CUADERNO DE APRENDIZAJE

Cuaderno de Aprendizaje – 2014
CUADERNO DE
APRENDIZAJE
CÁLCULO
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Estimado estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Aprendizaje, junto a
cada Aprendizaje Esperado que se te presenta y que corresponde al Módulo que
cursas, encontrarás “Ejercicios Explicativos” que reforzarán las competencias
que debes lograr.
Esperamos que estas Ideas Claves entregadas a modo de síntesis te
orienten en el desarrollo del saber, del hacer y del ser.
Mucho Éxito.-
Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación
VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
UNIDAD 1: Funciones reales, límite y continuidad
APRENDIZAJE ESPERADO:
1. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función
lineal como modelo
Criterio 1.1. Identifica la función lineal y la caracteriza a través de sus parámetros, ceros
y gráfica.
Recordar que una función lineal es de la forma:
y = f(x) = mx + n, y = mx + n, donde m, n є R, Aqu í:
x: Variable independiente ( Abscisas)
y: Variable dependiente ( Ordenadas)
m: Coeficiente de dirección o pendiente de la recta.
n: Coeficiente de posición u ordenada en el origen.
1. Ejemplo:
Determine cuál de las siguientes funciones es una función lineal.
a) f ( x) = x 2 + x − 3
b) f ( x=
) 2x − 3
c) f ( x) = x3 + x − 3
d ) f ( x)= x − 3
Solución:
Para poder identificar funciones lineales debemos fijarnos en la variable x, esta no puede
1
tener un exponente distinto de 1 (x = x). Por lo tanto, en este caso la función b y d son lineales.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Determine los puntos en que la función y= f(x)= 3x – 6 corta a los ejes. Grafique la situación.
Solución:
Para resolver este tipo de problemas debemos reemplazar f(x) = 0; (y = 0) y calculamos el
valor de x. Esto nos dice el punto de corte en el eje X.
=
0 3x − 6
6 = 3x
6
=x
3
x=2
Pasamos el 6 sumando para el otro lado
Pasamos el 3 dividiendo para el otro lado
Simplificamos el resultado
Por lo tanto la recta corta el eje x en el punto (2,0).
Luego remplazamos x por 0 y calculamos f(x). Esto nos dice el punto de corte en el eje Y
f (0) =3 ⋅ 0 − 6 =−6
Por lo tanto la recta corta el eje y en el punto (0,-6).
Para graficar ubicamos los dos puntos en el plano y los unimos con una recta
Consideramos un cuadrado como una unidad
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Determine la función lineal que tiene pendiente -2 y pasa por el origen. Grafíquela.
Solución:
Si la función tiene pendiente -2 ya sabemos que es de la forma
f ( x) =
−2 x + n
Para poder descubrir el valor de n debemos reemplazar las coordenadas del origen en
nuestra función. Esto se debe a que, cuando la recta pasa por un punto éste satisface la ecuación.
0 =−2 ⋅ 0 + n
n=0
La función sería
f ( x) = −2 x
Para poder graficarla vamos a buscar 2 puntos (arbitrarios) que pasen por esta recta.
Vamos a reemplazar x por 1 calculando:
f (1) =−2 ⋅1 =−2
Por lo tanto la recta pasa por el punto (1, -2).
Vamos a reemplazar x por -1 calculando:
f (−1) = −2 ⋅ −1 = 2
Por lo tanto la recta pasa por el punto (-1, 2).
Ahora graficamos:
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
4. Ejemplo:
Calcular la pendiente de la recta entre los puntos señalados.
a)
b)
c)
d)
( 3, -1 ) y ( 0, 5 )
( 3, 5 ) y ( -1, 2)
( 2, 3 ) y ( 5, 3 )
( 3,1 ) y ( 3, -2)
Respuesta:
Para calcular la pendiente recordemos que:
Sean A =
yB=
dos puntos cualesquiera de una recta. Se llama pendiente de la
recta que pasa por los puntos A y B al cuociente:
m=
a)
Tenemos los siguientes puntos (3, -1) y (0, 5) reemplazando los valores en la ecuación
m=
se tiene que m =
=
=
= -2
En este caso la función es decreciente.
b)
Tenemos los siguientes puntos ( 3, 5 ) y ( -1, 2)
ecuación
m=
se tiene que m =
=
reemplazando los valores en la
=
En este caso la función es creciente.
c)
Tenemos los siguientes puntos (2, 3) y (5, 3) reemplazando los valores en la ecuación
m=
se tiene que m =
=
=0
En este caso la función es constante.
d)
Tenemos los siguientes puntos (3,1) y (3, -2) remplazando los valores en la ecuación
m=
se tiene que m =
=
, Se indetermina ya que en las fracciones el
denominador no puede ser cero, por lo tanto, no existe pendiente. (También es válido
decir que tiene pendiente infinita) En este caso la recta es vertical y la gráfica no
representa una función.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.2. Opera con la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su
estudio a situaciones de la vida laboral.
1. Ejemplo:
Determine la pendiente de las aguas de una techumbre, si sabe que su punto más alto está a 6
metros de altura y la distancia entre las piernas de la costanera donde se apoya la techumbre es
de 14 metros. Considere el eje X sobre la costanera y el eje Y en el centro de ésta.
Solución:
Para saber la pendiente debemos utilizar la siguiente fórmula:
m=
y2 − y1
x2 − x1
Luego remplazamos:
6−0
6
m=
=
− =
−0,857
0−7
7
Cabe destacar, que la pendiente nos da negativa por ser la recta que se forma al lado
derecho, si calculáramos la pendiente de la otra pierna nos daría el mismo valor numérico pero
positivo.
2. Ejemplo:
Se necesita arrendar una camioneta, esta tiene un costo inicial de $45.000 más $350 por
kilómetro recorrido. Determine la función lineal que representa el costo de arriendo de la
camioneta, en función de los kilómetros utilizados.
Solución:
Para desarrollar este ejercicio debemos identificar primero nuestra variable x, en este caso
serían los kilómetros. Luego, tenemos que entender que el coeficiente de posición será nuestro
costo fijo, ya que, aún cuando no utilicemos la camioneta y nuestro kilometraje sea 0, igual
debemos pagar el costo inicial si la arrendamos.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Por lo tanto la función será:
f=
( x) 350 x + 45000
3. Ejemplo:
Con respecto al ejercicio anterior, determine el valor a pagar por el arriendo de una camioneta,
si viaja 987 kilómetros.
Solución:
Debemos reemplazar el valor de los kilómetros por x
f ( x) = 350 ⋅ 987 + 45000 = 390450
Deberíamos pagar $390.450
4. Ejemplo:
Paula tiene $37.000 y puede ahorrar $9.000 a la semana. Si no gasta su dinero:
a) Encuentra una expresión analítica que exprese la relación entre tiempo (variable
independiente) y el dinero (variable dependiente).
b) Al cabo de 8 semanas, ¿cuánto dinero tendrá Paula?
c) Si quiere comprar un video que cuesta $127.000, ¿en cuántas semanas reunirá el
dinero?
Solución:
Realizaremos una tabla que nos permita ver el dinero que ella va ahorrando cada semana:
Tiempo
( Semana)
0
1
2
3
4
…..
Dinero ($)
37.000
46.000
55.000
64.000
73.000
……
a) Vemos que el incremento por semana es el mismo, su valor es $9.000. Lo cual puede ser
expresado como una ecuación lineal.
Tomamos dos relaciones al azar, tenemos (1,46.000) y (2,55.000) reemplazando estos
valores en la fórmula:
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
=
m
55.000 − 46.000
= 9000 , este valor coincide con el valor constante antes expuesto
2 −1
y recibe el nombre de pendiente de la recta.
Utilizando este valor y cualquiera de los dos puntos en la siguiente ecuación:
y − y1 = m ⋅ ( x − x1 )
Donde obtenemos la ecuación de la recta. Reemplazando los números tenemos:
y − 46.000= 9000 ⋅ ( x − 1)
y − 46.000 =9000 x − 9000
y = 9000 x − 9000 + 46000
=
y 9000 x + 37000 , ecuación de la recta
Si realizamos el mismo cálculo pero con el otro punto tenemos:
y − y2 = m ⋅ ( x − x2 ) . Remplazando los valores en la ecuación se tiene:
y − 55000= 9000 ⋅ ( x − 2)
y − 55000 = 9000 x − 18000
y = 9000 x − 18000 + 55000
=
y 9000 x + 37000 , ecuación de la recta
b) x: Tiempo en semanas
y: Dinero ahorrado en $
Datos:
x = 8 semanas
y = f(8) = ?
Reemplazando el valor de x en la función se obtiene el dinero ahorrado por Paula en 8 semanas.
f (8)
= 9000 ⋅ 8 + 37000
= 109000
R: En 8 semanas Paula tiene $109.000
c) Cómo nos dan el dinero y nos piden encontrar el tiempo, debemos utilizar el siguiente
procedimiento:
127000
= 9000 x + 37000 , donde lo único que no conocemos es el tiempo, pero, al despejar x se
tiene:
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
9000
=
x 127000 − 37000
9000 x = 90000
90000
=
x = 10
9000
R: en 10 semanas Paula tendrá $127.000
5 Ejemplo:
Se
necesita
arrendar un camión, cuyo arriendo está dado por la función
=
A ( x ) 1.600 x + 6.000 , donde x son los kilómetros recorridos por el camión. ¿Cuánto se debe
cancelar por el arriendo, si el camión anduvo 40 kilómetros?
Solución:
Como sabemos el arriendo del camión $ (Variable Y= A(x)), está en función de los
kilómetros recorridos por el camión (Variable X). Si queremos saber el valor del arriendo del
camión tenemos que calcular el valor de:
A (40) = 1.600* 40 +6.000 = $70.000
R: Se debe cancelar $70.000
6 Ejemplo:
Un estudio oceanográfico estableció que la relación entre la longitud (L) del pejerrey y el
radio de sus escamas (R) está dada por la función: L = 36 R + 26, donde L y R están en mm. Si
esto es así, el radio de las escamas de un pejerrey de 29,6 cm de longitud es:
Solución:
Como sabemos la longitud del pejerrey (Variable Y = L), está en función del radio de sus
escamas (Variable X= R). Si queremos saber el valor del radio de las escamas conociendo la
longitud del pejerrey lo primero es transformar la longitud del pejerrey a mm quedando 296 mm.
Luego resolveremos la siguiente igualdad.
296
= 36 R + 26
36=
R 296 − 26
36 R = 270
270
=
R = 7,5
36
R: 7,5 mm corresponde al radio de las escamas del pejerrey para una longitud de 296 mm.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.3. Resuelve problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la
función lineal como modelo.
1. Ejemplo:
Determine qué compañía de celular le conviene más contratar, si usted habla normalmente 400
minutos mensuales desde su celular:
La compañía A le cobra $10.500 mensuales más $35 el minuto utilizado
La compañía B le cobra solo el consumo a $275 el minuto utilizado
La compañía C le cobra $5.000 mensuales más $100 el minuto utilizado
Solución:
Para resolver este ejercicio vamos a definir la función de costo ($) en función de los minutos
hablados en cada caso y luego reemplazamos el valor de x por 400 para saber el costo.
Compañía A
f (=
x) 35 x + 10500
f (400) =35 ⋅ 400 + 10500 =$24.500
Compañía B
f ( x) = 275 x
f ( x) = 275 ⋅ 400 = $110.000
Compañía C
f=
( x) 100 x + 5000
f ( x) = 100 ⋅ 400 + 5000 = $45.000
Por lo tanto, conviene contratar la compañía A
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
2
Un albañil de la ciudad fija el costo del m de pintura a $1980. ¿Cuánto dinero tendría que
2
pagar una persona que necesita pintar 780 m en su departamento?
Solución:
Primero debemos encontrar la función que representa el costo
f ( x) = 1980 x
f (780) = 1980 ⋅ 780 = 1.544.400
2
R: Para pintar 780m se tienen que pagar $1.544.400
3. Ejemplo:
Si sabemos que 100°C equivalen a 373°K y que 2°C equivalen a 275°K. Determine la función
que relaciona °C en función de °K
Solución:
X: Grados Celsius (°C)
Y: Grados Kelvin (°K)
En un par ordenado la primera coordenada es “x” y la segunda coordenada es “y”, por lo
que tenemos (100,373) y (2,275), luego aplicamos la fórmula para calcular la pendiente:
=
m
y2 − y1 373 − 275 98
=
= = 1
x2 − x1
100 − 2
98
Elijo un punto para reemplazar en la función y calculo n:
275 =1 ⋅ 2 + n
n= 275 − 2= 273
n = 273
f ( x)= x + 273
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
4. Ejemplo:
Un fabricante tiene costos fijos de $1.500.000 y costos variables de $12.500 por unidad.
Encuentre la función lineal que relaciona los costos con la producción.
a) ¿Cuál es el costo de producir 100 unidades?
b) ¿A qué nivel de producción el costo será igual a $2.000.000?
c) Si cada artículo se vende a $25.000. Determine la función de ingresos y la función de utilidad de
la empresa.
d) Utilizando la función de utilidad de la pregunta anterior, responda las siguientes preguntas:
•
¿Cuál es la utilidad de producir 250 unidades?
•
¿A qué nivel de producción la empresa tendrá una utilidad de $1.000.000?
•
¿A qué nivel de producción la empresa tendrá una pérdida de $1.000.000?
Solución:
Lo primero es determinar la función de costo que se compone de una parte que depende
de la producción como lo es el costo variable y otra que no depende de la producción como es el
costo fijo.
Costo = costo variable + costo fijo
Si definimos las variables tenemos que:
x: Cantidad de unidades producidas.
y : Costo de producción de las unidades($)
a) El costo variable como sabemos que depende de la producción, se define como:
C.V = costo unitario∙ cantidad; C.V = 12.500∙x
Finalmente tenemos que la función de costo es igual a:
C(x) = 12.500∙x + 1.500.000
Para responder esta pregunta sabemos que la cantidad producida es 100 reemplazando este valor
en la ecuación se tiene:
C (100) = 12.500∙100 + 1.500.000 = $2.750.000
R: El costo por producir 100 unidades es de $2.750.000
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
b) Para responder esta pregunta nos damos cuenta que lo que me preguntan es cuál es la
cantidad producida para obtener un costo total de $2.000.000, reemplazando este valor en la
ecuación se tiene:
12.500∙x + 1.500.000 = 2.000.000 resolviendo esta ecuación (lineal) se tiene el valor de la
producción que me entrega el costo de $2.000.000.
12500 x = 500000
=
x
500000
= 40 Unidades
12500
R: Se tienen que producir 40 unidades para que el costo sea de $2.000.000
c) Antes de responder la pregunta definiremos la función de ingresos como:
Ingresos = precio unitario
∙ cantidad, r
tenemos:
eemplazando los valores numéricos en la ecuación
I ( x) = 25000 x , representa la función de ingresos.
Para la segunda parte de la pregunta, definiremos la utilidad como sigue:
Utilidad = Ingresos – costos
reemplazando las funciones de ingreso y de costo se tiene.
U ( x)= I ( x) − C ( x)= 25000 x − (12500 x + 1500000)= 25000 x − 12500 x − 1500000
=
U ( x) 12500 x − 1500000
R: La función de ingreso es I ( x ) = 25000 x y la función de utilidad es
=
I ( x) 12500 x − 1500000
d) Para responder esta pregunta utilizaremos la función de utilidad:
=
U ( x) 12500 x − 1500000
Reemplazando el valor de la producción que son 250 unidades en la ecuación de utilidad tenemos:
U (250)= 12500 ⋅ 250 − 1500000= 1.625.000
R: La utilidad por producir 250 unidades es de $1.650.000
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
En la siguiente pregunta calcularemos la cantidad de unidades a producir para obtener una utilidad
de $1.000.000. Se tiene que reemplazar el valor de la utilidad en la ecuación.
12500 x − 1500000 =
1000000
12500
=
x 1000000 + 1500000
12500 x = 2500000
2500000
=
x = 200
12500
R: Para que la utilidad sea de $1000.000 se tiene que producir 200 unidades
Ahora nos preguntan cuál es la cantidad de artículos a producir para obtener una pérdida de
$1.000.000 se tiene que remplazar el valor de la perdida en la ecuación.
12500 x − 1500000 =
−1000000
12500 x =
−1000000 + 1500000
12500 x = 500000
500000
=
x = 40
12500
R: Para obtener una pérdida de $1000.000 se tiene que producir 40 unidades
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
5. Ejemplo:
Para un fabricante de computadoras, el costo de la mano de obra y de los materiales por
unidad es de $200.000 y los costos fijos son de 1.500.000 al día. Si vende cada computador a
$300.000, ¿cuántas unidades deberá producir y vender cada día, con objeto de garantizar que el
negocio se mantenga en el punto de equilibrio?
Solución:
Sea X el número de computadoras producidas y vendidas cada día
La función de costo total por producir X computadoras está dada por:
=
C ( x) 200000 x + 1500000
Para determinar la función de ingresos tenemos que utilizar el precio por cada artículo y la cantidad
X de artículos vendidos, así tenemos:
I ( x) = 300000 x
El punto de equilibro se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos:
300000
=
x 200000 x + 1500000
100000 x = 1500000
1500000
=
x = 15
100000
Interpretación: La cantidad de computadoras que debe producir la fábrica para no tener pérdidas
ni utilidades es de 15. Bajo ese valor Existirán pérdidas para la empresa y sobre ese valor existirán
utilidades.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
APRENDIZAJE ESPERADO
2. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función
cuadrática como modelo.
Criterio 1.5. Representa gráficamente funciones cuadráticas dadas mediante enunciados,
tablas o expresiones algebraicas indicando sus elementos característicos.
Recordemos que una función cuadrática es de la forma:
Y = f ( x) = ax 2 + bx + c, con(a ≠ 0)
1. Ejemplo
Determine la concavidad de la función cuadrática y grafíquela.
f ( x) = − x 2
Solución:
Para determinar la concavidad debemos identificar α en la función dada, si es positivo es cóncava
hacia arriba, si es negativo es cóncava hacia abajo.
En este caso
a = −1
Por lo tanto, es cóncava hacia abajo
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo
Determine la gráfica que mejor representa a la función f ( x ) = x − 2 x − 15
2
Solución:
Primero vamos a calcular el vértice
−b  −b 
, f  )
2a  2a 
−b
2
= = 1
2a 2 ⋅1
f (1) =12 − 2 ⋅1 − 15 =−16
V(
Por lo tanto, el vértice es V (1,-16)
Ahora, calcularemos los puntos en que la parábola corta al eje x para ello calculamos f(x)=0
f ( x) = x 2 − 2 x − 15 = 0
2 ± 22 − 4 ⋅1 ⋅ −15 2 ± 8
=
2 ⋅1
2
2 + 8 10
x1
=
= = 5
2
2
2 − 8 −6
x2 =
=
= −3
2
2
Entonces, corta al eje x en los puntos (5,0) y (-3,0)
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Grafique la función cuadrática según la siguiente tabla:
X
Y
0
0
1
1
-1
1
2
4
-2
4
Solución:
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
4. Ejemplo:
¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función cuadrática f ( x ) = x 2 + 2 x + 2 ?
a)
b)
c)
d)
Solución:
Lo primero es calcular en qué puntos la parábola corta al eje X para ello calculamos f(x)= 0
f ( x) = x 2 + 2 x + 2 = 0
−2 ± 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 −2 ± −4
=
2 ⋅1
2
Como la raíz cuadrada es negativa, la ecuación cuadrática no tiene solución, eso,
gráficamente, quiere decir que la parábola no intersecta al eje x.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Ahora, calcularemos la intersección de la parábola con el eje y para eso tomaremos el valor de x=0,
reemplazando este valor en la función. Se tiene que:
f (0) = 02 + 2 ⋅ 0 + 2 = 2
La parábola pasa por el punto (0,2)
Ahora calcularemos el vértice:
−b  −b 
, f  )
2a  2a 
−b −2
=
= −1
2a 2 ⋅1
V(
f (−1) = ( −1) + 2 ⋅ (−1) + 2 = 1
2
Por lo tanto, el vértice es V (-1,1)
Es importante mencionar que la parábola se abre hacia arriba, ya que, el valor de α es mayor que
cero.
Con todos los datos calculados se llega a la conclusión de que la alternativa correcta es la letra b
Criterio 1.6. Utiliza los elementos característicos de una función cuadrática para
interpretar su comportamiento.
1. Ejemplo:
Determine en qué rango la siguiente función es decreciente
f ( x) = − x 2
Solución:
Para determinar la concavidad debemos identificar α en la funci
ón dada , si es positivo es
cóncava hacia arriba, si es negativo es cóncava hacia abajo.
En este caso
a = −1
Por lo tanto es cóncava hacia abajo.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Analizando el siguiente gráfico
Podemos observar que esta función es decreciente en el intervalo [0,+∞ [, ya que, cuando
aumentamos el valor de x el valor de y va disminuyendo.
2. Ejemplo:
Determine el vértice de la siguiente función cuadrática:
f ( x) = ( x − 1) 2 + 1
Solución:
f ( x) = ( x − 1) 2 + 1
f ( x) = x 2 − 2 x + 1 + 1
f ( x) = x 2 − 2 x + 2
−b  −b 
, f  )
2a  2a 
2
−b
= = 1
2a 2 ⋅1
f (1) = 12 − 2 ⋅1 + 2 = 1
V(
El vértice está en el punto (1,1)
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
2
Si tenemos la función f(x)= – x – 9, determine la gráfica que la representa.
Solución:
Primero vamos a calcular el vértice
−b  −b 
, f  )
2a  2a 
−b
0
= = 0
2a 2 ⋅ −1
f (0) =−02 − 9 =−9
V(
Por lo tanto, el vértice es V (0,-9)
Ahora, calcularemos los puntos en que la parábola corta al eje x para ello calculamos f(x)=0 y
resolvemos la ecuación cuadrática asociada
f ( x) =− x 2 − 9 =0
x 2 = −9
x=
−9
Como la raíz cuadrada es negativa, la ecuación no tiene solución en los Números Reales, esto
gráficamente significa que la parábola no corta al eje X.
Analizaremos la concavidad:
a<1 por lo tanto, es cóncava hacia abajo
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
4. Ejemplo:
Una función cuadrática está dada por la expresión y =
− x 2 + ax , y pasa por el punto (1,5 ) . Si
y representa las unidades vendidas (en miles) cada semana, x es la cantidad gastada en
publicidad (en millones de pesos). ¿Cuánto deberían gastar a la semana en publicidad para
obtener la venta máxima?
Solución:
a)
b)
c)
d)
$2.000.000
$3.000.000
$4.000.000
$6.000.000
El punto (1,5) pertenece a la recta, es por esta razón, que se reemplazará en la ecuación para
encontrar el valor de a quedando lo siguiente:
5 =−12 + a ⋅ 1 , el valor de a = 6, reemplazando el valor de a en la ecuación, se tiene la siguiente
ecuación cuadrática.
y=
− x 2 + 6 x , como sabemos para obtener la cantidad gastada en publicidad que nos permita
obtener el volumen de venta máximo, lo que tenemos que calcular es la coordenada x del vértice
con la siguiente fórmula:
−b
−6
= = 3
2a 2 ⋅ −1
La respuesta es de $3.000.000
R: La alternativa correcta es la letra b
Criterio 1.7. Aplica métodos gráfico y analítico para resolver ecuaciones de segundo
grado.
1. Ejemplo:
Resuelva la siguiente ecuación
(2 x − 3) 2 =
0
Para resolver la ecuación podemos utilizar distintos métodos:
Método 1: Para poder resolver aplicamos raíz
(2 x − 3) 2 =
0
± (2 x − 3) =
0
2x − 3 =
0
2x = 3
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
x1 =
3
2
−(2 x − 3) =
0
− 2x + 3 =
0
− 2x =
−3
x2 =
−3
−2
x2 =
3
2
Método 2: Desarrollaremos el cuadrado de binomio y encontraremos las soluciones de la ecuación
de segundo grado quedando lo siguiente:
(2 x − 3) 2= 4 x 2 − 12 x + 9= 0
Para resolver esta ecuación lo primero es igualar a cero quedando lo siguiente:
=
x
12 ± (−12) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 12 ± 0 3
= =
2⋅4
8
2
Finalmente se obtiene que
x=
x=
1
2
3
2
2. Ejemplo:
Resuelva la siguiente ecuación:
x 2 − x − 25 =
5
Solución:
x 2 − x − 25 =
5
x 2 − x − 30 =
0
( x − 6)( x + 5) =
0
Primero, igualamos a 0, luego, factorizamos (buscamos dos números que sumados sean -1
y multiplicados sean -30, en nuestro ejemplo los números son -6 y 5)
Como sabemos que para que un producto sea 0 uno de los factores debe ser 0, entonces,
calculamos ambas opciones.
x−6=
0
x1 = 6
x+5=
0
x2 = −5
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Resuelva la siguiente ecuación
x2 + 9 =
0
Solución:
x2 + 9 =
0
x 2 = −9
x =± −9
Como este valor no pertenece al conjunto de los números reales (es un número complejo),
decimos que esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales.
4. Ejemplo:
Las raíces de la ecuación
x+4 1
= son:
32
x
Solución:
x ⋅ ( x + 4) = 32 ⋅ 1
x2 + 4 x =
32
Lo primero es multiplicar cruzado
x 2 + 4 x − 32 =
0 Igualamos a cero la ecuación de segundo grado
Resolvemos la ecuación resultante usando la fórmula:
=
x
−4 ± (4) 2 − 4 ⋅1 ⋅ −32 −4 ± 144 −4 ± 12
= =
2 ⋅1
2
2
Así, obtenemos las soluciones:
x1 =
−4 + 12 8
−4 − 12 −16
= = 4
=
= −8 y x2=
2
2
2
2
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.8. Utiliza la función cuadrática para modelar y resolver problemas de la vida
cotidiana y de la especialidad.
1. Ejemplo:
Se requiere construir un camino que pasa por sobre una colina, como indica la figura.
Determinar la función que describe la colina. Considere los ejes en el centro de la colina y a los
pies de la misma.
Solución:
El vértice tiene coordenadas (0,4) y la colina pasa por los puntos (-8,0) y (8,0)
Reemplazando el vértice y uno de los puntos en la fórmula, tenemos:
( x − h) 2 = 4 p ( y − k )
(8 − 0) 2 = 4 p (0 − 4)
64 = −16 p
p = −4
Luego,
( x − 0) 2 = 4 ⋅ (−4) ⋅ ( y − 4)
x2 =
−16( y − 4)
x2 =
−16 y + 64
x 2 64
y=
− +
16 16
Luego, la función es:
x2
f ( x) =
− +4
16
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Considere una viga simplemente apoyada con una luz de 10 metros, que al deformarse debido
a su peso propio desciende en el punto medio de ésta 3 centímetros. Determine la función que
describe la deformación de la viga. Considerando el eje x en la recta que une los apoyos y en el
centro de la viga el eje y.
Solución:
El vértice con coordenadas (0, -0.03) y los apoyos en los puntos (-5,0) y (5,0)
Aplicando:
( x − h) 2 = 4 p ( y − k )
(5 − 0) 2 = 4 p (0 + 0, 03)
25 = 0,12 p
25
2500 625
p = =
=
0,12
12
3
625
( y + 0, 03)
3
2500
2500 3
⋅
x2 =
y+
3
3 100
2500
=
x2
y + 25
3
( x − 0) 2 =⋅
4
Despejando f ( x) = y , se tiene:
=
x2
2500
y + 25 / ⋅3
3
=
3 x 2 2500 y + 75 / −75
2500=
y 3 x 2 − 75 / : 2500
=
y
3 2
75
x −
2500
2500
=
y
3 2 3
x −
2500
100
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Si la siguiente función f (=
x)
x2
− 0,02 , describe la deformación de una viga simplemente
450
apoyada. ¿Cuánto será la deformación a 1,5 metros de distancia de cualquier apoyo?
Considerando el eje x en la recta que une los apoyos y en el centro de la viga el eje y
Solución:
Necesitamos saber el largo de la viga, calculamos f(x)=0
x2
− 0, 02
450
0 x2 − 9
=
0
=
x2 = 9
x1 = 3
x2 = −3
Por lo tanto, como queremos saber la deformación a 1,5m del apoyo y este se encuentra a 3m
del origen.
3 – 1,5 = 1,5
Necesitamos calcular f (1,5)
(1,5) 2
− 0, 02
450
f (1,5) =
0, 005 − 0, 02 =
−0, 015m
f=
(1,5)
Entonces la deformación es 1,5cm
4. Ejemplo:
Si se utilizan 100 pies de alambre para cercar un patio, entonces, el área resultante se
determina por medio de A=
( x ) x ( 50 − x ) , donde x pies es el ancho del patio y 50 – x pies es el
largo. Determine el ancho del patio para que el área sea máxima y, también, determine cuál es el
área máxima.
Solución:
Lo primero es obtener la ecuación cuadrática, por lo tanto, se multiplica el paréntesis por x
quedando lo siguiente:
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
A (=
x ) 50 x − x 2 , como tenemos que obtener el ancho (x), para que el área sea máxima se debe
calcular el valor de x vértice:
−b −50
= = 25
2a 2 ⋅ −1
El valor del ancho es de 25 pies, reemplazando este valor en la ecuación se obtiene el área
máxima:
A ( 25 ) = 50 ⋅ 25 − 252 = 625 pies 2
R: El ancho del patio tiene que ser de 25 pies para obtener el área máxima que es de 625 pies 2
5. Ejemplo:
Una multinacional ha estimado que sus costos en dólares pueden calcularse mediante
la siguiente función C ( x) =
30 x 2 − 12000 x + 2000000 , donde X representa la cantidad de unidades
producidas (vendidas).
a)
b)
¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo?
¿Cuál es el correspondiente costo mínimo de la multinacional?
Solución:
a) Lo primero que tenemos que hacer es identificar los coeficientes de la función cuadrática de
costo siendo:
2
a: El coeficiente que acompaña al X
c: El coeficiente que no depende de X
b: El coeficiente que acompaña a la X
a= 30 (al ser positivo la parábola se abre hacia arriba), b= -12.000, c= 2000.000
Al remplazar estos valores en la fórmula del Vértice
  −b   −b  
xvértice; y vértice;  
,f 

  2a   2a  
b −(−12000) 12000
200 unidades
=
=
=
2a
2 ⋅ 30
60
Se tiene que xvértice =
−
R: Se tienen que producir 200 unidades para obtener el costo mínimo.
b) Se reemplaza este valor en la función, quedando lo siguiente.
C (200) =30 ⋅ 2002 − 12000 ⋅ 200 + 2000000 =800000
R: El costo mínimo es 800.000 dólares
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
6. Ejemplo:
Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en dólares vienen dados
2
por la función: I(X)= 28X + 36.000X, mientras que sus costos (también en dólares) pueden
2
calcularse mediante la función: C(X)= 44X + 12.000X +700.000, donde X representa la cantidad
de unidades vendidas.
Determine:
a)
La función de Utilidad de la empresa
b)
La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que la utilidad sea máxima.
c)
¿Cuál es la utilidad máxima?
Solución:
U ( x) = I ( x) − C ( x) =28 x 2 + 36000 x − (44 x 2 + 12000 x + 700000)
U ( x) = 28 x 2 + 36000 x − 44 x 2 − 12000 x − 700000
U ( x) =
−16 x 2 + 24000 x − 700000
Se identifica los coeficientes de la función de Utilidad a= -16; b = 24.000; c = -700.00
Al remplazar estos valores en la fórmula del Vértice:
  −b   −b  
xvértice; y vértice;  
,f 

  2a   2a  
b −24000) −24000
750 unidades
xvértice =
−
=
=
=
2a
2 ⋅ −16
−32
Se reemplaza en la función de Utilidad U (750) =
−16 ⋅ 7502 + 24000 ⋅ 750 − 700000 =
8300000
R: Se tienen que producir 750 unidades para obtener una utilidad máxima de $ 8.300.000
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
APRENDIZAJE ESPERADO
3. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función
exponencial y logarítmica como modelo.
Criterio 1.10. Identifica la función exponencial de la forma y = a ⋅ b x , y la caracterizan a
través de sus parámetros, ceros y gráfica, cuando 0 < b < 1 y cuando b > 1 .
1. Ejemplo:
Grafique una función exponencial con b >1 de la forma f ( x) = 2
x
Solución:
Daremos valores a x para obtener los correspondientes valores de “y”
2
f (2)
= 2=
4
1
f (1)= 2=
2
0
f (0)
= 2=
1
1
= 0,5
21
1
f (−2) = 2−2 = 2 = 0, 25
2
f (−1) = 2−1 =
Nos damos cuenta que “y” nunca es 0 por lo que la gráfica no intersecta al eje “y”
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
1
2
x
Grafique una función exponencial con 0< b <1 de la forma f ( x) =  
Solución:
Daremos valores a X para obtener los correspondientes valores de Y
1 2 1
(2) (=
)
f=
2
4
1 1
(1) (=
) 0,5
f=
2
f (0) = 1
1
f (−1) = ( ) −1 = 21 = 2
2
1
f (−2) = ( ) −2 = 22 = 4
2
3. Ejemplo:
Determine el dominio y recorrido de cualquier función exponencial.
Solución:
El dominio son todos los valores que puede tomar x en una función, por lo tanto, en este
caso, si miramos los gráficos de los ejemplos 1 y 2 nos damos cuenta que x no está limitado puede
tomar cualquier valor en los reales. Por lo tanto Dom =]-∞,∞[ = 
El recorrido son todos los valores que puede tomar “y” en una función, por lo tanto, en este
caso si miramos los gráficos de los ejemplos 1 y 2 nos damos cuenta que “y” jamás se intersecta
con el eje x y nunca toma valores negativos. Por lo tanto Rec =]0,∞[
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
4. Ejemplo:
¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función exponencial f ( x ) = 3x + 2 ?
a)
b)
c)
d)
Solución:
Lo primero es ver en qué valor la curva exponencial intersecta al eje y, para eso tenemos
que reemplazar el valor de x=0 en la función exponencial, quedando lo siguiente:
f ( 0=
) 30+=2 3=2 9 , la curva exponencial pasa por el punto (0 ,9)
Otro importante punto es saber que la función exponencial es creciente, ya que, el valor de
la base es mayor que uno.
R: Con estos datos la alternativa correcta es la letra c
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.11. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la
especialidad, aplicando el modelo exponencial.
1. Ejemplo
Determine la función que representa el valor de una retroexcavadora en función del tiempo en
años, que tenía un valor inicial de $110.000.000 y sufre una depreciación de un 7% anual.
Solución:
100% − 7% = 93% = 0,93
=
V (t ) 110000000 ⋅ 0,93t
2. Ejemplo
Según el ejemplo anterior, determine el valor de la retroexcavadora a los 8 años
Solución:
Basta reemplazar t=8, es decir:
8
t
V=
(t ) 110000000 ⋅ 0,93
=
110000000 ⋅ 0,93
=
61553999
El valor seria $61.553.999 a los 8 años
3. Ejemplo
Determine el valor de un departamento a 20 años, si sabe que inicialmente cuesta $45.000.000
e incrementa su valor en un 3% anual.
Solución:
100% + 3%= 103%= 1, 03
Luego la función es:
=
V (t ) 45000000 ⋅1, 03t
A los 20 años, el valor será:
20
V (20)
= 45000000 ⋅1, 03=
81275006
El valor seria $81.275.006 a 20 años.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.12. Identifica la función logarítmica de la forma y = a + b log x , y la caracteriza a
través de sus parámetros, ceros y gráfica.
1. Ejemplo:
Grafica la función f ( x ) = 2 log 3 x
Solución:
Le damos valores a y para obtener x
Cuando y vale -1
− 1 =2 log 3 x
1
=
log 3 x
2
−0,5 =
log 3 x
−
x = 3−0,5
x = 0,58
De la misma manera buscamos más puntos, los graficamos e interpolamos:
X
Y
0,58
-1
1
0
1,73
1
3
2
5,2
3
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Determinar el valor de
f (1) para la función f ( x) = log 2 x
Solución:
Recordemos que
y = log a b
Entonces,
ay = b
Luego,
=
y f=
(1) log 2
2y = 1
2 y = 20
y=0
f (1) = 0
3. Ejemplo
Determine el dominio (valor de x) y el recorrido (valor de y) de las funciones logarítmicas
Solución:
Los valores de “x” son los números reales positivos, es decir, dom : ]o,∞[
Los valores de “y” son todos los números reales, es decir, rec : ]−∞, ∞[
Observe que ambas gráficas tienen el mismo dominio y recorrido y las funciones que
representan no son iguales, pues, la primera es decreciente y la segunda es creciente.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
4. Ejemplo
Grafica la función f ( x ) = log 2 x
Solución:
Este logaritmo lo graficaremos utilizando la siguiente tabla. Que se puede completar con lo
antes visto.
x
y
1/2
-1
1/4
-2
1/8
-3
1/16
-4
1
0
2
1
4
2
8
3
16
4
Observando el gráfico podemos apreciar algunas características como:
•
•
Que el logaritmo de 1, en cualquier base vale cero: esto se observa, ya que, el grafico corta
al eje x en el punto (1,0).
Que para x ≤ 0 , la función no está definida (no hay valores de “y” para este intervalo de
“x”).
Que para 0 < x < 1 los valores de la función son negativos.
•
•
•
•
•
Que para x > 1 los valores de la función son positivos.
La función es creciente para todos los valores de x.
La función no corta al eje y.
El dominio de la función son los números reales positivos.
El recorrido de la función son los números reales.
•
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
5. Ejemplo:
Grafica la función y = log 1 x
2
Solución:
Este logaritmo lo graficaremos utilizando la siguiente tabla. Que se puede completar con lo
antes visto.
X
Y
1/2
1
1/4
2
1/8
3
1/16
4
1
0
2
-1
4
-2
8
-3
16
-4
Observando el gráfico podemos apreciar algunas características como:
•
•
Que el logaritmo de 1, en cualquier base vale cero: esto se observa ya que el grafico corta
al eje x en el punto (1,0).
Que para x ≤ 0 , la función no está definida (no hay valores de “y” para este intervalo de
“x”).
Que para 0 < x < 1 los valores de la función son positivos.
•
•
•
•
•
Que para x > 1 los valores de la función son negativos.
La función es decreciente para todos los valores de x.
La función no corta al eje y.
El dominio de la función son los números reales positivos.
El recorrido de la función son los números reales.
•
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.13. Resuelve problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la
especialidad, aplicando el modelo exponencial y logarítmico.
1. Ejemplo:
Charles Richter propuso una escala para comparar la fuerza de los terremotos, en esta escala
la magnitud R de un terremoto viene dada por la siguiente expresión R=log A/B
En esta expresión A= mayor amplitud de la onda sísmica
B= amplitud de referencia correspondiente a la magnitud R=0
La magnitud del terremoto del 27 de febrero del 2010 se ha calculado en 8,8 en la escala
Richter. El terremoto del día 3 de Marzo de 1985 tuvo magnitud 7,7 en esta misma escala.
¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de 2010?
Solución:
a
R = log( )
b
Tenemos R de ambos sismos por lo que podemos sacar relación
a
7, 7 = log( )
b
a
( ) = 107,7
b
Para sismo de 1985
a
8,8 = log( )
b
a
( ) = 108,8
b
Para saber cuánto más intenso fue, debemos calcular
108,8
= 12,59
107,7
Respuesta: Fue 12,59 veces más intenso.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Suponga que el valor de un bien raíz se incrementa en un 2,5% anual. Si inicialmente el valor
del bien raíz es de $35.000.000
Hallar una expresión que permita calcular el valor v del bien raíz en un tiempo t cualquiera,
donde t se mide en años, luego, calcule el valor del bien raíz en 10 años.
Solución:
100%+2,5%=102,5%=1,025
=
v(t ) 35000000 ⋅1,025t
v(10)= 35000000 ⋅1,02510= 44802959
Respuesta: El valor del bien raíz a los 10 años es de $44.802.959.
3. Ejemplo:
Charles Richter propuso una escala para comparar la fuerza de los terremotos, en esta escala
la magnitud R de un terremoto viene dada por la siguiente expresión R=log A/B.
En esta expresión A= mayor amplitud de la onda sísmica
B= amplitud de referencia correspondiente a la magnitud R=0
La magnitud del terremoto del 27 de febrero del 2010 se ha calculado en 8,8 en la escala
Richter. El terremoto del día 21 de Mayo de 1960 tuvo magnitud 9,6 en esta misma escala.
¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de 1960?
Solución:
a
R = log( )
b
Tenemos R de ambos sismos por lo que podemos sacar relación
a
9, 6 = log( )
b
a
( ) = 109,6
b
Para sismo de 1960
a
8,8 = log( )
b
a
( ) = 108,8
b
Para saber cuánto más intenso fue, debemos calcular
109,6
= 6,31
108,8
Respuesta: Fue 6,31 veces más intenso
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
4. Ejemplo:
La cantidad P en que un capital C se convierte después de t años a una tasa de interés
compuesto-anual i, se determina mediante la expresión:
i 

p =c ⋅ 1 +

 100 
t
Se ha invertido un capital de $4.000.000 a una tasa de interés anual de un 6% hasta
alcanzar un valor de $5.353.535.
¿Por cuantos años fue la inversión?
Solución:
Lo primero es anotar los datos que nos entrega el problema que son:
C= $4.000.000; i = 6% y P = $ 5.353.535 y t=?
Reemplazando en la fórmula se tiene:
6 

5353535
= 4000000 ⋅ 1 +

 100 
5353535
= (1, 06)t
4000000
t
1,33838375 = (1, 06)t , para despejar el valor de t aplicamos a ambos lados el logaritmo en base
10 que se denomina log.
log1,33838375 = log1, 06t , aplicando la propiedad de potencia de un logaritmo queda lo
siguiente:
log1,33838375 = t ⋅ log1, 06 , despejando el valor de t se tiene que:
t=
log1,33838375
, utilizando la calculadora se obtiene el valor de t que es 5 años
log1, 06
aproximadamente.
R: La inversión fue durante 5 años
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
5. Ejemplo:
El crecimiento del número de habitantes de una población viene dado por la expresión:
P= P0 ⋅ e k ⋅t , donde P0 es el número de habitantes de la población en un instante inicial, P
es el número de habitantes de la población en un instante t y k es una constante de
proporcionalidad.
El pueblo de Doñigue en el año 1990 tenía 14.298 habitantes y en el año 2000 dicha
población había aumentado a 16.414. Calcular:
a) ¿Cuál es el valor de la constante k de proporcionalidad?
b) ¿Cuál es la población para el año 2009?
Solución:
a) Lo primero es anotar los datos que nos entrega el problema que son:
P0 = 14.298 habitantes, P = 16.414 habitantes t = 10 y k=?
Reemplazando estos valores en la ecuación se tiene que:
= 14.298 ⋅ e k ⋅t
16.414
16.414
= e k ⋅t
14.298
1,14799273 = e10⋅k , para poder bajar la k que esta como exponente tenemos que aplicar
logaritmo natural (ln) quedando lo siguiente:
ln1,14799273 = ln e10⋅k
ln1,14799273 =k ⋅ 10 ⋅ ln e
ln1,14799273 =k ⋅ 10 ⋅ 1
Despejando el valor de k se tiene:
=
k
ln1,14799273
= 0,014
10
b) Reemplazando este valor en la fórmula, queda lo siguiente:
=
P 14298 ⋅ e0,014⋅t , con esta fórmula podemos conocer cuál será la población para el año 2009.
Se tiene que el valor de t es 9 reemplazando en la ecuación junto con la población inicial que es
14.298 habitantes se tiene que:
P = 14298 ⋅ e0,014⋅9 = 16.218 habitantes
R: Se espera que para el año 2009 el número de habitantes sea de 16.218.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
APRENDIZAJE ESPERADO
4.- Resuelven problemas contextualizados, utilizando límites de funciones polinómicas,
racionales e Irracionales y sus propiedades
Criterio 1.15. Calcula límite de funciones polinómicas en forma analítica y gráfica,
aplicando propiedades.
1. Ejemplo:
Calcular lim x 2 + 1
x →−3
Solución:
lim x 2 + 1 ; En este límite la variable x tiende a -3, reemplazando este valor en el lugar de
x →−3
x y efectuando las operaciones se tiene lo siguiente:
= (−3) 2 + 1 = 9 + 1 =10 , que corresponde al valor final del límite.
2. Ejemplo:
Calcular lim 3 x 3 − 2 x 2 + x + 7
x →−1
Solución:
lim 3 x 3 − 2 x 2 + x + 7 ; En este límite la variable x tiende a -1, reemplazando este valor en
x →−1
el lugar de x y efectuando las operaciones se tiene lo siguiente:
=3 ⋅ (−1)3 − 2 ⋅ (−1) 2 + (−1) + 7 =−3 − 2 − 1 + 7 =1 , que corresponde al valor final del límite.
3. Ejemplo:
1
3
x+2
Calcular lim  
x →∞
Solución:
Aplicando las propiedades de las potencias se tiene:
x+2
1x + 2
1
1
=
=
 
x+2
x+2
3
3
3
Luego el límite queda:
1
lim  
x →∞ 3
 
x+2
= lim
x →∞
1
3
x+2
Notamos que el numerador se mantiene constante, mientras que el denominador crece
exponencialmente. Por lo tanto, la fracción es cada vez más pequeña.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
1
Luego: lim  
x →∞ 3
 
x+2
=0.
Observe que no tiene sentido reemplazar x por infinito, ya que, éste no es un valor sino un símbolo.
4.
Ejemplo:
(1 + x) 2 − 1
x →0
x
Calcular lim
Solución:
Lo primero que debemos hacer es desarrollar el cuadrado de binomio y reducir los términos
semejantes quedando lo siguiente:
(1 + x) 2 − 1
1 + 2x + x2 −1
x2 + 2x
lim
lim
=
= lim
x →0
x →0
x →0
x
x
x
x2 + 2 x
x
Reemplazando el valor de x por 0, nos queda, lim=
x →0
02 + 2 ⋅ 0 0
, lo cual no está definido,
=
0
0
para solucionar esto tenemos que factorizar por el valor de x arriba y abajo para poder simplificar
los factores iguales quedando lo siguiente:
lim
x →0
x ⋅ ( x + 2)
x2 + 2 x
= lim x + 2 (Se puede simplificar, ya que x no es cero)
= lim
x →0
x →0
x
x
Reemplazando el valor de x por cero se tiene que el valor del límite es 2.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
5.
Ejemplo
Determine el límite de la siguiente función cuando x tiende a infinito.
Solución:
Debemos analizar que ocurre con la función cuando x va aumentando su valor, en este caso la
gráfica se acerca cada vez más al 0. Por lo tanto:
lim f ( x) = 0
x →∞
6. Ejemplo:
Determine el límite de la siguiente función cuando x tiende a dos.
Solución:
Debemos mirar el grafico y ver qué valor le corresponde a “y” cuando “x” vale 2. Además,
se debe aproximar tanto por la izquierda como por la derecha a 2, y ambos límites laterales deben
coincidir para que el límite exista. Viendo el gráfico anterior vemos que se cumple, luego:
2
2
lim x=
2=
4
x→2
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.16. Calcula límite de funciones racionales en forma analítica y gráfica,
aplicando propiedades.
1. Ejemplo:
x2 − 2
x →3 x 2 − 5 x + 2
Calcular lim
Solución:
x2 − 2
; En este límite la variable x tiende a 3, reemplazando este valor en el lugar de x
x →3 x 2 − 5 x + 2
lim
y efectuando las operaciones se tiene lo siguiente:
32 − 2
7
7
x2 − 2
=
=
= − , que corresponde al valor final del límite
2
2
x →3 x − 5 x + 2
3 − 5 ⋅ 3 + 2 −4
4
lim
2. Ejemplo:
x2 − 9
x →3 x − 3
Calcular lim
Solución:
x2 − 9
, lo primero es reemplazar el valor de x por 3 quedando lo siguiente:
x →3 x − 3
lim
lim
x →3
x 2 − 9 32 − 9 0
;
= , lo cual no está definido, para solucionar esto tenemos que factorizar el
x −3 3−3 0
numerador para poder simplificar los factores iguales quedando lo siguiente.
x2 − 9
( x − 3) ⋅ ( x + 3)
= lim
= lim x + 3
x →3 x − 3
x →3
x →3
x−3
lim
Reemplazando el valor de x por 3 se tiene que el valor del límite es 6.
3. Ejemplo:
x2 + x − 6
x→2 x 2 − 3x + 2
Calcular lim
Solución:
x2 + x − 6
, lo primero es reemplazar el valor de x por 2 quedando lo siguiente.
x→2 x 2 − 3x + 2
lim
6−6 0
x 2 + x − 6 22 + 2 − 6
, lo cual no está definido, para solucionar esto tenemos
; 2
= =
2
x→2 x − 3x + 2 2 − 3 ⋅ 2 + 2
6−6 0
lim
que factorizar el numerador y el denominador para poder simplificar los factores iguales quedando
lo siguiente:
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
( x + 3) ⋅ ( x − 2)
( x + 3) 2 + 3 5
x2 + x − 6
= lim
= lim
=
= = 5
2
x→2 x − 3x + 2
x → 2 ( x − 2) ⋅ ( x − 1)
x → 2 ( x − 1)
2 −1 1
lim
Luego,
x2 + x − 6
=5
x→2 x 2 − 3x + 2
lim
4. Ejemplo:
− x2 − 2 x + 2
x →∞ ( x − 1)( x − 2 )
Calcular lim
Solución:
− x2 − 2 x + 2
, lo primero es desarrollar la multiplicación del denominador, quedando lo
x →∞ ( x − 1)( x − 2 )
lim
siguiente:
− x2 − 2 x + 2
− x2 − 2 x + 2
,
= lim 2
x →∞ ( x − 1)( x − 2 )
x →∞ x − 3 x + 2
lim
indeterminación de la forma
reemplazando
el
valor
de
x
nos
queda
una
∞
, para poder solucionar esta indeterminación se tiene que dividir
∞
tanto el numerador como el denominador por la mayor potencia, en este caso la mayor
2
potencia es x .
− x2 − 2 x + 2 − x2 2 x 2
2 2
− 2 + 2
−1 − + 2
2
2
−x − 2x + 2
−x − 2x + 2
x
x
x
x
x x ,
lim
= lim=
lim=
=
lim
2
x →∞ ( x − 1)( x − 2 )
x →∞ x 2 − 3 x + 2
→∞
x →∞ x 2 − 3 x + 2
x
3
2
x
3x 2
1− + 2
− 2+ 2
2
2
x x
x
x
x
x
k
Usando el hecho que lim n = 0 , k ∈  , n ∈  queda:
x →∞ x
2
2
2 2
2
2
+ 2
−1 − + 2
x x = lim
∞ ∞ = −1 − 0 + 0 = −1 = −1
lim
x →∞
x
→∞
3 2
3
2
1− 0 + 0
1
1− + 2
1− + 2
∞ ∞
x x
−1 −
Luego,
− x2 − 2 x + 2
= −1
x →∞ ( x − 1)( x − 2 )
lim
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.17. Calcula límite de funciones irracionales en forma analítica y gráfica,
aplicando propiedades
1. Ejemplo:
Calcular lim
x →1
x −1
x −1
Solución:
lim
x →1
x −1
, reemplazando el valor de x por 1 se tiene la indeterminación de la siguiente forma:
x −1
x −1
lim =
x →1 x − 1
1 −1 0
, para solucionar la indeterminación se tiene que racionalizar la raíz del
=
1−1 0
numerador multiplicando y dividiendo por su conjugado.
x −1 x +1
, luego, se aplica el producto notable suma por su diferencia quedando lo
⋅
x −1
x +1
lim
x →1
siguiente:
( x ) 2 − 12
( x ) 2 − 12
, el cuadrado simplifica a la raíz
= lim
x →1 ( x − 1) ⋅
x + 1 x →1 ( x − 1) ⋅ x + 1
lim
lim
x →1
=
x −1
1
, simplificando los factores comunes
= lim
x
→
1
x +1
( x − 1) ⋅ x + 1
1
1
, es el valor del límite
=
1 +1 2
2. Ejemplo:
Calcular lim x − 2
x→2
Solución:
lim x − 2 , En este límite la variable x tiende a 2, reemplazando este valor en el lugar de x y
x→2
efectuando las operaciones se tiene lo siguiente:
lim x − 2 =
x→2
2−2 =
0= 0
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Calcular lim
x →5
x− 5
x−5
Solución:
lim
x →5
x− 5
, reemplazando el valor de x por 5 se tiene la indeterminación de la siguiente forma.
x−5
x− 5
lim =
x →5
x−5
5− 5 0
, para solucionar la indeterminación se tiene que racionalizar la raíz del
=
1−1
0
numerador multiplicando y dividiendo por su conjugado.
lim
x →5
x− 5 x+ 5
, luego se aplica el producto notable suma por su diferencia quedando lo
⋅
x−5
x +5
siguiente:
x−5
( x ) 2 − ( 5) 2
, el cuadrado simplifica a la raíz
= lim
x →1 ( x − 5) ⋅
x
→
1
x +5
( x − 5) ⋅ x + 5
lim
lim
x →5
=
1
x−5
, simplificando los factores comunes
= lim
x
→
5
( x − 5) ⋅ x + 5
x+ 5
1
1
, es el valor del límite.
=
5+ 5 2 5
4. Ejemplo:
Calcular lim
x→2
x + 14 − 4
5 x − 10
Solución:
lim
x→2
x + 14 − 4
, reemplazando el valor de x por 2 se tiene la indeterminación de la siguiente
5 x − 10
forma:
lim
x→2
x + 14 − 4
=
5 x − 10
2 + 14 − 4
16 − 4 0
, para solucionar la indeterminación se tiene que
= =
5 ⋅ 2 − 10
10 − 10 0
racionalizar la raíz del numerador multiplicando y dividiendo por su conjugado.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
x + 14 − 4 x + 14 + 4
, luego se aplica el producto notable suma por su diferencia quedando
⋅
5 x − 10
x + 14 + 4
lim
x→2
lo siguiente:
( x + 14) 2 − (4) 2
, el cuadrado simplifica a la raíz y reduciendo los términos semejantes.
x → 2 5 x − 10 ⋅
x + 14 + 4
lim
lim
x→2
x + 14 − 16
5 x − 10 ⋅ x + 14 + 4
= lim
x→2
x−2
5 ⋅ ( x − 2) ⋅ x + 14 + 4
, simplificando los factores comunes
1
x + 14 − 16
x−2
= lim
= lim
x → 2 5 x − 10 ⋅
x + 14 + 4 x → 2 5 ⋅ ( x − 2) ⋅ x + 14 + 4 x → 2 5( x + 14 + 4)
lim
Reemplazando el valor al que tiende el límite se tiene lo siguiente:
= lim
x→2
1
1
1
1
1
=
=
= =
5 ⋅ ( x + 14 + 4) 5 ⋅ ( 2 + 14 + 4) 5 ⋅ ( 16 + 4) 5 ⋅ 8 40
Luego:
lim
x→2
x + 14 − 4 1
=
5 x − 10
40
Criterio 1.18. Resuelve problemas contextualizados utilizando límites de funciones
polinómicas, racionales e irracionales.
1. Ejemplo:
En una empresa el costo por producir x unidades de un artículo está dado por la siguiente
función: c (=
x) 10 x + 65 , donde x (cantidad de unidades producidas) e y c(x) (costo en miles de
dólares). ¿Qué sucede con el costo promedio cuando x → ∞ ?
Solución:
Lo primero es formar la función del costo promedio (D(x)), quedando lo siguiente:
c( x) 10 x + 65 10 x 65
=
=
+
x
x
x
x
65
) 10 +
D( x=
x
( x)
D=
Aplicando el límite al infinito queda lo siguiente:
lim10 +
x →∞
65
=
10
x
R: Cuando la producción tiende al infinito el costo promedio es de 10 mil dólares
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo 2:
La función de utilidad de una empresa puede medirse empleando la función:
U ( x) =
10000 x 2
, donde U(x) es la cantidad expresada en dólares cuando se producen x
x + 0,8 x + 0,07
2
unidades. ¿Qué le sucede a U(x) cuando se tiene una producción a largo plazo?
Solución:
Como la producción es a largo plazo el valor de x tenderá al infinito, por lo tanto, para tener
la respuesta calcularemos el siguiente límite:
∞
10000 x 2
, reemplazando el valor de x nos queda una indeterminación de la forma ,
x →∞ x + 0,8 x + 0,07
∞
lim
2
para poder solucionar esta indeterminación, se tiene que dividir tanto el numerador como el
2
denominador por la mayor potencia, en este caso la mayor potencia es x .
10000 x 2
10000
10000
x2
, calculamos el límite se tiene:
=
= lim
lim
lim
x →∞ x 2 + 0,8 x + 0,07
x →∞ x 2
x
→∞
0,8 0,07
0,8 x 0,07
+
+
1
+ 2 + 2
x
x2
x2
x2
x
x
10000
= 10000
x →∞
0,8 0,07
+ 2
1+
x
x
lim
R: Cuando la producción es a largo plazo la utilidad es de 10 mil dólares
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Un alambre se estira horizontalmente como se muestra en la figura. Se realiza un
experimento en el cual se coloca un peso en el centro y se miden los desplazamientos
correspondientes. La resistencia del alambre está dada por:
R( x) =
x 2 + 1500
, donde R(x) es la resistencia expresada en pascal (pa) cuando se sostiene un
x 3 + 20
bloque de peso (N). ¿Qué ocurre con la resistencia del alambre a medida que el peso aumenta
indefinidamente?
Solución:
Como el peso aumenta indefinidamente el valor de x tendera al infinito, por lo tanto, para
tener la respuesta calcularemos el siguiente límite:
∞
x 2 + 1500
, reemplazando el valor de x nos queda una indeterminación de la forma , para
x →∞ x 3 + 25
∞
lim
poder salvar esta indeterminación se tiene que dividir tanto el numerador como el denominador por
3
la mayor potencia, en este caso la mayor potencia es x .
x 2 + 1500
x 2 1500
1 1500
+ 3
+ 3
3
3
x
x
x
x
x , calculando el límite se tiene:
lim
lim
lim
=
=
x →∞ x 3 + 20
x →∞ x 3
x →∞
20
20
1+ 3
+
x
x3
x3 x3
1 1500
+ 3
0+0
x
= 0
lim x =
x →∞
20
1+ 0
1+ 3
x
R: Cuando el peso aumenta indefinidamente la resistencia es cero.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
APRENDIZAJE ESPERADO
5. Resuelven problemas contextualizados, utilizando límites de funciones exponenciales,
logarítmicas y trigonométricas.
Criterio 1.20. Calcula límites de funciones exponenciales.
1. Ejemplo:
− x 6 + 7 x8 + x
x →∞ −10 x 8 − 6 x 4 − x 2
Calcular lim
Solución:
∞
− x 6 + 7 x8 + x
, reemplazando el valor de x nos queda una indeterminación de la forma ,
x →∞ −10 x 8 − 6 x 4 − x 2
∞
lim
para poder solucionar esta indeterminación se tiene que dividir tanto el numerador como el
8
denominador por la mayor potencia, en este caso la mayor potencia es x .
1
1
− x 6 + 7 x8 + x
− x 6 7 x8 x
+ 8 + 8
− 2 +7+ 7
8
8
x
x
x
x
x
lim
lim x
= lim
=
=
x →∞ −10 x 8 − 6 x 4 − x 2
x →∞ 10 x 8
6 x 4 x 2 x →∞ −10 − 6 − 1
− 8 − 8 − 8
x4 x6
x8
x
x
x
Calculando el límite se tiene:
1
1
+7+ 7
2
x = 0+7+0 = − 7
lim x
x →∞
6
1
10
−10 − 4 − 6 −10 − 0 − 0
x
x
−
Observación:
Recordemos el siguiente límite especial, el cual será utilizado en algunos ejercicios:
1
e
lim(1 + x) x =
x →0
El valor de e se denomina número de Euler y su valor aproximado es 2,71828…
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
2
Calcular lim(1 + x) x
x →0
Solución:
2
lim(1 + x) x , reemplazando el valor de x nos queda una indeterminación de la forma 1∞
x →0
Luego, reordenaremos el exponente para expresar el límite como se mostró anteriormente.
2
1


lim (1 + x) x  , la expresión entre corchetes es igual al número e quedando finalmente:
x →0


2
1


lim (1 + x) x  =
e2
x →0


3. Ejemplo:
1
Calcular lim(1 + 3 x) x
x →0
Solución:
1
lim(1 + 3 x) x , reemplazando el valor de x nos queda una indeterminación de la forma 1∞
x →0
Luego, reordenaremos el exponente para expresar el límite como se mostró anteriormente.
3
1


lim (1 + 3 x) 3 x  , la expresión entre corchetes es igual al número e, quedando finalmente:
x →0


3
1


e3
lim (1 + 3 x) 3 x  =
x →0


Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.21. Calcula límites de funciones logarítmicas.
1. Ejemplo:
Calcular
lim ln( x)
x →3
Solución:
lim ln(
=
x) ln(3)
= 1, 0986
x →3
Solo debemos evaluar y obtenemos el resultado. Esto se puede hacer con cualquier función
continua, es decir, si f(x) es una función continua entonces:
lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
Observación:
Recordemos el límite especial:
ax −1
= ln a
x →0
x
lim
2. Ejemplo:
3x − 1
x →0
x
Calcular lim
Solución:
0
3x − 1
, reemplazando el valor de x nos queda una indeterminación de la forma
x →0
0
x
lim
Si aplicamos el límite básico antes mencionado se tiene lo siguiente:
3x − 1
= ln 3
x →0
x
lim
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
75 x − 1
x →0
x
Calcular lim
Solución:
0
75 x − 1
, reemplazando el valor de x nos queda una indeterminación de la forma
x →0
x
0
5
5 x
Reordenando, para poder dejarlo como límite básico (7 ) , considerando que a = 7
lim
75 x − 1
(75 ) x − 1
= lim
= ln
=
7 5 5ln 7
→
x →0
x
0
x
x
lim
75 x − 1
= 5ln 7
x →0
x
lim
Criterio 1.22. Calcula límites de funciones trigonométricas.
Recordemos que:
lim
x →0
sen ( x )
x
=1
1. Ejemplo:
2 
sen  x 
9 
Calcular lim
x →0
x
Solución:
Reemplazando el valor de x nos queda una indeterminación de la forma
0
0
Para lograr la forma del límite requerida se multiplica y divide la fracción por
2
9
2 
2 
sen  x  2
sen  x 
 9  ⋅ 9 =lim
 9  ⋅ 2 =1⋅ 2 =2
lim
x →0
2 x →0
2
x
9
9 9
x
9
9
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Calcular
lim tg ( x )
x →0
Solución:
Sabemos que tg ( x ) =
sen ( x )
cos ( x )
y notar que se puede reemplazar el valor en este caso. Luego, se
tiene:
lim tg ( x )= lim
x →0
x →0
sen ( x )
=
cos ( x )
sen0
=
cos 0
0
= 0
1
3. Ejemplo:
Calcular
lim
x →0
3sen ( 2 x )
x
Solución:
lim
x →0
3sen ( 2 x )
0
, reemplazando el valor de x nos queda una indeterminación de la forma
0
x
Para lograr la forma del límite requerido se multiplica el numerador y el denominador por 2
lim
x →0
3sen ( 2 x ) 2
3 ⋅ 2 sen ( 2 x )
⋅ = lim
= 6 ⋅1 = 6
x →0
x
2
2x
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.23. Resuelve problemas contextualizados utilizando límites de funciones
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
1. Ejemplo:
El valor del kilo de acero se calcula con la siguiente fórmula:
p( x) =
840000
700 + 500 ⋅ e −1,02⋅ x
Donde p(x) es el valor del kilo ($) y x es el tiempo medido en días. ¿Cuál es el valor del
acero a largo plazo?
Solución:
Como nos preguntan el valor del kilo a largo plazo el valor de x tenderá al infinito. Por lo
tanto, para tener la respuesta calcularemos el siguiente límite:
840000
x →∞ 700 + 500 ⋅ e −1,02 ⋅ x
lim
Por las propiedades de límites y el hecho que lim e
k ⋅x
x →∞
lim
x →∞
= 0 , k<0, tenemos que el límite es igual a:
840000
840000
840000
= = 1200
=
−1,02 ⋅ x
700 + 500 ⋅ 0
700
700 + 500 ⋅ e
R: El valor del kilo de acero a largo plazo es de $1200
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
El porcentaje de árboles frutales de una plantación que han sido infectados con cierta
plaga está dado por:
P (t ) =
100
, donde t es el tiempo en días.
1 + 50−0,1t
¿Qué sucede con el porcentaje de árboles infectados a largo plazo?
a) Descenderá hasta el 0%.
b) Tiende a un 100%
c) Antes de los 40 días todos los árboles están infectados.
d) Antes de los 40 días no hay árboles infectados.
Solución:
Como nos preguntan por el porcentaje a largo plazo el valor de t tendera al infinito. Por lo
tanto para tener la respuesta calcularemos el siguiente límite.
lim
t →∞
100
1 + 50−0,1⋅t
Por las propiedades de límites y el hecho que lim a
t →∞
igual a 100. Observe que 50 −0,1⋅t =
k ⋅t
= 0 , k<0, a>0, tenemos que el límite es
1
y cuando t tiende al infinito el denominador crece de
500,1⋅t
manera exponencial mientras que el numerador queda fijo, luego, esta fracción es cada vez más
pequeña y tiende a cero.
R: El porcentaje que se tiene si el tiempo es a largo plazo es de 100%, por lo tanto, la alternativa
correcta es la b. En la práctica todos los árboles frutales de la plantación se infectarán a largo
plazo.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Las ventas de una empresa se modelan de acuerdo a la función:
V ( x) =
155000
, donde V(x) son las ventas en miles de pesos y x es el tiempo en días.
1 + 4999 ⋅ (1, 01) − x
¿Cuál es el valor de las ventas a largo plazo?
Solución:
Como nos preguntan el valor de las ventas a largo plazo el valor de x tenderá al infinito.
Por lo tanto, para tener la respuesta calcularemos el siguiente límite:
lim
x →∞
Sabemos que 1,01− x =
155000
1 + 4999 ⋅ (1, 01) − x
1
tiende a cero cuando x tiende al infinito. Por esto y las propiedades
1,01x
de los límites se tiene que el valor del límite es 155.000 (miles de pesos)
R: Las ventas a largo plazo son igual a $155.000.000
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
APRENDIZAJE ESPERADO
6. Determinan si una función es continua en un punto y en un intervalo
Criterio 1.25. Relaciona la continuidad de una función real con el concepto de límite.
Para determinar si una función es continua en un punto dado, se debe cumplir que:
i) Exista la imagen del punto (que esté definida la función en el punto).
ii) Exista el límite de la función en dicho punto.
iii) Que los ítems i y ii coincidan.
En símbolos, diremos que una función
f (x ) es continua en un punto x0 si
lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
1. Ejemplo:
Analicemos si la siguiente función es continua para x=-2
f ( x) =
−3 x + 5
Solución:
Al mirar la función nos damos cuenta que es una recta. Además, la imagen de -2,
f ( −2 ) =−3 ⋅ ( −2 ) + 5 =11 y el límite existe, ya que, los límites laterales son iguales, esto es:
lim − 3 x + 5 =−3 ⋅ −2 + 5 =
11
x→−2+
lim − 3 x + 5 =−3 ⋅ −2 + 5 =
11
x→−2−
R: Como ambos valores coinciden, se desprende que la función es continua en x = - 2.
2. Ejemplo
Determine si la siguiente función es continua para x=1
f ( x) =
3 − x , si x > 1
2x
, si x < 1
Solución:
lim+ 3 − x = 3 − 1 = 2
x→1
lim− 2 x = 2 ⋅1 = 2
x→1
Luego, los límites laterales coinciden y por ende el límite existe; esto induce a pensar que
la función es continua, pero si analizamos nuestro ejercicio nos damos cuenta que la función
no está definida para x = 1, por lo tanto, no es continua.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Analicemos si la siguiente función es continua para x=0
f ( x) = x3 − 2 x + 1
Solución:
lim x 3 − 2 x + 1 = 03 − 2 ⋅ 0 + 1 = 1
x → 0+
lim− x3 − 2 x + 1 = 03 − 2 ⋅ 0 + 1 = 1
x →0
R: Como la función si está definida para x=0 la función es continua en x=0.
Criterio 1.26. Determina si una función es continua o discontinua en un punto y en un
intervalo.
1. Ejemplo
Determina si la función f ( x=
) 2 x + 5 , es continua en x=2.
Solución:
Para saber si una función es continua analizamos si la función está definida en x=2 y si
existe el límite cuando x tiende a 2:
f ( x) = 2 ⋅ 2 + 5 = 9
lim 2 x + 5 = 2 ⋅ 2 + 5 = 4 + 5 = 9
x→2−
lim 2 x + 5 = 2 ⋅ 2 + 5 = 4 + 5 = 9
x→2+
Observemos que se cumplen las condiciones.
R: La función f ( x=
) 2 x + 5 , es continua en x = 2.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Determina si la siguiente función es continua para x=5
f ( x) =
3x
, si x > 5
15 − 2 x , si x < 5
Solución:
lim 15 − 2 x = 15 − 2 ⋅ 5 = 15 − 10 = 5
x →5 −
lim 3 x = 3 ⋅ 5 = 15
x →5 +
f ( 5 ) : No está determinada.
R: La función, no es continua en x=5. Observe que la función sí es continua para cualquier otro
valor de x.
3. Ejemplo:
Determine si la siguiente función f ( x=
) x − 3 , es continua para x=1
2
Solución:
lim x 2 − 3 =12 − 3 =−2
x→1−
lim x 2 − 3 =12 − 3 =−2
x→1+
f (1) =12 − 3 =−2
R: La función es continua en x=1
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 1.27. Resuelve problemas contextualizados utilizando continuidad.
1. Ejemplo:
La empresa de neumáticos NATOX, junto a sus ingenieros realizaron un estudio de sus costos
de producción, precios de mercado y demanda, para la fabricación de un nuevo tipo de neumáticos
que se venderán a partir del año 2013. Los ingenieros determinaron en conjunto que la función de
venta total del nuevo tipo de neumáticos V(x), en cientos de dólares, al vender x neumáticos, está
dada por:
 800 x − x 2
; si 0 < x < 400


V ( x) =  200
17 x − 400 ; si x ≥ 400

8

¿La empresa NATOX tiene una venta continua al vender sus neumáticos?
Solución:
Analizaremos la continuidad de la función en el punto x= 400, como hemos visto se tienen que
cumplir 3 condiciones:
I.
Existe la función en el punto, esto lo comprobaremos calculando la imagen de x=400.
V (400)
=
II.
17 ⋅ 400 − 400 6400
= = 800
8
8
La segunda condición es que existe el límite en el punto x=400, para esto, tenemos que
calcular los limites laterales.
800 x − x 2 800 ⋅ 400 − 4002
lim V ( x) =
lim
=
= 800
x → 400 −
x → 400 −
200
200
=
lim V ( x)
x → 400 +
17 x − 400 17 ⋅ 400 − 400
= = 800
lim
x → 400 +
8
8
Como los limites laterales son iguales, el límite de la función existe en el punto x=400 y su
valor es de 800.
lim
=
V ( x)
x → 400 +
III.
lim
=
V ( x) lim
=
V ( x) 800
x → 400 −
x → 400
La última condición es que el límite y la función en el punto tienen que ser iguales.
lim=
V ( x) V=
(400) 800
x → 400
R: La empresa NATOX tiene una venta continua al vender el nuevo tipo de neumáticos.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Una compañía de gas tiene la siguiente modalidad para el cobro del consumo de sus clientes:
3
a) Por consumo menor o igual a 3m , se cobra una tarifa de $1800.
3
3
b) Si el consumo es más de 3m y hasta 10m , se cobra un cargo fijo de $600 más
3
$400, por cada m consumido.
3
c) Si el consumo es más de 10m , se cobra un cargo fijo de $800 más $450, por cada
3
m de consumo.
I.
II.
Escriba la función que determina el cobro del consumo.
3
Determine analíticamente la continuidad de los consumos de 3 y 10m
Solución:
Lo primero es definir el valor de X (variable independiente), que corresponde al consumo
3
de gas de los clientes expresado en m e Y (Variable dependiente) que corresponde al costo
asociado a este consumo expresado en $.
3
X: Consumo de gas m
Y: Costo del consumo de gas ($)
I.
Expresaremos la función de acuerdo a las condiciones de la siguiente manera:
1800; si x ≤ 3

f=
( x) 400 x + 600; si 3 < x ≤ 10
450 x + 800; si x > 10

II.
3
3
Analizaremos la continuidad de la función en el punto x= 3m y en el punto x=10m como
hemos visto se tienen que cumplir 3 condiciones:
3
1) Existe la función en el punto, esto lo comprobaremos calculando x= 3m .
f (3) = 1800
3
2) Segunda condición es que existe el límite en el punto x= 3m , para esto tenemos que
calcular los limites laterales.
lim
1800 1800
=
f ( x) lim
=
x →3−
x →3−
lim f ( x) = lim 400 x + 600 = 400 ⋅ 3 + 600 = 1200 + 600 = 1800
x →3+
x →3+
3
Como los limites laterales son iguales el límite de la función existe en el punto x=3m y su
valor es de $1800.
lim
=
f ( x) lim
=
f ( x) lim
=
f ( x) 1800
x →3+
x →3−
x →3
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3) La última condición es que el límite y la función en el punto tienen que ser iguales.
lim f=
( x) f=
(3) 1800
x →3
Luego, la función es continua en x= 3m
3
3
Ahora analizaremos la continuidad de la función en el punto x= 10m , como hemos visto se tienen
que cumplir 3 condiciones:
3
1) Existe la función en el punto, esto lo comprobaremos calculando la imagen de x= 10m .
f (10) = 400 ⋅10 + 600 = 4600
3
2) Segunda condición es que existe el límite en el punto x= 3m , para esto tenemos que
calcular los limites laterales.
lim f ( x) = lim 400 x + 600 = 400 ⋅10 + 600 = 4600
x →10 −
x →10 −
lim f ( x) = lim 450 x + 800 = 450 ⋅10 + 800 = 4500 + 800 = 5300
x →10 +
x →10 +
Como los limites laterales son diferentes el límite de la función no existe en el punto
3
x=10m .
lim f ( x) ≠ lim f ( x); 4600 ≠ 5300
x →10 −
x →10 +
3
La función no es continua en x=10m .
3
R: La función es continua para un consumo de gas de 3m y es discontinua para un
3
consumo de 10m .
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Una compañía de electricidad tiene la siguiente modalidad para el cobro del consumo de sus
clientes:
a) Si el consumo es 1 a 50 KWH inclusive, cobra una tarifa fija (constante) de $2500.
b) Si el consumo es de más de 50 y hasta 200 KWH inclusive, cobra un cargo fijo de $300,
más $50 por KWH.
c) Si el consumo es de más de 200 KWH cobra un cargo fijo de $500, más $60 por KWH.
I.
II.
Escriba la función que determina el cobro del consumo.
Determine analíticamente la continuidad de los consumos de 50 y 200 KWH
Solución:
Lo primero es definir el valor de X (variable independiente), que corresponde al consumo
de electricidad de los clientes expresado en KWH e Y (Variable dependiente) que corresponde al
costo asociado a este consumo expresado en $.
X: Consumo de electricidad KWH
Y: Costo del consumo de electricidad ($)
I.
Expresaremos la función de acuerdo a las condiciones de la siguiente manera:
2500; si 1 < x ≤ 50

f ( x=
) 50 x + 300; si 50 < x ≤ 200
60 x + 500; si x > 200

II.
Analizaremos la continuidad de la función en el punto x= 50 KWH, como hemos visto, se
tienen que cumplir 3 condiciones:
1) Existe la función en el punto, esto lo comprobaremos calculando la imagen de x= 50
KWH.
f (50) = 2500
2) La segunda condición es que existe el límite en el punto x= 50 KWH, para esto,
tenemos que calcular los limites laterales.
=
lim f ( x) lim
=
2500 2500
x →50 −
x →50 −
lim f ( x) =lim 50 x + 300 =50 ⋅ 50 + 300 =2500 + 300 =2800
x →50 +
x →50 +
Como los límites laterales son diferentes de la función, no existe el límite de la función en
el punto x=50 KWH.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
lim f ( x) ≠ lim f ( x); 2500 ≠ 2800
x →50 −
x →50 +
Por lo tanto, la función no es continua en x=50 KWH.
Analizaremos la continuidad de la función en el otro punto x= 200 KWH, como hemos visto
se tienen que cumplir 3 condiciones:
3
1) Existe la función en el punto, esto lo comprobaremos calculando x= 10m .
f (200) =50 ⋅ 200 + 300 =10000 + 300 =10300
2) La segunda condición es que existe el límite en el punto x= 200 KWH, para esto
tenemos que calcular los limites laterales.
lim f ( x) = lim 50 x + 300 =50 ⋅ 200 + 300 =10300
x → 200 −
x → 200 −
lim f ( x) = lim 60 x + 500 =60 ⋅ 200 + 500 =12000 + 500 =12500
x → 200 +
x → 200 +
Como los limites laterales son diferentes, el límite de la función no existe en el punto
x=200KWH.
lim f ( x) ≠ lim f ( x); 10300 ≠ 12500
x → 200 −
x → 200 +
La función no es continua en x=200 KWH.
R: La función no es continua para un consumo de electricidad de 50 KWH y tampoco lo es
para un consumo de 200 KWH.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
UNIDAD 2: La derivada y sus aplicaciones.
APRENDIZAJE ESPERADO:
7. Derivan funciones reales de una variable, aplicando las reglas básicas de derivación,
demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus aplicaciones.
Criterio 2.1. Calcula derivadas utilizando las reglas básicas.
1. Ejemplo:
Si
f ( x=
) x3 + x 2 , calcule su derivada.
Solución:
df
( x ) = nx n−1
dx
Luego, calculamos la derivada de f ( x=
) x3 + x 2 .
Sabemos que: si
f ( x ) = x n , entonces
d 3
x + x 2 ) = 3x 2 + 2 x
(
dx
R: La derivada de
f ( x ) es 3 x 2 + 2 x
2. Ejemplo:
Si
f (=
x ) 3 x 6 + 2 , calcule su derivada.
Solución:
Además de la propiedad nombrada anteriormente sabemos que:
Si
f ( x ) = c (c: constante), entonces
df
( x) = 0
dx
Luego,
d
3 x 6 + 2 ) = 6 ⋅ 3x 5 + 0 = 18 x 5
(
dx
R: La derivada de
f ( x ) es 18x5
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Si
f ( x ) = 3sen ( x ) , calcule su derivada.
Solución:
Sabemos que: si
f ( x ) = sen ( x ) , entonces
df
( x ) = cos ( x )
dx
Luego,
d
( 3sen ( x ) ) = 3cos ( x )
dx
R: La derivada de
f ( x ) es 3cos ( x )
Criterio 2.2. Aplica el concepto de derivada al cálculo de tasas e incrementos.
1. Ejemplo:
Calcular por incrementos la derivada de la función f ( x )= 3 x + x − 2
2
Solución:
Debemos calcular el incremento ∆y
y + ∆=
y 3( x + ∆x) 2 + ( x + ∆x) − 2
∆=
y 3( x + ∆x) 2 + ( x + ∆x) − 2 − y
=
∆y 3( x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 ) + x + ∆x − 2 − (3 x 2 + x − 2)
∆y= 3 x 2 + 6 x∆x + 3∆x 2 + x + ∆x − 2 − 3 x 2 − x + 2
∆y= 6 x∆x + 3∆x 2 + ∆x
Por definición la derivada es:
∆y
6 x∆x + 3∆x 2 + ∆x
∆x  (6 x + 3∆x + 1)
=
lim
lim
= lim
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆
x
→
0
∆x
∆x
= lim (6 x + 3∆x + 1)= 6 x + 3 ⋅ 0 + 1= 6 x + 1
∆x → 0
Entonces:
f ´( x=
) 6x +1
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Calcular por incrementos la derivada de la función f ( x ) = x
2
Solución:
Debemos calcular el incremento ∆y
y + ∆y= ( x + ∆x) 2
∆y= ( x + ∆x) 2 − y
∆=
y ( x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 ) − ( x 2 )
∆y= x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 − x 2
∆y= 2 x∆x + ∆x 2
Por definición la derivada es:
∆y
∆x ⋅ (2 x + ∆x)
2 x∆x + ∆x 2
=
= lim
lim
lim
x
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆
→
0
∆x
∆x
= lim (2 x + ∆x=
) 2 x + 0= 2 x
∆x → 0
Entonces:
f ´( x) = 2 x
3. Ejemplo:
Calcular por incrementos la derivada de la función f ( x=
) x +x
2
Solución:
Debemos calcular el incremento ∆y
y + ∆y= ( x + ∆x) 2 + ( x + ∆x)
∆y= ( x + ∆x) 2 + ( x + ∆x) − y
∆=
y ( x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 ) + ( x + ∆x) − ( x 2 + x)
∆y= x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 + x + ∆x − x 2 − x
∆y= 2 x∆x + ∆x 2 + ∆x
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Por definición la derivada es:
∆y
2 x∆x + ∆x 2 + ∆x
∆x ⋅ (2 x + ∆x + 1)
=
lim
lim
= lim
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆
x
→
0
∆x
∆x
= lim (2 x + ∆x + 1)= 2 x + 0 + =
1 2x +1
∆x → 0
) 2x +1
Entonces: f ´( x=
Criterio 2.3. Determina pendiente de una función en un punto dado, aplicando las reglas
básicas de derivación.
La pendiente de una recta se calcula derivando la función
1. Ejemplo:
Si f ( x ) =
−3 x + 5 , determine la pendiente.
Solución:
d
m = (−3 x + 5) =
−3
dx
R: La pendiente en cualquier punto es
−3 .
2. Ejemplo:
Si
f ( x)=
2
+ 5 x , determine la pendiente.
3
Solución:
m=
d 2

 + 5 x = 5
dx  3

R: La pendiente es 5, para cualquier punto
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Si f ( x) = x − 2 x + 6 , determine la pendiente en el punto
3
x = −3 .
Solución:
m=
d 3
x − 2 x + 6 ) = 3x 2 − 2
(
dx
Se evalúa en x =
−3
m = 3 ⋅ ( −3) − 2 = 3 ⋅ 9 − 2 = 27 − 2 = 25
2
R: La pendiente en el punto
x = −3 es 25.
Criterio 2.4. Determina ecuación de la recta tangente y recta normal a una función dada,
aplicando las reglas básicas de derivación.
La ecuación de la recta tangente, está dada por:
=
y f '( a ) ⋅ ( x − a ) + f ( a )
La ecuación de la recta normal, está dada por:
=
y
−1
⋅( x − a) + f (a)
f '( a )
1. Ejemplo:
Determine la ecuación de la recta tangente de la función f ( x) = x + 3 x − 5 , en el punto
2
x=7
Solución:
Determinamos primero la pendiente. Derivando la función, se tiene:
m=
d 2
( x + 3 x − 5) = 2 x + 3
dx
x = 7 la pendiente,
f ' ( 7 ) = 2 ⋅ 7 + 3 = 1 +43 = 1 7
Evaluamos en
Calculamos
f (7) ,
f ( 7 ) = 7 2 + 3 ⋅ 7 − 5 = 49 + 21 − 5 = 65
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Reemplazando en =
y
f ' ( a ) ⋅ ( x − a ) + f ( a ) , encontramos la ecuación de la recta tangente.
=
y f '( a ) ⋅ ( x − a ) + f ( a )
=
y f '(7) ⋅ ( x − 7) + f ( 7)
y = 17 ⋅ ( x − 7 ) + 65
y = 17 x − 119 + 65
=
y 17 x − 54
2. Ejemplo:
Determine la ecuación de la recta tangente de la función
f ( x=
)
1 2
x − x + 100 , en el punto
2
x = −2
Solución:
Determinamos primero la pendiente. Derivando la función, se tiene:
m=
d 1 2
 1
 x − x + 100  = ⋅ 2 x − 1 = x − 1
dx  2
 2
x = −2 en la pendiente,
f ' ( −2 ) =−2 − 1 =−3
Evaluamos
Calculamos
f ( −2 ) ,
1
1
2
f ( −2 ) = ⋅ ( −2 ) − ( −2 ) + 100 = ⋅ 4 + 2 + 100 =+
2 2 + 100 =
104
2
2
Reemplazando en =
y
f ' ( a ) ⋅ ( x − a ) + f ( a ) , encontramos la ecuación de la recta tangente.
=
y f '( a ) ⋅ ( x − a ) + f ( a )
y= f ' ( −2 ) ⋅ ( x − ( −2 ) ) + f ( −2 )
y =−3 ⋅ ( x + 2 ) + 104
y =−3 x − 6 + 104
y=
−3 x + 98
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo
Determine la ecuación de la recta normal de la función f ( x ) =
−3 x − 5 x , en el punto
2
x = −3
Solución:
Determinamos primero la pendiente. Derivando la función, se tiene:
d
m = (−3 x 2 − 5 x) =−3 ⋅ 2 x − 5 =−6 x − 5
dx
x = −3 en la pendiente,
f ' ( −3) =−6 ⋅ ( −3) − 5 =18 − 5 =13
Evaluamos
Calculamos
f ( −3) ,
f ( −3) =−3 ⋅ ( −3) − 5 ⋅ ( −3) =−3 ⋅ 9 + 15 =−27 + 15 =−12
2
Reemplazando en =
y
=
y
=
y
−1
⋅ ( x − a ) + f ( a ) , encontramos la ecuación de la recta normal.
f '( a )
−1
⋅( x − a) + f (a)
f '( a )
−1
⋅ ( x − ( −3) ) + f ( −3)
f ' ( −3)
1
y=
− ⋅ ( x + 3) − 12
13
1
3
y=
− x − − 12
13
13
1
159
y=
− x−
13
13
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
APRENDIZAJE ESPERADO
8. Derivan funciones reales de una variable, aplicando la regla del producto y del
cuociente, demostrando conocimiento conceptual y operativo de la derivada y sus
aplicaciones.
Criterio 2.6. Calcula derivadas utilizando la regla del producto.
Recordemos que:
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ( x) ⋅ g´( x) + f ´( x) ⋅ g ( x)
dx
1. Ejemplo:
Si g ( x) =x − 1
y
f ( x) =−1 + x −1 , determine
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] .
dx
Solución:
Si g ( x )= x − 1
⇒ g '( x) =
1
f ( x) =−1 + x −1
⇒ f '( x) =
− x −2
Como,
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ( x) ⋅ g´( x) + f ´( x) ⋅ g ( x)
dx
Reemplazamos,
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = ( −1 + x −1 ) ⋅1 + − x −2 ⋅ ( x − 1)
dx
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] =−1 + x −1 − x −1 + x −2
dx
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] =−1 + x −2
dx
2. Ejemplo
Si g ( x) =
5 + 4x
y
f ( x) =
3 x − 2 x , determine
2
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] .
dx
Solución:
Si g ( x )= 5 + 4 x
⇒ g '( x) =
4
f ( x=
) 3x − 2 x
⇒ f '( x) =
3 − 4x
2
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Como,
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ( x) ⋅ g´( x) + f ´( x) ⋅ g ( x)
dx
Reemplazamos,
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)]= ( 3x − 2 x 2 ) ⋅ 4 + ( 3 − 4 x ) ⋅ ( 5 + 4 x )
dx
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = 12 x − 8 x 2 + 15 + 12 x − 20 x − 16 x 2
dx
d
−24 x 2 + 4 x + 15
[ f ( x) ⋅ g ( x)] =
dx
3. Ejemplo:
Si g ( x) =
x + 3x
y
3
f ( x) =
x 2 − 1 , determine
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] .
dx
Solución:
Si g ( x=
) x + 3x
3
f ( x=
) x2 −1
⇒ g '( x) =
3x 2 + 3
⇒ f '( x) =
2x
Como,
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ( x) ⋅ g´( x) + f ´( x) ⋅ g ( x)
dx
Reemplazamos,
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)]= ( x 2 − 1) ⋅ ( 3x 2 + 3) + 2 x ⋅ ( x3 + 3x )
dx
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)]= 3x 4 + 3x 2 − 3x 2 − 3 + 2 x 4 + 6 x 2
dx
d
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = 5 x 4 + 6 x 2 − 3
dx
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 2.7. Calcula derivadas utilizando la regla del cuociente.
Recordemos que:
d  f ( x)  f ´( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x)
=
2
dx  g ( x) 
[ g ( x)]
1. Ejemplo
Si g ( x) =x − 1
y
f ( x) =x 2 + 3 x + 2 , determine
d  f ( x) 
.
dx  g ( x) 
Solución:
Si g ( x )= x − 1
f ( x) = x + 3x + 2
2
⇒ g '( x) =
1
⇒ f '( x) =
2x + 3
Como,
d  f ( x)  f ´( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x)
=
2
dx  g ( x) 
[ g ( x)]
Reemplazamos,
2
d  f ( x)  ( 2 x + 3) ⋅ ( x − 1) − ( x + 3 x + 2 ) ⋅1
=
2
dx  g ( x) 
[ x − 1]
d  f ( x)  2 x 2 − 2 x + 3x − 3 − x 2 − 3x − 2
=
dx  g ( x) 
x2 − 2x + 1
d  f ( x)  x 2 − 2 x − 5
=
dx  g ( x)  x 2 − 2 x + 1
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Si g ( x ) =
3x + 1
y
f ( x) =
2 x 3 , determine
d  f ( x) 
.
dx  g ( x) 
Solución:
Si g ( x=
) 3x + 1
⇒ g '( x) =
3
f ( x) = 2 x3
⇒ f '( x) =
6x2
Como,
d  f ( x)  f ´( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x)
=
2
dx  g ( x) 
[ g ( x)]
Reemplazamos,
2
3
d  f ( x)  6 x ⋅ ( 3 x + 1) − 2 x ⋅ 3
=
2
dx  g ( x) 
[3x + 1]
d  f ( x)  18 x3 + 6 x 2 − 6 x3
=
2
dx  g ( x) 
[3x + 1]
d  f ( x)  12 x3 + 6 x 2
=
dx  g ( x)  [3 x + 1]2
2
d  f ( x)  6 x ( 2 x + 1)
=
2
dx  g ( x) 
[3x + 1]
3. Ejemplo:
d  f ( x) 
.
dx  g ( x) 
Si g ( x ) =
3x − 5
y
f ( x) =
−7 , determine

2
Solución:
Si g (=
x) 3x − 5
2
f ( x) = −7
⇒ g '( x) =
6x
⇒ f '( x) =
0
Como,
d  f ( x)  f ´( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´( x)
=
2
dx  g ( x) 
[ g ( x)]
Reemplazamos,
2
d  f ( x)  0 ⋅ ( 3 x − 5 ) − ( −7 ) ⋅ 6 x
=
2
2
dx  g ( x) 
3x − 5
d  f ( x) 
42 x
=


dx  g ( x)  3 x 2 − 5 2


Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 2.8. Resuelve problemas contextualizados, relacionados con su especialidad,
utilizando las reglas del producto y del cuociente.
1. Ejemplo:
Determine el ingreso marginal cuando x= 100. Si la ecuación de demanda está dada por:
=
x 1000 − 2 p
Donde x: cantidad y p: precio.
Solución
Lo primero que debemos hacer es despejar el valor de p en función de x quedando lo
siguiente.
=
x 1000 − 2 p
=
2 p 1000 − x
1000 − x
p=
2
=
p 500 − 0,5 x
La función de ingreso se define como la multiplicación del precio (p) por la cantidad (x).
I ( x)= p ⋅ x , reemplazando el valor de p en la función se tiene:
I ( x) =(500 − 0,5 x) ⋅ x , derivando esta función se obtiene el ingreso marginal
I ′( x=
) (500 − 0,5 x) ⋅ x′ + (500 − 0,5 x)′ ⋅ x
I ′( x) =500 − 0,5 x − 0,5 x =500 − x
I ′(=
x) 500 − x
Reemplazando el valor de x=100 en el ingreso marginal se obtiene el resultado final.
I ′(100) = 500 − 100 = 400
R: Cuando las ventas sean de 100 artículos cualquier incremento pequeño en las ventas
provocara un aumento en los ingresos de $400 por artículo.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Si el PNB de una nación al tiempo t es
I=
10 + 0, 4t + 0, 01t 2 (en miles de millones de
dólares) y el tamaño de la población (en millones) es
P =+
4 0,1t + 0, 01t 2 . Determine la tasa de
cambio del ingreso percápita.
Solución:
Denotaremos con la letra y, al ingreso per cápita que es igual al PNB dividido entre el
tamaño de la población.
=
y
I 10 + 0, 4t + 0, 01t 2
=
(miles de dólares), para determinar la tasa de cambio del ingreso per
P 4 + 0,1t + 0, 01t 2
cápita derivaremos. Para esto, utilizaremos la regla del cuociente.
d
(4 +
y 0,1t + 0, 01t 2 ) ⋅ (10 + 0, 4t + 0, 01t 2 )′ − (10 + 0, 4t + 0, 01t 2 ) ⋅ (4 + 0,1t + 0, 01t 2 )′
=
dt
(4 + 0,1t + 0, 01t 2 ) 2
d
(4 +
y 0,1t + 0, 01t 2 ) ⋅ (0, 4 + 0, 02t ) − (10 + 0, 4t + 0, 01t 2 ) ⋅ (0,1 + 0, 02t )
=
dt
(4 + 0,1t + 0, 01t 2 ) 2
dy 1, 6 + 0, 08t + 0, 04t + 0, 002t 2 + 0, 004t 2 + 0, 0002t 3 − 1 − 0, 2t − 0, 04t − 0, 008t 2 − 0, 001t 2 − 0, 0002t 3
=
dt
(4 + 0,1t + 0, 01t 2 ) 2
dy −0, 003t 2 − 0,12t + 0, 6
=
dt
(4 + 0,1t + 0, 01t 2 ) 2
3. Ejemplo
Calcule el costo promedio marginal para la función de costo
C=
( x) 10−6 x3 − 3 ⋅10−3 x 2 + 36 x + 5000 , cuando x=150
Solución
Lo primero que debemos hacer es dividir la función de costo total por el número de
unidades producidas para obtener el costo promedio.
10−6 x 3 − 3 ⋅10−3 x 2 + 36 x + 5000
C ( x) =
x
Si se deriva la función de costo promedio se obtiene el costo promedio marginal:
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
x ⋅ (10−6 x3 − 3 ⋅10−3 x 2 + 36 x + 5000)′ − (10−6 x3 − 3 ⋅10−3 x 2 + 36 x + 5000) ⋅ x′
x2
x ⋅ (3 ⋅10−6 x 2 − 6 ⋅10−3 x + 36) − (10−6 x 3 − 3 ⋅10−3 x 2 + 36 x + 5000) ⋅1
C ′ ( x) =
x2
3 ⋅10−6 x3 − 6 ⋅10−3 x 2 + 36 x − 10−6 x3 + 3 ⋅10−3 x 2 − 36 x − 5000
′
C ( x) =
x2
2 ⋅10−6 x3 − 3 ⋅10−3 x 2 − 5000
C ′ ( x) =
x2
C ′ ( x) =
Reemplazando el valor de x=150 se tiene lo siguiente:
C ′ (150) =
2 ⋅10−61503 − 3 ⋅10−31502 − 5000
= −0, 23
1502
Respuesta: Cuando la producción es de 150 unidades, el costo promedio por unidad
decrece en 0,23 por cada unidad adicional producida.
Criterio 2.10. Deriva funciones reales de una variable, aplicando regla de la cadena.
Recordemos que según la regla de la cadena, se tiene que:
h( x)) ] '
[ g (=
1. Ejemplo:
g ′(h( x)) ⋅ h′( x)
( )
Determine la derivada de g ( x ) = sen x
2
Solución:
Identificando h( x) = x ⇒ h '( x ) =
2x
2
h( x)) ] '
[ g (=
h( x)) ] '
[ g (=
co (sx 2 ) ⋅ 2 x
[ g (h( x))=
]'
2 x ⋅ co (sx 2 )
g ′(h( x)) ⋅ h′( x)
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
g (=
x)
Determine la derivada de
(x
2
+ 1)
3
Solución:
⇒ h '( x) =
2x
Identificando h( x=
) x +1
2
h( x)) ] '
[ g (=
g ′(h( x)) ⋅ h′( x)
[ g (h( x))] '= 3 ( x 2 + 1)
2
⋅ 2x
[ g (h( x))] ' =6 x ⋅ ( x 2 + 1)
2
3. Ejemplo:
g ( x) = e − x
Determine la derivada de
2
Solución:
Identificando h( x) = − x
2
⇒ h '( x) =
−2 x
h( x)) ] ' g ′(h( x)) ⋅ h′( x)
[ g (=
[ g (h( x))=
] ' e− x ⋅ −2 x
[ g (h( x))] ' = −2 xe− x
2
2
Criterio 2.11. Resuelve problemas contextualizados, relacionados con su especialidad,
utilizando la regla de la cadena.
1. Ejemplo:
Determine el ingreso marginal cuando x= 200. Si la ecuación de demanda es:
=
x 4000 − 10 p
Solución:
Lo primero que se tiene que hacer es despejar el valor de p en función de x quedando lo
siguiente.
p 4000 − x
10=
p=
4000 − x
10
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
=
p 400 − 0,1x / () 2
=
p (400 − 0,1x) 2
Sabemos que la función de ingreso se define como la multiplicación del precio (p) por la cantidad
(x).
I ( x)= p ⋅ x , reemplazando el valor de p en la función se tiene.
I ( x) =(400 − 0,1x) 2 ⋅ x , derivando esta función se obtiene el ingreso marginal
I ′( x=
) (400 − 0,1x) 2 ⋅ x′ + (400 − 0,1x) 2 ′ ⋅ x
I ′=
( x) (400 − 0,1x) 2 ⋅1 + [ 2 ⋅ (400 − 0,1x) ⋅ −0,1] ⋅ x
I ′(=
x) (400 − 0,1x) 2 + [ −0, 2 ⋅ (400 − 0,1x) ] ⋅ x
I ′( x=
) 160000 − 80 x + 0, 01x 2 − 80 x + 0, 02 x 2
I ′( x)= 0, 03 x 2 − 160 x + 160000
Reemplazando el valor de x=100 en el ingreso marginal se obtiene el resultado final.
I ′(200) = 0, 03 ⋅ (200) 2 − 160 ⋅ 200 + 160000 = 129200
R: Cuando las ventas sean de 200 artículos cualquier incremento pequeño en las ventas
provocará un aumento en los ingresos de $129.200 por artículo.
2. Ejemplo:
La distancia d recorrida por un objeto en movimiento, en el instante t, está dada por:
3
d = (2t + 1) ⋅ (t + 1) 2 . Determine la velocidad en el instante t.
Solución:
Lo primero es recordar que la velocidad se obtiene con la primera derivada de la función
de distancia es por esta razón que derivaremos la función con respecto a t.
3

d 
2
d′
=
(2t + 1) ⋅ (t + 1) 
dt 

3 ′
3


d ′ = ( 2t + 1) ⋅ (t + 1) 2  + (2t + 1)′ ⋅ (t + 1) 2


Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3
3
−1
3
d ′ = (2t + 1) ⋅ ⋅ (t + 1) 2 + 2 ⋅ (t + 1) 2
2
1
3
3
2
d ′ = (2t + 1) ⋅ ⋅ (t + 1) + 2 ⋅ (t + 1) 2
2
1
3

d ′ = (t + 1) 2 ⋅  ⋅ (2t + 1) + 2 ⋅ (t + 1) 
2

3


d ' = (t + 1) ⋅ 3t + + 2t + 2 
2


1
2
7

d ′ =(t + 1) ⋅ 5t + 
2

1
2
3. Ejemplo:
Para determinar el precio de un modelo de nuevos televisores plasmas, la tienda “JOTO”
utiliza la función:
=
p( x)
1000 x + 50000, con 1 ≤ x ≤ 440 , donde “x” corresponde al número de unidades
demandadas y p(x) es el precio en miles de pesos por unidad.
Determinar:
a) El ingreso marginal cuando la demanda de televisores plasmas es de 200 unidades
x3
)
− 50000 x 2 , ¿Cuál es la utilidad marginal si la producción
b) Si la función de costo es: c ( x=
3
es de 350.000 unidades?
Solución:
a) Sabemos que la función de ingreso se define como la multiplicación del
cantidad (x).
precio (p) por la
I ( x)= p ⋅ x , reemplazando el valor de p en la función se tiene:
I ( x) = ( 1000 x + 50000) ⋅ x , derivando esta función se obtiene el ingreso marginal
=
I ′( x) ( 1000 x + 50000) ⋅ x′ + ( 1000 x + 50000)′ ⋅ x
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
=
I ′( x)
I ′( x) =
1


⋅1000  ⋅ x
1000 x + 50000 ⋅1 + 
 2 1000 x + 50000

500 x
1000 x + 50000 +
1000 x + 50000
Reemplazando el valor de x por 200 se tiene el ingreso marginal si la producción es de 200
unidades.
I ′(200)=
1000 ⋅ 200 + 50000 +
500 ⋅ 200
= $700
1000 ⋅ 200 + 50000
R: Cuando las ventas sean de 200 artículos cualquier incremento pequeño en las ventas
provocara un aumento en los ingresos de $700 por artículo.
b) Sabemos que la función de utilidad se define como la resta entre la función de ingreso y la de
costo.
U=
( x) I ( x) − C ( x)
x3
=
U ( x) ( 1000 x + 50000) ⋅ x − ( − 50000 x 2 )
3
3
x
=
U ( x) ( 1000 x + 50000) ⋅ x − + 50000 x 2
3
Derivando esta función se obtiene la utilidad marginal.
′( x) ( 1000 x + 50000) ⋅ x′ + ( 1000 x + 50000)′ ⋅ x − (
=
U
′( x)
=
U
′( x)
U=
x3
)′ + (50000 x 2 )′
3
1


⋅1000  ⋅ x − x 2 + 100000 x
1000 x + 50000 ⋅1 + 
 2 1000 x + 50000

500 x
− x 2 + 100000 x
1000 x + 50000 +
1000 x + 50000
Tenemos que reemplazar el valor de x= 350
U ′(350)=
1000 ⋅ 350 + 50000 +
500 ⋅ 350
− 3502 + 100000 ⋅ 350= $34.878.409
1000 ⋅ 350 + 50000
R: Cuando las ventas sean de 350 artículos cualquier incremento pequeño en las ventas
provocara un aumento en la utilidad de $34.878.409 por artículo.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 2.13. Calcula derivadas utilizando regla de la función exponencial.
Recordemos
Si f ( x) = a
u( x )
u x
⇒ f ´( x) = u´( x ) ⋅ a ( ) ⋅ ln a
1. Ejemplo:
f ( x) = 2 x −1
2
Determine la derivada de
Solución:
Identificando u ( x=
2x
) x − 1 ⇒ u '( x) =
2
f ´( x) = u´( x ) ⋅ a
u( x )
⋅ ln a
f ´( x) =2 x ⋅ 2 x −1 ⋅ ln 2
2
f ´( x) =x ⋅ 2 x ⋅ ln 2
2
2. Ejemplo:
Determine la derivada de
f ( x) = 5x
3
Solución:
Identificando u ( x) = x
⇒ u '( x) =
3x
3
u x
f ´( x) = u´( x ) ⋅ a ( ) ⋅ ln a
f ´( x) = 3 x ⋅ 5 x ⋅ ln 5
3
3. Ejemplo:
f ( x ) = 3x + x −2
3
Determine la derivada de
2
Solución:
Identificando u ( x) = x + x − 2
3
f ´( x) = u´( x ) ⋅ a
f ´( x) =
( 3x
2
u( x )
2
⇒ u '( x) =3 x 2 + 2 x
⋅ ln a
+ 2 x ) ⋅ 3x + x −2 ⋅ ln 3
3
2
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 2.14. Calcula derivadas utilizando regla de la función logarítmica.
Recordemos,
1
d
⋅ u '( x )
ln(u ( x=
)) 
dx
u ( x)
1. Ejemplo:
( )
Determine la derivada de f ( x) = ln x
Solución:
Sea u ( x) = x
2
⇒ u '( x ) =
2x
2
Luego,
1
⋅ 2x
x2
2
f ´( x) =
x
f ´( x=
)
2. Ejemplo:
Determine la derivada de f=
( x) ln( x + 3)
2
Solución:
Sea u ( x=
) x +3
2
⇒ u '( x ) =
2x
Luego,
1
⋅ (2 x)
x +3
2x
f ´( x) = 2
x +3
=
f ´( x)
2
3. Ejemplo:
Determine la derivada de f ( x) = ln(3 x )
4
Solución:
Sea u ( x) = 3 x
4
⇒ u '( x ) =
12 x3
Luego,
1
⋅12 x 3
4
3x
12 x 3
f '( x) =
3x 4
f '(=
x)
⇒ f '( x) =
4
x
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 2.15. Resuelve problemas contextualizados, aplicando derivadas de funciones
exponenciales y logarítmicas.
1. Ejemplo:
Calcule el costo marginal para la función de costo en x=100.
C ( x) = 50 + 0, 2 x + x 2 ⋅ ln x
Solución:
Lo primero que tenemos que hacer es derivar la función de costo, ya que, como vimos
anteriormente el costo marginal es la primera derivada de la función de costo.
C ′( x)= 0, 2 + x + 2 x ⋅ ln x
Reemplazando el valor de la producción en la ecuación se tiene que:
C ′(100)= 0, 2 + 100 + 2 ⋅100 ⋅ ln100= $1021
R: Cuando la producción sea de 100 artículos, cualquier incremento pequeño en la
producción provocará un aumento en los costos promedios de $1021 por artículo.
2. Ejemplo:
El crecimiento del capital (en U.F), de la empresa Capote está dado por la función:
X
3
C ( X ) = 150 + 60 ⋅ 5 . Donde “x” representa el tiempo expresado en años. ¿Cuál es el
crecimiento marginal del capital en 4 años?
Solución:
Lo primero que tenemos que hacer es derivar la función de crecimiento (y) con respecto a
la variable independiente años (x).
x ′
 x ′ x



dC ( X )
 
=C ′( x) =0 +  60 ⋅ 5 3  =60 ⋅   ⋅ 5 3 ⋅ ln 5
dx
 3 





x
x
1

C ′( x) = 60 ⋅  ⋅ 5 3 ⋅ ln 5 = 20 ⋅ 5 3 ⋅ ln 5
3

x
C ′( x) = 20 ⋅ 5 3 ⋅ ln 5
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Reemplazando el valor de x=4 nos queda:
4
C ′(4) = 20 ⋅ 5 3 ⋅ ln 5 =275 U.F
R: Cuando el tiempo sea de 4 años cualquier incremento pequeño en el tiempo
aumento en el capital de 275 U.F por año.
provocará un
3. Ejemplo:
El gerente comercial de una empresa ha determinado que la cantidad de artículos vendidos
de su producto, depende de la inversión en publicidad x en miles de pesos.
Por lo que la cantidad de artículos vendidos está dada por la función:
=
V ( x) 100000 ⋅ e0,005 x , ¿Cuál es la venta marginal si la inversión en publicidad es de $2500?
Solución
Lo primero que tenemos que hacer es derivar la función de ventas (y) con respecto a la
variable independiente inversión en publicidad (x).
dV ( x)
d
10000 ⋅ e0,005 x  ; V ′( x) = 10000 ⋅ 0, 005 ⋅ e0,005 x
=
dx
dx 
V ′( x=
) 50 ⋅ e0,005 x
Reemplazando el valor de x por $2500 se tiene el valor de la venta marginal es.
V ′(2500) =
50 ⋅ e0,005⋅2500 =
13.416.864 unidades
R: Cuando la inversión sea de 2500 dólares, cualquier incremento pequeño en la inversión
provocará un aumento en las ventas de 13.416.864 unidades por cada dólar.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 2.17. Determina intervalos donde la función es creciente o decreciente, utilizando
primera derivada.
1. Ejemplo:
Determine los intervalos donde la función
f ( x)=
1 2
( x − 4 x − 1) es creciente y decreciente.
2
Solución:
1 2
( x − 4 x − 1)
2
1
f=
'( x)
( 2x − 4)
2
f '( x)= x − 2
f ( x)=
Si f ´( x) > 0 la función es creciente
Si f ´( x) < 0 la función es decreciente
x−2>0
x>2
→x=
]2,∞[ creciente
x−2<0
x<2
→x=
]−∞, 2[ decreciente
2. Ejemplo:
Determine los intervalos donde la función f ( x) =
4 3
x − 4 x + 5 , creciente y decreciente.
3
Solución:
Lo primero es derivar la función y luego igualarla a cero para poder encontrar los puntos
críticos y así analizar la función.
f ′(=
x) 4 x 2 − 4 , igualando a cero se tienen los puntos críticos.
f ′( x)= 4 x 2 − 4= 0 , factorizando se tiene lo siguiente.
4 x 2 − 4 =4 ⋅ ( x 2 − 1) =4 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) =0 , para que esta igualdad sea cero los valores de x
son, x1 =
−1; x2 =
1 (Puntos críticos). Estos dos puntos dividen a la recta en tres intervalos,
] − ∞, −1[; ] − 1,1[; ]1, +∞[ , seleccionamos un punto de prueba en cada intervalo y calculamos el
signo f ′( x) en cada punto de prueba. Los resultados se muestran a continuación:
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Intervalo
Punto de prueba
f ′(=
x) 4 x 2 − 4
f ( x)
] − ∞, −1[
] − 1,1[
-2
4 ⋅ (−2) 2 − 4= 12 > 0
0
3
4 ⋅ (0) 2 − 4 =−4 < 0
Creciente
]1, +∞[
Decreciente
4 ⋅ (3) 2 − 4 = 32 > 0
Creciente
El cuadro nos muestra que la función es creciente en los intervalos ]-∞,-1[ ; ]1, ∞[
+ y es
decreciente en ]-1,1[.
3. Ejemplo:
Determine los intervalos donde la función f ( x ) =x − 6 x + 9 x , creciente y decreciente.
3
2
Solución:
Lo primero es derivar la función y luego igualarla a cero para poder encontrar los puntos
críticos y así analizar la función.
f ′( x) = 3 x 2 − 12 x + 9 , igualando a cero se tienen los puntos críticos.
f ′( x) = 3 x 2 − 12 x + 9 , factorizando se tiene lo siguiente:
3 x 2 − 12 x + 9 =3 ⋅ ( x 2 − 4 x + 3) =3 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 3) =0 , para que esta igualdad sea cero los
valores de x son,=
x1 1;=
x2 3 (Puntos críticos). Estos dos puntos dividen a la recta en tres
intervalos, ] − ∞,1[; ]1, 3[ ; ]3, +∞[ , seleccionamos un punto de prueba en cada intervalo y
calculamos el signo f ′( x) en cada punto de prueba. Los resultados se muestran a continuación:
Intervalo
Punto de prueba
f ′( x) =3 ⋅ ( x 2 − 4 x + 3)
f ( x)
]-∞,1[
-2
3 ⋅ ((−2)2 − 4 ⋅ −2 + 3)= 45 > 0
Creciente
]1,3[
2
3 ⋅ ((2) 2 − 4 ⋅ 2 + 3) =−3 < 0
Decreciente
]3, +∞[
4
3 ⋅ ((4) 2 − 4 ⋅ 4 + 3) = 9 > 0
Creciente
El cuadro nos muestra que la función es creciente en los intervalos]-∞,1[ ; ]3, +∞[ y es
decreciente en ]1,3[.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 2.18. Determina máximos y mínimos relativos de funciones, utilizando el criterio
de la primera derivada.
1. Ejemplo:
Determina máximo y mínimo relativo de la función
4
f ( x=
) 4 x − x3
3
Solución:
Lo primero es derivar la función y luego igualarla a cero para poder encontrar los puntos
críticos y así analizar la función.
f ′( x)= 4 − 4 x 2 , igualando a cero se tienen los puntos críticos.
f ′( x) =−
4 4 x2 =
0 , factorizando se tiene lo siguiente:
4 − 4 x 2 = 4 ⋅ (1 − x 2 ) = 4 ⋅ (1 − x) ⋅ (1 + x) = 0 , para que esta igualdad sea cero los valores de x
son, x1 =
−1; x2 =
1 (Puntos críticos). Estos dos puntos dividen a la recta en tres intervalos,
] − ∞, −1[; ] − 1,1[; ]1, +∞[ , seleccionamos un punto de prueba en cada intervalo y calculamos el
signo f ′( x) en cada punto de prueba. Los resultados se muestran a continuación:
Intervalo
Punto de prueba
f ′( x)= 4 − 4 x 2
f ( x)
]-∞,-1[
-2
4 − 4 ⋅ (−2) 2 =−12 < 0
Decreciente
]-1,1[
0
4 − 4⋅0 = 4 > 0
Creciente
]1, +∞[
3
4 − 4 ⋅ (3) 2 =−32 < 0
Decreciente
El cuadro nos muestra que la función es decreciente en los intervalos ]-∞,-1[ ; ]1, +∞[ y es
creciente en ]-1,1[.
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = -1, f ′( x) es
negativa a la izquierda (f es decreciente) y positiva a la derecha (f es creciente). Por lo tanto, el
punto x = -1 es un mínimo local de f.
Para obtener el valor del mínimo local se reemplaza el x = -1 en la función original.
4
8
f (−1) = 4 ⋅ −1 − (−1)3 = − (Mínimo local)
3
3
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = 1, f ′( x) es positiva
a la izquierda (f es creciente) y negativa a la derecha (f es decreciente). Por lo tanto, el punto x = 1
es un máximo local de f.
Para obtener el valor del máximo local se reemplaza el x = 1 en la función original.
4
8
f (1) = 4 ⋅1 − (1)3 = (Máximo local)
3
3
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Determina máximo y mínimo relativo de la función f ( x) =x − 8 x + 3
4
2
Solución:
Lo primero, es derivar la función y luego igualarla a cero para poder encontrar los puntos
críticos y así analizar la función.
f ′(=
x) 4 x3 − 16 x , igualando a cero se tienen los puntos críticos.
f ′( x) = 4 x3 − 16 x = 0 , factorizando se tiene lo siguiente.
4 x ⋅ ( x 2 − 4) = 4 x ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 2) = 0 , para que esta igualdad sea cero los valores de x son,
x1 =
−2; x2 =
0 : x3 =
2 (Puntos críticos). Estos dos puntos dividen a la recta en cuatro intervalos,
] − ∞, −2[; ] − 2, 0[; ]0, 2[; ]2, +∞[ , seleccionamos un punto de prueba en cada intervalo y
calculamos el signo f ′( x) en cada punto de prueba. Los resultados se muestran a continuación:
Intervalo
]-∞,-2[
Punto de prueba
-3
f ′(=
x) 4 x3 − 16 x
]-2,0[
-1
3
4 ⋅ (−3)3 − 16 ⋅−3 = −60 < 0 4 ⋅ (−1) − 16 ⋅−=1 12 > 0
]0,2[
]2, +∞[
1
3
4 ⋅13 − 16 ⋅1 =−12 < 0 f ′( x) = 4 ⋅ 33 − 16 ⋅ 3 = 60 > 0
Creciente
f ( x)
Decreciente
Creciente
Decreciente
El cuadro nos muestra que la función es decreciente en los intervalos ]-∞,-2[ ; ]0, 2[ y es
creciente en ]-2,0[ ; ]2, +∞ [.
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = -2, f ′( x) es
negativa a la izquierda (f es decreciente) y positiva a la derecha (f es creciente). Por lo tanto, el
punto x = -2 es un mínimo local de f.
Para obtener el valor del mínimo local se reemplaza el x = -2 en la función original.
f (−2) =
(−2) 4 − 8 ⋅ (−2) 2 + 3 =
−13 (Mínimo local)
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = 0, f ′( x) es positiva
a la izquierda (f es creciente) y negativa a la derecha (f es decreciente). Por lo tanto, el punto x = 0
es un máximo local de f.
Para obtener el valor del máximo local se reemplaza el x = 0 en la función original.
f (0) = 04 − 8 ⋅ 02 + 3 = 3 (Máximo local)
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = 2, f ′( x) es
negativa a la izquierda (f es decreciente) y positiva a la derecha (f es creciente). Por lo tanto, el
punto x = 2 es un mínimo local de f.
Para obtener el valor del mínimo local se reemplaza el x = 2 en la función original.
f (2) =(2) 4 − 8 ⋅ (2) 2 + 3 =−13 (Mínimo local)
3. Ejemplo:
Dada la función f ( x=
) x − 6 x , determine si tiene posibles máximos y mínimos.
3
2
Solución:
Lo primero, es derivar la función y luego igualarla a cero para poder encontrar los puntos
críticos y así analizar la función.
f ′(=
x) 3 x 2 − 12 x , igualando a cero se tienen los puntos críticos.
f ′( x) = 3 x 2 − 12 x = 0 , factorizando se tiene lo siguiente.
3 x 2 − 12 x = 3 x ⋅ ( x − 4) = 0 , para que esta igualdad sea cero los valores de x son,
=
x1 0;=
x2 4 (Puntos críticos). Estos dos puntos dividen a la recta en tres intervalos,
] − ∞, 0[; ]0, 4[; ]4, +∞[ , seleccionamos un punto de prueba en cada intervalo y calculamos el
signo f ′( x) en cada punto de prueba. Los resultados se muestran a continuación:
Intervalo
Punto de prueba
f ′(=
x) 3 x 2 − 12 x
f ( x)
]-∞,0[
-1
3 ⋅ (−1) 2 − 12 ⋅ −=
1 15 > 0
Creciente
]0,4[
1
3 ⋅ (1) 2 − 12 ⋅1 =−9 < 0
Decreciente
]4, +∞[
5
3 ⋅ (5) 2 − 12 ⋅ 5 = 15 > 0
Creciente
El cuadro nos muestra que la función es decreciente en el intervalo ]0,4[ y es creciente en
] -∞,0[; ]4, +∞[.
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = 0, f ′( x) es positiva
a la izquierda (f es creciente) y negativa a la derecha (f es decreciente). Por lo tanto, el punto x = 0
es un máximo local de f.
Para obtener el valor del máximo local se reemplaza el x = 0 en la función original.
f (0) = 03 − 6 ⋅ 02 = 0 (Máximo local)
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = 4, f ′( x) es
negativa a la izquierda (f es decreciente) y positiva a la derecha (f es decreciente). Por lo tanto, el
punto x = 4 es un mínimo local de f.
Para obtener el valor del mínimo local se reemplaza el x = 4 en la función original.
f (1) =43 − 6 ⋅ 42 =−32 (Mínimo local)
Criterio 2.19. Resuelve problemas contextualizados de máximos y mínimos relativos,
aplicando el criterio de la primera derivada.
1. Ejemplo:
Considere la función utilidad U(x), definida por:
U ( x)= x −
x2
, donde x representa el número de artículos producidos y U(x) está en dólares.
800
a) Determine el número de artículos para que la utilidad sea máxima.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima?
Solución
a) Lo primero que debemos hacer es derivar la función de utilidad.
U ′( x) =
1−
=
1
2x
x
=
1−
, luego igualamos a cero para encontrar el punto crítico.
800
400
x
= 0;=
x 400 (Punto crítico). Este punto divide a la recta en dos intervalos,
400
] − ∞, 400[; ]400, +∞[ , seleccionamos un punto de prueba en cada intervalo y calculamos el
signo f ′( x) en cada punto de prueba. Los resultados se muestran a continuación:
Intervalo
Punto de prueba
f ′( x) = 1 −
f ( x)
x
400
1−
]-∞,400[
]400,+∞[
200
500
200
=0,5 > 0
400
Creciente
1−
500
=
−0, 25 < 0
400
Decreciente
El cuadro nos muestra que la función es creciente en el intervalo ]- ∞,400 [ y es decreciente en
]4, +∞[.
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = 400, f ′( x) es positiva a la
izquierda (f es creciente) y negativa a la derecha (f es decreciente). Por lo tanto el punto x = 400 es
un máximo local de f.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
b) Para obtener el valor del máximo local se reemplaza el x = 400 en la función original.
f (400) =400 −
4002
=200 dólares (Máximo local)
800
R: Se tiene que producir 400 unidades para obtener una utilidad máxima de 200 dólares.
2. Ejemplo:
Encuentre el precio por unidad “p”, que produce la máxima utilidad conocidas las funciones
de costo y la función de demanda.
Función de costo
C ( x) = 4000 − 40 x + 0, 02 x 2
Función de demanda
=
p 50 −
x
100
Solución
Lo primero es formar la función de ingreso que se obtiene al multiplicar el valor del precio
(p), por la cantidad demandada(x).
x 
x2

I ( x) = p ⋅ x =  50 −
, si ocupamos esta función y le restamos la función de
 ⋅ x = 50 x −
100 
100

costo obtenemos la función de utilidad.
x2
x2
2
U ( x) = I ( x) − C ( x) = 50 x −
− (4000 − 40 x + 0, 02 x ) = 50 x −
− 4000 + 40 x − 0, 02 x 2
100
100
2
U ( x) =
−0, 03 x + 90 x − 4000
Esta función la derivamos quedando lo siguiente:
U ′( x) =
−0, 06 x + 90 , luego igualamos a cero para encontrar el punto crítico.
90
U ′( x) =
−0, 06 x + 90 =
0 ; 0, 06 x =
90; x = =
1500 (Punto crítico).Este punto divide a la
0, 06
recta en dos intervalos, ] − ∞,1500[; ]1500, +∞[ , seleccionamos un punto de prueba en cada
intervalo y calculamos el signo f ′( x) en cada punto de prueba.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Los resultados se muestran a continuación:
Intervalo
]-∞,1500[
Punto de prueba
f ′( x) =
−0, 06 x + 90
f ( x)
500
−0, 06 ⋅ 500 + 90 = 60 > 0
Creciente
]1500,+∞[
1600
−0, 06 ⋅1600 + 90 =−6 < 0
Decreciente
El cuadro nos muestra que la función es creciente en el intervalo ] - ∞,1500 [ y es
decreciente en ] 1500, +∞[.
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos para x = 1500, f ′( x) es
positiva a la izquierda (f es creciente) y negativa a la derecha (f es decreciente). Por lo tanto en el
punto x = 1500 es un máximo local de f.
Para obtener el valor del máximo local se reemplaza el x = 1500 en la función original.
U (1500) =
−0, 03 ⋅15002 + 90 ⋅1500 − 4000 =
63.500 dólares (Máximo local)
Como sabemos que para obtener la utilidad máxima es necesario una producción de 1500
unidades. Remplazando esta producción en la función de demanda.
p = 50 −
1500
= 50 − 15 = 35 dólares
100
R: Para que la utilidad sea máxima el precio tiene que ser de 35 dólares por unidad
3. Ejemplo:
Encuentre el precio por unidad “p”, que produce la máxima utilidad conocidas las funciones
de costo promedio y la función de demanda.
Función de costo promedio
C ( x)= x + 8
Función de demanda
p = 26 − 2 x − 4 x 2
Solución:
Recordando que el costo promedio es la función de costo total dividido por la producción.
C ( x)
, de esta fórmula despejamos el valor de C(X)
x
C=
( x) C ( x) ⋅ x ; C ( x) = ( x + 8) ⋅ x = x 2 + 8 x
C ( x) =
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Luego, formaremos la función de ingreso que se obtiene al multiplicar el valor del precio
(p), por la cantidad demandada(x).
I ( x) = p ⋅ x = (26 − 2 x − 4 x 2 ) ⋅ x = 26 x − 2 x 2 − 4 x 3 , si ocupamos esta función y le restamos la
función de costo obtenemos la función de utilidad.
U ( x) = I ( x) − C ( x) = 2 6x − 2 x 2 − 4 x3 − ( x 2 + 8 x) = 2 6x − 2 x 2 − 4 x3 − x 2 − 8 x
U ( x) =
−4 x3 − 3 x 2 + 18 x
Esta función la derivamos quedando lo siguiente:
U ′( x) =−12 x 2 − 6 x + 18/ : 6 ; U ′( x) =−2 x 2 − x + 3 , luego igualamos a cero para encontrar el
punto crítico.
U ′( x) =−2 x 2 − x + 3 =0 , para resolver esta igualdad aplicaremos la ecuación cuadrática
−b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c
x=
,
2a
1 ± (−1) 2 − 4 ⋅ (−2 ⋅)3 1 ± 25
1 − 5 −4
1+ 5 6
3
x=
=
; x1 =
= =
1 ; x2 =
= =− =−1,5
2 ⋅ (−2)
−4
−4 −4
−4 −4
2
x1 =
−1,5; x2 =
1 (Puntos críticos). Estos dos puntos dividen a la recta en tres intervalos,
] − ∞, −1, 5[; ] − 1, 5,1[; ]1, +∞[ , seleccionamos un punto de prueba en cada intervalo y
calculamos el signo f ′( x) en cada punto de prueba. Los resultados se muestran a continuación:
Intervalo
Punto de prueba
]-∞,-1,5[
]-1,5;1[
-1
0
f ′( x) =−2 x 2 − x + 3 −2 ⋅ (−1)2 − (−1) + 3 = 2 > 0
f ( x)
Creciente
]1, +∞[
2
−2 ⋅ 02 − 0 + 3 = 3 > 0
−2 ⋅ 22 − 2 + 3 =−7 < 0
Creciente
Decreciente
El cuadro nos muestra que la función es decreciente en el intervalo ]1, +∞[ y es creciente
en ] -∞,-1,5[; ]-1,5 ; 1[.
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = -1,5, f ′( x) es
positiva a la izquierda y a la derecha (f es creciente). Por lo tanto en el punto x = -1,5 no existe un
extremo local. Observe además, que en el contexto del problema x no puede ser negativo.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
La función se tiene que analizar en torno a los puntos críticos. Para x = 1, f ′( x) es positiva
a la izquierda (f es creciente) y negativa a la derecha (f es decreciente). Por lo tanto el punto x = 1
es un máximo local de f.
Para obtener el valor del máximo local se reemplaza el x = 1 en la función original.
U (1) =−4 ⋅13 − 3 ⋅ (−1) 2 + 18 ⋅1 =11 dólares (Mínimo local)
Como sabemos que para obtener la utilidad máxima es necesario una producción de 1
unidad. Remplazando esta producción en la función de demanda.
p = 26 − 2 ⋅1 − 4 ⋅12 = 20 dólares
R: Para que la utilidad sea máxima el precio tiene que ser de 20 dólares por unidad
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
APRENDIZAJE ESPERADO
12. Resuelven problemas de optimización sencillos, utilizando el criterio de la segunda
derivada.
Criterio 2.21. Calcula la segunda derivada de funciones.
1. Ejemplo:
Determina la segunda derivada de la función f ( x) = 5 x + 3 x − 6 .
2
5
Solución:
Aplicando las propiedades y técnicas de derivación, se debe derivar la función, y luego se
deriva el resultado.
f '( x) = 5 ⋅ 2 x + 3 ⋅ 5 x 4 = 10 x + 15 x 4
f ''( x) = 10 + 15 ⋅ 4 x 3
f ''( x=
) 10 + 60 x3
2. Ejemplo:
Determina la segunda derivada de la función f ( x) =
−7 x + 4 .
5
Solución:
Aplicando las propiedades y técnicas de derivación, se debe derivar la función, y luego se
deriva el resultado.
f ´( x) =−7 ⋅ 5 x 4 =−35 x 4
f ´´( x) =
−35 ⋅ 4 x 3
f ´´( x) = −140 x 3
3. Ejemplo
Determina la segunda derivada de la función f ( x) =
− x + 3 x + 8 x − 16 x .
6
3
2
Solución:
Aplicando las propiedades y técnicas de derivación, se debe derivar la función, y luego se
deriva el resultado.
f ´( x) =
−6 x 5 + 9 x 2 + 16 x − 16
f ''( x) =
−30 x 4 + 18 x 2 + 16
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Criterio 2.22. Calcula máximos y mínimos relativos de una función, utilizando el criterio de
la segunda derivada
1. Ejemplo:
Determine el máximo o mínimo relativo de la función f ( x=
)
x5 4 x3
, utilizando el criterio de
−
5
3
la segunda derivada.
Solución:
Lo primero es derivar la función y luego igualarla a cero para poder encontrar los puntos críticos
y así analizar la función.
5 x 4 4 ⋅ 3x 2
f ′( x) = −
=
x 4 − 4 x 2 , igualando a cero se tienen los puntos críticos.
5
3
x4 − 4 x2 =
0 , factorizando se tiene lo siguiente.
x 4 − 4 x 2 = x 2 ⋅ ( x 2 − 4) = x 2 ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 2) = 0 , para que esta igualdad sea cero los valores de x
son, x1 =
−2; x2 =
0; x3 =
2 (Puntos críticos)
Luego sacaremos la segunda derivada de la función quedando lo siguiente:
f ′′(=
x) 4 x3 − 8 x
Reemplazando los valores en la segunda derivada se tiene que:
En x1 = −2 ; f ′′( −2) =4 ⋅ ( −2) − 8 ⋅ ( −2) =−16 < 0
3
Esto quiere decir que, como f ′′( x) es negativa cuando x= -2, la función (f(x)) tiene un
máximo local en x =-2. El valor máximo local es:
f (−=
2)
(−2)5 4 ⋅ (−2)3 64
−
=
5
3
15
Cuando x2 = 0 ; f ′′(0) = 4 ⋅ (0) − 8 ⋅ (0) = 0 , falla la prueba de la segunda derivada.
3
Por esta razón utilizaremos la prueba de la primera derivada analizando la función en torno a 0.
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Intervalo
Punto de prueba
f ′( x=
) x4 − 4 x2
f ( x)
]-∞,0[
]0,+∞[
-3
2
(−3) 4 − 4 ⋅ (−3) 2= 45 > 0
= 34 − 4 ⋅ 32 = 45 > 0
Creciente
Creciente
Si observamos el cuadro f ′( x) > 0 , para todo valor distinto de cero es decir la función es
creciente para toda x distinta de cero. Esto quiere decir que x=0 no es un extremo local.
Cuando x3 = 2 ; f ′′(2) = 4 ⋅ (2) − 8 ⋅ (2) = 16 > 0 ,
3
Esto quiere decir que como f ′′( x) es positiva cuando x= 2, la función (f(x)) tiene un
mínimo local en x =2. El valor mínimo local es.
(2)5 4 ⋅ (2)3
64
f (2) =
−
=
−
5
3
15
2. Ejemplo:
Determine el máximo o mínimo relativo de la función f ( x ) =
−3 x + 6 x , utilizando el criterio
2
de la segunda derivada.
Solución:
Lo primero es derivar la función y luego igualarla a cero para poder encontrar los puntos
críticos y así analizar la función.
f ′( x) =
−6 x + 6 , igualando a cero se tienen los puntos críticos.
f ′( x) =−6 x + 6 =0
Se tiene que el valor del prunto critico es x = 1.
Luego, sacaremos la segunda derivada de la función quedando lo siguiente:
f ′′( x) =−6 < 0
Esto quiere decir que, como f ′′( x) es negativa para todos los valores de x, la función (f(x)) tiene
un máximo local en x = 1. El valor máximo local es:
f (1) =−3 ⋅12 6 ⋅1 =3
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Determine el máximo o mínimo relativo de la función f ( x ) =3 x − 2 x 2 −
4 3
x , utilizando el
3
criterio de la segunda derivada.
Solución:
Lo primero es derivar la función y luego igualarla a cero para poder encontrar los puntos
críticos y así analizar la función.
4
f ′( x) =3 − 4 x − ⋅ 3 x 2 =3 − 4 x − 4 x 2 , igualando a cero queda lo siguiente.
3
3 − 4x − 4x2 =
0 , para resolver esta igualdad aplicaremos la ecuación cuadrática
−b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c
x=
2a
4 ± (−4) 2 − 4 ⋅ (−4) ⋅ 3 4 ± 64
4 − 8 −4 1
4 + 8 12 : 4
3
x=
=
; x1 =
= = ; x2 =
=
=− =−1,5
2 ⋅ (−4
)
−8
−8
−8 2
−8
−8 : 4
2
1
3
x1 = ; x2 = − (Puntos críticos)
2
2
Luego, sacaremos la segunda derivada de la función quedando lo siguiente:
f ′′( x) =−4 − 8 x
Reemplazando los valores en la segunda derivada se tiene que:
En x1 =
1
1
1
; f ′′( ) =−4 − 8 ⋅ =−8 < 0
2
2
2
Esto quiere decir que, como f ′′( x) es negativa cuando x1 =
local en x1 =
1
, la función (f(x)) tiene un máximo
2
1
. El valor máximo local es:
2
1
1
1
4 1
5
f ( ) = 3 ⋅ − 2 ⋅ ( ) 2 − ⋅ ( )3 =
2
2
2
3 2
6
En x2 = −
3
3
3
; f ′′( − ) =
−4 − 8 ⋅ (− ) =
8>0
2
2
2
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
Esto quiere decir que, como f ′′( x) es positiva cuando x2 = −
local en x2 = −
3
, la función (f(x)) tiene un mínimo
2
3
. El valor mínimo local es:
2
3
3
4
3
9
 3
f (− ) =3 ⋅  −  − 2 ⋅ (− ) 2 − ⋅ (− )3 =−
2
2
3
2
2
 2
Criterio 2.23. Resuelve problemas sencillos de optimización.
1. Ejemplo:
Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de 32 cm de largo
por 24 de ancho. Para ello se recortará un cuadradito en cada esquina y se doblará. ¿Cuál debe
ser el lado del cuadradito cortado, para que el volumen de la caja resultante sea máximo?
Solución:
Si se corta un cuadradito de lado x, el volumen de la caja es:
V ( x ) = (32 − 2 x) ⋅ (24 − 2 x) ⋅ x = 4 x3 − 112 x 2 + 768 x
V ' ( x ) =12 x 2 − 224 x + 768
V '( x ) = 0
12 x 2 − 224 x + 768 =
0
224 ± (−224) 2 − 4 ⋅12 ⋅ 768
2 ⋅12
x1 = 4,53
x=
x2 = 14,14
V '' (=
x ) 24 x − 224
Reemplazamos x1 , en
V '' (=
x ) 24 x − 224
V '' ( 4,53) =
24 ⋅ 4,53 − 224 =
−115, 25 < 0
Reemplazamos x2 , en
(Máximo)
V '' (=
x ) 24 x − 224
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
V '' (14,14 ) =24 ⋅14,14 − 224 =115,36 > 0
(Mínimo)
R: Entonces el volumen máximo es para x=4,53
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
2. Ejemplo:
Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 metros.
Solución:
En el triángulo el área es:
A∆ =
1
1
⋅ b ⋅ h = ⋅ 2 x ⋅ h = xh
2
2
En el triángulo rectángulo interior más pequeño, podemos utilizar el Teorema de Pitágoras
para obtener una expresión para x:
122 = x 2 + (h − 12) 2
144 = x 2 + h 2 − 24h + 144
x 2 24h − h 2
=
x
=
24h − h 2
Luego, el área del triángulo (denotada po S(h)) y su derivada son iguales a:
S ( h ) =h ⋅ 24h − h 2 = 24h3 − h 4
S '( h)
=
72h 2 − 4h3
2h ⋅ (36h − 2h 2 ) 36h − 2h 2
=
=
2 ⋅ 24h3 − h 4
2h ⋅ 24h − h 2
24h − h 2
Igualando a cero la derivada para encontrar los puntos críticos, se tiene:
S '( h) = 0
36h − 2h 2 =
0
2h (18 − h ) =
0
=
h1 0=
y h2 18
Como,
x=
24h − h 2=
24 ⋅18 − 182=
108=
36 ⋅ 3= 6 3
Base : 2 x = 12 3
Lado : l =
x2 + h2 =
(6 3 )
2
+ 182 =
36 ⋅ 3 + 182 =
432 =
144 ⋅ 3 = 12 3
R: El triángulo isósceles de área máxima es el de base 12 3 y lados 12 3 . (Note que es un
triángulo rectángulo)
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.
Cuaderno de Aprendizaje – 2014
3. Ejemplo:
Se tiene un alambre de 1 metro de longitud y se desea dividir en dos trozos, para formar
con uno de ellos un circulo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que debe tener cada
uno de los trozos, para que la suma de las áreas del círculo y el cuadrado sea la mínima.
Solución:
π r 2 + a2
Largo (perímetro)= 2π r + 4a =
1 de donde podemos expresar a en función de r:
Superficie (s)=
a=
1 − 2π r
4
Luego s lo expresamos en función de r:
1 − 2π r 2
=
s π r2 + (
)
4
d  2  1 − 2π r 
π r + 

dr 
 4 

2π 2 r − π 8π r + 2π 2 r − π
 1 − 2π r   2π 
π
2
=
⋅
−
=
+
=
r
 2π r + 2 ⋅ 
 

4
4
 4   4 

2
=
π
4
(8r + 2π r − 1=)
π
4
( 2r ( 4 + π ) − 1)
Para encontrar máximos o mínimos debemos igualar a 0 la primera derivada
π
4
0
( 2r ( 4 + π ) − 1) =
2r ( 4 + π ) − 1 =0
2r =
r=
1
(4 + π )
1
8 + 2π
Reemplazamos (r)
Trozo de círculo es
 1 
2π ⋅ r = 2π ⋅ 
 = 0, 4399
 8 + 2π 
R: El trozo cuadrado es 0,561
Cuaderno de Aprendizaje, uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción.
Derechos reservados AIEP.