Campos eléctricos y Magnéticos

Campos eléctricos y Magnéticos
Fuerza eléctrica: es la fuerza de atracción ejercida
entre dos o más partículas cargadas.
La fuerza eléctrica no sólo mantiene al electrón
cerca del núcleo, también mantiene a los átomos
unidos en las moléculas y estructuras cristalinas.
Generalmente se asume que las partículas que
ejercen esta fuerza están en reposo o se mueven
muy lentamente (movimiento cuasi-estático).
Las fuerzas eléctricas ejercidas bajo estas
condiciones son conocidas como Fuerzas
electrostáticas y fueron estudiadas inicialmente
por Charles Coulomb (1736-1806).
Las fuerzas electrostáticas pueden ser
atractivas o repulsivas, dependiendo del tipo de
partículas que estén interaccionando:
partículas
Electrón - protón
Electrón - electrón
Protón - protón
Neutrón - cualquiera
fuerza
atractiva
repulsiva
repulsiva
zero
Cuando las partículas están en movimiento a
velocidad constante o a velocidades muy
parecidas, las fuerzas eléctricas se modifican y
además de la fuerza eléctrica aparece la fuerza
magnética.
A la combinación de las fuerzas eléctricas y
magnéticas
se
les
llama
fuerzas
electromagnéticas.
Ley de Coulomb
Las fuerzas eléctricas entre
partículas cargadas tienen las mismas
magnitudes
cuando
éstas
se
encuentran a la misma distancia.
Es decir, la fuerza no depende de la masa de
las partículas, pero sí de la carga eléctrica:
Partícula
Protón, p
Electrón, e
Neutrón, n
carga
+e
-e
0
Donde e = 1.6 x10-19C
La ley de Coulomb dice que:
La magnitud de la fuerza eléctrica que una
partícula ejerce sobre otra partícula es
directamente proporcional al producto de sus
cargas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia entre ellas. La dirección de la
fuerza estará sobre la línea de unión de las
partículas.
Ejercicio: Escribe la interpretación matemática
para esta ley.
F = [cons tan te ]×
q' q
r2
[constante]=8.99x109Nm2/C2
La cual se puede reescribir como:
1
K =
donde ε0 es la constante de
4 πε 0
permitividad de vacío y tiene un valor de:
8.85x10-12C2/Nm2
1 q' q
Por lo que: Fe = 4πε0 r 2
Esta ecuación aplica a cualquier partícula (e y p), y
también a cualquier cuerpo pequeño y cargado, de
tal forma que se puede probar que el tamaño de los
cuerpos es mucho menor que la distancia entre
ellos. A esos cuerpos se les llama cargas puntuales.
Ejercicio 1: Compara las magnitudes de la fuerza
de gravedad atractiva y de la fuerza eléctrica de
atracción entre el electrón y el protón de un átomo
de hidrógeno. De acuerdo con la mecánica
newtoniana determina la aceleración del electrón.
Asume que la distancia entre las dos partículas es
0.53X10-10 m.
Ejercicio 2: ¿qué tan negativa o tan positiva es la
carga que hay de electrones y protones en una taza
de agua (considera una masa de agua de 0.25 Kg)?
El campo eléctrico
Las fuerzas eléctricas y de gravitación entre
partículas se consideran acción a distancia; es decir
existe una interacción entre ellas sin que se toquen.
Esta acción a distancia fue considerada por
Newton como un agente material que actúa como
mediador de la fuerza. Actualmente se le conoce
como “campo”.
Una carga eléctrica o gravitacional de un cuerpo,
genera un campo eléctrico o gravitacional, el cual
permea en el aparente “espacio vacío” alrededor
del cuerpo y empuja o jala cualquier objeto que
entra en contacto con el cuerpo.
Supón que se tiene una carga q’ frente a una carga
de prueba de 1C (1 coulomb)
1C
Carga de prueba
q’
Si q’ es +, la carga prueba sería repelida.
Si q’ es -, la carga prueba sería atraída.
r
q’
1C
La elección de la carga prueba de 1C tiene la
ventaja de que podemos escribir la fuerza eléctrica
como:
Fe = K
q' (1C)
r2
Si dividimos la expresión entre 1C obtenemos la
ecuación para el campo eléctrico:
Fe
q'
E= =K 2
1C
r
Ejercicio 3. ¿Cómo se verá el campo entre dos
partículas cargadas positivamente cundo se
acercan?
¿Cómo se verá si las partículas fueran de signos
opuestos?
El campo eléctrico se define como la fuerza
eléctrica por unidad de carga
E=
Fe
q
Ejercicio 4: Entre dos placas paralelas se tiene un
campo eléctrico de 10000 N/C. Determina la
fuerza eléctrica sobre una carga de un millón de
electrones.
Ejercicio 5: Determina el campo eléctrico creado
por un protón.
Potencial eléctrico
¿Cuál será la energía necesaria para llevar una
carga eléctrica de un punto a otro en el espacio?
Cuando se transporta una carga desde el punto 1
hasta el punto 2, se realizará un trabajo (w) que
deberá ser igual a la diferencia de energías
potenciales en 1 y 2.
V2 − V1 = ∆V = w
¿por qué energías potenciales?
Por convención, V = 0 para los puntos donde no se
ejerza atracción o repulsión sobre la carga q, lo
cual ocurre si se encuentra a una distancia infinita
de cualquier otra carga.
Escojamos el punto 1 a una distancia infinita de la
carga q’ y el punto 2 a una distancia r de la carga
q’ y calculemos la energía potencial en el punto 2
como el trabajo (fuerza por distancia) para llevar
del punto 1 al 2, a través de la variable a, desde
infinito hasta r.
a =r
da
qq'
⎡ − 1⎤
w = − ∫ Fe da = −Kqq' ∫ 2 = −Kqq' ⎢ ⎥ = K
r
⎣r ⎦
a→∞
∞a
r
w = V2 = K
qq'
r
Esta es la expresión de la energía potencial de una
carga q’ a una distancia r de una carga q.
Si q’ fuera un electrón con carga -e, y q fuera Z
protones, de carga +e, la energía potencial sería:
(
Ze2
Ze)(− e)
= −K
V =K
r
r
A la energía potencial por unidad de carga se le
conoce como potencial eléctrico:
V
φ=
q
1
∆φ = φ2 − φ1 = (V2 −V1 )
q
Pero V2 es el trabajo para llevar a q del ∞ a 2
V1 es el trabajo para llevar a q del ∞ a 1
V2-V1 es el trabajo para llevar a q de 1 a 2
w12= V2-V1
w12
∆φ =
q
V = φq
w12 = (∆ φ )q
Si q es positiva, tenderá de forma espontánea a
viajar hacia puntos con menor potencial eléctrico.
∆φ < 0; q∆φ = w < 0
Si q es negativa, tenderá de forma espontánea a
pasar hacia puntos con mayor potencial eléctrico.
∆ φ > 0; q ∆ φ = w < 0
Ejercicio 6: Calcule el cambio en la energía
potencial cuando un electrón se transporta de un
punto a otro, entre los cuales existe una diferencia
de potencial igual a un voltio.
Campo magnético
La electrodinámica
movimiento.
estudia
las
cargas
en
La fuerza que se ejerce sobre dos cargas en
movimiento se puede expresar como:
F = Fe + Fm
donde la fuerza eléctrica depende del campo
eléctrico
Fe = qE
y la fuerza magnética depende de un nuevo campo,
llamado magnético.
Éste hace que la carga q sienta una fuerza adicional
que depende de la carga misma, de su velocidad y
de la magnitud y dirección del campo magnético (θ
es el ángulo que forman los vectores v y B):
Fm =qvB senθ
De aquí que las unidades del campo magnético
sean
N
B=
Unidades de
Cm
s
N
=
Am
En notación vectorial:
Fm = q(v × B)
Lo que implica que el vector Fm es perpendicular a
los vectores v y B.
Ejercicio 7. Estime la fuerza que experimenta un
electrón que llega a la tierra, perpendicular al
ecuador a una velocidad de 4x105m/s. Compare
esta fuerza con la de atracción gravitacional del
electrón. me= 9.11x10-31 Kg.
El descubrimiento del electrón
El electrón lo descubre Joseph John Thomson, en
1897, cuando detecta que los llamados
‘rayos.catódicos’ están compuestos de partículas
cargadas con una relación
carga/masa = 1.7588 × 1011 C/Kg
Los rayos catódicos viajan en línea recta y por ello
dan sombras de la forma de los objetos sobre los
que golpean. Además, tienen masa, porque hacen
girar una rueda de paletas.
Adicionalmente, tienen carga, porque son
desviados por campos eléctricos y magnéticos.
Este es el aparato de Thomson con el que obtuvo la
relación de la carga entre la masa de “los
corpúsculos” constituyentes de los rayos catódicos.
Si sólo el campo eléctrico actúa sobre los
electrones, la fuerza eléctrica
Fe= e E
los desvía hacia arriba, alcanzando el punto a.
Si sólo actuara sobre los electrones el campo
magnético, la fuerza magnética
Fm=evB
los haría moverse hacia abajo, en una trayectoria
circular, alcanzando la pantalla en el punto c.
En el movimiento circular, la partícula tendría una
aceleración centrípeta
v2
a=
R
donde R es el radio de curvatura del movimiento
circular.
Aplicando la segunda ley de Newton, la fuerza
magnética debe ser igual a la masa por la
aceleración:
mv 2
evB =
R
De donde la relación e/m para estas partículas sería
igual a:
e
v
=
…(1)
m BR
Desafortunadamente, la velocidad, v, es una
variable desconocida.
Sin embargo, se puede aplicar ahora el campo
eléctrico para que la fuerza eléctrica se iguale a la
magnética y el haz de electrones vuelva a caer
sobre el punto b de la pantalla. En ese punto:
Fe = Fm
eE = evB
De donde podemos despejar a la velocidad en
función de variables conocidas:
E
v =
B
Lo que substituido en la ecuación (1), nos lleva a:
e
E
= 2
m BR
Aplicando esta ecuación, J.J.Thomson obtuvo
e/m= 1.7588 × 1011 C/kg
Determinación de la carga del electrón
Fue en el periodo de 1909 a 1913 en el que Robert
Millikan hizo la primera determinación directa de la
carga del electrón, para la cual encontró
e= 1.591 × 10-19 C
El valor actualmente aceptado es e = 1.6021 × 10-19 C.
Veamos con un problema cómo fue que Millikan
determinó la carga del electrón.
Determinación de la carga del electrón
Problema 15 págs 135-6
La siguiente figura muestra el esquema
experimental empleado por Millikan para
determinar la carga del electrón.
La mayor parte de las gotitas de aceite se ionizan
por la fricción al salir del atomizador. En ausencia
del campo eléctrico E, el observador puede seguir
la caída de una gota con carga q, masa M y radio r.
Aunque en principio la gota cae aceleradamente, la
fuerza de resistencia del aire, que vale:
F. = 6πηrv (ley de Stokes)
(η es la viscosidad del aire y v la velocidad de
caída), crece hasta igualarse con la fuerza de la
gravedad:
Fg = Mg
a) Iguale ambas fuerzas y despeje la velocidad
final de caída o velocidad terminal.
b) ¿Qué unidades tendrá en el SI la viscosidad η?
c) Obtenga la masa de la gota esférica como la
densidad del aceite por su volumen y sustitúyala en
el resultado de a) para obtener
⎛ 4 πr 3
M = ρ ⎜⎜
⎝ 3
2r 2 gρ
v=
9η
⎞
⎟⎟
⎠
d) Una gota de aceite (r = 800 kg/m3) en un
aparato de Millikan cae una distancia de 2 mm en
22.7s en ausencia de campo eléctrico. La
viscosidad del aire es 1.7 x 10-5 Ns/m2. Calcule el
radio y la masa de la gota.
e) Al aplicar un campo eléctrico de 7788 N/C, la
gota del inciso anterior permanece quieta al
igualarse las fuerzas eléctrica y gravitacional.
Calcule la carga que porta la gota.
f) ¿Cuántas veces supera q a la carga del electrón,
e?