Análisis de un caso particular de función de utilidad para dos atributos

ESTADISTICA ESPAÑOLA
núm. 105, 1984, págs. 123 a 128
Análisis de un caso particular de función de utilidad
para dos atributos
por MARIA DEL ROSARIO LOPEZ GIIVIENEZ
Univers^dad Autónoma de Madrid
RESUMEN
Estudiamos la función de utilidad en el sentido de Von NeumannMorgenstern para el caso de dos atributos, estableciendo relaciones entre la
forma de la función de utilidad, la actitud ante el riesgo del decisor y las
funciones de transacción entre los atributos.
Impuestas determinadas condiciones a éstos, Ilegarnos a una forma de la
función de utilidad que tiene adversión proporcional al riesgo constante y
estudiamos un caso particular de ella.
Pul^hrus c•lu^^e: Funciones de utilidad, adversián al riesga.
1NTRODUCCiON
Cuando pretendemos realizar la maximización de la utilidad e^perada en el caso de
una funcián de utilidad pluridimensional, se plantea el problema de la dificultad en
determinar la forma que tiene esa función de utilidad (4).
EI caso más sencillo es aquel en que la utilidad puede expresarse en forma aditiva
como suma de las utilidades parciales de cada atributo, para lo cual es necesaria la
independencia de los atributos desde el punto de vista de la utilidad asociada.
l
l:ti1^A!)1ST1C A F-.^F'Ati()!.A
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i^
lr.^na tc^rma cie resolver el problema ^eria expresdr los diversos atributos en una
unidad común, estableciendo unas funciones de transacción entre ellos y caracterizando
las propiedades que deben cumplir esos aiributos para establecer una unidaed común (S).
f= UNCIONES DE TRANSACCION
Caracterizaremos el problema en el caso más sencillo de sólo dos atributos {X, Y).
E1 vector de atributos {X, Y) representa un estado del sistema, donde cada elemento del
vector representa alguna medida de una variable particular y cada valor es un nivel
fijado del atributo correspondiente.
Suponemos que a cada estado le podemos asocíar un único valor, o utilidad, V=
= U(X, Y}, de modo que un cambia en las variables de estado Ileva a un cambio en el
espaci© de utilidad (X, Y, V}. E1 decisor deberá elegir entre un conjunto de acciones o
aliernativas u^ ^ A, j= 1, ..., n, de modo que cada uno de estos vectores es un punto
del espacio de consecuencias C,,.
Así, si cada acción u^ Ileva a un resuttado (x. Y) con probabilidad c^fFj (x, v), el
decisor actuará de forma que maximice la función
Ll(x, y)^CF^(x, y}, dj --
l,
Si (XoY©) es el estado inic^al del sistema, establecemos una escala de utilidad
haciendo que V= U(X*, Y*} = 1, siendo tX*, Y*) el mejor resultado posible.
Establecem+as una función de transacción entre los atríbutos
a=
(x -«, v) - y(x. v) _.l^(«, x, v)
donde ^i y a pueden ser positivos o negativos. Esta función nos caracteriza el paso de
un estado {X, Y) a un estado (X - a, Y+ R), movicndonos a lo iargo de la misma
curva de indiferencia.
La condición necesaria y suficiente para que estas funciones de transacción sean
independientes de V, es q ue
U(x, Y) = U(x^, y+ h(x^, x))
^y que el verificarse que la función de transacción sea independiente de y implique que
en el plano (x, y) de las curvas de indiferencia c^V/c3x =,^(x) (5).
ANAL.ISIS DF l'!ti C`ASO PARTIC'L'L_AR DE: FUNCION DE. t'TIL.II)AD
j^5
PARTlCULARIZACION
Consideremos el caso particular de dos atributos donde tenga sentido establecer
transacciones entre ellos (un aumento de uno tiene que ir acompañado por urta djsminución del otro), como es para el caso de enfermos crónicos los atributos tiempo de
vida (medidos en años) y estado de salud (cuantificado por su rendimiento labora.i u otra
caracteristica).
Supongamos que la función de transacción entre estos dos atributos verifica las
condiciones expresadas anteriormente, o sea, si un individuo que se supone tiene un
tiempo de vida y; está dispuesto a sacrificar una parte de longevidad ^i a costa de una
ganancia a en su estado de sal ud x; , estará dispuesto ^ sacrificar la misma fracción de
años de vida para cualquier otro valor de y, y^ y; , con la misma ganancia en el
estado de salud, dado que la función de transacción no depende de y.
Por otra parte, decimos que dos atributos,x ey, son mutuamente independientes desde el
puntode vistade la utilidad, si las preferencias para loterías sobrex , cony a un nivel fijadoyo, no
dependen de yQ y viceversa (4}.
Entonces existen unas utilidades marginales para x e y, de modo que ia función de
utilidad puede expresarse en fo^-ma cuasi-aditiva;
U(x. y) = a U,(x) + b U2(y) + (1 " u- b) U,(x) Uz(y)
donde
o< u< l, 0< b< 1
ACTITUD ANTE EL RIESGO
Para la determinación de esta función de utilidad es necesario hacer alguna hipótesis
respecto a la actitud ante el riesgo del decisor.
La adversión proporcional al riesgo (segvn Pratt) o adversión relativa al riesgo
(según Arrow) se define para una función de utilidad u(x), cuya segunda derivada
suponemos que existe, como
r*(x) = - X • U'^(x^ U^ (x)
Manteniendo una actitud racional con las propiedades de la función de utilidad, el
valor más apropiado para r*{x) es un valor constante y generalmente r*(x) = 1(S).
Entonces podemos demostrar lo siguiente:
t ti I:^i^l^+ l lc ^^ ^.^+l^^tic it ,^
l?
`1^F.^Ot^EMA
5i la^ t^^^ncrc^n^:^ de tr^^n^acción entre .^ e,^^ ^^erltic^^n
^^^^,
c.c^ndicic^ne^ expuest^iti,
entunc:e^ l^.^ ti utili^t^i^..te^+ m^rr^in^ile^ l^' ^( r^ y l`,( ^) pre^entan ^^na p<l^turti cie ^t^ ti^er^ión ^il
rietigc^ tun^tanie.
1)c^rn^^.^ trcic^^`^ i^i
Por veri^icar 1a condici^^ n impuesta a las funciones de transaccicín, los atributos .r e
.v son mutuamente independientes descie el punto de vista de la utilidad asociada y
pociemos ccantiiclerar las funciones de utilidad marginales U,(.r ) y ^J^( ^^ ).
Establecemc^s la transacción en función cie ^^ (años de vida) y nos tijamos solarnente
en la utiliciac# mar^inal U,(_^ ^
Supongamos yue esta función de utilidad tiene segunda derivada (par~a poder establecer la medida de adversi^n al riesgo> y que existe
iím (^-^^. U„(^.1^U'(^'?)
, .., o
Con estas hipóiesis, si suponemos que x* y x* son el peor y el mejor estado de
salucl, respectivamente, y establecemos una escala de utilidad de forma que U,[.r* )= 0
y U,(.x*) - l, esta funCión de transacción establece que tfi^ > 0, y años en un estado
.x* son eyuivalentes a^v añc^^s en un estado x*, donde 1-^ es la proporción de años
que el decisor estaria dispuesto a dar a carnbio de obtener una ganancia en el estado de
salid, o sea,
U^v, x*) = U(pv,
*
Consideramos 1a forma cuasi-aditiva de la función de utiiidad
i_.?(_x, v) = uU,(_x) + hU2^v ^ + (I - u- h1U,(x)U2^v)
Teniendo en cuenta [ I[, y las condiciones
U,(x*) = 0 y lJ,(x*) = 1
tenemos
^ u^ry^ = ^v2^pV, + t^ + ( i - ^ - h^ u^t^y^, ^ti>
si
U Z^v ) = log ti^ ,
[21
AtiAL.ISIS I)E t_'ti C'ASO PARTICL"1_AR DE FL!tit_'IOti E)f^, l"I Il.I[)AD
127
entonces los valores para las consianies
u= - log p/ 1 - log p,
y,
h= 1 ^ 1- log ^^
son consistentes con [2] teniendo en cuenta que 0 ^ u ^
1,
y,
0^ h^ 1.
La forma funcional u(ti^^ = log y es la forma correspondiente a la postura de
adversión proporcional al riesgo constante [cancretamente, al caso en que r*(yJ = l] y
hemos visto que es consistente con las hipótesis establecidas para las funciones de
transacción.
Veamos ahora que, además, es la única consistente con la hipótesis de transacción
establecida.
D^e la expresión [ Z] se sigue que
bU2(y) _ (l - a)U2(py^ + a,
t/v
La adversión absoluta al riesgo era
r(y) = U2 (y)^ U^ (y)
y en nuestro caso
U2(y)^U^(y) = pU^(pv)/U2(Py)^
dy => r(w) = P' r{py ), dy
Por simple inducción, volviendo a sustituir py por y, tendremos
^y) =p^^tp~y) ^Y^oyn^ o
Puesto que suponemos existe el lím y r(y) cuando y-^ 0.
Vamos a demostrar que r*(y) = yr(y) = cte.
Así, para todo y, e y2
lím yr(y) = lím p^ y, r(p "y,) = y^ r(y ^)
Y--^ 0
"^ x
l ím yr(Y) = lím,p "y 2 r(p "y ii = y z rl'y ^1
y-^0
n--+ x
Podemos así concluir que
Y, rÍy ^) =` y2r(y21 ^ yr(y) = cte.
Luego U2(y) tiene una postura de adversión proporcional al riesgo constante.
E::STADISTICA FSPAN(^LA
Tenemos entonces que una posible expresión de
U f .x , r^• 1 = (
log p) _.' 1og ^^ -{1oB P> (1 r 108 ^) - ^ U,(.x 1
Vemos que esta expresi©n corresponde al caso u + h= 1, de modo que la utilidad
tiene forma cor^npletamente aditiva.
En este caso, los atributos X e Y tienen valores independientes desde el punto de
vista de la distribucián definida sobre eilos, con lo cua! las preferencias para lotenías en
las que intervienen los dos atributos dependen sólo de 1as funciones de densidad de
probabilidad marginales sobre e11os y no de su funcián de densidad conjunta.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
1.
2.
ARROw, J. K.: «Alternative Approaches to the Theory of Choice in Risk-taking situations».
Ecvnometrrcu, vol. 19, pp. 4U4-37, 19S 1.
.
ARROw, J. K.: AspPC^t in t{tP Thecarv ^^^' Risk Beurink.
Helsinki: Academy Book Stor^e, 19bS.
3.
FISNBURN, P. C.: «Independence in Utility Theory with Whole Product Sets^+. ©p. Res..
PP^ 2$-45, 1965.
4.
KEENEY,
R.
L., y Rr^ ^Ft^w,
13,
1-!.: Dec•isions with Muttiple Objectii^es: Preferences und Vul^ie
Trucieoj^}s. J. W. 8t Sons, 1976.
S.
Ló^L, M. R.: Lu usiKnucivn ciptimu Ule rec^rrsos y sr^s uspectos prvhuhilísticos. Tesis doctoral. Universidad Autónoma de Madrid, 1980.
6.
PRATT, J. W.: «Risk Advcrsion in the Small and in the Large^ ^ . Econometricu, 32, pp. 122-136,
1964.
7.
Rw^FF^^ , H.: ^r.^ferences for Mutttiatrióuted Atternatives. The Rand Corporation, 1969.
8.
V©N NEVtvtwNN, J., y I1^ORGENSTERN, D.: Theorv of^ Gcrmes and E'con©mic Behnvior. 3.a ed.
Princenton University Press. Nueva Jersey, 1953.
SUMMARY
ANALYSIS OF A PARTICULAR TYPE OF UTILITY FUNCION FOR
TWO ATTRIBUTES
Multiatribute utility theory (Von Neumann-Morgenstern) is considered
in the case of two attributes. We intend to connect funcional forms of
utility: the proportional risk posture and the trade-off function. We assume specified properties in the trade-off function in order to achieve a
utility function for a decisor which exhibits constant proportional risk
adversion posture an+d we analyze a particular case.
Key wvrds.• Utility functions, aversion to risk.
AMS, 1970. Subject classification.
Pri^nary b2COS, Secandary 90A 10.