oscilaciones y ondas

FÍSICA – LAB. 7
OSCILACIONES Y ONDAS
Introducción
Un movimiento cualquiera que se repite a intervalos iguales de tiempo se le llama “movimiento
periódico”. Si un sistema en particular, que posee movimiento periódico, se mueve
alternativamente en uno y otro sentido siguiendo la misma trayectoria se le denominara
“movimiento oscilatorio o vibratorio ”. Por ejemplo el péndulo de un reloj, una masa suspendida
de un resorte y separada de su posición de equilibrio, la cuerda de un instrumento musical, un
átomo en una red cristalina a una dada temperatura, etc. representan movimientos oscilatorios.
Sistema masa-resorte
Tomemos un sistema MASA - RESORTE como el de la figura 1 y definamos los
parámetros que caracterizan un movimiento oscilatorio. Veamos primero como se origina este
movimiento:
Suponiendo
una
mesa
horizontal
sin
rozamiento el resorte es estirado
una
distancia x. Se lo suelta, pasa por su posición
de equilibrio mientras se comprime debido a
una fuerza recuperadora elástica hasta su
máxima compresión. Terminado este ciclo
nuevamente se estirara y el movimiento se
repetirá infinitamente. El periodo T es el
tiempo que tarda el sistema en realizar un
ciclo completo, en este caso será la masa M
pasa por su posición de equilibrio llega hasta
el punto de máxima elongación, vuelve, se
comprime y comienza a elongar, cuando pasa
por su posición de equilibrio nuevamente ha
completado un ciclo. (obviamente las unidades
del periodo son unidades de tiempo).
Figura 1
La frecuencia f es el número de oscilaciones o de ciclos que se realizan en la unidad de tiempo.
en el ejemplo anterior es la cantidad de ciclos completos que realizo la masa suspendida del
resorte en un segundo. Obsérvese que frecuencia es la inversa del periodo y sus unidades son
Hertz o ciclos por segundo o 1/seg..
f =
1
T
(1)
Se define amplitud como la longitud de la mayor elongación o la mayor contracción, sus unidades
son la de longitud. La amplitud de la oscilación, como se verá más adelante, tiene que ver con la
energía que esta puede trasmitir.
Las funciones matemáticas seno y coseno, que son periódicas y acotadas, son las
adecuadas para resolver las ecuaciones diferenciales que explican representan estos procesos.
La ecuación que da la posición de una partícula oscilante en un instante t es:
x = A cos(ω t + δ )
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donde ω = 2π /T es la frecuencia angular, A es la amplitud y δ es la constante de fase.
ÖArmar un sistema masa-resorte, alejar la masa de su posición de equilibrio y dejarla
oscilar libremente. Utilizando un cronómetro determinar el periodo T.
Ö¿Cómo puede determinar la constante elástica k del resorte?
Ondas
A partir del estudio de oscilaciones se puede desarrollar el estudio de ondas. El
movimiento ondulatorio aparece en numerosos campos de al física, ejemplos cotidianos son el
sonido, la luz, ondas en el agua, etc. Trabajaremos con ondas en medios elásticos, llamadas
ondas mecánicas, dejando para un estudio posterior las ondas electromagnéticas.
Las ondas mecánicas se originan al desplazarse una porción de un medio elástico
respecto de su posición de equilibrio, de esta manera fuerzas de restitución la harán oscilar
generando una perturbación que se trasmite a porciones vecinas del medio como una onda
viajera.
Debemos tener en claro que si bien la perturbación viaja a través del medio este no lo
hace como un todo, diversas partes de él oscilan en trayectorias limitadas transmitiendo esta
onda.
Puede verse que esta es una manera de transmitir información (energía) a grandes
distancias. Para la transmisión de ondas mecánicas es necesario un medio material, por ejemplo:
ondas en el agua, en una cuerda o en un resorte, en cambio para la transmisión de una onda
electromagnética no es necesario tal medio, por ejemplo la luz de las estrellas.
Ondas transversales y longitudinales
Las ondas pueden clasificarse en ondas longitudinales o transversales ya sea la
perturbación que la genera perpendicular o transversal a la dirección de propagación de la onda.
En las figuras 2 y 3 se esquematizan una onda transversal y una longitudinal. Con los resortes
pueden observarse claramente estos fenómenos
El sonido por ejemplo es una onda longitudinal. Cabe agregar que hay ondas que no son ni
puramente transversales ni puramente longitudinales. El tratamiento matemático de las ondas
se da a través de las funciones seno y coseno con ecuaciones que dan la posición de una onda
viajera en un instante dado de la forma:
y = A sen(kx + wt + φ )
donde A es la amplitud,
(3)
ω su frecuencia angular ω=2πf, (f esta definido de la misma manera que
para las oscilaciones), k es el número de onda definido por: 2π/λ y φ es el ángulo de fase.
Se define longitud de onda λ la distancia entre dos puntos de la onda con igual fase, es decir
con la misma altura, (por ejemplo distancia entre dos máximos o dos mínimos). El periodo T es el
tiempo necesario para que una onda recorra una longitud de onda, luego:
λ = V .T
(4)
donde V es la velocidad de fase de la onda.:
La energía que puede transportar una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud.
Superposición de Ondas
Es un hecho experimental que dos o mas ondas pueden recorrer el mismo espacio en el
mismo instante de manera independiente, independiente quiere decir que el desplazamiento de
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cualquier partícula en un tiempo t es la
suma
de
los
desplazamientos
provocados individualmente por cada
una de las ondas. Este proceso se
denomina “superposición de ondas”, un
buen ejemplo de esto es una antena de
radio por la cual pasan muchas
frecuencias distintas y la corriente
generada en esta será la superposición
de todas y en general de forma muy
compleja,
pero
gracias
a
la
independencia
antes
mencionada
podemos sintonizar una frecuencia en
particular.
La importancia física de este
fenómeno reside en que es posible
analizar un movimiento ondulatorio
complicado como combinación de ondas
simples.
Interferencia de Ondas
Un efecto íntimamente ligado
al de superposición es del de
interferencia; supongamos dos ondas
iguales que viajan en el mismo sentido
Figura 2 y 3
solo diferenciadas por una diferencia
de fase φ, la onda resultante será la suma de ambas, pero la diferencia de fase antes
mencionada provocara que la resultante tenga máximos y mínimos de distinto valor y ubicación
a las ondas individuales generando una nueva onda distinta a las originales.
Cuando un máximo de una onda coincide con el de otra se genera un una nueva onda de
mayor amplitud (la suma de las amplitudes individuales), esta es una “interferencia
constructiva”, si un máximo de una onda coincide con el mínimo de otra la amplitud resultante
será nula y esta será una “interferencia destructiva” y entre estos dos límites todas las
situaciones posibles.
Ondas Estacionarias
En un cuerpo de tamaño finito y prácticamente unidimensional, como puede ser una
cuerda de longitud L y sujeta por sus extremos con una tensión T puede observarse una
situación particular: un tren de ondas que viaja por la cuerda en un sentido al llegar a uno de los
extremos se refleja, al cabo de un cierto tiempo habrá ondas que viajan en un sentido y ondas
que lo hacen en sentido contrario. Estos trenes de ondas se superponen, interfieren, luego
habrán punto en los cuales las amplitudes se suman y otros en los cuales se cancelan.
Aquellos puntos donde la amplitud es máxima se llaman “antinodos“ y en los cuales la
amplitud es nula se llaman “nodos ”.
Este fenómeno se lo conoce como “ondas estacionarias”.
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Es característico de una onda estacionaria que la amplitud para distintas partículas de
la cuerda dependerá de la posición de cada partícula en particular, de ahí su nombre, es claro
por lo tanto que no se transporta energía a lo largo de una onda estacionaria ya que esta no
puede fluir a través de los puntos nodales (amplitud nula); podemos decir entonces que la
energía permanece “estacionaria”.
Como se menciono en párrafos anteriores la rapidez de una onda esta determinada por
características del medio como la elasticidad o la inercia del mismo.
En una cuerda tensa la elasticidad de la misma dependerá de la tensión T entre sus extremos
así como su inercia estará determinada por la relación masa/longitud (densidad lineal µ). En un
análisis que aquí obviaremos podemos obtener la velocidad de propagación de una onda en una
cuerda tensa:
V=
T
µ
(5)
Tomemos una cuerda de longitud L y densidad lineal µ = m/ L sometida a una tensión T , bajo
la condición que en sus extremos haya siempre nodos se deduce fácilmente que la longitud de la
cuerda L debe ser un número entero de medias longitudes de onda (λ/2) entonces :
L=n
λ
2
(6)
Si se relaciona λ = V/ν con (5) y (6) se encuentra una expresión que da las frecuencias
características de una onda estacionaria en función de parámetros conocidos T, µ y L.
fn =
n T
2L µ
n = 1,2,3,....
( 7)
para cada n tenemos un modo de vibración distinto, n=0 es el modo fundamental de vibración,
n=1 es el primer modo de vibración etc. .
Ö Dibuje un esquema de la cuerda representando los tres primeros armónico e identifique la
longitud de onda en cada caso.
Ö Utilizando una cuerda tensa y un vibrador mecánico (de frecuencia variable) variar la de
excitación hasta encontrar visualmente la frecuencia del modo fundamental (f1). A partir
de ésta encontrar la frecuencia de los siguientes armónicos (n=1, n=2, etc.) .
Ö Calcular la velocidad de propagación de la onda en la cuerda.
Ö ¿ Si se aumenta la tensión T cuatro veces qué sucede con la frecuencia fn ?.
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