Lección 11

TEMA 12
INTRODUCCIÓN A LA
OPTIMIZACIÓN
Preparación y Requisitos
Objetivos
„
{
{
{
{
Distinguir extremos locales de globales
Utilizar las condiciones necesarias y/o suficientes para calcular los extremos de
funciones de dos variables
Interpretar geométricamente las condiciones necesarias de primer orden de
extremos libres y condicionados
Justificar con ayuda del desarrollo de Taylor de segundo orden las condiciones
suficientes para extremos libres
Prerrequisitos
„
{
{
{
{
Extremos de funciones de una variable
Cálculo de derivadas parciales
Derivadas direccionales y propiedades del vector gradiente
Teorema de Taylor
Dónde Encontrar el tema
„
{
{
{
{
Caballero, R. et al p. 9 y 10
Caballero, R. et al .(problemas) 10 y 11
Chiang, A. Cap. 9, 11 y 12
Larson et al. Cap. 15.8, 15.9 y 15.10
Introducción
Condición Necesaria para máximo o mínimo en x0 :
- Algebráica: Si existe f '( x0 ) → f '( x0 ) = 0
- Geométrica: Si f ( x ) es suave en x0 → la tangente es horizontal
Definiciones básicas
Sea f : Domino f ⊂ R n → R y S ⊆ Domino f
x0 es MAX en S: f ( x0 ) ≥ f ( x), ∀x ∈ S .
x0 es MIN en S: f ( x0 ) ≤ f ( x), ∀x ∈ S .
x0 es MAX ESTRICTO en S: f ( x0 ) > f ( x ), ∀x ∈ S .
x0 es MIN ESTRICTO en S: f ( x0 ) < f ( x ), ∀x ∈ S .
Preguntas:
¿Existen máximos y mínimos?
¿Cómo puedo buscarlos?
a T2
M1
T1 M2 b
Dos comportamientos
Comportamiento global (absoluto) y comportamiento local (relativo)
Los puntos M1 y T1 son máximos y mínimos absolutos
¿Pero qué sucede con M2 y T2?
La característica común entre M2 y M1, y entre T2 y T1 se recoge en el concepto de:
PUNTO CRÍTICO
Puntos Críticos
Teorema (Todo extremo relativo se produce en un punto fijo): Si f ( x0 , y0 ) es un extremo relativo en una
región abierta R, entonces ( x0 , y0 ) es un punto crítico de f .
Ejemplo
f ( x, y ) = x 2 + y 2
1- Puntos Críticos: Aquellos puntos del dominio que tienen derivada nula
⎧2 x = 0
→ ( xc , yc ) = (0, 0), f (0, 0) = 0
⎨
⎩2 y = 0
2- El resto de puntos del domino siempre van a ser estrictamente mayores a 0,
Luego se trata de un MÍNIMO GLOBAL ESTRICTO
3.- Hemos resuelto el problema algebráicamente
f ( x, y ) = y 2 − x 2
⎧2 y
1- Puntos críticos. ⎨
→ (0, 0) → f (0, 0) = 0
2
−
x
⎩
sin embargo, para x ≠ 0 f ( x, 0) = − x 2 < 0, luego (0,0) no es MIN
incluso, para y ≠ 0 f (0, y ) = y 2 > 0, y no puede (0,0) MAX
PUNTO de SILLA
2.- Hemos resuelto el problema intersecando planos verticales, y viendo que quedan
puntos por encima y debajo
Clasificación de los puntos
fijos: Método del Hessiano
Aplicar Taylor de orden 2 a f ( x, y ) en ( x0 , y0 ) :
1
f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) = hf x '( x0 , y0 ) + kf y '( x0 , y0 ) + [h 2 f xx ''( x0 , y0 ) + 2hkf xy ''( x0 , y0 ) +
2
2
+ k f yy ''( x0 , y0 )] + R2 (h, k )
Dado que es punto crt. su derivadas parciales son nulas, luego lo importante
es el signo del determinante HESSIANO
Formas cuadraticas:
Definida positiva: A1 > 0,... An > 0
⎧> 0 n − par
Definida negativa: A1 < 0, A2 > 0... An ⎨
⎩< 0 n − impar
Semidefinida positiva: los menores NO-nulos >0
Semidefinida negativa: los menores NO-nulos siguen los signos -,+,-,+....
⎛ f ''xx
Dado el hessiano H ( x, y ) = ⎜
⎝ f ''xy
A1 = f xx ''; A2 = H ( x, y )
f ''xy ⎞
⎟
f '' yy ⎠
Luego, caben las posibilidades siguientes:
1. f ''xx > 0, H ( x0 , y0 ) > 0 → F .D. + → f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) > 0 → f ( x0 , y0 ) es MIN local
2. f ''xx < 0, H ( x0 , y0 ) > 0 → F .D. − → f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) < 0 → f ( x0 , y0 ) es MAX local
3. H ( x0 , y0 ) < 0 → NO DEFINIDA → f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) CAMBIANTE → P.SILLA
Ejemplo
Método del Hessiano en
funciones compuestas
Objetivo: Estudiar los puntos crtc de funciones objetivo complicadas (compuestas)
Técnica: Sustituir las funciones objetivo por otras más simples
¿Cuándo es posible hacerlo?
Cuando la función objetivo es la composición de una función con una
función monótona
Ejemplo 1.
f ( x, y ) = e g ( x , y ) es el resultado de componer et y la función g ( x, y ). El resultado es que f ( x, y ) y g ( x, y )
comparten los puntos fijos dado que et es una transformación monótona de g ( x, y )
Ejemplo 2.
f ( x, y ) = ln( g ( x, y )) comparte los mismos puntos críticos que g ( x, y), exceptuando aquellos para los que
el logaritmo no está definido.
Ejemplo 3.
f ( x, y ) = g ( x, y ) comparte los mismos puntos críticos que g ( x, y ), exceptuando aquellos para los que
la raíz no está definida
Extremos condicionados
Objetivo:
Optimizar f ( x, y ) sujetos a una restricción sobre las variables g ( x, y ) = 0
Solución:
Corte Vertical
Corte Horizontal (Multiplicadores de Lagrange)
Corte Vertical:
Despejar y = φ ( x ) de la función restricción g ( x, y ) = 0
Sustituir en la función objetivo: f ( x, φ ( x)) = h( x)
El problema se convierte en una optimización de una sola variable
Observaciones:
a.- El extremo obtenido de h( x) no es un extremo de f ( x, y ) considerada aisladamente.
b.- Sí es el extremo de la intersección vertical entre f ( x, y ) y el plano g ( x, y )
c.- La dificultad aparece cuando no es posible despejar y en la función restricción g ( x, y )
Ejemplo 1
Objetivo: Minimizar la siguiente función
sujeto a
Solución
Despejar y
Método de las curvas de nivel
Hallar las curvas de nivel de la función objetivo:
Optimizar (máximo o mínimo) implica encontrar el z óptimo que cumpla la
restricción g (x, y) = 0. Por tanto buscamos el corte entre la curva de nivel y g (x, y) = 0
El MÍNIMO se produce en
el punto de tangencia
Método de los multiplicadores
de Lagrange
El método gráfico muestra que se busca la TANGENCIA entre la función objetivo y la
restricción
Dos curvas son TANGENTES si sus vectores normales son PARALELOS
Los vectores GRADIENTES de cada curva son vectores NORMALES
En el punto de TANGENCIA se satisface que ∇f debe ser múltiplo de ∇g :
∇f ( x, y ) = λ ∇g ( x , y )
Criterios de clasificación
Teorema de la Función Implícita: g ( x, y ) = 0 define IMPL. una func. y = ϕ ( x) y ϕ '( x* ) = −
g 'x * *
(x , y )
g 'y
Dado que es opt. en x* , x → φ ( x ) ≡ f ( x, ϕ ( x )) debe satisfacer condiciones
dφ *
( x ) = f 'x + f ' y ϕ '( x) = 0
dx
IDEA : Para clasificarlos usamos el criterio de la segunda derivada φ ''( x)
de primer orden (derivada respecto de x nula):φ '( x*) =
Se pude demostrar que:
0
1
d 2φ
g 'x
=−
dx 2
g ' y ( x0 , y 0 )2
g 'y
g 'x
L ''xx
g 'y
L ''xy , luego
L ''xy
L '' yy
si f y g son de clase 2 sobre un conjunto abierto de R 2 , y (x0 , y0 , λ0 ) punto crit.
de L( x, y, λ ), entonces:
(1) H(x0 , y0 , λ0 ) < 0 → Min. Local de f
(2) H(x0 , y0 , λ0 ) > 0 → Max. Local de f
(3) H(x0 , y0 , λ0 ) = 0 → Caso dudoso
Maximizando la utilidad
Dada la función de utilidad de un consumidor representada por
con ingreso de Y euros, y unos precios de 3 y 1 euro de cada bien
El problema es
Sujeto a
Solución: Formamos el lagrangiano
C.P.O
De las dos primera ecuaciones obtenemos, por cociente:
C
3 = 2 ⇔ 3C1 = C2
C1
Sustituyendo en la ecuación #3: Y − 3C1 − 3C1 = 0 ⇔
⇔ C1 =
Nivel de utilidad óptima es
C1
1
Y
Y
→ C2 = → λ =
=
6
2
C2
3
Condiciones de segundo
orden
Formamos el Hessiano Orlado y lo evaluamos en el punto óptimo,
⎛Y Y 1 ⎞
HB ⎜ , ,
⎟
6
2
3
⎝
⎠
MÁXIMO
Qué Hemos Aprendido
Máximos y mínimos locales de funciones de dos
variables
„
{
{
{
Condición necesaria. Puntos críticos
Puntos de silla
Condición suficiente. Criterio de las derivadas segundas
Máximos y mínimos locales de funciones de dos o
tres variables sujetas a una restricción de igualdad
„
{
{
{
Formulación del problema
Método de eliminación de variables
Método de Lagrange. Condiciones necesarias de primer
orden