Estimación por Intervalos
En la práctica, interesa no sólo dar una estimación
de un parámetro, sino que además, un intervalo
que permita precisar la incertidumbre existente en
la estimación.
Definición: Sea x m.a. ∝ f ( x , θ ). Sean θ1=T1(x),
θ2=T2(x) dos estadísticas de θ : T1 ≤ T2 ∧ ∀x ∈χ ;
P [θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α = γ
Capítulo 9
Intervalos de
Confianza
Entonces el I = [θ1 ; θ2] se llama intervalo aleatorio
de confianza del 100 γ % para θ ( 0 < α < 1 ).
Estimación por Intervalos
Método de la Cantidad Privotal
Fijado α, el problema de determinar θ1 y θ2 puede
resolverse cuando existe una variable aleatoria
Q(x,θ
θ) cuya distribución esté totalmente definida y
no depende de θ.
1. Encontrar una cantidad Q.
2. P [q1 ≤ Q ≤ q2] = 1 - α = γ
3. Invertir pivoteando P [θ1 ≤ θ ≤ θ2] = γ ,
obteniendo así un intervalo I=[θ
[θ1 ; θ2] de confianza
de θ de nivel 100 γ %.
Q(x,θ
θ) : Cantidad Pivotal
Observación: Para muestras grandes la v.a. Q
ˆ
siempre existe, ya que si θˆMV , entonces θ − θ MV
σ (θˆ MV
)
tiene distribución asintóticamente normal estándar.
Intervalo de Confianza para diferencia
de medias
Supuesto: Poblaciones Normales
P1 :
P2 :
X 1 − µ1
σ 1 n1
(n1 − 1)S12
σ1
2
X1, X2,..., Xn1
Y1, Y2,..., Yn2
~
N (0,1)
~ χ 2 ( n −1)
1
∝
∝
(n2 − 1)S 2 2
σ2
2
~
~
σ2
2
(n1 + n2 − 2 )S P 2
σ
N ( 0,1)
χ 2( n
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S 2 2
σ1
N ( µ1 ,σ
σ21)
N ( µ2 ,σ
σ22)
Y 2 − µ2
σ 2 n2
Asumiendo independencia de las muestras :
Q=
1 1
+
n1 n2
2
Si σ 1 = σ 2
2
2
( X 1 − X 2 ) − (µ1 − µ 2 )
SP
2 −1)
1
~ χ 2 ( n +n −2)
1
2
~ χ 2( n + n −2 )
2
~
2
t (n1 + n2 − 2 )
1
Supongamos que σ 1 ≠ σ 2
2
2
2
2
S
S
I γ ( µ1 − µ 2 ) = ( X 1 − X 2 ) ± t (α , g ) 1 + 2
2
n1
n2
Finalmente:
1 1
+
I γ ( µ1 − µ 2 ) = ( X 1 − X 2 ) ± t (α , n + n − 2 )S P
2 1 2
n
n2
1
Siendo g = n1 + n2 - 2 - ∆
Es un Intervalo de confianza de nivel γ para µ1 - µ2
∆=
grados de libertad
[(n − 1)S − (n − 1)S ]
2
'
1
'
1
2
2
(n2 − 1)S '12 − (n1 − 1)S ' 2 2
S 'i =
Si
ni
i = 1,2
Intervalo de Confianza para σ12/σ
σ22
Recordemos que:
(n1 − 1)S12
σ1
(n2 − 1)S 2 2
~ χ 2 ( n −1)
σ2
1
2
S1 σ 1
2
2
S2 σ 2
2
F=
µ,σ
desconocido
σ2
;
Estadística
Poblaciones Normales
Intervalo
)
N (0,1)
X ± zα
2
(
)
t n −1
X ± tα
2
n X −µ
S
χ 2 n −1
(n − 1 )S 2
σ
2
µ1 - µ2
σ1 ≠ σ2
( X 1 − X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )
SP
Distribución
(
n X −µ
σ
( X 1 − X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )
θ
Resumen: Intervalos de Confianza
F(n1 −1,n2 −1) g .l .
de iguales colas
µ1 - µ2
σ1 = σ2
muestra grande
2
P[Fa ≤ F ≤ Fb ] = γ = 1 − α
Se obtiene el intervalo
Fb = Fα 2
2
Si Fa = Fα
Parámetro
µ,σ
conocido
~
2
~ χ ( n −1)
2
S22 σ 22
= Fa 2 < 2 < Fb S 2 2
σ1
S1
S1
σ 2
I γ 22
σ1
donde
2
2
1
1
+
n1 n 2
2
2
S1
S
+ 2
n1
n2
θ − θˆ MV
σ (θˆ MV )
t n1 +n2 − 2
t n1 +n2 − ∆ − 2
N (0,1)
σ
n
S
n
(n − 1 )S 2 (n − 1 )S 2
;
χ2
χ 2 α 2
1−α 2
( X 1 − X 2 ) ± tα 2 SP
1 1
+
n1 n2
( X 1 − X 2 ) ± tα 2
2
2
S1 S2
+
n1 n2
θˆ MV ± z α 2σ (θˆ MV
)
2
0
