativo.
En este capítulo se resuelve la ecuación de valores propios para algunos sistemas
modelo sencillos que permiten analizar comportamientos generales de los sistemas
cuánticos.
4.1. Partícula encerrada
El caso más sencillo de tratar corresponde al de una partícula libre de fuerzas que se
encuentra encerrada en el intervalo [ −a, a] . Esta condición de confinamiento se puede
representar por un potencial con barreras de altura infinita,
V ( x) =
4-2
0, − a ≤ x ≤ a
∞,
x >a
.
En este caso sólo existen estados con energía positiva, ya que la energía total es sólo
energía cinética. Además, por el confinamiento, la partícula sólo puede estar entre las
parades, por lo que
u E ( x ) = 0 , para x > a .
Dentro de las paredes, x < a , el potencial es cero, V ( x ) = 0 , y
u E′′ = − k 2 u E ,
en donde k 2 ≡
2 mE
2
> 0 . La solución general de la ecuación diferencial es una
combinación de funciones trigonométricas,
u E ( x ) = A cos kx + B sin kx ,
en donde A y B son constantes por determinar.
Dado que la solución debe de ser una función contínua, entonces
0 = u E ( a) = A cos ka + B sin ka ,
x=a,
0 = u E ( − a) = A cos ka − B sin ka ,
x = −a .
Sumando ambas condiciones se tiene que 0 = 2 A cos ka y 0 = 2 B sin ka .
La primera solución solución corresponde al caso en que A ≠ 0 , por lo tanto
cos ka = 0 , es decir,
ka =
2m − 1
π.
2
Además, sin ka ≠ 0 , por lo tanto B = 0 . Así, la solución queda en la forma
u E ( x ) = A cos kx ,
k=
2m − 1
π,
2a
m = 1,2,
.
Esta solución corresponde a una función par.
La segunda solución corresponde al caso en que A = 0 , por lo tanto B ≠ 0 y
sin ka = 0 . Así,
4-3
ka = mπ =
2m
π.
2
En este caso la solución toma la forma
u E ( x ) = B sin kx ,
k=
2m
π,
2a
m = 1,2,
.
Observe que ésta es una solución impar.
Para x ≤ a , ambas soluciones pueden escribirse con un único índice,
nπ x
, n impar (solución par )
2a
.
un ( x ) =
nπ x
B sin
, n par (solución impar )
2a
A cos
Para este sistema, k toma sólo algunos valores, k n =
nπ
, por tanto, los valores propios
2a
de la energía forman un espectro discreto,
2 2
kn2
π 2
En =
=
n .
2m
8ma 2
2
Aún es necesario determinar la constante de normalización de las funciones propias.
∞
un ( x ) dx = 1 , se tiene que
2
Partiendo de la condición
−∞
a
1=
−a
A
=
a
2
B sin 2 kxdx
−a
1 + cos 2 kx
dx
2
−a
a
2
A cos 2 kxdx
2
1 − cos 2kx
B
dx
2
−a
a
2
A
2
B
2
sin 2 ka
2k
,
sin 2ka
a−
2k
a+
=
y como 2 k n a = nπ , entonces sin 2 k n a = 0 , por lo tanto A = B =
2
2
1
.
a
Relaciones trigonométricas
4-4
sin 2 α + cos 2 α = 1
cos 2 α − sin 2 α = cos 2α
2 cos 2 α = 1 + cos 2α
2 sin 2 α = 1 − cos 2α
Así, para x ≤ a ,
nπx
,
1
2a
un ( x ) =
nπx
a
sin
,
2a
cos
n impar
.
n par
Al estado de menor energía se le denomina estado basal, en este caso el estado basal
tiene las propiedades siguientes,
1
πx
cos ,
u1 ( x ) =
2a
a
E1 =
2
π2
8ma 2
.
En general, el espectro puede escribirse en la forma,
En = E1 n 2 .
Funciones trigonométricas
Analizando las funciones propias, u n , se puede concluir que un
1)
n máximos igualmente espaciados,
2)
n − 1 nodos dentro de las paredes.
2
presenta:
Los polienos o trans-poliacetilenos son moléculas planas con enlaces dobles
conjugados. Los electrones π se mueven a lo largo de toda la molécula, pero fuera del
4-5
plano que forman los núcleos. El modelo de partículas encerradas en una dimensión
proporciona una descripción cualitativa de los orbitales moleculares para este tipo de
moléculas y se presenta en el material auxiliar Moléculas poliatómicas con dobles enlaces
conjugados en la aproximación de electrones libres.
Las ecuaciones de este modelo se pueden aplicar a un sistema macroscópico
encerrado en una dimensión. Por ejemplo, para un balín, encerrado en un carril sin
fricción, se puede analizar el espectro y la densidad de probabilidad de las funciones
propias. La interpretación adecuada de las predicciones del modelo cuántico permiten
observar que la descripción cuántica del comportamiento de este sistema es similar a la
que proporciona la mecánica clásica.
4.2. Barrera de potencial finita
Ahora se analiza el problema de una partícula libre que choca contra una barrera
finita de potencial. En este caso el potencial tiene la forma
V ( x) =
V, 0 < x < a
,
0, x < 0 ∨ x > a
con V > 0 , por lo tanto E > 0 . Como el potencial está definido en tramos, es necesario
resolver la ecuación diferencial en cada intervalo y posteriormente aplicar las
condiciones de continuidad.
4-6
Dado que el signo de la diferencia V ( x ) − E determina el comportamiento de las
soluciones de la ecuación de valores propios, en conveniente analizar por separado las
soluciones de cada caso.
4.2.1. Energías menores que la barrera, E < V
Para x < 0 , la ecuación diferencial toma la forma
u E′′ = − k 2 u E ,
en donde k 2 ≡
2 mE
2
> 0 , con una solución general que consiste en una combinación
lineal de exponenciales imaginarias,
u E ( x ) = e ikx + Ae − ikx .
Es importante comentar que estas exponenciales, ϕ k = e ikx , son funciones propias del
operador de momento, con valor propio k ,
p x ϕ k = kϕ k .
Por tanto, el primer término de la solución general corresponde a un haz de partículas
que viajan con momento positivo (hacia la barrera), mientras que el segundo puede
asociarse con partículas que rebotan con la barrera. Arbitrariamente se ha asignado
amplitud unitaria al haz de partículas incidentes.
Para 0 < x < a , la ecuación diferencial puede escribirse como
u E′′ = κ 2 u E ,
en donde κ 2 ≡ 2 m
V−E
2
> 0 , con la solución general siguiente,
u E ( x ) = Be −κx + Ceκx .
Finalmente, en el intervalo x > a , se tiene la ecuación diferencial
u E′′ = − k 2 u E ,
con solución general de la forma
4-7
u E ( x ) = De ikx .
En este caso sólo aparece un término debido a que el haz incidente tiene momento
positivo y, en esta región, sólo hay las partículas que se alejan de la barrera.
La condiciones de continuidad de u y u ′ , en x = 0 , toman la forma
ik − ikA = −κB + κC .
1+ A = B + C ,
La factorización de la última condición conduce a
ik (1 − A) = κ ( C − B) ,
κ
1− A =
ik
( C − B) ,
y, combinadola primera, queda una ecuación que sólo incluye a B y C ,
2 = B 1−
κ
+ C 1+
ik
κ
ik
.
(*)
Mientras que la constante A depende de B y C , A = B + C − 1 .
Similarmente, en x = a ,
Be −κa + Ce Κκa = D ika ,
−κB −κa + Ckeκa = ikDe ika .
La segunda condición lleva a
κ
[Ce
ik
κ ( Ceκa − Be −κa ) = ikDe ika ,
κa
]
− Be −κa = De ika .
Eliminado a D , se obtiene otra ecuación que sólo contiene a B y C ,
0 = Be −κa 1 +
κ
ik
+ Ce Κa 1 −
κ
ik
.
(**)
(
)
La constante D depende únicamente de las otras, D = e − ika Be −κa + Ceκa .
La constantes B y C se obtienen resolviendo las ecuaciones (*) y (**), de aquí que
(
)(
B = − Ce 2κa 1 − κ ik 1 + κ ik
4-8
)
−1
.
Propiedades de las funciones hiperbólicas
2 cosh α = e α + e −α
2 sinh α = e α − e −α
cosh 2 α − sinh 2 α = 1
sinh 2α = 2 sinh α cosh α
1 ± e 2 a = e a e − a ± e a e a = e a ( e − a ± e a ) = ± e α ( e − α ± eα )
Así,
2 = − Ce
=C
2κa
(1 − κ ik )
2
(
( ) [
1− κ k
2
)
+ C 1 + κ ik = C
1 + κ ik
(
− e 2κa 1 − κ ik
) + (1 + κ ik )
2
1 + κ ik
2
.
]
1 − e 2κa + 2κ ik (1 + e 2κa )
1 + κ ik
Usando funciones hiperbólicas, la ecuación toma la forma
2=C
( ) ( −e
e ka 2κ 2 cosh κa + ik 1 − κ k
= 2 Ceκa
2
κa
2 sinh κa )
κ + ik
2κk cosh κa + i(κ 2 − k 2 ) sinh κa
,
kκ + ik 2
o bien,
( kκ + ik )e
=
C=
2κk cosh κa + i(κ − k ) sinh κa ( k
2
2
(
−κa
2
( − k + ikκ )e
.
− κ ) sinh κa + 2iκk cosh κa
2
2
− κa
2
)
Sea F ≡ k 2 − κ 2 sinh κa + 2iκk cosh κa , entonces
− k 2 + ikκ −κa
C=
e ,
F
B=
k 2 − ikκ κa k 2 + iκk k 2 + iκk κa
e
=
e ,
F
k 2 − iκk
F
D = e − ika
k 2 + iκk − k 2 + ikκ 2ikκ − ika
=
e ,
F
F
4-9
A=
=
(k
2
+ iκk ) eκa + ( − k 2 + ikκ ) e −κa
F
−1 =
k 2 ( eκa − e −κa ) + ikκ ( eκa + e −κa )
F
−1
2 k 2 sinh κa + 2ikκ cosh κa + (κ 2 − k 2 ) sinh κa − 2iκk cosh κa
(κ
=
2
+ k 2 ) sinh κa
.
F
F
Con estas constantes, las funciones propias toman su forma final,
e ikx +
uE ( x ) =
κ 2 + k2
F
sinh κa e − ikx
, x< 0
k 2 + iκk κ ( a − x ) iκk − k 2 κ ( x − a )
e
e
+
F
F
2ikκ ik ( x − a )
e
F
, 0<x<a.
, x>a
Para x > a se puede observar que la función exponencial tiene un desplazamiento en la
variable x . Este efecto es debido a la interacción con barrera y se le denomina
corrimiento de fase. El análisis de los corrimientos de fase es de gran utilidad para
estudio de las interacciones entre los proyectiles y el blanco.
Una vez que se han obtenido las soluciones, se puede concluir que el espectro es
continuo, ya que no hay ninguna restricción sobre los valores que puede tomar la
energía.
4.2.1.1. Coeficientes de transmisión y reflexión
Al analizar el comportamiento de la función de onda, ésta no es cero en x > a . Por
tanto hay transmisión de partículas a través de la barrera, aún cuando, desde el punto
de vista clásico, no poseen energía suficiente para remontar el obstáculo. Este fenómeno
tiene un origen cuántico y se le denomina efecto tunel.
Los coeficientes de reflexión, R , y transmisión, T , pueden obtenerse a partir del
módulo cuadrado de la función de onda,
4k 2κ 2
T≡ D =
,
2
F
2
en donde
4-10
R≡ A
2
(k
=
2
+ κ 2 ) sinh 2 κa
2
F
2
,
F = ( k 2 − κ 2 ) sinh 2 κa + 4k 2κ 2 cosh 2 κa
2
2
= ( k 4 − 2 k 2κ 2 + κ 4 ) sinh 2 κa + 4 k 2κ 2 (1 + sinh 2 κa) .
= 4 k 2κ 2 + ( k 2 + κ 2 ) sinh 2 κa
2
Por lo tanto,
T=
(k + κ
2
1+
1
)
2 2
sinh κa
1
4 k 2κ 2
R=
,
2
1+
4 k 2κ 2
(k
2
,
+ κ 2 ) sinh 2 κa
2
además, ambos coeficientes satisfacen la ecuación T + R = 1 .
Como κ depende de E y V , podemos separar la dependencia usando una variable
nueva, L2 ≡
2 mV
2
( )
= k 2 + κ 2 , así κ =
L2 − k 2 = L 1 − k L
2
= L 1 − E V , y es posible
expresar al coeficiente de transmisión en términos del cociente E V = ( k L) ,
2
1
T=
4
L sinh
2
1+
4k 2 L2
( )
1 − (k L)
La 1 − k L
1
=
2
1+
2
( )
sinh La 1 − k L
2
k
k
1−
L
L
2
.
2
2
Cuando k << L , se obtiene un comportamiento lineal en E , y exponencial en el ancho
de la barrera,
T≈
1
1 2
sinh La 1 − k 2
2 L
1+
k
1 2
2 1− k 2
L
2 L
≈
2
1
Le La
1+
4k
2
≈ 4
k − La
e
L
2
.
Para energías cercanas a la altura de la barrera, k ≤ L , es conveniente introducir una
( )
medida de esta cercanía, ε ≡ 1 − k L
2
<< 1 , así
4-11
T≈
1
L 1 + Laε − 1 + Laε +......
1+
ε
4k
2
≈
1
L
1+
2 La
4k
2
=
1
La La
1+
2 ka
2
,
por lo tanto, aún cuando la energía es prácticamente igual a la altura de la barrera, el
coeficiente de transmisión no tiende a uno.
4.2.1.2. Probabilidades
Para x < 0 ,
{
}
{
}
1
k 2 + κ 2 ) sinh κae − ikx + ( k 2 − κ 2 ) sinh κae ikx + 2ikκ cosh κae ikx
(
F
1
sinh κa( k 2 2 cos kx − κ 2 2i sin kx ) + 2κk cosh κa( i cos kx − sin kx ) ,
=
F
uk ( x ) =
2
2 k sinh κa cos kx − κk cosh κa sin kx +
=
F i(κk cosh κa cos kx − κ 2 sinh κa sin kx )
por lo que
k 4 sinh 2 κa cos 2 kx − 2κk 3 sinh κa cosh κa cos kx sin kx
uk
2
4
+ k 2κ 2 cosh 2 κa sin 2 kx + k 2κ 2 cosh 2 κa cos 2 kx
2
F
−2κ 3 k cosh κa sinh κa cos kx sin kx + k 4 sinh κa sin kx
=
sinh κa( k cos kx + κ sin kx ) + k κ cosh κa
4
= 2
F − 1 κk ( k 2 + κ 2 ) sin 2 kx sinh 2κa
2
2
4
2
4
2
2
2
2
En el intervalo 0 < x < a ,
uk
2
1
2
F
=
{[2k
2
sinh κ ( x − a)
] + [2κk cosh κ ( x − a)] }
2
4k 2
= 2 {k 2 sinh 2 κ (a − x ) + κ 2 cosh 2 κ (a − x )}
F
Cuando x > a ,
2
uk =
en donde
4-12
4k 2κ 2
,
2
F
2
.
.
L4 sinh 2κa
F =4 k κ +
.
4
2
2
2
Así,
(
)
sinh 2 κa k 4 + L2 (κ 2 − k 2 ) sin 2 kx + κ 2 k 2 cosh 2 κa
1
− κkL2 sinh 2κa sin 2kx
2
uk
2
=
4
4
2
2 2
2
2 k sinh κ ( a − x ) + κ k cosh κ ( a − x )
F
κ 2k 2
,x<0
,0< x <a.
,x>a
u E ( x ) para ka = 0.1,0.2,
2
,0.9 ( La = 1 , a = 1 )
4.2.2. Energías mayores que la barrera, E > V
En este caso, V − E es negativo y
κ 2 = 2m
V−E
2
≡ −κ ′ 2 < 0 ,
por lo que es conveniente hacer el reemplazo κ = iκ ′ en todas la ecuaciones.
4-13
Relación entre funciones
cosh iα =
sinh iα =
(e
(e
1
2
1
2
+ e − iα ) = cos α
cos iα =
− e − iα ) = i sin α
sin iα =
iα
iα
1
2
1
2i
(e
(e
−α
+ e α ) = cosh α
−α
− e α ) = i sinh α
Así,
F ′ = −2κ ′k cosκ ′a + i(k 2 + κ ′ 2 )sin κ ′a ,
κ ′ 2 = −κ 2 = k 2 − L2 ,
C′ = −
1 2
( k + kκ ′)e − iκ ′a ,
F′
B′ =
1 2
( k − kκ ′)e iκ ′a ,
F′
D′ = −
1
2kκ ′e − ika ,
F′
A′ =
i 2
k − κ ′ 2 ) sin κ ′a ,
(
F′
F ′ = 4 k 2κ ′ 2 + ( k 2 − κ ′ 2 ) sin 2 κ ′a ,
2
2
T ′ = D′ =
2
(2kκ ′)
F′
2
2
2
1
=
( k 2 − κ ′ 2 ) sin κ ′a
1+
2
L sin
= 1+
(
k −L a
2
2
)
2
−1
2 k k 2 − L2
.
2 kκ ′
En estas condiciones, nuevamente se tiene un espectro continuo.
De la expresión para el coeficiente de transmisión, T ′ , se puede observar que, en
general, T ′ es menor que la unidad aún cuando las partículas tienen energía mayor que
la barrera, por tanto no todas la atravesarán. Adicionalmenet, T ′ es máximo cuando
sin κ ′a = 0 , Tmax
′ = 1 y R = 0 , esto es, sólo para estos valores de κ ′ no hay reflexión.
Este efecto se ha interpretado como una interferencia total entre las funciones de onda
de la partículas reflejadas por las dos paredes de la barrera. La transmisión total ocurre
cuando κ ′a = nπ , es decir, cuando
nπ
k = L +κ ′ = L +
a
2
2
2
2
2
nπ
E=V+
2m a
2
,
2
.
Observe que estas energías son similares al espectro de una partícula encerrada entre 0 y
a, bajo un potencial constante igual a V. Adicionalmente, para estas energías se tiene que
4-14
A ′ = 0 , por lo que, para x < 0 , u E = e ikx , esto es, no hay reflexión. Para x > a ,
F ′ = ( −1) n +1 2κ ′k y u E = ( −1) e ik ( x − a ) .
n
También hay valores de la energía para los cuales T ′ es un mínimo local. Cuando
sin k ′a = 1 , la reflexión presenta un máximo,
( )
1+ Lk
4
Tmin
′ ≈ 1+ L
4k 4
−1
2
L2
≈ 1+
2k 2
2
−1
≈ 1−
1 L
4 k
4
.
Al aumentar la energía estos valores tienden asintóticamente a uno.
4.2.3. Energía igual a la barrera, E = V
Cuando E = V , κ = 0 , además,
k2 =
2 mE
2
=
2 mV
2
= L2 .
En este caso, las soluciones tienen un comportamiento diferente. Al resolver, se obtiene
que
T0 ≡ D0
2
=
1
1 + ka 2
( )
2
.
Este resultado coincide con el límite calculado en el caso 1.
4.3. Paridad
Sea P el operador de paridad, Pf ( r) = f ( − r) . Sus funciones propias satisfacen la
ecuación valores propios correspondiente,
Pf ( r) = λf ( r) ,
pero,
P 2 f ( r) = λ2 f ( r) = Pf ( − r) = f ( r) ,
entonces, λ2 = 1 , por lo tanto λ= ± 1 y las funciones pares e impares son las funciones
propias del operador de paridad.
4-15
Funciones pares
p( − r) = p( r) .
λ = 1,
Funciones impares
p( − r) = − p( r) .
λ = −1 ,
Si la energía potencial es una función par, V ( − r) = V ( r) , entonces,
( )
P Hf = −
2
2m
P( ∇ 2 f ) + P(Vf ) = −
( )
2
2m
∇ 2− Pf + VPf
,
= H Pf
[ ]
por lo tanto H , P = 0 , y ambos operadores tienen funciones propias comunes.
Teorema: Si la función de energía potencial es simétrica, entonces las funciones
propias de H tienen paridad definida.
Un ejemplo de este caso es el de la partícula encerrada entre −a y a . Al elegir que el
origen esté situado en el centro del recipiente, ocasiona que las funciones propias tengan
paridad.
4.4. Pozo Finito
Finalmente se considera a una partícula dentro de un pozo finito de potencial. La
energía potencial de este problema tiene la forma
4-16
V ( x) =
V,
x >a
0,
x <a
,
con V > 0 , por lo que la energía es positiva, E > 0 .
Dado que este potencial es simétrico, las soluciones tienen paridad definida, por
tanto se pueden separar en soluciones pares e impares.
Considere el caso en que E < V . Al resolver la ecuación diferencial en cada uno de
los segmentos, se obtienen las soluciones siguientes,
k2 ≡
2 mE
2
κ 2 ≡ 2m
>0 ,
x <a,
uE ( x ) =
u E′′ = − k 2 u E ,
>0 ,
C cos kx , par
D sin kx , impar
,
u E ( x ) = Be − kx .
u E′′ = κ 2 u E ,
x > a,
2
u E ( x ) = Aeκx ,
u E′′ = κ 2 u E ,
x < −a ,
V−E
Aplicando las condiciones de continuidad a u y u ′ en cada una de las paredes del
pozo, x = ± a , se tiene que
soluciones pares
soluciones impares
A = B,
−A = B ,
Ae − ka = C cos ka ,
− Ae − ka = D sin ka ,
−κAe − ka = − kC sin ka ,
−κAe − ka = −κD cos ka ,
κa = ka tan ka ,
−κa = ka cot ka ,
tan ka > 0 ,
cot ka < 0 ,
(
)
(n + 1 2)π < ka < ( n + 1)π ,
nπ < ka < n + 1 2 π
L2 ≡
2 mV
2
= κ 2 + k2 > 0,
4-17
( La) 2 = ( ka) 2 ( tan 2 ka + 1)
= ( ka) 2 sec 2 ka
cos ka = ±
,
ka
,
La
nπ < ka < nπ + π 2 ,
( La) 2 = ( ka) 2 ( cot 2 ka + 1)
= ( ka) 2 csc 2 ka
sin ka = ±
,
ka
,
La
nπ + π 2 < ka < nπ + π .
Las ecuaciones que permiten obtener esta parte del espectro son ecuaciones
trascendentes y se requiere de un método numérico para obtener sus soluciones. En el
material auxiliar Espectro discreto del pozo finito unidimensional se muestra un método
sencillo para encontrar las soluciones.
Para energías menores que la altura de la barrera, el espectro del pozo es discreto y
existe al menos un estado que está ligado este potencial (estado ligado).
Para cada energía del espectro, las soluciónes quedan en la forma
A = Ceκa cos ka ,
eκ ( x + a ) cos ka
u E ( x ) = C cos kx
,
e −κ ( x − a ) cos ka
A = − Deκa sin ka ,
− eκ ( x + a ) sin ka , x < − a
u E ( x ) = D sin kx
e −κ ( x − a ) sin ka
,x <a ,
,x > a
en donde los valores de C y D están fijos por la condición de normalización.
A partir de la forma de la función de onda, en la región de las paredes, se puede
concluir que aunque el sistema no tenga energía suficiente para escapar, la probabilidad
de encontrarlo fuera del pozo no es cero, aunque esta probabilidad decae
exponencialmente conforme se aleja de las paredes del pozo.
Al comparar este caso con el de la partícula encerrada, se puede observar que para
garantizar que el sistema que limitado a permanecer dentro de las paredes, el valor de
κ debe ser infinito. Por esta razón, el potencial en las paredes de un sistema confinado
debe ser infinito. Desde el punto de vista microscópico, las paredes impenetrables se
representan por barreras de potencial infinitamente altas
4-18
Para el caso en que la energía es mayor que la altura de la barrera, E > V , las
soluciones son semejantes a las del problema de la barrera y esta parte del espectro es
continua. Por lo tanto, en este problema el espectro tiene una parte continua y una
discreta.
4-19
Anexo 4.1. Integración numérica de la ecuación de Schrödinger
Considere en desarrollo en series de Taylor de f ( x + h) alrededor de x ,
1 2
h f ′′( x ) + O( h 3 ) .
2
f ( x + h) = f ( x ) + hf ′( x ) +
En forma análoga,
1 2
h f ′′( x ) + O( h 3 ) ,
2
f ( x − h) = f ( x ) − hf ′( x ) +
por tanto, sumando ambas ecuaciones se tiene que
f ( x + h) + f ( x − h) = 2 f ( x ) + h 2 f ′′( x ) + O( h 4 ) .
Aplicando esta aproximación a la ecuación de Schrödinger, para h = ∆ , se obtiene la
ecuación de recurrencia siguiente,
Ψ( x + ∆ ) = 2 Ψ( x ) − Ψ( x − ∆ ) + ∆2 Ψ ′′( x ) + O( ∆4 )
= 2 Ψ( x ) + ∆2
2m
2
= 2 Ψ( x ) 1 + ∆2
[V ( x ) − E ]Ψ( x ) − Ψ( x − ∆ ) + O( ∆4 ) .
m
2
[V ( x ) − E ]
− Ψ( x − ∆ ) + O( ∆4 )
Tomando una malla formada por un conjunto de puntos igualmente espaciados,
x i = x 0 + i∆ , se puede calcular la función de onda en estos puntos, Ψi = Ψ( x i ) ,
mediante la ecuación anterior,
Ψi +1 ≈ 2 Ψi 1 + ∆2
m
2
[V ( x ) − E]
i
− Ψi −1 .
Por ejemplo, para el potencial
V ( x ) = 10
la solución para E = 5
2
m
2
m
{
exp −0.5( x − 5)
2
},
, con ∆ = 0.05 , se muestra en la figura siguiente. De acuerdo
con lo esperado, la solución presenta un comportamiento oscilatorio en los extremos de
4-20
la figura, en donde E > V , mientras que la función es monótona en el centro, cuando
E < V . En este capítulo se resuelve el problema de una barrera rectangular y su
solución exacta muestra las mismas características.
10
V
8
R
I
Psi^2
6
4
2
0
0
5
10
-2
-4
4-21