Cálculo del Exponente de Hurst mediante Wavelets

Estimación del Exponent de Hurst usando densidad espectral Wavelet
Como he señalado anteriormente, la estimación wavelet del exponente de Hurst es lo que me
inició en mi aventura exponente de Hurst. Mis primeros intentos de utilizar la transformada
wavelet para calcular el exponente de Hurst fracasaron, por una variedad de razones. Ahora que
ha sido cubierto el método clásico R/S , es el momento de discutir los métodos wavelet.
El exponente de Hurst para un conjunto de datos se calcula a partir de la densidad espectral
wavelet, que se refiere a veces como escalograma. He cubierto técnicas espectrales wavelet en
una página web Spectral Analysis and Filtering with the Wavelet Transform. Esta página web
describe la estructura wavelet "octava", que se aplica en el cálculo del exponente de Hurst. El
plot de la densidad espectral wavelet se genera a partir del espectro de potencia wavelet. La
ecuación para calcular la potencia normalizada para la j-ésima octava se muestra en la Ecuación
14.
Aquí, la potencia se calcula a partir de la suma de los cuadrados de los coeficientes wavelet (el
resultado de la transformada de wavelet hacia adelante) para la j-ésima octava. Una octava
wavelet contiene 2j coeficientes wavelet. La suma de los cuadrados se normaliza dividiendo
por 2j, dando la potencia normalizada. En el análisis espectral, no siempre es necesario utilizar
la potencia normalizada. En la práctica, el cálculo del exponente de Hurst requiere potencia
normalizada.
La Figura 17 muestra la gráfica de la densidad de potencia normalizada para la transformada
wavelet de 1024 puntos de datos con un exponente de Hurst de 0.72. En este caso se utilizó el
Daubechies D4 wavelet. Puesto que este número de octava wavelet es el log2 del número de
coeficientes wavelet, el eje x está en una escala logarítmica.
Figura 17
El exponente de Hurst se calcula a partir de la densidad espectral wavelet mediante el cálculo de
una línea de regresión lineal a través del conjunto de puntos {xj, yj}, donde xj es la octava e yj es
el log2 de la potencia normalizada. La pendiente de esta línea de regresión es proporcional a la
estimación para el exponente de Hurst. Un gráfico de regresión para el espectro de potencia
Daubechies D4 en la Figura 17 se muestra en la Figura 18.
Figura 18
Si desea una respuesta real, en lugar de una idea de cómo el cambio de una cosa causa el cambio
de otra cosa, la afirmación de que algo es proporcional a otra cosa no es muy útil. La ecuación
para calcular el exponente de Hurst partir de la pendiente de la línea de regresión a través de la
densidad espectral normalizada se muestra en la Ecuación 15.
La Tabla 3 compara la estimación exponente Hurst con tres transformada wavelet para el
exponente de Hurst estimado mediante el método R/S. La Daubechies D4 es una transformada
wavelet "energía normalizada". Se utilizan aquí también formas de energía normalizadas del
wavelet de Haar e interpolación lineal. Un wavelet de energía normalizada parece ser requerido
en la estimación del exponente de Hurst.
Table 3 Estimación del exponente de Hurst para 1024 puntos de conjuntos de datos sintéticos
Función Wavelet H=0.5
0.5602
Linear Interp. 0.5319
Daubechies D4
0.5006
R/S
0.5791
Haar
Error
0.0339
0.1396
0.0510
0.0193
H=0.72
0.6961
0.8170
0.7431
0.7246
Error
0.0650
0.0449
0.0379
0.0149
H=0.8
0.6959
0.9203
0.8331
0.5973
Error
0.1079
0.0587
0.0745
0.0170
El error de la regresión lineal varía mucho para las diversas funciones wavelet. Aunque el
wavelet interpolación lineal parece ser un buen filtro para las formas de onda de diente de sierra,
como series de tiempo financieras, que no parece funcionar bien para estimar el exponente de
Hurst.
No he descubierto una manera de determinar a priori si una función wavelet dada será un buen
estimador del exponente de Hurst, aunque experimentalmente se puede determinar a partir del
error de regresión. En algunos casos también depende del conjunto de datos. En la Tabla 4 el
exponente de Hurst se estima a partir de la gráfica de densidad espectral de Haar y a través de la
técnica de R/S. En este caso, el wavelet de Haar tenía un error de regresión más bajo que el
wavelet Daubechies D4.