Copiar y construir figuras y cuerpos - Portal Educativo

Copiar y construir
figuras y cuerpos
4to. Grado
Universidad de La Punta
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
CONSIDERACIONES GENERALES
Con respecto a la construcción de figuras, se proponen situaciones donde se
dan diferentes informaciones sobre la figura que se quiere construir.
En 4to grado se propone que las actividades de reproducción incluyan
circunferencias, cuadriláteros y triángulos. Al dar la consigna, solo ofreceremos el
dibujo que se tiene que reproducir, sin agregar información extra y, después de que los
alumnos hicieron la copia o reproducción de la figura, promover la discusión acerca de
qué información tuvieron en cuenta para hacerlo.
Tanto para el caso de completar guardas, en las que debe copiar varias veces
el mismo modelo, como en el caso de copiarlo una única vez, se propone la actividad
elegida en función de la necesidad de dibujar, por ejemplo, guardas, distintivos, logos
o carteles.
Se podrán explorar los motivos de las guardas elaboradas por distintos pueblos
indígenas en mantas y vasijas, analizando las figuras que intervienen, articulando el
trabajo matemático con el de Educación Artística.
En otras actividades de copia los alumnos podrán reconocer que, en ciertas
figuras, es posible trazar líneas adicionales para facilitar la construcción,
descomponiéndola en otras para las que ya se conoce algún procedimiento. De este
modo, se estará agregando información a la proporcionada inicialmente, pero sin que
esto cambie la figura que resulta.
Otra actividad planteada son los desarrollos planos. Ellos son: una
representación gráfica bidimensional de las caras y aristas de una figura
tridimensional, que al ser recortada y plegada por dichas aristas da como resultado un
cuerpo con una forma y volumen determinado. El resultado que se obtiene, la
aparición de dicha cuerpo en tres dimensiones, suele resultar bastante atractivo y
motivador para los alumnos, y en algunas ocasiones, cuando los alumnos y alumnas
entran en contacto con éstos por primera vez, produce incluso un efecto casi “mágico”.
La última actividad que se planteada es la de construir con regla y compás.
La regla y el compás
La regla y el compás que mencionamos en las construcciones geométricas son
idealizaciones de las reglas y compases del mundo real. Son conceptos matemáticos
abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos.
 El compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a diferencia
de la mayoría de compases reales, no tiene ninguna marca que permita repetir una
abertura predeterminada. Sólo puede abrirse entre puntos que hayan sido
previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar una
circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también
determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un compás "idealizado",
que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo todo recuerdo del radio de
la circunferencia que acaba de trazar.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
2
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
 La regla es "infinitamente larga" (es decir, puede prolongar una recta tanto como se
quiera), carece de marcas que permitan medir con ella, y sólo tiene un borde, cosa
insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos bordes paralelos,
permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin modesto: trazar una
recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se
desee, eso sí) una de esas rectas.
Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer
construcciones ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos
son en realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad
cuasi-paralelepípedos o "franjas" algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas
manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de luz
rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones, pues
permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las sombras. Pero
las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente,
más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el álgebra.
Las construcciones básicas
Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de
cinco construcciones básicas, usando en cada una los puntos, líneas y círculos que se
hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son:
1. Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, la recta:
recuérdese que la regla es de longitud infinita).
2. Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro punto
dado
3. Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.
4. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) una
línea y una circunferencia.
5. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) dos
circunferencias.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
3
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien
se pueden crear dos círculos (cada punto hace de centro de un círculo y de extremo
de otro). Si optamos por los dos círculos, su intersección dará lugar a dos nuevos
puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los
nuevos puntos, habremos construido un triángulo equilátero. Así pues, el problema:
"construir un triángulo equilátero dado uno de sus lados (o los puntos extremos de uno
de sus lados) es trivialmente resoluble con regla y compás.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
4
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
ÍNDICE DE LA PROPUESTA
Actividad 1: Copiando figuras.
Reproducir una figura copiándola.
Actividad 2: Completando guardas.
Reproducir una figura completando una guarda.
Actividad 3: Mensajes de figuras.
Construir figuras a partir de un mensaje dado.
Actividad 4: Desarrollos planos.
Construir cuerpos a partir de un desarrollo plano.
Actividad 5: Construir con regla y compás.
Construir figuras utilizando regla y compás.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
5
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
Actividad 1: Copiando figuras
ACTIVIDADES
1 · Copiá las siguientes figuras:
A.
Con cuadrícula
Sin cuadrícula
B.
Con cuadrícula
Sin cuadrícula
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
6
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
C.
Con cuadrícula
Sin cuadrícula
2 · Carlos copió así esta figura:
Modelo:
Copia:
A. ¿Son iguales?
B. ¿En qué se diferencian las dos figuras?
C. ¿En qué se parecen las dos figuras?
3 · Copiá las siguientes figuras en una hoja lisa, utilizando compás, una regla sin
números y la “escuadra casera”.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
7
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
A.
B.
-
¿Cuál te resultó más sencilla? ¿Por qué?
Nota:
 Estas reproducciones permiten discutir acerca de cómo transportar segmentos
con compás y cómo transportar ciertos ángulos con la “escuadra casera”, en
particular si la abertura es de 45º (1/2 recto).
 La escuadra casera, se obtiene haciendo dos dobleces en un papel: doblando
primero de cualquier modo para marcar una línea y luego haciendo coincidir los
bordes determinados por la línea.
 Se podrá discutir sobre las propiedades de las figuras que componen cada
modelo, los ángulos rectos o no y la igualdad o desigualdad de los lados.
 Al finalizar la copia de ambas figuras se podrá discutir también sobre por qué la
segunda resultó más fácil que la primera concluyendo que, en algunos casos,
puede ser conveniente trazar ciertas líneas adicionales que facilitan la copia.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
8
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
Actividad 2: Completando guardas.
ACTIVIDAD
1 · Continuá cada una de las siguientes guardas hasta completarlas.
A.
B.
C.
D.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
9
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
2 · ¿Qué instrumento de geometría utilizaste para completar cada guarda?
3 · ¿Qué tuviste en cuenta para completar cada una de las guardas? Explícalo
brevemente.
Nota:
 La reflexión sobre el completamiento de la guarda de la figura C permite discutir
sobre la igualdad de las circunferencias por su radio y las posiciones de las
mismas por sus centros.
 En tanto que la guarda de la figura D propicia la discusión sobre la caracterización
de los cuadriláteros por los ángulos rectos, la igualdad de los lados, la
construcción de ciertas figuras a partir de la determinación de los puntos medios y
la construcción de ángulos rectos, y de la mitad de un recto sobre una hoja
cuadriculada.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
10
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
Actividad 3: Mensajes de figuras.
MATERIALES
Tarjetas con figuras como por ejemplo:
Una cuadricula:
ORGANIZACIÓN
Se divide en grupos de 4 alumnos, los que a su vez se subdividen en parejas.
REGLAS DEL JUEGO
Cada pareja debe redactar y enviar a la otra un mensaje para que pueda
reproducir la figura que recibirán. Se debe transmitir el mensaje sin incluir dibujos ni
esquemas, sólo palabras y números.
La pareja receptora, a partir del mensaje recibido, deberá construir una figura
en la cuadricula que se le entrega.
Finalmente se comparan las figuras, la dada y la construida. Si coincide la
pareja receptora gana.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
11
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
Luego de que la segunda pareja, construya correctamente o no la figura, se
invierten los roles entregando una nueva tarjeta.
ACTIVIDADES
Elaborá un mensaje para que alguien, sin verla, pueda construir cada una de
estas figuras:
A.
B.
C.
D.
ACTIVIDADES DE CIERRE
Marisa y Carlos leyeron el siguiente mensaje: Dibujar un rectángulo que tenga
dos lados de 6 cm y dos de 3 cm, dividido en dos partes iguales.
Luego, cada uno dibujo lo siguiente:
Marisa:
-
Carlos:
¿Cuál de los dos alumnos realizo el dibujo correctamente?
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
12
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
Actividad 4: Desarrollas planos.
MATERIALES
Cartulina, cinta adhesiva, tijera. Un cubo de 6 cm de arista y un prisma de base
cuadrada de 6 x 6 x 9 cm, construidos ambos con cartulina.
Caja con distintos tipos de cuerpos.
ORGANIZACIÓN
Se forman grupos de cuatro o cinco alumnos.
ACTIVIDADES
1 · Se entrega a cada grupo una cartulina, cinta adhesiva y tijera. Sobre el
escritorio se coloca el cubo y el prisma. Luego se les plantea a cada grupo que
tienen que construir los mismos cuerpos en cartulina, pero tratando de tener
que pegar lo menos posible y de usar poca cinta adhesiva, porque deforma el
cuerpo.
Nota:
 Es muy probable que los alumnos recorten las cuatro caras unidas y las dos
bases por separado. En este caso, se deberá intervenir para ayudarlos a
pensar una forma que exija utilizar menos cinta adhesiva, hasta que surjan
los desarrollos planos.
 Una vez que los grupos han logrado construir los cuerpos, realizamos una
puesta en común para la que cada grupo desarma el cuerpo construido,
mostrando su desarrollo plano.
 Estos, así desarmados, se pegan sobre afiches bajo el título “Desarrollos
planos del cubo” y “Desarrollos planos de un prisma de base cuadrada”,
respectivamente.
 En el intercambio, se discutirá sobre las semejanzas y las diferencias de los
patrones obtenidos.
 Una actividad previa a la planteada es “Forrando cajas”.
2 · Ahora, cada grupo analice si los desarrollos planos siguientes corresponden o
no a un cubo. Justificar la respuesta.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
13
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
3 · A cada grupo se le plantea la siguiente situación:
Para armar una caja de tapas rectangulares, se quiere hacer un ensamblado plegando
y pegando. Las medidas de sus aristas deben ser: 3,5 cm, 6 cm y 4,5 cm. Para
hacerlo, ya se ensamblaron dos caras laterales así:
Propongan una forma de completar el desarrollo plano con las caras que faltan y
dibujen la tapa de la caja.
Nota:
 Algunos desarrollos planos, de estos dos cuerpos, pueden surgir
espontáneamente de los grupo, y aquellos que no surjan de los alumnos se
agregaran, aclarando que fueron realizados por otros niños.
4 · Retomando la actividad anterior, se muestran todos los desarrollos posibles,
como por ejemplo:
A continuación se propone un debate sobre cuáles son los desarrollos planos que
permiten armar una caja.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
14
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
5 · ¿A Qué cuerpos de los que hay en la caja de materiales corres´ponden los
siguientes desarrollos planos?
6 · ¿Con cuáles de estos desarrollos planos se podría armar un dado? En los que
sea posible, marcá cómo quedarían distribuidos los puntos que corresponden a
cada cara teniendo en cuenta que las caras opuestas suman 7.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
15
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
Actividad 5: Construir con regla y compás
ACTIVIDADES
1 · Este es uno de los lados de un triángulo. Terminá de construirlo de manera que
los tres lados sean iguales.
2 · Estos son los tres lados de un triángulo. Construilo utilizando regla no graduada
y compás.
3 · Construí un triángulo que tenga dos lados de 5 cm y el tercero de la medida que
vos quieras. ¿Es posible construir más de un triángulo distinto con esas
condiciones?
4 · En esta figura la circunferencia de centro A tiene 2 cm de radio y la de centro C
tiene 4 cm. El lado AC del triángulo mide 5 cm. ¿Es posible saber la medida de
los lados AB y BC sin utilizar la regla?
5 · Seguí las instrucciones utilizando compás, escuadra y regla:
A) Trazá un cuadrado ABCD de 3 cm de lado.
B) Trazá una circunferencia de 3 cm de lado con centro en A.
C) Repetí el paso 2 con centro en B, en C y en D.
D) Marcá los puntos de intersección de las circunferencias que son exteriores al
cuadrado.
E) Uní esos puntos.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
16
4to. grado
> Copiar y construir
figuras y cuerpos
Nota:
 Será interesante discutir con los alumnos si es posible o no asegurar qué
tipo de figura se obtiene al unir los puntos.
6 · Escribí las instrucciones para que un compañero logre realizar la siguiente
figura, formada por dos cuadrados.
Nota:
 Esta actividad puede dar lugar a diferentes procedimientos de construcción,
según cuáles sean las propiedades que se consideren y los instrumentos
que se utilicen.
Por ejemplo, se podría comenzar construyendo el cuadrado grande con
regla graduada y escuadra, considerando que sus lados son congruentes y
sus ángulos rectos. Para obtener los vértices del cuadrado chico hay que
marcar los puntos medios de los lados del cuadrado grande, midiendo con la
regla graduada, o tomando con el compás una medida igual a la mitad, y
marcar arcos sobre los lados con centro en cada vértice.
 A fin de mejorar la claridad y la precisión del mensaje, se podrá discutir
sobre la conveniencia de nombrar con letras los vértices de los cuadrados.
 En estas actividades se pone en juego cuáles son los datos necesarios para
construir una figura cuando se trata de interpretar y producir instrucciones.
Recursos Educativos Digitales / 4to. grado / Propuesta de Enseñanza
17