Paquete choca Carrito

Ejemplo
En el centro de distribución de un transportista, un carrito abierto de 50 kg está rodando hacia la
izquierda con rapidez de 5.00 m/s. La fricción entre el carrito y el piso es despreciable. Un paquete de 15
kg baja deslizándose por una rampa inclinada 37° sobre la horizontal y sale proyectado con una rapidez de
3 m/s. El paquete cae en el carrito y siguen avanzando juntos. Si el extremo inferior de la rampa esta a
una altura de 4.00 m sobre el fondo del carrito, a) ¿ qué rapidez tendrá el paquete inmediatamente de
caer en el carrito? b) ¿ Qué rapidez final tendrá el carrito?
Datos:
= 50 .
= 5 ⁄
= 15 .
= −37°
= −3 ⁄
= −4 .
) = ?
) = ?
Necesitamos encontrar la velocidad con la que llega el paquete al carrito, por los datos que
tenemos primero encontraremos el tiempo de vuelo del paquete:
Utilizando una ecuación de proyectiles (3.6) para este tiempo:
1
= ! − ! #
2
Acomodamos los términos para formar el polinomio cuadrático:
1
0 = − ! # + ! − 2
Sustituimos los datos:
1
0 = − %9.8)! # + |−3 /| %−37°)! − %−4)
2
Simplificamos y le damos vuelta a la ecuación :
−4.9! # − 1.8! + 4 = 0
Podemos ver del polinomio quién es a,b y c para sustituirlos en la solución cuadrática:
!* = 0.74 !*,# =
1.8 ± -%−1.8)# − 4%−4.9)%4) −1.8 ± 9.03
=
=
2%−4.9)
−9.8
!# = −1.10
Nos quedamos con el valor positivo de 0.74 s.
La siguiente figura muestra el trayecto de bajada del paquete:
Figura 2: Cuando el paquete está a punto de tocar el fondo
se indican las componentes de la velocidad final.
Vamos a utilizar la ecuación (3.4) para encontrar la velocidad:
. = − !
. = |−3 /| %−37°) − %9.8 / # )%0.74 )
/01 = 2. 34 5⁄6
b) Ahora por Conservación de Momento:
789 = 79
En ambas condiciones tenemos dos momentos, el momento inicial es cuando el paquete está a
punto de tocar el fondo del carrito figura 2, y el final es cuando van juntos figura 3.
: : + ; 8; = : : + ; ;
Como ambos siguen juntos después del impacto , entonces lo que tenemos es un choque
inelástico, donde la velocidad final es la misma.
: : + ; 8; = : + ; Sacamos de factor común la velocidad final en el lado derecho de la ecuación:
: : + ; 8; = %: + ; )
Despejando para la velocidad final:
=
: 8: + ; 8;
: + ;
El movimiento del carrito y del paquete es horizontal según lo muestra la figura 2, por lo que
trabajaremos con la componente en “x” para el paquete.
=
: :< + ; 8;
: + ;
Recordemos que < = =
=
: = + ; 8;
: + ;
Para este choque vamos a definir las velocidades positivas a la derecha y negativas a las que van
hacia la izquierda.
El carrito se mueve hacia la izquierda, por lo que tendremos que colocarle un signo negativo.
=
%15 )|−3 /| Cos%−37°) + %50 )%−5 /)
15 + 50 /0 = −A. B2 5⁄6