Campos conservativos y función potencial

Unidad 2 Integral de Línea
Teorema 1.
2.3 Integral de linea (Campos Gradiente y Conservativos)
f : U ⊂ Rn → R de clase c1 y α : [a, b] → Rn una trayectoria de clase c1 . Entonces
Z
∇f = f (α(b)) − f (α(a))
Sea
α
Consideremos la función g(t) : [a, b] → R dada por g(t) = (f ◦ α)(t) = f (α(t)) que es de
clase c1 por se composición de funciones de clase c1 . Aplicando la regla de la cadena se obtiene
Demostración.
g 0 (t) = (f ◦ α)0 (t) = (f (α1 (t), α2 (t), ..., αn (t))0 =
∂f (α(t)) 0
∂f (α(t)) 0
∂f (α(t)) 0
α1 (t) +
α2 (t) + ... +
αn (t) =
x1
x2
xn
∇f (α(t)) · α0 (t)
por lo tanto
Z
b
Z
∇f (α(t)) · α0 (t)dt =
∇f =
α
Ejemplo Halle
a
Z
b
g 0 (t)dt = g(b) − g(a) = f (α(b)) − f (α(a))
a
Z
F · dr donde F = (ex sen(y) − y)î + (ex cos(y) − x − 2)ĵ y C es el camino dado por
i
h
c(t) = t3 sen[ π2 t]î − π2 cos[ π2 t + π2 ]ĵ para [0, 1]. El potencial es f (x, y) = ex sen(y) − xy − 2y
C
Solución Tenemos que c(0) = 03 (sen π2 (0))î − π2 cos( π2 (0) + π2 )ĵ = 0î + 0ĵ
f (c(0)) = f (0, 0) = e0 sen(0) − 0 · 0 − 2 · 0 = 0
c(1) = 13 sen( π2 )î − π2 cos( π2 (1) + π2 )ĵ = 1î − π2 (−1)ĵ = 1î + π2 ĵ
f (c(1)) = f (1, π2 ) = e1 sen( π2 ) − 1( π2 ) − 2( π2 ) = e1 − π2 − π = e − 32 π
Z
∴
F ·dr = f (c(1)) − f (0)) = e − 32 π − 0 = e − 34 π
C
Corolario 1.
entonces
Si
α : [a, b] → Rn es una trayectoria de clase C 1 y cerrada es decir α(b) = α(a)
Z
∇f = f (α(b)) − f (α(a)) = 0
α
Campos conservativos y función potencial
Denición 1.
Un campo vectorial continuo
campo escalar f : U ⊂ Rn → R, C 1 tal que
potencial asociada al campo vectorial F .
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral IV
F : U ⊂ Rn → Rn se dice que es conservativo si existe en
F (x) = ∇f (x) , ∀x ∈ U . La función f se llama función
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
1
Unidad 2 Integral de Línea
2.3 Integral de linea (Campos Gradiente y Conservativos)
Tenemos entonces que las integrales de linea de un campo conservativo son independientes de la trayectoria
y, si se conoce la función potencial, son faciles de calcular
Z
∇f = f (α(b)) − f (α(a))
α
Vamos a ver una condición que nos permita determinar cuando un campo vectorial es conservativo
Denición 2.
Un conjunto U ⊂ Rn se dice que es convexo si para cada pareja de puntos
segmento rectilineo que los une esta incluido en U.
El segmento que une x con y es:
α(t) = x + t(y − x)
x, y ∈ U el
t ∈ [0, 1]
Ejemplos Son conjuntos convexos un circulo, un rectángulo, una esfera sólida, un paralelepipedo etc.
No son convexos una corona circular, un toro, etc. (en general un conjunto con agujeros)
Teorema 2.
Consideremos un conjunto U ⊂ Rn y un campo vectorial de clase C 1 F : U ⊂ Rn → Rn ,
F = (F1 , F2 , ..., Fn ). Las condiciones siguientes son equivalentes.
1)
F es conservativo, es decir, existe un campo escalar de clase C 2 f : U ⊂ Rn → R tal que
F (x) = ∇f (x) ∀x ∈ U .
2) Se cumplen las igualdades
∂
∂
Fi (x) =
Fj (x), i = 1, ..., n ∀x ∈ U
∂xj
∂xi
Demostración.
1⇒2
∂f (x)
Suponemos que existe f tal que F = ∇f por tanto Fi (x) =
al ser f de clase c2 satisface el teorema
∂xi
de Schwartz
2
2
∂ f (x)
∂ f (x)
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
por lo tanto
∂(Fj (x))
∂
=
∂xi
∂xi
∂(f( x))
∂xj
∂ 2 f (x)
∂
∂ 2 f (x)
=
=
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
∂xj
∂(f( x))
∂xi
=
∂(Fi (x))
∂xj
2⇒1
Supongamos que
∂
∂
Fi (x) =
Fj (x), i = 1, ..., n ∀x ∈ U
∂xj
∂xi
entonces F es conservativo.
Haremos la prueba para el caso particular F ⊂ R2 tenemos que F (x, y) = (M (x, y), N (x, y)) donde
∂M
∂N
=
y consideremos un punto p sin perdida de generalidad situado en el origen y consideremos la
∂y
∂x
trayectoria
λ : [0, 1] → R2
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dado
por
λ(t) = t(x, y) t ∈ [0, 1]
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2
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2.3 Integral de linea (Campos Gradiente y Conservativos)
denimos la función
Z
F · dλ
f (x, y) =
λ
por demostrar que ∇f = F
tenemos que
∂
∂f (x, y)
=
∂x
∂x
∂
∂x
Z
Z
F · dλ
λ
∂
=
∂x
Z
0
1
Z 1
∂
F (λ(t)) · λ (t) dt =
([M (tx, ty), N (tx, ty)] · (x, y)) dt
∂x
0
0
1
Z
1
∂
(M (tx, ty) · x + N (tx, ty) · y)dt =
∂x
0
0
Z 1
Z 1
∂
∂
∂
∂
M (tx, ty) + x M (tx, ty) + y N (tx, ty) dt =
M (tx, ty) + xt M (tx, ty) + yt N (tx, ty) dt =
∂x
∂x
∂x
∂x
0
0
Z 1 Z 1
∂
∂
∂
∂
t x M (tx, ty) + y M (tx, ty) +M (tx, ty)dt =
M (tx, ty) + xt M (tx, ty) + yt M (tx, ty) dt =
∂x
∂y
∂x
∂y
0
0
Z 1
d
1
(t(M (tx, ty))) dt = t(M (tx, ty))|0 = M (x, y)
dt
0
(M (tx, ty) · x + N (tx, ty) · y) dt =
por lo tanto hemos probado que
∂f (x, y)
= M (x, y) = F1 (x, y)
∂x
de manera analoga se prueba que
∂f (x, y)
= N (x, y) = F2 (x, y)
∂y
de esta manera
∇f = (F1 (x, y), F2 (x, y)) = F
Ejemplo Consideremos el campo F
:→ R2 dado por F (x, y) = (x + y 2 , 2xy). Compruebe que el campo
es conservativo y encuentre su función potencial.
Salución Tenemos que
∂(x+y 2 )
= 2y
∂y
∂(2xy)
= 2y
∂x
!
⇒ F es conservativo
para la función potencial tomemos λ : [0, 1] → R2 dada por λ(t) = (tx, ty). Entonces
Z
1
F (λ(t)) · λ (t)dt =
f (x, y) = intλ F =
Z
1
tx2 + t2 y 2 x + 2t2 xy 2 dt =
0
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Z
F (tx, ty) · (x, y)dt =
0
=
1
Z
0
0
Z
0
1
(tx + (ty)2 , 2t2 xy) · (x, y)dt
0
1
tx2 + 3t2 xy 2 dt = x2
t3
x2
1
+ t3 xy 2 |0 =
+ xy 2
2
2
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3
Unidad 2 Integral de Línea
2.3 Integral de linea (Campos Gradiente y Conservativos)
Rotacional de un campo vectorial
Sea F = (F1 , F2 , F3 ) : U ⊂ R3 → R3 un campo vactorial. Consideramos un punto x ∈ U en el que
suponemos que existen todas las derivadas parciales. Se dene el rotacional de F en el punto x, como el
vector rotF (x) =
y si llamamos D1 =
∂F3
∂F2 ∂F3
∂F1 ∂F2
∂F1
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂x
∂z ∂x
∂y
i
= = ∂
∂x
f1
j
∂
∂y
f2
k ∂ ∂z F3 ∂
∂
∂
, D2 =
, D3 =
entonces
∂x
∂y
∂z
rotF (x) = (D2 F3 − D3 F2 , D1 F3 − D3 F1 , D1 F2 − D2 F1 )
Corolario: Para el caso particular de un campo F (x, y, z) de clase C 1 denido en un conjunto U
se tiene que F : U ⊂ R → R es conservativo ⇔ rotF = 0
3
3
Ejemplo Dado el campo vectorial F
⊂ R3
∀x ∈ U
: R3 → R3 dado por
F (x, y, z) = (3y 2 z + yex , 6xyz + ex , 3xy 2 )
comprobar que es conservativo y hallar su función potencial
Solución tenemos que
2
)
∂F3
= ∂(3xy
= 6xy
∂y

 ∂F∂y ∂(6xyz+e
x
)
2

=
= 6xy 
∂z 2

 ∂z


∂(3xy )
∂F3
2
=
=
3y



 ∂F∂x ∂(3y∂x
2+ex y
)
2
1


= 3y


∂z =
∂zx
 ∂F2 = ∂(6xyz+e ) = 6yz + ex 

 ∂x
∂x
∂(3y 2 z+ex )
∂F1
x
=
=
6yz
+
e
∂y
∂z




F1 (x, y, z) = 3y 2 z + yex
 F2 (x, y, z) = 6xyz + ex  ⇒
F3 (x, y, z) = 3xy 2

⇒
∂F3
∂y
 ∂F
 ∂x3
∂F2
∂x
=
=
=

∂F2
∂z
∂F1 
∂z 
∂F1
∂y
⇒ F es conservativo
para la función potencial tomemos λ : [0, 1] → R3 dada por λ(t) = (tx, ty, tz). Entonces
Z
f (x, y, z) =
λ
Z
Z
F =
1
F (λ(t)) · λ0 (t)dt =
0
tx
F (tx, ty, tz) · (x, y, z)dt =
0
1
2
1
Z
2
Z
1
(3(ty) (tz)+e , 6(tx)(ty)(tz), 3(tx)(ty) )·(x, y, z)dt =
0
(3t3 y 2 z+tyetx )x+(6t3 xyz+etx )y+(3t3 xy 2 z)dt
0
Z
1
3t3 y 2 zx + txyetx + 6t3 xy 2 z + 3t3 xy 2 z + yetx dt =
0
= 12xy 2 z
1
Z
12t3 xy 2 z + txyetx + yetx dt
0
tx Z 1 tx tx
x
t4 1
e
e
etx 1
te
1 etx 1
e
1
|0 + xy t
−
dt + y
|0 = 3xy 2 z + xy
−
|0 + y
−
4
x
x
x
x
x x
x
x
0
x
e
1
1
y
= 3xy 2 z + xy
− 2 ex + 2 + (ex − 1) = 3xy 2 z + yex
x
x
x
x
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