CUANTIFICACIÓN DE LAS PÉRDIDAS ECONÓMICAS POR

CUANTIFICACIÓN DE LAS PÉRDIDAS ECONÓMICAS POR RIESGO
OPERACIONAL ASOCIADAS A EVENTOS EXTREMOS
JUAN GUILLERMO MURILLO GÓMEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE MINAS
2009
CUANTIFICACIÓN DE LAS PÉRDIDAS ECONÓMICAS POR RIESGO
OPERACIONAL ASOCIADAS A EVENTOS EXTREMOS
JUAN GUILLERMO MURILLO GÓMEZ
Trabajo de grado presentado como requisito para optar al título de
Magíster en Ingeniería Administrativa
Director
SANTIAGO MEDINA HURTADO
Doctor en Estadística e Investigación Operativa
Universidad Complutense de Madrid - U.C.M. - España
Profesor tiempo completo en la Universidad Nacional – Medellín
Facultad de Minas - Área de Trabajo: Finanzas
Codirector
LUIS GABRIEL AGUDELO VIANA
Msc. en Estadística. Universidad Nacional
Profesor Tiempo Completo Universidad de Antioquia
Área de Trabajo: Asesor en Modelos de Evolución de Riesgos Financieros
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE MINAS
2009
ii
Nota de aceptación
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Presidente del jurado
__________________________________
Jurado
__________________________________
Jurado
Medellín, Febrero de 2009
iii
CONTENIDO
Pág.
RESUMEN ...............................................................................................................9
ABSTRACT ...........................................................................................................10
INTRODUCCIÓN ...................................................................................................11
1. BASE TEÓRICA DEL MODELO LDA...............................................................15
1.1 INTRODUCCIÓN AL LDA (LOSS DISTRIBUTION APPROACH) EN LA
CUANTIFICACIÓN DE LAS PÉRDIDAS POR RIESGO OPERATIVO .................15
1.2 LDA (LOSS DISTRIBUTION APPROACH) COMO TÉCNICA PARA
MODELAR LA DISTRIBUCIÓN DE PÉRDIDA EN EL RIESGO OPERACIONAL .16
1.3
PRINCIPALES SUPUESTOS DEL LDA ...................................................17
1.4 MODELIZACIÓN DE LA SEVERIDAD............................................................18
1.5 MODELIZACIÓN DE LA FRECUENCIA .........................................................18
1.6 OBTENCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE PÉRDIDAS AGREGADA ...............19
1.7 CÁLCULO DE LA CARGA DE CAPITAL .........................................................20
2. BASE TEÓRICA DE LA TEORÍA DE VALOR EXTREMO...............................22
2.1 TEORÍA DE VALOR EXTREMO PARA EL RIESGO OPERACIONAL ............22
2.2 TEORÍA DE VALOR EXTREMO.....................................................................23
2.2.1 Enfoque POT (peaks over threshold) para la estimación de los parámetros
de la cola en la distribución de pérdidas.. .............................................................30
2.2.1.1 Intervalo de confianza para el índice de cola.. ...........................................30
2.2.2 Estimación del umbral u a través del gráfico de exceso medio.....................31
2.2.3 Cálculo del percentil 99.9% en la cola de la distribución. .............................32
2.2.4
Valor esperado en la cola para un nivel de confianza de 99.9% (ES).: .33
3. ANÁLISIS DE DATOS.......................................................................................34
3.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................34
3.2 DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS DE FRECUENCIA Y SEVERIDAD .............35
3.3 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LOS DATOS.............................36
3.3.1
Prueba de bondad de ajuste para los datos de la frecuencia.. ..............36
3.3.2 Prueba de bondad de ajuste para los datos de la severidad.. ..................37
3.3.3 Elección de las mejores combinaciones para la distribución de pérdida.. ....37
3.3.4
Parámetros de las distribuciones definidas.. ........................................38
3.4 MODELACIÓN DEL LDA ................................................................................39
3.4.1
Estimación de la distribución de pérdidas para el evento de riesgo:
fraude interno.........................................................................................................41
3.4.2
Momentos de la distribución de pérdidas para el evento de riesgo:
fraude interno con distribución de severidad weibull..............................................42
3.5
ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS ESPERADAS Y LAS PÉRDIDAS
INESPERADAS .....................................................................................................43
iv
3.6 ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS DE BAJA FRECUENCIA Y ALTA
SEVERIDAD, APLICACIÓN DEL MÉTODO POT Y LDA. .....................................44
3.6.1
Cálculo del índice de cola (ξ): estimador de Hill (1975). ....................46
3.6.1.1 Intervalo de confianza para el índice de cola. . ..........................................47
3.6.2 Estimación de las pérdidas por encima del percentil 99.9%, por los métodos
LDA y POT.............................................................................................................48
3.6.3 Comparación de las pérdidas esperadas en la distribución de la cola..........51
4. CONCLUSIONES ..............................................................................................53
BIBLIOGRAFÍA .....................................................................................................55
ANEXOS................................................................................................................58
v
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1. Matriz de pérdidas...................................................................................15
Tabla 2. Eventos de riesgo presentados en los últimos cinco años.......................35
Tabla 3. Pérdidas económicas por riesgo operacional en los últimos Cinco años.35
Tabla 4. Ajuste de los eventos de riesgo a una distribución de probabilidad con
variable discreta.....................................................................................................36
Tabla 5. Ajuste de la severidad a una distribución de probabilidad con variable
continua. ................................................................................................................37
Tabla 6. Elección de la distribución de severidad para la distribución de
pérdidas. ................................................................................................................38
Tabla 7. Parámetros de las distribuciones utilizadas para hallar la distribución de
pérdidas. ................................................................................................................39
Tabla 8 . Estimación de las pérdidas. ....................................................................44
Tabla 9. Estimación de los parámetros de las colas de las distribuciones de
pérdidas. ................................................................................................................47
Tabla 10. Estimación de los intervalos de confianza para el parámetro ξ..............47
Tabla 11. Estimación de las pérdidas de baja frecuencia pero de alto impacto
económico con los métodos LDA y POT. ..............................................................49
Tabla 12. Estimación de las probabilidades de ocurrencia de las pérdidas...........50
Tabla 13. Estimación de las pérdidas esperadas en la cola. .................................51
vi
LISTA DE GRÁFICOS
Pág.
Gráfico 1. Distribución de pérdidas. .......................................................................16
Gráfico 2. Distribución de pérdidas. .......................................................................21
Gráfico 3. Distribución de pérdidas agregadas. .....................................................23
Gráfico 4. Modelación del LDA. .............................................................................40
Gráfico 5. Estimación de la distribución de pérdidas para el evento de riesgo:
fraude interno.........................................................................................................41
Gráfico 6. Distribución de pérdidas para fraude interno.........................................42
Gráfico 7. Fd para la pérdida por fraude interno con severidad weibull. ................43
Gráfico 8. Q-Q para la pérdida por fraude interno con severidad weibull. .............43
Gráfico 9. Intervalo de confianza para el índice de cola. .......................................48
Gráfico 10. Estimación de las pérdidas por encima del percentil 99.9%, por los
métodos LDA y POT. .............................................................................................50
Gráfico 11. Comparación de las pérdidas esperadas en la distribución de la cola 52
vii
LISTA DE ANEXOS
Pág.
Anexo A. Distribuciones de pérdida para los eventos de riesgo. ...........................59
Anexo B. Distribuciones de pérdida para los eventos de riesgo y gráficos Q-Q. ...63
Anexo C. Ajuste de distribuciones de probabilidad a las pérdidas en las colas para
los eventos de riesgo. ............................................................................................70
Anexo D. Resumen Ejecutivo. ...............................................................................74
viii
RESUMEN
Título: CUANTIFICACIÓN DE LAS PÉRDIDAS ECONÓMICAS POR RIESGO
OPERACIONAL ASOCIADAS A EVENTOS EXTREMOS
Autor: JUAN GUILLERMO MURILLO GÓMEZ
Director: SANTIAGO MEDINA HURTADO
Codirector: LUIS GABRIEL AGUDELO VIANA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE MINAS
MEDELLÍN
2009
En junio de 2006, el Comité de Basilea publicó las directrices internacionales para
las nuevas normas de adecuación de capital (Basilea II), incluyendo algunas
técnicas de medición avanzada para riesgo operacional. En ese contexto, este
trabajo presenta la combinación de dos técnicas estadísticas para calcular la
pérdida esperada, la pérdida inesperada, las pérdidas catastróficas y el capital
económico, por riesgo operacional, satisfaciendo los criterios de solidez definidos
por Basilea. Dichas técnicas son Loss Distribution Approach (LDA) y Extreme
Value Theory (EVT).
Palabras claves: LDA, EVT, Capital Económico, Severidad, Frecuencia, Cuerpo
de la Distribución, Cola de la Distribución.
9
ABSTRACT
Title: QUANTIFICATION OF THE ECONOMIC LOSSES
OPERATIONAL RISK ASSOCIATED WITH EXTREME EVENTS
CAUSED
BY
Author: JUAN GUILLERMO MURILLO GÓMEZ
Director: SANTIAGO MEDINA HURTADO
Codirector: LUIS GABRIEL AGUDELO VIANA
NATIONAL UNIVERSITY OF COLOMBIA - MEDELLÍN
FACULTY OF MINES
2009
In June of 2006, the Committee of Basilea published the international guidelines for
the new rules of capital adequacy (Basilea II), including some techniques of
advanced measurement for operational risk. In this context, this paper presents the
combination of two statistical techniques to calculate the expected loss, the
unexpected loss, the catastrophic losses and the economic capital, because of
operational risk, satisfying the criteria of solidity defined by Basilea. The above
mentioned techniques are Loss Distribution Approach (LDA) and Extreme Value
Theory (EVT).
Keys Words: LDA, EVT, The Economic Capital, Severity, Frequency, Distribution
Body, Distribution Tail.
10
INTRODUCCIÓN
A finales de 2006, el Comité de Basilea publicó el proyecto de directrices
internacionales para las nuevas normas de adecuación de capital (Basilea II), el
cual propone algunas técnicas de medición avanzada (AMA) del riesgo
operacional. En este documento se presenta un marco para los modelos
cuantitativos conforme a las normas de medición de riesgos en el marco del
Nuevo Acuerdo de Capital de Basilea.
La medición y regulación del riesgo operativo es muy distinta de los otros tipos de
riesgos bancarios, debido a La diversidad, las perturbaciones internas o externas,
Las actividades comerciales y la imprevisibilidad de su incidencia financiera. Si
bien algunos tipos de riesgos operativos son medibles, como el fraude o fallo del
sistema, otros son más complejos de medir por sus características intrínsecas, y
por la ausencia de datos históricos.
En la actualidad, los bancos categorizan en el riesgo operativo las pérdidas en
pérdida esperada (EL), que son provisionadas por la entidad, y las pérdidas
inesperadas (UL), que deben ser cubiertas con capital. Si bien los bancos deben
generar suficientes ingreso para apoyar las pérdidas esperadas, también deben
disponer de capital económico para las pérdidas inesperadas y recurrir a los
seguros para los eventos de baja frecuencia pero con pérdidas extremas. Bajo
esta óptica, se espera que los grandes bancos internacionalmente activos utilicen
modelos internos para estimar el capital para las pérdidas operacionales
inesperadas. Una crítica a la propuesta de Basilea ha sido que las herramientas
para modelar el riesgo operacional están en su infancia, haciendo que la
estimación del capital sea complejo. En un modelo de Fontnouvelle et al (2005)
llevado a cabo con datos aportados por seis bancos internacionalmente activos,
para determinar si las regularidades en los datos de pérdida hacen posible
modelar las pérdidas operacionales, se encontró que hay semejanza en los
resultados de los modelos de pérdida operacional a través de las instituciones, y
que dichos resultados son consistentes con las estimaciones del riesgo
operacional y el capital de los bancos. Dicho modelo comenzó considerando la
cola de la pérdida arrojada por cada banco, la línea de negocio y el tipo de
acontecimiento. Tres resultados emergen claramente de este análisis descriptivo.
Primero, los datos de pérdida para la mayoría de las líneas de negocio y los tipos
de acontecimiento se pueden modelar por una distribución tipo Pareto, pues la
mayor parte de los diagramas de la cola son lineales cuando están expresados a
una escala de registro-registro. En segundo lugar, la medida de la severidad de
los tipos del acontecimiento es constante a través de las instituciones y en tercer
lugar, los diagramas de la cola sugieren que las pérdidas para ciertas líneas de
negocio y tipos de acontecimiento son muy pesadas.
11
Una contribución de Fontnouvelle, et al (2005) fue demostrar cómo el modelo
cuantitativo propuesto por ellos, puede dar lugar a conclusiones más razonables
con respecto al grueso de la cola y al capital económico. Procuraron después
modelar la distribución de las pérdidas usando una distribución paramétrica de la
severidad. Consideraron nueve distribuciones de uso general, cuatro de las
cuales son generales y cinco de los cuales tenían colas pesadas. Las
distribuciones con colas pesadas proporcionan ajustes buenos a los datos de
pérdida, lo que confirma los resultados basados en la inspección visual de los
diagramas de la cola. Las distribuciones de tipo general no proporcionaron
buenos ajustes.
Sin embargo, encontraron que algunas estimaciones del
parámetro para las distribuciones de colas pesadas pueden tener implicaciones
inverosímiles para el grueso de la cola y el capital económico.
Algunos autores plantean que es posible medir el riesgo operacional como una
combinación de métodos cualitativos y establecer un panorama de eventos que
pueden generar grandes pérdidas. Es decir, es necesario medir el riesgo
operacional basados en el comportamiento histórico de los datos pero también hay
que establecer un panorama en el cual se identifiquen los rápidos cambios en el
entorno que rodea la banca. La combinación de métodos, implicaría un proceso
complejo y largo, debido a que se debe empezar por el análisis cualitativo para
después finalizar en la medición cuantitativa. En esta última, el análisis de datos
del riesgo operacional, ha llegado a ser extenso, las distribuciones de frecuencia y
la severidad se están analizando por separado; la severidad la dividen en dos
áreas: el cuerpo, hasta un umbral, y la cola. En el cuerpo es de uso frecuente
construir una función de distribución empírica, o dado los parámetros a veces se
aplica una distribución Lognormal, mientras, la cola se está modelando con teoría
del valor extremo (EVT).
La teoría del valor extremo (EVT) es una alternativa que está siendo explorada por
investigadores, instituciones financieras, y por reguladores. Sin embargo, es bien
sabido que las estimaciones en muestras pequeñas no son muy buenas,
Fontnouvelle, et al (2005). Huisman, et al (2001) han propuesto una técnica de
regresión basada en EVT que corrige la estimación para muestra pequeñas del
parámetro de la cola, aplicaron la técnica anterior a seis bancos, obtuvieron
estimaciones razonables y consistentes con resultados anteriores usando datos
externos, Fontnouvelle et. al. (2003).
Es importante resaltar el análisis estadístico de los datos de pérdida operacional,
ya que, es un nuevo campo. Los resultados del trabajo de Fontnouvelle, et al
(2005) se deben ver como preliminares, esto porque, tienen solamente datos de
un año por cada banco. La investigación también plantea varias técnicas para
investigaciones futuras, mientras posean datos de series de tiempo más allá de un
año. Lo más significativo es que aun cuando en los datos aparecen colas
pesadas, no se puede rechazar formalmente las hipótesis de que las
distribuciones son del tipo Lognormal. Para investigar esta posibilidad, se propone
12
un análisis del umbral de la distribución Lognormal, esta técnica proporciona una
caracterización razonable del comportamiento de la cola de pérdidas
operacionales. También examinaron la frecuencia de pérdidas operacionales.
Consideraron la distribución de Poisson y la distribución binomial negativa como
modelos potenciales para el número de las pérdidas en el que un banco podría
incurrir en el curso de un año. Usando la simulación de Monte Carlo para
combinar las distribuciones de la frecuencia y de la severidad, obtuvieron una
estimación para la distribución de pérdidas operacionales anuales totales. Los
cuantiles de esta distribución de la pérdida agregada se interpretan como
estimaciones de capitales económicos para el riesgo operacional.
Dado lo anterior, las estimaciones para modelar los datos internos de pérdida son
consecuentes con estimaciones de capitales usando los datos externos de
Fontnouvelle et. al. (2003). Los resultados implican que para una variedad de
observaciones con respecto a la frecuencia y la severidad de pérdidas
operacionales, el nivel del capital requerido para el riesgo operacional para el
típico banco en una muestra estaría en un intervalo del 5 al 9 por ciento del
requisito de capital regulador mínimo del banco. Esta gama también parece
constante con los 12 a 15 por ciento de capital regulador mínimo que la mayoría
de los bancos están asignando actualmente al riesgo operacional, dado que los
modelos de los bancos tienen un sistema más amplio de entradas que los
usados en este análisis, incluyendo, los datos externos y los riesgo cualitativos.
Otra técnica que se está aplicando en la medición del riesgo operacional es una
aproximación a la forma para el VaR operacional, en el cual las altas pérdidas de
la severidad (es decir, pérdidas sobre un alto umbral) siguen una distribución
generalizada de Pareto (GPD) B¨ocker, ( 2006)
El riesgo es la probabilidad de ocurrencia de un evento negativo debido a la
vulnerabilidad del sistema y a la complejidad de las operaciones financieras,
siendo estas origen de una gama de sucesos, de estos, algunos se caracterizan
por su baja frecuencia y alta severidad cuyos efectos suelen ser devastadores
económicamente, como plantea(González, 2004) en estos casos, en los que la
pérdida es elevada, la metodología empleada es la de estudiar la cola de la
distribución a partir de la Teoría de Eventos Extremos, aunque ello exige un
caudal de información, que probablemente para una entidad en particular no sea
suficiente, por lo que sería preciso recurrir a información externa de un conjunto de
entidades de crédito. Los clientes, los productos y las prácticas de negocio son el
tipo más alto de acontecimiento en la severidad, mientras que las prácticas
externas de fraude son la severidad más baja, Stoneburner, et al (2002).
Con los argumentos presentados anteriormente, es imprescindible que una
entidad financiera posea un modelo estadístico para cuantificar el riesgo
operacional a partir de eventos de baja frecuencia y alta severidad que calcule la
pérdida esperada, la pérdida inesperada, el capital regulatorio y que satisfaga los
criterios de solidez definidos por Basilea.
13
El objetivo de esta tesis es realizar una medición del riesgo operacional en una
línea de negocio, comparando dos metodologías, LDA y POT. Lo anterior para
calcular las pérdidas esperadas, las pérdidas inesperadas, y las pérdidas por
encima de umbral (percentil 99.9%). Se identificarán las características
particulares en la medición del riesgo operacional de cada metodología, para ello
se dividirá la medición en dos partes, la primera abarcara la medición de las
pérdidas esperadas e inesperadas en el cuerpo de la distribución de probabilidad
de pérdida con la metodología LDA, y la segunda, será la medición de las pérdidas
esperadas e inesperadas en la distribución de la cola, aplicando LDA y POT, estas
mediciones son de gran importancia, porque allí se concentran las pérdidas de
baja frecuencia pero de alto impacto económico que toda entidad financiera debe
considerar en la gestión del riesgo operacional.
14
1. BASE TEÓRICA DEL MODELO LDA
1.1 INTRODUCCIÓN AL LDA (LOSS DISTRIBUTION APPROACH) EN LA
CUANTIFICACIÓN DE LAS PÉRDIDAS POR RIESGO OPERATIVO
Para cubrir pérdidas económicas por riesgo operativo (OR) los bancos deben
calcular la carga de capital, según se estableció en el Nuevo Acuerdo de Capital
de Basilea (Basilea II). En virtud de esto, se plantean los modelos de medición
avanzada (AMA) como enfoques sofisticados para medir la exposición a este tipo
de riesgo. A los bancos se les dará flexibilidad para desarrollar su propio modelo
para el cálculo del capital. Esta libertad, en opinión de Basilea, permitirá una
rápida evolución en las prácticas utilizadas para la medición de este riesgo. En
principio, sólo se exige que las actividades de un banco se clasifiquen en una
matriz bidimensional de 56 celdas, en la que las pérdidas operativas son producto
de las ocho líneas de negocio por los siete tipos de riesgo y cuya asignación de
capital es entonces la suma de las pérdidas esperadas y las pérdidas inesperadas,
lo cual es equivalente a calcular el VaR operacional con un nivel de confianza en
cada celda de la matriz.
Tabla 1. Matriz de pérdidas.
Líneas de negocio
Eventos de riesgo
L1
Fraude Interno
Fraude Externo
Relaciones
laborales
Clientes
Daños a activos
físicos
Fallas
tecnológicas
Ejecución y
administración de
procesos
Total
L2
…
L8
Total
VaR(i, j )
∑VaR(Ei)
∑VaR( Lj)
∑∑VaR ( i, j )
7
8
i =1 j =1
Fuente: Elaboración propia del autor.
Uno de los aspectos más importantes en el cálculo del capital económico, es
garantizar que abarca todas las fuentes de riesgo, por tal motivo, la cuantificación
del riesgo operativo debe estar sustentada en una metodología que cumpla los
requisitos establecidos por Basilea. En este orden de ideas, el comité de Basilea
15
introduce tres enfoques para la cuantificación del riesgo operacional, dentro de los
cuales, la opción más sofisticada es Advanced Measurement Approach (AMA). El
enfoque de medición avanzada permite una flexibilidad en la aplicación de las
metodologías de evaluación del riesgo operacional, razón por la cual, una de las
técnicas heredadas del cálculo actuarial más utilizadas en la medición del cuerpo
de la distribución de pérdidas, es el LDA (Loss Distribution Approach). La
aplicación del LDA, ha sido compleja debido a la escases de datos y a la
rigurosidad de la normatividad existente en cuanto a la exposición por riesgo
operacional. El principal objetivo de un modelo LDA es proporcionar las
estimaciones de pérdida, tanto por línea de negocio como por evento, dicha
distribución de pérdida es producto de los datos de severidad y frecuencia cuyo
origen está en los eventos de riesgo. Esta técnica ha sido utilizada en los trabajos
de A. Frachot, A, et al (2001); Lee Ch (2001); Cruz, M, (2002); Frachot, A, et al
(2003); Frachot, A, et al (2004); Shevchenko, P, (2005); Nešlehová, J, et al (2006);
Akkizidis, I, et al (2006); Klaus Böcker (2006); Kabir Dutta, y Jason Perry (2006);
Degen, M et al (2006); Falko Aue, y Michael Kalkbrener (2007); Anna Chernobai y
Svetlozar T. Rachev (2007) con gran éxito en la modelación del cuerpo(ver
gráfico) de la distribución de pérdidas, la cual es fundamental para la matriz de
cálculo de capital propuesta por Basilea.
Gráfico 1. Distribución de pérdidas.
Fuente: Elaboración propia del autor.
1.2
LDA (LOSS DISTRIBUTION APPROACH) COMO TÉCNICA PARA
MODELAR LA DISTRIBUCIÓN DE PÉRDIDA EN EL RIESGO OPERACIONAL
El LDA consiste, básicamente, en la estimación de una curva de pérdidas por
riesgo operacional a partir de los datos internos (o externos) de la entidad. Esto se
efectúa procesando de forma separada la frecuencia de los eventos y la severidad
de las pérdidas. A partir de estas dos funciones (frecuencia y severidad) se
16
obtiene, mediante simulación de Montecarlo, la función de probabilidad de
pérdidas total por riesgo operacional, que a su vez permite obtener los valores de
la pérdida esperada y de la pérdida inesperada.
1.3
PRINCIPALES SUPUESTOS DEL LDA
En el LDA la pérdida total se define como una suma aleatoria de las distintas
Pérdidas:
7
S =∑
i =1
8
∑s
j =1
[1]
ij
Donde sij es la pérdida total en la celda i, j de la matriz de pérdidas. Las sij se
calculan como:
∑X
n
sij =
N
[2]
N =1
Con N como una variable aleatoria que representa el número de eventos de riesgo
en la celda i, j (frecuencia de los eventos) y X N es el monto de la pérdida en la
celda i, j (Severidad del evento). En consecuencia, las pérdidas son resultado de
dos diferentes fuentes de aleatoriedad, la frecuencia y la severidad.
En esencia el modelo LDA tal como se utiliza en el riesgo operativo o en ciencias
actuariales asume los siguientes supuestos dentro de cada clase de riesgo:
•
N y X N la variable frecuencia es una variable aleatoria independiente de la
variable aleatoria severidad.
• X N las observaciones de tamaño de pérdidas (severidad) dentro de una misma
clase se distribuyen idénticamente.
• X N las observaciones de tamaño de pérdidas (severidad) dentro de una misma
clase son independientes.
El primer supuesto admite que la frecuencia y la severidad son dos fuentes
independientes de aleatoriedad. Los Supuestos dos y tres, significa que dos
diferentes pérdidas dentro de la misma clase son homogéneas, independientes e
idénticamente distribuidas, Frachot et al (2004).
17
1.4 MODELIZACIÓN DE LA SEVERIDAD
La primera etapa, consiste en ajustar distintos modelos de distribución
probabilística a una serie datos históricos de pérdidas operacionales desglosadas
por su tipología para una determinada línea de negocio y evento de pérdida. En
definitiva, se trata de encontrar la distribución de probabilidad que mejor se ajuste
a los datos observados y estimar sus parámetros. Lee, Ch (2001); Cruz, M (2002);
González, M (2004); Shevchenko, P (2005); Carrillo (2006), proponen la
distribución Lognormal o la de Weibull como las más recomendables a la hora de
modelizar la severidad si bien, en la práctica ninguna distribución simple se ajusta
a los datos satisfactoriamente; de ahí la necesidad de recurrir a una mixtura de
distribuciones para variables aleatorias continuas.
Sea X el monto de la pérdida en la celda i, j de la matriz de pérdidas
(Severidad del evento). Variable que sigue una distribución de probabilidad Fij ( x )
la cual se define como:
Fij ( x ) = Pr o ( X ij ≤ x )
[3]
1.5 MODELIZACIÓN DE LA FRECUENCIA
La frecuencia es una variable aleatoria discreta que representa el número de
eventos observados durante un periodo de tiempo establecido, con una
determinada probabilidad de ocurrencia. Lee, Ch (2001); Cruz, M (2002);
González, M (2004); Shevchenko, P (2005) proponen la distribución de Poisson
como una candidata con muchas ventajas a la hora de modelizar dicha variable,
también recomiendan contemplar otras alternativas como la Binomial o la Binomial
Negativa.
Sea
N ij
una variable aleatoria que representa el número de eventos de riesgo en
la celda i, j de la matriz de eventos (frecuencia de los eventos). Variable que
sigue una distribución de probabilidad pij ( n ) la cual se define como:
pij ( n ) = Pr o ( Nij = n )
18
[4]
1.6 OBTENCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE PÉRDIDAS AGREGADA
Una vez caracterizadas las distribuciones de severidad y frecuencia, el último paso
del proceso consiste en obtener la distribución de pérdidas agregada (LDA), para
lo cual se tiene que proceder a la combinación de ambas. A dicho proceso
estadístico se le denomina convolución (una convolución es un operador
matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en
cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen, f y una versión
trasladada e invertida de g.).
Como
N ij
es una variable aleatoria que representa el número de eventos en la
celda i, j de la matriz de eventos, para un plazo comprendido entre t y t + τ con
una distribución de probabilidad asociada pij ( n ) y X ij otra variable aleatoria que
expresa la cuantía de la pérdida para un determinado evento con una función de
densidad asociada Fij ( x ) . Asumiendo la independencia entre la frecuencia y la
severidad, entonces la pérdida total para un tipo de evento en el intervalo temporal
( t , t + τ ) adopta la expresión dada en la ecuación [2]
La función de distribución de la variable
sij se obtiene por:
⎧∞
n*
⎪∑ pij ( n ) × F ( x )
S ( x ) = ⎨ n =1
⎪ p ( n)
⎩ ij
para x > 0
para x = 0
Donde, F(x) es la probabilidad de que la cantidad agregada de n pérdidas sea x.
El asterisco denota la convolución en la función F, y F n* es n -veces la convolución
de F consigo misma. Para la obtención de S(x) se utilizan dos métodos:
•
Algoritmo de Panjer: Se trata de un procedimiento recursivo, que exige, como
paso previo, la discretización de la severidad. Si la función de masa de la
frecuencia puede ser escrita como:
b⎞
⎛
pk = p( k −1) ⎜ a + ⎟ , k ∈ Z +
k⎠
⎝
Donde pk representa la probabilidad de que el número de eventos sea k y a y b
constantes, el procedimiento recursivo viene dado por:
19
g ( x ) = p(1) f ( x ) +
∫
x
0
y⎞
⎛
⎜ a + b ⎟ f ( y ) g ( x − y ) dy x > 0
x⎠
⎝
Donde, g(x) es la función de densidad de G(x).
La limitación de este algoritmo radica en que sólo es válido para distribuciones de
probabilidad discretas. Ello implica que la severidad, al ser una variable continua,
debe ser discretizada antes de aplicar dicho procedimiento. Sin embargo, el
principal inconveniente estriba en la complejidad a la hora de realizar las
convoluciones en la práctica, lo cual requiere bastante tiempo.
•
Enfoque de Simulación por Montecarlo: Estima la distribución de pérdidas
agregada utilizando un número suficiente de escenarios hipotéticos, generados
aleatoriamente, a partir de las distribuciones de severidad y frecuencia.
1.7 CÁLCULO DE LA CARGA DE CAPITAL
Después de calibrar las distribuciones de probabilidad de la frecuencia y de la
severidad, el cálculo de la carga de capital es simple. Para ello es necesario
precisar algunos conceptos sobre la carga de capital y la forma de calcularla.
Si N es el número de eventos (aleatorio), y las pérdidas agregadas son
7
S =∑
i =1
8
∑s
j =1
ij
[1] , Donde sij es la pérdida total en la celda i, j de la matriz
de pérdidas. Las sij se calculan como:
∑X
n
sij =
N
[2]
N =1
Entonces se tienen las siguientes definiciones:
Definición 1 (OpVaR): La carga de capital es el percentil 99.9% de la distribución
de probabilidad de pérdida.
Pr {S > OpVaR} = 0.1%
20
Definición 2 (Optar-Únicamente pérdidas inesperadas): Éste es el OpVaR
anterior del cual se restan las pérdidas esperadas. Basilea acepta esta definición
siempre y cuando la entidad haya provisionado las pérdidas esperadas.
Pr {S > OpVaR − E ( S )} = 0.1%
⎡N
⎤
Donde E( S ) son las pérdidas totales esperadas, o sea: E ( S ) = E ⎢∑ X i ⎥
⎣ i =0 ⎦
Gráfico 2. Distribución de pérdidas.
Fuente: Elaboración propia del autor.
21
2. BASE TEÓRICA DE LA TEORÍA DE VALOR EXTREMO
2.1 TEORÍA DE VALOR EXTREMO PARA EL RIESGO OPERACIONAL
Existe, bajo Basilea II, un conjunto de métodos cuantitativos para el cálculo de la
carga de capital por riesgo operativo, pero no hay consenso sobre los mejores
métodos a emplear. Una técnica que se ha vuelto potencialmente atractiva, es la
Teoría de Valor Extremo (EVT), la cual no parece ser directamente aplicable a
satisfacer las estrictas normas establecidas por Basilea, esto se debe a que
simplemente no hay suficientes datos.
Los métodos estándar de modelización matemática del riesgo utilizan el lenguaje
de Teoría de la probabilidad. Dichos riesgos son variables aleatorias que pueden
ser considerados individualmente, o vistos Como parte de un proceso estocástico.
Los potenciales valores de una situación de riesgo tienen una distribución de
probabilidad para las pérdidas derivadas de los riesgos, pero hay un tipo de
información que está en la distribución, llamada “Eventos extremos”, los cuales
se producen cuando un riesgo toma valores en la cola derecha de la distribución
de pérdidas.
En EVT hay dos tipos de enfoques que generalmente se aplican, los cuales se
enuncian a continuación:1
•
El más tradicional es el modelo de bloques máximos (block-máxima), estos son
modelos para grandes observaciones recolectadas a partir de grandes
muestras
de
observaciones
idénticamente
distribuidas.
Consiste
fundamentalmente en partir las observaciones por bloques y en estos
encontrar el máximo. Este método lleva a producir un error por la mala
escogencia del tamaño de los bloques.
•
Un más moderno y poderoso grupo de modelos son aquellos de exceso de
umbral (thershold exceedances), estos son modelos para todo tamaño de
observaciones que exceden algún nivel superior (high level), y son en general
los más utilizados en aplicaciones prácticas debido a su uso eficacia en el
manejo de los valores extremos. Al igual que el método block-máxima, esté
lleva a un error en la mala escogencia del umbral. Los métodos de umbrales
son más flexibles que los métodos basados en el máximo anual porque
primero toman todos los excedentes por arriba de un umbral, adecuadamente
alto, y de esta manera se usan mucho más datos.
1
VELANDIA GONZÁLEZ, Oscar E. Director; MORENO G., Vladimir. Comportamiento asintótico
del var como medida de valor extremo, de mayo de 2007. p. 2 – 21.
22
Como se expresa arriba, las grandes pérdidas por encima de un umbral
establecido, son difíciles de clasificar en el Acuerdo de Basilea II, no obstante, es
posible identificar las características de la distribución de pérdidas y desarrollar un
modelo de riesgo mediante la selección de una determinada distribución de
probabilidad, la cual se puede estimar a través de análisis estadístico de datos
empíricos. En este caso, la EVT es una herramienta que trata de darnos la mejor
estimación posible de la zona de la cola de la distribución de pérdidas, incluso en
ausencia de datos históricos es útil, ya que, puede corregir algunas deficiencias,
mediante la definición del comportamiento empírico de las pérdidas, basadas en el
conocimiento preciso de la distribución asintótica del comportamiento de las
pérdidas.
2.2 TEORÍA DE VALOR EXTREMO2
Si una función de distribución de pérdidas es tratada con los métodos estadísticos
convencionales, el efecto del comportamiento de la curva sobre el cálculo de los
parámetros, no permite que los modelos convencionales se adapten con precisión
a los datos obtenidos en la cola (ver gráfico 3). Una solución a este problema es
no tomar en consideración el cuerpo de la distribución (conformado por las
pérdidas esperadas y las inesperadas), por ende, el análisis se centraría sólo en
las grandes pérdidas establecidas por encima de un umbral. En la práctica, los
distintos tipos de pérdidas de acuerdo al volumen económico, se tratan por
separado. Pero si el interés es obtener información sobre algunos valores medios
de la distribución, el análisis convencional o empírico de los datos ubicados en el
cuerpo de la distribución, puede ser útil para tal efecto.
Gráfico 3. Distribución de pérdidas agregadas.
Fuente: Nuevo Acuerdo de capital de Basilea.
2
MOSCADELLI, M. The modelling of operational risk: experience with the analysis of the data
collected by the Basel Committee, 2004. p. 26.53.
23
Ahora, en cuanto a la zona de la cola, un buen número de diferentes distribuciones
de probabilidad podrían ser consideradas; por ejemplo, distribuciones como la
Lognormal o Pareto son comúnmente aceptadas en el campo de los seguros para
el cálculo de grandes pérdidas por reclamaciones. Sin embargo, en este trabajo,
se utilizará para las pérdidas de baja frecuencia pero de alto impacto económico
(aquellas que se encuentran por encima del percentil 99.9%, ver gráfico 3), la
teoría de valor extremo (EVT), la razón radica en la solidez de sus cimientos en la
teoría matemática, además, es un enfoque científico y satisfactorio en el
tratamiento de eventos de poca frecuencia y de grandes pérdidas. Dicha
metodología, se ha aplicado ampliamente en la ingeniería de estructuras, la
oceanografía, la hidrología, Fiabilidad, el control total de la calidad, estudios de
contaminación, la meteorología, la fuerza material, el tráfico en carretera y, más
recientemente, en el ámbito financiero y de seguros. Para una completa fuente
Sobre la aplicación de la EVT a las finanzas y los seguros, véase Embrechts et al.,
1997, y Reiss Y Thomas, 2001.
En general, las pérdidas por riesgo operativo, presentan sin duda, características
análogas a las pérdidas presentadas en los ámbitos mencionados (por ejemplo, se
pueden encontrar en los seguros, reaseguros, la fiabilidad y el control total de la
calidad). De hecho, los datos de pérdida para el riesgo operativo parecen ser
caracterizados por dos espectros: el primero, impulsado por la alta frecuencia y el
bajo impacto de los eventos, constituyen el cuerpo de la distribución y se refiere a
las pérdidas esperadas e inesperadas según Basilea; el segundo, impulsado por la
baja frecuencia y el alto impacto de los eventos, constituye la cola de la
distribución y se refiere a las pérdidas catastróficas, ósea aquellas que están por
encima del percentil 99.9%. En la práctica, los datos que arroja la distribución de
pérdida para el cuerpo y la cola no necesariamente pertenecen a la misma
distribución, pero pueden presentar distribuciones pertenecientes a la misma
familia, en la mayoría de las veces su comportamiento es tan diferente que es
difícil identificar un único modelo tradicional que pueda, describir al mismo tiempo,
en forma exacta, los dos espectros para los datos de pérdida.
En consecuencia, en todos los casos en los que la cola de la distribución de
pérdidas es pesada, la EVT parece ser un instrumento útil para investigar las
grandes pérdidas, debido a su doble propiedad de centrar el análisis únicamente
en la zona de la cola y el tratamiento de grandes pérdidas con un enfoque
científico, a diferencia de los métodos tradicionales, no se requiere la hipótesis
sobre la naturaleza de la distribución de probabilidad de las observaciones
originales, que en general se desconoce. El método usual es el desarrollo de
modelos basados en la teoría asintótica, un tipo de teorema central del límite
versión valores extremos derivados en un principio por Fisher y Tippet (1928) de
una manera heurística, y luego desde un punto de vista más riguroso por
Gnedenko (1943), que establece que hay solamente tres tipos de distribuciones
limites de los máximos anuales en secuencias aleatorias estacionarias.
24
Como se mencionó anteriormente, en EVT hay dos enfoques que se pueden
aplicar a los datos de pérdida de una distribución de probabilidad. El primer
enfoque se refiere a los máximos (o Mínimo) valores que toma una variable en
períodos sucesivos, por ejemplo, meses o años. Estas observaciones constituyen
los fenómenos extremos, también llamado bloques (o por periodo) máximos. En el
centro de este enfoque hay "tres tipos de teorema", Fisher y Tippet, (1928), que
afirman que sólo hay tres tipos de distribuciones que pueden plantearse como
distribuciones limites (limiting distributions) de valores extremos en muestras
aleatorias, dichas distribuciones son del tipo Weibull, Gumbel o Frechet. Este
resultado es muy importante, ya que la distribución asintótica de los máximos
siempre pertenece a una de estas tres distribuciones, independientemente de la
distribución original. Por lo tanto, la mayoría de las distribuciones utilizadas en
finanzas y en las ciencias actuariales pueden dividirse en tres clases, en función
de sus colas pesadas:
•
Distribuciones de colas delgadas (light-tail distributions): Con momentos
finitos y colas que convergen a la curva de Weibull o Beta.
•
Distribuciones de colas medias (medium-tail distributions): Para todos los
momentos finitos y cuya función de distribución acumulada disminuye
exponencial en las colas, al igual que la curva de Gumbel, Normal, Gamma o
LogNormal.
•
Distribuciones de colas gruesas (heavy-tail distributions): Cuyas funciones
de distribución acumulada disminuyen con fuerza en las colas, al igual que la
curva de Frechet , T de Student, Pareto, LogGamma o Cauchy.
Las distribuciones Weibull, Gumbel y Frechet pueden ser representadas en un
modelo con tres parámetros, conocido como Generalized Extreme Value
distribution (GEV):
−1
⎧
⎛ ⎛
ξ ⎞
x
µ
−
⎞
⎛
⎞
⎪exp ⎜ − ⎜1 + ξ ⎜
⎟
⎟
⎜ ⎝
σ ⎠ ⎠⎟ ⎟
⎪
⎝
⎝
⎠
GEVξ , µ ,σ ( X ) = ⎨
⎪
⎛
⎛ x − µ ⎞⎞
⎪exp ⎜ − exp ⎜ −
⎟⎟
⎝ σ ⎠⎠
⎝
⎩⎪
Con 1 + ξ x > 0
En donde los parámetros corresponden a:
25
si ξ ≠ 0
[1]
si ξ = 0
µ parametro de posicion
σ
parametro de escala
parametro de forma
ξ
El parámetro de forma, indica el espesor de la cola de la distribución. Si el
parámetro es grande, la cola de la distribución es más gruesa.
El segundo enfoque en EVT es el método llamado “Peaks Over Threshold (POT)”,
adaptado para el análisis de datos más grande que presentan umbrales altos.
El componente de severidad en el método POT se basa en una distribución
(Generalized Pareto Distribution - GPD), cuya función de distribución acumulada
es expresada por dos parámetros:
−1
⎧ ⎛
x ⎞⎞ ξ
⎛
⎪1 − ⎜1 + ξ ⎜ ⎟ ⎟
⎪
⎝σ ⎠⎠
GPDξ ,,σ ( X ) = ⎨ ⎝
⎪
⎛ x⎞
⎪1 − exp ⎜ − σ ⎟
⎝
⎠
⎩
si ξ ≠ 0
[ 2]
si ξ = 0
Donde: X ≥ 0 si ξ ≥ 0, 0 ≤ X ≤ −σ
ξ si ξ < 0
Y ξ , σ son parámetros de forma y escala respectivamente.
Es posible ampliar la familia de las distribuciones GPD mediante la adición de un
parámetro de posición µ. En este caso, la GPD se define como:
−1
⎧ ⎛
x − µ ⎞⎞ ξ
⎛
⎪1 − 1 + ξ ⎜
⎟⎟
⎪ ⎜⎝
⎝ σ ⎠⎠
GPDξ , µ ,σ ( X ) = ⎨
⎪
⎛ x−µ ⎞
⎪1 − exp ⎜ − σ ⎟
⎝
⎠
⎩
si ξ ≠ 0
[3]
si ξ = 0
La interpretación de ξ en la GDP es la misma que en la GEV, ya que toda la
información sobre la cola de la distribución original (desconocida) se inserta en el
Parametro ” The maxima of samples of events from GPD are GEV distributed with
shape parameter equal to the shape parameter of the parent GPD. There is a
simple relationship between the standard GDP and GEV such that
GPD ( X ) = 1 + log GEV ( X ) if log GEV ( X ) > −1 ”.
Cuando ξ <0 la GPD es conocida como la distribución de Pareto "Tipo II"; cuando
ξ = 0 la GPD corresponde a la distribución exponencial; cuando ξ > 0 es la
26
probabilidad más importante para los datos por riesgo operativo, debido a que el
GPD toma la forma común de la distribución de Pareto con el índice de cola α = 1 /
ξ e indica la presencia de cola pesada; en este caso en particular hay una
relación directa entre ξ y los momentos finitos de la distribución:
E ( x k ) = ∞ si k ≥ 1
[ 4]
ξ
Por ejemplo, si ξ ≥ 0,5 la GPD tiene varianza infinita; si ξ ≥ 1 no hay momentos
finitos, ni siquiera la media. Esta propiedad tiene una consecuencia directa para el
análisis de datos: de hecho, el comportamiento de los datos en la cola puede ser
fácilmente detectado directamente con la estimación del parámetro de forma ξ .
Sea FX ( X ) una función de distribución (desconocida) de una variable aleatoria
X (con un punto final X F a la derecha) que describe el comportamiento por riesgo
operativo en una línea de negocio y sea Fu (Y ) una distribución de exceso con un
umbral u . La distribución de exceso puede ser definida como una función de
distribución condicional, la cual es:
F ( x ) − Fx ( u )
Para y = x − u > 0
Fu ( y ) = P ( X − u ≤ y / X > u ) = x
[ 5]
1 − Fx ( u )
Esto representa la probabilidad de que una pérdida supere el umbral u en una
cantidad de más, habida cuenta de que se supere el umbral.
La teoría de Balkema-De Haan, (1974), y Pickands, (1975) sostiene que para unas
clases de distribuciones subyacentes, la distribución de exceso Fu (Y ) converge
asintóticamente a una GPD como el umbral es progresivamente elevado a la
derecha del punto X F de la distribución, entonces:
lim sup FU ( y ) − GPDξ , β ( y ) = 0
u→ X F
[6]
Donde:
−1
⎧ ⎛
y⎞ ξ
⎪1 − ⎜1 + ξ ⎟
si ξ ≠ 0
β⎠
⎪ ⎝
GPDξ , β (Y ) = ⎨
⎛ y⎞
⎪
⎪1 − exp ⎜ − β ⎟ si ξ = 0
⎝
⎠
⎩
[7]
Con Y = X − U = el exceso; ξ = parametro de forma; β = parametro de escala.
Y como supuesto Y ∈ [ 0, X F − U ] si ξ ≥ 0; Y ∈ ⎡0, − β ⎤ si ξ < 0 .
ξ ⎦⎥
⎣⎢
27
En este trabajo, a la GPDξ , β (Y ) se le llamará el "exceso de GPD ", para acentuar
el argumento de que representa los excesos, es decir, el rebasamiento de los
límites x (es decir, los datos por encima del umbral u) menos el umbral u de sí
mismo.
Igualmente, la condición del límite [6] plantea el rebasamiento de los límites x, si
se utilizan dichos resultados en lugar de la excesos Y, entonces los argumentos
Fu (Y ) y GPDξ , β (Y ) se transformarían en Fu ( X ) y GPDξ ,u , β ( X ) , con el umbral u y
x > u representaría el parámetro de posición. Por lo tanto, cuando el límite tiende a
la derecha de punto final X F la distribución de rebasamiento Fu ( X ) converge
asintóticamente a GPD con los parámetros de forma ξ , escala β y de posición
µ =u.
Una de las propiedades más importantes de la GPD es su estabilidad a partir del
umbral.
De la expresión [5] se puede definir FX ( X ) como:
Fx ( x ) = Fx ( u ) + Fu ( y ) ⎡⎣1 − Fx ( u ) ⎤⎦
En cuanto a la condición del límite [6], ambas la distribución de excesos Fu (Y ) y
la distribución de rebasamiento Fu ( X ) se pueden aproximar adecuadamente a
GPDs . Mediante el uso de "exceso de GPD ", se obtiene.
Fx ( x ) ≈ Fx ( u ) + ⎡⎣1 − Fx ( u ) ⎤⎦ GPDξ ,u , β ( x )
[ 8]
Sustituyendo GPDξ ,u , β ( x ) en la expresión [8]:
−1
⎡ ⎛
x −u ⎞ ξ ⎤
⎥
Fx ( x ) ≈ Fx ( u ) + ⎡⎣1 − Fx ( u ) ⎤⎦ ⎢1 − ⎜ 1 + ξ
β ⎟⎠ ⎥
⎢ ⎝
⎣
⎦
El único elemento requerido ahora para identificar FX ( X ) completamente es
FX (U ) , es decir, el valor de la función de distribución (desconocida) con el umbral
U. Con este fin, el estimador empírico de FX ( X ) que calcula a U puede ser una
solución viable:
Fn ( u ) =
n − nu
1 n
1{xi ≤u} =
∑
n i =1
n
28
[9]
Donde n es el número total de observaciones y nu es el numero de observaciones
que supera el umbral u.
El umbral u debe fijarse en un nivel que permita obtener suficientes observaciones
superiores a u para una estimación empírica confiable de Fx ( u ) .
Igualmente, FX ( X ) puede ser completamente expresada por los parámetros de la
GPDξ , µ ,σ ( X ) y el número de observaciones (total y por encima del umbral).
Sustituyendo [9] en [8]:
−1
n − nu ⎡ n − nu ⎤ ⎡ ⎛
x −u ⎞ ξ ⎤
⎢1 − ⎜ 1 + ξ
⎥
+ ⎢1 −
Fx ( x ) ≈
n
n ⎥⎦ ⎢ ⎝
β ⎠⎟ ⎥
⎣
⎣
⎦
Y simplificado, queda:
−1
nu ⎡ ⎛
x−u ⎞ ξ ⎤
⎥
Fx ( x ) ≈ 1 − ⎢1 + ⎜ 1 + ξ
β ⎟⎠ ⎥
n ⎢ ⎝
⎣
⎦
[10]
Esta cantidad es definida como el “estimador de la cola” de FX ( X ) , ya que solo es
válido para x > u. Es posible demostrar que el "estimador de la cola" también es
GPD: la representación semiparamétrica de GPDξ , µ ,σ referida a todos los datos
originales, con los mismos parámetros de forma ξ , posición µ y escala σ ,
entonces se denomina a GPDξ , µ ,σ la “ GPD completa” debido a que contiene todos
los datos de la cola.
Las estimaciones de los parámetros de la semiparamétrica " GPD completa " se
pueden derivar de los "excesos de GPD ":
ξ
⎛n ⎞
σ =β⎜ u ⎟
⎝n⎠
µ =u−
β
ξ
[11]
⎡ ⎛ nu ⎞ξ ⎤
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ n ⎠ ⎥⎦
[12]
La relación entre “GPD completa” y "exceso de GPD "( GPDξ ,u , β ) es uno a uno,
también es posible expresar la magnitud de este último parámetro por:
β = σ + ξ ( u − µ ) . Cabe señalar que mientras la escala ( β ) de "exceso de
GPD "dependa del punto donde se encuentre el umbral, la forma ξ , la posición µ
y la escala σ de la “GPD completa” son independientes de los umbrales. Por lo
tanto, un buen método práctico para comprobar la solidez del modelo para algunos
29
datos específicos es evaluar el grado de estabilidad de los parámetros en una
serie de umbrales Mediante la aplicación de la propiedad de estabilidad para
GPD , es posible pasar fácilmente de los datos en exceso (y = x - u) a los datos
originales de la cola (x> u), y la distribución de exceso Fu (Y ) a la de distribución
(desconocida) FX ( X ) .
Una consecuencia inmediata de la aplicación de la propiedad de estabilidad para
GPD es que, si los casos de superación de un umbral u siguen una GPDξ ,u , β , el
rebasamiento de los límites de un umbral más alto v > u son GPDξ ,v , β +ξ ( v −u ) que es
también una distribución GPD con la misma forma ξ , y la posición v (del nuevo
umbral) y la escala igual a β + ξ ( v − u ) . Esta propiedad se asumirá durante el
presente trabajo.
2.2.1 Enfoque POT (peaks over threshold) para la estimación de los
parámetros de la cola en la distribución de pérdidas. A la luz de la EVT el
método POT cuyas características se describieron en la sección anterior, será
aplicado a un conjunto de datos en una línea con los siete eventos de riesgo, para
el ajuste por " exceso de GPD " GPDξ , β (Y ) , al exceso pérdidas por encima de un
umbral determinado.
Para aplicar el GPD se requieren tres elementos:
•
•
•
El umbral (u), que será establecido por el analista; en nuestro caso lo
estableceremos en el percentil 99.9%, como lo propone Basilea.
El exceso de datos, es decir, los datos originales menos el umbral
seleccionado
Dos parámetros ( ξ y β ), que se estimaran para el exceso de datos.
Un aspecto clave en el modelado de la GPD , es la selección del umbral, que es el
punto donde comienza la cola. La elección de u debe ser lo suficientemente
grande como para satisfacer la ley de límite, mientras que al mismo tiempo
suficiente para la estimación de los parámetros (condición práctica). Además, la
inferencia sobre el parámetro de forma que, como se ha señalado, en el cual rige
la pesadez de la cola, debe ser insensible a los aumentos por encima del umbral.
2.2.1.1 Intervalo de confianza para el índice de cola3. Las estimaciones del
parámetro ξ realizadas en base a la información muestral y por tanto pueden
presentar errores.
3
GARCÍA, A. Una aportación al análisis de solvencia: La teoría del valor extremo, En : Tesis
Doctoral, Alcalá de Henares, 2006. p. 43-238.
30
Es por ello, que Beirlant, J. et al. (1996) plantean la introducción de un intervalo de
confianza:
⎛
⎜ ˆ
⎜ ξ , ξˆ
⎜
zb
zb
⎜ 1+ 2 1− 2
⎜
k
k
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
[13]
2.2.2 Estimación del umbral u a través del gráfico de exceso medio4. Dado
que el gráfico de exceso medio para la distribución Generalizada de Pareto es
lineal y tiende a infinito con pendiente positiva, el ajuste a través de la distribución
Generalizada de Pareto es razonable si se toma como umbral óptimo el valor a
partir del cual el gráfico de exceso medio toma una forma lineal con pendiente
positiva.
Para ello, es necesaria la representación de la función empírica de exceso medio,
obtenida a partir de la muestra disponible y que permitirá ir conociendo la
distribución de los datos y su naturaleza.
Dada una muestra ordenada de forma descendente (X1,n ≥,..., Xk,n ≥,..., ≥Xn,n), la
función empírica de exceso medio viene dada por la siguiente expresión:
n
eˆn ( u ) =
∑( X
i =1
i
− u)
n
∑1(
i =1
+
[14]
X i >u )
En el numerador se encuentra la suma de los excesos sobre el umbral y en el
denominador el número de valores que cumplen la condición de ser superiores al
umbral, determinándose así la media aritmética de los valores que exceden del
umbral u.
Sin embargo, a efectos prácticos, resulta de interés que los propios datos de la
muestra actúen como umbrales, esto es, u = X k +1 . Si se toman como umbrales
los propios datos, la función de exceso medio empírica que resulta será la media
aritmética de los k mayores valores:
4
Ibídem.
31
n
Ek ,n = eˆn ( X k ) =
∑X
i =1
k
i
− X k +1 , k = 1, 2,..., n − 1
[15]
La representación de la función empírica frente a los umbrales da lugar al gráfico
empírico de exceso medio, donde la función empírica eˆn ( u ) es la variable
dependiente y u la variable independiente.
En el caso en que u = X k +1 , entonces, el gráfico de exceso medio se representará
(
)
frente a k, es decir, con el par de valores: k ; Ek , n para k = 1, 2,..., n − 1 .
Hay que tener en cuenta, que tomando como variable independiente los valores
de k, a medida que se avanza en el eje de abscisas hacia la derecha, el valor
empírico de exceso medio se determina con un mayor número de observaciones
y, por tanto, con menor umbral (a medida que aumenta k, disminuye el umbral).
2.2.3 Cálculo del percentil 99.9% en la cola de la distribución5. Para calcular la
pérdida por encima del umbral con el nivel de confianza determinado, se
presentan tres casos:
•
Para ξˆ > 0 , el valor del percentil (Xp) se calcula:
ξˆ
⎧
⎫
ˆ
⎤
β ⎪⎡ n
⎪
xˆ p = u + ⎨ ⎢ (1 − p ) ⎥ − 1⎬
ξˆ ⎪ ⎣ N u
⎦
⎩
⎭⎪
El percentil p indicaría la probabilidad de que una pérdida tomara un valor inferior
al valor x = y + u ; su complementario (1 – p) indica la probabilidad de que una
pérdida sea superior al valor x = y + u condicionado a haber superado el umbral u.
•
Para ξˆ < 0 , La distribución mostrará una convergencia hacia un punto final por
la derecha, indicativo de cola no gruesa. Un estimador de este punto final
derecho de la distribución es:
XF = u −
5
Ibídem.
32
βˆ
ξˆ
•
Para ξˆ = 0 , la distribución de la cola es exponencial:
⎡ n
⎤
xˆ p = u + ⎢ ( − ln (1 − p ) ) ⎥
⎣ Nu
⎦
2.2.4 Valor esperado en la cola para un nivel de confianza de 99.9% (ES).
Para calcular el valor esperado de las pérdidas en la cola, se realiza mediante:
βˆ − ξˆu
ESα =
+
1 − ξˆ 1 − ξˆ
xˆα
En donde
xˆ p
es el percentil en la cola, también es equivalente al OpVaR en DA
Costa (2004) o en McNeil (2005) se define como el VaR.
33
3. ANÁLISIS DE DATOS
3.1 INTRODUCCIÓN
Para la aplicación de la metodología, los datos se obtuvieron de dos fuentes: la
primera, la página de la Superfinanciera de Colombia en la cual aparecen
registradas las quejas de los consumidores del sector financiero. Se procesaron
las quejas mensuales de los últimos cinco años, para luego clasificarlas en los
riesgos operativos que establece la circular externa 041 de 2007 de la
Superfinanciera (ver Anexo D). La segunda fuente, una entidad financiera del
sector cooperativo6, la cual aportó los datos de pérdidas económicas en los
últimos cinco años para cada uno de los riesgos operativos en la línea de Banca
minorista.
Una vez cumplida la actividad anterior, se realizó un análisis exploratorio de los
datos, con el fin de obtener información subyacente en los siete eventos de riesgo
en la línea de negocio definida. En particular, debido a la conocida naturaleza del
riesgo operativo y al objetivo final de cuantificar la carga de capital en la línea de
negocio, el análisis se centra en la evaluación de las medidas de La asimetría, la
curtosis y el índice de cola de la distribución de pérdidas, en lugar de las medidas
de posición y escala.
Además, de explorar el conjunto datos de los siete eventos de riesgo en la línea
de negocio, se aplicó el procedimiento del LDA para generar la distribución de
pérdidas. Para cada casilla de la matriz se realizó una simulación con un millón de
iteraciones en el programa @risk. El objetivo de este procedimiento, es fortalecer
el poder informativo de los datos sobre los momentos desconocidos de la
población y, por otro lado, para proporcionar una mayor protección de la
confidencialidad de las pérdidas aportadas por la entidad financiera.
Por último, se separo el cuerpo de la distribución y la cola a partir del percentil
99.9% de la distribución de pérdidas, el cuerpo se utilizó para calcular las pérdidas
esperadas e inesperadas, y la cola para calcular la pérdida debida a la baja
frecuencia y alta severidad (pérdida catastrófica) a partir de las estimaciones de
los momentos de la cola.
6
El nombre de la entidad se omite por compromisos de ética y confidencialidad. 34
3.2 DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS DE FRECUENCIA Y SEVERIDAD
Tabla 2. Eventos de riesgo presentados en los últimos cinco años.
Eventos de
Riesgo
(Frecuencias)
Riesgos Operacionales
Fraude interno
Fraude externo
Relaciones laborales
Clientes
Daños a activos fijos
Fallas tecnológicas
Ejecución y administración de procesos.
Total
Porcentaje
2662
1102
3586
7853
157
7378
6.95%
2.88%
9.36%
20.49%
0.41%
19.25%
15587
40.67%
38325
Fuente: Elaboración propia del autor.
Como se observa en la tabla 2, la mayor concentración de eventos de riesgo se
presento en ejecución y administración de procesos, 15587 eventos que
representan el 40.67%, los clientes y las fallas tecnológicas también presentaron
frecuencias altas, necesariamente esto no se traduce en montos económicos
similares o proporcionales a la cantidad de eventos.
Tabla 3. Pérdidas económicas por riesgo operacional en los últimos Cinco
años.
Pérdidas
económicas
(Severidad)
Riesgos Operacionales
Fraude interno
Fraude externo
Relaciones laborales
Clientes
Daños a activos fijos
Fallas tecnológicas
Ejecución y administración de procesos.
Total
182´066.136
1.164´038.293
163´858.258
119´499.527
229´047.558
274´332.722
148´565.252
2.281´407.746
Fuente: Elaboración propia del autor.
35
Porcentaje
7.98%
51.02%
7.18%
5.24%
10.04%
12.02%
6.51%
La tabla 3 muestra que las mayores pérdidas económicas se presentaron por
fraude externo, el 51.02%, aunque esto representaba el 2.88% de los eventos en
la tabla anterior, resultó más costoso para la entidad. Fallas tecnológicas y daños
a activos físicos también presentaron pérdidas elevadas.
Los anteriores datos llevan a concluir que hay una alta concentración de riesgo
operativo en ejecución y administración de procesos en cuanto a los eventos, y en
fraude externo debido a las pérdidas económicas.
3.3 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LOS DATOS
3.3.1 Prueba de bondad de ajuste para los datos de la frecuencia. Para la
frecuencia de los eventos de riesgo, se realizó un ajuste a dos de las
distribuciones de probabilidad recomendadas por Pavel Shevchenko y otros, las
cuales fueron la distribución de Poisson y la Binomial Negativa, la prueba utilizada
para el ajuste es la K-S con un alpha de 0.05.
Tabla 4. Ajuste de los eventos de riesgo a una distribución de probabilidad
con variable discreta.
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
Tecnológicas
Procesos
Ajuste de datos a la
distribución de
probabilidad de Poisson
Ajuste de datos a la
distribución de probabilidad
de Binneg
H0: F(x)obs=F(x)teo(Poisson)
H0: F(x)obs=F(x)teo(Binneg)
K-S, bilateral alpha 0.05
P-value bilateral
<0.0001
<0.0001
<0.0001
<0.0001
<0.0069
<0.0001
<0.0001
K-S, bilateral alpha 0.05
P-value bilateral
0.614
0.054
0.088
0.279
0.000*
0.603
0.974
Fuente: Elaboración propia del autor.
Los resultados del ajuste, muestran que en cuanto a los datos de frecuencias, no
se puede aceptar como representativo el comportamiento propuesto, la
distribución de Poisson, dado que sus p- value bilateral fueron muy inferior a 0.05
(se rechaza H0). En cambio, en cuanto al ajuste a la distribución binomial negativa,
36
no se encuentra evidencia estadística para afirmar que los datos siguen otro
comportamiento que el propuesto, dado el nivel de significancia (no se rechaza
H0), excepto los activos fijos cuyo valor de p es inferior a 0.05.
3.3.2 Prueba de bondad de ajuste para los datos de la severidad. Para la
severidad se postularon tres distribuciones de probabilidad: La normal, Lognormal
y Weibull, el estadístico de prueba fue el K-S con un alpha de 0.05.
Tabla 5. Ajuste de la severidad a una distribución de probabilidad con
variable continua.
Estadístico de prueba K-S, bilateral alpha 0.05
P-value bilateral
Ajuste de datos a la
Ajuste de datos a la
Ajuste de datos a la
distribución de
distribución de
distribución de
probabilidad
probabilidad Weibull
probabilidad Normal
Lognormal
H 0:
H 0:
H 0:
F(x)obs=F(x)teo(Normal)
F(x)obs=F(x)teo(Weibull)
F(x)obs=F(x)teo(Lognormal)
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
Tecnológicas
Procesos
0.175
0.277*
0.957*
0.480*
0.404
0.907*
0.753*
0.141
0.064
0.058
0.088
0.131
0.118
0.081
0.336*
0.058
0.462
0.345
0.468*
0.810
0.669
Fuente: Elaboración propia del autor.
Los resultados del ajuste, muestran que no se encuentro evidencia estadística
para afirmar que los datos siguen otro comportamiento que el propuesto. Dado el
nivel de significancia los datos de la severidad se ajustaron a las distribuciones de
probabilidad propuestas, cabe observar que los mejores ajustes están en la
distribución normal a excepción de las variables fraude interno y activos fijos las
cuales se ajustaron mejor a la distribución Weibull.
3.3.3 Elección de las mejores combinaciones para la distribución de
pérdida. La tabla 6 muestra las combinaciones que se utilizaron en el cálculo de la
distribución de pérdidas, excepto en la variable activos fijos, en la cual se utilizó un
distribución general para los eventos. Estas combinaciones se tomaron con base
en los mejores estadísticos de prueba (K-S) en cada uno de los ajustes.
37
Tabla 6. Elección de la distribución de severidad para la distribución de
pérdidas.
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
Tecnológicas
Procesos
Estadístico de prueba K-S, bilateral alpha 0.05
P-value bilateral
Ajuste de
Ajuste de
Ajuste de datos
Ajuste de
datos a la
datos a la
a la
datos a la
distribución de distribución de distribución de distribución de
probabilidad
probabilidad
probabilidad
probabilidad
Binneg
Normal
Lognormal
Weibull
(frecuencia)
(severidad)
(severidad)
(severidad)
0.614*
0.175
0.141
0.336*
0.054*
0.277*
0.064
0.058
0.088*
0.957*
0.058
0.462
0.279*
0.480*
0.088
0.345
0.000
0.404
0.131
0.468*
0.603*
0.907*
0.118
0.810
0.974*
0.753*
0.081
0.669
Fuente: Elaboración propia del autor.
Para hacer la elección de la distribución de severidad que debe acompañar la
distribución de frecuencia, se utilizo el mayor p-value de las distribuciones de
severidad, como se muestra en la tabla 6.
3.3.4 Parámetros de las distribuciones definidas. En la distribución de
frecuencia se observa que las probabilidades de ocurrencia de los eventos, en
general, son muy bajas, se puede apreciar que los procesos tiene 9 eventos, pero
la pérdida económica promedio en la distribución normal asciende a
$2´476.087,50 pesos, lo cual no indica que a mayor numero de eventos, mayor
pérdida. En el caso de la distribución Weibull, el parámetro ß es de forma y
representa la pendiente de la recta, para estos casos, a medida que disminuye la
pendiente, aumenta a la pérdida, la cual se puede apreciar en el parámetro de
escala. Ver tabla 7.
38
Tabla 7. Parámetros de las distribuciones utilizadas para hallar la
distribución de pérdidas.
Distribución
de
probabilidad
Binneg
(frecuencia)
n
p
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
Tecnológicas
Procesos
3
1
1
2
3
9
0.0670
0.0544
0.0169
0.0155
0.0244
0.0343
Distribución de
probabilidad Normal
(severidad)
Distribución de
probabilidad
Weibull
(severidad)
µ
σ
β
η
19400638.2
2730970.9
1991658.7
4572212.03
2476087.5
12794784.4
1245892.03
1122186.7
2514104.03
1459752.3
1.18
1.12
-
3205070.1
3963671.9
-
Fuente: Elaboración propia del autor.
3.4 MODELACIÓN DEL LDA
Para la modelación del LDA se utilizó el enfoque de Simulación Montecarlo, el cual
estima la distribución de pérdidas agregada utilizando un número suficiente de
escenarios hipotéticos, generados aleatoriamente, a partir de las distribuciones de
severidad y frecuencia, con sus respectivos parámetros definidos en la tabla 7.
39
Gráfico 4. Modelación del LDA.
Fuente: Marcelo Cruz. All Samad Khan.
40
3.4.1 Estimación de la distribución de pérdidas para el evento de riesgo:
fraude interno.
Gráfico 5. Estimación de la distribución de pérdidas para el evento de riesgo:
fraude interno.
Distribución de frecuencia: Binomial
Negativa
n
P
3
0.0670
41
Distribución de pérdidas para Fraude
Interno
124102851.4
Distribución de severidad: Weibull
β
1.1820
η
3205070.140
3026898.81
⎧∞
n*
⎪∑ pij ( n ) × F ( x )
S ( x ) = ⎨ n =1
⎪
⎩ pij ( n )
para x > 0
para x = 0
Fuente: Elaboración propia del autor.
A partir de las distribuciones de severidad y frecuencia, se calcula la distribución
de pérdidas S(x), la cual hace estadísticamente:
E ( S ) = E ( Frecuencia ) * E ( Severidad )
E ( S ) = 41*3026898.81
E ( S ) = 124102851.4
41
Las demás estimaciones se pueden apreciar en las distribuciones de pérdidas,
Anexo A.
3.4.2 Momentos de la distribución de pérdidas para el evento de riesgo:
fraude interno con distribución de severidad weibull.
Gráfico 6. Distribución de pérdidas para fraude interno.
Fuente: Elaboración propia del autor.
Las estimaciones de los momentos empíricos indican que las distribuciones de
pérdida de los siete eventos en la línea de negocio (ver Anexo A), son muy
sesgada a la derecha y, sobre todo, presentan colas muy gruesas con respecto a
una distribución normal. Con el fin de apreciar mejor las peculiaridades de estos
datos, se puede observar en el gráfico 6 los valores de la asimetría y la curtosis,
las cuales son respectivamente, 2.94 y 18.05.
Como se puede apreciar en la gráfico 7 (ver Anexo B para las demás
distribuciones), la función de distribución presenta una cola gruesa a la derecha de
la curva, esto tiene como antecedente una distribución lectocurtica, lo cual puede
indicar que la diferencia de las probabilidades entre una pérdida y la siguiente,
pueden variar drásticamente.
42
Gráfico 7. Fd para la pérdida por fraude interno con severidad weibull.
fd para la pérdida por fraude interno con severidad weibull
(X 1.E-10)
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
(X 1.E9)
Fuente: Elaboración propia del autor.
Con una curtosis de 18.05 y el gráfico Q-Q, se confirma la presencia de cola
gruesa en la distribución de pérdidas, ya que como se puede apreciar, existe una
curva en el extremo izquierdo y en el derecho, ver gráfico 8.
Gráfico 8. Q-Q para la pérdida por fraude interno con severidad weibull.
Gráfico Q-Q para la pérdida por fraude interno con severidad weibull
(X 1.E8)
54
44
34
24
14
4
-6
-6
4
14
24
34
44
Fuente: Elaboración propia del autor.
43
54
(X 1.E8)
3.5
ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS ESPERADAS Y LAS PÉRDIDAS
INESPERADAS
Tabla 8 . Estimación de las pérdidas.
Pérdidas esperadas
(E(S))
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
Tecnológicas
Procesos
Total
126413166.84
337163651.07
159261066.11
253247482.24
9960586.93
549686341.40
627098198.42
2062830493.01
6.13%
16.34%
7.72%
12.28%
0.48%
26.65%
30.40%
Optar
(Percentil 99.9%)
1183538087.01
3730908191.79
1488296075.30
1800151844.35
58823078.74
3224128439.40
2648495393.25
14134341109.86
8.37%
26.40%
10.53%
12.74%
0.42%
22.81%
18.74%
Pérdidas inesperadas
(OpVaR – E(S))
1057124920.17
3393744540.72
1329035009.19
1546904362.11
48862491.82
2674442098.00
2021397194.84
12071510616.85
8.76%
28.11%
11.01%
12.81%
0.40%
22.15%
16.75%
Fuente: Elaboración propia de los autores
En la tabla 8, se puede observar que en la variable daños a activos fijos, se
presenta la menor pérdida esperada, $ 9´960.586.93 y la mayor se presentara en
procesos, $ 627´098.198.42, esto puede tener sentido en una entidad pequeña, en
la cual los procesos pueden concentrar sus mayores pérdidas, debido a que en
ellos se centra la creación de valor, basados en los productos, servicios y la
información, esta última para manejo interno y externo. Otras pérdidas esperadas
que pueden ser preocupantes, se presentan en fallos en tecnologías, las cuales
pueden tener su origen en Hardware, Software, Telecomunicaciones, Interrupción
/ incidencias en el suministro de información.
Si la entidad provisiona las pérdidas esperadas, Basilea acepta la carga de capital
como la diferencia entre OpVaR y E(S), o sea, las correspondientes a la columna
3, que son las pérdidas inesperadas, en caso contrario, la entidad deberá tomar
como carga de capital, el percentil 99.9% que corresponde a E(S) + U(S).
Los valores del percentil 99.9%, serán los distintos umbrales para los cálculos de
las pérdidas de baja frecuencia y alto impacto económico.
3.6 ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS DE BAJA FRECUENCIA Y ALTA
SEVERIDAD, APLICACIÓN DEL MÉTODO POT Y LDA.
La variable que se pretende modelar es la pérdida económica S por las
metodología LDA y POT, dicha variable se deriva de la combinación de la
44
frecuencia de los eventos y la severidad en riesgo operacional. Para este
propósito, dado que el modelo de POT estudia el comportamiento de los extremos
superiores o excesos por encima del umbral, es necesario aplicar a la variable
aleatoria de estudio las dos metodologías, de manera que se obtengan resultados
en los dos sentidos y se puedan comparar, los supuestos de estas dos
metodologías son:
•
El método P.O.T.: Se basa en los siguientes supuestos:
9 Los excesos por encima de un umbral, constituyen una secuencia de variables
aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que ocurren según los
momentos de un proceso de Poisson.
9 Las cuantías que exceden un umbral y el momento del tiempo en el que
ocurren son independientes.
•
En el método LDA: En esencia el modelo LDA tal como se utiliza en el riesgo
operativo o en ciencias actuariales asume los siguientes supuestos dentro de
cada clase de riesgo:
9 N y X N la variable frecuencia es una variable aleatoria independiente de la
variable aleatoria severidad.
9 X N las observaciones de tamaño de pérdidas (severidad) dentro de una misma
clase se distribuyen idénticamente.
9 X N las observaciones de tamaño de pérdidas (severidad) dentro de una misma
clase son independientes.
Tal como se indicó anteriormente, la distribución generalizada de Pareto se ajusta
aquellos valores que exceden un determinado umbral cuando ese umbral u toma
un valor suficientemente grande. La dificultad radica en determinar ese umbral a
partir del cual es posible ajustar la distribución Generalizada de Pareto. La
selección de un umbral óptimo está sujeta al problema de elección entre varianza
y sesgo, es decir, si se incrementa el número de observaciones para formar las
series de máximos (disminuyendo el umbral), la estimación del índice de cola será
más precisa (con menor varianza) pero sesgada, ya que algunas observaciones
del centro de la distribución (no de la cola) se introducirán en la serie. Por otro
lado, si se reduce el número de observaciones (con un umbral más elevado), se
reduce el sesgo, pero la estimación del índice será más volátil al realizarse con un
menor número de observaciones. Para ello, en primer lugar, se ha tomado como
umbral el percentil 99.9% calculado en la distribución de pérdidas y definido por
45
Basilea, para contar con una muestra de 1.000 observaciones en cada uno de los
siete eventos de riesgo.
3.6.1 Cálculo del índice de cola (ξ): estimador de Hill (1975). Este método se
emplea para estimar el parámetro característico de la Distribución Generalizada de
Pareto, teniendo en cuenta aquellos valores que exceden un determinado umbral.
Según Beirlant J. et al. (1996), si una variable aleatoria sigue una distribución de
Pareto con parámetro     entonces:
lim en ( ln u ) = lim E [ ln x − ln u / x > u ] = ξ
u →∞
u →∞
Esta proposición indica que la función de exceso medio del logaritmo de la
variable cuando el umbral es suficientemente alto, tiende al parámetro de la
distribución.
En la práctica, se utilizan los siguientes métodos:
•
Método 1:
⎛ 1 k −1
⎞
1 n
ˆ
ξ = ∑ θ k , donde θ k = ⎜
x
ln
para k = 2,..., n
(
)
∑
j ⎟ − ln ( xk ) ,
−
n k =2
k
1
j
=
1
⎝
⎠
•
Método 2:
⎛1 k
⎞
1 n
ˆ
ξ = ∑θi , donde θ k = ⎜ ∑ ln ( x j ) ⎟ − ln ( xk ) , para k = 1, 2,..., n
n i =1
⎝ k j =1
⎠
Mason (1982) comprobó que éste es un estimador consistente del parámetro ,
para distribuciones de cola gruesa, aunque debe calcularse su sesgo, que además
dependerá del número de estadísticos de orden superior empleados.
46
Tabla 9. Estimación de los parámetros de las colas de las distribuciones de
pérdidas.
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
Tecnológicas
Procesos
ξ
Distribución
K-S D
Curtosis
Simetría
0.1603
0.1588
0.1443
Exponencial
Exponencial
Exponencial
Beta
general
Beta
general
Exponencial
Beta
general
0.022
0.032
0.032
22.84
12.08
15.06
3.06
2.47
2.64
0.012
8.29
1.89
0.016
7.52
1.77
0.019
10.76
2.17
0.014
6.93
1.74
0.1194
0.1287
0.1117
0.0890
Fuente: Elaboración propia del autor.
Como se observa en la tabla 9, el incide de cola indica la presencia de colas
gruesa, cabe anotar que las distribuciones de probabilidad que se encontraron en
los datos de las colas, son la Exponencial y la Beta General (ver Anexo C). La
curtosis de los datos muestra que las distribuciones de las colas son lectocurticas
y simétricas positivas. En riesgo operacional, la lectocurtosis implica una alta
probabilidad de ocurrencia de una pérdida económica, lo interesante para este
caso, por encontrase que las pérdidas están por encima del percentil 99.9%, esto
las ubicaría en las pérdidas de baja frecuencia pero de alto impacto económico.
3.6.1.1 Intervalo de confianza para el índice de cola. Los intervalos de
confianza para el parámetro ξ en cada evento de riesgo, se presenta en la Tabla
10 el nivel de confianza utilizado es de 99.9%, como lo establece Basilea II, para
el cual el valor de Z es de 3.09.
Tabla 10. Estimación de los intervalos de confianza para el parámetro ξ.
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
ξ
0.1603
0.1588
0.1443
0.1194
0.1287
Límite inferior
0.14603
0.14466
0.13145
0.10877
0.11724
47
Límite superior
0.17766
0.17600
0.15993
0.13233
0.14264
Tecnológicas
Procesos
ξ
0.1117
0.089
Límite inferior
0.10176
0.08108
Límite superior
0.12380
0.09864
Fuente: Elaboración propia del autor.
Gráfico 9. Intervalo de confianza para el índice de cola.
.
Fuente: Elaboración propia del autor.
En el gráfico se puede apreciar que le parámetro de forma en la cola, se mantiene
en el intervalo definido, aunque parece que cuando disminuye de valor, el intervalo
se cierra.
3.6.2 Estimación de las pérdidas por encima del percentil 99.9%, por los
métodos LDA y POT. Como establece Basilea II en los criterios cuantitativos de
solidez “dada la continua evolución de los métodos analíticos de tratamiento del
riesgo operativo, el Comité no desea especificar qué método o qué supuestos
sobre distribuciones de probabilidad se deben utilizar para estimar el riesgo
operativos a efectos de capital regulador. Sin embargo, el banco deberá ser capaz
de demostrar que su método identifica eventos situados en las colas de la
distribución de probabilidad, generadores de pérdidas graves”.
48
A continuación se presentan las pérdidas calculadas por ambas metodologías, en
la tabla 11:
Tabla 11. Estimación de las pérdidas de baja frecuencia pero de alto impacto
económico con los métodos LDA y POT.
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
Tecnológicas
Procesos
Total
LDA
POT
EL
LDA-EL
POT-EL
2859516157.20
1240567654.40
1432407234.21
1427108922.98
-191839579.81
9998388335.09
4002038295.46
4486976866.69
5511411468.40
-484938571.23
4056669688.52
1701909928.62
1759176279.39
2297493409.13
-57266350.77
3472758561.35
2317000825.08
2079065775.86
1393692785.49
237935049.22
173703292.14
112138128.16
106023632.12
67679660.02
6114496.03
6722020577.59
4266311377.78
3678781661.27
3043238916.32
587529716.51
4313335802.25
3846111665.17
2943651592.85
1369684209.40
902460072.32
31596392414.14 17486077874.67 16486083042.39 15110309371.75 999994832.28
Fuente: Elaboración propia del autor.
Como se anotó, el modelo LDA incluye las pérdidas esperadas (EL) y las pérdidas
no esperadas (UL) (ver numeral 3.4.1), para un nivel de confianza del 99.9% ,
como se aprecia en la tabla, en la columna dos, las pérdidas calculadas por el
método LDA, son muy superiores a las calculadas por POT, se puede apreciar en
fraude interno que la diferencia entre los dos métodos es de $1618´948.502.8, la
diferencia más baja se presenta en la variable daños a activos fijos, cuya
diferencia es de $61´565.163.99.
Al comparar las pérdidas de las columnas dos y tres con las pérdidas esperadas
(EL), se puede apreciar que la metodología POT no detecta pérdidas superiores a
la media en la cola, en los tres primeros eventos de riesgo, pero el LDA detecta
pérdidas superiores a la media en todos los eventos de riesgo. Ver gráfico 10.
49
Gráfico 10. Estimación de las pérdidas por encima del percentil 99.9%, por
los métodos LDA y POT.
Fuente: Elaboración propia del autor.
En la tabla 12 se presentan las probabilidades de que dichas pérdidas excedan al
umbral definido para cada evento de riesgo, parece que el modelo POT detecta
mejor eventos de riesgo, dado que tiene en cuenta los parámetros de forma y
escala de la distribución de la cola. Las pérdidas esperadas y las calculadas con
la metodología POT presentan mayor probabilidad de ocurrencia que las
calculadas con LDA.
Tabla 12. Estimación de las probabilidades de ocurrencia de las pérdidas.
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
Tecnológicas
Procesos
LDA
0.0000134099
0.0000068472
0.0000033977
0.0000100491
0.0000049084
0.0000038291
0.0000086033
POT
0.0008122606
0.0007258564
0.0004983397
0.0001812616
0.0000540116
0.0001292025
0.0000270220
EL
0.0004229455
0.0004249755
0.0004181680
0.0003811504
0.0000717631
0.0003864745
0.0003666146
Fuente: Elaboración propia del autor.
Determinar la probabilidad de ocurrencia de estos eventos es importante para una
entidad financiera, dado que las pérdidas extremas presentan volúmenes muy
50
altos, y esto puede afectar a la empresa en cuanto a su capital de trabajo, ya que,
gran parte de éste se destina para cubrir pérdidas potenciales en un día normal de
operaciones.
3.6.3 Comparación de las pérdidas esperadas en la distribución de la cola.
Tabla 13. Estimación de las pérdidas esperadas en la cola.
F. Interno
F. Externo
Laborales
Clientes
A. Fijos
Tecnológicas
Procesos
EL
1432407234.21
4486976866.69
1759176279.39
2079065775.86
106023632.12
3678781661.27
2943651592.85
ES
1572667138.16
5033809293.52
2078652056.70
2696902686.09
137287565.21
4907653278.00
4271788922.91
Fuente: Elaboración propia del autor.
En la tabla 13 se puede aprecia las pérdidas esperadas en la distribución de la
cola, las EL se obtuvieron identificando la distribución de la cola y la ES se
calcularon con el método definido anteriormente. Aunque para algunos eventos,
las pérdidas presentan diferencias significativas, se puede apreciar que el cálculo
de ES es ajustado a la distribución detectada en la cola, esto se puede apreciar en
el gráfico 11.
51
Gráfico 11. Comparación de las pérdidas esperadas en la distribución de la
cola
Fuente: Elaboración propia del autor.
52
4. CONCLUSIONES
•
La ausencia de información es un fenómeno recurrente en la cuantificación del
riesgo operacional. Cuando esto se presenta, una estrategia a seguir es la
consulta a expertos, a partir de los cuales se obtendrá información que
permite construir una solución inicial aproximada al problema.
•
Los datos de frecuencia y severidad muestran que no existe relación directa
entre ambas variables, ya que, un evento de pérdida puede producir cualquier
severidad y esta severidades varían en el tiempo cundo se aplican correctivos.
•
La frecuencia se debe modelar a partir de datos internos, ya que, esa variable
está en función directa de los controles internos que son específicos a cada
entidad. Con respecto a la severidad los datos internos pueden ser
combinados con datos externos mediante un adecuado proceso de
escalamiento; aunque se debe poner especial atención para no heredar errores
de otras entidades.
•
Los modelos para la estimación del riesgo operacional tienen algunas
características muy específicas: deben combinar variables aleatorias continuas
y discretas; La distribución de pérdida agregada no corresponde a ningún
modelo aleatorio predeterminado; y la relación entre variables del modelo es no
lineal. De estas características se concluye la dificultad de estimación del
riesgo operacional por métodos analíticos, lo que obliga a recurrir a métodos
numéricos, entre los cuales el más flexible es la simulación Montecarlo.
•
Al comparar los métodos de medición del riesgo operacional, es claro que el
modelo LDA presenta medidas mucho más elevadas que el POT para una
entidad, pero en esto hay que ser consistentes con lo que sucede en el entorno
de la entidad, porque dichos cálculos pueden llevar a estimaciones de capital
carentes de sentido económico.
•
En la modelización de las pérdidas en la cola, el método POT presenta un
mejor comportamiento para la entidad, estima pérdidas muy cercanas a la
media de la distribución que subyace en la cola.
•
La modelización de las pérdidas que superan un umbral generan problemas
de elección entre varianza y sesgo. Umbrales bajos suponen modelizaciones
53
con mayor número de observaciones y, por tanto, minimizan la varianza
aunque pueden incrementar el sesgo por tomar como muestra valores no
extremos. Umbrales elevados reducen el sesgo pero generan modelizaciones
con mayor varianza.
•
La elección del umbral puede ser una de las prioridades a la hora de aplicar
modelo de valor extremo, porque hay que determinar el valor del umbral que
permite una modelización óptima.
•
Uno de los problemas que se vislumbra con el umbral, es que éste se puede
convertir en una variable estocástica que puede condicionar los ajustes
óptimos en la distribución de la cola.
•
Un mayor conocimiento de los riesgos de la entidad permitirá mejor calidad en
el modelo de cuantificación, lo cual se debe traducir en una menor carga de
capital, lo que dará una ventaja competitiva y una mejor administración del
capital de trabajo.
•
Siempre será preferible para cada entidad disponer del modelo que genere la
mínima pérdida operacional total, ya que los supervisores aceptarán este
cálculo siempre que la entidad demuestre claramente que su modelo de
cálculo satisface los criterios de solidez para modelos de medición avanzada,
establecidos por Basilea II.
54
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CIBERGRAFÍA
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57
ANEXOS
58
Anexo A. Distribuciones de pérdida para los eventos de riesgo.
59
60
61
62
Anexo B. Distribuciones de pérdida para los eventos de riesgo y gráficos QQ.
fd para la pérdida por fraude interno con severidad weibull
(X 1.E-10)
8
6
4
2
0
0
1
2
3
63
4
5
(X 1.E9)