3 Potencias y raíces de números reales.

3
1
Potencias y raíces de números
reales.
Potencias de exponente natural.
Definición.
El producto a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a tiene sus siete factores iguales. Este producto se puede
indicar de forma abreviada como a 7 .
a 7 se llama potencia, y al factor a, base.
El número de veces que se repite el factor se llama exponente.
La potencia x2 se llama cuadrado, y la potencia x3, cubo. Las siguientes se llaman cuarta,
quinta, sexta ….y, en general, enésima potencia.
La potencia an, (n > 1), es el producto de n factores iguales a la base:
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ L ⋅ a (n veces)
Las propiedades.
El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por
base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
a m ⋅ a n = a m+ n
El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por
base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.
a m : a n = a m− n
El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que
tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo.
a m ⋅ b m = ( a ⋅ b) m
El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que
tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo.
a m : b m = ( a : b) m
La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y
por exponente el producto de los exponentes.
(a )
m n
2
= a mn
Potencias de exponente entero.
Las potencias de exponente entero se definen así:
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ L ⋅ a (n > 1)
a1 = a
a0 = 1
a −m =
1
am
( m > 0)
Con esta definición, las propiedades de estas potencias son las mismas que las de las
potencias de exponente natural.
3
Potencias de 10. Notación científica.
Un número en notación científica N = a,bcd…. 10n consta de:
Una parte entera formada por una sola cifra no nula.
Una parte decimal.
Una potencia de base 10 con exponente entero.
En esta notación el exponente indica el orden de la magnitud.
Ejemplos:
La velocidad de la luz 300.000.000 m/s = 3 ⋅ 100.000.000 = 3 ⋅ 10 9 m
La masa de la Tierra 5,98 ⋅ 10 Kg
24
Un año luz 9,46 ⋅ 1015 m
La masa de un protón 1,69 ⋅ 10 −28 Kg
s
4
Raíz de un número.
¿Qué número positivo multiplicado por sí mismo tres veces da 49?
El número es 3 49 y se llama raíz cúbica de 49
n
a = b ⇔ b n = a, n es un número natial.
En n a ; n se llama índice;
5
, radical , y a radicando
Número de raíces. Radicales equivalentes.
Número de raíces.
Si el índice es par hay tres posibilidades:
Radicando positivo: existen dos raíces opuestas. 36 = ±6
Radicando igual a 0: tiene por raíz 0.
Radicando negativo: no tiene raíces, ya que todo número elevado a una
potencia de exponente par es positivo.
Si el índice es impar, todo número tiene una sola raíz: positiva, si el radicando es
positivo; negativa, si el radicando es negativo, y nula si el radicando es 0.
Ejemplo:
3
27 = 3;
3
0 = 0;
3
− 27 = −3
Radicales iguales o equivalentes. Comparación.
Los radicales 7 = 2 71 = 4 7 2 = 6 7 3 = L = 2,645K Estos radicales se dice que
son iguales o equivalentes.
Dos radicales son iguales o equivalentes si tienen las mismas raíces.
Si se multiplica o se divide el índice de un radical y el exponente del radicando por un
mismo número natural distinto de cero, se obtiene otro radical equivalente.
n
a m = nk a mk
Esta regla permite: simplificar radicales, obtener dos radicales con el mismo índice y
comparar radicales.
De los radicales 3 10 2 y 4 10 3 se puede pasar a 12 10 8 y
índice y exponente por 4 en el primer radical y por 3 en el segundo.
12
10 9 multiplicando
De dos radicales con el mismo índice es mayor el que tiene mayor radicando.
6
Potencias de exponente fraccionario.
Observemos lo que ocurre al aplicar la definición de raíz y la propiedad del producto de
potencias de la misma base:
Aplicando la propiedad del
producto de potencias de la
misma base
Aplicando la definición de raíz
1
2
a⋅ a =a
3
1
2
a ⋅a = a
1
3
a ⋅3 a ⋅3 a = a
1
3
1
3
1 1
+
2 2
a ⋅a ⋅a = a
Si los resultados son iguales,
los factores también deben
serlo
1
a2 = a
=a =a
1
1 1 1
+ +
3 3 3
1
a3 = 3 a
= a1 = a
Estas igualdades permiten definir, en general, las potencias de exponente
1
n
1
an = n a
3
( )
a2 = a2
1
3
=a
2⋅
1
3
2
= a3
m
a n = n am
7
( )
a = a
3
1
3 7
=a
3⋅
1
7
=a
3
7
Una potencia de exponente fraccionario es igual a un radical donde :
El denominador de la fracción es el índice de la raíz, y
El numerador de la fracción es el exponente del radicando.
La igualdad de radicales se puede establecer a partir de la igualdad de potencias de
exponente fraccionario:
Dos potencias de exponente fraccionario son iguales o equivalentes si los radicales
correspondientes lo son , o también, si las fracciones de estas potencias son equivalentes:
n
a
m
= a ⇔a
q
p
m
n
p
q
=a ⇔
m p
=
n q
Esta propiedad permite simplificar, obtener potencias con el mismo índice y
comparar potencias. El proceso es similar al utilizado con fracciones.
7
Propiedades de los radicales.
El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice
el común (el mismo) y por radicando el producto de los radicandos.
n
a ⋅ n b = n a ⋅b
2⋅ 3 = 6
El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice
el común (el mismo) y por radicando el cociente de los radicandos.
n
a :n b = n a:b
4
21 : 4 7 = 4 3
La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo y por radicando
la potencia del radicando.
( a)
n
m
= n am
( 6)
3
= 6 3 = 216
La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y por
radicando el mismo.
m n
a = mn a
3 2
12 = 6 12
Las propiedades de los radicales permiten introducir números en un radical. Así:
2 3 = 4 ⋅ 3 = 12
23 5 = 3 8 3 5 = 3 40
El proceso contrario, es decir, sacar fuera del radical los factores que son raíces
exactas, será:
200 = 100 ⋅ 2 = 100 ⋅ 2 = 10 ⋅ 2
4
8
810 = 4 81 ⋅ 10 = 4 81 ⋅ 4 10 = 3 ⋅ 4 10
Cálculo con potencias y raíces.
Propiedades de las potencias de exponente fraccionario.
Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades que las potencias
de exponente entero.
Las operaciones con radicales se simplifican si se pasan a potencias de exponente
fraccionario.
2
5
1
2
a m ⋅ a n = a m+ n
3 ⋅3 = 3
1 2
+
2 5
=3
9
10
1
3
2
5
3
7 ⋅ 7 = 7 ⋅7 = 7
3
8 ⋅ 5 83 = 8 3 ⋅ 8 5 = 8 3
5
2
1
a :a = a
m
n
m− n
m
a m : b m = (a : b )
(a )
2
5
5
7
5
7
3 :3 = 3
a m ⋅ b m = (a ⋅ b )
m n
1
2
1 2
−
2 5
=3
1
10
5
7
5
5
5
7
−4
= 15 711
= 8 15 =
1
5
1
3
1
3
4
15
=
1
15
8 ⋅ 9 = 8 ⋅ 9 = (8 ⋅ 9 ) = 72 = 3 72
7
14 : 7 7 = 14 7 : 7 7 = (14 : 7 ) 7 = 2 7 = 7 2
3
84
1
3
3
1
3
5
12 7 ⋅ 4 7 = (12 : 4) 7 = 3 7
1
1
1
1
1
3
3
 12  7
 3  = 314
 
 
= a mn
1 3
−
5
=7
11
15
8
3 ⋅ 6 = (3 ⋅ 6) = 18
m
3
1 2
+
3 5
3 3
11
1
⋅
 1 3
8 =  8 3  = 8 3 3 = 8 9 = 9 8
 
Racionalización.
En los cálculos conviene evitar denominadores con raíces. El proceso de quitar las raíces del
denominador se denomina racionalización. Mediante este proceso se obtiene como
denominador un número racional.
Casos:
a) El denominador es una raíz cuadrada: Se multiplica el numerador y el
denominador por el denominador.
Ejemplo:
3
2
3⋅ 2
=
2⋅ 2
=
3 2
2
b) El denominador es una suma o diferencia de raíces cuadradas. Se multiplica el
numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Ejemplo:
3
5− 2
=
(
3⋅
(
5+ 2
)(
5− 2 ⋅
)
5+ 2
)
=
3⋅
(
)
5+ 2
3⋅
=
5−2
(
)
5+ 2
= 5+ 2
3
Sumas y restas con radicales. Radicales semejantes.
Las operaciones de sumar y restar radicales sólo pueden efectuarse en el caso de ser
éstos radicales semejantes.
Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo
radicando y varían únicamente en su coeficiente.
Por ejemplo: 2 3; − 5 3; 7 3 son radicales semejantes.
Para realizar una suma algebraica de radicales debemos hallar los radicales semejantes
sacando fuera de la raíz los factores posibles, operar con los coeficientes y dejar el radical.
Así:
2 + 3 18 − 32 = 2 + 3 9 ⋅ 2 − 16 ⋅ 2 = 2 + 3 ⋅ 3 2 − 4 2 = 2 + 9 2 − 4 2 =
= (1 + 9 − 4 ) 2 = 6 2
Producto y cociente de radicales.
Para multiplicar o dividir radicales es necesario que estén expresados con el mismo índice.
Una vez hecho esto, se utilizan las propiedades de los radicales para operar.
Por ejemplo:
a)
2 ⋅ 3 15 = 6 23 ⋅ 6 152 = 6 8 ⋅ 6 225 = 6 1800
b)
6 : 6 3 = 6 36 : 6 3 = 6 12
Extracción o introducción de factores dentro del radical.
Para sacar fuera del radical se descompone el radicando en producto de potencias con
exponente el índice de la raíz; luego se aplica la propiedad del producto de radicales.
Realizando el proceso contrario, se pueden introducir factores dentro de una raíz.
Por ejemplo:
a) Extracción de factores
18 = 32 ⋅ 2 = 32 ⋅ 2 = 3 2
b) Introducción de factores
2 ⋅ 3 3 = 3 23 ⋅ 3 3 = 3 8 ⋅ 3 = 3 24
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PARA RESOLVER UN PROBLEMA………
Simplificar el problema.
Utilizar un diagrama de árbol.
Redondear los resultados.
Generalizar los resultados parciales.
PROBLEMA: Los alumnos de tercero C discuten sobre el número de quinielas necesarias para
acertar los catorce resultados de una jornada de fútbol. Después de ciertos tanteos comprueban
que las potencias son esenciales para expresar de forma sencilla los resultados parciales y el
total ¿Cuántas quinielas diferentes son necesarias para tener la certeza de acertar?
SIMPLIFICAR EL PROBLEMA:
Para resolver el problema se puede empezar reduciendo su dificultad. Es decir intentarlo
con cantidades más pequeñas. Así: ¿Cuántos resultados posibles se pueden dar en un sólo
partido? ¿Y con dos partidos? ¿Y con tres?
UTILIZAR LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL:
Si la quiniela fuera de un solo partido los resultados serían:
Si la quiniela fuera de dos partidos, los resultados serían:
1
x
2
1
x
2
3
3
El número de quinielas al pasar de un problema parcial al siguiente queda multiplicado
por 3. Así si el número de partidos es 5 el número de quinielas es 3 — 3 —3 — 3 — 3 = 35
GENERALIZAR LOS RESULTADOS:
Los resultados parciales sucesivos se pueden escribir:
Para un partido 3
Para dos partidos 3 — 3 = 32
Para tres partidos 3 — 3 — 3 = 33
Para cuatro partidos 3 — 3 — 3 — 3 = 34
Para catorce partidos 314
Y para el pleno al quince serían: 315 = 14348907 quinielas.
ACTIVIDADES
1.- Calcular: (-5)2 =
36/34 =
1
x
2
3
(92)3 =
(-7)4 =
73 — 52 =
2.- Hallar el valor de las potencias:
93/43 =
54—53 =
1
c) 7 −2
d ) 12 −3 : 4 −3
e) 7 − 2 ⋅ 7 2
3 −1
3.- Indicar el orden de magnitud de las siguientes medidas:
a) La masa del Sol es: 1,98 1030 Kg.
b) La masa del electrón es: 1,67 10-27 Kg
c) La longitud del paramecio es: 2,5 10-5 m.
a ) 3 −1
b)
4.- Realizar las siguientes operaciones:
a) 3,74 ⋅ 10 −10 ⋅ 1,8 ⋅ 1018 =
b) 5,42 ⋅ 10 8 ⋅ 6,8 ⋅ 1012
5.- ¿Entre qué números enteros se encuentra la raíz cúbica de 174?
8
6.- Expresa en forma de potencia la relación
7.- Simplificar los siguientes radicales:
8.- Reducir a índice común y ordenar:
2
6
23 ;
b) 4
−
12
4
2 ;
3
9.- Calcular: a) 4 2
23 = x
54 ;
23 ;
18
6
a 12
25
3
2
10.- Hallar la suma de los siguientes radicales:
2 + 4 18 − 32 − 3 4 =
5 + 180 − 80 =
11.- Simplificar:
a)
4
32
b)
8
54
c)
9
27
12.- Calcular las siguientes potencias:
 12  15
a) 810, 75
b)  8 15 
  18
13.- racionalizar:
2
7
a)
b)
3
3+ 2
14.- Escribir como potencia única:
a) 6 5 ⋅ 6 2 ⋅ 6 3 =
b) 8 7 ⋅ 8 5 =
d) (− x ) ⋅ (− x ) =
2
5
e) x 9 : x 7 =
15.- Escribir en notación científica:
a) 1230 000 000 000 000
b) 0, 000 000 000 001230
16.- Escribir en notación ordinaria:
d)
5
1024
c)
3
86
c) (− 3) ⋅ (− 3) =
5
f) 5 8 : 5 3 =
4
f)
82
8 −2
a) 1,23 106
b) 6,78 10-4
17.- Simplificar:
a)
6
24
6
b)
4
c)
125
32
d)
8
54
e)
9
27
f)
5
1024
18.- Simplificar las potencias:
4
6
1
1
a) 2 8
b) 7 12
c) 125 6
d) 1024 5
19.- Reducir a índice común:
a) 3 7 ; 5 4 ; 5 2
b)
7 ; 3 4; 2
5
20.- ¿Cuál es mayor de estos radicales
21.- Calcular:
1
2
2 ⋅ 32 ;
2 ⋅8 ;
3
3
c)
5
8 ; 6 15 ; 4 9
5; 4 7 ?
9 ⋅ 3 3;
2 ⋅ 15
22.- Introduce en el radical los números que están fuera:
a) 2 2 ; 7 3; 2 5 ; 11 7
b) 3 2 ; 3 3; 5 5 ; 6 7
23.- Sacar fuera del radical todos los factores posibles:
a)
8 ; 18 ; 12 ;
50
b)
98 ;
128 ;
162 ;
200
24.- Calcular los siguientes cocientes de radicales:
a)
32 . 2 ;
8. 2 ; 3 81 : 3 9
b)
15. 3;
3
3. 4 ;
2 :3 5
25.- Realizar las siguientes operaciones:
a)
3 + 12 + 27 − 75
b)
20 + 5 + 500 − 80
c)
d)
24 − 5 6 + 486
3
54 − 3 16 + 3 250
26.- Realizar las siguientes operaciones utilizando radicales y potencias de exponente
fraccionario:
a) 2 ⋅ 3 15
b) 2 ⋅ 5 3
27.- Realizar las siguientes operaciones:
a) 2 + 3 5 3 − 8 5
b)
(
)(
(2 + 3 5 )
2
)
c)
(2 − 3 5 )
2
2
3
1
2
−
1
5
28.- Escribir como radical: 2 ; 7 ; 9 ; 8
29.- Escribir como potencias:
3;
3
52 ;
30.- Realizar las siguientes operaciones:
3
2
18
1
1
− 4 12 ;
+
;
+
;
16
3
75
2
8
−
2
3
7 −1 ;
3
9 −2 ;
6
5 −2 ;
10
135
5
10
−
12
6
31.- Calcular las siguientes potencias.
15
12
24 18
 30

 69  4
0 , 25


16 ; 81 ; 625 ;  8  ;  7 


 
32.- Escribir en forma potencial las siguientes expresiones:
3
2
9
12
( x) ;
1
3
5
3
x
33.- El volumen de un cubo es 24 cm3. ¿Cuánto vale el volumen del cubo cuyo lado es el
doble?
34.- Se sabe que el cociente de dos números es 13 ¿Cuánto vale el cociente de sus
cuadrados?
35.- Un cubo tiene 729 cm3 de volumen. Hallar la arista del cubo y la suma de las áreas de
todas sus caras.
36.- El área de un cuadrado mide 50 cm2 ¿cuál es el área del cuadrado construido sobre
su diagonal?
37.- Expresar en notación científica los segundos de un año.
38.- Calcular los Km que recorre la luz en un año. Escribirlo en notación científica con dos
decimales. (Un año, 365 días; velocidad de la luz, 300.000 Km/s).
39.- El átomo de hidrógeno pesa 1,66 10-24 g. ¿Cuántos se necesitan para obtener 1,66
Kg?.
40.- La masa de la Tierra es 5,98 1024 Kg y la del Sol, 1,98 1030 Kg ¿Cuántas veces es
mayor el Sol que la Tierra?
41.- Un paramecio mide 2,5 10-5 m. Si estuvieran colocados en línea recta, ¿qué longitud
alcanzaría 1 millón de paramecios?
42.- Si a un número x lo multiplicamos por 2. ¿Cuánto aumenta su cuadrado? ¿Y su cubo?
¿Y si le añadimos una unidad?
43.- Arquímedes se planteó el siguiente problema: “Si la Tierra estuviera formada por
granos de arena, ¿cuántos tendría? Datos: Longitud del ecuador 40.000 Km. Número de
granos de arena que entran en un mm3: 100. Expresar el resultado en notación científica.
44.- Calcular el área aproximada, en metros cuadrados, de la Tierra, tomando como radio
6.500 Km y el número π = 3,14 . Escribir el resultado en forma científica con tres cifras
decimales.