La numeración griega

La numeración griega
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive
En el primer milenio antes de Cristo, no había un sistema griego de medidas estándar ya que los diversos
estados helénicos se enorgullecían de su independencia respecto a los demás. Esto implicaba que cada estado
tenía su propia moneda, sus propios pesos y medidas, etc. A su vez, esto llevaba a que hubiera pequeñas
diferencias entre los sistemas numéricos ya que una de las principales funciones de un sistema numérico en la
antigüedad era ayudar en las transacciones comerciales. Sin embargo en este artículo no entraremos en este
tema con suficiente detalle como para examinar esas pequeñas diferencias sino que trataremos solamente la
estructura general. Debemos de decir lo primero que los antiguos griegos tenía sistemas diferentes para los
números cardinales y los ordinales así que hay que ser cuidadosos con lo que queremos decir por sistemas
numéricos griegos. También veremos brevemente algunos de los sistemas que fueron propuestos por algunos
matemáticos griegos pero que no fueron aceptados ampliamente.
El primer sistema numérico griego que examinaremos es su sistema acrofónico, el cual fue utilizado en el
primer milenio antes de Cristo. 'Acrofónico' quiere decir que los símbolos para los números vienen de la primera
letra del nombre del número, así que el símbolo se deriva de una abreviación de la palabra que se usa para ese
número. La siguiente figura contiene los símbolos para los número 5, 10, 100, 1 000 y 10 000.
5, 10, 100, 1000 y 10000 acrofónicos.
Hemos omitido el símbolo para 'uno', una simple '|', que es una notación obvia que no viene de la letra inicial
del nombre. Para 5, 10, 100, 1 000 y 10 000 habrá solo un rompecabezas para el lector y es que el símbolo
para 5 que debería ser P si esa es la primera letra de Pente. Sin embargo, esto es una simple consecuencia de
los cambios que sufrió el alfabeto griego después de que se habían ya fijado los símbolos para las cifras. Para
ese entonces ya no se pensaba en los símbolos como provenientes de las iniciales así es que no se les hicieron
cambios junto con los de los símbolos para las letras. La forma original de π era G y Pente era Gente.
Ahora bien, el sistema se basaba en el principio de adición de manera parecida a los números romanos. Esto
significa que 8 es sencillamente V|||, el símbolo para cinco seguido de tres símbolos para uno. La siguiente
figura muestra los números del uno al diez en acrofónicos griegos.
Uno al diez en números acrofónicos griegos
Si se usa la base 10 en un sistema aditivo sin símbolos intermedios, entonces se requieren muchos caracteres
para expresar ciertos números. El 9999 requeriría 36 símbolos es este sistema lo que es muy trabajoso. Ya
hemos visto que los números acrofónicos griegos tenían un símbolo especial para 5. Esto no es sorprendente ya
que disminuye la cantidad de caracteres que se requiere y también surge, presumiblemente, de contar con los
dedos; tenemos 10 pero hay 5 en cada mano. Lo que es un poco más sorprendente es que el sistema tenía
símbolos intermedios para 50, 500, 5000 y 50000 pero no eran caracteres nuevos sino símbolos compuestos
conformados por un 5 y los símbolos para 10, 100, 1000 ó 10000 respectivamente. La siguiente figura muestra
cómo se formaban los símbolos compuestos.
Números acrofónicos combinados
Es de notar que ya que el sistema no es posicional, no había necesidad para un cero que señalara un espacio
vacío. El símbolo H representaba 100 ya que no se crea un problema en la representación cuando el número no
tiene decenas o unidades.
Claro que esta no es la única manera en la que se creaban los símbolos compuestos. Ya hemos mencionado que
diferentes estados usaron variaciones del sistema numérico y, aunque no los vamos a examinar en detalle,
vamos al menos a dar algunos indicios que muestran algunas de las 50 variaciones que se han encontrado. La
mayor parte de ellas son más antiguas que la forma principal de los números que hemos considerado la más
típica del periodo 1500 a.C. a 1000 a.C.
Formas diferentes de escribir 50 es distintos estados griegos
El siguiente punto a recalcar es que este sistema numérico no consistía realmente en números abstractos en la
manera en la que pensamos en ellos en la actualidad. Hoy el número 2 lo aplicamos a cualquier colección de
dos objetos y pensamos en el 2 como una propiedad abstracta que es común a todas las colecciones que
contienen dos objetos. Sabemos que los antiguos griegos pensaban de manera distinta ya los números se
usaban de maneras un tanto diferentes dependiendo de a qué se referían. El uso más frecuente de este sistema
numérico era para cantidades monetarias. La unidad monetaria básica era el dracma y había una unidad mayor
llamada talento equivalente a 6000 dracmas. El dracma a su vez se subdividía en óbolos, que valían 1/6 de
dracma, y en chalcos, que eran 1/8 de óbolo. También se usaban medios óbolos y cuartos de óbolo. Debe
notarse que este sistema monetario no era decimal aunque el sistema numérico sí tenía al 10 como base y al 5
como base secundaria.
Las diferentes unidades monetarias se denotaban modificando la notación para las unidades en el número,
como se muestra en las siguiente figuras.
Forma de escribir 5678 dracmas
La forma de las unidades denotaría dracmas.
Escritura de 3807 talentos
En la figura anterior, las unidades ahora aparecen como T (T de talento) mientras que una suma de dinero que
involucrara tanto dracmas como óbolos se escribiría como se muestra en la siguiente figura.
3807 dracmas y 3 óbolos:
Este sistema acrofónico fue usado para otras cosas además de dinero. Un sistema muy similar fue empleado
para los pesos y medidas lo que no es sorprendente ya que el valor del dinero sin duda debe haber
evolucionado de un sistema de pesos. Esto lo confirma el hecho de que dracma es también el nombre de la
unidad de peso.
Ahora echamos una mirada al segundo sistema numérico de la Grecia antigua, la numeración alfabética o,
como se le llama a veces, el sistema 'educado'. Como lo sugiere la palabra 'alfabética', los números se basan en
dar valores a las letras del alfabeto. Vale la pena hacer notar que los griegos fueron uno de los primeros
pueblos en adoptar un sistema de escritura basado en un alfabeto. No fueron los inventores de este tipo de
escritura; ya los fenicios tenían un sistema así anteriormente. El alfabeto griego usado para escribir palabras
fue tomado del sistema fenicio y era muy similar a él. No examinaremos las formas de las letras griegas
mismas pero hay que enfatizar qué tan importante fue esta forma de escribir para el avance del conocimiento.
Es fundamental para la manera de comunicarnos en la mayoría de los países hoy en día, aunque algunos
pueblos prefieren otras formas de escribir.
Hay 24 letras en el alfabeto clásico griego y éstas se usaban junto con tres letras más viejas que han caído en
desuso. Estas 27 letras son:
La tabla muestra tanto las mayúsculas como las minúsculas de las 24 letras clásicas. Las letras digamma,
qoppa y san son las tres obsoletas. Aunque no hemos dado sus símbolos en la tabla, sí aparecen en las tablas
de números que siguen. Las primeras de estas nueve letras fueron tomadas como los símbolos para 1, 2, ..., 9.
Números 1 al 9 alfabéticos
Nótese que el 6 está representado por el símbolo de la letra obsoleta digamma.
Las siguientes nueve letras se tomaron como símbolos para 10, 20, ..., 90.
Números 10 al 90 alfabéticos
. Hay que notar que el 90 se representa mediante la letra obsoleta qoppa.
Las nueve letras restantes se usaron como símbolos para 100, 200, ..., 900.
Números 100 al 900 alfabéticos
El 900 se representa usando el símbolo de la letra obsoleta san
A veces cuando estas letras se escriben para representar números, se ponía una barra sobre el símbolo para
diferenciarlo de la letra correspondiente.
Ahora bien, los números se formaban mediante el principio aditivo. Por ejemplo, 11, 12, ..., 19 se escribían:
Números 11 al 19 alfabéticos
Números más grandes se construían más o menos de la misma manera. Por ejemplo, aquí está el 269:
Número alfabético
269
Este sistema numérico es compacto pero sin modificaciones tiene el gran inconveniente de que no permite
expresar número mayores a 999. Símbolos compuestos fueron creados para solucionar este problema. Los
números entre 1000 y 9000 estaban formados añadiendo un subíndice o un superíndice iota a los símbolos del
1 al 9.
Primera forma de escribir 1000, ..., 9000
Segunda forma de escribir 1000, ..., 9000
¿Cómo representaban los griegos los números mayores a 9999? Pues basaban los números mayores a este en
la miríada, que valía 10000. El símbolo M con números pequeños para un número hasta 9999 escrito sobre él
significaba que el número en pequeño estaba multiplicado por 10000. Por lo tanto, escribir β sobre la M
representaba 20000:
El número 20000
De forma similar, ρκγ escrito sobre la M representaba 1230000
El número 1230000
Claro que escribir un número grande sobre la M era bastante difícil por lo que muchas veces en estos casos el
número pequeño se escribía después de la M en vez de sobre ella. Un ejemplo de Aristarco:
Aristarco escribió así el número 71755875
Para casi todos los fines este sistema numérico podía representar todos los números que pueden surgir en el
día a día. De hecho, sería poco factible que números tan grandes como 71755875 aparecieran muy a menudo.
Por otro lado, los matemáticos sí vieron la necesidad de extender el sistema numérico y ahora vemos dos de
sus propuestas, la primera de Apolonio y después brevemente una de Arquímedes (aunque históricamente esta
última fue hecha unos 50 años antes que la primera).
Aunque no sabemos de primera mano sobre la propuesta de Apolonio, la conocemos a través de un reporte de
Papo. El sistema que hemos descrito arriba funciona con productos por una miríada. La idea que usó Apolonio
para extender el sistema a números más largos fue trabajar con potencias de la miríada. Una M con una α
sobre ella representaba 10000, M con β sobre ella representaba M2, es decir, 10000000, etc. El número a ser
multiplicado por 10000, 10000000, etc. se escribe después del símbolo M y se escribe χαι se escribe entre los
pedazos del número; la mejor manera de interpretar este último símbolo es como 'más'. Como ejemplo, aquí
está el modo en que Apolonio hubiera escrito 587571750269.
Representación de Apolonio del 587571750269
Arquímedes diseñó un sistema similar pero en vez de usar 10000 = 104 como el número básico que era elevado
a diversas potencias, usó 100000000 = 108 elevado a potencias. El primer octeto para Arquímedes consistía de
números hasta 108 mientras que el siguiente eran los números desde 108 hasta 1016. Usando este sistema,
Arquímedes calculó que el número de granos de arena que podrían caber en el universo era del orden de el
octavo octeto, es decir, del orden de 1064.
Bibliografia
1.
G Ifrah, A universal history of numbers : From prehistory to the invention of the computer (London,
1998).
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Traducción Astroseti: 2006-07-13
Traductor: Covadonga Escandón Martinez
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