“Dinámica No Lineal y Caos en Aplicaciones Económicas”

“Dinámica No Lineal y Caos en Aplicaciones
Económicas”
Sergio Petralia *
Marzo 2007
Jornadas de perfeccionamiento docente
Universidad de Buenos Aires
*El estilo de esta presentación es informal. Se hará énfasis en ejemplos concretos
e interpretaciones geométricas en lugar de pruebas abstractas con en fin de
amenizar la lectura, seguramente contenga innumerables errores; por favor
consultas y observaciones a [email protected].
Introducción:
Tradicionalmente, en economía se ha explicado el comportamiento de los
sistemas en términos lineales. Por supuesto, se sabía que las verdaderas
relaciones eran no lineales, pero como éstas resultaban difíciles de manejar, las
aproximaciones lineales se consideraban, en general, como una simplificación
útil y aceptable. La idea básicamente es perder simplicidad, dejar atrás los
supuestos de regularidad y orden para trabajar con modelos que reflejen mas
adecuadamente las situaciones de la realidad sin dejar el ámbito del
determinismo, antes de entrar en la resolución del modelo seria útil discutir
algunas diferencias entre los sistemas lineales y no lineales.
En una relación lineal una causa dada tiene un solo efecto, una acción dada tiene
un único resultado. En cambio, en una relación no lineal, una causa o una acción
dadas pueden tener varios efectos o resultados diferentes. En otras palabras, las
ecuaciones lineales tienen una sola solución y por lo general pueden resolverse
con facilidad, pero las no lineales tienen más de una solución y no existe un
método general para resolver la mayor parte de ellas.
Los sistemas lineales poseen una propiedad aditiva simple, por la cual
constituyen la suma de sus componentes. El sistema lineal puede fragmentarse en
sus diversos elementos y cada uno de ellos puede estudiarse y explicarse por
separado, después de lo cual se los puede unir nuevamente y explicar el sistema
en su totalidad. En el caso de los sistemas no lineales, esta propiedad aditiva
simple no existe, son sinérgicos1 , por lo tanto no es posible entenderlos
plenamente mediante el método reduccionista de descomponerlos y volver a
reunir sus partes.
La aproximación lineal a un sistema no lineal sólo es aceptable y útil si la
sinergia es relativamente poco importante, en la medida en que aceptemos que
los cambios en economía no son suaves ni siguen patrones lineales, y que las
pequeñas modificaciones pueden inducir grandes cambios, talvez sea útil la
implementación del herramental de la dinámica no lineal, no como método
portador de una verdad absoluta sino como un buen camino para ampliar
horizontes y encontrar explicación a ciertos fenómenos no abarcados por
paradigma de la linealidad.
En lo que sigue se desarrollaran dos modelos que parecen apropiados para este
tópico, “el dinero como numerario” del Dr. Olivera y “dinámica no lineal y caos”
del Prof. Víctor Beker.
1
La sinergia es la integración de elementos que da como resultado algo más grande que la simple suma
de éstos, es decir, cuando dos o más elementos se unen sinérgicamente crean un resultado que aprovecha
y maximiza las cualidades de cada uno de los elementos.
2
Los Modelos:
“El Dinero como numerario”2
La siguiente modelización plantea una demanda de dinero alternativa a la que
estamos acostumbrados a trabajar donde la cantidad demandada de dinero no
solo depende de variables como el nivel de precios corriente ( Pt ) sino también de
sus desviaciones con respecto al valor de equilibrio (Pt − P* ) y de su evolución a
través del tiempo (Pt +1 − Pt ) . Estas variables representan distintas funciones
monetarias, Pt refleja al dinero como medio general de cambio, (Pt +1 − Pt ) su
función como reserva de valor, y (Pt − P* )2 su uso como numerario o unidad de
cuenta. Adicionalmente suponemos que la demanda de dinero responde
positivamente con respecto al nivel de precios corrientes y negativamente tanto
con respecto a la variación del precio en torno al valor de equilibrio como a su
evolución positiva en el tiempo. 3
Pasamos entonces a explicitar la forma de la demanda de dinero,
L(Pt +1 ;Pt ) = l + a Pt − b(Pt +1 − Pt ) − c(Pt − P* ) 2
Donde l, a, b, c >0
Podemos de esta manera reducir el intervalo de variación de b si expresamos las
variables en logaritmos de la siguiente forma:
L(Pt +1 ;Pt ) = l + a Pt − b Pt +1 + b Pt − c(Pt − P* ) 2
L(Pt +1 ;Pt ) = l + (a + b) Pt − b Pt +1 − c(Pt − P* )2
L(Pt +1 ;Pt ) = l + Ln(a + b) Pt − Ln(b) Pt +1 − Ln(c)(Pt − P* ) 2
Luego,
1< a+b >1 o 1-a< b>1
En cuanto al comportamiento del ajuste del nivel de precios se sigue la hipótesis
clásica de que el valor del dinero varia inversamente a los excesos de oferta en el
mercado monetario, por consiguiente suponiendo una oferta de dinero fija 4 y un
coeficiente de reacción constante (por simplicidad igual a 1), tenemos:
2
El presente trabajo se basa en el articulo del Dr. Julio Olivera presentado en la revista Economic Notes
en 1995 con el titulo “The Unit of Value”
3
Es decir, un incremento en el nivel de precios corriente aumenta la cantidad demandada de dinero
debido a la necesidad de mantener el nivel de transacciones, mientras que un proceso inflacionario
disminuye el valor del dinero mermando las cantidades retenidas por motivos especulativos o
precautorios, a su vez la cantidad demandada de dinero se ve influenciada negativamente cuando difiere
de su valor de equilibrio al no poder cumplir su papel como unidad de cuenta o medida común entre los
precios de los distintos bienes.
4
Aunque la oferta monetaria se tome como fija se debe tener en cuenta que en este caso podría utilizarse
como medida de política de manera de garantizar la convergencia al equilibrio
3
Pt +1 − Pt = λ[m − L(Pt +1 ;Pt ) ]
Pt +1 − Pt = m − l − a Pt + b(Pt +1 − Pt ) + c(Pt − P* ) 2
Donde en equilibrio Pt +1 − Pt = 0 = m − l − aP* , combinando las dos ecuaciones
anteriores llegamos al siguiente resultado:
Pt +1 − Pt = − a(Pt − P* ) + b(Pt +1 − Pt ) + c(Pt − P* ) 2 , donde
m = l + aP *
Agregando términos a la ecuación y reemplazando ( Pt − P* ) por Zt llegamos a
una simplificación de la ecuación original que nos permitirá trabajar de mejor
manera. Los pasos son los siguientes:
Pt +1 − Pt = − a(Pt − P* ) + b(Pt +1 − Pt ) + c(Pt − P* ) 2
Pt +1 − b Pt +1 = −a (Pt − P* ) + Pt − b Pt + c(Pt − P* ) 2
Pt +1 − b Pt +1 − P* − bP* = −a (Pt − P* ) + Pt − b Pt + c(Pt − P* ) 2 − P* − bP*
(Pt +1 − P* ) − b(Pt +1 − P* ) = −a(Pt − P* ) + (Pt − P* ) − b(Pt − P* ) + c(Pt − P* ) 2
Renombrando:
Z t +1 − bZ t +1 = −aZ t + Z t − bZ t + cZ t 2
Z t +1 − Z t = − aZ t + b( Z t +1 − Z t ) + cZ t 2
La cual podemos expresar de la siguiente manera:
Z t +1 (1 − b) = Z t (1 − a − b ) + cZ t 2
Z t +1 =
(1 − a − b)
c
Zt +
Zt 2
(1 − b)
(1 − b)
O bien:
Z t +1 = α Z t + β Z t 2
Donde
α = 1−
c
a
>0
< 0 , β=
1− b
(1-b)
El siguiente paso podría consistir en analizar el comportamiento de esta ecuación
y su estabilidad, en cuanto a su forma, dado que es una función cuadrática vamos
a determinar sus mínimos o máximos, concavidad o convexidad y sus respectivas
raíces.
4
Dado que
∂ 2 Z t +1
= 2β > 0
∂Z t2
Y que las raíces son las siguientes
Zt = 0 y Z t = − α
β
Sabiendo que la función tiene un punto critico que es mínimo en
Zt = − α
2β
>0
dado que
∂Z t +1
= α + 2β Zt
∂Z t
Podemos graficarla tentativamente de la siguiente manera
Z t +1
Zt = −α
β
Zt
Para hallar analíticamente los puntos fijos de la ecuación procedemos a igualar
Z t +1 = Z t , entonces:
Zt = α Zt + β Zt 2
0 = (α − 1) Z t + β Z t 2
5
Donde:
(1 − α ) ± (α − 1) 2 (1 − α ) ± (α − 1)
Z =
=
2β
2β
(1 − α )
Z 2e =
β
e
1,2
,
Por consiguiente
Z1e = 0
y
Resultado que evidencia la existencia de dos puntos fijos uno de los cuales
( Z1e = 0 ) concuerda con los valores de
P* antes obtenidos, nótese que
Z t +1 = Z t = 0 ⇔ Pt +1 = Pt = P* = (m − 1) c . Adicionalmente encontramos un pseudo
equilibrio para valores de
a
[1 − (1 − a − b) (1 − b)] (1 − b) − (1 − a − b) a
c
Z t = (1 − α ) β =
=
= >0 ⇒
a
c (1 − b)
1− b
c
Pt e = P* +
c
Pte − P* =
Lo cual determina un nivel de precios estacionario pero mayor al de equilibrio,
restaría ahora analizar la estabilidad 5 de los puntos mencionados de acuerdo a
los valores de los parámetros, recordemos que para que el mapa sea estable 6 es
necesario que
∂Z t +1
<1
∂Z t
Por consiguiente como
∂Z t +1
= α + 2β Zt
∂Z t
Tenemos como resultado un punto estable en Zt = 0 para valores de α > −1
dado que
∂Z t +1
∂Zt
5
6
= α (recordemos que el valor de α ya se encuentra acotado a ser < 0)
Zt = 0
En todos los casos la estabilidad se analizara localmente.
Aunque no se haga mención explicita existe la posibilidad de que el sistema resulte en valores de
∂Z t +1
= 1 , en tal caso podríamos hacer uso de los términos de segundo orden.
∂Z t
6
y un punto siempre inestable para
Zt =
(1 − α )
β
dado que
∂Z t +1
∂Z t
= 2 −α ,
que es siempre mayor a 1 en
Zt = (1−α ) β
modulo.
Gráficamente:
Z t +1
Z t = 0 Localmente Estable
Z0
Z0
Zt
Nótese en los gráficos siguientes que para valores menores próximos al pseudo
equilibrio la convergencia hacia Zt = 0 es asintótica mientras que en valores
próximos a él la convergencia es oscilante
Para Zt =1 = 1.45 Zt =1 = 1.45
2
Z(t)
1,5
1
0,5
0
-0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
7
Z(t)
Para Zt =1 = 0.25
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
En el caso en el que Zt = 0 es inestable el análisis grafico muestra lo siguiente:
Z t +1
Z t = 0 Localmente Inestable
Z0
Z0
Zt
Lo que evidencia que la convergencia a Zt = 0 se presenta con comportamientos
erráticos en un entorno que tienden a ser periódicos, como se aprecia en las
graficas siguientes:
8
Z(t)
Para Zt =1 = 0.2
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Para Zt =1 = 1.2
1,4
1,2
1
Z(t)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-0,4
t
De este análisis se desprenden distintas peculiaridades dinámicas del modelo,
nótese que en particular para los valores −0.5 > Zt > 1.25 el comportamiento de
los precios tiende a +∞ , mientras que cuando Zt = −0.5 el sistema deriva en el
precio de pseudo equilibrio permaneciendo estable, análogamente cuando
Zt = 0.75 el sistema retorna a su valor de equilibrio; estas particularidades son
consecuencia del termino de segundo orden del mecanismo de ajuste de precios 7
,
7
Esta solución es un caso particular de los distintos comportamientos que puede presentar el modelo,
quien quiera puede replantearse el sistema sin explicitar valores numéricos y obtendrá dinámicas
diferentes de acuerdo a los valores de los parámetros, adicionalmente es útil tener en cuenta que cualquier
mapa cuadrático de la forma X t +1 = α + β X t + γ X t2 es reducible al mapa logístico yt +1 = η yt (1 − yt ) a
través del cambio de variables y = A + Bx , donde η = 1 + 1 − 4αγ + β (2 − β ) , lo que es particularmente
apropiado para este trabajo dado que las conclusiones del modelo que se desarrollará a continuación son
aplicables a este (siempre teniendo en cuenta las restricciones a los parámetros).
9
si c fuera nulo :
Zt +1 − Zt = −aZt + bZt +1 − bZt
Zt +1 (1 − b) = (1 − a − b) Zt
Zt +1 = α Zt
La ecuación tendría un solo punto de equilibrio ( P* ) globalmente estable cuando
α > −1 e inestable cuando α < − 1 .
El análisis precedente puede extenderse a la tasa de interés nominal vía ecuación
de Fisher, dado que
rt = r * + π e
y si
πe =π
⇒
*
rt = r + Pt +1 − Pt
Y dado que
Z t +1 = α Z t + β Z t2
Pt +1 − P* = α Z t + β Z t2
Pt +1 − Pt = α Z t + β Z t2 − (Pt − P* )
Pt +1 − Pt = (α − 1) Z t + β Z t2
Deducimos
rt = r * + (α − 1) Z t + β Z t2
Lo cual evidencia que tanto para valores de equilibrio y de pseudo equilibrio
resulta rt = r * , con un razonamiento análogo si Pt → ∞ ⇒ rt → ∞
10
“Dinámica no Lineal y Caos”8
El articulo original “Dinámica no lineal y caos” del Prof. Víctor Beker pretende
introducir una alternativa no lineal al estudio del mercado, la idea es replantear
la manera de abordar los cambios en economía, dejando atrás el tratamiento de
procesos suaves y continuos para encarar un modelo que permita el estudio de las
discontinuidades y los cambios abruptos, la modelización emplea la ecuación
logística 9 , la cual ha sido tratada y analizada en extenso por la literatura
matemática.
La demanda viene dada por la ecuación siguiente:
Dt = α Pt (c − Pt )
Antes de comenzar con el análisis formal de la ecuación vamos a intentar
descubrir cual es su significado y los supuestos teóricos que son necesarios.
Como se evidenciará luego gráficamente la demanda postulada supone que
cuando el precio comienza a crecer la cantidad demandada también lo hace hasta
alcanzar un máximo, aumentos posteriores en el precio son acompañados por
caídas en la cantidad demandada; el tramo ascendente de la curva se justifica si
suponemos que cuando los precios comienzan a subir, los agentes interpretan
esto como un anuncio de futuros incrementos, los precios pueden ser
considerados por los agentes menos informados como la mejor información
disponible y reveladores de las expectativas de los mas informados, el autor
también advierte que esta retroalimentación positiva puede ser resultado de un
comportamiento tipo rebaño de los inversores. Habiendo aclarado esta situación
vamos a dar comienzo al análisis formal 10 .
Ya que a simple vista se puede notar que se trata de un función cuadrática, vamos
a verificar sus máximo/s o mínimos/s, su concavidad/convexidad, su dominio y
el rango de sus parámetros, entonces,
Como Pt , Dt ≥ 0 por definición
Dt = 0 ⇔ α Pt (1 − Pt ) = 0 ⇒
Sus raíces son Pt = 0 y Pt = 1 , por consiguiente Pt ∈ [0,1]
Dado que
∂Dt
= α − 2 Pt
∂ Pt
tiene un punto critico cuando
8
Trabajo presentado por el Prof. Víctor Beker en una compilación de textos en honor al Dr. Julio Olivera.
“Teoría Estructura y Procesos Económicos”
9
Este modelo unidimensional simple fue desarrollado originalmente por May R. M., para el análisis de la
evolución poblacional. La ecuación cuenta con un factor de expansión y uno de retracción, como se verá,
a medida que el parámetro crece el mecanismo de feedback no-lineal generara mas de un punto fijo.
10
Por simplicidad se supone que c=1
11
∂Dt
= 0 ,es decir,
∂ Pt
en Pt = 0.5
Por consiguiente determinamos que Dt ∈[0,1] y que α ∈ [0, 4]
y Dado que
∂ 2 Dt
= −2α
∂ Pt 2
Sabemos que la demanda es cóncava al origen, entonces, presenta un tramo
ascendente hasta valores de precios iguales a 0.5 donde a partir de dicho punto
comienza a caer la cantidad demandada, la figura siguiente representa este
comportamiento.
Dt
α
4
Pt
Suponemos adicionalmente una función de oferta lineal de la forma:
St = β Pt
y un mecanismo de ajuste de precios que responde positivamente a los excesos
de demanda, donde:
Pt +1 − Pt = k ( Dt − St ) = α Pt (1 − Pt ) − β Pt
Dado que β es un conversor de precios en unidades físicas al igual que k
podemos suponer que k = 1 β , con lo cual definimos
Pt +1 − Pt = γ Pt (1 − Pt ) − Pt
siendo
Pt +1 = γ Pt (1 − Pt )
γ=
α
β
12
Nótese que la ecuación resultante tiene las mismas características que la ecuación
de demanda, es un mapa unimodal donde Pt +1 ∈[0,1] , γ ∈ [0, 4] y Pt ∈ [0,1] ;
análogamente el mapa alcanza un máximo para valores de Pt = 0.5 y es cóncava
al origen.
A continuación vamos a comenzar con el desarrollo analítico del modelo, para
esto, el primer paso será hallar los puntos fijos del mapa, por consiguiente:
Pt = Pt +1 ⇔ γ Pt (1 − Pt ) − Pt = 0 = −γ Pt2 + (γ − 1) Pt
Lo cual se da cuando
Pt = 0
o
Pt = (γ − 1)
γ
Dado que
e
P1,2
=
−(γ − 1) ± (γ − 1) 2 (1 − γ ) ± (γ − 1)
=
−2γ
−2γ
En lo que sigue se analizara la estabilidad local del modelo para los distintos
valores de γ . Sabiendo que
∂ Pt +1
= γ (1 − 2 Pt )
∂ Pt
⇒
∂ Pt +1
∂ Pt
=γ
Pt = 0
y
∂ Pt +1
∂ Pt
Pt = ( γ −1)
= 2−γ
γ
Lo que evidencia lo siguiente, cuando 0 < γ < 1 tenemos que ∂ Pt +1 ∂ Pt < 1 en
Pt = 0 mientras que en Pt = (γ − 1) γ se verifica que ∂ Pt +1 ∂ Pt > 1 . Lo que
significa que en este rango el origen es un punto estable localmente mientras que
el segundo 11 no lo es. Cuando γ =1 ocurre una bifurcación 12 con cambio de
estabilidad, los dos puntos de equilibrio emergen del origen pero en este caso
mientras el valor del parámetro supera la unidad el punto de equilibrio en el
origen deviene inestable mientras que el otro se vuelve estable. Estas condiciones
se mantienen para valores de γ menores a 3. En γ =3 sucede otra bifurcación
dado que ∂ Pt +1 ∂ Pt = −1 , en este caso el punto pierde su estabilidad resultando en
un estado de de equilibrio de periodo dos. 13
11
En este caso este punto fijo inestable se presentaría para valores negativos de precios, lo cual esta fuera
de discusión.
12
“Transcritical Bifurcation” es el nombre de este tipo de bifurcaciones que tiene la particularidad de que
para cualquier valor del parámetro existe un punto fijo invariante, aunque puede sufrir cambios de
estabilidad.
13
Este tipo de bifurcaciones recibe el nombre de “Flip Bifurcation” en la cual el punto debe sufrir un
cambio de estabilidad (puede ser en ambas direcciones) y adicionalmente debe sufrir una duplicación de
periodo (estable o inestable).
13
A medida que el parámetro supera el valor de 3 nuevas bifurcaciones se van
creando ocasionando sucesivas duplicaciones de periodo, las graficas a
continuación evidencian este comportamiento.
P0
P0
P0
P0
Las graficas fueron
representadas para los
siguientes valores del
parámetro:
γ =1, γ =2, γ =2.5, γ =3 y γ =3.5
P0
Mientras el valor del parámetro crece continúan creándose estas duplicaciones de
periodo 14 hasta el punto en el cual ( γ >3.5699) el comportamiento de los precios
14
Estas duplicaciones de periodo siguen una cierta regularidad, en efecto, Feigenbaum en 1978 publico
un articulo donde se evidencia que las duplicaciones lejos de ser un resultado azaroso responden a un
patrón definido, a medida que el parámetro se incrementa las distintas duplicaciones se presentan cada
vez mas cerca unas de otras convergiendo hacia un patrón constante, esa convergencia viene dada de la
siguiente manera:
14
resulta caótico 15 , es decir, los precios tienen un comportamiento aperiodico a
largo plazo (aparentemente aleatorio) en un contexto determinístico con alta
sensibilidad de las condiciones iniciales.
En los gráficos a continuación se evidencia el comportamiento aperiodico.
γ = 3.9
Pt
t
Pt +1
γ = 3.9
Pt
P0
λ = lim
t →∞
xt − x t −1
= 4.669...
xt +1 − xt
La constante de Feigenbaum esta presente en todos los mapas unimodales.
15
Una definición alternativa para sistema caótico puede encontrarse en Devaney, dado un conjunto
llamado V . Se dice que f : V → V es caótica en V si:
a. f tiene dependencia sensible de las condiciones iniciales
b. f es topologicamente transitiva ( f : V → V se dice topologicamente transitiva si para cualquier par
k
de conjuntos abiertos U , J ⊂ V existe k>0 tal que f (U ) ∩ J ≠ ∅ ). Intuitivamente un mapa
topologicamente transitivo tiene puntos que se mueven desde un pequeño entorno arbitrario a otro.
c. Los puntos periódicos son densos en V . (sugiere una estructura de regularidad en la función)
15
Es interesante notar que estas bifurcaciones o duplicaciones de periodo presentan
una particularidad, en efecto, si graficamos su comportamiento a medida que el
parámetro crece nos encontramos con el siguiente resultado.
P
γ
A partir de γ ∞ el diagrama revela una mezcla intrigante de orden y caos con
ventanas periódicas intercaladas entre nubes caóticas de puntos16 , adicionalmente
se puede verificar que la misma distribución de ventanas se halla a niveles mas
detallados de observación, si amplificáramos el diagrama en alguna parte de la
nube se podría ver una distribución similar a la original. Esta característica
particular es utilizada por autores como Peters para señalar una conexión entre la
geometría fractal y la dinámica compleja 17 , dado que se cumple una de las
características de este tipo de geometría, la autosimilitud.
16
Hay que tener en cuenta que en este caso P representa los puntos potenciales.
Aunque desde un punto de vista técnico no existe vinculación alguna entre los sistemas dinámicos y la
geometría fractal estos están estrechamente relacionados e incluso se presentan juntos, muchos de los
atractores caóticos tienen estructuras fractales.
Mientras la geometría fractal trata con patrones geométricos y formas cuantitativas de caracterizar esos
patrones, el caos trata con la evolución del tiempo y sus características distintivas. Los fractales son una
clase de formas geométricas mientras que el caos es una clase de comportamiento de los sistemas
dinámicos.
En general, los atractores caóticos continuos o de mapas invertibles tienen una estructura fractal, en el
caso de ser mapas no invertibles pueden o no tenerla, la ecuación logística no presenta esta estructura.
17
16
Retomando el desarrollo del modelo, Beker atribuye la inestabilidad del mismo a
su fase alcista dado que como la condición suficiente para la inestabilidad es que
γ ≥ 3 , (donde γ = α β ) esto significa que los incrementos del parámetro se ven
explicados o bien por el aumento del valor de α , o bien por disminuciones de
β . Si recordamos que α proviene de la función de demanda podemos expresarlo
de la siguiente manera:
Dt = α Pt (1 − Pt ) = α (Pt − Pt2 )
De esta manera el termino entre paréntesis puede ser tomado como un indicador,
un “precio corregido”, un aumento de α traslada la curva de demanda hacia
arriba, β mide la pendiente de la curva de oferta a la vez que su inversa es el
coeficiente de reacción del precio a la demanda excedente. A medida que β
decrece la curva de oferta se desplaza hacia la izquierda, aumentando el exceso
de demanda para un precio dado y al mismo tiempo se incrementa la reacción del
precio ante un cierto nivel de demanda excedente, esta es la razón que justifica
que la inestabilidad es propia de mercados alcistas.
Restaba hablar aun de la dependencia sensible a las condiciones iniciales, la idea
es que orbitas vecinas se separan exponencialmente rápido (en promedio) unas de
otras. Un instrumento común para establecer la presencia de comportamiento
caótico es el exponente de Lyapunov 18 , el cual podemos definir de la siguiente
manera:
Dada una condición inicial X 0 y considerando una orbita próxima X 0 + ε 0 donde
ε 0 tiende a cero. Sabiendo que ε n es la separación luego de n iteraciones, si
ε n ≈ ε 0 enλ entonces λ es lo que se denomina exponente de Llapunov.
Un exponente de Llapunov positivo es señal de caos mientras que uno negativo
implica convergencia a las condiciones iniciales.
La presencia de comportamiento caótico en este modelo evidencia la
impredictibilidad del sistema, la cual no puede ser eliminada por incrementos en
la información disponible, la no linealidad amplifica la falta inicial de precisión
hasta que somos incapaces de predecir cualquier trayectoria, en este sentido el
caos implica la existencia de un horizonte temporal finito mas allá del cual
cualquier predicción pierde confiabilidad
A continuación se muestra gráficamente las implicancias de un exponente
positivo. 19
18
19
Existe un Exponente de Llapunov para cada espacio fase
El cual no significa una divergencia explosiva.
17
Pt +1
Pt
X 0 X 0 + ε0
Para el caso en el que γ = 2.8 podríamos calcular el exponente de Lyapunov
evaluando la evolución de las trayectorias y su proximidad en sentido absoluto a
medida que el numero de iteraciones se incrementa, tomando como orbita inicial
un entorno de 0.01 (para este caso 0.4 y 0.41) e iterando la ecuación 100 veces
podemos ver gráficamente la convergencia exponencial de ambas trayectorias, lo
que evidencia que estamos en presencia de un atractor.
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
En efecto podemos en base a los datos calcular fácilmente el exponente dado que
como
ε n ≈ ε 0 e nλ
Ln( ε n ) ≈ Ln( ε 0 ) + λ n
18
Donde ε n representa la distancia luego de la enésima iteración (en este caso 100),
ε 0 la orbita inicial y λ el exponente propiamente dicho, en este caso como
ε n = 1,37756(10)-12 , ε 0 =0.01 y n=100, Podemos verificar como era de esperar un
exponente negativo, igual a λ ≅ −0.181 .
Ahora bien, para el caso en que la función se comporta caóticamente, en
particular para valores de γ = 3.9 podemos verificar el siguiente comportamiento
para iteraciones iniciales
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Lo que evidencia en principio la positividad del exponente, aunque el calculo
para este caso es un poco mas complejo, con un ε 0 =0.000001, n=270 el
exponente podría aproximarse a λ ≅ +0.7095 . 20
20
Puede ser que el calculo no sea del todo exacto, de todas maneras queda claro el signo del exponente
19
Conclusiones:
Una de las ventajas de haber trabajado con estos modelos no lineales es que
pudimos apreciar distintas soluciones que van desde el equilibrio estacionario
hasta el caos, adicionalmente como característica saliente hay que remarcar que
estas clase de modelos permiten resultados cualitativamente distintos a cambios
cuantitativos en los parámetros.
La no linealidad permite también delimitar los alcances del análisis de estática
comparada, dado que su uso es legítimo siempre que el equilibrio estacionario
sea estable y solo dentro de los límites de dicha validez.
Los sistemas no lineales que retroaccionan son sumamente sensibles a las
condiciones iniciales, lo que significa que cualquier error minúsculo en un
decimal, un imperceptible “error” en el sistema, puede intensificarse y
desencadenar grandes cambios cualitativos, en estos sistemas no se puede
presuponer sin riesgo que los pequeños errores carecen de importancia.
Una causa única puede dar lugar a innumerables efectos; de hecho, las relaciones
causales desaparecen en la complejidad de las interacciones.
La propia naturaleza del sistema hace que sea imposible predecir su futuro a
largo plazo.
La teoría del caos puede utilizarse para dar explicación a ciertos aspectos
económicos como las turbulencias aperiodicas e inesperadas de los mercados,
aun en ausencia de shocks exógenos la economía de mercado puede no ser
estable.
El caos aparece en “feedback systems”, sistemas en los cuales el pasado afecta
los eventos actuales y los eventos actuales afectan el futuro, por lo cual parece
una alternativa adecuada para los modelos comúnmente usados en los mercados
de capitales, basados en las hipótesis de mercados eficientes. 21
Tal vez este tipo de modelos plantee una dicotomía con el tratamiento neoclásico
de los sistemas dinámicos, los cuales son resueltos haciendo que el mundo sea
esencialmente conocido, o al menos cognoscible. El proceso generador de las
trayectorias hace imposible la predicción incluso en los casos en que se conociera
por completo la evolución de las variables, es decir, la predicción resulta
imposible aun con conocimiento infinito. Este es talvez uno de los puntos en
contra que poseen este tipo de sistemas, dado que son generalmente no
invertibles 22 , es decir, no podemos determinar la historia pasada de un sistema
caótico, la información acerca de las condiciones iniciales se pierde
irremediablemente.
21
A propósito de esto en el apéndice se muestra la distribución de frecuencias de la ecuación logística
para distintos valores del parámetro.
22
La trayectoria de un sistema queda definida a partir de su aplicación iterada f ( n ) ( y0 ) = f ( f ......[ f ( y0 )])
si es posible definir una función inversa tal que yt = f
( −1)
yt +1 se dice que f es una transformación
invertible. En este caso se obtiene una versión del sistema que permite evolucionar inversamente en el
tiempo.
20
De los Autores:
OLIVERA, Julio Hipólito Guillermo:
Economista argentino nacido en Santiago del Estero. Su interés por la economía le llegó de la
mano de su padre, un profesor destacado que publicó varios libros y que lo llevaba de joven a
la biblioteca del Banco Central. Se graduó de abogado en la Universidad de Buenos Aires,
donde también se doctoró en derecho y ciencias sociales. Asimismo, ha sido allí profesor de
Historia de las Doctrinas Económicas y de Dinero, Crédito y Bancos; director del Instituto de
Investigaciones Económicas de la Facultad de Ciencias Económicas; y Rector en 1962, cuando
contaba con 33 años de edad.
Es miembro de la Asociación Argentina de Economía Política, la cual lo designó como
presidente honorario en homenaje a su trayectoria. También es integrante de numerosas
entidades, como el Club de Roma, el Honorary Editorial Advisory Board de la revista científica
“World Development” de Chicago, y la “Académie internationale des sciences politiques” (ParísGinebra).
Dictó clases y conferencias en el país y el exterior. Inauguró la cátedra “Irving Fisher” de la
Universidad de Yale, EE. UU., fue docente de la Universidad de Göttingen (Alemania) y se
desempeñó como investigador en las Universidades de Londres y de Sussex (Gran Bretaña).
Fue asesor de la Comisión Económica para América Latina (CEPAL) y en varias oportunidades
integró el grupo internacional de economistas elegido por la Academia Real de Suecia para
proponer candidatos al Premio Nobel de Economía. Mereció numerosos premios y distinciones
de diversas instituciones académicas.
En la función pública, fue Ministro de Asuntos Económicos de la provincia de San Luis;
Subgerente General del Banco Central de la República Argentina, cuyo departamento de
investigaciones económicas también dirigió, y Secretario de Ciencia y Tecnología de la Nación.
Durante más de medio siglo ha desarrollado una fecunda labor académica y de investigación.
Publicó numerosos libros, artículos y notas, muchos de ellos dedicados a cuestiones
monetarias y fiscales.
Está considerado uno de los mentores del estructuralismo latinoamericano, aunque desde una
vertiente alejada de los elementos políticos o ideológicos, y caracterizada por el rigor analítico y
el empleo de instrumental matemático. En el ámbito del pensamiento económico de su país
tuvo especial influencia su modelo no monetario de inflación, presentado en 1964.
En 1967 dio a conocer un trabajo titulado “Money prices and fiscal flags” donde analizaba la
relación entre la recaudación tributaria y la inflación, lo cual fue continuado diez años más tarde
por el italiano Vito Tanzi; por ello, ese desarrollo es denominado en la literatura técnica como
“efecto Olivera-Tanzi”. El planteo sostiene, al contrario del enfoque tradicional, que es la
inflación la que genera déficit fiscal y no a la inversa. El valor real del impuesto percibido por el
gobierno depende del comportamiento seguido por los precios entre el momento del “hecho
imponible” y el del efectivo pago; ergo, este punto debiera ser prioritariamente considerado al
emprender un programa de estabilización monetaria.
Fuente eumed.net
Beker, Victor:
Víctor Beker es licenciado en Economía. En su carrera académica ha sido Director de la
carrera de Licenciado en Economía en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad
de Buenos Aires donde es Profesor Titular de Microeconomía I. Es, asimismo, Director de
Relaciones Internacionales y profesor Titular de la Universidad de Belgrano así como profesor
honorario de las Universidades del Aconcagua, de Mendoza, y Blas Pascal, de Córdoba. Ha
sido profesor invitado de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la
Universidad de Salamanca, España e investigador invitado de la Universidad de Nueva York.
También se hizo acreedor al Premio 1996 de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos
Aires. Con anterioridad, ya en 1969 había sido merecedor del Premio Aisenstein otorgado por
el Colegio de Graduados en Ciencias Económicas; también había sido distinguido con Mención
Especial en el Premio Nacional de Economía correspondiente a la producción 1980-83. Beker
21
ha tenido una larga trayectoria tanto en la actividad privada como pública, incluyendo el
desempeño de funciones como consultor de organismos internacionales tanto en nuestro país
como en el extranjero. Ha ocupado el cargo de Director Nacional de Actividades Productivas
del INDEC. Ha sido Secretario Ejecutivo del Comité Organizador del XII Congreso Mundial de
Economía de la International Economic Association y es editor asociado del Journal of
Economic Behavior and Organization. A su vez es autor de libros de texto y de numerosos
trabajos en economía publicados tanto en el país como en el exterior
Fuente Cepes
Apéndice:
Distribuciones de probabilidad para la ecuación logística
γ = 3.4
P
γ = 3.9
P
22
Bibliografía:
-
Addison Paul S. “Fractals and Chaos - An Illustrated Course” (1997)
Beker Víctor A. “Dinámica no lineal, inestabilidad y caos”
CEPAL, “Dinamicas No Lineales y Modelos De Agentes Multiples En
Economia”( Heymann, Perazzo, Schuschny)
Donahue Manus J. “An Intro To Mathematical Chaos Theory And
Fractal Geometry”
Falconer K. “Fractal Geometry--Mathematical Foundations &
Applications” [1990]
Fama E. “The Behavior Of Stock-Market Prices” (1965)
Gandolfo G. “Economic Dynamics”
Grabbe J. Orlin “Chaos & Fractals in Financial Markets”
Landro A.H., Gonzalez M.L. “El Problema de la Predicción en el
Mercado Financiero”
Mandelbrot B. “Fractal Financial Fluctuations”
Mandelbrot B. “How long is the cost of Britain” (1967)
Mandelbrot B. “Fractal Geometry; What Is It And What Does It
Do”
Mandelbrot B. “A Multifractal Walk Down At Wall Street”
Peters , Edgar E “Chaos And Order In The Capital Markets - A New
View Of Cycles, Prices, And Market Volatility”
Strogatz, S. H. “Nonlinear Dynamics And Chaos”
Vandervert “Chaos Theory And The Evolution Of Mind And
Consciousness”
Wiggins S. “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems
& Chaos” (1996)
Williams Garnett P. “Chaos Theory Tamed”
23