parte I - Casanchi

UN MODELO TERMODINAMICO PARA
DESCRIBIR LAS ESTRELLAS MEDIANTE
LA APLICACIÓN DE MECÁNICA
ESTADÍSTICA
por
Sebastian Fortin
[email protected]
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Buenos Aires
Corregida por:
Dr. Julio Gratton
0. Índice
Mayo de 2010
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN………………………………………………………………..…..1
2. CONCEPTOS BÁSICOS…………………………………………………………….5
Contracción gravitatoria
Caída libre
Equilibrio Hidrostático
3. EL GAS IDEAL……………………………………………………………………..10
El gas ideal
El límite clásico
La función de partición de un sistema de partículas idénticas sin interacción
Las distribuciones para Bosones y Fermiones
Cálculo de la presión
Límite no relativista
Límite ultra relativista
4. EL EQUILIBRIO HIDROSTÁTICO……………………..…………………..…….19
Equilibrio de un gas de partículas no relativistas
Equilibrio de un gas de partículas ultra-relativistas
5. EL NACIMIENTO DE UNA ESTRELLA………………………………………….22
Condiciones para el colapso gravitatorio
Contracción de una protoestrella
6. PROPIEDADES DE LA MATERIA………………………………….…...………..26
Límite del tratamiento clásico
Concentración cuántica no relativista
Validez del tratamiento clásico para partículas no relativistas
Concentración cuántica relativista
Validez del tratamiento clásico para partículas relativistas
Gas ideal de Fermiones
La energía de Fermi
El potencial químico
Energía y calor específico
Gas Fotones (Radiación)
Transferencia de calor
Gradiente de temperaturas
Órdenes de magnitud
Electrones en el sol
Fotones en el Sol
7. SISTEMAS CON VARIOS TIPOS DE PARTÍCULAS………………...………….46
Ionización del hidrógeno monoatómico
Mezcla de gases ionizados
Producción de pares electrón-positrón
Fotodesintegración de núcleos
Reacciones nucleares
Combustión del hidrógeno
Combustión de elementos más pesados
8. EL INTERIOR DE UNA ESTRELLA…………………………………………...…62
Cúmulos globulares
El diagrama de Hertzsprung-Russell
ii
0. Índice
Ionización de átomos en las estrellas
La fusión nuclear en las estrellas
El modelo de Clayton
Masa mínima de una estrella de la secuencia principal
Masa máxima de una estrella de la secuencia principal
Unidad fundamental de masa estelar
9. LAS ENANAS BLANCAS…………………………………………………………86
Reseña histórica
Relación entre la masa y la densidad central
La masa y el radio
Enfriamiento de una enana blanca
10. OTROS POSIBLES FINALES…………………………………………………...…99
Colapso del núcleo estelar
Fotodesintegración de núcleos
Captura de electrones
Fuerzas nucleares
Tamaño de una estrella de neutrones
11. BIBLIOGRAFÍA...…………...………………………………………………….…106
iii
1. Introducción
1. INTRODUCCIÓN
Una de las preguntas más antiguas que se ha formulado la humanidad es ¿Qué son las
estrellas? Durante miles de años la única respuesta que se le podía dar es la obvia “son luces
en el cielo”, algunos arriesgaban respuestas de tipo místico. El primer modelo que no
incluyera alguna divinidad del que sabemos es el propuesto por Anaximandro de Mileto
hacia el año 550 a.C., quien decía que el Sol, la Luna y las estrellas están constituidos por un
fuego que se ve a través de agujeros en movimiento en la cúpula opaca del cielo. Por el año
450 a.C. Anaxágoras afirmó que la Luna refleja la luz del Sol explicando así sus fases y
propuso que el Sol y las estrellas son piedras ardientes. En el año 280 a.C. Aristarco de
Samos dedujo a partir del tamaño de la sombra de la Tierra sobre la Luna durante un eclipse
lunar que el Sol tenía que ser mucho más grande que la Tierra y que tenía que estar a una
distancia muy grande, además sospechó que las estrellas son soles distantes. Hacia el año
1660 d.C. Christiaan Huygens practicó pequeños agujeros en una placa de latón, puso la
placa contra el Sol y se preguntó cuál era el agujero cuyo brillo equivalía al de la brillante
estrella Sirio, brillo que recordaba de la noche anterior y suponiendo que Sirio era igual que
el Sol determinó que debía encontrarse 28000 veces mas alejado que el Sol (El cálculo
hubiera sido una buena aproximación pero Sirio es mucho mas brillante que el Sol). Durante
mucho tiempo los avances en el intento de responder esta pregunta fueron lentos y sin una
justificación sólida. Pero durante el siglo XX y parte del XIX se produjo un gran salto, la
invención de la espectrometría, y los avances en física cuántica y en relatividad, entre otras
cosas, permitieron dar una explicación mucho más completa y satisfactoria. Hoy día
disponemos de una respuesta muy consistente.
Brevemente, las estrellas se condensan a partir de gas y de polvo interestelares, los cuales se
componen principalmente de hidrógeno. El hidrógeno se originó en el Big Bang, la
explosión que inició el Cosmos. La atracción gravitatoria hace que una nube de hidrógeno se
contraiga ocupando un volumen cada vez menor. La colisión de las moléculas gaseosas en el
interior de la nube la calienta hasta el punto en el cual el hidrógeno empieza a fundirse dando
1
1. Introducción
Helio: cuatro núcleos de hidrógeno se combinan y forman un núcleo de Helio, con la
emisión simultánea de fotones. Los fotones sufren absorciones y emisiones por parte de la
materia que los rodea y se van abriendo paso paulatinamente hacia la superficie de la
estrella, perdiendo energía en cada paso, y llegando al final después de una épica jornada que
ha durado un millón de años hasta la superficie, donde emergen en forma de luz visible y son
radiados hacia el espacio. La estrella empieza a funcionar. El colapso gravitatorio de la nube
preestelar ha quedado detenido. El peso de las capas exteriores de la estrella está sostenido
ahora por las temperaturas y presiones elevadas generadas por las reacciones nucleares del
interior. El Sol ha estado en esta situación estable durante los últimos cinco mil millones de
años. Reacciones nucleares semejantes a las que tienen lugar en una bomba de hidrógeno
proporcionan energía al Sol gracias a una explosión contenida y continua, que convierte unos
cuatrocientos millones de toneladas ( 4× 10 9 kg) de hidrógeno en Helio cada segundo. Pero la
fusión del hidrógeno no puede continuar indefinidamente: en el interior caliente del Sol y de
cualquier otra estrella hay una cantidad limitada de hidrógeno. En el caso del Sol, cuando
dentro de cinco o seis mil millones de años todo el hidrógeno central haya reaccionado y
formado Helio la zona de fusión del hidrógeno irá migrando lentamente hacia el exterior,
formando una cáscara en expansión donde ocurren las reacciones termonucleares, que se
extiende hasta donde la temperatura es inferior a unos diez millones de grados. Finalmente,
la fusión del hidrógeno se apagará. Mientras tanto la gravedad propia del Sol producirá una
contracción de su núcleo rico en Helio y a un aumento adicional de la temperatura y presión
interior. Los núcleos de Helio quedarán en condiciones de fusionarse de manera que la
ceniza del ciclo anterior se convierte en combustible y el Sol iniciará una nueva ronda de
reacciones de fusión. El Sol, bajo la influencia combinada de la fusión del hidrógeno en una
delgada capa lejos del interior y de la fusión de Helio a alta temperatura en el núcleo,
experimentará un cambio importante: su exterior se expandirá y se enfriará. El Sol se
convertirá en una estrella gigante roja, con una superficie visible tan alejada de su núcleo que
la gravedad en dicha superficie será débil y su atmósfera se expandirá hacia el espacio.
2
1. Introducción
Cuando este Sol hinchado se haya convertido en un gigante rojo, envolverá y devorará los
planetas Mercurio y Venus, y probablemente también la Tierra.
La ceniza estelar del Sol sólo puede servir de combustible hasta cierto punto. Llegará un
momento en que todo el interior solar será de Carbono y Oxígeno, y a las temperaturas y
presiones dominantes no podrá ocurrir ninguna otra reacción nuclear. Cuando el Helio
central se haya gastado casi del todo, el interior del Sol reanudará su aplazado colapso y la
temperatura aumentará de nuevo poniendo en marcha una última serie de reacciones
nucleares y expandiendo la atmósfera solar un poco más. El Sol, en su agonía, pulsará
lentamente, expandiéndose y contrayéndose con un período de algunos milenios, hasta
acabar arrojando su atmósfera al espacio en forma de una o más cáscaras concéntricas de
gas. El interior solar, caliente y sin protección, inundará la cáscara con luz ultravioleta
induciendo una hermosa fluorescencia roja y azul que se extenderá mas allá de la órbita de
Plutón. Los restos del Sol, es decir, el núcleo desnudo envuelto en su nebulosa, será una
pequeña estrella caliente que emitirá su calor al espacio y que habrá quedado colapsada hasta
poseer una densidad inimaginable en la Tierra: más de una tonelada en una cucharadita de te.
Miles de millones de años más tarde, el Sol quedará convertido en una enana blanca
degenerada, enfriándose para llegar a su estado final: el de una enana negra oscura y muerta.
El destino de una estrella al final de de su ciclo vital depende mucho de su masa inicial. Si
una estrella, después de haber perdido en el espacio parte de su masa, conserva entre dos y
tres veces la masa del Sol, finaliza su ciclo vital de un modo impresionantemente distinto al
del Sol. Dos estrellas de idéntica masa evolucionarán más o menos paralelamente. Pero una
estrella de masa superior gasta más rápidamente su combustible nuclear y se convierte antes
en una gigante roja e inicia primero el descenso final hacia una enana blanca. Hay casos de
estrellas binarias en los que una componente es una gigante roja y la otra una enana blanca
que se encuentran tan próximas que se tocan, y una atmósfera incandescente fluye de la
hinchada gigante roja a la compacta enana blanca. El hidrógeno se acumula, comprimido a
presiones y temperaturas cada vez mayores por la intensa gravedad de la enana blanca, hasta
que la atmósfera robada a la gigante roja sufre reacciones termonucleares y la enana
3
1. Introducción
experimenta una breve erupción que la hace brillar. Una binaria de este tipo se llama nova.
Las supernovas se dan en estrellas aisladas y reciben su energía de la fusión del silicio. Éstas
finalizan con su atmósfera exterior expulsada hacia el espacio, quedando un núcleo de
neutrones calientes, sujetos entre sí por las fuerzas nucleares, formando un único núcleo de
gran masa con un peso atómico de 1056, es decir, un Sol de unos treinta kilómetros de
diámetro. A medida que el núcleo de una gigante roja de gran masa entra en colapso para
formar así una estrella de neutrones, va girando más rápidamente. Su poderoso campo
magnético atrapa las partículas cargadas, que emiten una radiación en forma de haz, no sólo
en las frecuencias de radio, sino también en luz visible. Si la tierra está situada casualmente
en la dirección barrida por el haz de este “faro cósmico”, vemos un destello en cada rotación.
Por este motivo se denomina pulsar a la estrella.
Una estrella como el Sol finaliza sus días como una enana blanca, una con el doble de su
masa como una estrella de neutrones; pero una estrella de masa superior que después de
pasar por la fase de supernova queda con la masa de, digamos cinco soles, termina sus días
como un agujero negro.
El objetivo de la presente monografía es mostrar como se llega a algunas de estas
conclusiones tan asombrosas y describir parte de la física y matemática involucradas en el
proceso. No se hará una exposición completa de todos los temas, pero el lector podrá
formarse una idea del tipo de consideraciones y cálculos que se realizan para entender la
evolución de una estrella y sus posibles finales.
4
2. Conceptos básicos
2. CONCEPTOS BÁSICOS
Contracción gravitatoria
La gravedad es la fuerza que motoriza la evolución estelar. Las estrellas se condensan a
partir de gas y de polvo interestelares, los cuales se componen principalmente de hidrógeno.
El hidrógeno se originó en el Big Bang, la explosión que inició el Cosmos. La atracción
gravitatoria hace que una nube de hidrógeno se contraiga ocupando un volumen cada vez
menor. La colisión de las moléculas de la nube la calienta hasta que se dan las condiciones
que permiten la fusión termonuclear.
Para describir este proceso gravitatorio de forma simple y general analizaremos un sistema
esférico de masa M y radio R como el que muestra la Figura 1.01, donde las únicas fuerzas
involucradas provienen de la gravedad y la presión interna.
R
r
dm
Figura 1.01. Sistema esférico de masa M y radio R.
Para comenzar consideremos que el sistema tiene simetría esférica de manera que la
distribución de masa ρ(r) y de presión P(r) son sólo funciones de la distancia r al centro.
Debido a las características de la gravedad, la fuerza sobre un elemento de masa situado a
una distancia r del centro proviene sólo de la interacción de este elemento con la materia
ubicada a una distancia del centro menor que r. La masa contenida en el recinto esférico de
radio r es:
5
2. Conceptos básicos
r
m(r ) = ∫ ρ (r ' )4πr '2 dr '
(2.01)
0
La fuerza gravitatoria ejercida por esta masa sobre un elemento dm situado a una distancia r
del centro produce una aceleración radial dada por:
g ( r ) = −G
m( r )
r2
(2.02)
Por otro lado consideremos el efecto de la presión del gas sobre este elemento de masa. Si el
elemento se aloja en la región comprendida entre r y r+∆r y tiene una sección ∆A, el
volumen que ocupa será ∆r∆A. Si la presión es uniforme en toda la esfera no habrá efecto
neto sobre el elemento pero si hay un gradiente de presión, como se muestra en la Figura
1.02, sobre dm actuará una fuerza dada por:
[P(r ) − P(r + ∆r )]∆A =  P(r ) −  P(r ) + dP ∆r  ⋅ ∆A = − dP ∆r∆A


dr

dr
(2.03)
∆r
P∆A
P∆M
(P+∆P) ∆A
Figura 1.02. Se muestran las fuerzas sobre el elemento de masa dm que se
encuentra a radio r según se muestra en la Figura 1.01. Si la presión en r es distinta
de la de r+∆r entonces ∆P es distinto de cero aparece una fuerza que se opone a la
gravedad.
Como la masa del elemento es dm = ρ (r )∆r∆A podemos escribir la aceleración total, debida
a la gravedad y a la presión, que sufrirá el elemento considerado como:
d 2r
G ⋅ m( r )
1 dP
=−
−
2
2
dt
r
ρ (r ) dr
(2.04)
por lo que la condición de equilibrio entre las dos fuerzas será:
dP
m( r )
= − ρ (r )G 2
dr
r
6
(2.05)
2. Conceptos básicos
Caída libre
Supongamos que no existiera gradiente de presiones o que los efectos de éste se puedan
despreciar frente a la gravedad. En este caso cada elemento de la nube colapsará hacia el
centro con la aceleración g(r). Consideremos una cáscara esférica de radio r0 y de masa Mc
inicialmente en reposo que encierra una masa m0. Es lógico suponer que debido a la simetría
del problema la cáscara mantendrá su forma durante el colapso y que la masa encerrada por
la cáscara será siempre la misma. En el instante inicial toda la energía será potencial
gravitatoria, mientras que a medida que colapsa los elementos de masa se aceleran y el
sistema gana energía cinética. De la conservación de la energía se puede obtener una
relación entre la velocidad y el radio de la cáscara.
1 1 
G ⋅ m0
m
M  dr 
1  dr 
M c = c   − G 0 M c ⇒   = G − m0
r0
2  dt 
r
2  dt 
 r r0 
2
−
2
(2.06)
A partir de esta ecuación diferencial se puede obtener el tiempo de caída libre de la cáscara
hasta el centro:
0
 G 2m0 G 2m0 
dt
= ∫ dr = ∫ 
−

r
r0 
dr
r0
r0 
0
t CL
−1 / 2
1/ 2
dr =
π  r03 


2  2Gm0 
(2.07)
Se observa que el tiempo de caída libre está determinado por la relación entre la masa
encerrada y el cubo del radio inicial. Si por ejemplo no existiera un gradiente de presiones en
el Sol o si sus efectos fueran despreciables respecto de la gravedad, la ecuación (2.07) indica
que su radio cambiaría apreciablemente en cuestión de minutos. En realidad la gravedad no
actúa nunca completamente sin oposición, usualmente cuando la nube se contrae aumenta la
presión en su centro y aparece un gradiente de presiones que se opone a la acción
gravitatoria, sin embargo la caída libre puede ser una buena aproximación en algunos casos,
por ejemplo en las instancias iniciales de la formación de una estrella cuando las moléculas
de gas están muy dispersas.
7
2. Conceptos básicos
Equilibrio Hidrostático
La condición de equilibrio (2.05) nos sugiere una forma fácil de hallar la relación entre la
presión interna media y la energía potencial del sistema. Como queremos el valor medio
multiplicamos ambos miembros por 4πr 3 , e integramos de r = 0 a r = R :
R
3
∫ 4πr
0
Gm(r ) ρ (r )4πr 2
dP
dr
dr = − ∫
r
dr
0
R
(2.08)
Ambos miembros de la igualdad tienen significado físico. El derecho es la energía potencial
gravitatoria del sistema (EGR) y, teniendo en cuenta que la masa contenida en el elemento de
volumen contenido entre dos esferas de radio r y r+∆r es dm = ρ (r )4πr 2 dr , EGR queda:
EGR = −
m=M
Gm(r )
dm
r
m =0
∫
(2.09)
El miembro izquierdo se puede integrar por partes para obtener:
[P(r )4πr ]
3 R
0
R
− 3∫ P(r )4πr 2 dr
(2.10)
0
donde el primer término es nulo porque la presión sobre la superficie exterior es nula. El
segundo término es proporcional al promedio en volumen de la presión, es decir la presión
media. De esta manera podemos hallar la presión media necesaria para mantener en
equilibrio a un sistema con energía gravitatoria EGR y volumen V:
P =−
1 EGR
3 V
(2.11)
Este resultado se puede enunciar de la siguiente manera: “La presión media necesaria para
mantener en equilibrio hidrodinámico a un sistema es igual a un tercio de la densidad media
de energía potencial gravitatoria” y se conoce como el teorema del virial. Este resultado es
fundamental en el análisis de la evolución estelar, y determinará si una nube de gas se
encogerá para convertirse en un planeta gaseoso, si continuará su colapso para comenzar a
brillar como una estrella, y también determinará si el destino final de una estrella es una
enana blanca, una estrella de neutrones o un agujero negro. Como se puede observar todo
depende de la energía potencial gravitatoria, es decir de la masa inicial de la nube de gas, y
8
2. Conceptos básicos
de la presión interna. La presión en el interior del sistema puede tener distintos orígenes
físicos. La presión en equilibrio depende de la masa inicial del sistema. Para sistemas muy
masivos como estrellas o planetas gaseosos como Júpiter la presión media es muy elevada y
en su centro es tan alta que modifica las propiedades de la materia: los átomos están
ionizados, los electrones pueden estar muy próximos y tener velocidades relativistas, la
presión de radiación puede ser considerable. Por lo tanto será necesario contemplar los casos
de partículas clásicas y cuánticas, relativistas y no relativistas. Muchas propiedades de estos
sistemas se pueden deducir modelando el sistema como un gas ideal sometido a las
condiciones ya mencionadas.
9
3. El gas ideal
3. EL GAS IDEAL
El interior de una estrella es un ambiente donde la materia y la radiación se encuentran a alta
temperatura y generan la presión necesaria para oponerse a la contracción gravitatoria. Las
condiciones son extremas: los átomos están ionizados, los electrones pueden estar
degenerados y poseer velocidades ultra-relativistas, la presión de radiación puede ser
significativa. Sin embargo, desafiando esta complejidad, muchas de las propiedades del
interior de una estrella se pueden entender considerando un sistema termodinámico simple;
el gas ideal. Pero lo debemos considerar en su aspecto más amplio, es decir tomando en
cuenta los casos clásico, cuántico, relativista y no relativista.
El gas ideal
El gas ideal está compuesto por un gran número de partículas (átomos, iones, electrones,
fotones, neutrinos, etc.). En general, los efectos cuánticos y relativistas se vuelven
importantes, salvo casos particulares. En la Mecánica Clásica se puede identificar una dada
partícula y seguirla en su movimiento, porque mientras no la perdamos de vista conserva su
identidad y la podemos distinguir de las demás partículas aunque éstas sean idénticas a ella.
Pero en la Mecánica Cuántica ésto no se puede hacer, pues debido al principio de incerteza
la extensión espacial de la función de onda que describe nuestra partícula es finita, lo cual
conduce inevitablemente a un solapamiento con las funciones de onda de otras partículas
idénticas a ella. Entonces cuando observamos una partícula no podemos identificar de cuál
de ellas se trata. Este hecho produce efectos muy importantes, que no tienen un análogo
clásico. Un efecto importante de la indistinguibilidad de las partículas es que la función de
onda de un sistema de partículas idénticas es o simétrica o antisimétrica respecto del
intercambio de sus argumentos y esta propiedad se conserva en el tiempo. Se deduce
fácilmente que los estados de un sistema de partículas idénticas o son todos simétricos, o son
todos antisimétricos, dependiendo de la clase de partículas de que se trate. La Teoría
Cuántica Relativista de Campos demuestra que existe una relación entre la simetría o
10
3. El gas ideal
antisimetría de la función de onda que describe un sistema de partículas idénticas y el spin de
las partículas, la relación es la siguiente:
•
Los sistemas de partículas de spin semientero (electrones, protones, neutrones, etc.)
se describen por medio de funciones de onda antisimétricas; tales partículas se
denominan Fermiones pues obedecen a la estadística de Fermi-Dirac.
•
Los sistemas de partículas de spin entero (fotones y otras más) se describen por
medio de funciones de onda simétricas; tales partículas se denominan Bosones
porque obedecen a la estadística de Bose-Einstein.
El hecho que un sistema de Fermiones, como un gas de electrones, se describa mediante una
función de onda antisimétrica tiene como consecuencia el principio de exclusión de Pauli por
el cual no puede haber en un sistema de Fermiones dos de ellos en el mismo estado cuántico.
Esta restricción no existe para un sistema de Bosones. Es importante recordar que cuando las
funciones de onda de dos partículas idénticas no se solapan, éstas se comportan como
partículas clásicas, esto es distinguibles.
El límite clásico
Consideremos un sistema de N partículas que no interactúan y que ocupan un volumen V, y
supongamos que están en equilibrio térmico a la temperatura T. De acuerdo con el Teorema
de Equipartición de la Mecánica Estadística Clásica, la energía cinética media de traslación
de cada partícula no relativística de masa m es:
3
2
ε = kT
(3.01)
donde k es la constante de Boltzmann, y el valor medio del impulso de una partícula es:
p = 2mε = 3mkT
(3.02)
La longitud de onda de Broglie, que nos da la medida de la extensión espacial del paquete de
ondas que la describe, vale entonces:
11
3. El gas ideal
λB =
h
h
=
p
3mkT
(3.03)
Las partículas del sistema se podrán considerar distinguibles si la distancia media entre ellas
(l) es mucho menor que la extensión del paquete de ondas. Como la distancia media entre las
partículas está dada por:
l =3
V
n
(3.04)
la condición de validez de la Mecánica Estadística Clásica queda:
Nh 3
<< 1
3/ 2
V (3mkT )
(3.05)
Para entender el significado de esta condición recordemos que la probabilidad de que una
partícula se encuentre en un particular estado de energía de traslación εi está dada por la
distribución de Boltzmann:
ε
1 − kTi
Pi =
e
Z tr
(3.06)
donde Ztr es la función de partición traslacional que para una partícula clásica está dada por:
Z tr =
V
(2πmkT ) 3 / 2
3
h
(3.07)
Como el sistema consta de N partículas, el número de ocupación medio de cada estado es:
ε
− i
Nh 3
kT
ni = N P i =
e
V (2πmkT ) 3 / 2
(3.08)
Entonces la condición de distinguibilidad implica que:
ni << 1
(3.09)
Esto se interpreta como que la gran mayoría de los estados de una partícula están vacíos, y
sólo unos pocos están ocupados por una sola partícula. En este límite desaparece la
diferencia entre Bosones y Fermiones, y ambos se pueden considerar partículas clásicas.
Cuando no se cumple la condición (3.09) hay que considerar los efectos cuánticos. Debe
quedar claro que la distribución de Boltzmann (3.06) es correcta pues deriva de
consideraciones generales sobre el equilibrio de un sistema bajo determinadas restricciones.
12
3. El gas ideal
El inconveniente de la Estadística Clásica está en la función de partición (3.07), que se
calculó suponiendo que la probabilidad de que una partícula ocupe un determinado estado no
depende de si otras partículas están ocupando (o no) ese mismo estado. Sabemos que esto
último no es cierto, pues debido a la indistinguibilidad de las partículas idénticas hay
correlaciones entre ellas, distintas para Bosones y Fermiones.
La función de partición de un sistema de partículas idénticas sin interacción
Para deducir las distribuciones apropiadas para los sistemas cuánticos conviene partir de la
distribución gran canónica o distribución de Gibbs, que se obtiene de considerar un sistema
de volumen fijo V sumergido en un baño calorífico a la temperatura T, y con el cual puede
intercambiar partículas. En estas condiciones la energía E y el número de partículas N del
sistema fluctúan, pero en general dichas fluctuaciones son despreciables para un sistema
macroscópico. El sistema se describe entonces en términos de T, V y del potencial químico
µ. Usando la notación β = 1 / kT , la distribución de probabilidad correctamente normalizada
de encontrar el sistema en un estado con N partículas cuya energía es EN,r está dada por:
P N ,r =
e
β (µN − E N , r )
(3.10)
Ζ
donde Z es la gran función de partición del sistema, dada por:
Z ≡ Z (T ,V , µ ) ≡ ∑ e
β (µN − E N , r )
(3.11)
N ,r
A partir de Z se pueden obtener todas las propiedades termodinámicas del sistema.
Consideremos un gas perfecto cuántico, es decir un sistema de partículas sin interacciones.
En este caso el estado del sistema está especificado por los números de ocupación:
n1,n2,…
(3.12)
de los estados de partícula individual ψ1(ξ), ψ2(ξ), …. Los ni son enteros no negativos tales
que:
∑n
i
i
13
=N
(3.13)
3. El gas ideal
Vamos a suponer que los estados ψi están ordenados por energía creciente, esto es:
ε 1 ≤ ε 2 ≤ ... ≤ ε i ≤ ...
(3.14)
por lo tanto:
Z=
∑ e β [µ (
n1 + n2 +... )−( n1ε1 + n2ε 2 +...)]
n1 , n2 ,...
= ∏ Zi
(3.15)
i
Aquí hemos escrito:
Z i = ∑ e β (µ −ε i )ni
(3.16)
ni
donde la sumatoria se extiende a todos los valores posibles de ni. Aquí vemos la ventaja de
partir de la distribución de Gibbs, pues en el ensemble gran canónico los ni no están
restringidos por la condición (3.13), y eso permitió factorizar Z, porque la distribución
estadística para cada estado de una partícula dada por la (3.16), no depende de lo que ocurre
con los demás estados. Sin embargo ésta simplificación tiene su precio: tuvimos que
introducir el potencial químico, que no conocemos de antemano y que hay que determinar a
posteriori imponiendo la condición:
∑n
i
=N
(3.17)
i
es decir la condición (3.13), pero restringida a los valores medios.
A partir del gran potencial U se obtienen las propiedades termodinámicas del sistema:
U (T ,V , µ ) = −kT ln(Z ) = E − TS − µN
(3.18)
Para deducir las consecuencias termodinámicas usamos la relación de Euler:
G = E − TS + PV = µN
(3.19)
Comparando ambas expresiones vemos que:
U = − PV
Todas las propiedades de interés las podemos obtener ahora a partir de Z o de las Zi.
Las fórmulas anteriores valen tanto para sistemas de Bosones como de Fermiones.
14
(3.20)
3. El gas ideal
Las distribuciones para Bosones y Fermiones
Establezcamos ahora las diferencias entre Bosones y Fermiones.
•
Bosones: En un sistema de Bosones ni puede tomar cualquier valor entero positivo a
partir de 0. Por lo tanto, sumando la serie geométrica que resulta de (3.16)
obtenemos:
Zi =
1
(ni = 0,1,2,…)
1 − e β ( µ −ε i )
(3.21)
La probabilidad que el número de ocupación del estado i tenga el valor ni está dada por:
P i ( ni ) =
e β (µ −ε i )ni
Zi
(3.22)
y entonces el número de ocupación medio del estado i está dado por:
ni =
 ∂(ln Z i ) 

 ∂µ T ,V
∑ n P (n ) = kT 
i i
i
todo ni
(3.23)
Usando la (3.21) y la (3.23) se obtiene la distribución de Bose-Einstein para los Bosones:
ni =
1
e
β (ε i − µ )
(3.24)
−1
El potencial químico se determina pidiendo que:
N = ∑ ni = ∑
i
i
1
e
β (ε i − µ )
−1
(3.25)
donde pusimos N = N dado que las fluctuaciones se pueden suponer despreciables.
•
Fermiones: En un sistema de Fermiones ni toma solamente los valores 0 y 1 y la
(3.16) se reduce a:
Z i = 1 + e β ( µ −ε i )
(ni = 0,1)
(3.26)
Del mismo modo que para los Bosones, se obtiene para Fermiones la distribución de FermiDirac:
15
3. El gas ideal
1
ni =
e
β (ε i − µ )
(3.27)
+1
y el potencial químico se encuentra a partir de la condición:
N =∑
i
1
e
β (ε i − µ )
(3.28)
+1
Vale la pena señalar que en esta deducción no se usó en ningún momento la forma de las
energías ε i por lo que es válida tanto para la forma clásica de de la energía como para la
forma relativista.
Cálculo de la presión
Volviendo al gran potencial U podemos calcular:
[(
U = − PV = − kT ∑ ln Z i = −kT ∑ ln 1 + ae β (ε i − µ )
i
i
) ] = − kTa ∑ ln(1 + ae
a
β (ε i − µ )
)
(3.29)
i
donde el parámetro a vale –1 o +1 para Bosones y Fermiones respectivamente. Si el
volumen V es muy grande los estados de energía de la partícula individual están muy
cercanos entre sí y podemos aproximar la suma por una integral. Es conveniente plantear el
problema en el espacio de fases (x,y,z,px,py,pz). El número de estados con impulso lineal de
modulo menor o igual que p esta dado por:
4πVp 3
N = gS
3h 3
(3.30)
El factor g S se incluye para tener en cuenta la posibilidad de que los estados tengan también
degeneración de spin. Podemos pensar a la cantidad V = 4πg SVp 3 / 3 como el volumen en el
espacio de fases accesible a nuestra partícula. Así V = h 3 N , y cada estado ocupa un
volumen h3 del espacio de fases. Diferenciando (3.30) obtenemos:
dN
4πVp 2
= gS
dp
h3
(3.31)
Despejando la presión de (3.29), reemplazando la sumatoria por una integral y utilizando la
relación (3.31) para hacer un cambio de variables tenemos:
16
3. El gas ideal
∞
∞
1
4π
P=
ln 1 + ae β ( µ −ε ( p )) dN = g S 3 ∫ ln 1 + ae β (µ −ε ( p )) p 2 dp
∫
aβV 0
h aβ 0
(
)
(
)
(3.32)
que se puede integrar por partes quedando:
4π
P = gS 3
h aβ
 p 3
 ln 1 + ae β (µ −ε ( p ))
 3

(
∞

β ∞ ae β (µ −ε ( p )) 3 dε 
 + ∫
p
dp 
β ( µ −ε ( p ))
dp 
 0 3 0 1 + ae

)
(3.33)
donde el término evaluado se anula en ambos limites, por lo que queda:
4π
ae β ( µ −ε ( p ))
dε
P = gS 3 ∫
p3
dp
β ( µ −ε ( p ) )
3h a 0 1 + ae
dp
∞
(3.34)
Por otro lado de la ecuación (3.23) podemos expresar el número de ocupación medio del
estado i como:
( [(
∂
ln 1 + ae β ( µ −ε i )
∂µ
ni = kT
) ]) = 1 +e e
a
β ( µ −ε i )
β ( µ −ε i )
(3.35)
Ahora en la ecuación (3.17) reemplazamos la sumatoria por una integral y realizamos el
mismo cambio de variables de integración dado por (3.31) y resulta:
N = ∑ ni = g S
i
e β (µ −ε ( p ) )
4πV
p 2 dp
3 ∫
β ( µ −ε ( p ) )
h 0 1 + ae
∞
(3.36)
Combinando (3.36) y (3.34) podemos escribir la presión como:
 dε 
ae β ( µ −ε ( p ))
p 2  p dp
β ( µ −ε ( p ))
∫
1 N 0 1 + ae
 dp  = 1 N p dε
P=
∞
β ( µ −ε ( p ) )
3V
3V
dp
ae
2
p
dp
−
β
(
µ
ε
(
p
)
)
∫0 1 + ae
∞
(3.37)
Teniendo en cuenta que v = dε / dp es la velocidad de la partícula y que en ningún momento
de la deducción utilizamos la forma explícita de la energía podemos conseguir una expresión
muy general para la presión que vale tanto para Bosones y Fermiones, relativistas o no
relativistas:
P=
n
pv
3
donde n es el número de partículas por unidad de volumen, o sea n = N / V .
La relación general entre la energía y el impulso lineal de una partícula de masa m es:
17
(3.38)
3. El gas ideal
ε 2 = p 2c 2 + m 2c 2
(3.39)
y la velocidad de la partícula es:
v=
pc 2
ε
(3.40)
Límite no relativista
Este límite supone que la velocidad de la partícula es mucho menor que la de la luz (c),
entonces queda ε = mc 2 + p 2 / 2m y v = p / m , por lo que la (3.38) queda:
2 1
2 EK
P = n mv 2 =
3 2
3 V
(3.41)
donde EK es la energía cinética interna total del sistema.
Límite ultra relativista
En este límite hay que suponer que la velocidad de la partícula es próxima a la de la luz,
entonces queda ε = pc y v = c , por lo que la (3.38) queda:
1
1 Ek
P = n cp =
3
3V
18
(3.42)
4. El equilibrio hidrostático
4. EL EQUILIBRIO HIDROSTÁTICO
Combinando los resultados obtenidos en los Capítulos 2 y 3 estamos en condiciones de
analizar el equilibrio hidrostático en diferentes casos.
Equilibrio de un gas de partículas no relativistas
Consideremos una nube de gas de partículas no relativistas bajo la acción de su propia
gravedad y sostenido por su presión interna. El promedio de la presión según (3.41) es:
P =
2 EK
3 V
(4.01)
donde EK es la energía cinética de las partículas del gas. La comparación con la presión
necesaria para el equilibrio hidrostático (2.11) muestra que se debe cumplir la siguiente
relación entre las energías cinéticas y gravitatorias:
2 E K + EGR = 0
(4.02)
Si las partículas del gas no tienen grados de libertad internos excitados, la energía del gas es
la suma de las energías cinética y gravitacional de las partículas, ETOT = E K + EGR . Esto
último combinado con la ecuación (4.02) implica que la energía total se puede expresar sólo
en términos de la energía cinética o bien de la energía potencial gravitatoria:
ETOT = − E K =
1
EGR
2
(4.03)
Las ecuaciones (4.02) y (4.03) son de vital importancia y describen las implicaciones del
teorema del virial para este sistema en particular. Lo primero que debemos observar es que si
tal sistema esta en equilibrio hidrodinámico, la energía total es igual a (menos) la energía
cinética de las partículas del gas. Esto implica que una nube de gas fuertemente ligada tiene
una alta energía cinética, en otras palabras está caliente. La segunda observación importante
es que si el sistema evoluciona lentamente y se mantiene cerca del equilibrio, los cambios de
la energía total están relacionados de forma simple con los cambios de la energía cinética y
potencial. Por ejemplo, un descenso del 1% de la energía total implica un incremento del 1%
19
4. El equilibrio hidrostático
en la energía cinética y una disminución del 2% de la energía potencial gravitatoria. Tales
cambios caracterizan el comportamiento de muchos sistemas astrofísicos. Consideremos por
ejemplo una nube de gas que esta perdiendo energía desde su superficie en forma de
radiación. Si la energía perdida proviene de una disminución de la energía gravitatoria,
entonces la nube se contraerá y se calentará. De hecho para la contracción cerca del
equilibrio hidrostático, la mitad de la energía gravitatoria se pierde por radiación y la otra
mitad produce un aumento de la temperatura que provee un aumento de la presión que se
opone al incremento de la fuerza de gravedad de la nube en contracción y la mantiene cerca
del equilibrio (pero contrayéndose). Por otro lado, si la energía perdida proviene de la
energía liberada por las reacciones termonucleares en su interior, la energía total se mantiene
constante y la nube no se contrae permaneciendo en equilibrio (dicho sea de paso el Sol se
comporta de esta manera en la actualidad). Pero si las reacciones termonucleares liberan
demasiada energía habrá un incremento de la energía total por lo que la estrella se expandirá
y se enfriará. Inversamente, reacciones nucleares que absorben energía causan que la nube se
contraiga y se caliente.
Equilibrio de un gas de partículas ultra-relativistas
La situación en este caso es bastante diferente que para las partículas no relativistas.
Consideremos una nube de gas de partículas ultra-relativistas bajo la acción de su propia
gravedad y sostenido por su presión interna. El promedio de la presión según (3.42) es:
P =
1 EK
3 V
(4.04)
La comparación con la presión necesaria para el equilibrio hidrostático (2.11) muestra que se
debe cumplir una relación distinta entre las energías cinéticas y gravitatorias que es la
siguiente:
E K + EGR = 0
(4.05)
El equilibrio sólo es posible si la energía total es nula. O sea, que el sistema esté en el límite
entre el estado ligado y el no ligado. De manera que si las partículas se acercan al límite
20
4. El equilibrio hidrostático
ultra-relativista, el sistema se vuelve inestable. Este tipo de inestabilidad ocurre en estrellas
donde una parte sustancial de la presión es aportada por la radiación (o sea por las partículas
ultra-relativistas llamadas fotones).
21
5. El nacimiento de una estrella
5. EL NACIMIENTO DE UNA ESTRELLA
Según parece la mayoría de las estrellas, como el Sol, nacen en lotes en grandes complejos
de nubes comprimidas como la nebulosa de Orión. A estos lotes llamados cúmulos se los
clasifica en dos grupos: los cúmulos abiertos y los cúmulos globulares. Los cúmulos
globulares son regiones compactas con muchos miles de estrellas. El estudio del espectro
indica que sus estrellas carecen de elementos pesados tales como Oxígeno y Carbono, lo cual
sugiere que son estrellas viejas formadas con el hidrógeno y el Helio producidos por el Big
Bang. Por otro lado los cúmulos abiertos contienen de 50 a 1000 estrellas ricas en elementos
pesados, lo cual indica que son estrellas jóvenes formadas por materia enriquecida por
elementos producidos por generaciones anteriores de estrellas, que quizás ahora son enanas
blancas. En definitiva las nubes de gas y de polvo interestelares, los cuales se componen
principalmente de hidrógeno, son la materia prima, que bajo ciertas condiciones colapsa
debido a la atracción gravitatoria para formar las estrellas. Veamos cuáles son esas
condiciones.
Condiciones para el colapso gravitatorio
En primer lugar el gas de la nube debe ser suficientemente compacto para que la fuerza
gravitatoria supere la presión interna del gas. Es decir, la energía potencial gravitatoria debe
ser mayor que la energía cinética interna. Consideraremos una nube esférica de gas de radio
R y masa M que contiene N partículas cuya masa promedio es m a temperatura T. Para
simplificar el problema consideraremos que la nube está compuesta por solamente por
hidrógeno. Usando la ecuación (2.09) escribimos la energía potencial gravitatoria como:
EGR = − f
GM 2
R
(5.01)
donde f es un factor que depende de la distribución espacial de masa en la nube. Para una
densidad uniforme f = 3 / 5 , pero para simplificar tomaremos f = 1 .
22
5. El nacimiento de una estrella
Como vimos en el Capítulo 3 podemos escribir la energía cinética como:
EK =
3
NkT
2
(5.02)
La primera condición para el colapso nos dice que la energía potencial gravitatoria debe ser
mayor que la energía cinética interna:
EGR > E K
(5.03)
lo que implica que la nube debe tener una masa mínima M > M J , donde:
MJ =
3 kT
R
2 Gm
(5.04)
Esto impone una condición para la densidad promedio mínima necesaria para el colapso:
3
ρ > ρJ =
4πM 2
 3kT 
 2Gm 
3
(5.05)
En las ecuaciones (5.04) y (5.05) el subíndice J indica el valor crítico a partir del cual se
produce el colapso gravitatorio, a MJ y ρJ se les conoce como la masa y la densidad de Jeans
respectivamente. Lo más usual es trabajar con la densidad de Jeans, se ve claramente que la
condición requerida para el colapso es, en esencia, una condición sobre la masa de la nube.
Por ejemplo, una nube de hidrógeno molecular a 20K de temperatura con una masa de
2 ×10 33 kg (que equivale a 1000 masas solares) se contrae si está contenida en un volumen tal
que su densidad sea de 10 −22 kg/m3 o sea 10 5 moléculas por metro cúbico, en tanto que una
nube con la masa del Sol necesita más o menos una densidad un millón de veces mayor.
Estas consideraciones sugieren que la condensación de nubes de gas en estrellas se da por
etapas. Primero, una gran nube que puede ser miles de veces más masiva que el Sol se
contrae. Recién cuando adquiere una densidad media suficientemente grande las
inhomogeneidades dentro de la nube darán lugar a la formación de nubes más pequeñas
capaces de contraerse por sí mismas. Entonces la gran nube queda fragmentada en pequeñas
nubes de masa comparable con la del Sol dando lugar a un cúmulo de estrellas en formación.
A las estrellas en formación se las llama preestrellas o protoestrellas.
23
5. El nacimiento de una estrella
Contracción de una protoestrella
La ecuación (5.05) nos indica que una nube de masa comparable con la del Sol a la
temperatura de 20K y cuya densidad es de 10 −16 kg/m 3 , es decir una protoestrella, es capaz
de contraerse independientemente. Esta tendrá un radio aproximadamente de 1015 m , un
millón de veces más grande que el Sol, y seguirá colapsando si la energía potencial liberada
no se convierte en energía térmica que aumente la presión. Esto es posible si esta energía es
utilizada para disociar las moléculas de hidrógeno y luego para ionizar los átomos. La
energía necesaria para disociar moléculas de hidrógeno es ε D = 4.5 eV y para ionizar un
átomo de hidrógeno es ε I = 13.6 eV . Por lo tanto, la energía necesaria para disociar e ionizar
todo el hidrógeno de la protoestrella es:
M
M
εD +
εI
mH
2m H
(5.06)
donde mH es la masa de un átomo de hidrógeno. Si toda esta energía proviene de la energía
gravitatoria liberada durante la contracción desde un radio inicial R1 hasta un radio R2
podemos decir que:
GM 2 GM 2
M
M
−
≈
εD +
εI
R2
R1
2m H
mH
(5.07)
En particular, para disociar e ionizar el hidrógeno de una protoestrella con una masa igual a
la del Sol (M=M=1.989x1030 kg) es de 3x1039 J. Si el radio inicial es R1≈1015m y el radio
final R2≈1011m, se contrae por un factor 104 hasta alcanzar un radio 100 veces más grande
que el del Sol en la actualidad. El tiempo necesario para este proceso se puede calcular
utilizando la ecuación de caída libre (2.07) y resulta ser de unos 20000 años. Cuando gran
parte del hidrógeno quedó ionizado, la protoestrella se vuelve opaca a la radiación que ella
misma produce y la energía potencial liberada por la contracción no tiene más remedio que
convertirse en energía térmica de los electrones y los iones, por lo que la presión aumenta, la
contracción se hace mas lenta y el sistema tiende al equilibrio hidrostático. Si la masa del
sistema no fuera suficiente el sistema alcanzaría el equilibrio y terminaría su evolución sin
24
5. El nacimiento de una estrella
convertirse en una estrella, como es el caso de Júpiter, que es un planeta gaseoso cuyo
núcleo esta compuesto por hidrógeno ionizado.
Para estimar la temperatura media interna usamos el teorema del virial para calcular la
energía cinética interna y la gravitacional cuando el sistema está cerca del equilibrio. La
energía cinética de la protoestrella con una temperatura T esta dada por:
EK ≈
M
3kT
mH
(5.08)
Cuando la protoestrella alcanza el radio R2, es decir cuando termina la caída libre, el sistema
tiene una energía potencial:
EGR ≈ −
 M
GM 2
M 
εD +
εI 
≈ −
R2
2
m
m
H
 H

(5.09)
Usando el teorema del virial para partículas no relativistas (4.02):
2 E K + EGR = 0
(5.10)
obtenemos que la protoestrella se aproxima al equilibrio hidrodinámico a una temperatura
dada por:
kT ≈
1
(ε D + 2ε I ) ≈ 2.6 eV ⇒ T ≈ 3×10 4 K
12
(5.11)
Esta temperatura es ahora independiente de la masa de la protoestrella. Como ya dijimos la
estrella se va volviendo opaca a la radiación, la cual regula la cantidad de energía que escapa
de la misma. Esta característica será la que gobernará la contracción y evolución de la
protoestrella en la siguiente etapa. Como se encuentra cercana al equilibrio podemos volver a
usar el teorema del virial aplicado a partículas no relativistas (4.02) y (4.03): la mitad de la
energía gravitatoria liberada escapa como radiación y la otra aumenta la temperatura y la
presión interna generando un ámbito propicio para la producción de reacciones
termonucleares, específicamente para la fusión del hidrógeno en Helio. En este momento la
energía liberada por la fusión proveerá la energía radiada y la protoestrella dejará de
contraerse, como ya explicamos en el Capítulo 4. El colapso gravitatorio de la protoestrella
ha quedado detenido, convirtiéndose ésta en una verdadera estrella.
25