Clase 6

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 6
(16 feb. 2012)
Campos conservativos y Potencial
1.– Independencia del camino y campos conservativos. 2.– Ejemplo: Integral de lı́nea de F(x, y) = (y, x) a lo largo
de una linea cerrada. 3.– Condición necesaria para que un campo sea un gradiente. 4.– Ejemplo: Hallar a para que
F(x, y) = (4x 2 + ax y, 3y 2 + 4x 2 ) cumpla la condición necesaria para ser un campo gradiente. 5.– Primer método
para calcular el potencial: Mediante una integral de lı́nea. 6.– Segundo método para calcular el potencial: Mediante
cálculo de primitivas.
1 Independencia del camino y campos conservativos.
En la última clase vimos que si un campo F es el gradiente de un campo escalar f (x, y), F = r f , entonces
para cualquier curva C desde P1 hasta P2 ,
Z
F · dr = f (P2 ) f (P1 ).
C
Esto nos permite concluir que para cualquier curva que vaya desde P1 hasta P2 la integral de lı́nea de F
dará el mismo resultado. Esta propiedad se expresa diciendo que para los campos gradiente las integrales
de lı́nea son independientes del camino.
Si F es un campo para el que las integrales de lı́nea entre dos puntos cualesquiera son independientes
del camino, entonces la circulación de F a lo largo de una curva cerrada es cero, ya que, elegido un punto
P cualquiera de la misma, la curva puede ser considerada como un camino que empieza y termina en el
mismo punto P. La integral a lo largo de la curva cerrada será, pues, igual a la integral a lo largo del
camino constante r(t) = P para 0  t  1, el cual tiene velocidad cero y por tanto la integral de lı́nea es
cero.
Un campo para el que la circulación a lo largo de cualquier curva cerrada es cero se llama conservativo.
Por tanto, según el párrafo anterior, todo campo para el que las integrales de lı́nea sean independientes
del camino son conservativos. Recı́procamente, si F es un campo conservativo, sus integrales de lı́nea
son independientes del camino ya que si C1 y C2 son dos caminos distintos desde P1 hasta P2 , entonces
recorriendo C2 en sentido inverso tenemos un camino, C2 , desde P2 hasta P1 que recorrido a continuación
de C1 da como resultado un camino cerrado, C, que empieza y termina en P1 y tenemos:
Z
Z
Z
Z
Z
0=
F · dr =
F · dr +
F · dr =
F · dr
F · dr
C
con lo cual
C1
C2
Z
C1
F · dr =
C1
Z
C2
C2
F · dr
Resumiendo:
1. Los campos conservativos son los mismos que aquellos para los que las integrales de lı́nea entre dos
puntos fijos cualesquiera son independientes del camino.
2. Todos los campos gradiente son campos conservativos.
Un poco más delicada es la cuestión de si todos los campos conservativos son campos gradiente. Si consideramos campos en completa generalidad la respuesta es no. Pero si consideramos campos diferenciables
definidos en todo el plano, la respuesta es sı́.
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Campos conservativos y Potencial
Curso 2011-12
2 Ejemplo: Integral de lı́nea de F(x, y) = (y, x) a lo largo de una
linea cerrada.
Sea C la trayectoria compuesta por el segmento del eje x desde el origen hasta el punto (1, 0), el arco del
cı́rculo unitario comprendido entre el eje x y la recta y = x (que va desde el punto (1, 0) hasta el punto
(cos ⇡4 , sen ⇡4 )) y el segmento sobre la recta y = x que va desde el extremo del arco anterior hasta el origen.
Esta trayectoria es una trayectoria cerrada que se puede considerar compuesta por tres trozos:
C1 : El segmento del eje x desde el origen hasta el punto (1, 0),
C2 : El arco del cı́rculo unitario comprendido entre el eje x y la recta y = x,
C3 : El segmento sobre la recta y = x que va desde el extremo del arco anterior hasta el origen.
R
Sea F(x, y) = (y, x) y calculemos la integral de lı́nea C F · dr. Para ello podemos descomponerla en
suma de tres integrales:
Z
Z
Z
Z
F · dr =
F · dr +
F · dr +
F · dr
C
C1
C2
C3
Z
Z
Z
(M dx + N dy) +
(M dx + N dy) +
(M dx + N dy)
=
C1
C2
C3
Z
Z
Z
=
(y dx + x dy) +
(y dx + x dy) +
(y dx + x dy).
C1
C2
C3
Puesto que en C1 se cumple y = 0, dy = 0,
Z
C1
Z
(y dx + x dy) =
1
0
En C2 podemos poner x = cos ✓, y = sen ✓, dx =
Z
C2
(y dx + x dy) =
=
=
Z
⇡
4
0
Z
⇡
4
sen ✓ d✓, dy = cos ✓ d✓, 0  ✓ 
2
2
sen ✓ d✓ =
cos ✓
1
sen 2✓
2
⇡
4
=
0
1
.
2
Puesto que en C3 se cumple y = x, dy = dx,
Z
C3
(y dx + x dy) =
Por tanto,
Z
C3
(x dx + x dx) = 2
Z
C
⇡
4,
luego:
sen ✓( sen ✓ d✓) + cos ✓ cos ✓ d✓
0

(0dx + 0) = 0.
Z
0
p1
2
"
x2
x dx = 2
2
(y dx + x dy) = 0 +
1
2
Z
⇡
4
cos 2✓ d✓
0
#0
p1
2
⇣
=2 0
1⌘
=
4
1
.
2
1
= 0.
2
Hay que tener claro que esto por si solo no demuestra que F(x, y) = (y, x) sea un campo conservativo.
Para demostrarlo habrı́a que demostrar o bien que todas las integrales de lı́nea a lo largo de trayectorias
cerradas son cero, o bien que todas las integrales de linea son independientes del camino, o bien, finalmente,
que el campo es un gradiente. Esto último suele ser lo más fácil.
En este caso no es difı́cil darse cuenta de que efectivamente F es igual al gradiente de la función escalar
f (x, y) = x y, lo cual explica por qué la integral de lı́nea antrior da cero.
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3 Condición necesaria para que un campo sea un gradiente.
Si un campo F = (M, N ) es el gradiente de un campo escalar f (x, y), F = r f , entonces sus componentes
están determinadas por f (x, y) mediante:
M=
@f
,
@x
N=
@f
.
@y
Entonces, derivando M respecto a y y N respecto a x, tenemos:
@M
@2 f
=
,
@y
@ y@ x
@N
@2 f
=
,
@x
@ x@ y
y como las derivadas segundas cruzadas son iguales,
@M
@N
=
.
@y
@x
Ésta es, pues, una condición necesaria para que F pueda ser un campo gradiente.
4 Ejemplo: Hallar a para que F(x, y) = (4x 2 + ax y, 3y 2 + 4x 2 ) cumpla la condición necesaria para ser un campo gradiente.
Supongamos que queremos averiguar si hay algún valor de a para el cual el campo F(x, y) = (4x 2 +
ax y, 3y 2 + 4x 2 ) cumpla la condición necesaria para ser un campo gradiente. ¿Cómo calcularlo?
Procedemos mediante el siguiente razonamiento: Si hubiera algún valor de a para el cual F cumpliera
la condición necesaria:
@M
@N
=
,
@y
@x
entonces, dado que:
M = 4x 2 + ax y ,
N = 3y 2 + 4x 2 ,
nos planteamos la igualdad de las cantidades:
@M
= ax ,
@y
y
@N
= 4 ⇥ 2x = 8x.
@x
De aquı́ se deduce a = 8.
Para este valor de a el campo F cumple la condición necesaria para ser un gradiente y por tanto nos
podemos plantear la cuestión de hallar un campo escalar f (x, y) cuyo gradiente sea igual a F. Hay dos
métodos principales para esto: (1) Mediante una integral de lı́nea y (2) Mediante cálculo de primitivas.
5 Primer método para calcular el potencial: Mediante una integral
de lı́nea.
Si F = (M, N ) es el gradiente de un campo escalar f (x, y) y C es una curva cualquiera desde el origen
hasta (x1 , y1 ), entonces
Z
C
F · dr = f (x1 , y2 )
f (0, 0).
La función (de x1 e y1 ) que aparece en el miembro de la derecha sólo difiere de f en una constante y por
tanto también tiene el mismo gradiente que f . En consecuencia, la función g definida en el punto (x1 , y1 )
mediante:
Z
g(x1 , y1 ) =
F · dr
C
tiene la propiedad
rg = F
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y por tanto es una solución de nuestro problema. Basta elegir un camino desde (0, 0) hasta (x1 , y1 ) para
el que el cálculo de la integral de lı́nea sea sencillo para calcular la fórmula de g(x, y). Entre los caminos
más sencillos se encuentran aquellos compuestos por trozos en los que solamente varı́a una coordenada.
Veamos un ejemplo.
Si F(x, y) = (4x 2 + 8x y, 3y 2 + 4x 2 ), sea C el camino desde (0, 0) hasta (x1 , y1 ) compuesto de dos
trozos rectilı́neos: C1 desde (0, 0) hasta (x1 , 0) y C2 desde (x1 , 0) hasta (x1 , y1 ),
Z
Z
Z
g(x1 , y1 ) =
F · dr =
F · dr +
F · dr.
C
C1
C2
C1 : En este trozo tenemos y = 0 y dy = 0, 0  x  x1 , por tanto:
Z
Z
Z x1
4
F · dr =
M dx + N dy =
4x 2 + 0 dx = x13
3
C1
C1
0
C2 : En este trozo tenemos x = x1 y dx = 0, 0  y  y1 , por tanto:
Z
Z
Z y1
F · dr =
M dx + N dy =
3y 2 + 4x12 dy = y13 + 4x12 y1
C2
Ası́ que
g(x1 , y1 ) =
o, eliminando los subı́ndices,
C2
Z
C
0
F · dr =
Z
C1
F · dr +
g(x, y) =
Z
C2
F · dr =
4 3
x + y13 + 4x12 y1
3 1
4 3
x + y 3 + 4x 2 y .
3
Comprobación:
@g
= 4x 2 + 8x y ,
@x
@g
= 3y 2 + 4x 2 .
@y
6 Segundo método para calcular el potencial: Mediante cálculo de
primitivas.
Dados:
M = 4x 2 + 8x y ,
y
N = 3y 2 + 4x 2 ,
el primer paso es buscar una función de x cuya derivada sea M, esto es, hallar una primitiva de 4x 2 + 8x y
como función de x (considerando la y como constante):
Z
4
8
4x 2 + 8x y dx = x 3 + x 2 y
3
2
El segundo paso es añadir a este resultado una función desconocida de y para obtener la forma más
general de una función de (x, y) cuya parcial respecto a x sea 4x 2 + 8x y:
4 3 8 2
x + x y + g(y).
3
2
El tercer paso es calcular la parcial respecto a y de la expresión encontrada:
8
0 + x 2 + g 0 (y).
2
Esto tiene que coincidir con N , ası́ que lo más sencillo es restar esto de N e igualar a cero para obtener una
ecuación para g 0 (y):
g 0 (y) = 3y 2 , g(y) = y 3 .
Ası́ pues, un potencial de F en este caso es:
4 3 8 2
4
x + x y + g(y) = x 3 + 4x 2 y + y 3
3
2
3
4