Intervalos de Confianza

Estimación por Intervalos
En la práctica, interesa no sólo dar una estimación
de un parámetro, sino que además, un intervalo
que permita precisar la incertidumbre existente en
la estimación.
Definición: Sea x m.a. ∝ f ( x , θ ). Sean θ1=T1(x),
θ2=T2(x) dos estadísticas de θ : T1 ≤ T2 ∧ ∀x ∈χ ;
P [θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α = γ
Capítulo 9
Intervalos de
Confianza
Entonces el I = [θ1 ; θ2] se llama intervalo aleatorio
de confianza del 100 γ % para θ ( 0 < α < 1 ).
Estimación por Intervalos
Método de la Cantidad Privotal
Fijado α, el problema de determinar θ1 y θ2 puede
resolverse cuando existe una variable aleatoria
Q(x,θ
θ) cuya distribución esté totalmente definida y
no depende de θ.
1. Encontrar una cantidad Q.
2. P [q1 ≤ Q ≤ q2] = 1 - α = γ
3. Invertir pivoteando P [θ1 ≤ θ ≤ θ2] = γ ,
obteniendo así un intervalo I=[θ
[θ1 ; θ2] de confianza
de θ de nivel 100 γ %.
Q(x,θ
θ) : Cantidad Pivotal
Observación: Para muestras grandes la v.a. Q
ˆ
siempre existe, ya que si θˆMV , entonces θ − θ MV
σ (θˆ MV
)
tiene distribución asintóticamente normal estándar.
Intervalo de Confianza para diferencia
de medias
Supuesto: Poblaciones Normales
P1 :
P2 :
X 1 − µ1
σ 1 n1
(n1 − 1)S12
σ1
2
X1, X2,..., Xn1
Y1, Y2,..., Yn2
~
N (0,1)
~ χ 2 ( n −1)
1
∝
∝
(n2 − 1)S 2 2
σ2
2
~
~
σ2
2
(n1 + n2 − 2 )S P 2
σ
N ( 0,1)
χ 2( n
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S 2 2
σ1
N ( µ1 ,σ
σ21)
N ( µ2 ,σ
σ22)
Y 2 − µ2
σ 2 n2
Asumiendo independencia de las muestras :
Q=
1 1
+
n1 n2
2
Si σ 1 = σ 2
2
2
( X 1 − X 2 ) − (µ1 − µ 2 )
SP
2 −1)
1
~ χ 2 ( n +n −2)
1
2
~ χ 2( n + n −2 )
2
~
2
t (n1 + n2 − 2 )
1
Supongamos que σ 1 ≠ σ 2
2
2
2
2

S
S 
I γ ( µ1 − µ 2 ) = ( X 1 − X 2 ) ± t (α , g ) 1 + 2 
2
n1
n2 


Finalmente:

1 1
+ 
I γ ( µ1 − µ 2 ) = ( X 1 − X 2 ) ± t (α , n + n − 2 )S P
2 1 2
n
n2 
1

Siendo g = n1 + n2 - 2 - ∆
Es un Intervalo de confianza de nivel γ para µ1 - µ2
∆=
grados de libertad
[(n − 1)S − (n − 1)S ]
2
'
1
'
1
2
2
(n2 − 1)S '12 − (n1 − 1)S ' 2 2
S 'i =
Si
ni
i = 1,2
Intervalo de Confianza para σ12/σ
σ22
Recordemos que:
(n1 − 1)S12
σ1
(n2 − 1)S 2 2
~ χ 2 ( n −1)
σ2
1
2
S1 σ 1
2
2
S2 σ 2
2
F=
µ,σ
desconocido
σ2
;
Estadística
Poblaciones Normales
Intervalo
)
N (0,1)
X ± zα
2
(
)
t n −1
X ± tα
2
n X −µ
S
χ 2 n −1
(n − 1 )S 2
σ
2
µ1 - µ2
σ1 ≠ σ2
( X 1 − X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )
SP
Distribución
(
n X −µ
σ
( X 1 − X 2 ) − (µ 1 − µ 2 )
θ
Resumen: Intervalos de Confianza
F(n1 −1,n2 −1) g .l .
de iguales colas
µ1 - µ2
σ1 = σ2
muestra grande
2
P[Fa ≤ F ≤ Fb ] = γ = 1 − α
Se obtiene el intervalo
Fb = Fα 2
2
Si Fa = Fα
Parámetro
µ,σ
conocido
~
2
~ χ ( n −1)
2

  S22 σ 22
 =  Fa 2 < 2 < Fb S 2 2 

σ1
S1 
  S1
σ 2
I γ  22
 σ1
donde
2
2
1
1
+
n1 n 2
2
2
S1
S
+ 2
n1
n2
θ − θˆ MV
σ (θˆ MV )
t n1 +n2 − 2
t n1 +n2 − ∆ − 2
N (0,1)
σ
n
S
n
 (n − 1 )S 2 (n − 1 )S 2 
;
 χ2
χ 2 α 2 
1−α 2

( X 1 − X 2 ) ± tα 2 SP
1 1
+
n1 n2
( X 1 − X 2 ) ± tα 2
2
2
S1 S2
+
n1 n2
θˆ MV ± z α 2σ (θˆ MV
)
2