Aplicando el formalismo de la mec´anica ondulatoria a la formaci

Revista Colombiana de Fı́sica, vol.45, No.1, 2013.
Aplicando el formalismo de la mecánica ondulatoria a la
formación del sistema solar
Applying the Wave Mechanics Formalism to the Solar System Formation
N. Poveda T. a ⋆ , N. Vera-Villamizar b , G. Villate E. a .
a Universidad
Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Grupo de Fı́sica Teórica y Computacional.
Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Grupo de Astrofı́sica y Cosmologı́a.
b Universidad
Recibido enero 29 de 2012; aceptado febrero 6 de 2012.
Resumen
Existen diversas teorı́as para explicar el origen del sistema solar, la más aceptada en la actualidad es la teorı́a
nebular donde una supernova cercana, condujo a la formación de una nebulosa solar primitiva que colapsó.
La principal objeción a esta hipótesis es que el Sol deberı́a tener la mayor parte del momentum angular
del sistema. De la mecánica newtoniana es posible obtener el formalismo de la mecánica ondulatoria en
donde la constante de Planck se sustituye por un parámetro macroscópico. Aplicando dicho formalismo,
se puede describir la formación del sistema solar, en donde el Sol tiene un momentum angular pequeño y
presenta una rotación diferencial.
Palabras clave: formación del sistema solar, rotación diferencial del Sol, mecánica ondulatoria.
Abstract
There are several theories to explain the origin of the Solar System, the most widely accepted nowadays
is the nebular theory. This theory tell us that a nearby supernova led to the formation of a primitive solar
nebula that collapsed. The main objection to this hypothesis is that the Sun should have most of the angular
momentum of the system. The Newtonian mechanics tell us that is possible to obtain the formalism of wave
mechanics where Planck’s constant is replaced by a macroscopic parameter. By applying this formalism,
the formation of the Solar System, where the Sun has a small angular momentum and has a differential
rotation, could be described.
Keywords: Solar System formation, differential rotation of the Sun, wave mechanics.
1. Introducción
A partir de la mecánica newtoniana y mediante la
cuantización de la acción, se obtiene el formalismo de
la mecánica ondulatoria, donde la constante de Planck
~ se sustituye por un parámetro macroscópico, ~o ≫ ~.
En la mecánica newtoniana los observables como radio,
velocidad, energı́a y momentum angular toman valores
continuos, pero la cuantización de la acción hace que
solamente ciertos valores de ese continuo estén permitidos. Con el formalismo de la mecánica ondulatoria es
posible describir la formación del sistema solar, en donde el Sol tiene un momentum angular pequeño y presenta una rotación diferencial. Esto explica por qué las
observaciones experimentales tienen concordancia con
algunas cantidades mecánicas asociadas al movimiento periódico celeste mediante reglas de discretización
⋆ [email protected]
Este trabajo es publicado por la Sociedad Colombiana de Fı́sica y distribuido en open acces según los términos de la licencia Creative
Commons Attribution.
Rev. Col. Fı́s., 25, No.1, 2013.
análogas a las de Bohr y Sommerfeld[1][2].
perturbada, el planetesimal oscila armónicamente alrededor
de ro : ξ(t) = ξo cos(ωr · t + φo ), donde ξo =
p
2(E − Uo )/ko es la amplitud del movimiento. Existe
una energı́a residual pequeña Eξ = E − Uo = E − Eo
la cual es almacenada por el movimiento armónico; a
medida que E → Eo la amplitud del movimiento desaparece, ξo = 0.
El teorema de Bertrand [3] muestra que, bajo cualquier condición inicial, los únicos potenciales que producen órbitas estables tienen la forma funcional ∼ 1/r
(Kepler) ó ∼ r2 (oscilador armónico); adicionalmente
la órbita se cierra si la relación entre la frecuencia radial y orbital es ωr /ωo = n/m, siendo n y m primos
relativos. La órbita se repite si después de n perı́odos
de variación de r, la partı́cula completa m revoluciones, n△θ = m2π y en una revolución el planetesimal
recorre una distancia λr = △θro , de donde se obtiene
la regla de Bohr para las órbitas, nλr = 2πro .
En cualquier caso, el momentum po y la energı́a Eo
(igualmente, la longitud λr y el perı́odo Tr ) son constantes. La acción es periódica: S(x, t) = S(x +
nλr , t + nTr ); en consecuencia, la acción se anula para:
S(0, 0) = S(xo , to ) = n(po · λr ) − n(Eo .Tr ) = 0, los
términos dentro de los paréntesis corresponden a una
constante la cual se denota por ho . Nótese que la acción
está cuantizada, la acción Sx (xo ) = St (to ) está dada
por n veces un cuanto de acción ho , que llamaremos
parámetro macroscópico, el cual debemos determinar y
depende del sistema fı́sico considerado. El cuanto de
acción ho cuando la partı́cula recorre una distancia x =
λr es, ho = Sx (λr ), o cuando transcurre un tiempo t =
Tr es, ho = St (Tr ); estas expresiones son análogas a
las relaciones de de-Broglie y Planck, respectivamente:
2. Formalismo de la mecánica ondulatoria
En la nebulosa solar primitiva, que dio origen al sistema solar, las partı́culas se condensan formando pequeños planetesimales de masa, mo , los cuales orbitan
el Sol (en lo que sigue, el subı́ndice “o” indica que esa
cantidad en particular es constante). Como la masa del
Sol, M⊙ , es extremadamente grande comparada con la
masa de los planetesimales, M⊙ ≫ mo , la acción del
Sol prevalece y la interacción entre ellos tan sólo se traduce en débiles perturbaciones a sus respectivas órbitas.
El hamiltoniano (en coordenadas polares) para un
planetesimal orbitando al Sol es: H = p2r /2mo + U (r),
•
donde pr = mo r y U (r) = L2o /2mo r2 − GM⊙ mo /r,
•
a su vez Lo ≡ pθ = mo r2 θ es su momentum angular.
→
−
→
−
Como la fuerza es conservativa, F = − ∇U ; el planetesimal experimenta una fuerza atractiva para r > ro y
repulsiva para r < ro , mientras que en r = r0 no experimenta fuerza alguna. Fácilmente puede demostrarse que
U (r) presenta
un mı́nimo en r = ro : Uo = U (ro )r=ro ,
−
→ es decir, ∇U
= 0 y ko = ∇2 U r=r > 0.
r=ro
o
Cuando la energı́a del planetesimal es E = Uo su
trayectoria, x = x(t), forma una circunferencia de radio ro en cuyo centro se encuentra el Sol y recorre su
−
→
perı́metro (xo ) en un tiempo (to ). Como, ∇Uo = 0,
el planetesimal se comporta como una partı́cula libre,
en este caso la ecuación de Hamilton-Jacobi está dada
2
por: (∇S) /(2mo ) + ∂S/∂t = 0; como en el hamiltoniano no aparece explı́citamente la coordenada x (es
cı́clica) y el tiempo t, existen dos cantidades conservadas: el momentum lineal (∇S ≡ po ) y la energı́a total
del sistema (∂S/∂t ≡ Eo ). En consecuencia, la acción
es separable: S(x, t) = Sx (x) + St (t) = po · x − Eo · t
y es periódica: S(x, t) = S(x + xo , t + to ).
La presencia de otros planetesimales generan una
perturbación la cual hace que el planetesimal se desplace de su trayectoria original de radio ro una distancia |ξ| = r − ro (la cual es muy pequeña, r ≃ ro ),
el planetesimal experimenta una fuerza restauradora en
una dirección tal que |ξ| → 0. Haciendo una expansión en serie de Taylor de U (r), alrededor de ro , hasta
segundo orden, su movimiento radial estará dado por:
po = ~o k r
Eo = ~ o ω r ,
(1)
donde ~o = ho /2π recibe el nombre de parámetro macroscópico reducido, kr = 2π/λr y ωr = 2π/Tr . La
parte izquierda de las relaciones (1) corresponde al momentum y energı́a de la partı́cula no-perturbada y la
parte derecha el número de onda y la frecuencia de la
partı́cula perturbada.
••
A partir de ξ(t) + ωr2 ξ(t) = 0 y haciendo el cambio
de variable t = x/vo , donde vo = ωr /kr , obtenemos
∇2 ξ(x) + kr2 ξ(x) = 0. Si Ψ = Ψ(x, t) = ξ(x) · ξ(t),
obtenemos: ∂ 2 Ψ/∂t2 − vo2 ∇2 Ψ = 0. La solución de la
ecuación tiene la forma: Ψ = C · exp [i(kr x − ωr t)].
Como la trayectoria se repite, Ψ(0, t) = Ψ(xo , t), entonces exp [ikr xo ] = 1; esta condición se satisface para: kr → kn = n2π/xo (n = 0, ±1, . . .). Como podemos apreciar, las condiciones de frontera tienen el
efecto de discretizar el número de onda (kn ) y la fre-
•
p2ξ /2mo + ko ξ 2 /2 = E − Uo , donde pξ = mo ξ es un
momentum transversal al movimiento original. La ecua•
ción canónica de Hamilton: pξ = −∂H/∂ξ, se con••
vierte en ξ(t) + ωr2 ξ(t) = 0, siendo ωr2 = ko /mo , una
frecuencia. Por consiguiente, cuando la trayectoria es
8
N. Poveda et al.: Aplicando el formalismo de la mecánica...
cuencia (ωn ). La solución adquiere la forma: Ψ(x, t) =
C · exp [i(kr x − ωr t)] = C · exp [i(pn x − En t)/~o ] =
C · exp [iS(x, t)/~o ].
No obstante, la velocidad de la onda no coincide con
la velocidad de la partı́cula. Para poder representar una
partı́cula haciendo uso de la ecuación de onda, se hace
necesario modular la amplitud de la onda con una función real positiva, A(x, t) = A(x − vo t), para limitar
la extensión de la onda formando un paquete de onda
y hacer que la envolvente se mueva con una velocidad
de grupo, vo :
3. Resultados obtenidos
Sustituyendo el hamiltoniano para la energı́a total
b = −~2o ∇2 /2mo − GM⊙ mo /r
de un planetesimal, H
2
(∇ es el laplaciano en coordenadas esféricas), en la
ecuación (3) obtenemos un resultado similar al átomo
hidrógeno: En = −Eo /n2 (n = 1, 2, . . .), donde Eo =
GM⊙ mo /2ao y ao = ~2o /GM⊙ m2o . De la solución radial,
i
Ψ(x, t) = C · A(x, t) · e ~o S(x,t) .
" # 12 3
l
2
(n − l − 1)!
2ρ
Rn,l (ρ) =
n
2n(n + l)!3
n
r
2ρ
(ρ = ),
e−ρ/n L2l+1
n+l
n
ao
(2)
El cuadrado de la función de onda corresponde a la
función de distribución (o densidad de probabilidad) de
2
2
encontrar la partı́cula: ρ(x, t) = |Ψ| = |C| A2 (x, t).
La función de onda (2) nos permite hacer uso de la
ecuación de Schrödinger:
∂
→
→
b (−
HΨ
r , t) = i~o Ψ (−
x , t) ,
∂t
(3)
2
(5)
se obtiene que la probabilidad |ρRn,l (ρ)| es máxima
para n = 1, 2, . . . y l = n−1 y corresponde a los radios
de Bohr rn = ao n2 .
Del modelo de Bohr vn2 rn = GM⊙ ≃
887, 43(km/s)2 ua, tomando los datos actuales para
el radio medio y velocidad orbital de cada planeta, obtenemos el error porcentual con respecto a este valor
de: Mercurio (0, 1 %), Venus (0, 1 %), Tierra (0, 1 %),
Marte (0, 4 %), Ceres (0, 3 %) (se ha tomado Ceres por
ser el más masivo del cinturón de asteroides), Júpiter
(−0, 1 %), Saturno (−0, 6 %), Urano (−1, 0 %), Neptuno (−1, 6 %) y Plutón (1, 8 %). Tomando la distancia
orbital media de la Tierra como la unidad rn = 1 ua y
promediando la relación de rn con Venus rn−1 y Marte
rn+1 obtenemos que a la Tierra le corresponde el número cuántico n = 5, lo que nos da el valor aproximado
de ao ≃ 0, 04 ua.
Los números cuánticos deplos planetas restantes se
obtienen de la ecuación n = GM⊙ /ao /vn siendo vn
su velocidad orbital, de esta manera obtenemos Mercurio (3), Venus (4), Tierra (5) y Júpiter (11). Imponiendo el criterio de no tener en cuenta planetas con un
error porcentual > 0, 1 % y tomando los radios orbitales (rn = ao n2 ) de estos planetas mediante un ajuste
chi-cuadrado con un nivel de confiabilidad del 95 % obtenemos: ao = 0, 04292 ± 0, 00038 ua (χ2 = 0, 00225
y R2 = 0,99956). Con este valor obtenemos el parámetro macroscópico reducido ~o /mo = 1, 469 × 1014 Js
y la energı́a base Eo /mo = 1, 034 × 1010 J. En las Figuras 1 y 2 se muestra la ubicación de los planetas y su
velocidad orbital con respecto a los números cuánticos,
respectivamente.
b es el hamiltoniano que representa la energı́a
donde H
→
b = −~2o ∇2 /2mo + U (−
total de la partı́cula, H
x ). La
parte real de la ecuación (3) se reduce a,
→ 2
1 −
∂S
∇S + U + UQ +
= 0,
(4)
2m
∂t
se ha definido UQ = −~2o ∇2 A/2mo A, el cual recibe el
nombre de potencial cuántico. En la mecánica cuántica el término UQ depende de la constante de Planck,
~ ∼ 10−34 J·s, como U ≫ UQ los efectos cuánticos
se hacen despreciables a nivel macroscópico, sin embargo, en este caso el parámetro macroscópico reducido, ~o ≫ ~, de tal manera que UQ tiene un efecto sobre el sistema macroscópico. De la parte imaginaria de
la ecuación (3) obtenemos la ecuación de continuidad,
→ −
−
→
∂̺/∂t + ∇ · J = 0, aquı́ ̺ la podemos interpretar co2
mo una densidad de probabilidad, ̺ = A2 = |Ψ| de
→
−
→
−
encontrar el planetesimal y el término, J = ̺ vo , como
la corriente de probabilidad; la densidad de probabilidad se desplaza en el espacio con la misma velocidad
y trayectoria del planetesimal.
De esta manera si utilizamos la ecuación de
Hamilton-Jacobi (4) se obtiene la trayectoria que sigue el planetesimal (en forma análoga a la mecánica de
Bohm [4]), mientras que si utilizamos la ecuación de
Schrödinger (3) se renuncia al concepto de trayectoria
y se obtiene la densidad de probabilidad. Se aclara que
el sistema en consideración no es un sistema cuántico
propiamente dicho, no obstante, es posible aplicar su
formalismo donde la constante de Plack reducida ~ se
sustituye por el parámetro macroscópico reducido, ~o .
9
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Figura 1. Radio orbital: observado (circulos) y teórico (linea continua).
Figura 3. Relación entre niveles de energı́a y radio orbital.
3.1. Momentum angular orbital
De la mecánica newtoniana podemos obtener una
expresión para el momentum angular del i-ésimo pplaneta en función de la excentricidad: Li =
mo GM⊙ ri (1 − ǫ2i ). El momentum angular teórico
L
pl en el modelo de Schrödinger está dado por, Ll =
l(l + 1)~o , en la Figura 4 se observa que el momentum angular prácticamente crece en forma lineal con
respecto al número cuántico orbital.
Figura 2. Velocidad orbital: observado (circulos) y teórico (linea
continua).
En la Figura 3 se muestra la relación entre niveles de
energı́a y radios orbitales, una vez formados los planetas vemos que la colisión de un asteroide con un planeta interior solamente producirı́a un cambio en su velocidad orbital (su radio orbital se mantiene), mientras
que los planetas jovianos cambiarı́an su radio orbital
(su velocidad orbital se mantiene). Júpiter se encuentra en una zona de transición lo cual podrı́a explicar su
gran tamaño. Al aumentar la distancia, los planetesimales tienden a dispersarse en un continuo, por esta razón,
el tamaño de los planetas va disminuyendo a medida
que nos alejamos de la zona de transición; esto podrı́a
explicar también la existencia del cinturón de Kuiper
(zona sombreada en la Figura 3) y la nube de Oort. El
cinturón de Kuiper se extiende en forma de toroide desde ∼ 30 hasta ∼ 50 ua.
Figura 4. Momentum angular: observado (circulos) y teórico (linea
continua).
En la Figura 4 se puede apreciar que el momentum
angular observado es mayor que el teórico, esto se debe
a una pérdida de energı́a la cual hace que la excentricidad orbital (ǫi & 0) y los radios orbitales (ri & rn )
cambien. Existe una energı́a inicial, Eteo = L2l /2mo rn2 ,
dada por los valores teóricos y una energı́a final dada por
los valores observados (o actuales), Eobs = L2i /2mo ri2 ;
la pérdida de energı́a △E = Eobs − Eteo , se asume un
comportamiento de la forma △E = A + Be−x/c , mediante un ajuste chi-cuadrado con un nivel de confiabili10
N. Poveda et al.: Aplicando el formalismo de la mecánica...
dad del 95 % obtenemos: A = (0, 06828 ± 0, 08841) ×
108 J, B = (6, 84309 ± 1, 22579) × 108 J y C =
0, 46368 ± 0, 08086 ua (χ2 /DoF = 0, 04784 y R2 =
0, 96336).
lo cual explica la inclinación orbital de los planetas.
El ángulo existente entre el momentum angular
y el
p
eje Z, se calcula con: θteo = arc cos(ml / l(l + 1))
(inclinación teórica). La inclinación orbital observada
está dada por un ángulo θobs con respecto a un eje
Ze perpendicular al plano de la eclı́ptica, sin embargo, este eje ha sido establecido arbitrariamente, por lo
cual existe una discrepancia entre el ángulo teórico y
el observado θteo − θobs = θo . Inicialmente se calcula esta diferencia haciendo que sea mı́nima, mediante
un ajuste por mı́nimos cuadrados se ha obtenido: θo =
(26,05583 ± 0,73604)o .
Basado en los datos de inclinación orbital observado
obtenemos ml para cada uno de los planetas: 3, 4, 5,
6, 9, 13, 18, 23, 21. El sistema solar en sus comienzos
estuvo sujeto a un proceso de migración de los planetas
jovianos [5]; considerando que la mayor probabilidad
se da para l = n − 1 y ml = l, tenemos que la última
configuración del sistema solar estaba dada por la secuencia de números cuánticos n: 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14,
19, 24, 22. Después de la migración, tomó la configuración actual: 3, 4, 5, 6, 8, 11, 15, 21, 26, 30, respectivamente; conservando la inclinación orbital anterior, en
otras palabras el número cuántico ml se mantiene pero
n cambia para los planetas jovianos. En la Figura 6 se
muestra la migración planetaria.
Figura 5. Pérdida de energı́a.
Los impactos de los asteroides sobre los planetas formados cambian su radio o velocidad orbital de manera
tal que el momentum angular se conserva, entonces la
pérdida de energı́a se debe a efectos disipativos en la
nebulosa solar primitiva, los cuales provocaron un aumento de la temperatura; cerca al Sol la temperatura
aumenta y a medida que nos alejamos del Sol la temperatura disminuye exponencialmente. Para la Tierra se
estima una temperatura de T ∼ 1000 K y para los planetas jovianos T ∼ 0 K. Esto explica porqué los planetas interiores son rocosos y los planetas exteriores son
gaseosos; debido a la alta temperatura el hielo se evapora quedando solo los metales y silicatos (rocas) en
los planetas interiores, a medida que baja la temperatura tenemos hielo de agua y amoniaco el cual va a ser
atrapado por los planetas jovianos.
Al Sol le corresponde un momentum angular cero
(n=1), como el llenado de los orbitales obedece a la distribución de materia, se observa que la materia existente en el número cuántico (n=2) ha sido capturada por
el Sol, esto podrı́a explicar la inclinación, la rotación
diferencial del Sol y por qué su momentum angular corresponde solamente al ∼ 2 % de todo el sistema solar,
contrariamente a lo que se esperarı́a con la mecánica
newtoniana.
Figura 6. Inclinación orbital inicial (linea continua) y actual (circulos).
4. Conclusiones
El formalismo de la mecánica ondulatoria puede ser
usado para explicar la formación del sistema solar y como ha llegado a su configuración actual; al igual que
otros aspectos como la rotación diferencial del Sol, el
por qué los planetas son rocosos o gaseosos y la migración planetaria. Comparando con los resultados de la
mecánica newtoniana, el radio orbital, velocidad orbi-
3.2. Inclinación orbital
Como no solamente se cuantiza el momentum angular sino su orientación, el número cuántico ml implica diferentes orientaciones del momentum angular θ
11
Rev. Col. Fı́s., 25, No.1, 2013.
tal, energı́a, momentum angular y su orientación toman
valores continuos, la cuantización de la acción hace que
solamente ciertos valores de este continuo estén permitidos.
Referencias
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1996, p. 85; Fizika B, 7, 1998, p. 1.
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J. Flores, O. Novaro, C. R. Acad. Sci. 278, 1973, pp. 455-457.
[4] D. Bohm, Phys. Rev., 85, 1952, pp. 166-179; Phys. Rev., 85,
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435, 2005, pp. 466-469; Nature, 435, 2005, pp. 459-461 (2005);
Morbidelli, A. et al. Astron.J., 134, 2007, pp, 1790-1798 [astroph/0706.1713].
Agradecimientos
Agradecemos a la Dirección de Investigaciones (DIN)
de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC).
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