Modelos de distribuciones discretas y continuas

Ignacio Cascos Fernández
Departamento de Estadı́stica
Universidad Carlos III de Madrid
Modelos de distribuciones discretas y continuas
Estadı́stica I — curso 2008–2009
1.
Distribuciones discretas
Aquellas que están asociadas a variables aleatorias discretas.
Distribución degenerada. Una variable aleatoria X es degenerada en un
valor real a ∈ R si toma dicho valor con probabilidad 1, es decir P (X = a) =
1, su media y varianza son entonces obvias a partir de resultados del tema
anterior,
E[X] = a ; var[X] = 0.
1.1.
1.1.1.
Proceso de Bernoulli
Modelos principales asociados al proceso de Bernoulli
Distribución de Bernoulli, B(1, p). Una variable aleatoria X sigue distribución de Bernoulli de parámetro p ∈ (0, 1) y se denota X ∼ B(1, p) si
describe el número de éxitos en una realización de un experimento que tiene probabilidad de éxito p (probabilidad de fracaso 1 − p). Toma valores en
{0, 1}.
P (X = 1) = p ; P (X = 0) = 1 − p ;
E[X] = p ;
var[X] = p(1 − p).
1
Distribución Binomial, B(n, p). Una variable aleatoria X sigue distribución Binomial de parámetros n ∈ N y p ∈ (0, 1) y se denota X ∼ B(n, p)
si describe el número de éxitos en n realizaciones independientes de un experimento que tiene probabilidad de éxito p (probabilidad de fracaso 1 − p).
Puede tomar cualquier valor en {0, 1, . . . , n}.
Si k ∈ {0, 1, . . . , n}, se cumple
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k ;
k
E[X] = np ;
var[X] = np(1 − p).
Propiedad. Las distribuciones binomiales son reproductivas de parámetro
n, es decir, dadas dos variables aleatorias X ∼ B(n1 , p) e Y ∼ B(n2 , p)
independientes, se cumple X + Y ∼ B(n1 + n2 , p).
A partir de este resultado es inmediato que una variable aleatoria X ∼
B(n, p) puede descomponerse en una suma de n variables aleatorias independientes de Bernoulli de parámetro p.
Distribución Geométrica o de Pascal, Ge(p). Una variable aleatoria X
sigue distribución Geométrica de parámetro p ∈ (0, 1) y se denota X ∼ Ge(p)
si describe el número de realizaciones independientes de un experimento necesarias hasta obtener el primer éxito, siendo p la probabilidad de éxito en
una realización del experimento (probabilidad de fracaso 1−p). Puede tomar
como valor cualquier número natural, {1, 2, . . .}.
Si k ∈ {1, 2, . . .}, se cumple
P (X = k) = (1 − p)k−1 p ;
E[X] =
1.1.2.
1
;
p
var[X] =
1−p
.
p2
Otros modelos asociados al proceso de Bernoulli
Distribución Binomial Negativa, BN(r, p). Una variable aleatoria X
sigue distribución Binomial Negativa de parámetros r ∈ N y p ∈ (0, 1) y se
denota X ∼ BN(r, p) si describe el número de fracasos de un experimento
antes del r-ésimo éxito, siendo las realizaciones del experimento independientes y en cada una de ellas p la probabilidad de éxito (probabilidad de
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fracaso 1 − p). Puede tomar cualquier valor entero mayor o igual que cero,
{0, 1, 2, . . .}.
Si k ∈ {0, 1, 2, . . .}, se cumple
r+k−1 r
P (X = k) =
p (1 − p)k ;
r−1
E[X] =
r(1 − p)
;
p
var[X] =
r(1 − p)
.
p2
Distribución Hipergeométrica, H(N, n, D/N ). Una variable aleatoria
X sigue distribución Hipergeométrica de parámetros N ∈ N, n ∈ N con
n ≤ N y D/N con D ∈ N, D ≤ N y se denota X ∼ H(N, n, D/N ) si
describe el número de individuos que tienen una cierta caracterı́stica en n
observaciones sin reemplazamiento en una población de N individuos de entre
los que D tienen la caracterı́stica (N − D no tienen la caracterı́stica). Puede
tomar cualquier valor entero mayor o igual que máx{0, n + D − N } y menor
o igual que mı́n{n, D}.
Si máx{0, n + D − N } ≤ k ≤ mı́n{n, D}, se cumple
D N −D
k
P (X = k) =
E[X] = n
1.2.
D
;
N
var[X] = n ×
n−k
N
n
;
D N −D N −n
×
×
.
N
N
N −1
Proceso de Poisson
Distribución de Poisson, P(λ). Una variable aleatoria X sigue distribución de Poisson de parámetro λ > 0 y se denota X ∼ P(λ) si representa el
número de eventos ocurridos independientemente y a velocidad constante o
con intensidad constante en un tiempo o región fija. Puede tomar cualquier
valor entero mayor o igual que cero, {0, 1, 2, . . .}.
Si k ∈ {0, 1, 2, . . .}, se cumple
λk −λ
e ;
k!
var[X] = λ.
P (X = k) =
E[X] = λ ;
Propiedad. Las distribuciones de Poisson son reproductivas, es decir, dadas X ∼ P(λ1 ) e Y ∼ P(λ2 ) independientes, se cumple X + Y ∼ P(λ1 + λ2 ).
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2.
Distribuciones continuas
Aquellas que están asociadas a variables aleatorias continuas.
Distribución Uniforme, U(a, b). Una variable aleatoria X sigue distribución uniforme de parámetros a < b y se denota X ∼ U(a, b) si toma valores
en el intervalo (a, b) según la siguiente función de densidad,

1
si x < a
 0
si x ∈ (a, b)
x−a
b−a
si a ≤ x < b ;
fX (x) =
; FX (x) =
0
si x ∈
/ (a, b)
 b−a
1
si x ≥ b
E[X] =
2.1.
a+b
;
2
var[X] =
(b − a)2
.
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Proceso de Poisson
Distribución Exponencial, Exp(λ). Una variable aleatoria X sigue distribución exponencial de parámetro λ > 0 y se denota X ∼ Exp(λ) si toma
valores positivos según la siguiente función de densidad,
−λx
λe
si x > 0
0
si x < 0
fX (x) =
; FX (x) =
;
−λx
0
si x ≤ 0
1−e
si x ≥ 0
E[X] =
1
;
λ
var[X] =
1
.
λ2
Propiedad. Las distribución exponencial no tiene memoria, es decir dada
X ∼ Exp(λ) y t1 , t2 > 0,
P (X > t1 + t2 |X > t1 ) = P (X > t2 ).
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2.2.
Distribución Normal
Distribución Normal, N(µ, σ). Una variable aleatoria X sigue distribución normal de media µ y desviación tı́pica σ y se denota X ∼ N(µ, σ) si
toma valores en toda la recta real, según la siguiente función de densidad,
(x−µ)2
1
fX (x) = √ e− 2σ2 .
σ 2π
No podemos dar de forma explı́cita ninguna primitiva de esta función, por
lo
R x tanto la función de distribución sólo podemos describirla como FX (x) =
f (t)dt.
−∞ X
E[X] = µ ; var[X] = σ 2 .
Llamamos normal tipificada o estándar a la normal de media 0 y desviación tı́pica 1, N(0, 1).
Propiedad. Dados a, b ∈ R y X una variable aleatoria tal que X ∼
N(µ, σ), entonces la variable aleatoria aX + b sigue distribución normal, más
concretamente
aX + b ∼ N(aµ + b, |a|σ).
Utilizando esta propiedad podemos tipificar cualquier variable aleatoria normal, se cumple X−µ
∼ N(0, 1).
σ
Propiedad. Si X ∼ N(0, 1) y FX es su función de distribución, por la
simetrı́a de la distribución normal, se cumple que para cualquier x ∈ R,
FX (−x) = 1 − FX (x).
Propiedad. La suma de dos variables aleatorias normales independientes
sigue distribución normal. Ası́, si X ∼ N(µ1 , σ1 ) e Y ∼ N(µ2 , σ2 ) son independientes, entonces
q
2
2
X + Y ∼ N µ1 + µ2 , σ1 + σ2 .
Teorema Central del Lı́mite. Si X1 , X2 , . . . , Xn son n variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas con media µ √
y desviación
Pn
tı́pica σ, entonces,
entonces
X
se
aproxima
a
una
N(nµ,
σ
n), equivai
i=1
Pn
√
lentemente i=1 Xi /n se aproxima a una N(µ, σ/ n). La aproximación es
buena si n ≥ 30.
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Corrección por continuidad. Si aplicamos el Teorema Central del Lı́mite
a variables aleatorias discretas con valores enteros, mientras que X1 + X2 +
. . . + Xn es discreta (y toma valores enteros), la normal es continua. Ası́,
para aproximar la probabilidad de X1 + X2 + . . . + Xn ≤ a donde a ∈ N,
calculamos FN(nµ,σ√n) (a + 1/2).
Aproximación Binomial-Normal. Si n ≥ 30 y np(1
p − p) > 5, podemos
aproximar una binomial B(n, p) por una normal N(np, np(1 − p)). Observa
que una binomial se puede construir como suma de variables de Bernoulli
independientes.
Aproximación Poisson-Normal. La distribución de Poisson surge como
lı́mite e la Binomail cuando el número de experimentos tiende a infinito.
Por tanto,
si λ > 5, podemos aproximar una Poisson P(λ) por una normal
√
N(λ, λ).
2.3.
Distribuciones relacionadas con la normal
Distribución χ2 de Pearson, χ2n . Si X1 , X2 , . . . , Xn son n variables aleatorias independientes con distribución N(0, 1), entonces
Y = X12 + X22 + . . . + Xn2
sigue distribución chi-cuadrado de Pearson con n grados de libertad, Y ∼
χ2n . Una variable aleatoria con distribución chi-cuadrado sólo toma valores
positivos.
E[Y ] = n ; var[Y ] = 2n.
Distribución t de Student, tn . Si X e Y son dos variables aleatorias
independientes, de tal modo que X sigue una distribución normal estándar
e Y sigue distribución chi-cuadrado con n grados de libertad, entonces
X
Z=p
Y /n
sigue distribución t con n grados de libertad, Z ∼ tn . Una variable aleatoria
con distribución t toma valores en toda la recta real.
n
E[X] = 0 ; var[X] =
si n ≥ 3.
n−2
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Distribución F de Fisher-Snedecor, Fn1 ,n2 . Si X e Y son dos variables
aleatorias independientes, de tal modo que X sigue una distribución chicuadrado con n1 grados de libertad e Y sigue distribución chi-cuadrado con
n2 grados de libertad, entonces
Z=
X/n1
Y /n2
sigue distribución F con n1 y n2 grados de libertad, Z ∼ Fn1 ,n2 . Una variable
aleatoria con distribución F sólo toma valores positivos.
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