06. LA PROPORCIÓN

1
CONCEPTO DE PROPORCIÓN
•
•
C
A
Como ya se indicó en cursos anteriores, la
proporción es la relación matemática de las
partes de un objeto o composición entre sí y con
respecto al todo. Se trata de uno de los elementos más importantes en la armonía, ese acorde
perfecto entre las partes de un todo. Del concepto de proporción cabe distinguir:
B
a
C’
a’
B’
k=
E’
Es frecuente que los diseñadores, arquitectos, urbanistas y técnicos en general preparen
los proyectos de sus obras en dimensiones reducidas como paso previo a su construcción.
Las formas poligonales A BC… y A’B’C’…
son semejantes; es decir, se puede hallar una relación entre ambas tal que, a cada punto de una
corresponde un punto de la otra, y que los segmentos definidos por dos puntos que se corresponden en ambas figuras guardan una relación
de proporcionalidad (k) o razón constante de
semejanza. Los elementos con correspondencia
entre ellos ( lados, vértices y ángulos ) se denominan elementos homólogos; es decir, los vértices homólogos de A, B, C… son A’, B’, C’… y
viceversa. A su vez, los lados homólogos serán
aquéllos que unen vértices homólogos, tales
como AB y A’B’.
La razón de
proporcionalidad
entre las dos formas
es constante:
A’
AB BC ... DE ... 3
= =
= =
=
2
A’B’ B’C’
D’E’
D’
A’
E’
B’
A
C’
D’
B
En las formas poligonales de la figura la razón de semejanza k es igual a 1/ 2, y por tanto,
la forma semejante A’ B’C’... será mayor que la
de partida ABC... Si fuese igual a la unidad, los
lados homólogos serían iguales y, por tanto, los
polígonos semejantes, iguales. En cambio, si la
razón de semejanza fuese mayor que la unidad,
la figura obtenida sería menor que la dada.
C
Razón de semejanza
k = 1/2
D
A’
E’
O (centro de semejanza)
B’
C’
A
Razón de proporcionalidad
entre formas geométricas planas.
Arriba, entre dos figuras ABC... y
A’B’C’..., con centro de semejanza O; abajo, entre las mismas figuras pero con centro de semejanza
el vértice V=V’, común a ambas.
La relación de semejanza implica igualdad
de ángulos formados por segmentos homólogos. La relación de igualdad de ángulos implica, lógicamente, que dos polígonos regulares
con igual número de lados serán siempre semejantes.
En resumen:
«Dos figuras son semejantes cuando tienen
la misma forma y distinto tamaño».
E
En geometría, cuando dos figuras tienen la
misma forma pero distinto tamaño se habla de
homotecia o semejanza, y se llama razón de
semejanza o factor de escala a la relación de
proporcionalidad que guardan entre sí dos figuras semejantes.
En la práctica, cuando representamos algo
sobre el papel estamos condicionados al formato del mismo y, por tanto, estamos supeditados a medidas proporcionales: o bien la figura
representada es menor que la real o viceversa.
Rara es la ocasión en donde el tamaño del dibujo a representar coincide con el de la imagen
del objeto real, lo que significa que hemos de
saber proporcionar nuestros dibujos.
La semejanza de figuras se fundamenta en el
Teorema de Thales, en donde se establece la
proporcionalidad entre segmentos de dos rectas paralelas cualesquiera al ser cortadas por
un conjunto de rectas concurrentes.
D
Encontramos la proporción en todo cuanto
nos rodea, no sólo en los objetos creados por el
hombre, si no en los seres vivos, en las plantas y
demás elementos de la naturaleza. Desde siempre el ejercicio de la proporción de las formas
ha apasionado al ser humano; quizá porque lo
proporcionado conlleva secretos tintes de armoniosa expresividad y belleza.
Dentro de las proporciones geométricas, lo
único que se mantiene constante es la forma
de los objetos. Si observamos las dos mesas de
la ilustración apreciamos que tienen distintos
tamaños, aunque representan el mismo objeto:
a cada elemento de uno de ellos le corresponde
el homólogo del otro. La proporción o relación
constante entre dos magnitudes tales como a y
a’ ( a comparado con a’ ) se formula con el lenguaje matemático escribiendo: a / a’. Lo que se
conoce como razón entre dos magnitudes.
«Dos formas o figuras son semejantes cuando
sus magnitudes lineales son proporcionales y sus
magnitudes angulares son iguales. Así, dos polígonos son semejantes si sus lados son proporcionales
y sus ángulos iguales».
E
La proporción intrínseca, que compara o relaciona las medidas de cada una de las partes
de un objeto con las totales del mismo: «La
cabeza de este animal está desproporcionada
con el resto del cuerpo».
La proporción extrínseca, que compara o relaciona las medidas de un objeto con las de
otro: «La jarra es tres veces más alta que el vaso
y el doble de ancha».
2
SEMEJANZA ENTRE FORMAS
E
B
- Cuando tienen dos ángulos iguales.
C
D
V V’ ( centro de semejanza )
La semejanza de polígonos se fundamenta
en la de los triángulos, según la cual, dos triángulos son semejantes (por ejemplo, ABC es semejante a A’B’C’ ) cuando ambos tienen sus
tres ángulos iguales y sus lados y rectas notables (lados, alturas, medianas, bisectrices,…)
proporcionales; es decir, cuando cumplen alguno de los siguientes criterios de semejanza:
D’
- Cuando tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
- Cuando los tres lados son proporcionales.