Calculo de Tensiones y Torque Por Joseph A. Collado

2013
CALCULO DE TENSIONES
Y TORQUE
Conceptos básicos y generales. Ejercicios resueltos y
propuestos
Por Joseph Arquímedes Collado
Rep. Dom.
6/10/2013
[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE
Primera edición:
Junio 2013
Realizado por:
Joseph Arquímedes Collado
Santo Domingo Rep. Dom.
Por Joseph Arquímedes Collado
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INDICE
UNIDAD I
PRIMERA LEY DE NEWTON: PARTICULAS EN EQUILIBRIO…………………3
Triple Tensión………………………………………………………………………….5
Maquina AtWood………………………………………………………………………17
Movimiento sobre un plano inclinado liso…………………………………………..21
UNIDAD II
DINAMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL: TORQUE………………………24
Concepto de Torque………………………………………………………………….25
UNIDAD III
ENERGIA CINETICA ROTACIONAL……………………………………………….30
Concepto……………………………………………………………………………….31
Momento de inercia………………………………………………………………...…32
Momento de inercia en varios cuerpos…………………………………………...…33
Energía Rotacional………………………………………………………………...…..34
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UNIDAD IV
TRABAJO Y ENERGIA CINETICA………………………………………………….38
Concepto de trabajo……..…………………………………………………………….39
Teorema de trabajo….……………………………………………………………...…42
Potencia…………………………………….………………………………………...…43
UNIDAD V
MOVIMIENTO PERIODICO………………………………………………………….46
Descripción de la oscilación………………………………………………………….47
Modelo de movimiento periódico……..…………………………………………...…48
Amplitud, periodo y frecuencia……………………………………………..……...…49
Movimiento armónico simple……………………………………………………...…..49
Desplazamiento, velocidad y aceleración en el movimiento armónico simple….50
Péndulo simple………………………………………………………………………….51
Péndulo físico……………………………………………………………………………52
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UNIDAD I
PRIMERA LEY DE NEWTON: PARTICULAS EN EQUILIBRIO
Metas de Aprendizaje:

Como usar la primera ley de newton para resolver problemas donde
intervienen fuerzas que actúen sobre un cuerpo en equilibrio.

Como usar la segunda ley de newton para resolver problemas donde
intervienen fuerzas que actúen sobre un cuerpo en aceleración.
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Estrategias para resolver los problemas propuestos
Es necesario utilizar la primera ley de newton para resolver un problema que implique
fuerzas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio. Si en el problema intervienen dos o
más cuerpos, y los cuerpos interactúan, también será preciso utilizar la tercera ley de
newton.
Pasos para plantear un problema de manera sencilla:
1. Haga un dibujo de la situación física, con dimensiones y ángulos.
2. Para cada cuerpo en equilibrio dibuje un diagrama de cuerpo libre D.C.L.
3. En el diagrama de cuerpo libre D.C.L dibuje un vector de fuerza para cada
interacción y rotule cada fuerza con un símbolo que represente su magnitud.
4. Elija sus ejes de coordenadas e inclúyalas en su diagrama de cuerpo libre.
Lo que debemos saber antes de realizar ejercicios de tensiones:
1. Que es un diagrama de cuerpo libre
2. Manejar de manera perfecta el plano cartesiano
3. Conocer valores trigonométricos de las componentes X,Y
1) Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo
por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
libre.
2) El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es
llamada eje de las abscisas o de las (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de
las (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
3) La componente X su función trigonométrica es Coseno. y el valor trigonométrico
de Y es seno.
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Explicación Triple tensión “Equilibrio Bidimensional”
Tenemos una masa colgando de una cuerda, que a su vez cuelga de otras dos
cuerdas, la caja está en reposo. Encontrar la magnitud física de las tensiones
en términos de la masa, la gravedad y si es necesario de los ángulos respectivos.
Procedemos a Dibujar el diagrama de cuerpo libre y determinar la magnitud de todas
las fuerzas en términos de la masa y la gravedad.
Primer Paso: dibujar todas las fuerzas que actúan en el objeto.
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La clave para resolver este ejercicio es la perspectiva del sistema.
Desde el punto de vista de la caja Tensión 3 = W = m.g, la única tensión operando es
T3.
En el sistema anterior, las únicas fuerzas operando son tensión y peso, el signo de
peso será negativo debido a que apunta hacia el lado negativo del eje (y). Aplicamos la
segunda ley de newton.
En el punto de vista del otro sistema, las tensiones 1 y 2 dependerán del peso
generado por la caja y la cuerda juntas. Asumiremos que la masa de la cuerda 3 es
despreciable, por lo que el otro diagrama de cuerpo libre que podemos dibujar es este.
Figura 1.1
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Figura 1.1
Para calcular las magnitudes, debemos tener en cuenta los ángulos.
El ángulo para la tensión dos aparece en las siguientes esquinas
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El ángulo para la tensión 1 sin embargo debe ser este β
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Ecuaciones para cálculo de tensiones
Ejemplo I
Diagrama de cuerpo libre D.C.L
En esta intervienen las leyes de newton y dice que para un cuerpo estar en equilibrio:
∑F(x) = 0;
∑F(y) = 0; (partícula en equilibrio, Forma de componentes)
*En este caso no tenemos el valor de ninguna de las dos tensiones*
Paso I Escribir Ecuación:
1. ∑F(x) = T2cos α – T1cosα = 0;
2. ∑F(y) = T2senα + T1senα – W = 0;
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Sustituimos Valores y nos queda:
F(x) = T2cos 32° – T1cos40° = 0;
F(y) = T2sen32° + T1sen40° – 1,500N = 0;
Paso II Buscamos los valores
F(x) = 0.8480T2 – 0.7660T1 = 0;
F(y) = 0.5299T2 + 0.6428T1 – 1,500N = 0;
Como vamos a buscar una de las dos tensiones para sustituirla en F(y)
Tomamos la ecuación F(x):
F(x) = 0.8480T2 – 0.7660T1 = 0
+ 0.7660T1
0.7660
0.8480T2 = 0.7660T1
Tenemos que: 0.8480T2 = 0.7071T1 Dividimos por 0.8480 para despejar T2
0.8480T2 = 0.7660T1 = T2 = 0.9033T1
0.8480
0.8480
Obtuvimos de la ecuación F(x) que T2 = 0.9033T1
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Ahora vamos a sustituir a T2 en F(y)
∑F(y) = 0.5299(0.9033T1) + 0.6428T1 – 1,500N = 0;
Cuando multiplicamos obtenemos que:
0.5299 (0.9033T1) = 0.4786T1
Entonces con esa multiplicación tenemos el resultado y tenemos términos semejantes
∑F(y) = 0.4786T1 + 0.6428T1 – 1,500N = 0;
Procedemos a sumar los términos:
0.4786T1 + 0.6428T1 = 1.1214T1 – 1,500N = 0;
Ahora tenemos 1.1214T1 – 1,500N = 0;
1.1214T1 – 1,500N
+1,500N
1,500
1.1214T1 = 1,500N
1.1214T1 = 1,500N =
1.1214
1.1214
T1= 1,337.6N
Ya tenemos T1
Ahora buscaremos T2, Recordemos lo que obtuvimos anteriormente de F(x)=
T2= 0.9033T1 sustituiremos a T1 por su valor y decimos:
T2 = 0.9033 (1,337.6N) = T2 = 1,208.2N
- Fin del ejercicioT1 = 1,337.6N
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T2 = 1,208.2N
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Si no tuviéramos el peso (W) y tenemos el valor de una de las tensiones solo
tendríamos que sumar las tensiones porque F(y) = T2senα + T1senα – W = 0;
W = T2senα + T1senα
Caso hipotético sin peso “W”:
Si no tenemos el peso pero tenemos el valor de una de las tensiones solo
tendríamos que buscar el valor de la otra tensión y al final solo usted tendría que
despejar el peso y decir que es igual a la sumatoria de las tensiones.
Ejemplo I
T1 = 1,337.6N
T2 = ?
W=?
∑ F(x) = T2cos 32° – T1cos40° = 0;
T2 = T1Cos40 = 1,337.6(0.7660) = 1,208.2N
Cos32
0.8480
∑F(y) = (1,208.2N )sen32 + (1,337.6N)sen40 – W = 0;
Despejamos el peso y decimos:
W = 640.2 + 859.8 = 1,500N
-Fin del ejercicioW = 1,500N
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Ejercicio Completo
F(x) = T2cos 32° – T1cos40° = 0;
F(y) = T2sen32° + T1sen40° – 1,500N = 0;
F(x) = 0.8480T2 – 0.7660T1 = 0;
F(y) = 0.5299T2 + 0.6428T1 – 1,500N = 0;
F(x)= 0.8480T2 – 0.7660T1 = 0
+ 0.7660T1
0.7660
0.8480T2 = 0.7660T1
0.8480T2 = 0.7660T1
0.8480
0.8480
T2 = 0.9033T1
F(y) = 0.5299(0.9033T1) + 0.6428T1 – 1,500N = 0;
0.5299(0.9033T1) = 0.4786T1
∑ F(y) = 0.4786T1 + 0.6428T1 – 1,500N = 0;
0.4786T1 + 0.6428T1 = 1.1214T1 – 1,500N = 0;
1.1214T1 – 1,500N
+1,500N
1,500
1.1214T1 = 1,500N
1.1214T1 = 1,500N =
1.1214
1.1214
T1 = 1,337.6N
T2 = 0.9033 (1,337.6N) = 1,208.2N
T1 = 1,337.6N
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y T2 = 1,208.2N
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Comprobación: La puedes hacer con cualquiera de las ecuaciones y la sumatoria
tiene que ser igual a 0.
∑F(x) = T2cos 32° – T1cos40° = 0;
∑F(x) = (1208.2) 0.8480 – 1337.6 (0.7660) = 0;
F(x) = 1024.5 - 1024.5 = 0;
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Ejemplo II
M = 5kg
T2 = ?
T1 = ?
Ecuaciones:
1. ∑F(x) = T2cos α – T1cosα = 0;
2. ∑F(y) = T2senα + T1senα – W = 0;
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Sustituir Valores:
1. ∑F(x) = T1cos 30° + T2cos180° = 0;
2. ∑F(y) = T1sen30° + T2sen180° – 50N = 0;
F(x) = T1cos 30° – T2cos180° = 0;
0.86601T1 + 1T2 = 0;
+1T2
1T2
0.8660T1 = 1T2
0.8660
= T1 = 1.1547T2
0.8660
F(y) = T1sen30° + T2sen180° – 50N = 0;
0.5(1.1547T2) + 1T2 - 50N = 0;
0.5773T2 + 0T2 - 50N = 0;
0.5773T2 – 50N = 0;
+ 50N
50
0.5773T2 = 50N = T2 = 86.6N
0.5773
0.5773
T1 = 1.1547T2
T1 = 1.1547(86.6N) = 100N
T1 = 100N
T2 = 86.6N
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Máquina de AtWood “Poleas”
Concepto
Este consiste en dos cuerpos de masas desiguales m1 y m2 enlazados mediante una
cuerda ligera que pasa por una polea de masa despreciable y sin rozamiento.
Figura 1.1
Supongamos que m2 > m1, El cuerpo 2 se mueve hacia abajo y el cuerpo 1 hacia
arriba.
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Ecuaciones Figura 1.1:
Cuerpo1 = T1 - m1.g = m1.a Despejamos a la tensión T = m1.g + m1.a = m1 (g + a)
Cuerpo2 = T2 - m2.g = - m2.a Despejamos a la tensión T = m2.g - m2.a = m2 (g - a)
Aplicando a la máquina de AtWood el segundo principio con las nuevas
consideraciones se obtiene:
*Siempre comience con la ecuación del cuerpo que tiene mas peso*
m2.g - m2.a = m1.g + m1.a
m2.g - m1.g = m2.a + m1.a
(m2 - m1) g = (m2 + m1) a
Despejamos aceleración:
a = m2.g – m1.g =
m2 + m1
Para calcular la tensión de la cuerda: Escoja la ecuación del cuerpo que tiene mayor
peso.
T = m2 (g - a)
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D.C.L (Diagramas de cuerpo libre M1 y M2)
Figura 1.2
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Ejercicio Resuelto Figura 1.2:
Datos:
M1 = 5;
M2 = 10;
g = 9.8N;
a=?
Ecuaciones:
M1:
F(x) = 0;
M2:
F(x) = 0;
F(y) = M1 = T - m1.g = m1.a / T = m1.g + m1.a = m1 (g + a)
F(y) = M2 = T - m2.g = - m2.a / T = m2.g – m2.a = m2 (g - a)
“En m2 la aceleración es negativa por que el objeto va hacia abajo por que tiene
mayor peso, Si fuera el caso de m1 seria m1 = - m.a”
m2.g - m2.a = m1.g + m1.a
m2.g - m1.g = m2.a + m1.a
(10 - 5) g = (10 + 5) a
“Se multiplican m1 y m2 por la gravedad, y como despejamos aceleración m2 y
m1 quedan con sus respectivos valores.”
a = 98 - 49 = 49 = 3.2 m/s
10 + 5
T = 10(9.8m/s – 3.2 m/s) = 66N
15
-Fin del ejercicio-
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Movimiento sobre un plano inclinado liso
Concepto
Un cuerpo situado sobre un plano inclinado sin rozamiento desciende sin necesidad de
empujarlo. Si se pretende que el cuerpo ascienda o permanezca en reposo, hay que
ejercer una fuerza sobre él.
Ejemplo I
Sobre el cuerpo de la imagen actúa el peso y la normal al tratarse de un plano inclinado
tiene direcciones distintas, por lo que elegimos un sistema con uno de los ejes en la
dirección del movimiento.
Se aplica el segundo principio de la dinámica en cada eje por separado.
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Ejemplo II
Diagramas de cuerpo libre de ambos cuerpos
Datos:
M1 = 20kg
M2 = 5kg
t=?
a=?
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[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Ecuaciones:
M1
∑F(x) = m1.g sen30° = 20.10 m/s * sen30° = 100N
* En estos casos la función siempre será seno α.
∑F(x) = T – m1.g sen30° = - m1.a
Despejamos la tensión T = m1.g sen30° – m1.a = m1 (g - a)
M2
∑F(y) = T - m2.g = m2.a
Despejamos la tensión T = m2.g + m2.a = m2 (g + a)
Operación final
*Escoger primero siempre la ecuación del cuerpo que tenga más peso*
En este caso m1.g sen30°
m1.g sen30 – m1.a = m2.g + m2.a = m2
m1.g sen30 – m2.g = m1.a + m2.a
(m1sen30 – m2) g = (m1 + m2) a
a = m1.g sen30 – m2.g = 100N – 50N = 50N = 2 m/s²
m1+m2
20 + 5
25
T = m1 (g – a) = 20 (9.8m/s² – 2m/s²)
T = 156N
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[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Practicas
1. Un objeto con un peso de 300N está sujeto con dos tensiones, Encuentre el
valor de cada tensión.
2. Datos W = 300N. Determine el valor de las dos tensiones.
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[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Practicas
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Página 26
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UNIDAD II
DINAMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL: TORQUE
Metas de Aprendizaje:

Que significa que una fuerza produzca un torque.

Como analizar el movimiento de un cuerpo que gira y se mueve como un
todo por el espacio.
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[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Concepto de torque
Sabemos que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento
de traslación, es decir, el movimiento del cuerpo como un todo a través del espacio.
Ahora queremos aprender que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es
esta para provocar o modificar el movimiento rotacional. La magnitud y dirección de la
fuerza son importantes, pero también lo es la posición del punto de aplicación.
El torque siempre se mide en torno a un punto 0, es decir, siempre se define como
referencia un punto específico.
Definición del vector torque
Ƭ=rxF
Donde Ƭ es torque o momento, r es la distancia y F la fuerza aplicada.
Traslación y rotación combinadas: Dinámica
También podemos analizar el movimiento traslacional y rotacional combinados de un
cuerpo rígido desde la perspectiva de la dinámica. El movimiento rotacional alrededor
del centro de la masa se describe mediante el análogo rotacional de la segunda ley de
newton:
∑Ƭz = Icmαz
K=½ mv + ½ Iω²
ECR=½ Iω² *Energía Cinética Rotacional*
Donde I es el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el centro de
masa y ∑Ƭz incluye todas las torques externas con respecto a este eje.
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[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Ejercicios de torque
Ejemplo I
Ƭ = r . F. sen ø
Ƭ = 4m x 25N x 0.5 = 50 m.N
Ejemplo II
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[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
W = m.g = 50kg x 10m/s² = 500N
W = 500N
L1 = 10cm
L2 = 10cm
T1 + T2 – W = 0
Ƭ = F . r = 10cm + 500N x 10cm – 20T2 = 0;
Ƭ = 5010 – 20T2;
T2 = 5010 = 250N
20
T1 + T2 – 500 = 0;
T1 = 500 – 250 = 250N
Comprobación:
T1 + T2 – 500 = 0;
250N + 250N – 500 = 0;
Por Joseph Arquímedes Collado
Página 30
[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Practicas
1) Se enrolla un cable varias veces en un cilindro sólido uniforme de 50 kg con
diámetro de 0.120 m, que puede girar sobre su eje. Se tira del cable con una
fuerza de 9.0 N. Suponiendo que el cable se desenrolla sin estirarse ni
resbalar, ¿qué aceleración tiene?
2) Con la siguiente figura, Determine el torque aplicado a dicha palanca:
3) Un maquinista usa una llave inglesa para aflojar una tuerca. La llave tiene 25.0
cm de longitud y él ejerce una fuerza de 17.0 N en el extremo del mango,
formando un ángulo de 37° con éste ¿Qué torca ejerce el maquinista alrededor
del centro de la tuerca?
Por Joseph Arquímedes Collado
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[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Practicas
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UNIDAD III
ENERGIA CINETICA ROTACIONAL
Metas de Aprendizaje:



Manejar el concepto de energía rotacional.
Como calcular el momento de inercia de varios cuerpos.
El significado del momento de inercia del cuerpo en torno a un eje y como
se relaciona con la energía rotacional.
Por Joseph Arquímedes Collado
Página 33
[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Concepto
La energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un
eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del
cuerpo. Mientras más alejada este la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se
necesitara más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular.
Un cuerpo que rota en torno al eje x con velocidad angular ω posee la energía
rotacional:
Dónde:



: Momento de inercia del cuerpo en torno al eje x.
ω: Velocidad angular
Unidad es el joule
Las expresiones para la energía cinética rotacional y lineal pueden desarrollarse en
paralelo desde el principio de trabajo-energía. Considera el siguiente paralelismo entre
un par constante ejercido sobre un volante con momento de inercia I, y una fuerza
constante ejercida sobre una masa m, ambas empezando desde el reposo.
Para el caso lineal, empezando desde el reposo, la aceleración por definición es igual a
la velocidad final dividida por el tiempo y la velocidad media es la mitad de la velocidad
final, mostrando que el trabajo realizado por el bloque es igual a la energía cinética.
Para el caso rotacional, también empezando desde el reposo el trabajo rotacional es
Ƭθ y la aceleración angular α dada al volante, se obtiene de la segunda ley de Newton
para la rotación. La aceleración angular es igual a la velocidad angular final dividido por
el tiempo y la velocidad angular media es igual a la mitad de la velocidad angular final.
De lo que sigue que la energía cinética rotacional dada al volante es igual al trabajo
realizado por el par.
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[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Ejemplos
Momento de inercia
1) Un momento de torsión sin equilibrar de 100 N.M comunica una aceleración
angular de 4 rad/s² al rotor de un motor. Determinar:
a) Cuál es el momento de inercia?
Ƭ = α.ɪ
ɪ = Ƭ = 100 N.M ɪ= 25kg.m²
α
4rad/s
2) Un cuerpo tiene un momento de inercia de 70kg.m con una velocidad angular de
20 rad/s². Determinar:
a) Cuál es su energía cinética rotacional?
Ec = ½ ɪω²
Ec = ½ (70kg.m²)(20rad/s)²
Ec = 14,000 J
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[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
Momento de inercia en diversos cuerpos
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Energía rotacional
Utilizando nuestras expresiones para K1, U1, K2 y U2 y la relación v 5 v>R en la
ecuación de conservación de la energía, K1 1 U1 5 K2 1 U2, despejamos v:
*La rapidez angular final del cilindro v se obtiene de ω = v>R.*
Cálculo del momento de inercia de un cilindro hueco alrededor de su eje de
simetría.
Por Joseph Arquímedes Collado
Página 37
[CALCULO DE TENSIONES Y TORQUE] Junio 10, 2013
UNIDAD IV
TRABAJO Y ENERGIA CINETICA
Metas de Aprendizaje:
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Manejar el concepto de trabajo.
La definición de energía cinética.
Que significa que una fuerza efectué trabajo sobre un cuerpo.
Por Joseph Arquímedes Collado
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Concepto de trabajo
En física el trabajo tiene una definición mucho más precisa. El trabajo total realizado
sobre una partícula por todas las fuerzas que actúan sobre ella es igual al cambio en su
energía cinética. Los conceptos de trabajo y energía cinética nos permitirán resolver
problemas de mecánica.
Mover un mueble, Levantar un libro o empujar un automóvil, Estos ejemplos tienen algo
en común. En ellos realizamos trabajo ejerciendo una fuerza sobre un cuerpo mientras
este se mueve de un lugar a otro, es decir se produce un desplazamiento.
Definición de trabajo: El trabajo W realizado por esta fuerza constante en dichas
condiciones como el producto de la magnitud F de la fuerza y la magnitud del
desplazamiento D.
W = F. D
(“No confunda trabajo con el peso w, Son símbolos iguales pero se trata de cantidades
distintas”).
La unidad de trabajo en el SI es el joule nombrada así por el físico ingles james
Prescott joule.
1 joule = (1 newton) (1 metro) o 1J = 1N.m
En este caso, solo la componente paralela FII es eficaz para mover el auto, por lo que
definimos el trabajo como el producto de esta componente de fuerza y la magnitud del
desplazamiento. W = F.dCosø (“Fuerza constante, Desplazamiento rectilíneo”).
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Una fuerza constante F puede efectuar trabajo positivo, Negativo o cero dependiendo
del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.
a) La fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento:
 El trabajo sobre el objeto es positivo.
 W = FII.dCosø
b) La fuerza tiene una componente opuesta a la dirección del desplazamiento:
 El trabajo sobre el objeto es negativo.
c) La fuerza es perpendicular a la dirección del desplazamiento:
 La fuerza no realiza trabajo sobre el objeto.
 De una forma más general, Cuando una fuerza que actúa sobre un objeto
tiene una componente en F(y) perpendicular al desplazamiento, En dicha
componente no actúa ningún trabajo.
Trabajo total
Puesto que el trabajo es una cantidad escalar, El trabajo total realizado por todas las
fuerzas es la suma algebraica de los trabajos realizados por las fuerzas individuales.
Otra forma de calcular el trabajo total es calcular la suma vectorial de las fuerzas es
decir la fuerza neta.
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Ejemplo I.
Un granjero engancha su tractor a un trineo cargado con leña y lo arrastra 20 m sobre
el suelo horizontal como se observa en la figura el peso total del trineo y la carga es de
14,700N. El tractor ejerce una fuerza constante de 5000N a 36.9°sobre la horizontal y
la fuerza de fricción de 3500N se opone al movimiento del trineo.
a) Calcule el trabajo realizado por cada fuerza y el trabajo total
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Tractor: W = F.dCosø = (5000N) (20m) (0.8) = 80,000 N.m
Fricción del trineo: W = F.dCosø = (3500N) (20m)(-1) = -70,000 N.m
Wtotal = Wt + Wf = 80,000 N.m + (-70,000 N.m) = 10,000 N.m
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Energía cinética y el teorema de trabajo – Energía
El trabajo total realizado por las fuerzas externas sobre un cuerpo se relaciona con el
desplazamiento de este, Pero también está relacionado con los cambios en la rapidez
del cuerpo.
Al igual que el trabajo la energía cinética de una partícula es una cantidad escalar; solo
depende de la masa y la rapidez de la partícula, no de su dirección de movimiento. Un
automóvil tiene la misma energía cinética yendo al sur a 10 m/s que yendo al norte a 10
m/s. La energía cinética nunca puede ser negativa, y es cero solo si la partícula esta en
reposo.
Tenemos que:
Ec = ½mv²
“El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de
energía cinética de la partícula”
Wtotal = Ec2 – Ec1 = Ec
Ejemplo II.
Si queremos calcular la energía cinética del tractor con una velocidad de 2.0 m/s,
Necesitamos la masa del mismo, Nos dicen que el peso es de 14,700N.
w = m.g; m = w/g = 14,700N / 10 m/s
m = 1500Kg
Ec = ½ (1500Kg) (2.0 m/s)² = 3,000 joules
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Potencia
Suele emplearse como sinónimo de “energía” o “fuerza”. En física usamos una
definición mucho más precisa: P = ∆W/∆T
Potencia es la rapidez con que se efectúa trabajo; al igual que el trabajo y la energía,
la potencia es una cantidad escalar. Si se realiza un trabajo ∆W en un intervalo ∆t, el
trabajo medio efectuado por unidad de tiempo o potencia media Pmed se define como
Potencia Instantánea
En el SI la unidad de potencia es el watt (W), llamada así por el inventor inglés James
Watt. Un watt es igual a un joule por segundo: 1 W = 1 J/s. También son de uso común
el kilowatt (1 kW = 103 W) y el mega watt (1 MW = 106 W).
“El kilowatt-hora es una unidad de trabajo o energía, no de potencia”.
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Practicas
a) ¿Cuántos joules de energía cinética tiene un automóvil de 750 kg que viaja por
una autopista común con rapidez de 65 mi/h?
b) Un trineo con masa de 8.00 kg se mueve en línea recta sobre una superficie
horizontal sin fricción. En cierto punto, su rapidez es de 4.00 m/s; 2.50 m más
adelante, su rapidez es de 6.00 m/s. Use el teorema trabajo-energía para
determinar la fuerza que actúa sobre el trineo, suponiendo que tal fuerza es
constante y actúa en la dirección del movimiento del trineo.
c) Un bloque de hielo con masa de 2.00 kg se desliza 0.750 m hacia abajo por un
plano inclinado a un ángulo de 36.98 bajo la horizontal. Determine el trabajo
realizado
d) Un camión de remolque tira de un automóvil 5.00 km por una carretera
horizontal, usando un cable cuya tensión es de 850 N.
1) ¿Cuánto trabajo ejerce el cable sobre el auto si tira de él horizontalmente?
¿Y si tira a 35.08 sobre la horizontal?
e) Un obrero empuja horizontalmente una caja de 30.0 kg una distancia de 4.5 m
en un piso plano, con velocidad constante. El coeficiente de fricción cinética
entre el piso y la caja es de 0.25
1) ¿Qué magnitud de fuerza debe aplicar el obrero?
2) ¿Cuánto trabajo efectúa dicha fuerza sobre la caja?
3) ¿Cuánto trabajo efectúa la fricción sobre la caja?
4) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza normal sobre la caja?
f) Un elevador vacío tiene masa de 600 kg y está diseñado para subir con rapidez
constante una distancia vertical de 20.0 m (5 pisos) en 16s. Determine la
potencia.
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Practicas
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UNIDAD V
MOVIMIENTO PERIODICO
Metas de Aprendizaje:
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Como describir oscilaciones
Como efectuar cálculos de movimiento armónico simple.
Describir ecuaciones aceleración y velocidad del movimiento armónico
simple.
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Descripción de la oscilación
Uno de los sistemas más simples que puede tener movimiento periódico se muestra en
la figura. Un cuerpo con masa m se mueve sobre una guia horizontal sin fricción, como
una pista o un riel, de modo que solo puede desplazarse en el eje x. El cuerpo está
conectado a un resorte de masa despreciable que puede estirarse o comprimirse. El
extremo izquierdo del resorte esta fijo y el derecho está unido al cuerpo.
La fuerza del resorte es la única fuerza horizontal que actúa sobre el cuerpo; las
fuerzas normal y gravitacional verticales en este caso son 0.
Sistema que puede tener un movimiento periódico.
Lo más sencillo es definir nuestro sistema de coordenadas con el origen O en la
posición de equilibrio, donde el resorte no está estirado ni comprimido. Así, x es la
componente x del desplazamiento del cuerpo con respecto al equilibrio y también es el
cambio de longitud del resorte. La componente x de la fuerza que el resorte ejerce
sobre el cuerpo es Fx y la componente de la aceleración, ax, está dada por ax =
Fx /m.
En situaciones diferentes, la fuerza puede depender de diversas maneras del
desplazamiento x con respecto al equilibrio, pero siempre habrá oscilación si la fuerza
es de restitución y tiende a volver el sistema al equilibrio.
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Modelo de movimiento periódico
a)
1) x > 0: el deslizador se desplaza a la derecha desde la posición de equilibrio.
2) Fx < 0 asi que ax < 0: el resorte estirado tira del deslizador hacia la posición de
equilibrio.
b)
1) x = 0: el resorte estirado tira del deslizador hacia la posición de equilibrio.
c)
1) x < 0: el deslizador se desplaza a la izquierda desde la posición de equilibrio.
2) Fx > 0. Asi que ax > 0: el resorte comprimido empuja el deslizador hacia la
posición de equilibrio.
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Amplitud, periodo y frecuencia
La amplitud del movimiento, representada con la letra A, es la magnitud máxima del
desplazamiento con respecto al equilibrio; es decir el valor máximo de x y siempre es
positiva.
El periodo T, es el tiempo que tarda un ciclo, y siempre es positivo, la unidad de este
en el SI es el segundo, y se puede expresar algunas veces como segundos por ciclo.
La frecuencia F, es el número de ciclos por unidad de tiempo, y siempre es positiva.
La unidad de la frecuencia en el SI es el Hertz:
1 hertz = 1Hz = 1 ciclo/s
Esta unidad se llama así por el físico alemán Heinrich Hertz (1857- 1894) un pionero en
la investigación de las ondas electromagnéticas.
Movimiento armónico simple
El tipo de oscilación más sencillo ocurre cuando la fuerza de restitución Fx es
directamente proporcional al desplazamiento x con respecto al equilibrio.
Ecuaciones de periodo y frecuencia en el M.A.S:
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Desplazamiento, velocidad y aceleración en el movimiento armónico simple
Aun necesitamos obtener el desplazamiento x en función del tiempo para un oscilador
armónico. Si t = 0, el fasor forma un ángulo ø (Letra griega phi) con el eje +x, entonces
en cualquier instante posterior t, este ángulo será = ωt + ø.
x = Acos(ωt + ø) (Movimiento circular)
La constante ø de la ecuación es el ángulo de fase, que nos indica en qué punto del
ciclo se encontraba el movimiento cuando t = 0.
Obtenemos la velocidad Vx y la aceleración ax en función del tiempo para un oscilador
armónico derivándola ecuación anterior con respecto al tiempo:
Para calcular el valor de ø divida la ecuación de Vx con la del desplazamiento x. Esto
elimina la amplitud y produce una ecuación de la que podemos despejar a ø:
También resulta fácil calcular la amplitud si conocemos x y Vx la ecuación es:
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El péndulo simple
Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual
suspendida de un cordón sin masa y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su
posición de equilibrio vertical, oscilara alrededor de dicha posición.
La trayectoria de la masa puntual (llamada en ocasiones pesa) no es una recta, sino un
arco de un circulo de radio L igual a la longitud del cordón. Usamos como coordenadas
la distancia x medida sobre el arco. Si el movimiento es armónico simple, la fuerza de
restitución debe ser directamente proporcional a x.
La fuerza de restitución se debe a la gravedad; la tensión T solo actúa para hacer que
la masa puntual describa un arco.
La frecuencia angular de un péndulo simple es:
Las relaciones de frecuencia y periodo correspondientes son:
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El péndulo físico
Es cualquier péndulo real que usa un cuerpo de tamaño finito, en contraste con el
modelo idealizado de péndulo simple en el que toda la masa se concentra en un punto.
El signo negativo indica que el torque de restitución es en sentido horario, si el
desplazamiento es en sentido anti horario, y viceversa.
Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio. El movimiento no
es armónico simple por que el torque es proporcional al senoᶿ. La ecuación del
movimiento es:
∑Ƭz = Iα
La frecuencia angular está dada por:
La frecuencia f es 1/2π veces esto, y el periodo T es:
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ANEXO
1. Curso física II universidad católica santo domingo (UCSD).
2. Física universitaria décimo segunda edición Volumen 1.
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