guia de vectores - Apuntes de Física

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
ÁREA DE TECNOLOGÍA
COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA I. (250302)
PROFESOR FIDIAS GONZÁLEZ
PROFESOR:
GUÍA 2
VECTORES
Elaborada por: Fidias González
Punto Fijo, Septiembre de 2010
UNIDAD II. VECTORES
PROCEDIMIENTO DE ANALISIS
Los problemas que involucran la suma de dos vectores y contienen como máximo
dos incógnitas, pueden resolverse utilizando el siguiente procedimiento:
Regla del paralelogramo. Haga un dibujo que muestre la suma vectorial
utilizando la regla del paralelogramo. De ser posible, determine loa ángulos
interiores del paralelogramo que ilustra el problema. Recuerde que la suma de
estos ángulos es de 360º. Los ángulos desconocidos, deberán estar especificados
claramente en el dibujo. Vuelva a dibujar la mitad del paralelogramo diseñado
para ilustrar la suma de componentes triangular cabeza cola.
A
A+B
B
Trigonometría. Utilizando la trigonometría, las dos incógnitas pueden
determinarse a partir de los datos proporcionados en el triángulo. Si éste no
contiene un ángulo de 90º, puede utilizarse la ley de los senos y/o la ley de los
cosenos para su solución.
B
A
A+B
1.- Determine los productos escalar y vectorial de los siguientes vectores:
a) A = i + 2j –3k y B = 6i – 4j + 7k
b) C = 5i + j –2k y D = -2i + 3j – k
c) E = 8i –3j +2k y F = -6i +2k
d) G = 3j – k y H = 2i + j
2.- Dados los vectores:
A = 2i – 4j + 3k ; B = 5i – j + k y C = 9i + 6j + 2k.
Determine:
a) A. ( B X C ) + ( A X B ) .C
b) ( A + B ) + ( B – C) - [ ( B X C ) X ( A X B ) ]
3.- Demostrar que los vectores
A = i – j + 2k,
B = 4j + 2k
y
C = - 10i – 2j + 4k son perpendiculares entre sí.
4.- ¿ Para qué valores de m los vectores A = i – j + 2k y B = 2i + mj + k son
perpendiculares ?
5.- Demuestre que los vectores A = ( -3j + 2 k ) y B = (-4i +12j– 8k ) son
paralelos.
6.- Se tienen los vectores A = 2i + j – 3k ; B = 5i + 3j – 2k. Determine un tercer
vector C tal que 3A +2B – C = 0
7.-.Dados los vectores:
A = ( 2i – 3j – k ) ; B = ( -2i + 3j – 2k ) ; C = ( i + 2j + 4k ) y
D = ( 2i – 3k )
. Determine:
a) Un vector unitario perpendicular a el vector D
b) Un vector paralelo al vector AxB
c) Un vector cuya magnitud sea distinta a la unidad , pero con la misma
dirección y sentido a la del vector BxC
d) Cx(AxB) – DxA – (C.B).A + (C.A).B
e) (AxB) . (CxD) + (BxC) . (AxD) + (CxA) . (BxD)
8.-Determinar la suma de tres vectores A , B y C en donde
A = ( 5i + 10j + 7k ) ;
B = ( 9i – 4j +2k ) y C es un vector en el plano xy, que forma un ángulo de 45º
con la dirección positiva del eje X y está dirigido alejándose del origen y cuya
magnitud es de 12√2
9.- ¿Para qué valores de m forman un ángulo de 60º los vectores que van de
( 2 ,7 , 5 ) a ( 7, 1 , - 3 ) y de ( 8 , m , - 4 ) a ( 4 , - 2 , 1 )?
10.-Dados los vectores: A = ( -2i + 3j – k ) ; B = ( -3i + 4j + k ). Obtener: (a) Los
cosenos directores de A y B ; (b) los vectores unitarios a lo largo de A y B , (c) el
ángulo comprendido entre A y B
11.- ¿Para qué valor de m son perpendiculares entre si los vectores que parten
del origen a los puntos ( 3 , -6 , 2 ) y ( -4 , 8 , m )
12.- Dados los vectores: A = (2i – 3j + k); B = ( -i + 2j + k );C = (4i + j –2k) y
D = (5i – j – k ).
Determine:
a) (A x B) x (C x D) – [ A . (B x D)] . C + [ A . ( BxC)] . D
b) Un vector unitario paralelo a A x B
c) Un vector unitario perpendicular a A x B
d) El ángulo que forma un vector que es perpendicular al vector C , con cada
uno de los ejes.
13.-Dados los vectores: A = (-i + 2j – 3k ) ; B = (2i + 3j + 4k ) ;
C = (-5i +5j + k ).
Determine:
a) A x (B x C) + C x ( A x B ) + B x ( C x A ) + A x ( B x C )
b) Un vector unitario perpendicular a A x B
c) Un vector unitario que forme un ángulo de 180º con el vector A x B
d) El producto escalar de lo dos vectores unitarios anteriores
14.-Halle un B que esté en el plano xy, que sea perpendicular al vector
A = ( 2i + 3j ) y cuya magnitud sea de cuatro unidades
15.- Un jugador de golf da su primer golpe, la pelota se mueve10 cm al norte, otro
de 2m al sur-este (S:E) y por último golpe 1 m al sur – oeste (S.O). ¿Cuál sería
el desplazamiento de la pelota si hubiera tenido que introducirla en el hoyo de un
solo golpe ?
16.- Lee cuidadosamente y analiza los siguientes enunciados. Justifique su
respuesta.
a) Si A . B = A . B`, entonces necesariamente B = B`
b) Si A x B = A x B`, entonces necesariamente B = B`
c) Porque no tiene sentido la operación ( A B ) + C
17.- Demostrar que:
( A . B ) / [ | A | | B | = COS ϕXACOS ϕXB + COS ϕYA COSϕ
ϕYB + COS ϕZA COS ϕZB
18.- Dados los dos vectores A y B mostrados en la fig. , en donde | A | = 170 ,
| B | = 120 √2 , calcular A x B
Z
B
8
Y
8
X
0
15
A
19.- Dos fuerzas, A y B , que están en el plano xy, actúan sobre un objeto
pequeño colocado en el origen. La magnitud de la fuerza A es de 50 N y actúa en
la dirección correspondiente a un ángulo de + 30º con el eje X positivo. La
magnitud de la fuerza B es de 80 N y actúa en la dirección que forma un ángulo
de + 135º con el eje de las X positivas. ¿Qué magnitud y dirección debe tener
una fuerza C que aplicada al cuerpo hará que se anule la resultante de las tres
fuerzas?
20.-Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en
sentido opuesto al de las manecillas del reloj con respecto al eje positivo de las x.
21.- Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección medida en
sentido opuesto al de las manecillas del reloj con respecto al eje positivo de las x.
Resp.: 393 Lb; 7º
22.- Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, medida en el
sentido de las manecillas del reloj con respecto al eje positivo de las Y
Resp.: 605 N; 85,4 º
23.- Descomponga la fuerza F2 en sus componentes, que actúan a lo largo de los
ejes u y v ; determine las magnitudes de dichas componentes.
24.- Descomponga la fuerza de 60 libras en sus componentes que actúan a lo
largo de los ejes u y v ; determine las magnitudes de sus componentes.
60 Lb
Resp.:
Fu = 91,9 Lb; Fv = 80,8 Lb
25.- Un gancho está soportando las dos fuerzas del cable F1 = 500 N y
F2 = 300
N. Si la resultante de estas fuerzas actúa en dirección vertical hacia abajo y tiene
una magnitud de FR = 750 N. Determine los ángulos
θ y φ de los cables
26.- Descomponga la fuerza de 50 libras en sus componentes que actúan a lo
largo de (a) los ejes x y y, y (b) los ejes x y y
27.- La fuerza que actúa sobre el diente de un engrane es F = 20 libras.
Descomponga esta fuerza en dos componentes que actúan a lo largo de las
líneas aa y bb. Resp.: Fa = 30,6 Lb; Fb = 26,9 Lb
28.- Determine el ángulo θ ( 0º ≤ θ ≤ 90º ) entre las dos fuerzas de tal forma que
la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el anillo sea mínima. ¿Cuál es
la magnitud de la fuerza resultante?
6 Lb
10Lb
29.- Un poste se removerá de la tierra utilizando las cuerdas A y B. La cuerda A
está sujeta a una fuerza de 600 libras y está dirigida a 60º con respecto a la
horizontal. Si la fuerza resultante que actúa sobre el poste es de 1200 libras, con
dirección vertical hacia arriba, determine la fuerza T en la cuerda B y el ángulo
correspondiente θ
Resp.:774 Lb, θ = 23,8 º
600 Lb
30.- Una lima ejerce una fuerza de 20 libras en un tronco cilíndrico que está
girando en un torno. Descomponga esta fuerza en sus componentes que actúan
(a) a lo largo de los ejes n y y, (b) a lo largo de los ejes x y t.
31.- Si θ= 20º y φ = 35º , determine las magnitudes de F1 y F2 de tal forma que
la fuerza que la resultante tenga una magnitud de 20 libras y esté dirigida a lo
largo del eje positivo de las x.
Resp.: F1= 14 Lb; F2=8,35 Lb
32.-Si F1 = F2 = 30 libras, determine los ángulos θ γ φ de tal forma que la fuerza
resultante esté dirigida a lo largo del eje positivo de las x y tenga una magnitud de
FR = 20 libras.
Resp.: 70,5 º
33.- Determine el ángulo θ de diseño ( 0º ≤ θ ≤ 90º ) para el tirante AB de tal forma
que la fuerza horizontal de 400 libras tenga una componente de 500 libras dirigida
desde A hacia C, ¿Cuál es la componente de la fuerza que actúa a lo largo del
miembro AB?. Tome el valor de φ = 40º
Resp.: θ = 53,5 º ; 621 lb
34.-Determine las componentes x y y de la fuerza de 800 libras
Resp.: Fx = 514 lb; Fy= - 613 lb
35.- Determine la magnitud F y la dirección θ de la fuerza F de tal forma que la
resultante de las tres fuerzas que actúan en la argolla sea igual a cero.
36.-Dados el sistema de fuerzas concurrentes en P, determine la magnitud y
dirección de la fuerza resultante
y
F1
F2
Resp: 73,012 N
10 cm
6cm
P
28,850º
10º
4 cm
F1 = 14,211N
F3
F2 = 20 N
F3 = 90 N
FR = 73,012 N; 28,85º
20º
X
F1 = 50 N
y
F2 = 280 N
F3 = 36,090 N
6 cm
FR = 266,293N
F3
F1
29,233º
3 cm
35º
x
F2
10
F1 = 18,065 N
5 cm
F2 = 28,8 N
F1
F2
F3 = 270 N
2 cm
8 cm
F3
FR = 206,514 N
34,289º
15º
10 cm
F1 = 14,4 N
9 cm
F2 = 450 N
2 cm
F3
F3 = 13,457 N
F1
FR = 446,480 N
42,405º
6 cm
F2
10
37.-Determínese el intervalo de valores de P para los cuales la resultante de las
tres fuerzas aplicadas en A no exceda de 285 Lb.
Resp.: 10 < P < 191,55 Lb
A
P
25º
75º
200 Lb
200 Lb
38.-Las direcciones de las fuerzas de 75 Lb pueden variar pero el ángulo entre las
fuerzas es siempre de 50º. Determínese el valor de α para el cual la resultante de
las fuerzas que actúan en A está dirigida horizontalmente a la izquierda
240 Lb
30º
A
α
50º
75 Lb
75 Lb
Resp.: α = 20º 25´ 1´´
39.- a) Determine la resultante del sistema
b) Determine la dirección y sentido, exprese el vector fuerza resultante
40.-Determinar la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan en la placa de
unión
300 N
230 N
200√
√2 N
45º
400 N
170 N
0
30º
200 N
45º
Problema 39
150 N
Problema
40
200√
√2 N