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UNIDAD I.- TEORIA DE CONJUNTOS
Las ideas u objetos que forman al conjunto se denominan elementos del conjunto.
x
La idea intuitiva de un conjunto la entendemos como la colección de ideas u objetos que están bien definidos de
tal manera que se puede decidir si pertenecen o no a dicho conjunto.
.m
Generalmente se usan letras mayúsculas para determinar a los conjuntos y letras minúsculas para denotar a sus
elementos.
Si A  a, b, c, d , e
.c
Para escribir o representar conjuntos existen dos formas:
 Forma enumerativa o por extensión
 Forma descriptiva o por comprensión
om
El conjunto A está formado por las letras del abecedario y entonces:
a ∈ Asignifica que a es elemento del conjunto A
b∈Asignifica que b es elemento del conjunto A
y para denotar que un elemento no forma parte de un conjunto utilizamos el símbolo∉
f ∉ Arepresenta que f no es elemento del conjunto A.
to
La forma enumerativa consiste en escribir a todos y cada uno de los elementos que forman al conjunto.
B  1, 2, 3, 4 , E  rojo, azul, amarillo, verde , F  $, %, /, 
lix
La forma descriptiva consiste en escribir al conjunto por medio de una oración abierta, la cual se llama así por
que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo.
.c
a
T  x x es una de las estaciones del año
A la oración “x es una de las estaciones del año”, se llama oración abierta y la línea horizontal “ | ” se lee “tal
que”.
w
Una oración abierta es, toda la oración en la que interviene alguna variable “x”, al conjunto que nos proporciona
los elementos para remplazar a la variable lo llamamos conjunto de reemplazamiento y finalmente al conjunto de
valores del conjunto de reemplazamiento que hacen verdadera a la oración abierta se llama conjunto de verdad.
Ejemplo.
Considere al conjunto de reemplazamiento E  1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , encontrar el conjunto de verdad para el
w
conjunto B si B   x  E x es un número par mayor de 5 .
w
El conjunto es B  6, 8
Matemáticas IV.- Álgebra
1
Cardinalidad
x
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto, si es posible determinar la
cardinalidad de un conjunto, entonces se dice que dicho conjunto es finito, en caso contrario se dirá que es un
conjunto infinito.
La notación de la cardinalidad de un conjunto A es:
n  A  # A  cardinalidad del conjunto A
Conjunto Universal
Conjuto Vacío
Es un conjunto el cual carece de elementos y su notación es:

om
 
.m
El conjunto universal se entenderá como el conjunto formado por todos los elementos considerados para un
determinado fin. U  conjunto universal
Conjuntos Iguales
Conjuntos Ajenos O Disjuntos
.c
Dos conjuntos son iguales entre si  A  B  , si cada elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y
cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A.
Conjuntos Equivalentes
to
Dos conjuntos son ajenos o disjuntos si no comparten elementos en común. Por ejemplo el conjunto formado por
los números pares y el conjunto formado por los números impares son ajenos o disjuntos.
Dos conjuntos son equivalentes  A  B  , si tienen la misma cardinalidad.
lix
Operaciones Entre Conjuntos
Unión
La unión de dos conjuntos A y B  A
x  B
.c
a
y/o B.
A B  x x  A
B  , es un conjunto formado por elementos que pertenecen al conjunto A
y
ó
B  , es un conjunto formado por elementos que pertenecen al
w
Intersección
La intersección de dos conjuntos A y B  A
conjunto A y B.
A B  x x  A y x  B
w
w
Diferencia De Conjuntos
La diferencia entre un conjunto A y un conjunto B  A  B  , es un conjunto formado por elementos que
pertenecen al conjunto A pero no al conjunto B.
A  B  x x  A y x  B
2
Prof. Jesús Calixto Suárez
Complementos De Un Conjunto


El complemento de un conjunto A A  A ' , es un conjunto formado por elementos que no pertenecen al
c
conjunto A pero si pertenecen al conjunto universal.
A 
c
c
Ejemplos De Operaciones Con Conjuntos
A
.m
A BB A
A BB A
A B  B  A
c
 A B   Ac B c
c
 A B   Ac B c
om
Propiedades De Los Conjuntos
x
Ac   x x  A y x  U
EJEMPLO 1
Sea S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} el conjunto de reemplazamiento. Hallar el conjunto de verdad para:
a) A  x  S x es un número par
to
b) B  x  S  x  6   S
.c
Como se puede ver el enunciado “x es un número par” se hace verdadero si x toma los valores de 2,4,6,8,10 y 12
que se encuentran en el conjunto S, por tanto el conjunto de verdad para A es:
A= { 2,4,6,8,10, 12 }
lix
Ahora el enunciado “(x+6) ∈S” nos dice que x deberá de ser un número que sumado con 6, el resultado
pertenecerá a S, por ejemplo si x es 2 queda. 2+6 = 8 y 8 si pertenece a S, pero si x es 8 nos queda 8+6 = 14, lo
cual claramente se ve que 14 no pertenece a S, por lo anterior se tiene que el conjunto de verdad para B es:
B={2,4,6}
w
w
.c
a
EJEMPLO2
Sea el conjunto universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y sea H={1,2,3,4}, J={3,4,5}, K={7,8,9} y L={5,6,7,8,9,10}.
Encontrar:
a) H J
Recuerda que ∩ representa la intersección de 2 conjuntos, es decir los elementos que están en el primer y
segundo conjunto, por ejemplo del conjunto H={1,2,3,4} que elementos también tiene J={3,4,5}, como podrás
observar fácilmente tienen en común al 3 y 4.
H={1,2,3,4}J={3, 4,5},
Entonces tenemos que
H J= 3, 4
w
b)
En éste caso el símbolo∪ representa la unión de dos conjuntos, es decir elementos que están en el primer
conjunto y/o en el segundo conjunto. Una manera fácil de unir dos conjuntos es hacer lo que entendemos de unir
(juntar) , es decir juntos los elementos de ambos conjutos.
Al juntar los elementos de K={7,8,9} y L={5,6,7,8,9,10}, se tiene:
K
L
{7,8, 9 , 5, 6, 7,8, 9,10} , pero recuerda que en conjuntos NO se acostumbra repetir elementos y como podrás ver
el conjunto anterior tiene por ejemplo repetido el 7, basta entonces escribir la solución sin repetir elementos o
sea:
Matemáticas IV.- Álgebra
3
K
L ={5,6,7,8,9,10}
Finalmente encontremos (L–K)c⋂J que será la intersección del conjunto
.m
x
c) (L–K)c⋂J
Ahora en este caso primero se hace L–K, es decir los elemento que SI pertenecen al conjunto L pero que NO
están en K.
L– K={5,6,10}
Enseguida encontremos (L–K)c, lo cual representa el complemento del conjunto L– K, o sea los elementos que
no están en el conjunto que ya se había encontrado L– K={5,6,10}.
(L–K)c ={1,2,3,4,7,8,9}
Recuerda que el complemento de un conjunto son los elementos que NO están en el conjunto pero SI están en el
conjunto universal.
Encontrar A×B, si A = {–4, –2, 0, 2} y B = {–3, –1, 1}
om
(L–K)c ={1,2,3,4,7,8,9} y el conjunto J={3,4,5}, es decir elementos en común para ambos conjuntos,
quedándonos:
(L–K)c⋂J={3,4}
EJEMPLO 3
.c
DEFINICIÓN.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (A×B) es un conjunto formado por parejas
ordenadas (x,y) donde “x” es un elemento del primer conjunto A y “y” es un elemento del segundo conjunto B.
A×B={(x,y) | x∈ A , y∈ B}
to
Ahora encontremos A×B
(–4,–1)
(–4,1)
.c
a
(–4,–3)
A = {–4, –2, 0, 2}
lix
A ={–4, –2, 0, 2}
(–2,–3)
(–2,–1)
B = {–3, –1, 1}
A = {–4, –2, 0, 2}
A = {–4, –2, 0, 2}
w
B = {–3, –1, 1}
w
(0,–3)
B = {–3, –1, 1}
(0,–1)
(0,1)
(2,–3)
(2,–1)
w
(2,1)
B = {–3, –1, 1}
A×B={(–4,–3),(–4,–1),(–4,1), (–2,–3),(–2,–1),(–2,1), (0,–3),(0,–1),(0,1),
4
(–2,1)
(2,–3),(2,–1),(2,1)}
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Diagramas de Venn-Euler
.m
x
Un diagrama de Venn-Euler es una representación de los conjuntos y sus operaciones por medio de figuras
geométricas cerradas, en general al conjunto Universal se acostumbra representarlo con un rectángulo.
.c
om
A los conjuntos se les representa con círculos y en sus operaciones aparecen diferentes figuras.
Ejemplo 1.- Si U  1,2,3,4,5,6 , A  1,4,5 y B  4,5,6 , la representación de estos conjuntos es:
B , tenemos:
lix
to
Ahora, si quisiéramos ver que figura encierra los elementos de A
.c
a
y para la intersección tenemos:
Figura que encierra a los elementos de A∪B = {1,4,5,6}
Figura que encierra a los elementos de A∩B = {4, 5}
w
w
w
finalmente, la figura que encierra a los elementos de Ac  2,3,6 es:
Matemáticas IV.- Álgebra
5
y
/o en B
om
A B  elementos que están en A
B es:
.m
Entonces la figura que encierra al conjunto A
x
Ejemplo 2.- Considera la siguiente situación de tres conjuntos A, B y C.
esto no es parte de la figura,
es la silueta de C
to
.c
al iluminar al conjunto A, alguna parte del conjunto C también se ilumina, ya que el hecho de que
un elemento pertenezca al conjunto A no lo restringe a que pertenezca a la vez a otro conjunto. La
figura que encierra los elementos de A B es:
lix
Ahora veamos que figura encierra al conjunto B C
B C = elementos que están en B y en C.
Primero observemos lo siguiente:
.c
a
elementos que están en A, observa que algunos de
ellos están en B y otros a la vez están en B y C
elementos que están en A en B y en C
w
w
w
elementos que están en A y B
(algunos también en C)
6
Prof. Jesús Calixto Suárez
x
Para nuestra situación, los elementos de B C son los elementos que están en B y en C, pero
algunos de ellos también estarán en A, lo cual no importa ya que cumplen que están en B y en C.
.m
Ejemplo 3.- Sombrear la parte que represente al conjunto  A B  C
om
Primero identifiquemos  A B 
to
.c
Si de lo que está sombreado observas que pertenece a C, el conjunto  A B  C está representado
por:
T: Tostador
AE: Abrelatas eléctrico
A: Aspiradora
w
w
w
.c
a
lix
Problemas que se resuelven con diagramas de Venn-Euler
Resolvamos algunos problemas dónde nos puede ser de utilidad los diagramas ya estudiados.
Problema 1.- En una muestra de 80 amas de casa, 37 tenían aspiradora, 46 tenían abrelatas eléctrico
y 35 tenían tostadora. Además 25 tenían simultáneamente aspiradora y abrelatas, 15 tenían
aspiradora y tostadora y 25 tenían abrelatas y tostadora; 10 amas de casa tenía los tres aparatos.
¿Cuántas de ellas no tenían ninguno de estos aparatos?
Como podrás darte cuenta hay 3 conjuntos involucrados (tostadora, abrelatas, aspiradora) y hay
elementos que pertenecen a dos de ellos o hasta a los tres conjuntos, entonces podemos usar la
siguiente situación:
Matemáticas IV.- Álgebra
7
ya que se entendería que la zona que tiene
.m
x
No poner
om
35 elementos es
, lo cual no queremos, ya que 35
elementos son los que debe contener TODO el círculo de tostadora.
.c
Bueno, para los demás datos aclaremos lo siguiente: 25 tenían tostadora y abrelatas, esto no
restringe que también tengan tostadora, por tal motivo el 25 debe estar en:
to
si se pone el 25 en:
25 tienen AE y A (pudiera
ser que también tostadora,
aunque no se mencione)
lix
ésta zona representa a los elementos que están en abrelatas y aspiradoras
solamente, es decir, mientras no se nos indique solamente o sólo
nosotros podemos entender que además de tener abrelatas y aspiradora
pudieran tener tostadora.
.c
a
Observación: Que tú le menciones a un amigo que te gusta el chocolate
y las manzanas, no te excluye qué quizás te gusten los bombones, pero si
tú mencionas que sólo te gusta el chocolate, entonces sí, das a pensar que
por ejemplo no te gustan las palomitas.
w
w
w
Ahora, si ponemos todos nuestros datos en un diagrama de Venn-Euler tendremos:
8
15 Tostadora y Aspiradora
25 Tostadora y Abrelatas
25 Abrelatas y Aspiradora
No es difícil ver que si en
hay 15 elementos y en una parte de éste conjunto hay 10, entonces
en la otra parte debe de haber 5 para que sumen en total los 15 elementos que debe tener.
Prof. Jesús Calixto Suárez
si rellenamos los espacios en blanco del diagrama y tomando en cuenta la explicación anterior,
tenemos:
x
6 ya que:
y debe de haber 46
om
.m
Finalmente para encontrar los elementos que están fuera de los tres conjuntos, como si fuera un
rompecabezas, veremos cuanto falta para que de un total de 80:
5  15  5  10  7  15  6  ?  80
.c
63  ?  17
es decir, hay 17 amas de casa que no tienen alguno de los tres aparatos mencionados.
.c
a
lix
to
Problema 2.- De un grupo de 63 alumnos: 30 estudian italiano, 35 estudian francés y 15 estudian
ambos idiomas, ¿Cuántos alumnos estudian…
a. sólo francés?
b. sólo italiano?
c. ninguno de los dos idiomas?
Primero ponemos los datos
Ambos idiomas
w
w
w
Bueno, como
claramente la otra parte del conjunto italiano debe ser también 15, pues
15  15  30 , análogamente para francés y para la parte que está fuera de italiano y francés
tenemos:
15  15  20  ?  63  ?  63
Entonces hay 13 alumnos que no estudian italiano ni tampoco francés.
Matemáticas IV.- Álgebra
9
Ejercicios
Resuelve los siguientes problemas utilizando diagramas de Venn-Euler.
.m
x
Problema 1.- A los niños de una organización civil se les apoya para que hagan deporte, una encuesta
reveló que los deportes que más les agradan son: natación, fútbol, béisbol, entre otros, los
resultados de la encuesta fueron: 7 sólo prefieren natación; 28 sólo quieren jugar fútbol; uno, sólo
quiere practicar béisbol; 30, natación y fútbol; 18 natación y béisbol; 20, fútbol y béisbol; 12 los
tres deportes de mayor preferencia y 20, otros deportes.
a. ¿Cuántos niños quieren béisbol o natación?
b. ¿Cuántos niños prefieren fútbol o béisbol?
c. ¿Cuántos niños fueron encuestados?
d. ¿Cuántos niños prefieren únicamente 2 deportes?
to
.c
om
Problema 2.- Una empresa concede cómo prestación a sus empleados la asistencia a un club
deportivo; en éste hay canchas de squash, un gimnasio, un boliche y una cafetería, donde se pueden
divertir con juegos de mesa o simplemente platicar. Se realizó una encuesta a 70 personas sobre la
actividad de esparcimiento de su preferencia y se encontró que: 20 preferían boliche, 27 el
gimnasio, 24 squash, 8 boliche y gimnasio, 10 squash y boliche, 15 squash y gimnasio y, por
último, 6 prefieren squash, gimnasio y boliche.
a. ¿Cuántas únicamente prefieren jugar boliche?
b. ¿Cuántas únicamente prefieren jugar squash?
c. ¿Cuántas personas sólo desean estar en el gimnasio?
d. ¿Cuántas personas prefieren otras actividades?
e. ¿Cuántas prefieren el squash o el boliche?
f. ¿Cuántas no quieren boliche o squash?
.c
a
lix
Problema 3.- En un supermercado se hizo una encuesta a 60 personas, para saber que tipo de bebida
alcohólica que está en oferta prefieren. Los resultados fueron: 12 comprarían whisky y tequila; 16,
vodka y tequila; 14, whisky y vodka; 29, whisky; 30, tequila; 29, vodka, y sólo 9 personas las tres
bebidas.
a. ¿Cuántas personas contestaron que otras bebidas?
b. ¿Cuántos prefieren 2 tipos de bebida únicamente?
c. ¿Cuántos quieren al menos una de las tres bebidas?
d. ¿Cuántas quieren sólo un tipo de bebida?
w
w
w
Problema 4.- En una fiesta infantil se les pidió su opinión a los niños acerca del sabor del helado que
preferían comer. Los resultados fueron los siguientes: 9 quieren de chocolate, vainilla y fresa; 12,
de fresa y vainilla; 13, de chocolate y fresa;15, de chocolate y vainilla; 18, de fresa; 26, de
vainilla;29, de chocolate y 8 niños prefieren de otros sabores.
a. ¿Cuántos niños había en la fiesta?
b. ¿Cuántos quieren sólo de dos sabores?
c. ¿Cuántos sólo de un sabor?
d. ¿Cuántos no quieren de chocolate o fresa?
10
Prof. Jesús Calixto Suárez
c.
d.
C
w
w
w
.c
a
lix
to
.c
e.
.m
b.
 A B C
c
 B  A
c
 C A
 A C  B
 A B  B
om
a.
x
5.- Considera cada diagrama de Venn-Euler que se te da y sombrea el conjunto que se te indica:
Matemáticas IV.- Álgebra
11