T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de

T.3: MATRICES Y DETERMINANTES
3.1 Determinantes de segundo orden
Se llama determinante de
a:
Ejemplo:
3.2 Determinantes de tercer orden
Se llama determinante de
a:
Ejemplo:

Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes matrices:
a)
b)
3.3 Desarrollo de un determinante por recurrencia
 Se llama matriz complementaria de un elemento
de una matriz A, a la matriz resultante
que se
obtiene al suprimir la fila i y la columna j de la matriz A:
Ejemplo:

Matriz complementaria del elemento
Se llama adjunto de un elemento
de una matriz A, al número
→
resultante de multiplicar
por el determinante de la matriz complementaria
Ejemplo:

adjunto del elemento
→
Desarrollo de un determinante por recurrencia: El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma
de los elementos de una fila o de una columna, multiplicados por sus adjuntos correspondientes.
Ejemplo:
→
Como es lógico, resolver un determinante por recurrencia tiene sentido en matrices cuadradas de orden
superior a 3.

Ejercicio 2: Halla los determinantes de las siguientes matrices por recurrencia:
a)
b)
3.4 Desarrollo de un determinante por un elemento y su adjunto
 Un determinante no varía si:
o Si a una fila o a una columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela.
o Si a una fila o a una columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por
un número.

El determinante de una matriz cuadrada en la que todos los elementos de una fila o de una columna
sean 0 excepto uno, es igual al producto de ese elemento por su adjunto:
Utilizando las propiedades mencionadas anteriormente, transformaremos una fila o una columna para
que todos sus elementos sean 0 excepto uno.
Ejemplo:
→
→

Ejercicio 3: Halla los determinantes de las siguientes matrices por un elemento y su adjunto:
b)
a)
3.5 Método de Gauss para calcular un determinante.
 El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal:

El método de Gauss consiste en transformar la matriz dada en otra que sea triangular con el mismo
determinante, para cual podremos hacer las siguientes transformaciones:
o Si se permutan dos filas o dos columnas entre sí, el determinante cambiará de signo respecto
del original
o Si a una fila o a una columna se le suma otra paralela el determinante no varía.
o Si a una fila o a una columna se le suma otra paralela multiplicada por un número el
determinante no varía.
→
Ejemplo:
→
→
→
→

Ejercicio 4: Halla los determinantes de las siguientes matrices por el método de Gauss:
b)
a)
3.6 Matriz Inversa
 Dos matrices cuadradas son inversas si su producto es la matriz unidad:
Ejemplo: Calcula la matriz Inversa de
→

→
→
→
Método de Gauss-Jordan:
1º Se adjunta a la matriz A la matriz
(A I )
2º Se transforma la matriz (A I ) en la matriz (
I A ) mediante los siguientes cambios:
o Se pueden permutar dos filas entre sí.
o Se puede multiplicar o dividir cualquier fila por un número no nulo.
o Se puede sumar o restar a cualquier fila otra paralela.
Ejemplo: Calcula la matriz Inversa de
→
→
→
→
→
 Ejercicio 5: Halla la inversa de la matriz A por el método de Gauss-Jordan:

Matriz Adjunta: Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento
por su adjunto
correspondiente, y se representa por Adj(A)
Ejemplo: Calcula la matriz adjunta de
→
→
→
→
→
→
→
→
→

Matriz Inversa por Determinantes: La matriz inversa de una matriz A es igual a la matriz traspuesta de
su adjunta dividida por el determinante de la matriz A.
Ejemplo: Calcula la matriz Inversa de
 Ejercicio 6: Halla la inversa de la matriz A por determinantes:
3.7 Rango de una matriz
 Dependencia Lineal: Una fila o una columna de una matriz depende linealmente de sus paralelas si:
siendo:
números reales.
 Rango de una matriz: Es el nº de filas o columnas linealmente independientes:
El nº de filas linealmente independiente coincide con el nº de columnas linealmente independientes.
Ejemplos:
→
→
→
 Ejercicio 7: Halla el rango de las siguientes matrices:
a)
c)
b)
d)
 Matriz Escalonada: Es aquella en la que el primer elemento no nulo de cada fila está más a la derecha
que el primer elemento no nulo de la anterior.
Escalonadas:
No escalonada:
 Cálculo del Rango por el método de Gauss:
El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas de la matriz transformada en matriz
escalonada. Las transformaciones que no hacen variar el rango son:
o Permutar dos filas o dos columnas entre si.
o Multiplicar o dividir una fila o una columna por un número no nulo.
o Sumar o restar a una fila o columna otra paralela.
o Si se suprimen las filas o columnas nulas.
o Si se suprimen las filas o columnas que dependen linealmente de otras.
→
Ejemplo:
→
→
→
 Ejercicio 8: Halla el rango de las siguientes matrices:
a)
c)
d)
b)
 Cálculo del Rango por Determinantes:
o Si las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes, su determinante
es 0.
o Si el determinante de una matriz cuadrada es 0, las filas o columnas son linealmente
dependientes.
Una matriz
tiene rango
si se verifica que:
o Existe un determinante de orden r, extraído de la matriz, distinto de 0.
o Todos los determinantes de orden r+1, extraídos de la matriz, son nulos.
→
Ejemplo:
→
→
 Ejercicio 9: Halla el rango de las siguientes matrices por determinantes:
a)
b)
c)
d)
3.8 Regla de Cramer
Sea el sistema de ecuaciones:
y sean las matrices:
Se tiene entonces que:
Ejemplos:
 Ejercicio 10: Resuelve por el método de Cramer el siguiente sistema:
a)
c)
b)
d)