Desafío 50 - Rectas secantes

Desafío 50 ‐ Rectas secantes Trazamos N rectas secantes de modo que en un mismo punto no concurran más de dos. Una recta divide el plano en dos regiones; 2 rectas en 4; … ¿Cuántas regiones lograremos con N rectas? Solución El número de regiones o zonas Z(N) en que queda dividido el plano viene dado por esta expresión: Z(N) = 1+ N*(N+1)/2 Demostración Relacionando Z(N) con Z(N‐1) Supongamos N rectas secantes entre ellas, de modo que en un mismo punto no concurran más de dos de ellas. Tomemos un sistema de ejes cartesianos tal que ninguna recta sea paralela a ninguno de los ejes. Tomemos una cualquiera de las rectas, que llamaremos R. Tiene que interseccionar a todas las demás, y a cada una en un punto diferente. Por tanto habrá N‐1 puntos de intersección. Llamemos Pk a la sucesión de estos N‐1 puntos, numerados de 1 a N‐1, y ordenados de modo que las coordenadas X de los puntos sean crecientes. Es decir, P1 será el punto de intersección de la recta R con alguna otra con la coordenada X más baja, y PN‐1 será el punto de intersección de la recta R con alguna otra con la coordenada X más alta. En este caso, podemos separar la recta R en las siguientes N entidades:  Una semirecta desde ‐∞ al punto P1  Un segmento del punto P1 al punto P2  Un segmento del punto P2 al punto P3  ....  Un segmento del punto PN‐2 al punto PN‐1  Una semirecta del punto PN‐1 a +∞ Pues bien, cada una de las semirectas o segmentos anteriores divide en 2 una de las zonas en que el plano quedaba dividido con las N‐1 otras rectas. Es decir, la recta R no atraviesa todas las zonas definidas por las demás rectas, pero si N de ellas. Por tanto el número de zonas en que queda divido el plano con las N‐1 rectas se incrementa en N añadir la recta R. En consecuencia podemos escribir: Z(N) = Z(N‐1) + N Obteniendo una fórmula para Z(N) Los primeros valores de Z(N) se muestran en esta tabla: N Fórmula Z(N)
1 Z(1) = 2 2 2 Z(2) = Z(1) + 2 4 3 Z(3) = Z(2) + 3 7 4 Z(4) = Z(3) + 4 11 5 Z(5) = Z(4) + 5 16 6 Z(6) = Z(5) + 6 22 Para obtener una fórmula para Z(N), desarrollamos Z(N) en función de Z(N‐1), Z(N‐1) en función de Z(N‐2), etc. Z(N) = Z(N‐1) + N = Z(N‐2) + (N‐1) + N = Z(N‐3) + (N‐2) + (N‐1) + N = .... = Z(1) + 2 + 3 + ... + (N‐1) + N Puesto que sabemos que Z(1)=2 (una recta divide el plano en dos zonas), podemos escribir Z(1) como 1+1 y expresar Z(N) como: 1
1
∗
1 /2 Un ejemplo gráfico En la siguiente figura vemos 5 rectas secantes. Estas dividen el plano en un total de 16 zonas, de las cuales hemos coloreado 6 y dejado con fondo blanco 10. En la siguiente figura hemos añadido una sexta recta secante R, que intersecciona a las demás en los puntos designados como P1, P2, P3, P4, P5. Cada segmento entre dos de estos puntos separa en dos las zonas coloreadas de rosa, verde, azul y naranja. La semirecta desde ‐∞ hasta el punto P1 separa en dos las zona amarilla y la semirecta desde P5 hasta +∞ separa en dos la zona marrón. Al añadir la sexta recta hemos dividido en dos cada una de las 6 zonas coloreadas, y por tanto hemos incrementado en 6 el número de zonas totales en que queda dividido el plano. De ahí que Z(6) = Z(5) + 6. En este caso se llegará a un total de 22 zonas: las 10 que estaban en fondo blanco que no se ven afectadas por la nueva recta y 12 correspondientes a las zonas coloreadas: 2 en amarillo, 2 en rosa, 2 en verde, 2 en azul, 2 en naranja y 2 en marrón. Antes de agregar la recta R, las del mismo color formaban una única zona.