CAPITULO VII: MEDIDAS DE DISPERSION

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN
Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área
de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más
reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas.
Universidad Católica “Andrés Bello” : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003
Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde
1993 al presente
Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente
Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987
Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004
Sus datos personales son :
Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947
Correo electrónico: [email protected]
Teléfono: 58 416 6357636
Estudios realizados:
Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968
Máster en Estadística Matemática CIENES , Universidad de Chile 1972
Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan
1982
Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al
Presente
El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la
Universidad Católica “Andrés Bello”
(1974-1979) , Coordinador de los
Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad,
Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB
1998.
En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales
en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”.
Para más información consulte la página web. www.arvelo.com.ve
2
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
MEDIDAS DE DISPERSION
Las medidas que hasta ahora conocemos, medias, moda, percentiles, etc., tienen
todas ellas la propiedad de ubicarse siempre entre los dos valores extremos de los
datos, mínimo y máximo, pues indican posición, bien sea central, o bien sea
extrema como por ejemplo el percentil 5 , o el percentil 95.
Las medidas que van a ser estudiadas en este capítulo no gozan de esta
propiedad, y persiguen como objetivo describir la homogeneidad o heterogeneidad
de los datos.
Las medidas de tendencia central son insuficientes para describir el
comportamiento de los datos, pues no proporcionan información acerca de cuan
cerca o cuan lejos se encuentran estos datos, con relación a ese valor central.
Así por ejemplo el trío de datos {8 , 9 , 10 } y { 1 , 10 , 16 } tienen ambos media 9;
pero resulta obvio, que en el primero de ellos existe una menor desviación con
respecto a este valor central, que en el segundo.
Medir la variabilidad resulta muy importante en diversas situaciones prácticas,
pues a través de su medición se podrán comparar conjuntos de datos, y
establecer cuando existe una mayor concentración de ellos en la región central.
Así por ejemplo, en estudios sociales las medidas de dispersión proporcionan la
información requerida para analizar como es la distribución de los ingresos dentro
de la sociedad; en los estudios de calidad industrial, estas mismas medidas de
dispersión se utilizan para medir la precisión de las máquinas utilizadas en el
proceso de producción.
Antes de comenzar a analizar las medidas de dispersión, se recomienda revisar
las propiedades de la media aritmética. (Véase Medidas de Tendencia Central.
Arvelo)
1 Varianza y Desviación Típica: Cuando se tiene un conjunto de datos {
x1, x2 ,x3 , ......, xn} sin agrupar, se define como desvío de cada dato con relación a
su media aritmética , a la diferencia : di= xi - X .
Aunque los desvíos pueden ser calculados respecto de cualquier valor, salvo que
se indique lo contrario, se sobreentiende que estos se calculan respecto de X , y
como sabemos, la suma de sus cuadrados es mínima, cuando estos desvíos se
calculan respecto de la media aritmética
Cuanto mayor sea este desvío, mas alejado se encuentra el dato xi de X .
Estos desvíos pueden ser positivos o negativos, según el dato xi se encuentre a la
derecha o la izquierda de X , y su suma algebraica da siempre cero.
En consecuencia, no se puede tomar al promedio de los desvíos como medida de
dispersión, debido a que este promedio sería siempre nulo.
El problema del signo de los desvíos puede ser resuelto de dos maneras, o bien
tomando su valor absoluto, o como segunda opción elevándolos al cuadrado.
Para definir la varianza, se adopta esta segunda alternativa.
3
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
La varianza de un conjunto de datos cuantitativos { x1, x2 ,x3 , ......, xn} sin agrupar,
se define como la media aritmética del cuadrado de sus desvíos.
i=n
(xi
S2 =
X) 2
i=1
n
La expresión anterior es una definición, y por lo tanto debe ser aceptada como tal,
sin demostración.
Sin embargo, debido a que la varianza es la más importante de las medidas de
dispersión, es importante hacer las siguientes aclaratorias:
1°) La varianza es una medida de dispersión que representa exclusivamente lo
que establece la definición: Media aritmética del cuadrado de los desvíos.
Cuanto más desviado esté un dato de X , mayor será su cuadrado , y en
consecuencia mayor será varianza.
La varianza no puede ser interpretada como algo diferente a lo que la definición
misma establece.
2°) La varianza viene expresada en unidades de los datos al cuadrado, y así por
ejemplo, si los datos están en centímetros, la varianza está en centímetros
cuadrados.
Esto ocasiona que el orden de magnitud de la varianza sea completamente
diferente al de los datos originales, y que además no sean comparables con ellos
pues vienen expresados en unidades diferentes.
Por estos dos motivos, en muchas oportunidades interesa regresar a las unidades
originales, y allí es cuando aparece el concepto de “Desviación Típica”, que se
define simplemente como la raíz cuadrada de la varianza.
i n
( xi
S
X) 2
i 1
n
La desviación típica o “estándar” , viene en las mismas unidades de los datos, y
constituye junto con la varianza las más importantes medidas de dispersión.
3°) Otro comentario importante con relación a la varianza, es el que se refiere a su
denominador, si es “n” o “n-1”, pues a lo largo de toda la bibliografía estadística,
existe una gran confusión con relación a este punto.
Cuando una medida se calcula tomando en consideración a toda una población
recibe el nombre de “Parámetro Poblacional” ; mientras que cuando de calcula
sobre una muestra se llama “Estadígrafo” , “Estadístico Muestral” , o simplemente
“estadístico”.
La nomenclatura más utilizada en “Inferencia Estadística” consiste en designar a
los parámetros poblacionales con letras griegas, y a los estadísticos con letras
latinas.
Así por ejemplo , si se tienen “N” datos cuantitativos que constituyen una
población
y sobre ellos se quiere calcular su media, la misma vendría
i N
xi
representada por :
i 1
N
, y se llamaría “Media Poblacional”
4
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
Si de esa población de “N” elementos, se toma al azar una muestra de “n” y se
i n
xi
calcula su media, ésta se designaría por : X
i 1
.
n
Uno de los problemas importantes que se estudia en “Inferencia Estadística” es el
de estimación, que trata sobre la metodología a seguir para inferir el valor
desconocido de un parámetro poblacional a partir del estadístico muestral.
Cuando esta nomenclatura se aplica sobre la varianza, se obtiene que la
i N
( xi
2
poblacional designada por
,viene dada por :
2
)2
i 1
N
; mientras que la
i n
( xi
muestral : S2
X) 2
i 1
.
n
Sin embargo, en Inferencia Estadística se demuestra que especialmente para
i n
( xi
muestras pequeñas (n < 30), un mejor estimador1 de
2
es: S2c
X) 2
i 1
n 1
que
recibe el nombre de “cuasi varianza muestral” .
Como la diferencia en la estimación, entre uno y otro es realmente muy pequeña
especialmente para muestras grandes y además S 2c es mejor estimador, muchos
autores definen de una vez a S 2c como “varianza muestral” y omiten definir al otro.
La “Estadística Descriptiva” no hace distinción entre población y muestra, su único
objetivo es describir el comportamiento de los datos, y por este motivo usa a S 2
con divisor “n” como definición de “Varianza de los datos”, sin pronunciarse sobre
si es muestral o poblacional.
Propiedades de la Varianza
Propiedad N°1°: S2 0.
Resulta obvio que por ser la varianza la media de cuadrados de los desvíos, sea
siempre una cantidad positiva, pues los cuadrados siempre lo son.
Es importante destacar que el caso S2 = 0 implica que todos los datos son iguales,
es decir que no existe variabilidad, y recíprocamente cuando todos los datos son
iguales entonces S2 = 0.
Esta propiedad es común para todas las medidas de dispersión, es decir:
Medida de Dispersión = 0
x1= x2 = x3 = ...... = xn
Propiedad N°2: Cuando los datos son sometidos a una transformación lineal
Y = a + b X , entonces S2Y = b2 S2X .
1
Es un estimador “Insesgado”. Véanse textos de “Inferencia Estadística” .
5
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
Demostración : Supongamos que se tiene un conjunto de datos { x1, x2 ,x3 , ......, xn}
y se le somete a la transformación Y = a + b X , dando lugar a unos nuevos datos
{ y1, y2 ,y3 , ......, yn} .
i n
(yi
Por definición : S 2Y
i 1
n
Y) 2
;
RSy
TY
i
i n
a bxi ; por la transformación
a bX ; por propiedad N 5 de la media
i n
(a bxi
a bX)
2
b 2 ( x X) 2
= i1
= b2 S2X .
n
n
Como corolario de esta propiedad N° 2 se deducen las siguientes:
2.a) Si se le suma a cada dato una constante, la varianza no se altera.
Es el caso : b = 1.
2.b) Si cada dato es multiplicado por una constante, la varianza queda multiplicada
por el cuadrado de dicha constante. Es el caso a = 0.
2.c) Si se somete a los datos a una transformación lineal, la desviación típica que
multiplicada por la pendiente de la transformación: Sy = b Sx .
Por lo tanto: S2Y
i 1
Ejemplo 1 Los siguientes datos representan el peso de 4 personas expresados en
kilogramos: 64 , 70 , 66 y 80.
a) Calcular la varianza y la desviación típica .
b) Transformar los datos en libras, y recalcular su varianza y su desviación típica.
Solución: a) Para calcular la varianza, es necesario calcular primero la media.
64 70 66 80
X
= 70 Kgs.
4
(64 70) 2 (70 70) 2 (66 70) 2 (80 70) 2
S2 =
= 38
S = 38 = 6,16 Kgs.
4
b) El factor de conversión de kilogramos a libras es 2,2 , de manera que si el peso
de estas 4 personas se expresara en libras los datos quedarían transformados en:
140,80 , 154,00 , 145,20 y 176,00 .
Para la varianza de los nuevos datos, se puede repetir el procedimiento anterior.
140,80 154,00 145,20 176,00
Y
= 154,00
4
(140,80 154) 2 (154 154) 2 (145,20 154) 2 (176 154) 2
2
= 183,92
SY
4
SY= 183,92 = 13,56
Gracias a la propiedad N° 2 de la varianza, este procedimiento es innecesario,
pues los datos “Y” en libras son los datos “X” en kilogramos sometidos a la
transformación: Y=2,2 X, y por lo tanto:
S2Y = b2 S2X = (2,2)2 38 = 183,92 ; Sy = b Sx = (2,2) 6,16 = 13,56
6
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
Propiedad N°3 : La varianza también puede ser calculada mediante la expresión:
i n
xi2
S2
i 1
X
2
n
Esta es una expresión alternativa, cuyo cálculo suele ser más sencillo que el
explicado con anterioridad a partir de la definición.
Esta expresión recibe el nombre de “cálculo de la varianza por momentos”, por
una razón que se explicará en el capitulo siguiente, y establece que la varianza es
igual a la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media.
Demostración: Partiendo de la definición , y desarrollando el cuadrado, se tiene:
i n
i n
( xi
S2
X) 2
( xi2
i n
2
2xi X
I n
xi2
X )
2X
i n
X2
xi
i 1
i 1
i 1
= i1
= i1
n
n
n
Como es X una constante, según las propiedades de las sumatorias se tiene que
i n
I n
X 2 = n X 2 , y además
i 1
xi = n X . Sustituyendo:
i 1
i n
2
S =
xi2
2X (nX) n X
i 1
2
i n
xi2
nX
i n
2
xi2
i 1
i 1
X
2
n
n
n
Como consecuencia de esta propiedad se tiene que una fórmula alternativa para
i n
xi2
calcular la desviación típica es:
S=
i 1
n
X
2
Ejemplo 2 Calcular la varianza y la desviación típica de los pesos en kilogramos
64 , 70 , 66 y 80 del Ejemplo 7.1 , aplicando la fórmula por momentos.
Solución: Hay que calcular la media X = 70
2
2
64 2 70 2 66 2 80 2
S =
- (70) = 38
S = 38 =6,16
4
El cálculo de la varianza y de la desviación típica por momentos suele más breve
que por definición ; sin embargo se corre el riesgo de perder de vista lo que se
está calculando, pues no se necesitan calcular los desvíos.
Propiedad N° 4:
Desigualdad de Tchebychev.
Dado un conjunto de datos
......
{ x1, x2 ,x3 , , xn} con media X ; la proporción de datos que se desvían de X en
S2
una cantidad menor que , es por lo menos 1 - 2 .
Esta propiedad es general, y una vez demostrada veremos que es mucha utilidad
práctica, especialmente cuando se aplica en ciertos casos particulares como por
ejemplo, en la curva normal.
7
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
Demostración: Supongamos que existen “m” datos que se desvían de X en una
cantidad menor que . Llamemos “C” al conjunto de esos “m” datos.
Se tiene: m n , y además xi - X < , cuando xi C
m
p =
= Proporción de datos que pertenecen al conjunto “C”, y que por tanto
n
difieren de X en una cantidad menor que
.
i n
X) 2
( xi
Por definición : S
2
i n
i 1
n S
n
2
=
X)2
( xi
i 1
i n
X ) 2 puede ser descompuesta en dos partes, sobre los datos que
( xi
La suma
i 1
pertenecen al conjunto “C” , y sobre los que no pertenecen a él.
i n
X)2 =
( xi
Por tanto :
i 1
( xi
X) 2
xi C
( xi
X) 2
xi C
i n
Como:
( xi
X)
2
0
n S
2
X)2
( xi
=
( xi
i 1
xi C
X) 2
xi C
Existen (n - m) datos { xi } no pertenecientes al conjunto “C” , y para ellos se
2
2
2
verifica: xi C
xi - X
(xi - X )
( xi X) 2 (n - m)
xi C
Por lo tanto : n S
2
( xi
xi C
y en conclusión: p
1-
S2
2
X)
2
(n - m)
2
S2
2
n m
=1–p
n
tal como se quería demostrar.
Frecuentemente se toma “ ”como un múltiplo de “S” , de la forma: = k S , y en
este caso la desigualdad de Tchebychev establece que la proporción de datos que
difiere su media en una cantidad menor que “k veces” la desviación típica , es por
1
1
lo menos 1 - 2 , es decir : p 1 - 2
k
k
Es evidente que cuando k=1 , esta desigualdad carece de utilidad práctica alguna,
pues en este caso se concluye en: p 0 , lo que es obvio.
Sin embargo, para valores de “k” mayores que la unidad se obtienen conclusiones
importantes, y así por ejemplo para k = 2 concluye que en un conjunto de datos
cualquiera, la proporción de datos que difiere de su media en menos de dos veces
1
3
la desviación típica es por lo menos 1 , es decir p 75% .
4
4
Cuando se toma k = 3 , la conclusión es que la proporción de datos que difiere de
1
8
su media en menos de tres desviaciones típicas es por lo menos de 1 9
9
lo que equivale al 88,89 % .
8
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
Para cualquier distribución de frecuencias distribuciones , y según lo explicado
anteriormente por la desigualdad de Tchevishev , en el intervalo ( X ± 2 S) deben
caer por lo menos el 75% , y en el intervalo ( X ± 3 S) por lo menos el 88,89 % de
los datos .
En el caso de la distribución normal , esta proporción de datos ha sido determinada
exactamente , y los resultados obtenidos son de amplia utilidad en muchas
aplicaciones.
Para una normal, en el intervalo ( X ± S) deben caer el 68,27% de los datos
muestrales , en el intervalo ( X ± 2 S) deben caer el 95,45% de los datos
muestrales , y en el intervalo ( X ± 3 S) deben caer el 99,73% de los datos
muestrales .
Propiedad N° 5. Para el caso de datos agrupados, el cálculo de la varianza se
i k
i k
(L*i
hace mediante la expresión : S 2 =
2
(L*i ) 2 fi
X ) fi
i 1
=
i k
i 1
fi
i 1
X
i k
2
fi
i 1
La expresiones anteriores son sencillas de justificar , pues constituyen
adaptaciones de la definición de varianza, y de su cálculo por momentos, tomando
en cuenta que para el caso de datos agrupados, la marca de clase L*i representa a
todos los datos que caen dentro del intervalo.
Otra expresión útil para el cálculo, es la que resulta de sustituir en la fórmula de la
derecha para el cálculo de S 2 por momentos, la media X por su correspondiente
para datos agrupados en función de las marcas de clase, y por lo tanto:
9
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
i k
(L*i ) 2 fi
S2 =
i 1
i k
fi
i 1
F
GG
GG
H
i k
L*i fi
i 1
i k
fi
i 1
I
JJ
JJ
K
2
Ejemplo 3 Calcular la varianza y la desviación típica de la siguiente distribución
de frecuencias.
Intervalo 0 a 10 10 a 20 20 a 30 30 a 40 40 a 50 50 a 60 60 a 70
frecuencia
8
34
76
60
31
28
13
Solución : Hay que organizar los cálculos en la siguiente tabla :
Límites reales
fi = frecuencia
0 a 10
10 a 20
20 a 30
30 a 40
40 a 50
50 a 60
60 a 70
Sumatorias
8
34
76
60
31
28
13
250
FG
H
L*i = Marca de clase
5
15
25
35
45
55
65
IJ
K
L*i fi
40
510
1900
2100
1395
1540
845
8.330
(L*i ) 2 fi
200
7650
47500
73500
62775
84700
54925
331.250
2
331250
.
8.330
= 214,78
S = 214,78 = 14,66
S =
250
250
Método abreviado para el cálculo de la varianza en tablas de frecuencia para
datos agrupados de igual amplitud
Los cálculos requeridos en el Ejemplo 7.3 pueden resultar complicados si no se
tiene una buena calculadora.
Un procedimiento abreviado para efectuar los cálculos consiste en definir unas
marcas de clase artificiales designadas por Ui* .
Al intervalo de mayor frecuencia o clase modal se le da una marca de clase
*
artificial Um
= 0 , a los anteriores marcas de clases artificiales -1 , -2 , etc., y a los
posteriores +1 , +2 , +3 , etc.
Con este artificio , la tabla queda :
2
Límites reales
fi = frecuencia
Ui* = Marca de
Ui* fi
(Ui* ) 2 fi
- 16
- 34
0
60
62
84
52
208
32
34
0
60
124
252
208
710
clase artificial
0 a 10
10 a 20
20 a 30
30 a 40
40 a 50
50 a 60
60 a 70
Sumatorias
8
34
76
60
31
28
13
250
-2
-1
0
1
2
3
4
10
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
Posteriormente se calcula la varianza de los datos artificiales, mediante la
i k
(Ui* ) 2 fi
expresión : SU2 =
i 1
i k
fi
i 1
F
GG
GG
H
i k
Ui* fi
i 1
i k
fi
i 1
I
JJ
JJ
K
2
=
710
250
FG 208 IJ
H 250 K
Finalmente : S2 c 2 SU2 , donde c = Amplitud = 10
que coincide con el resultado anterior.
2
= 2,1478
2
S 2 = (10) 2,1478 =214,78
Justificación del método abreviado : Se ha definido una función lineal de los datos,
que los transforma en unos datos artificiales más sencillos de trabajar.
X L*m
Esta transformación es de la forma : U
; donde teóricamente L*m pudiera
c
ser cualquier origen , pero que por conveniencia se toma la marca de clase del
intervalo de mayor frecuencia, pues así la mayor frecuencia queda multiplicada por
cero simplificando aún más los cálculos.
Por efecto de la transformación, las marcas de clase anteriores se convierten en
-1, -2 , (siempre que la amplitud “c” sea igual para todos los intervalos) , y las
marcas de clase posteriores se convierten en +1 , +2 , etc.
La expresión para calcular SU2 es la correspondiente al cálculo de la varianza por
momentos para los datos artificiales “U”.
La relación entre los datos originales “X” y los artificiales “U” es lineal pues :
Por la propiedad N° 2 de la varianza : S2X c 2 SU2 , lo que
X L*m c U
constituye la justificación del método abreviado de cálculo.
2 La Media de las desviaciones absolutas : En virtud de que los
desvíos respecto de X se compensan, otra manera de omitir su signo es
considerar sus valores absolutos , en lugar de elevarlos al cuadrado como se hace
en el cálculo de la varianza..
Cuando se promedian los desvíos absolutos, aparece otra medida de dispersión,
que se conoce con el nombre de “Media de las desviaciones absolutas”, o
“Desviación Media”, y que representa lo que en promedio se desvían los datos de
X , sin considerar su signo.
i n
xi
D.M
X
i 1
n
Ejemplo 4 Los siguientes datos representan la duración de cinco cuñas de T.V
expresadas en segundos: 38 , 46 , 42 , 28 , 26 . Calcular la media de las
desviaciones absolutas.
38 46 42 28 26
Solución : Se calcula su media X =
= 36, y posteriormente
5
los desvíos: 38-36 =2 , 46-36 = 10 , 42 –36 = 6 , 28-36 = -8 y 26-36 = -10
11
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
La suma algebraica de los desvíos resulta ser cero, tal como debe ocurrir siempre,
y para calcular la desviación media se promedian los desvíos absolutos:
2 10 6
8
10
D.M
7,20
5
Este resultado significa que en promedio, la duración de las cuñas se alejan en
forma absoluta de su media 36 segundos, en 7,20 segundos .
La desviación media absoluta tiene las siguientes propiedades:
1°) Al igual que cualquier otra medida de dispersión D.M
0 , y D.M = 0 es
condición necesaria y suficiente para que todos los datos sean iguales.
2°) En el caso de una distribución normal con desviación típica poblacional “ ”,
existe una relación directa entre la D.M y “ ”, dada por la expresión2 :
2
D.M =
A partir de esta propiedad se obtiene una fórmula aproximada entre la desviación
media absoluta y la desviación típica, según la cual para curvas de frecuencias
4
simétricas o con poco grado de asimetría, se verifica : D.M
S
5
3°) Para datos agrupados, la marca de clase sustituye al verdadero valor de cada
de cada dato, y la desviación media absoluta se calcula mediante la expresión:
i k
L*i
D.M
X fi
i 1
i=k
fi
i=1
Ejemplo 5 Calcular la D.M para los datos del Ejemplo 3 , y verificar que se
cumple la propiedad N° 2 .
8.330
Solución: La media es X =
= 33,32, y se organizan los cálculos
250
Límites reales fi = frecuencia
L*i
L*i X
L*i X fi
0 a 10
10 a 20
20 a 30
30 a 40
40 a 50
50 a 60
60 a 70
Sumatorias
2
8
34
76
60
31
28
13
250
5
15
25
35
45
55
65
28,32
18,31
8,32
1,68
11,68
21,68
31,68
208
226,56
622,54
632,32
100,80
362,08
607,04
411,84
2.963,18
Para una demostración de esta propiedad, véase la obra de este mismo autor: “ Capacidad de los
Procesos Industriales” , U.C.A.B 1998 .
12
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
2.963,18
= 11,85
250
4
Por la propiedad N°3: D.M
( 14,86 ) = 11,89
5
D.M=
S = 14,66
3 La media de las desviaciones absolutas respecto de la
mediana: La media de las desviaciones absolutas puede ser calculada también
respecto de la mediana , dando lugar así a otra medida de dispersión, conocida
también “Desviación Media respecto de la Mediana”, y que se define de la
siguiente manera:
I n
xi
D.MMed
Mediana
i 1
n
Como una de las propiedades de la Mediana, estable que la suma de las
desviaciones absolutas es mínima, cuando estas se calculan respecto de la ella,
entonces se puede garantizar que : D.MMed
D.M
I k
L*i
Para datos agrupados : D.MMed
Mediana fi
i 1
i k
fi
I=1
Ejemplo 6 Calcular la D.MMed para los datos del Ejemplo .4
Solución : La mediana entre { 38 , 46 , 42 , 28 , 26} es 38, y las desviaciones
respecto de ella son {0, 8, 4 , -10 y –12} respectivamente.
0 8 4
10
12
Por lo tanto: D.MMed =
= 6,80 < D.M = 7,20
5
4 El Rango o Recorrido: Esta medida de dispersión se define como la
diferencia entre el mayor y el menor valor de los datos.
R = Máximo Valor - Mínimo Valor
El uso del rango o recorrido , es muy difundido en las aplicaciones industriales de
la Estadística, pues dada su sencillez de cálculo se utiliza en la construcción de
las gráficas de control3 conocidas como ( X , R) cuyo objetivo es detectar a tiempo
la aparición de causas especiales dentro de un proceso de producción.
En el caso de la distribución normal, existe una relación aproximada entre el rango
y la desviación típica, y así por ejemplo cuando :
R
R
n=100: S
; y cuando n=1.000: S
4
6
estas relaciones empíricas son consecuencia de la propiedad ya estudiada para la
distribución normal, según la cual en el intervalo ( X ± 2 S) deben caer el 95,45%
de los datos, y en el intervalo ( X ± 3 S) deben caer el 99,73% .
3
Para una mayor información sobre estas gráficas, véase la misma referencia citada en la nota 2.
13
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
Cuando n=100 , el rango debe ser aproximadamente 4 veces “S”
que
corresponde a la longitud del intervalo, y cuando n= 1.000 , el rango debe ser
aproximadamente 6 veces “S” , que es la longitud del intervalo X ± 3S .
Ejemplo 7 Calcular el rango para los datos del ejemplo 7.4
Solución : En este conjunto de datos el mayor valor es 46 y el menor 26 , en
consecuencia: R = 46 – 26 = 20.
VII. 5
Otras Medidas absolutas de dispersión: Además de las ya
estudiadas, existen otras medidas de menor aplicación práctica, tales como:
a)El Rango intercuartílico: Se define como la diferencia entre el tercer y primer
cuartil, y representa la amplitud del intervalo 50% central.
Rq = Q3 – Q1
c)El Rango semi – intercuartílico : Es la mitad del rango intercuartílico, y
representa el radio del intervalo 50% central .
Q 3 Q1
Q
.
2
Con el rango semi-intercuartílico, el intervalo 50 % central puede ser escrito como:
Q1 Q 3 Q 3 Q1
Q1 Q 3
=
Q
2
2
2
Para distribuciones acampanadas: Q
2
3
S
c)El Rango Percentílico : Se define como la diferencia entre el Percentil 90 y el
Percentil 10, y representa la longitud del intervalo 80 % central .
Rp = P90 – P10
Todas estas medidas de dispersión al igual que las anteriores son absolutas, pues
no toman en cuenta el orden de magnitud de los datos, y vienen en sus mismas
unidades, a excepción de la varianza que viene en unidades al cuadrado.
6 El Coeficiente de Variación o Dispersión Relativa:
Las medidas
absolutas de dispersión, al no tomar en cuenta el orden de magnitud de los datos,
no proporcionan una información completa sobre su variabilidad, pues no es lo
mismo por ejemplo, una desviación típica de 100 en unos datos que sean del
orden de cientos, que esa misma desviación típica de 100 en unos datos que sean
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
14
del orden de millones. Resulta obvio que en el primer caso existe una variabilidad
mucho mayor que en el segundo, a pesar de que el valor absoluto de la desviación
típica sea el mismo.
Otro problema que tienen las medidas absolutas de dispersión es el de las
unidades, pues esto impide hacer comparaciones entre conjuntos de datos que
tengan diferente naturaleza.
Así por ejemplo, si se quisiera saber cual variable tiene un comportamiento más
homogéneo, el peso o la estatura de un conjunto de personas, no es posible
comparar las desviaciones típicas entre esas ellas, por venir expresadas en
diferentes unidades.
Para solucionar este par de inconvenientes que presentan las medidas absolutas
de dispersión, se utiliza al coeficiente de variación o dispersión relativa, definido
S
por :
C. V =
100%
X
Propiedades del Coeficiente de Variación
1°) Es un porcentaje de razón entre la desviación típica y la media , de manera
que representa cuantas veces es la desviación típica con relación a la media.
Así por ejemplo, un C.V = 50% significa que la desviación típica es la mitad de la
media, lo que revela una alta variabilidad.
Valores del C.V menores al 10 % revelan poca variabilidad de los datos ; y así
por ejemplo, para en el Control de Calidad de la preparación de mezclas, es
frecuente exigir un C.V menor al 5% entre las muestras tomadas en distintos
puntos de la mezcla, a fin de garantizar su homogeneidad.
2°) El C.V es un número abstracto, es decir sin unidades, pues tanto S como X
vienen en las mismas unidades de los datos, y al hacer la división se simplifican.
Esta propiedad permite utilizar al C.V para hacer comparaciones entre varios
conjuntos de datos, y concluir que cuanto más pequeño sea su valor, más
homogéneo es el comportamiento.
3°) El C.V no se altera cuando los datos son multiplicados por una constante, pues
en virtud de las propiedades de X y de “S” ambos quedan multiplicados por esa
constante, sin alterar al cociente.
Esta propiedad trae como consecuencia que el C.V sea invariante frente a
cambios de unidades, como por ejemplo, pasar de libras a kilogramos o de pies a
centímetros, etc.
Ejemplo 8 Calcular el C.V para los datos del ejemplo 3
8.330
14,66
Solución : S = 14,66 , X
= 33,32
C.V =
100% = 44 %
250
33,32
Ejemplo 9 : Al analizar la estatura y el peso de un conjunto de personas, se
obtuvo, para el peso una media de 68,50 Kgs. con una desviación típica de 9,20
15
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
kgs.; y para la estatura una media de 165 cms., con una desviación típica de 11,30
cms. ¿Cuál de las dos variables tiene un comportamiento más homogéneo?.
9,20
Solución: Para el peso: C.V =
100% = 13,43 %
68,50
1130
,
Para la estatura : C.V =
100% = 6,85 %
165
Se concluye que la estatura tiene un comportamiento más homogéneo.
…………………………….
Una de las limitaciones que tiene el coeficiente de variación, es que sólo puede
ser utilizado cuando los datos corresponden a mediciones sobre una escala de
razón, y por lo tanto existe el cero absoluto.
Cuando existen datos positivos y negativos, la media puede resultar igual a cero ,
negativa o muy próxima a cero, en cuyo caso este coeficiente de variación carece
de sentido como medida de dispersión.
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo 10 Al examinar el diámetro de 300 tornillos, en milímetros, se encuentra:
Díametro 2,00 a 2,49 2,50 a 2,99 3,00 a 3,49 3,50 a 3,99 4,00 a 4,49 4,50 a 4,99
Frecuencia
17
51
93
86
41
12
a) Calcule la varianza ,la desviación típica, el coeficiente de variación, la media de
desviaciones absolutas, la media de desviaciones absolutas respecto de la
mediana, el rango intercuartílico y el rango percentílico.
X ± S,
b) Calcule el porcentaje de observaciones que caen en los intervalos
X ± 2S y X ± 3 S.
Solución : Para calcular la varianza, se organizan los cálculos:
fi= Frecuencia
L*i =Marca de clase
L*i fi
2,245
17
38,1650
2,745
51
139,9950
3,245
93
301,7850
3,745
86
322,0700
4,245
41
174,0450
4,745
12
56,9400
Sumatorias
300
1.033,0000
FG
H
IJ
K
2
3.664,4125
1033
.
,00
S =
= 0,3582
300
300
Utilizando el método abreviado de cálculo:
Ui* =
fi= Frecuencia
U* fi
Marca de clase artificial
2
i
-2
-1
0
1
17
51
93
86
2
( L*i ) fi
85,6804
384,2863
979,2923
1.206.1522
738,8210
270,1803
3.664,4125
-34
-51
0
86
S=
0,3582 = 0,5985
2
( Ui* ) fi
68
51
0
86
16
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
2
3
Sumatorias
41
12
300
SU2
FG 119 IJ
H 300 K
477
300
2
82
36
119
164
108
477
2
= 1,4327
2
2
S = c SU2 = (0,50) 0,1,4327 = 0,3582
1033
Para calcular el coeficiente de variación, se necesita: X =
= 3,4433
300
119
Por el método abreviado: U
= 0,3967
300
X = L*m + c U
X = 3,245 + (0,50) 0,3967 = 3,4433
c= Amplitud Real = 0,50
y por lo tanto : C.V =
S
100% =
X
0,5985
100% = 17,38 %.
3,4433
Para calcular la desviación media:
fi= Frecuencia
L*i =Marca de clase
2,245
2,745
3,245
3,745
4,245
4,745
Sumatorias
L*i
17
51
93
86
41
12
300
L*i
X
1,1983
0,6983
0,1983
0,3017
0,8017
1,3017
X fi
20,3711
35,6133
18,4419
25,9462
32,8697
15,6204
148,8626
148,8626
= 0,4962
300
Si se quisiera obtener un cálculo rápido pero aproximado, se pudiera aplicar la
propiedad para distribuciones acampanadas como esta, según la cual:
Por lo tanto D.M =
D.M
4
5
S=
4
5
(0,5985) = 0,4788
Para las restantes medidas de dispersión se necesitan los cuartiles, y los
percentiles 10 y 90, a partir de las frecuencias acumuladas:
Diámetro
Frecuencia
< 2,495
17
< 2,995
68
< 3,495
161
< 3,995
247
b g
4,495
288
4,995
300
300
3
68
300 161
Q1 = 2,995 + 4
0,50 = 3,0326 ; Q3 = 3,495 + 4
0,50 = 3,8671
93
86
1
300 68
2
Q2 =Med= 2,995 +
0,50 =3,4359
93
b g
17
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
b g
10
300 17
100
P10 =2,495 +
0,50 = 2,6225
51
90
300 247
P90 =3,995 + 100
0,50 = 4,2755
41
Para calcular la desviación media absoluta, respecto de la mediana, hay que
organizar los cálculos en una tabla similar a la de la D.M , pero calculando los
desvíos absolutos respecto de la mediana.
fi= Frecuencia
L*i =Marca de clase
L*i Med
L*i Med fi
b g
2,245
2,745
3,245
3,745
4,245
4,745
Sumatorias
17
51
93
86
41
12
300
1,1909
0,6909
0,1909
0,3091
0,8091
1,3091
20,2453
35,2359
17,7537
26,5826
33,1731
15,7092
148,6998
148,6998
= 0,4957
300
El rango intercuartílico: Rq = Q3 - Q1 = 3,8671 - 3,0326 = 0,8345
El rango percentílico: Rp = P90 - P10 = 4,2755 - 2,6225 = 1,6530
Estos rangos representan la amplitud de los intervalos 50% central, y 80% central
respectivamente.
D.M Med =
Para calcular el porcentaje de valores que cae en los intervalos X ± S , X ± 2S
y X ± 3 S, hay que determinar la posición percentil que le corresponde a cada
uno de los extremos de los intervalos, para luego restarlos.
Para X ± S se tiene : 3,4433 ± 0,5985 = [2,8448 ; 4,0418]
100
4,0418 3,995
El % por debajo de 3,9418 : p2=
247
41 = 83,61%
300
0,5
FG
H
100 F
El % por debajo de 2,8448 : p =
G17
300 H
1
IJ
K
IJ
K
2,8448 2,495
51 = 17,56%
0,5
Dentro de X ± S , caen entonces 83,61% - 17,56% = 66,05 % , que es
aproximadamente el porcentaje teórico de 68,27 % dado por la normal.
Para los intervalos X ± 2S y X ± 3 S, se procede de manera análoga, y se
obtiene 95,45 % y 100 % respectivamente.
Ejemplo 11 Dada la siguiente tabla de frecuencias, para datos sin agrupar:
Valor
0
1
2
3
4
5
6
7
frecuencia
8
14
25
13
20
12
6
2
a) Calcule su varianza, la desviación típica, el coeficiente de variación , el rango,
la media de las desviaciones absolutas, la media de las desviaciones absolutas
respecto de la mediana , el rango intercuartílico.
18
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
b) Determine el porcentaje de observaciones que caen en el intervalo X ± S .
Solución : A diferencia del ejemplo anterior, en este caso los datos no están
agrupados, y por lo tanto para calcular la varianza no se toma a la marca de clase,
sino al verdadero valor del dato.
2
Xi= Valor del dato
fi= Frecuencia
Xi fi
(Xi) fi
0
8
0
0
1
14
14
14
2
25
50
100
3
13
39
117
4
20
80
320
5
12
60
300
6
6
36
216
7
2
14
98
Sumatorias
100
293
1165
1165
S =
100
2
FG 293 IJ
H 100 K
2
C.V =
Xi= Valor del dato
0
1
2
3
4
5
6
7
Sumatorias
= 3,07
S=
3,07 = 1,75 ;
175
,
100% = 59,75 %
2,93
fi= Frecuencia
8
14
25
13
20
12
6
2
100
X =
293
= 2,93
100
; R=7–0=7
Xi
X
2,93
1,93
0,93
0,07
1,07
2,07
3,07
4,07
Xi
X fi
23,44
27,02
23,25
0,91
21,40
24,84
18,42
8,14
147,42
147,42
= 1,4742
100
Para hallar la mediana, y demás cuartiles hay que proceder según lo explicado en
el Ejemplo 6.13 donde se obtuvo Q1 = 2 , y siguiendo la misma metodología
Q2 = Med = 3 ,
Q3 = 4
Xi= Valor del dato
fi= Frecuencia
X i Med
X i Med fi
D.M =
0
1
2
3
4
5
6
7
Sumatorias
8
14
25
13
20
12
6
2
100
3
2
1
0
1
2
3
4
24
28
25
0
20
24
18
8
147
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
19
147
= 1,47 ; Rq = Q3 –Q1 = 4 - 2 = 2
100
En cuanto al porcentaje de datos comprendidos en el intervalo X ± S, tenemos que
éste es : 2,93 ± 1,75 = [ 1,18 ; 4,68 ] , y en él caen todos los valores
comprendidos entre 2 y 4 ambos inclusive, que representan el 58 % de los datos.
D.M Med =
Preguntas de Revisión
1°) Si se tienen dos conjuntos de datos expresados en las mismas unidades,
¿puede decirse que el que tenga mayor varianza presenta una mayor dispersión?.
2°) Si en un conjunto de datos todos los valores son negativos, ¿puede alguna de
las medidas absolutas de dispersión ser negativa? .
3°) ¿Cuál es la diferencia entre las medidas absolutas y las medidas relativas de
dispersión?. ¿Cuál de las dos mide mejor la variabilidad?.
4°) Analice las modificaciones que sería necesario realizar, si se quisiera aplicar
el método abreviado de cálculo para la varianza, en una tabla de frecuencias con
intervalos de diferente amplitud.
5°) En un conjunto de datos, el menor es 30 , el rango es 10 , y la media 35.
¿Puede el coeficiente de variación ser igual a 40%? .
6°) El valor más bajo de un conjunto de datos es 75, y el más alto 110. ¿Puede ser
la desviación típica 39,50?.
7°) ¿ Qué representa el rango percentílico? .
8°) Suponga que un conjunto de datos es sometido a una transformación no lineal,
2
como por ejemplo: Y = a + bX . Explique el procedimiento a seguir para calcular la
varianza de los datos transformados.
9°) Si un conjunto de datos es sometido a una transformación lineal: Y = a +bX.
¿Se altera el coeficiente de variación? .
10°) ¿Por qué la desigualdad de Tchebychev no proporciona información alguna
cuando se quiere hallar el porcentaje de datos que difieren de la media en menos
de ½ la desviación típica?.
11°) Según la desigualdad de Tchebychev ¿cuál es el porcentaje mínimo de datos
que difieren de la media en menos de 1,50 veces la desviación típica?.
12°) ¿ Puede un coeficiente de variación ser mayor al 100% ?.
20
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
13°) Suponga que sobre un conjunto de datos { x1, x2 ,x3 , ......, xn} con media” X ” , y
x X
desviación típica “S”, se define la transformación: zi = i
dando lugar a otro
S
conjunto de datos { z1, z2 ,z3 , ......, zn} llamados “datos tipificados”.
¿Cuál es la media y la varianza de los datos tipificados?.
14°) En un conjunto de datos en donde la mitad sea igual a un valor, y la otra
mitad sea igual a otro valor diferente, ¿puede afirmarse que la media de las
desviaciones absolutas es igual a la desviación típica?.
15°) Si { x1, x2 ,x3 , ......, xn} es una muestra que tiene media muestral X , y proviene
de una población con media poblacional “ ”. ¿ Cual de las siguientes dos
i n
i n
( xi
expresiones es menor:
i 1
2
) ó
( xi
X) 2 ? . Justifique su respuesta.
i 1
16°) Explique el porqué en el método de abreviado de calculo para la varianza, se
toma como referencia cero al punto medio de la clase modal. ¿Pudiera tomarse a
otra marca de clase sin modificar el método? .
Temas complementarios para investigar
1°) Investigue sobre las aplicaciones del “Coeficiente de Variación” en el control de
la calidad para la preparación de mezclas, como por ejemplo “el concreto”.
2°) Investigue sobre el uso y significado de otras medidas relativas de dispersión,
como por ejemplo el coeficiente de variación cuartil.
3°) Investigue sobre las aplicaciones del rango muestral en el “Control Estadístico
de Procesos”.
Problemas Propuestos
I. Nivel Elemental
7.12) Una empresa tiene dos agencias , una en Caracas y otra en el interior .
El sueldo de los empleados de esa empresa en cada una de esas dos agencias es
como sigue:
Caracas : Media = Bs. 150.000 Desviación Típica = Bs. 25.000
Interior : Media = Bs. 120.000 Desviación Típica = Bs. 16.000
¿ En cual de las dos agencias, los sueldos son más homogéneos? .
Solución : En la del interior.
7.13) Se tiene un conjunto de seis datos, cuyos valores son : 3 , 8 , 2 , 3 , 5 y 4.
a) Calcule su rango, varianza y coeficiente de variación.
b) Calcule la media de las desviaciones absolutas.
21
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
c) Calcule la media de las desviaciones absolutas respecto de la mediana.
Solución : a) 6 , 3,81 , 46,82% b) 1,56 c) 1,50
7.14) La siguiente tabla se refiere a las estaturas en pulgadas, de un grupo de
estudiantes:
Estatura
60 a 62
63 a 65
66 a 68
69 a 71
72 a 74
Frecuencia
5
18
42
27
8
Determine el rango, la media de las desviaciones absolutas, el porcentaje de
estudiantes dentro del intervalo X ± 2 D.M, el rango intercuartil , el rango percentil ,
la desviación típica , y el coeficiente de variación .
Solución: 15 , 2,26 , 85,67 % , 3,97 , 7,94 , 2,92 y 4,33 % .
7.15) La longitud de unas piezas en milímetros se da en la siguiente tabla:
Longitud 250,00 –250,99 260.00-269,99 270,00-279,99 280,00-289,99 290,00-299.99 300,00-309,99 310,00-319,99
Frecuencia
8
10
16
14
10
5
2
Use el método abreviado de cálculo, para hallar el coeficiente de variación.
Solución : 5,58 % .
7.16)Calcule el coeficiente de variación para la siguiente tabla de frecuencias
relativas acumuladas:
Límites
Reales
Hi %
< 49.5
0%
< 99.5
12%
< 149.5
38%
< 199.5
45%
< 249.5
63%
< 299.5
80%
< 349.5
96%
< 399.5
100%
Solución: 43,40 %
7.17) Calcule el porcentaje de datos que en la distribución anterior caen en el
intervalo X ± 1,50 S .
Solución: 87,29%
7.18) Durante un periodo de 150 horas, se observó el número de clientes por hora
que acuden a un comercio, encontrando:
Clientes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
frecuencia
5
19
29
30
22
16
14
9
6
a) Determine la desviación típica y la media de las desviaciones absolutas.
b) El porcentaje de veces en que la observación cae en el intervalo X ± 2S .
Solucíón: a) 2,02 y 1,68. b) 96 % .
7.19) La media de unos datos es 10, y su coeficiente de variación es del 20% .
Calcule el nuevo coeficiente de variación en cada uno de los siguientes casos:
a) A cada uno de los datos se le suma 2.
b) Cada uno de los datos se incrementa en un 35%.
Solución : a) 16,67 % . b) 20% .
II. Nivel Intermedio
7.20) El coeficiente de variación de 21 datos es 9,95227 % , y la suma de sus
cuadrados 13255.
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
22
Si los datos se incrementan en 6 unidades, ¿cuál es el nuevo coeficiente de
variación?.
Solución: 8,03% .
7.21) Si cada uno de los datos de un conjunto se multiplica por 3, la media
aritmética es 108 ; y si a cada dato se le suma 10, la media cuadrática es 48.
¿ Cual es el coeficiente de variación de los datos?.
Solución : 38,09 %
7.22) Sean los datos : 3 , 6 , 6 , x , y . Si el coeficiente de variación es 29,0144 % , y
2
la varianza es S = 2,64 . Determine los datos que faltan x , y . Solución : 5 y 8
7.23) El sueldo promedio del personal de una empresa es de $1.200 con una
desviación típica de $250.
El personal va a ser beneficiado con un bono fijo y un aumento porcentual , y según
el orden en que se apliquen estos beneficios, el futuro sueldo promedio puede ser
de $ 1.810 si aplica primero el incremento porcentual y luego el bono, o de $ 1.885
si se aplica primero el bono y luego el incremento porcentual.
a) Determine el monto del bono fijo y del aumento porcentual.
b) Analice cual de estas modalidades proporciona una mayor homogeneidad en los
sueldos del personal.
Solución : $ 250 de bono con 30% de incremento porcentual , o $ 360 de bono con
20,8333 % de incremento porcentual .
7.24) La media de un conjunto de datos es 8 , y la media cuadrática 10.
¿Cual será el nuevo coeficiente de variación, si cada dato es incrementado en:
a) 2 unidades?.
b) 20% ?.
Solución: a) 60% b) El mismo anterior al incremento = 75%.
7.25) Si cada uno de los datos de un conjunto es incrementado en 2 unidades, el
nuevo coeficiente de variación es del 10%, y la nueva varianza 4 .
¿Cual era la media de los datos originales ? .
Solución: 18
7.26) Los salarios en una empresa tienen una desviación típica de 1.200.
Si todos los salarios son incrementados en 2.000, el coeficiente de variación
disminuye en 2%. Calcule el salario medio después del aumento. Solución: 12.000
7.27) En el almacén de una empresa existen diversas cajas, que pueden ser
clasificadas así: pequeñas cuyo peso es menos de 150 kilos, regulares con un peso
desde 150 hasta 250 kilos, grandes con un peso desde 250 kilos hasta 500 kilos, y
extra grandes desde 500 kilos en adelante.
Si el peso medio de las cajas es de 200 kilos, con una desviación típica de 20 kilos.
¿Cuál es el porcentaje mínimo de las cajas de tamaño regular dentro del almacén? .
Solución : 84 % por lo menos.
23
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
III. Nivel Avanzado
i n
xi2
7.28) Para “n” datos cualesquiera { x1, x2 ,x3 , ......, xn} , demuestre que: X
i 1
n
Utilice el resultado anterior para demostrar: D.M . S . ¿Cuándo son iguales?.
7.29) La media de un conjunto de datos es 1,50 , la desviación típica es 3,50 , y la
mitad de ellos son iguales a un valor “a” , mientras que la otra mitad son iguales a
otro valor “b”. ( a < b) .
a) Determine “a” y “b”.
b) Si se añaden cinco nuevos datos que resultan ser iguales a “b”, y se obtiene que
la nueva media es 2,20. ¿Cuántos datos había inicialmente?.
Solución : a) a = -2 , b= 5
b) 20
2
7.30) Se tiene “n” datos con media X y varianza S .
Suponga que se obtiene un nuevo dato xn 1 que se incorpora al conjunto anterior
dando lugar a un conjunto de (n+1) datos.
Demuestre que la varianza Sn2 1 del nuevo conjunto de datos, viene dada por :
n
n
Sn2 1
S2 +
( X - xn+1 ) 2
2
n 1
(n + 1)
7.31) Generalice el resultado anterior , para dos conjuntos de datos disjuntos, de
tamaños n1 y n2 , con medias X1 y X 2 , y varianzas S12 y S22 respectivamente.
Deduzca una fórmula que permita calcular la varianza de su unión.
n S2 + n2 S22 n1n2 ( X1 X 2 )2
Solución : S2 = 1 1
n1+n2
(n1 n2 )2
7.32) Suponga que se tienen dos conjuntos de datos disjuntos , con igual media X ,
pero de diferentes tamaños n1 y n2 , y con diferentes coeficientes de variación CV1
y CV2 respectivamente .
Al unir estos dos conjuntos, ¿qué tipo de media entre sus coeficientes de variación
debe utilizarse, para obtener el coeficiente de variación de la unión?.
Solución: C.V =
n1 C. V12
n 2 C. V22
n1 n 2
= Media cuadrática ponderada entre sus
coeficientes de variación.
7.33) Se tienen dos conjuntos de datos, en donde:
24
Medidas de Dispersión
Angel Francisco Arvelo L.
i n1
1° Conjunto: n1= 75 ;
X 12i = 67688,75
;
i 1
i n2
X 22i = 46540,80 ;
2° Conjunto: n2 = 80 ;
C.V1 = 5%
C.V2 = 10%
i 1
Calcule el coeficiente de variación de su unión.
Solución: 13,43%
7.34) El sueldo promedio del personal de una industria es de 40.000.
Se sabe que del personal de esa industria,
2
3
son obreros y
1
3
son empleados, y
que además, el sueldo promedio de los empleados es el doble del de los obreros .
La desviación típica en el sueldo de los obreros es de 5.000 ; mientras que en el
sueldo de los empleados es de 15.000 .
a) ¿Cual es el sueldo promedio de los empleados y cual el de los obreros?.
b) Si se aumentan los sueldos en 20% para los empleados, y en 50% para los
obreros.
Encuentre el nuevo coeficiente de variación en los sueldos, para todo el personal
Solución : a) 60.000 y 30.000 b) 32,47% .
7.35) En una plantel se administró un examen sobre 100 puntos, y los alumnos
concurrieron en dos turnos: mañana y tarde.
Para el turno de la mañana se obtuvo una media de 52,00 puntos ,y para el turno
de la tarde donde presentaron 330 alumnos, se obtuvo una media de 46,00 puntos.
La media de todo el grupo resultó ser de 48,04 puntos.
Tanto para el turno de la mañana como para el de la tarde, se obtuvo la misma
desviación típica; pero la desviación típica de todo el grupo resultó ser 30% mayor
que la de la mañana (o de la tarde) .
En base a esta información, obtenga el coeficiente de variación para cada uno de
los turnos, y el de todo el grupo.
Solución: Mañana : 6,58 % . Tarde: 7,43 % . General : 9,25 % .
7.36) Determine la varianza de “n” datos que sean iguales a los primeros “n”
n2 1
números naturales: 1, 2, 3 , ….. , n.
Solución :
.
12
7.37) Aproveche el resultado del ejercicio anterior para encontrar la varianza de “n”
datos que se encuentren en progresión aritmética: a , a + r , a + 2r , …., a+ (n -1) r .
r 2 (n 2 1)
Solución :
12