ω ξ ω β sin ω β sin ω β ϖ ω β ϖ ω ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ω β ψ ω ϖ β ψ

158
CAPÍTULO 9
PÉNDULO EXCITADO PARAMÉTRICAMENTE
9.1 OBJETIVO:
El alumno analizará las vibraciones pramétricas en un péndulo excitado para diferentes
parámetros como lo son: amplitud, frecuencia, y ángulo de excitación.
9.2 INTRODUCCIÓN TEÓRICA
Figura 9.1
Diagrama de fuerzas del Péndulo
El punto O vibra en la dirección definida por el ángulo β de manera armónica
con amplitud A y frecuencia ϖ .
ξ (t ) = A sin ωt
(1)
Puede ser presentada por dos componentes
Xo = A cos β sin ωt , Yo = A sin β sin ωt
(2)
La fuerza de inercia tiene dos componentes como resultado de la vibración en
dos direcciones.
Ix = mAϖ 2 cos β sin ωt , Iy = mAϖ 2 sin β sin ωt
(3)
El movimiento del péndulo es descrito por:
Iψ&& + cψ& = − mge sinψ + Ixe sinψ − Iye cosψ = F (ψ ) + P ′(ψ , ωt )
(4)
Donde F (ψ ) = − mge sinψ
P ′(ψ , ωt ) = mAω 2 (sinψ cos β − cosψ sin β ) sin ϖt = mAω 2 sin(ψ − β ) sin ωt
(5)
Donde c es el coeficiente de amortiguamiento.
159
9.3 ENCONTRANDO LOS PÁRAMENTROS QUE DEFINEN EL
COMPORTAMIENTO DE NUESTRO SISTEMA
Este péndulo físico tendrá la capacidad de vibrar en el pivote en diferentes direcciones
con la siguiente función de movimiento.
y(t) = Y cosωt
(6)
Donde Y es la amplitud y ω es la frecuencia de oscilación. Desde que el
péndulo entero acelera en la dirección vertical, la aceleración neta esta dada por:
oo
(7)
g − y ( t ) = g − ω 2Y cos ωt
Y la ecuación de movimiento del péndulo físico puede ser escrita como:
oo
oo
I θ + m(g − y )lsin θ = 0
(8)
Para deflexiones pequeñas cerca de θ = 0 , sin θ ≈ θ y la ecuación se reduce a:
oo
ml
(g + ω 2Y cos ωt )θ = 0
Bθ +
(9)
2
τ = ωt
2
2
d θ
2 d θ
=
ω
(10)
dt 2
dτ 2
Bϖ 2 *
d 2θ ml
+
g + ω 2Y cosτ θ = 0
2
dτ 2
(
)
d 2θ ⎛ mgl
mlY
⎞
+⎜
+
cosτ ⎟θ = 0
2
2
2B
dτ
⎝ 2 Bϖ
⎠
(11)
(12)
a=
mgl
2 Bϖ 2
(13)
ε=
mlY
2B
(14)
d 2θ
+ (a + ε cosτ )θ = 0
dτ 2
(15)
Donde:
m- masa
g- gravedad
l- longitud del péndulo
B- momento de inercia
ω- frecuencia de excitación
Y- amplitud
Según la gráfica de la figura 1.1 tenemos los siguientes límites que definen las
regiones estables y no estables.
Para la región inestable tenemos los siguientes límites:
1 ε
1 ε
− <a< +
(11)
4 2
4 2
Para operar dentro de la región estable tenemos es siguiente límite:
160
−
ε2
<a
(12)
2
Donde ε es nuestro parámetro constante y a es nuestro parámetro variable como se
muestra en la Figura 1.1.
Para observar que tipo de comportamiento tenemos en el péndulo graficamos los
valores de α y ε en el plano. Estas ecuaciones parabólicas se les conocen como curvas
de transición las cuales dividen el plano en regiones estables y no estables. La
inestabilidad esta representada por la zona asurada y viceversa para la zona de
estabilidad. También se puede notar que la estabilidad e inestabilidad puede presentarse
para diversos rangos de α . Por lo tanto si se seleccionan adecuadamente los
parámetros, el péndulo puede ser diseñado para operar en regiones estables.
a Parámetro
Variable
ε
Parámetro
constante
Figura 9.2 Regiones estables y no estables
en la ecuación de Mathieu
9.4 CÁLCULO DE LA FRECUANCIA NATURAL
La frecuencia natural está dada por la siguiente ecuación:
ω 0 = meg / I
m- masa
e- distancia al centro de masa
g- gravedad
I- momento de inercia
(13)
161
9.5 BANCO Y PRINCIPIO DE TRABAJO
Figura 9.3
Isométrico de Bando de Vibraciones
A = 0.25mm, 5mm,
8mm, 16mm.
Figura 9.4
Plano frontal del Banco de Vibraciones
9.6 PARÁMETROS DEL PÉNDULO
Rango de excitación: 0 a 1725rpm (0 a 180.64 rad/seg)
Amplitudes: 2.5mm, 5mm, 8mm y 16mm
Angulo de excitación: 0 a 30o
Material: Aluminio 6061-T6
Densidad: 2700 Kg/m3
Volumen: 4669.83 mm3
Masa: 0.014Kg
Longitud: 159mm
Centro de masa: 59.06mm
Área de superficie: 3810.72 mm2
Figura 9.5
Péndulo
162
9.7 REALIZAR EXPERIMENTO
9.7.1 CÁLCULOS:
1. Calcular los rangos de frecuencias estables e inestables con los parámetros dados
para cada amplitud del péndulo.
2. Calcular la frecuencia natural del péndulo
3. Comprobar los resultados teóricos y prácticos
Longitud [m]
gravedad
[m/s^2]
Masa
Aluminio[kg]
Amplitud [m]
Intervalo
Inferior de
resonancia
[rad]
α/w^2
Intervalo
Intervalo
Superior
Inferior de
de
resonancia
resonancia
[rpm]
[rad]
є
Densidad
[kg/m^3]
Masa
Péndulo
[kg]
Momento de
Inercia
[kg*m^2]
Intervalo
Inferior 1/4-є/2
Intervalo
Superior de
resonancia
[rpm]
Volumen [m^3]
Intervalo
Superior
1/4+є/2
Diferencia
entre
frecuencias
de
resonancia
[rpm]
Rango
estable
є^2/2
Frecuencia
de
estabilidad
[rad]
Frecuencia de
estabilidad
[rpm]
9.7.2 PROCEDIMIENTO
RANGO INESTABLE:
•
Dar un ángulo inicial = 50
• Encender el motor a ¼ de sus revoluciones máximas y disminuir hasta encontrar
las dos frecuencias de resonancia.
RANGO ESTABLE:
• Para β=0
•
Dar un ángulo inicial = 1800
• Encender el motor y aproximar a las revoluciones calculadas.
163
Para β=X
Dar un ángulo inicial = 180-X
Encender el motor a y aproximar a las revoluciones calculadas.
9.7.3 UTILIZACIÓN DE SOFTWARE
Para poder utilizar el software es necesario tener los siguientes cálculos:
Constantes:
1. Amplitud
2. Frecuencia ω
3. Angulo de excitación β
4. Constante “C”
Cálculo del al constante de amortiguamiento
De la ecuación de movimiento angular tenemos;
ϕ&& + 2hϕ&& + ω 2 0ϕ = 0
(14)
Donde;
c
= 2h
(15)
I
h
=ε
(16)
ω0
Para tener una relación aceptable debemos estar en el siguiente
rango 0.01 ≤ ε ≤ 0.05 .
Por lo tanto podemos encontrar h:
h = εω 0 = 0.01 * 9.26rad / s = 0.0926rad / s
Y finalmente podemos hallar el valor de c
c = 2hI = 2 * 0.0926rad / s * 1.21X 10 −4 kg * m 2 = 0.0000224 N * m
Condiciones Iniciales
1. Angulo inicial
2. Velocidad angular inicial
Instrucciones
1. Introducir valores a las constantes del programa
2. En el menú “Simulate” se encuentra el comando “Simulation up” donde se
puede el elegir el método de solución y el número pasos en las iteraciones de
tiempo.
3. Se da “click” en el icono play
9.8 CONCLUSIONES
Esta práctica tiene por objeto mostrar la relación entre los resultaos teóricos y
prácticos a través de las ecuaciones paramétricas básicas. Es importante notar que
cualquier cambio en los parámetros que definen el péndulo tendrá un resultado
importante en su comportamiento al ser sometido a una excitación paramétrica. De la
misma manera la comprensión de esta teoría es de utilidad para entender fenómenos
más complejos o de mayor dimensión. Como puede ser el estudio de estructuras de
164
edificios, alabes de helicóptero, sistemas sumergidos en fluidos turbulentos, flechas con
rigidez periódica entre otros.
9.9 BIBLIOGRAFÍA
[1] Bykhouski, Krieger Fundamentals of Vibration Engineering, 1980.
[2] S Graham Kelly Fundamentals of Mechanical Vibrations, , Mc Graw Hill Second
Edition 2000.
[3] Singiresu S. Rod Mechanical Vibrations, Addison Wesley 1995.