Problemas adicionales de Física Cuántica (2010/2011)

Problemas adicionales de Física Cuántica (2010/2011)
Mª del Rocío Calero Fernández-Cortés
María Jesús Jiménez Donaire
Ejercicio 3.- La potencia (en forma de ondas gravitacionales) emitida por un
sistema binario en una órbita circular es:
donde M es la masa total,  es la masa reducida y a es el radio de la órbita.
a) ¿Cuánto tiempo tardará el sistema binario en colapsar?
b) Demostrar
c) Generalizar los cálculos anteriores al caso de una órbita elíptica (en este
caso a es el semieje mayor de la órbita). Ayuda: usar el teorema del virial.
Un sistema binario muy interesante es el púlsar binario 1913+16. Fue descubierto
en 1975 por Taylor y Hulse, quienes recibieron el premio Nobel en 1993 por la
fuerte evidencia que obtuvieron de la emisión de ondas gravitacionales. Un púlsar
es una estrella de neutrones con periodos de rotación de aproximadamente 10-2
a 10-1 s, emitiendo pulsos regulares de radiación con una gran estabilidad, que
hace de ellos relojes muy precisos. El sistema binario (formado por un púlsar y su
acompañante) tienen masas aproximadamente iguales m1,2  1.4M Sol y el periodo
orbital es de 7.8 horas. La excentricidad de la órbita es e  0.617 .
a) Asumiendo que la órbita es circular, calcular el tiempo de colapso del
sistema y la variación con el tiempo del periodo orbital (hoy).
b) Si un sistema binario en una órbita con excentricidad e  0.617 radia 11.8
veces más energía que si la órbita fuera circular, recalcular la variación
del periodo con el tiempo (hoy).
El resultado experimental es:
Discutir los resultados obtenidos.
Antes de abordar los apartados correspondientes haremos una breve incursión en el
movimiento de fuerzas centrales y el problema de dos cuerpos, tratado de forma
macroscópica, con la finalidad de reducir este problema a un solo cuerpo.
Consideremos dos cuerpos de masas m1 y m2 que orbitan alrededor del centro de
masas del sistema, tal y como se indica en la siguiente figura:
Se trata de un movimiento en un campo de fuerzas centrales. Como fuerza central
entendemos aquella que actúa en la dirección de interacción entre dos partículas
como, por ejemplo, la fuerza gravitatoria.
Con dos masas tenemos seis coordenadas generalizadas (tres de ellas referidas al
centro de masas y otras tres al vector de posición que las une).
Estableciendo el formulismo lagrangiano, vemos que las coordenadas referenciadas a
la distancia de separación entre las dos masas pueden despreciarse, por lo que sólo
consideramos aquellas asociadas al centro de masas del sistema, el cual está ahora
formado por M  m1  m2 y  orbitando a su alrededor.
En este caso  es la masa reducida del sistema y se define como:
Démonos cuenta de que ya hemos reducido el número de cuerpos al disminuir el
número de coordenadas.
El ejercicio en cuestión considera un sistema binario como nuestro sistema de dos
masas, el cual está formado por un par de estrellas que orbitan alrededor de su
centro de masas y emiten radiación de forma periódica.
En concreto, en la segunda parte de este problema particularizaremos al caso del
púlsar binario 1913+16.
PARTE I
a) Suponemos que el cuerpo de masa  sigue una órbita circular alrededor del
cuerpo de masa M (situado en el centro de masas) y, al cabo de un cierto
tiempo t, colapsará con él debido a la emisión de ondas gravitacionales.
La magnitud del vector de posición a (radio de la órbita circular) que une ambos
cuerpos va decreciendo conforme pasa el tiempo, siendo nula en el colapso.
En este movimiento, el cuerpo va perdiendo energía, lo que explica que la
variación de ésta con respecto al tiempo, la potencia, sea negativa.
Para determinar el valor del tiempo de colapso tc , necesitamos una expresión
que relacione la variable temporal t con la variable espacial a , ya que a
depende explícitamente de t.
Una vía posible es partir de la definición de energía de una partícula E como suma
de su energía cinética K y energía potencial V.
Su desarrollo viene dado por:
Aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos la expresión de v2 como:
Luego sustituyendo en (1), tenemos que:
Derivando ambos miembros respecto al tiempo,
Despejando, conseguimos el tiempo de colapso
la órbita a0:
tc en función del radio inicial de
Como no disponemos del radio como dato del problema, pondremos el tiempo de
colapso en función del período P de la órbita.
Partiendo de la definición de velocidad y aplicando el resultado (2), tal y como
sigue:
Por tanto:
Por último, comentaremos que es posible hacer una estimación del tiempo de
colapso mediante un método que nos ofrece un valor aproximado.
Partiendo de la definición de movimiento uniforme y aplicándolo al recorrido que
sufre una partícula en una órbita circular. Procedemos del modo siguiente:
Sabiendo que la potencia emitida es:
tenemos que:
Como ya conocemos la expresión que nos proporciona la energía del sistema:
Si ahora sustituimos:
Introducimos este resultado en la expresión de tc y evaluamos para a  a0 :
b) Para demostrar esta igualdad, partimos de ambos términos y llegamos al mismo
resultado. Veámoslo:
De esta forma queda demostrada la identidad.
c) En una órbita elíptica no podemos emplear el mismo desarrollo que en el caso de
una órbita circular, ya que la magnitud de la aceleración radial no es constante
debido a que el radio de la órbita varía al tratarse de una elipse.
Por tanto, partiremos del teorema del virial para obtener la expresión de la
energía total del sistema. Según el teorema, la energía cinética de un sistema de
masas es:
Como sólo actúa una fuerza dirigida al centro de masas y, además, es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, tenemos una única
componente del sumatorio y se cumple que:
Aplicando la definición de energía, tenemos:
Sustituyendo:
Notemos que tanto la expresión de la energía como la demostración de la
identidad del segundo apartado son equivalentes para órbitas circulares y
elípticas, siendo ahora a el semieje mayor de la órbita, por lo que no
recompondremos de nuevo los cálculos correspondientes.
El hecho de que las expresiones sean compatibles para ambos casos, no implica
que el resultado sea el mismo. En la segunda parte de este mismo problema
veremos que el tiempo de colapso para una órbita elíptica será mucho menor que
para una órbita circular. En este ejercicio, la única variable que comparte el
mismo valor es el período de la órbita.
PARTE II
a) Sabemos que para una órbita circular el periodo de la misma viene dado según la
siguiente expresión, por tanto el radio de la órbita:
Si sustituimos, obtenemos que el tiempo de colapso vienen dado por:
Teniendo en cuenta los datos que nos proporciona el enunciado del problema
haremos unos sencillos cálculos para hallar su valor.
Introduciendo todos esos valores en la expresión anterior, obtenemos que el
tiempo de colapso para una órbita circular es:
Para calcular la variación del periodo orbital con el tiempo hacemos uso del
resultado demostrado en el segundo apartado del problema, de modo que:
b) En el caso en el que el sistema siga una órbita con excentricidad e  0.617 , es
decir elíptica, la energía emitida en forma de ondas gravitacionales es 11.8 veces
mayor, por tanto ahora:
Por tanto, si seguimos el mismo procedimiento que en el caso anterior y el
periodo de la órbita sigue siendo 7.8 horas:
Vemos que el valor que hemos obtenido está dentro de los valores esperados
según el resultado experimental.
Además podemos calcular también el tiempo de colapso en este caso, ya que
conocemos la potencia emitida por el sistema y el periodo de la órbita elíptica.
Para ello sólo tenemos que dividir por 11.8:
Podemos ver cual sería el resultado obtenido si aplicamos el método que
mencionamos en la primera parte del problema para hacer una estimación del
tiempo.
Para una órbita circular:
En el caso de una órbita elíptica:
No hemos obtenido un valor exacto del tiempo de colapso pero al menos nos sirve
para estimar el orden de magnitud y además comprobamos que es correcto.
Finalmente y sabiendo que para un mismo valor del periodo el sistema binario
radia 11.8 veces más energía en una órbita elíptica que en una circular, hemos
obtenido que la variación del periodo con el tiempo en el primer caso es un orden
de magnitud mayor que en el segundo, y por tanto el tiempo de colapso es un
orden de magnitud menor en la órbita elíptica.
Ya era de esperar este resultado pues si en la órbita elíptica el sistema emite
mayor potencia es lógico que en cada instante tenga menor energía y por tanto su
período varíe mas rápidamente con el tiempo, de manera que el tiempo de
colapso debe ser mucho menor que en el caso de la órbita circular.
BIBLIOGRAFÍA
Libros
1. H. GOLDSTEIN, Mecánica Clásica. Addison-Wesley
(1980).
Publishing Company
2. A. P. French, Mecánica Newtoniana. Ed. Reverté (1997).
3. C. Sánchez del Río (Coordinador), Física Cuántica. Ed. Pirámide (2008).
Páginas web
1. Ministerio de Educación de la Nación Argentina, Aportes para la enseñanza
http://aportes.educ.ar/fisica/nucleo-teorico/estado-del-arte/ondasgravitacionales/evidencia_indirecta_el_pulsar.php
2. Department of Astronomy (Cornell University)
http://www.astro.cornell.edu/academics/courses/astro2201/psr1913.htm