teoría de mecanismos 3.- cinemática de mecanismos

TEORÍA DE MECANISMOS
3.- CINEMÁTICA DE
MECANISMOS
Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica
1
Cinemática de máquinas
„
Estudio cinemático: determinación de
„
„
„
„
„
Trayectorias
Velocidades
Aceleraciones
Métodos analíticos y gráficos
Pares elementales
„
„
Rotación
Traslación
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2
Rotaciones (Vectores deslizantes)
„
„
„
„
Vectores deslizantes FUERZA
Vectores deslizantes ROTACIÓN
Reducción del
sistema de
vectores
deslizantes en un
punto dado.
(Resultante de las fuerzas, Momento de las fuerzas)
(Rotación, Momento de la rotación)
Velocidad
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Departamento de Ingeniería Mecánica
NOTA: los vectores
deslizantes se aplican
sobre un sólido rígido
3
Fuerzas (Vectores deslizantes)
„
Vectores deslizantes FUERZA
La reducción del sistema de vectores
Deslizantes FUERZA en un punto cualquiera P,
consiste en :
Posicionar el vector Resultante de las Fuerzas,
en dicho punto P.
Posicionar el vector Suma de los Momentos de
las fuerzas respecto a dicho punto P.
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4
Reducción sistema de fuerzas en un
punto
En el punto de contacto P
El sólido rígido superior
Actúa mediante un sistema
Equivalente de vectores,
Consistente en:
- una resultante de las fuerzas
Actuantes.
- un momento suma de los
momentos de cada una de las
fuerzas en el punto P.
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5
Rotaciones (Vectores deslizantes)
„
Vectores deslizantes ROTACIÓN
La reducción del sistema de vectores deslizantes
ROTACIÓN en un punto cualquiera P, consiste en :
Posicionar el vector Resultante de las Rotaciones, en dicho
punto P.
Y
Posicionar el vector Suma de los Momentos de las
rotaciones respecto a dicho punto P. (VELOCIDAD DE P)
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6
Rotaciones (Vectores deslizantes)
„
„
El sólido rígido afectado por un sistema de rotaciones, puede
representarse por el esquema de la figura.
Cada bastidor está bajo el efecto de
w1
una rotación.
„
w2
SÓLIDO RÍGIDO
Estando todos los ejes de rotación de
cada bastidor apoyados en el siguiente.
„
Cualquier punto P del sólido rígido está
afectado por una rotación suma de las
de cada bastidor.
„
Cualquier punto P del sólido rígido está
afectado por el momento suma de todas
las rotaciones, es decir su velocidad.
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w3
w4
7
Movimiento general de un sólido rígido
„
El sistema de referencia (SF) es fijo
G
G G JJJG
VP = V0 + ω ∧ OP
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8
Movimiento general en el plano
Sólido
rígido
G
G G JJJG
VP = V0 + ω ∧ OP
G G
VI = 0
G
G G JJG
VP = VI + ω ∧ I P
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9
Cinemática
„
Ecuaciones Mecánica
(dado un SF, SM)
JJG JJJG JJJG
r ABS =rARR +rREL
JJJG JJJJG JJJG
v ABS =v ARR +v REL
JJJG
JJJJG JJJG JJJJJJJJG
aABS = aARR + aREL + aCOR IOLIS
„
Relaciones vectoriales
(A, B Є a un sólido rígido SR)
G JJG JG
r A =rAB +rB
JJG JJJG JJG JJJG
v A =v AB +v B + v REL
JJG JJG JJJG JJJJJJJJG
aA = aAB + aB + aREL + aCOR IOLIS
JJG
JJJG
v REL
G JJJG G JJJJJJJJG G
= 0, aREL = 0, aCOR IOLIS = 0
(Dado un SF, y un SM asociado al SR)
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10
Cinemática
„
Ecuaciones Mecánica
(dado un SF, SM)
JJG JJJG JJJG
r ABS =rARR +rREL
JJJG JJJJG JJJG
v ABS =v ARR +v REL
JJJG
JJJJG JJJG JJJJJJJJG
aABS = aARR + aREL + aCOR IOLIS
„
Relaciones vectoriales
A, B Є a un sólido rígido SR)
(
G JJG JG
r A =rAB +rB
JJG JJG JG JJG JJJG
v A =v B + ω × rAB + v AB
JJG JJG JG JG JJG dω JJG
aA = aB +ω × (ω × rAB ) +
× rAB
dt
JJG JJJJJJJJG
+ aAB + aCOR IOLIS
JG JJJG
JG G JJJJJJJJG
ω = 0, aCOR IOLIS = 2ω × v rel = 0
(Dado un SF, y un SM asociado a un
punto del SR y // al SF)
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11
Cinemática de un eslabón
Pegados al eslabón en estudio en el punto
C y paralelos al sistema fijo en todo
momento
Movimiento absoluto
M 31
del eslabón 3
respecto a los ejes
(absoluto)
fijos ligados al
eslabón 1
Velocidad de un punto
genérico del eslabón 3
JJG JJJG JJJG
v31 = v3C + vC1
Rotación de
3 sobre C
M C1
(arrastre)
“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Corral, UPM, Madrid 1992
Movimiento del punto C del
eslabón 3 respecto a los ejes
fijos ligados al eslabón 1
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Movimiento absoluto
del eslabón 3
(relativos)
respecto a los ejes
fijos ligados al
Rotación
eslabón 3
alrededor
de C
M 3C
12
Aceleración en un eslabón (1)
„
Si localizamos los ejes móviles pegados a un punto
C del propio eslabón, y mantenemos el SM
paralelo al SF
JJG JJJG JJJG JJJJJJJJJG
a 31 = a 3C + a C1 + a COR IOLIS
JJG JJJG JJJG G
a 31 = a 3C + a C1 + 0
“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Corral, UPM, Madrid 1992
≡ eslabón
TIERRA
9 Interpretación:
JJG
a 31 = ROT + TRAS
JJJJJJJJJG
JJJJG JJJG G
a CORIOLIS = 2 ⋅ ωSM ∧ V3C ≡ 0
0
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13
Aceleración en un eslabón (2)
≡ eslabón
JJG JJG JJG JJJJJJJJJG
a 31 = a 32 + a 21 + a COR IOLIS
“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Corral, UPM, Madrid 1992
JJJJG JJJJG JJJJG JJJJJJJJJG
a ABS = a ARR + a REL + a COR IOLIS
JJJJG JJJJJG JJJJG
v ABS = v ARR + v REL
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14
Técnicas de determinación de velocidades
1. Método de proyección o componente axial
2. Método de las velocidades giradas
3. Cinema de velocidades
4. Método de las velocidades relativas
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15
1. Método de proyección
A, B
JJJG G
AB = cte ⇒ v AB = 0
JJJJJG JJJJJG
vA = vB
AB
SF
JJG
Dado v A
y la dirección de
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JJG
vB ⇒
AB
conocemos
JJG
vB
16
2. Método de las velocidades giradas (I)
„
„
Técnica gráfica
JJG
JJG de cálculo de velocidades
Datos: C, v C y A
Eslabón
VC
Incógnita: v A
VA
c
A
S
B
a
VB
Cinema de
velocidades de
ABC (abc)
C
A'
ISC
C'
AB
ωs
B'
o
b
JJJJJJJJJG JJG
Giramos 90º sentido ω ESLABON v C obtenemos C’
Obtenemos A’, siendo CA || C'A' JJJJJJJJJG
Is
1.
2.
Giramos 90º en sentido contrario a ω ESLABON JJG
el segmento A A'
obteniendo v A
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3.
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17
2. Método de las velocidades giradas (II)
JJG
JJJG
v A → A' Cálculo de v M
JJJG JJJJJG
M ' → M '' → v M ≡ MM''
JJG
JJG
v A → A' Cálculo de v N
JJG JJJJG
N' → N'' → v N ≡ NN''
Cínema de
velocidades de los
eslabones:
O 2 A → oa
O 4 B → ob
“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Corral, UPM, Madrid 1992
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AB → ab
18
3. Cínema de velocidades (I)
„
Sea un eslabón y su CIR en un instante dado.
JG
rp
CIR
„
„
P
JG
P ∈ eslabón:
G
k Vector unitario ⊥ al plano
JJG JG JG
v P = ω ∧ rP
JG
si ω = 1
JJG G JG
v P = k ∧ rP
ω
Luego el vector velocidad se obtiene girando el vector
posición 90º en el sentido de la rotación del eslabón y
haciendo una expansión o contracción de factor ω.
Si lo realizamos para todos los puntos eslabón se obtendrá,
posicionando los vectores velocidad en el CIR, el cinema de
velocidades (puntos homólogos de los del eslabón).
Peslabón
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HOMOLOGÍA
90º
ω
Pcínema
19
3. Cinema de velocidades (II)
„
Ejemplo de trazado del cinema de velocidades del
mecanismo articulado plano para cada eslabón
“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Corral, UPM, Madrid 1992
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20
4. Método de velocidades relativas
Sean A, B ∈ Eslabón
JJG JJJG JJG
v A = v AB + v B
Rotación de B
sobre A
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A
JJG
vB
AB
JJG
vB
B
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Corral, UPM, Madrid 1992
Traslación de B
JJG
vA
JJG
vA
JJJG
v AB
21
Cinema de velocidades del eslabón BCD
„
„
JJG
Datos: v A
Eslabón (4)
Técnica del puntoJJGauxiliar:
obtención de la v x , a partir del
esquema de velocidades del
eslabón (4)
JJG JJJG JJG
JJG JJJG JJG ⎧⎪ v X = v XB + v B
v B = v BA + v A ⎨ JJG JJJG JJJG JJG
⎪⎩ v X = v XB + v BA + v A
„
Encontrar X ∈(4) tal que
JJJG JJJG
(2)
(1)
v XB || v BA ≡ BAX
„
Localizar un punto de 4, por
ejemplo C con velocidad de
dirección conocida, de modo que
que JJG
X ∈(4) esté localizado de manera
JJJG
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v XC || v C
“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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Cinema del
punto
auxiliar x
22
Velocidades relativas. Mecanismo de
corredera
Eslabón (deslizadera) (4)
„
Análisis del punto C (C3 y C2 )
JJJG JJJJJG JJJG
v C3 = v C3C2 + vC2
Dato
Dir.
„
Dir. Tg. guía
Conocido el centro de
curvatura de la guía por
donde se desliza el eslabón
(4), podemos sustituir el
mecanismo por el
cuadrilátero articulado:
O 2 , C0 , C, O3
en C se hace el cálculo de
JJJG
v C0
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“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Corral, UPM, Madrid 1992
JJJG JJJJJG JJJG
v C3 = v C3C0 + v C0
Dir.
23
Polo de velocidades de un eslabón
I13
La rodadura de la
curva C m sobre
la Cf define el
movimiento del
eslabón
3
B
VB
VA
2
CIR del
eslabón
(2). Es
un punto
fijo
4
O2 CIR permanentes
1
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Cm
P3
describe
la curva polar
Cf
A
Eslabón
biela
CIR del eslabón (3).
es un punto móvil
O4
1
Cf Lugar geométrico
de los puntos de la
biela posicionados en
el sistema fijo a tierra
Cm Lugar geométrico
de los puntos
de la
biela posicionados en
el sistema móvil de la
biela
CIR del eslabón (4).
Es un punto fijo
24
Curvas polares
Velocidad de cambio de polo
G
u⇒
tangente a la curva polar (PROPIEDAD)
3
VA
A
B
VB
Cm
Cf
⎧ CIR 3
⎧CIR 3
Pt +∆ t ≡ ⎨
Pt ≡ ⎨
⎩en t + ∆ t
⎩ en t
uA ud
u
uB
u'd
I13
Pt Pt +∆ t
lim
∆ t →∞
∆t
Detalle:
||AA0
P
||BB0
BUniversidad
0
Carlos III de Madrid
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A0
Cf
CIR del
eslabón (3)
Componentes
de Euler-Savary
Cm
G JJG JJG
u = ua + ud =
JJG JJG
= u b + u'd
25
Fórmula de Euler-Savary (I)
„
„
„
La componente de la velocidad de cambio de polo en la
dirección paralela a la velocidad de un punto cualquiera
del eslabón en estudio guarda relación con la velocidad
del punto según las distancias del punto y del CIR al
centro de curvatura de la trayectoria desarrollada por el
JJG
A
punto.
vA
Sea A el punto
ρA
perteneciente al eslabón
CIR
JJG
JJG
Sea ρA el centro de
v A ACCA
uA
JJG =
curvatura de A
IC
u
A
C CA
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CA
26
Fórmula de Euler-Savary (II)
Velocidad de cambio de polo:
Relaciona:
G
u, ρ, v, CIR
G d CIR CIR
i
i'
u=
∆t
JJJJG
JJJJG
JJG d S
JJ
G
JJG
d SA ρA ⋅ d α A G
ρB ⋅ d α B
B
=
⋅ τ B vA =
=
⋅τ A
vB =
dt
dt
dt
dt
G
τ Vector unitario tangente
JJJJJJJJG
JJG
Componentes de CIR i CIR i' dSCIR ,B = CC ⋅ d α B ⋅ τ B
Vectores paralelos
aG
JJJJG JJJJ
d SA , d SB
G
PROY. u
G
PROY. u
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JJJJJJJJG
G
dSCIR i ,A = CCA ⋅ d α A ⋅ τ A
JJJJJJJJG
JJJJG JJG dSCIR ,A CC CIR i JJG
i
dSA = u A =
= A
⋅ vA
dt
ρB
JJJJJJJJG
JJJJG JJG dSCIR ,B CC CIR i JJG
i
= B
⋅ vB
dSB = u B =
ρA
dt
i
B
27
Velocidad de cambio de polo
Obtención gráfica.
Aplicación a la biela 3 de un cuadrilátero
articulado de la Fórmula de Euler-Savary
I13
JJG
JJG
ρA , v A , CIR 3 ⇒ u A
JJG
JJG
ρB , v B , CIR 3 ⇒ u B
G JJG
JJG
u = u A + ⊥ (u d )
G JJG
JJJG
u = u B + ⊥ ' (u 'd )
Velocidad
cambio de
polo
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Velocidad
del punto
B de la
biela 3
Velocidad del
punto A de la
biela 3
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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28
Teorema de Kennedy (I)
I13
„
I14
I23
„
I24
I21
I14
Teorema de los tres
centros o teorema de
“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Kennedy
Corral, UPM, Madrid 1992
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CIR relativo es el punto
en el que la velocidad
relativa entre dos
eslabones dados se anula
CIR A|B = CIR B|A
Sea un mecanismo
articulado plano:
„ Sean 3 los eslabones:
A, B, C.
„ Los 3 CIR relativos 2 a
2 ESTÁN ALINEADOS
I AB , I BC , ICA ⇒ Alineados
29
Teorema de Kennedy (II)
„
Sean: A, B, C los eslabones
„
Sea
„
Sea
Sea
∆ el CIR relativo de A|B
el CIR relativo de A|C
O el CIR relativo de C|B
JJJJJG JJJJJG
v OA |B = v OA |C ≡ α = π rad
„
∆
α
O
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Al calcular las velocidades
relativas respecto al
eslabón B o C, se observa
que son iguales, pues O es
un punto CIR relativo
JJJJJG JJJJJG
Para que sean iguales v OA |B , v OA |C
,O
los tres CIR relativos ∆,
deben estar alineados
30
Cálculo de los CIR relativos usando el
teorema de Kennedy
N eslabones ⇒
N ⋅ ( N − 1)
(CIR relativos)
2
1. Se calculan los CIR
absolutos (N,1).
2. Se calculan los CIR
relativos en las
articulaciones (N,N-1).
3. Se calculan los CIR
relativos en las
deslizaderas ( ⊥ guia → ∞ )
4. Se aplica el teorema de
Kennedy
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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31
Escalas gráficas
α ⎡cm grafi cos cm real ⎤
„
Escala de longitudes
„
Escala de velocidades
β ⎡cm grafi cos cm seg real ⎤
⎢⎣
⎥⎦
Escala de aceleraciones
β2
γ =
α
„
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⎢⎣
⎥⎦
32
Cálculo de la aceleración en puntos pertenecientes
a un mismo eslabón (mismo SM)
d
d
dt
dt
Si A, B Є pieza
AB ≡ cte
Universidad Carlos III de Madrid
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JG JJG JJG
rB = rA + rBA
JJG JJG JJJG
v B = v A + v BA
JJG JJG JJJG
a B = a A + a BA
sólido rígido
B rota sobre A
JJG
rBA Posición de B respecto de A
JJJG
v BA velocidad de B respecto de A
JJJG
a BA aceleración de B respecto de A
33
Posición velocidad y aceleración de
arrastre
„
„
P, se mueve respecto al sistema
móvil
El sistema móvil está
parametrizado por la posición
del origen del sistema móvil (O)
y el vector de rotación ( ω ) del
triedro móvil respecto al triedro
fijo.
SM
O
ω
SF
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JJG
rM
JJJG
vM
JJG
aM
Posición relativa
velocidad relativa
aceleración relativa
Posición, velocidad y
aceleración de arrastre
JJG JG
rarr = r0
JJJG JJG JG JJG
v arr = v 0 + ω ∧ rM
JJJG JJG JG JJG JG JG JJG
a arr = a 0 + α ∧ rM + ω ∧ ω ∧ rM
(
)
34
Estudio de la aceleración (I)
„
„
„
„
Pto A Є eslabón i
Pto B Є eslabón i
Pto C Є eslabón i+1
SM pegado al
eslabón i que
rota con ωi
respecto al SF
i
SM
A
C
B
i+1
SF
JG JJJG JJG
JG JJG JJG
B ∈i, rB = rBA + rA C ∈i + 1, rC = rCA + rA
JJG JJJG JJJG JJG
JJG JJJG JJG
v B = v BA + v A
vC = vCA + v rel + v A
JJG JJJG JJG
JJG JJJG JJJG JJG JJJJJJJJJG
a B = a BA + a A
a C = a CA + a rel + a A + a CORIOLIS
B rota sobre
A con ωi
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C rota sobre
A con ωi
Rotación
SM
JJG JJJG JJJG JJJJJJJJJG
a C = a CA + a arr + a CORIOLIS
35
Estudio de la aceleración (II)
„
Caso de movimiento circular
2
at = ρ⋅α
a n = ω ⋅ρ
cte
„
dω
dt
Aceleración de los puntos A y B Є pieza
B
A
JJJJG
ωBA
JJG
vA
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JJG JJG JJJG
v B = v A + v BA
arrastre
Rotación
sobre A
Rotación
JJG JJG JJJG
a B = a A + a BA
JJJJJJJJJG G
a CORIOLIS = 0
JJJG G
v arr = 0
36
Ejemplos: Manivela
JJG JJG JJJG
a A = a O + a AO
JJJG JJJG JJJG
CC ≡ O ⇒ a AO = a t A + a n A
JJJG JJJG JJJJG
a AO = a t AO + a n AO
Coincide el CIR = O
Coincide el polo = O
de aceleraciones
En general, los puntos del sólido con velocidad nula (CIR) y
aceleración nula (polo de aceleraciones) son distintos
CIR ≠ Polo aceleraciones
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37
Aceleración del polo del cínema de
velocidades
I → I ' → I ''
G
G
a a
G
≠0
JJG JJG JJJG
a A = a I + a AI
I no es un punto
singular en cuanto a
aceleraciones
JJG JJG JJJG
a A = a B + a BA
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A
I
POLO
VELOCIDAD
JJG
ω, α, a A
{
}
38
Polo de aceleraciones (I)
JJG JJG JJJG
a A = a B + a BA ;
A, B
JJG JJG JJJG
JJG G
a A = a I + a AI (a I ≠ 0 en general); A, I ≡ CIR
JJG G JJG JJG JJJG
P ≡ POLO DE ACELERACIONES
∃ a P = 0 → a A = a P + a AP
JJG JJJG
Modelo de
a A = a AP
Si conocemos P, el
cuerpo se comporta
como un sólido
rígido en rotación
pura en ese instante
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Departamento de Ingeniería Mecánica
comportamiento
del eslabón en el
instante t en
cuanto a JJJG
aceleraciones a XP
39
Polo de aceleraciones (II)
A
JJG
aA
B
Polo
aceleración
θ
θ
JJG
aB
JJJG
a AP
JJG G
P ∈eslabon ≡ a P = 0
JJG JJJG
a A = a AP
JJG JJJG
a B = a BP
(
)
Aceleración relativa de A
alrededor de P, con ω y α
del eslabón
eslabón
Cinema de aceleraciones
(A, B, C) → (a, b, c)
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40
Aceleración normal
Construcción gráfica del vector aceleración normal
relacionado con una rotación (pura)
Teorema del cateto
c
m
h
Teorema de la altura
n
h2 = m ⋅ n
c2 = m ⋅ ( m + n )
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“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Corral, UPM, Madrid 1992
Centro
de
rotación
41
Obtención de la aceleración
Obtención de la aceleración de un punto cualquiera del eslabón a partir
deG la aceleración
JJ
JJJJG JJG en A:
a B = a B|A + a A
donde se obtiene la aceleración a partir de la cinemática
relativa de B respecto de A
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“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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42
ejemplo
JJG JJJG
JJG JJG
Datos: v A , a t A es decir, conocemos ω , α
2
2
la secuencia gráfica sería:
JJJG
1. Obtención gráfica de a n A
2. Cinema del eslabón 2 JJJJG
3. Obtención gráfica de a n B|A
JJJG
JJG
4. Obtención
gráfica de a A a partir de a t
JJJG
A
a
y nA
JJJG
5. Obtención gráfica de a n B
“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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43
ejemplo
JJG JJJG
datos v A , a t A
Cinema de
velocidades del
eslabón 3
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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Cinema de
velocidades del
eslabón 5
JJG
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Obtenemos
a B conjuntamente
JJG
con a A y tenemos el cinema de
aceleraciones del eslabón
3y
JJG
obtenemos a C
44
Análisis de aceleraciones (I)
„
Piezas en contacto deslizante
„
En piezas articuladas
P ∈1 o 2
„
JJJG JJJJG
a P(1) = a P( 2)
JJJG JJJJG
v P(1) = v P( 2 )
articulación
P
1
2
En piezas con contacto deslizante
JJJG JJJJG
v P(1) ≠ v P( 2 )
JJJG JJJJG
a P(1) ≠ a P( 2 )
Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica
Se conoce la
dirección de la
velocidad
relativa
SM
1
P ∈1, 2
2
3
45
Análisis de aceleraciones (II)
„
JJG JJG
Considero A ∈1 y enclavo en él el SM ω1 , α1
JJJJJG JJJJJG JJJJJJJG
v A( abs ) = v A( arr ) + v A( rel )SM
JJJJG JJJJG JJJJJG
v A( 3) = v A(1) + v A(SM )
JJJJG
JJJJG
JJJJJG
v
A (1)
v A( 3)
v A(SM )
1
(
3
Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica
1
)
2
46
Cálculo de aceleraciones (III)
JJG
Cálculo de a A
JJG JJJG JJJG JJJG
a A = a O3 + a n A + a t A (1)
dir arrt
JJJG v 2
a nA = A
O3 A
JJJG
a t A dir ⊥ O3 A
JJG JJJG JJJG JJJG
a A = a arr + a rel + a cor (2)
JJJG JJJG JJJG JJJG
a arr = a O1 + a narr + a t arr
SM
dir arrn
Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica
como si A ∈1
JJJG
a rel || O1P
JJJG
JJG JJG
JJG
a cor = 2 ⋅ ω1 ∧ v r (⊥ O1P y ⊥ v r )
47
Cálculo de aceleraciones (IV)
Secuencia de cálculo (1) → (2) → (3) → (4) → (5)
|| O3A
JJJG
a n arr
o
(2)
JJJG
a t arr
(1)
(3)
(5)
JJJG
a nA
JJJG
a cor
JJJG
dir a rel || O1P
(4)
|| O1P
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JJJG
a tA
JJJG
dir a t A
48