Tema 2. Sistemas de part´ıculas y teoremas de conservación.

Tema 2. Sistemas de partı́culas y teoremas de conservación. David Blanco Curso 2009-2010 ÍNDICE Índice 1. Introducción. Cinemática 1.1. Espacio, tiempo y móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Relatividad del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Descripción matemática del movimiento . . . . . . . . 1.4. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Componentes intrı́nsecas de la aceleración . . . . . . . 1.7. Tipos de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Movimiento rectilı́neo uniforme . . . . . . . . . 1.7.2. Movimiento rectilı́neo uniformemente acelerado 1.7.3. Movimiento con aceleración constante . . . . . 1.8. Posiciones, velocidades y aceleraciones relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 5 6 7 8 8 8 9 10 2. Principios de la dinámica de Newton 2.1. Fuerzas y masas . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Primera ley de Newton o ley de inercia . . 2.3. Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . 2.4. Momento lineal o cantidad de movimiento 2.5. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 11 11 12 12 13 13 3. Tipos de fuerza 3.1. Fuerzas fundamentales . . . . . . . 3.2. Peso y peso aparente . . . . . . . . 3.3. Fuerza de rozamiento entre sólidos 3.4. Fuerza de rozamiento en fluidos . . 3.5. Fuerzas elásticas . . . . . . . . . . 3.6. Fuerzas de ligadura . . . . . . . . . 3.7. Fuerzas de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 15 15 16 17 19 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la energı́a cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 23 23 24 4. Trabajo y energı́a 4.1. Trabajo . . . . . . . . . 4.2. Potencia . . . . . . . . . 4.3. Energı́a . . . . . . . . . 4.4. Teorema de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Fuerzas conservativas. Energı́a potencial 24 6. Conservación de la energı́a mecánica 6.1. Sistema no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 7. Sistemas de partı́culas. Centro de masa 7.1. Principio de conservación del momento lineal para un sistema 7.2. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Coordenadas relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Energı́a cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Energı́a potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Principio de conservación de la energı́a mecánica . . . . . . . 28 28 30 31 32 33 33 David Blanco ([email protected]) 2 de partı́culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curso 2009-2010 ÍNDICE 8. Colisiones David Blanco ([email protected]) 34 3 Curso 2009-2010 1 INTRODUCCIÓN. CINEMÁTICA 1. Introducción. Cinemática El movimiento es el fenómeno fı́sico más obvio y se define como el cambio de posición de una partı́cula. Como la posición se define mediante el vector de posición, cualquier cambio de este vector implicará un movimiento. La mecánica es la parte de la fı́sica que estudia el movimiento, y se divide ası́ mismo en tres ramas: la cinemática, la estática y la dinámica. La cinemática estudia el movimiento de partı́culas sin atender a las causas (fuerzas) que producen estos movimientos, la estática estudia las condiciones que se tienen que cumplir para que un sistema no se mueva, y por último, la dinámica estudia las causas del movimiento, que se denominan fuerzas, y los movimientos que éstas provocan. En esta sección se estudiará la cinemática, y el resto del tema tratará sobre la dinámica. La estática, como tal, no se estudiará. Los conceptos (energı́a, posición, velocidad, . . . ) y el método seguido en el estudio de la mecánica aparece en el resto de las ramas de la fı́sica y en gran parte de los problemas de ingenierı́a, por lo que un tratamiento riguroso de estos es necesario para asegurar la comprensión profunda. En este tema se trata los principios básicos de la dinámica de Newton, primero aplicados a una masa puntual, y luego extendidos a un sistema de partı́culas. Primero se comenzará con una introducción sobre cinemáticas en esta sección, donde se introducirán las magnitudes cinemáticas y distintos tipos de movimiento. En la Sección 2 se enunciarán las leyes de Newton que rigen todo el comportamiento dinámico de las partı́culas, una vez conocidas las fuerzas. En la Sección 3 se hablará sobre distintos los distintos tipos de fuerzas que vamos a encontrarnos a lo largo del curso. En la Sección 4 se estudiarán los conceptos de trabajo, potencia y energı́a, esta última primero en general y luego la energı́a cinética en particular. Se relacionarán las magnitudes entre ellas y se enunciará el teorema de las fuerzas vivas. La Sección 5 tratará sobre un tipo especı́fico de fuerzas, las conservativas, y de como para estas fuerzas se puede definir una magnitud escalar conocida como energı́a potencial. En la Sección 6 se enunciará un teorema fundamental en la mecánica, como es el principio de conservación de la energı́a mecánica. Hasta aquı́ se habrán introducidos los conceptos y resultados mecánicos más importantes para una única partı́cula, en la Sección 7 se generalizarán todos los anteriores resultados para un sistema de partı́culas. El tema finaliza en la Sección 8 estudiando las colisiones entre partı́culas. 1.1. Espacio, tiempo y móvil Los conceptos de espacio, tiempo y móvil son fundamentales para el desarrollo conceptual de la mecánica clásica, y las definiciones intentan plasmar la intuición más común sobre ellos. Espacio absoluto. Es el escenario donde ocurren los fenómenos fı́sicos. Se considera homogéneo y que las leyes de la fı́sica son válidas en todo el espacio. Tiempo absoluto. Transcurre uniformemente e igual en todas la regiones del espacio. Móvil. El móvil más simple serı́a la masa puntual o punto material, que serı́a un cuerpo muy pequeño (sólo ocupa un punto), pero que posee una masa finita. Por supuesto es un idealización, pero muchos móviles se pueden considerar puntuales dependiendo de la escala en la que se trabaje. David Blanco ([email protected]) 4 Curso 2009-2010 1 INTRODUCCIÓN. CINEMÁTICA 1.2. Relatividad del movimiento Para poder hablar de posición se necesita un sistema de referencia, ya que, como veremos, el movimiento es el cambio de posición y la posición se define como el vector que va del origen del sistema de referencia hasta el punto. Ası́, una partı́cula estará en movimiento cuando su vector de posición varı́e en el sistema de referencia considerado. Por tanto, el movimiento se considera relativo al sistema de referencia elegido. Por ejemplo, puedo ver que la silla en la que me siento no se mueve, por lo menos si utilizo un sistema de referencia fijo en el suelo. Sin embargo, visto desde el espacio, la silla se mueve junto con la tierra, que se desplaza a una velocidad enorme en el sistema solar. No sólo el hecho de si se mueve o no es relativo, sino que también lo será el tipo de movimiento. 1.3. Descripción matemática del movimiento z P r O P' C r' y x La posición de una partı́cula en el espacio queda determinada por su vector de posición ~r, que corresponde al vector que tiene como inicio el origen de coordenadas O y como final el punto P donde se encuentra el cuerpo. Al moverse la partı́cula, el extremo del vector ~r describirá una curva C en el espacio que se conoce como trayectoria, lo que queda representado en la Figura 1. El movimiento de una partı́cula queda determinado si se conoce su posición en los distintos instantes de tiempo, es decir, si se conoce ~r = ~r(t). En un sistema de coordenadas cartesiano, conocer el vector ~r en todo instante es lo mismo que conocer cada una de sus coordenadas x = x(t), y = y(t) y z = z(t), ya que Figura 1: Vector posición ~r de ~r(t) = x(t)ı̂ + y(t)̂ + z(t)~k una partı́cula en dos instantes distintos y la trayectoria recorriA esta expresión se le conoce como ecuación del movimiento. da. El desplazamiento se define como el espacio recorrido por el móvil, es decir la longitud de la trayectoria recorrida, se notará como s y también estará en función del tiempo s = s(t). El desplazamiento estará relacionado con la variación del p vector de posición ∆~r, de forma que para un movimiento rectilı́neo se tiene que ∆s = ∆r = ∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 . Sin embargo, si el movimiento es curvilı́neo, en general, el desplazamiento no será igual al módulo de la variación del vector de posición. 1.4. Velocidad Una partı́cula pasa de un punto P a un punto Q en un intervalo de tiempo ∆t, siguiendo una trayectoria curvilı́nea. Ası́, recorrerá un espacio ∆s, al prasar del ~r a ~r + ∆~r. Esta situación se esquematiza en la Figura 2. La relación entre el vector desplazamiento ∆~r y el tiempo transcurrido ∆t se denomina velocidad media < ~v >: < ~v >= ∆~r ∆t La velocidad media es un vector secante a la trayectoria, de la misma dirección y el mismo sentido que el vector ∆~r. David Blanco ([email protected]) 5 Curso 2009-2010 1 INTRODUCCIÓN. CINEMÁTICA z C O P r Δs La velocidad definida de esta manera depende del intervalo de tiempo ∆t empleada en medirla. Para evitar esta dependencia, se trabaja en el lı́mite ∆t → 0, definiendo la velocidad instantánea, ~v , como: Q Δr ~v = lı́m ∆t→0 r+Δr d~r ∆~r = ∆t dt Como cualquier vector, el vector velocidad se puede expresar en función de sus componentes cartesianas: y x ~v = d~r dx dy dz = ı̂ + ̂ + k̂ = vx ı̂ + vy ̂ + vz k̂ dt dt dt dt Figura 2: Desplazamiento de una La expresión ~v = ~v (t), es decir la expresión que proporciona partı́cula. la velocidad de la partı́cula en cualquier instante de tiempo, se conoce como ecuación de la velocidad. El vector velocidad se puede expresar como ~v = vêt , es decir, el vector velocidad es igual al su módulo por un versor êt que lleva la misma dirección que d~r, por lo que es tangente a la trayectoria. Esto también se puede ver si se divide y multiplica por el espacio recorrido en la definición de velocidad y se opera, de forma: ~v = lı́m ∆t→0 ∆~r ∆s ds d~r ∆~r ∆s = lı́m lı́m = ∆t→0 ∆s ∆t→0 ∆t ∆s ∆t dt ds Un desplazamiento infinitesimal d~r se puede considerar como recto, por lo que ds = |d~r|. Entonces el segundo cociente de la anterior expresión es igual al vector d~r dividido por su módulo, es decir, un versor p en la dirección de d~r. Por otro lado, el espacio recorrido en el paso infinitesimal ds = dx2 + dy 2 + dz 2 , por lo que: r p ds dx2 + dy 2 + dz 2 dx2 + dy 2 + dz 2 = = = dt dt dt2 s 2 2 q 2 dx dy dz = + + = vx2 + vy2 + vz2 = v dt dt dt El resultado vuelve a ser ~v = vêt . 1.5. Aceleración La aceleración medirá la variación del vector velocidad por unidad de tiempo. De igual manera que se definió velocidad media y, mediante el paso al lı́mite, velocidad instantánea, se puede definir aceleración media, < ~a >: ∆~v < ~a >= ∆t Como esta definición depende del intervalo de tiempo, se hace el lı́mite ∆t → 0 para definir la aceleración instantánea, ~a, como: ∆~v d~v d2~r = = 2 ∆t→0 ∆t dt dt ~a = lı́m Como cualquier vector, el vector aceleración se puede expresar en función de sus componentes cartesianas: dvx dvy dvz d~v = ı̂ + ̂ + k̂ = ax ı̂ + ay ̂ + az k̂ ~a = dt dt dt dt David Blanco ([email protected]) 6 Curso 2009-2010 1 INTRODUCCIÓN. CINEMÁTICA En este caso, la dirección del vector aceleración, en general, no es ni tangente ni normal al movimiento, pero apunta siempre hacia la concavidad de la trayectoria (hacia el “interior” de la curva que esté describiendo la trayectoria en ese punto). 1.6. Componentes intrı́nsecas de la aceleración El vector aceleración se puede descomponer en dos vectores, uno normal o perpendicular al movimiento, y otro tangente. La primera de estas dos componentes se conoce como aceleración normal, an , y la segunda como aceleración tangencial, at . Sı́ la dirección normal a la trayectoria se caracteriza por el versor ên (apuntando hacia la concavidad), la aceleración en función de estas dos componentes queda: d~r = at êt + an ên ~a = dt Las expresiones de las dos componentes son: at = dv v2 y an = dt R (1) donde R es el radio de curvatura de la trayectoria en un punto. A continuación se deducen estas dos expresiones. El vector aceleración es la derivada del vector velocidad, pero este último se puede expresar como ~v = vêt . Introduciendo esto en la definición de la aceleración queda ~a = d(vêt ) dv dêt = êt + v dt dt dt (2) De la primera parte de la anterior expresión se deduce la expresión de at . Sobre la segunda parte, t hay que calcular cuanto vale dê dt . Para ello, se parte de que êt · êt = 1. Si esta igualdad se deriva con respecto al tiempo: dêt dêt dêt d(êt · êt ) = · êt + êt · = 2êt · =0 dt dt dt dt dêt t Por lo que los vectores dê dt y êt son perpendiculares. Ası́, el vector dt es normal a êt , en el plano que definen dos tangentes consecutivas (plano oscuratriz) y hacia la concavidad, o lo que es lo mismo, lleva la misma dirección que el versor ên . Falta obtener su módulo. Para ello se observa la Figura 3. En esta figura se ven dos puntos P y P 0 , que están separados un desplazamiento infinitesimal d~r. Por perpendicularidad de triángulos se puede ver que el triángulo formado por êt , ê0t y dêt es equivalente al formado por los dos radios R y el vector desplazamiento d~r. Por tanto, se debe cumplir que: |dêt | |d~r| = |êt | R Ahora, la denominador del término de la izquierda es el módulo de un versor, por lo que es igual a uno, y el módulo del vector desplazamiento infinitesimal es ds. Con esto, el módulo vector dêt queda: ds det = R David Blanco ([email protected]) 7 Curso 2009-2010 1 INTRODUCCIÓN. CINEMÁTICA det et t El módulo del vector dê dt , será por tanto: dêt det 1 ds dt = dt = R dt P' et' pero ya se vio, cuando se habló de velocidad instantánea, que dêt ds dt es igual al módulo de la velocidad, con lo que el vector dt et' queda dêt v R = ên dt R Si esta última expresión se tiene en cuenta en la expresión del vector aceleración (2), se obtiene la expresión de la Figura 3: Esquema de dos puntos aceleración normal que aparece en (1). 0 P y P , separados un desplazamiento infinitesimal. P R dr 1.7. Tipos de movimiento A continuación se enumeran ciertos movimientos comunes y sus ecuaciones del movimiento y de la velocidad. 1.7.1. Movimiento rectilı́neo uniforme En este caso ~a = 0, por lo que el vector velocidad será una constante que llamaremos ~v0 . Como no hay aceleración, la velocidad será siempre la misma, y la ecuación de la velocidad queda: ~v = ~v0 Según la definición de velocidad ~v0 = d~r ⇒ ~v0 dt = d~r dt y si en t = 0, la partı́cula se encuentra en ~r0 , la anterior ecuación se puede integrar Z t Z ~ r d~r ⇒ ~v0 t = ~r − ~r0 ~v0 dt = 0 ~ r0 donde se ha tenido en cuenta que ~v0 es constante. Si se despeja la posición en función del tiempo se obtiene la ecuaciones del movimiento: ~r = ~r0 + ~v0 t Puede verse que, como ~v0 es una constante, la ecuación del movimiento es en realidad la ecuación de una recta, como era de esperar ya que el movimiento es rectilı́neo. 1.7.2. Movimiento rectilı́neo uniformemente acelerado En este caso la aceleración es constante ~a y la velocidad inicial ~v0 lleva la misma dirección que la aceleración (lo que se nota ~v0 ||~a). Para calcular la ecuación de la velocidad, se utiliza la definición de la aceleración: ~a = David Blanco ([email protected]) d~v ⇒ ~adt = d~v dt 8 Curso 2009-2010 1 INTRODUCCIÓN. CINEMÁTICA Como en t = 0 la partı́cula lleva una velocidad ~v0 , la anterior ecuación se puede integran resultando Z t Z ~v ~adt = d~v ⇒ ~v − ~v0 = ~adt 0 ~ v0 con lo que se obtiene la ecuación de la velocidad: ~v = ~v0 + ~at Para que el movimiento sea rectilı́neo, la velocidad debe llevar siempre la misma dirección al variar el tiempo, y para que esto suceda es fácil ver que en la anterior ecuación que ~v0 y ~a deben tener la misma dirección, que es la condición que se ha exigido inicialmente. Para obtener la ecuación del movimiento, sólo hay que repetir los pasos que se realizaron para el movimiento rectilı́neo uniforme, pero utilizando la ecuación de la velocidad anteriormente calculada: d~r ~v = ⇒ ~v dt = d~r ⇒ (~v0 + ~at)dt = d~r dt y si en t = 0, la partı́cula se encuentra en ~r0 , la anterior ecuación se puede integrar Z t Z ~r 1 (~v0 + ~at)dt = d~r ⇒ ~v0 t + ~at2 = ~r − ~r0 2 0 ~ r0 Si se despeja la posición en función del tiempo se obtiene la ecuación del movimiento: 1 ~r = ~r0 + ~v0 t + ~at2 2 Se puede elegir el eje x en la misma dirección que la aceleración y la velocidad, de esta manera las anteriores ecuaciones quedarı́an:  x= x0 + v0 t + 21 at2  y= y0  z= z0 lo que corresponde con un movimiento rectilı́neo. 1.7.3. Movimiento con aceleración constante Dentro de este caso se encuentra el anterior movimiento rectilı́neo uniformemente acelerado, pero también engloba otros movimientos. Como su nombre indica, la aceleración es constante, ~a = cte, y actuando de forma análoga a la realizada anteriormente se puede obtener la ecuación del movimiento y de la velocidad: 1 ~r = ~r0 + ~v0 t + ~at2 2 ~v = ~v0 + ~at La diferencia con el caso anterior es que ahora no se requiere que le velocidad inicial y la aceleración tengan la misma dirección. Si se toma el eje y en la misma dirección que la aceleración, tal que ~a = a̂, las anteriores ecuaciones quedan:  x= x0 + v0x t  y= y0 + v0y t + 12 at2  z= z0 + v0z t  vx = v0x  vy = v0y + at  vz = v0z David Blanco ([email protected]) 9 Curso 2009-2010 2 PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA DE NEWTON El ejemplo más tı́pico de un movimiento de aceleración constante que no sea un movimiento rectilı́neo uniformemente acelerado es un tiro parabólico. En este caso el cuerpo sale disparado con una velocidad ~v0 = v0x ı̂ + v0y ̂ desde un punto ~r0 . Una vez en el aire, sólo afecta la fuerza de la gravedad y la aceleración que tiene es ~a = −g̂, con g la aceleración de la gravedad, el eje y es vertical y el eje x horizontal. Si la partı́cula permanece suficientemente cerca de la superficie terrestre, la aceleración de la gravedad se puede considerar constante. Por tanto es un movimiento de aceleración constante pero es fácil de comprobar que su trayectoria no será rectilı́nea sino una parábola (salvo si v0y = 0 que no serı́a un tiro parabólico sino uno vertical). 1.8. Posiciones, velocidades y aceleraciones relativas z P z′ r′ r O x y rO′ x′ O′ y′ Figura 4: Posición de una partı́cula desde dos sistemas de referencia. Como ya se ha indicado con anterioridad, el movimiento de una partı́cula es un concepto relativo, ya que depende del sistema de referencia que se esté considerando. Ası́, si se tienen dos sistemas de referencias como los que se muestran en la Figura 4, el punto P donde se encuentra una partı́cula se describirá mediante distintos vectores de posición en cada uno de los sistemas de referencia. En el caso del sistema de referencia 1 (definido por los ejes x, y, z y el origen O), el punto P se describe mediante el vector de posición ~r; mientras que en sistema de referencia 2 (definido por los ejes x0 , y 0 , z 0 y el origen O0 ), el mismo punto se describe con el vector de posición ~r0 . El punto es el mismo, pero los vectores de posición son distintos al utilizarse distintos sistemas de referencia en cada caso. Éste es el sentido del concepto relatividad del movimiento. Por supuesto, si se conoce el vector de posición ~rO0 del origen O0 (origen del sistema 2) en el sistema de referencia 1, es muy sencillo relacionar los vectores de posición del punto P en ambos sitemas: ~r = ~rO0 + ~r0 Esta misma discusión realizada se puede realizar para la velocidad. Ası́, si se deriva la anterior ecuación se obtiene la relación entre la velocidad de la partı́cula en el sistema de referencia 1, ~v , y la velocidad en el sistema de referencia 2, ~v 0 : ~v = ~vO0 + ~v 0 donde ~vO0 es la velocidad del origen de coordenadas del sistema 2, O0 , que ve el sistema de coordenadas 1. Por supuesto, si un sistema de referencia no se mueve respecto el otro ~vO0 = 0 y los dos sistema verán la misma velocidad. Si se vuelve a derivar la última ecuación se obtiene la relación entre las aceleraciones que ven los sistemas 1 y 2, ~a y ~a0 : ~a = ~aO0 + ~a0 donde ~aO0 es la aceleración de O0 vista desde el sistema de referencia 1. 2. Principios de la dinámica de Newton Por la experiencia sabemos que los cuerpos se mueven debido como resultado de la interacción que otros cuerpos que lo rodean realizan sobre él. Estas interacciones se describe con la David Blanco ([email protected]) 10 Curso 2009-2010 2 PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA DE NEWTON introducción del concepto fı́sico de fuerza. La mecánica se encarga de establecer una relación entra estas fuerzas o interacciones y los movimientos que provoca. La mecánica clásica, que es la que estudiaremos en este curso, se encargará de establecer la relación entre interacción y movimiento para las partı́culas no demasiado grandes ni demasiado pequeñas, moviéndose a velocidades no demasiado altas. Es decir, para los fenómenos que son observados comúnmente. La mecánica relativista y la mecánica cuántica, son las partes de la fı́sica encargadas de extender la anterior relación a los cuerpos grandes y/o moviéndose a gran velocidad, la primera, y para los cuerpos pequeños, la segunda. La mecánica proporciona lo que se llama leyes del movimiento, que son relaciones entre las fuerzas y el movimiento que estas provoca. Sin embargo, no se encarga de obtener la expresión propia de las fuerzas, sino que de esto se encarga otra ramas de la fı́sica o a través de la experimentación. Estas expresiones de las fuerzas se recogen en las leyes de fuerzas. Las leyes de movimiento no son otras cosas que las tres leyes de Newton, y permiten obtener como se van a mover los cuerpos una vez que se tienen las leyes de fuerzas. Por otro lado las leyes de fuerza proporcionan las expresiones matemáticas de éstas en función del medio ambiente que rodea a la partı́cula que se considere. 2.1. Fuerzas y masas Estos dos conceptos son los más importantes propios de la dinámica, ya que los conceptos concernientes al movimiento son propios de la cinemática. Masa. Es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su estado de movimiento. Es escalar y aditiva. Fuerza. Es una medida de la interacción del medio ambiente que rodea a la partı́cula sobre ésta. Como la interacción tiene carácter direccional, las fuerzas serán vectoriales. 2.2. Primera ley de Newton o ley de inercia La primera ley de Newton dice Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilı́neo uniforme a menos que se le obligue a variar dicho estado mediante fuerzas que actúen sobre él. Esta ley viene a decir dos cosas fundamentales. Por un lado establece que el reposo y el movimiento rectilı́neo son una misma cosa, y por otro permite determinar la ausencia de fuerza. La primera ley proporciona un procedimiento operacional para detectar cuando actúa una fuerza neta sobre un cuerpo: cuando no siga un movimiento rectilı́neo uniforme. Por tanto, la presencia de aceleración implicará la presencia de fuerza. El principal problema radica en que la aceleración es una magnitud relativa, dependiente del sistema de referencia elegido. La primera ley es válida sólo si el sistema de referencia que se utiliza no tiene aceleración, lo que se conoce como un sistema de referencia inercial. Si se trabaja como un sistema de referencia que tiene una cierta aceleración ~a, una partı́cula en reposo se verı́a en este sistema como teniendo una aceleración −~a. Por ejemplo, si nos encontramos en un tren en reposo, con una bola en la mesa delante de nosotros y el tren comienza arranca y comienza a aumentar su velocidad, veremos como la bola se desplaza hacia nosotros. Un observador fuera del tren (inercial) podrá explicar perfectamente por qué la bola se desplaza, pero un observador dentro del tren (no inercial) tendrá que recurrir a una fuerza misteriosa que hace rodar la bola. David Blanco ([email protected]) 11 Curso 2009-2010 2 PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA DE NEWTON Por tanto, hay que buscar sistemas de referencia que sean inerciales (sin aceleración), lo que no es tan fácil como parece. Por ejemplo, un sistema de referencia centrado en la superficie 2 terrestre posee una aceleración debida a la rotación de la Tierra, que es del orden de 0,03 m/s (dependiendo de la latitud). Si se toma un sistema de referencia en el centro de la Tierra, pero que no gire con ella, también tendrá una aceleración debida a la traslación en torno al Sol, siendo 2 del orden de 0,006m/s . Pero si nos vamos a un sistema de referencia fijo en el Sol, también existirá una aceleración debida a la rotación del Sistema Solar entorno al centro de la galaxia, 2 que se estima del orden de 3 · 10−10 m/s . 2.3. Segunda ley de Newton La segunda ley de Newton dice La variación del movimiento de una partı́cula es proporcional a la fuerza que actúa sobre el cuerpo y se realiza en la dirección de la recta en que actúa la fuerza. Matemáticamente, esta ley se puede expresar como: F~ = m~a (3) donde F~ es la resultante de las fuerza (la suma de todas las fuerzas), ~a es el vector aceleración que se estudió en cinemática y representa “la variación del movimiento”, y m es la constante de proporcionalidad entre las dos magnitudes que se conoce como masa de la partı́cula. Es conveniente resaltar que la ecuación (3) es una ecuación vectorial, lo implica tres igualdades. La segunda ley de Newton proporciona una procedimiento operacional para medir fuerzas. Estas fuerzas son vectores, por lo que cumple el principio de superposición, es decir, se pueden sumar vectorialmente. Esto, al igual que cualquier resultado obtenido directamente de las leyes de Newton, es un hecho experimental y no es el resultado de una definición o una deducción, ya que las leyes se obtuvieron directamente de la experimentación. Las unidades de masa son el kilogramo en el S.I. y el gramo en el CGS.; por lo que las unidades 2 2 2 de fuerza serán kg m/s en el S.I., que recibe el nombre de Newton (1 N = 1kg m/s ), y g cm/s 2 −5 en el C.G.S., que recibe el nombre de dina (1 din = 1g cm/s = 1 · 10 N). 2.4. Momento lineal o cantidad de movimiento La segunda ley de Newton se refiere a la “variación del movimiento” de un cuerpo, y este “movimiento” se ha identificado con velocidad (ya que la variación de movimiento se ha identificado con aceleración). Sin embargo, el estado de movimiento de un puño a 30 km/h y de un mosquito a 30 km/h no es el mismo (si no me cree póngase delante de un puño y de un mosquito y compruebe por sı́ mismo si la situación fı́sica es la misma). Este estado de movimiento se describe más correctamente con una magnitud llamada momento lineal o cantidad de movimiento, que se define como el producto de la masa de la partı́cula por su velocidad: p~ = m~v El momento lineal se mide en kg m/s, en el S.I.. Con esta definición la segunda ley de Newton se puede escribir de una forma más general, resultando: d~ p (4) F~ = dt David Blanco ([email protected]) 12 Curso 2009-2010 2 PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA DE NEWTON Esta expresión de la segunda ley incluye la expresión (3), en el caso de partı́culas de masa constante, pero permite extender la segunda ley a partı́culas de masa variable, como es el caso de cohetes o aviones a reacción. La expresión (4) de la segunda ley de Newton también permite reformular la primera ley, de forma que en ausencia de fuerza neta (F~ = ~0), se tiene que el momento lineal de la partı́cula permanece constante (~ p = cte). Este resultado se conoce como principio de conservación del momento lineal para una partı́cula. 2.5. Impulso De la expresión (4), se puede obtener que para un intervalo de tiempo muy pequeño dt se cumple F~ dt = d~ p Como la anterior expresión es cierta para cualquier intervalo de tiempo infinitesimal, será válida también para una suma de estos intervalos. Es decir Z p~b Z tb d~ p = p~b − p~a F~ dt = ta p ~a ~ se define como el término de la izquierda de esta última igualdad, El impulso de una fuerza, I, es decir: Z tb I~ = F~ dt ta El impulso se mide en Ns y el impulso de la resultante de las fuerzas cumple: I~ = ∆~ p Que se conoce como teorema de la cantidad de movimiento, e implica que el impulso de una fuerza puede verse como la efectividad de dicha fuerza para camibiar el estado de movimiento de un cuerpo. 2.6. Tercera ley de Newton La tercera ley de Newton dice A toda acción se le opone siempre una reacción igual: osea, las acciones mutuas entre dos cuerpos un sobre otro se dirigen siempre en sentidos opuestos Esto quiere decir que si la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2 se nota F~12 , y la fuerza que el cuerpo 2 ejerce 1 se nota como F~21 , se tiene F~12 = −F~21 (5) Ası́, una fuerza por sı́ sola es únicamente la mitad de una interacción mutua entre dos cuerpos, y cualquiera de las dos portes de la interacción se puede considerar como acción y cualquiera como reacción. Es importante notar que las fuerzas F~12 y F~21 no se anulan, desde el punto de vista de la dinámica de una partı́cula, ya que actúan sobre cuerpos distintos. Si sobre los cuerpo 1 y 2 sólo actúan las anteriores dos fuerzas, aplicando la segunda ley de Newton sobre estos cuerpos 1 y 2, se tiene: d~ p2 d~ p1 y F~12 = F~21 = dt dt David Blanco ([email protected]) 13 Curso 2009-2010 3 TIPOS DE FUERZA Sumando las dos ecuaciones se tiene: d~ p1 d~ p2 d(~ p1 + p~2 ) F~12 + F~21 = + = dt dt dt pero como se cumple (5), entonces la suma de los dos momentos lineales individuales de las dos partı́culas es constante: p~1 + p~2 = cte Este anterior resultado se conoce como principio de conservación del momento lineal para dos partı́culas. Este resultado es fácil de extender a más partı́culas, resultando que para un sistema de partı́culas, si sólo actúan fuerzas internas (entre las partı́culas), la suma de los momentos lineal de todas las partı́culas se conserva. Este hecho se volverá a deducir en la Sección 7, cuando se trate más extensamente con sistemas de partı́culas. 3. Tipos de fuerza Como ya se dijo en la sección anterior, una vez conocidas la fuerzas, las leyes de Newton proporcionan una descripción completa del movimiento de la partı́cula. Sin embargo, la obtención de la expresión de las fuerzas no es un trabajo propio de la mecánica, sino que se tienen que obtener mediante experimentación u otras ramas de la fı́sica. Son las que antes hemos llamado leyes de fuerza. A continuación se estudiaran brevemente las fuerzas más comunes con las que podemos encontrarnos. 3.1. Fuerzas fundamentales Aunque existen muchas situaciones distintas donde las fuerzas toman expresiones dispersas, todas las interacciones se pueden reducir a cuatro interacciones o fuerzas fundamentales: gravitatoria, electromagnética, fuerte y débil. La interacción fuerte es la responsable de la estabilidad de los núcleos atómicos, estableciéndose entre hadrones; mientras que la interacción débil se produce entre cualquier tipo de partı́culas elementales, siendo de mucho menor valor que la interacción fuerte. Estas dos interacciones son de corto alcance y sólo tienen efectos a escala nuclear. La fuerza gravitatoria que una masa m1 ejerce sobre otra masa m2 resulta: m1 m2 ~ F~g = −G 3 R 12 R12 ~ 12 es el vector que va de m1 a m2 . donde G es la constante de gravitación universal y R La fuerza electromagnética se establece entre cargas. Para una carga, q, moviéndose dentro ~ y un campo magnético B, ~ la fuerza que los campos hacen sobre la carga de un campo eléctrico E es: ~ + ~v ∧ B) ~ F~e = q(E donde ~v es la velocidad de la partı́cula. Los dos tipos de fuerzas anteriores son fuerzas de largo alcance y, por tanto, son las únicas que intervienen significativamente en los fenómenos macrocópicos. Sin embargo, para un electrón se tiene que el cociente Fe /Fg es del orden de 1036 , por lo que siempre que haya fenómenos eléctricos el efecto de las fuerzas gravitatorias se puede despreciar. Por tanto, todos los fenómenos macroscópicos, salvo el peso, se deben a interacciones electromagnéticas. Aún ası́, es imposible explicar muchas de las fuerzas cotidianas (tensiones, fuerzas de rozamientos, fuerzas impulsivas,. . . ) a partir de estas fuerzas fundamentales, y es necesario recurrir a la experimentación para poder explicarlas. David Blanco ([email protected]) 14 Curso 2009-2010 3 TIPOS DE FUERZA 3.2. Peso y peso aparente El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a los cuerpos que están sobre ella. Se puede medir a través de la aceleración que adquiera un cuerpo en caı́da libre ~g , que será independiente de la masa del cuerpo, de forma que el peso P~ es P~ = m~g La aceleración de la gravedad ~g depende de varios factores, como la latitud, la altura, la proximidad de grandes masas como montañas, etc.; por lo que P~ no es una propiedad intrı́nseca de los cuerpos, sino que varı́a de unas posiciones a otras. La sensación que nosotros tenemos de la acción de la fuerza gravitatoria no proviene directamente del peso sino a través de las fuerzas que compensan o actúan como reacción a este peso. El ejemplo más habitual de estas fuerzas que compensan es la fuerza normal (se estudiará un poco más adelante en la sección de fuerzas de ligadura). Las fuerza de reacción que equilibra el peso se conocen como peso aparente. Cuando no hay reacción que lo equilibre, el peso aparente es nulo y se conoce como situación de ingravidez. Ejemplo. Calcular el peso aparente de un cuerpo en suelo de un ascensor está acelerando. Cuando un cuerpo está situado en el suelo de un ascensor, las fuerzas que actúan sobre él son el peso, vertical y hacia abajo, y la fuerza normal que el suelo ejerce sobre el cuerpo y evita que el cuerpo “penetre” en el suelo, que será también vertical pero hacia arriba. Por tanto, la suma de estas fuerzas será igual a la masa del cuerpo por la aceleración. La componente vertical de la segunda ley de Newton quedarı́a: N − mg = ma donde a es la aceleración que lleva el ascensor (y por ello el cuerpo que se mueve con él). La fuerza que aparece como reacción al peso es la normal, y por lo tanto esta es el peso aparente, y resulta: N = m(g + a) Si se coloca una balanza en el suelo del ascensor y el cuerpo encima, cuando el ascensor no acelera, la normal será N = mg y éste será el peso aparente que medirá la balanza. Pero si el ascensor acelera hacia arriba, a será positiva, la normal será N = m(g + a), mayor que mg, y la balanza medirá un peso mayor que el que en realidad tiene. Y al contrario, si el ascensor lleva una aceleración hacia abajo, a será negativa, la normal será N = m(g − a), menor que mg, y la balanza medirá un peso menor que el que en realidad tiene. El caso lı́mite será cuando el ascensor tenga una aceleración hacia abajo igual a la aceleración de la gravedad, entonces N = 0 y el peso aparente es nulo, lo que antes se ha llamado situación de ingravidez. (¿Qué pasará cuando la aceleración sea hacia abajo y mayor que la gravedad?) 3.3. Fuerza de rozamiento entre sólidos Es una fuerza de tipo electromagnético y su origen es la repulsión que se ejerce entre moléculas de distintos materiales en las superficies imperfectas en contacto. Aún ası́, no es posible estudiar sus propiedades ni su expresión partiendo de consideraciones electromagnéticas, sino que hay que recurrir a la experiencia para poder tratarla. A través de experimentos se observa que la fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento relativo entra las superficies en contacto, o bien a la tendencia al movimiento (no David Blanco ([email protected]) 15 Curso 2009-2010 3 TIPOS DE FUERZA es necesario que se muevan para que aparezcan estas fuerzas). Dentro de ciertos márgenes es independiente de la velocidad de las superficies y del área de las mismas, siendo directamente proporcional a la fuerza normal que se genera entre ellas (si no hay fuerza normal entre las superficies no existe fuerzas de rozamiento). Existe por tanto dos tipos de fuerzas de rozamiento: la fuerza de rozamiento estática y la fuerza de rozamiento dinámica. En la primera existe una tendencia al movimiento, pero no se produce movimiento y es el caso que ocurre cuando empujamos algo sin llegar a moverlo. Si µe ~ es la fuerza normal a las dos es el coeficiente de rozamiento estático entre las dos superficies y N superficies, el módulo de la fuerza de rozamiento estática es: FRe ≤ µe N La dirección es la misma que la “tendencia al movimiento” y el sentido oponiéndose a él. Es conveniente notar que la expresión de esta fuerza nos da un lı́mite máximo, a partir del cual el cuerpo se moverá, pero no nos proporciona el valor numérico de dicha fuerza (será una incógnita). Por otro lado, si las superficies en contacto se mueven una respecto de otra y µd es el coeficiente de rozamiento dinámico entre las dos superficies, el módulo de la fuerza de rozamiento dinámica es: FRd = µd N La dirección es la misma que la velocidad relativa y el sentido contrario a esta. 3.4. Fuerza de rozamiento en fluidos Esta fuerza es también una fuerza de rozamiento, pero en este caso no existe fuerza estática. Como tal se opone al movimiento, pero en este caso depende de las propiedades del fluido (viscosidad), de la geometrı́a del cuerpo y es directamente proporcional a la velocidad. F~r = −b~v donde b es una constante dependiendo de la geometrı́a del cuerpo y de la viscosidad del fluido. Por ejemplo, para una esfera moviéndose en el seno de un fluido newtoniano, la fuerza de rozamiento viscosa queda F~r = −6πRη~v donde R es el radio de la esfera y η es la viscosidad del fluido. Ejemplo. Obtener la ecuación del movimiento de un cuerpo en caı́da libre sufriendo la fuerza de rozamiento debido al aire. Suponer que el cuerpo se encuentra suficientemente cerca de la superficie terrestre para considerarse la gravedad constante. Supongamos que el cuerpo parte del reposo, por la acción de la gravedad comienza a acelerar verticalmente hacia abajo y en el momento que adquiere velocidad, aparece la fuerza resistiva hacia arriba. Por tanto dos son las fuerzas que actúan sobre el cuerpo: el peso y la fuerza de rozamiento. Según la segunda ley de Newton en la dirección vertical se tiene: FR − P = ma Sustituyendo el valor de la fuerza de rozamiento se tiene: −bv − mg = ma ⇒ − David Blanco ([email protected]) 16 dv b v−g = m dt Curso 2009-2010 3 TIPOS DE FUERZA Si notamos B = b m, agrupamos las variables t y v en miembros distintos, se tiene: dv dt = ⇒ −Bv − g t Z Z dt = 0 0 v dv 1 ⇒ t = − ln −Bv − g B Bv + g g Y despejando la velocidad y sustituyendo el valor de B se obtiene: mg − bt e m −1 v= b Se puede observar como inicialmente la velocidad es nula y va aumentado hacia abajo hasta que en el infinito toma un valor fijo, conocido como velocidad lı́mite e igual a: vl = − mg b Es fácil comprobar como la velocidad lı́mite corresponde con la situación en la que FR = mg. Para obtener la ecuación del movimiento no hay más que integrar la ecuación de la velocidad: Z y Z t dy mg − bt mg − bt m =v= e −1 ⇒ dy = e m − 1 dt ⇒ dt b b y0 0 mg m − bt m +t ⇒ y − y0 = − e m+ b b b Lo que permite obtener la ecuación del movimiento: bt mg m y = y0 + t+ 1 − e− m b b Como puede verse, la ecuación del movimiento dista mucho de la tı́pica ecuación de caı́da libra, en la cual el espacio aumenta con el cuadrado del tiempo. Si el rozamiento es pequeño, la exponencial se puede expresar siguiendo un desarrollo en serie de Tailor (se estudiará en cálculo más adelante) como: bt e− m = 1 − 1 b2 2 b t+ t + ... m 2 m2 Si nos quedamos a orden 2 (despreciamos potencias mayores de 2 de b, ya que serán muy pequeñas) y se sustituye este desarrollo en la ecuación del movimiento nos queda: 1 y = y0 − gt2 2 Que corresponde con la ecuación del movimiento en ausencia de rozamiento. 3.5. Fuerzas elásticas La fuerza elástica es la fuerza recuperadora que aparece al deformarse un sólido y tiende a que éste recupere su forma original. En general depende de la naturaleza del cuerpo y de cuanto se haya deformado. Dentro del margen de elasticidad (antes de que la deformación sea tan grande que se vuelva permanente o se rompa) y para deformaciones en una dimensión (que tomaremos como el eje x), la expresión es F~e = −k∆xı̂ David Blanco ([email protected]) 17 Curso 2009-2010 3 TIPOS DE FUERZA donde k es la constante elástica del material y ∆x es la deformación que sufre el material. Como puede verse la fuerza actúa en sentido contrario a la deformación. El caso más tı́pico que se suele encontrar es el de muelles, de forma que k se conoce como la constante del muelle y ∆x es lo alargado o encogido que se encuentre el muelle desde su posición de relajo. Ejemplo. Obtener la ecuación del movimiento de un cuerpo sometido únicamente a la acción de una fuerza elástica. Suponer que cuando el cuerpo se encuentra en el origen de coordenadas el muelle está relajado y que inicialmente el cuerpo se encuentra en reposo en x = A. Como el cuerpo se encuentra originalmente en reposo y el origen de coordenadas corresponde con la situación en la que el muelle está relajado, el cuerpo se mueve sobre el eje x bajo la acción de una fuerza en la dirección ı̂ y de módulo Fe = −kx. Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección ı̂, queda Fe = ma ⇒ −kx = ma Si se tiene en cuenta la definición de la aceleración la ecuación anterior queda: − dv k x= m dt Se observa como hay dos funciones x y v que dependen del tiempo de una forma desconocida. No se puede realizar el mismo procedimiento que se hizo para la fuerza de rozamiento en fluidos, ya que no hay una sola función, a parte del tiempo, sino dos. Por eso, hay que intentar eliminar una de las funciones o el tiempo, para poder despejar y luego integrar. Para eso se multiplica y se divide el término derecho de la ecuación por la velocidad y luego se utiliza la definición de velocidad y se simplifica: − k v dv v dv dv k dv x= = dx =v ⇒ − x=v m v dt dt dx m dx dt Una vez realizado este procedimiento lo que se tiene es una igualdad funcional en la que sólo intervienen dos funciones x y v, por lo que se puede despejar y luego integrar: Z x Z v k k − xdx = vdv ⇒ − xdx = vdv m A m 0 donde se ha tenido en cuenta las condiciones iniciales indicadas. La integral es fácil de realizar y permite obtener la velocidad en función de la posición: r k A2 x2 v2 k − = ⇒ v= (A2 − x2 ) m 2 2 2 m Sin embargo, esto no es lo que se pide, ya que la ecuación del movimiento corresponde con la expresión de la posición en función del tiempo. Para obtenerla hay que tener en cuenta la definición de la velocidad como v = dx dt , que sustituyendo en la anterior ecuación queda: r Z x Z t dx dx dx k q = (A2 − x2 ) ⇒ q = dt ⇒ = dt dt m k k A 0 (A2 − x2 ) (A2 − x2 ) m David Blanco ([email protected]) m 18 Curso 2009-2010 3 TIPOS DE FUERZA La integral de la izquierda se puede hacer fácilmente sin más hacer la transformación r Z x Z x m dx dx q √ = 2 − x2 k k A 2 2 A A m (A − x ) x que es una integral inmediata, cuya primitiva es arcsen A . Con esto la igualdad que relaciona x y t queda: r x A m − arcsen arcsen =t k A A pero el arcoseno de uno es igual a cero, con lo que la anterior ecuación queda: r x r k x m = t ⇒ arcsin = arcsen t k A A m Si se toma seno en ambas partes de la igualdad, se obtiene la ecuación del movimiento: r ! k x = Asen t m Si se define ω = q k m la anterior ecuación queda como: x = Asen (ωt) que corresponde con la ecuación de un movimiento oscilatorio armónico simple, de frecuencia angular ω, amplitud A y fase inicial nula. 3.6. Fuerzas de ligadura Todas las fuerzas que se han estudiado hasta ahora son fuerzas activas, es decir, pueden actuar sobre el cuerpo cambiando el estado de movimiento. Las fuerzas de ligadura, por el contrario no son fuerzas activas, sino que son responsables de mantener ciertas condiciones geométricas. Por ejemplo, para un cuerpo moviéndose encima de una superficie horizontal, una condición geométrica del problema será que todo el movimiento que realice el cuerpo debe restringirse a la región por encima de la mesa, aunque haya fuerzas verticales hacia abajo. En este caso la mesa generará una fuerza perpendicular que se conoce como fuerza normal y que impedirá que el cuerpo atraviese la mesa. La fuerza normales suelen aparecer cuando existen superficies rı́gidas y es el ejemplo más común de las fuerzas de ligadura, pero existen otras muchas, como por ejemplo un cuerpo obligado a moverse a lo largo de un alambre o un canal. 3.7. Fuerzas de inercia Consideremos una partı́cula en reposo, por lo que su aceleración cumple ~a = ~0. Si describimos su movimiento desde un sistema de referencia no inercial, con aceleración ~a0 , lo que se verá es que la partı́cula se mueve con una aceleración ~a0 = −~a0 . Si en el sistema de referencia no inercial intentamos aplicar la segunda ley de Newton (lo que sabemos que es incorrecto, ya que las leyes de Newton sólo son válidas en sistemas de referencia inerciales) quedarı́a F~ = −m~a0 David Blanco ([email protected]) 19 Curso 2009-2010 4 TRABAJO Y ENERGÍA Por lo tanto deducimos que debe haber una fuerza, de valor −m~a0 que provoque la aceleración que vemos, aunque no podamos encontrar una agente que genera dicha aceleración. Por tanto, para encontrar las fuerzas de inercia en un sistema de referencia no inercial, hay que saber de antemano cual es la aceleración a0 del sistema de referencia; en cuyo caso, la fuerza de inercia que actúa sobre la partı́cula quedarı́a F~i = −m~a0 Estas fuerzas no son necesarias si se trabaja en sistemas de referencias inerciales, que es lo más cómodo y lo aconsejado en este curso. Se suele decir que las fuerzas de inercia son fuerzas ficticias, porque no existe nada que las genere, y en este curso pensaremos precisamente esto: no existen fuerzas de inercia. La anterior afirmación es incorrecta a la luz del principio de relatividad general de Einstein, en el que se afirma que son indistinguibles un campos de aceleraciones y un campo gravitacional. Decir que una fuerza de inercia no existe serı́a equivalente, según ese principio, a decir que la aceleración de la gravedad no existe. 4. Trabajo y energı́a Las leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de una partı́cula cuando se conoce la fuerza en función del tiempo, es decir F~ = F~ (t). Sin embargo, en la mayorı́a de las situaciones prácticas, lo que se conoce es la fuerza en función de la posición, es decir, F~ = F~ (~r). Es por esto que es conveniente introducir el concepto de energı́a para estudiar el movimiento de sistemas cuyas fuerzas dependan de la posición. Además, el concepto de energı́a permitirá abordar problemas incluso desconociendo la ley de fuerzas, siempre que se puedan realizar suposiciones razonables sobre su naturaleza. Este concepto de energı́a relaciona campos de la fı́sica aparentemente inconexos, como electromagnetismo, mecánica o fı́sica de partı́culas. El concepto de energı́a se introducirá a partir del de trabajo, aunque históricamente surgieran al revés. 4.1. Trabajo Una fuerza F~ = F~ (~r) se puede ver como un campo vectorial, por lo que se puede definir la circulación de la fuerzas entre dos puntos, a lo largo de una determinada trayectoria. El trabajo W de la fuerza se define como esta circulación. Z ~rb W = F~ · d~r ~ ra C Por tanto, el trabajo es una magnitud escalar que depende de los puntos iniciales y finales y de la trayectoria C. La unidade del trabajo en el S.I. es el julio que equivale a un Newton por metro 1 J = 1 Nm. En es sistema CGS, la unidad se conoce como ergio, que equivale a una dina por centı́metro, 1 erg = 1 din cm. Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento en todos los puntos de la trayectoria, el trabajo es nulo. Esto sucede sucede, por ejemplo, si un hombre levanta un cuerpo de 100 kg y, mientra los sostiene, lo traslada horizontalmente con velocidad constante. Durante el traslado, la única fuerza que genera el hombre es una fuerza vertical hacia arriba que contrarresta al peso. Es fácil ver que si se desplaza horizontalmente, la fuerza que genera el hombre y el desplazamiento son perpendiculares, y por tanto el trabajo es nulo. David Blanco ([email protected]) 20 Curso 2009-2010 4 TRABAJO Y ENERGÍA Las trayectorias pueden ser cerradas, es decir, parten de un punto y terminan en el mismo punto. En este caso el trabajo realizado a través una trayectoria cerrada C se nota como: I W = F~ · d~r C Ejemplo 1. Trabajo realizado por el peso de un objeto situado cerca de la superficie terrestre cuando describe una trayectoria arbitraria desde Pi = (xi , yi , zi ) hasta Pf = (xf , yf , zf ). La fuerza peso que se ejerce sobre un cuerpo cerca de la superficie terrestre es constante y cumple F~ = −mg k̂, donde m es la masa del cuerpo, g es la aceleración de la gravedad es esa región y el versor k̂ es vertical y hacia arriba. La trayectoria se supone genérica, por lo que d~r = dxı̂ + dy̂ + dz k̂. Si se realiza el producto vectorial F~ · d~r = −mgdz. Introduciendo este resultado en la definición de trabajo queda: Z Pf W = F~ · d~r = − Pf Z Z zf mgdz = −mg Pi Pi dz = −mg(zf − zi ) = −mg∆z zi Por tanto, el trabajo realizado no depende de la trayectorias ni de las coordenadas x e y de los puntos iniciales y finales, sino sólo de la diferencia de alturas entre el punto inicial y el punto final, ∆z. Ejemplo 2. Calcular el trabajo realizado por la fuerza centrı́peta en un movimiento circular. En un movimiento circular la trayectoria es un cı́rculo, por lo que la velocidad ~v y el desplazamiento d~r son dos vectores tangentes a dicho cı́rculo. La fuerza centrı́peta, por definición, apunta siempre hacia el centro de curvatura, lo que en este caso coincide con con un radio del cı́rculo. Por tanto, la fuerza centrı́peta y el vector desplazamiento son perpendiculares lo que producen que: Z B F~ · d~r = 0 W = A Ejemplo 3. Dada la fuerza F~ = 2xyı̂ + (x2 + 2yz 3 )̂ + 3y 2 z 2 k̂, calcular el trabajo realizado entre los punto P1 = (0, 0, 0) y P2 = (1, 2, 3) siguiendo las siguientes trayectorias: a) (0, 0, 0) → (1, 0, 0) → (1, 2, 0) → (1, 2, 3); b) por la recta que pasa directamente por los puntos P1 y P2 . (Nota: todas las unidades están en S.I.) a) El trabajo total W se puede ver como la suma de los trabajos empleados en recorrer cada uno de los trozos: W = W1 + W2 + W3 . En el trozo 1, d~r = dxı̂, por lo que Z P2 W1 = F~ · d~r = P1 Z 1 Z Fx dx = 0 1 2xydx 0 Como en este primer trozo y = 0 durante todo el trayecto, hay que sustituir y por 0 en la anterior integral y resulta W1 = 0. En el trozo 2, d~r = dx̂, por lo que Z P2 W2 = P1 David Blanco ([email protected]) F~ · d~r = Z 2 Z Fy dy = 0 2 (x2 + 2yz 3 )dy 0 21 Curso 2009-2010 4 TRABAJO Y ENERGÍA Como en este segundo trozo x = 1 y z = 0 durante todo el trayecto, sustituyendo queda Z 2 W2 = dy = 2 J 0 . En el trozo 3, d~r = dxk̂, por lo que Z Z P2 ~ F · d~r = W3 = 3 Z 0 P1 3 Fz dz = 3y 2 z 2 dz 0 Como en este tercer trozo x = 1 y y = 2 durante todo el trayecto, sustituyendo queda Z 3 3 W3 = 12z 2 dz = 4z 3 0 = 108 J 0 . El trabajo total será W = W1 + W2 + W3 = 110 J b) En este segundo caso, el vector desplazamiento lleva siempre la dirección de la lı́nea que une P1 con P2 . El vector que une dichos dos puntos se puede construir fácilmente restando las correspondientes coordenadas. Ası́, si ~r1 y ~r2 son los vectores de posición de los puntos P1 y P2 , el vector que une los dos puntos será ~r12 = ~r2 − ~r1 = ı̂ + 2̂ + 3k̂ La trayectoria en este caso es una recta de vector director ~r12 y que pasa por el origen, por lo que la ecuación de la recta en paramétricas será: x = λ; y = 2λ; z = 3λ lo que diferenciando queda: dx = dλ; dy = 2dλ; dz = 3dλ Esta es la condición que cumple cada una de las coordenadas del vector desplazamiento d~r es su movimiento de P1 a P2 , por lo que el vector desplazamiento queda: d~r = dλı̂ + 2dλ̂ + 3dλk̂ Con esto se puede calcular ya el trabajo total W : Z P2 Z P2 ~ W = F · d~r = (Fx dλ + 2Fy dλ + 3Fz dλ) = P1 1 Z 0 P1 4 2 216 324 4λ2 dλ + 2(λ2 + 108λ4 )dλ + 324λ4 dλ = + + + = 2 + 108 3 3 5 5 con lo que W = 110 J Se ha visto que el trabajo de dos mismos puntos a través de dos trayectorias iguales ha David Blanco ([email protected]) 22 Curso 2009-2010 4 TRABAJO Y ENERGÍA resultado idéntico. Esto no significa que si se toma una tercera trayectoria entre los dos puntos, el trabajo vaya a salir igual que en los dos casos anteriores. Se estudió que para que esto sea ası́, el rotacional de la fuerza debe ser cero en todo punto. Comprobemos si es ası́: ı̂ ̂ k̂ ̂ k̂ ı̂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ~ ∧ F~ = ∂ = rotF~ =∇ ∂x ∂y ∂z = ∂x ∂y ∂z F 2 3 2 2 Fy Fz 2xy x + 2yz 3y z x (6yz 2 − 6yz 2 )ı̂ − (0 − 0)̂ + (2x − 2x)k̂ = 0 Por lo tanto, el trabajo entre los puntos P1 y P2 a través de cualquier trayectoria es W = 110 J 4.2. Potencia La potencia es una magnitud que relaciona el trabajo realizado por una fuerza y el tiempo empleado en realizar dicho trabajo. En principio si una fuerza realiza un determinado trabajo al llevar una partı́cula de una posición a otra, no hay nada en esta información que permita indicar si la fuerza ha tardado más o menos tiempo en realizar dicho trabajo y por tanto en recorrer el trayecto. Por lo tanto se pueden tener situaciones en las que el trabajo realizado por fuerzas muy distintas sea el mismo. La potencia que realiza una fuerza se define, por tanto, como la derivada del trabajo realizado por una fuerza con respecto al tiempo: dW P = dt Es por tanto una magnitud escalar, y sus unidades en el S.I. es el watio, 1 W = 1J/s, y en el CGS las unidades serán ergios por segundo. Es fácil encontrar otra expresión para la potencias sin más que sustituir la expresión del trabajo diferencial dW = F~ · d~r en la definición: P = dW F~ · d~r d~r = = F~ · = F~ · ~v dt dt dt es decir, la potencia que realiza una fuerza es el producto escalar de dicha fuerza por la velocidad. 4.3. Energı́a La energı́a es una magnitud fı́sica que mide la capacidad que un sistema o un cuerpo tiene de producir un trabajo. Se podrı́a decir que es como un “almacén de trabajo”. Es también una magnitud escalar y se mide en las mismas magnitudes que el trabajo. Los dos tipos de energı́a que aparecen en mecánica son: Energı́a cinética: la capacidad que tiene un cuerpo de producir trabajo debido a la velocidad que lleva el cuerpo. Energı́a potencial: la capacidad que tiene un cuerpo de producir trabajo debido a la posición o configuración que tiene el cuerpo, respecto de una campo de fuerzas externo. David Blanco ([email protected]) 23 Curso 2009-2010 5 FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERGÍA POTENCIAL 4.4. Teorema de conservación de la energı́a cinética Este teorema también se conoce clásicamente con el nombre de Teorema de las Fuerzas Vivas. Consideremos una partı́cula de masa m que se mueve bajo la acción de una fuerza resultante F~ . En este caso, el trabajo que realiza dicha fuerza resultante para ir del punto A al punto B es: Z B WA→B = F~ · d~r A C pero como F~ es la resultante de las fuerza cumple la segunda ley de Newton: Z B Z B Z B Z B d~r d~v d~v · d~v · ~v · d~r = m =m m~a · d~r = m WA→B = dt A A A dt A Para hacer esta integral sólo hay que diferenciar la igualdad ~v · ~v = v 2 , que produce d(~v · ~v ) = d~v · ~v + ~v · d~v = 2~v · d~v = d(v 2 ) por tanto ~v · d~v = 21 d(v 2 ). Si esto se sustituye en la expresión del trabajo: Z B 1 1 1 2 2 d(v 2 ) = mvB WA→B = m − mvA 2 2 2 A Si se define la energı́a cinética de una partı́cula como Ec = 21 mv 2 , el resultado anterior implica que el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas es igual a la variación de energı́a cinética: W = ∆Ec Es importante notar que este resultado sólo es válido para la resultante de las fuerzas. Si, por ejemplo, sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas F~1 y F~2 , los trabajos W1 y W2 realizados por estas dos fuerzas en el desplazamiento de un cuerpo en general no serán igual a la variación de energı́a potencial (W1 6= ∆Ec y W2 6= ∆Ec ). Por último, una duda que se nos podrı́a presentar es que tanto W como Ec dependen del sistema de referencia inercial que se tomen (a través de la velocidad y la posición respectivamente). Sin embargo, es fácil comprobar que el teorema de conservación de la energı́a cinética se cumple para cualquiera de estos sistemas inerciales. 5. Fuerzas conservativas. Energı́a potencial En general WA→B es una función de camino, es decir, depende de la trayectoria recorrida para ir de A a B. Sin embargo, existen ciertas fuerzas para las que el trabajo no depende del camino, es decir: Z B Z B WA→B = F~ · d~r = F~ · d~r A C1 A C2 para dos caminos cualquiera C1 y C2 distintos. La primeraHconsecuencia de esta definición es lo que sucede con el trabajo sobre un camino cerrado W = F~ · d~r. En cualquier trayectoria cerrada como la que se muestra en la Figura 5, se pueden definir dos puntos A y B, de forma que sobre la trayectoria total se definen dos trayectorias parciales, C1 que va de A a B siguiendo C, y C2 que va de B a A siguiendo C (ver Figura 5). Entonces, el trabajo a través de la trayectoria cerrada C se puede escribir como: I Z B Z A F~ · d~r = F~ · d~r + F~ · d~r (6) C David Blanco ([email protected]) A C1 B C2 24 Curso 2009-2010 5 FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERGÍA POTENCIAL z C1 A O B C Igual que se puede ir de B a A a través de C2 , también se puede ir de A a B a través del mismo camino, sin más que invertir cada uno de los pasos infinitesimales que componen la circulación, lo que supone cambiar d~r en cada paso por −d~r. Por lo tanto se cumple: Z B Z A F~ · d~r F~ · d~r = − A C2 B C2 C2 y x Si este resultado se sustituye en (6), el trabajo a través de una trayectoria cerrada queda: Z B I Z B F~ F~ · d~r − F~ · d~r = A C1 C Figura 5: Trayectoria cerrada. A C2 Pero si la fuerza es conservativa el trabajo entre dos puntos no depende del camino, y se llega a la conclusión: I F~ · d~r = 0 C Es decir, el trabajo a través de cualquier trayectoria cerrada de una fuerza conservativa es nulo. Esto ya se enunció en el tema anterior para cualquier campo vectorial conservativo, pero no se demostró como se acaba de hacer. De hecho, todo lo que estudió en el tema anterior para campos vectoriales conservativos se puede aplicar a fuerzas conservativas (como caso particular de campo vectorial conservativo). ~ ∧ F~ = 0. Por ejemplo, según el teorema de Stokes, para fuerzas conservativas se cumple ∇ Otra propiedad que se estudio para campos vectoriales conservativos es que se pueden expresar como el gradiente de un campo escalar, lo que implica que la circulación entre dos puntos se puede expresar como la variación de esta función escalar entre los dos puntos extremos de la trayectoria. Si f (~r) es el campo escalar al que nos referimos para la fuerza F~ , esto significa: Z ~rB ~ F~ = ∇f and W~rA →~rB = F~ · d~r = f (~rB ) − f (~rA ) ~ rA Por motivos históricos no se utiliza esta función escalar f sino menos esta función escalar, y se la denomina energı́a potencial, Ep . Por tanto, para toda fuerza conservativa se puede definir una energı́a potencial y el trabajo de esta fuerza es igual a menos la variación de la energı́a potencial: WA→B = −∆Ep = − Ep B − Ep A Ejemplo 1. Estudiar si la fuerza gravitatoria cerca de la superficie terrestre es conservativa y calcular su energı́a potencial. En el primer ejemplo de la Sección 4.1 se calculó el trabajo realizado por el peso para ir de un punto A a otro B, y el resultado fue: W = −mg(hB − hA ) donde m es la masa del cuerpo, g la gravedad y hA y hB la altura de los puntos A y B. Por tanto, es fácil ver que la fuerza es conservativa (el trabajo no depende el camino) y que la energı́a potencial, en este caso llamada energı́a potencial gravitatoria es Ep = mgh. David Blanco ([email protected]) 25 Curso 2009-2010 5 FUERZAS CONSERVATIVAS. ENERGÍA POTENCIAL Ejemplo 2. Estudiar si las fuerzas centrales son conservativas. Una fuerza central es aquella que se puede expresar en coordenadas esféricas como: F~ = F (r)r̂ Es decir, la fuerza lleva la dirección de la lı́nea que une el punto donde se considere la fuerza y el origen de coordenadas, que se llama centro de fuerzas, y cuyo módulo sólo depende de la distancia a ese centro. Se vio en el tema anterior que el vector desplazamiento en coordenadas esféricas se puede expresar como d~r = drr̂ + rsenθdϕϕ̂ + rdθθ̂. Por tanto, el producto escalar de F~ y d~r queda F~ · d~r = F (r)dr. Con esto, el trabajo entre dos puntos A y B queda: Z B WA→B = F (r)dr A Esta expresión es una integral escalar en una dimensión, por lo que no depende del camino, lo que indica que las fuerzas centrales son conservativas. Otra forma alternativa demostrar que las fuerzas centrales son conservativas habrı́a sido calcular ~ ∧ F~ (haciendo uso de coordenadas esféricas) y comprobar efectivamente que es ∇ igual a cero. Ejemplo 3. Estudiar si la fuerza gravitatoria lejos de la superficie terrestre es conservativa y calcular su energı́a potencial. La fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa m es MT m F~g = −G 2 r̂ r donde el origen del sistemas de coordenadas está en el centro de la tierra, G es la constante de gravitación universal, MT es la masa de la tierra y ~r es el vector de posición del cuerpo. Como puede verse, esta expresión corresponde a una fuerza central, por lo que es una fuerza conservativa según lo visto en el ejemplo anterior (otro ejemplo clásico de fuerza de este tipo serı́a la fuerza electrostática, que se estudiará más adelante en el curso). Para calcular la energı́a potencial hay que calcular el trabajo entre dos puntos A y B. Este será Z B MT m MT m MT m WA→B = −G 2 dr = G −G dr r rB rA A por lo que la energı́a potencial serı́a Ep = −G MTr m (cuidado con el signo). Ejemplo 4. Estudiar si la fuerza elástica de un muelle es conservativa y calcular su energı́a potencial. En una dimensión hemos visto que la fuerza de un muelle es F = −kx, suponiendo que cuando el cuerpo está en el origen el muelle está relajado. En este caso el trabajo para ir de un punto a otro será: Z B Z B 1 2 1 WA→B = F dx = − kdx = − kxB − kx2A 2 2 A A por lo que no depende del camino, será una fuerza conservativa y la energı́a potencial será Ep = 21 kx2 . En el caso más general que el origen no esté en el punto de reposo del muelle, la fuerza queda F = −k∆x donde ∆x es lo que se ha estirado o contraı́do el muelle, y la energı́a potencial quedarı́a Ep = 21 k∆x2 . David Blanco ([email protected]) 26 Curso 2009-2010 6 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Para terminar esta sección sólo hay que indicar que hay una arbitrariedad a la hora de elegir la fórmula de la energı́a potencial, ya que añadiendo cualquier constante a la fórmula se sigue cumpliendo que el trabajo de la fuerza conservativa es igual a menos la variación de la energı́a potencial. Por ejemplo, para el caso del peso (cerca de la superficie terrestre), la energı́a potencial es Ep = mgh, pero también se podrı́a definir como Ep 0 = mgh + 27, ya que ∆Ep = ∆Ep 0 . Se dice que el origen de la energı́a potencial (el lugar donde se hace cero) es arbitrario. 6. Conservación de la energı́a mecánica Por un lado hemos visto que el trabajo de la fuerza resultante era igual a la variación de la energı́a cinética, es decir WA→B = ∆Ec . Por otro parte, si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas se puede definir una energı́a potencial para cada una de ellas, y se cumple para el trabajo de la resultante de las fuerzas: Z BX X XZ B ~ F~i · d~r = −∆Ep i WA→B = Fi · d~r = A i A i i Si se define la energı́a potencial total Ep como la suma de las energı́a potenciales, Ep = se tiene que para la resultante de las fuerzas, si todas son conservativas, el trabajo es: P i Ep i , WA→B = −∆Ep Si se igualan las dos expresiones para el trabajo de la resultante de las fuerzas se tiene: ∆Ec = −∆Ep ⇒ EcB − EcA = Ep A − Ep B ⇒ EcB + Ep B = EcA + Ep A Por lo tanto, si se define la energı́a mecánica de un cuerpo como la suma de la energı́a cinética más la potencial, Em = Ec + Ep , entonces se tiene que la energı́a mecánica cumple, para cualesquiera dos puntos A y B que: EmB = EmA Lo que se conoce como Principio de Conservación de la Energı́a Mecánica y sólo se cumple si todas las fuerzas que actúan son conservativas. 6.1. Sistema no conservativos Si alguna de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo no es conservativa, el trabajo de la resultante de las fuerzas no es igual a menos la variación de la energı́a potencial. En este caso, las fuerzas se pueden separar en conservativas F~iC y no conservativas F~iN C , y para las primeras, su trabajo sı́ es igual a menos la variación de la energı́a potencial, y se cumplirá: Z BX Z BX Z BX Z BX X F~iN C · d~r = − ∆Ep i + F~iN C · d~r F~iC · d~r + WA→B = F~i · d~r = A i A i A i i A i Si potenciales, Ep = P al igual que antes, la energı́a potencial total es la suma de las energı́as NC E , y el trabajo de las fuerzas no conservativas se nota como W , se tiene: i pi WA→B = −∆Ep + W N C Por otro lado, el trabajo de la resultantes de las fuerzas siempre es igual a la variación de la energı́a potencial, con lo que la anterior igual queda: ∆Ec = −∆Ep +W N C ⇒ EcB −EcA = Ep A −Ep B +W N C ⇒ EcB +Ep B = EcA +Ep A +W N C David Blanco ([email protected]) 27 Curso 2009-2010 7 SISTEMAS DE PARTÍCULAS. CENTRO DE MASA Esto significa que la energı́a mecánica no se conserva, sino que cumple: EmB = EmA + W N C El ejemplo más tı́pico de esta situación es cuando existe una fuerza de rozamiento. Como la fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento, su trabajo siempre será negativo (para cada paso infinitesimal se tiene F~R · d~r < 0), por lo que al pasar de un punto inicial A a un punto final B, la energı́a del punto final siempre será menor que la del punto inicial. 7. Sistemas de partı́culas. Centro de masa Hasta este punto del tema se ha estudiado la dinámica de una única partı́cula puntual. En las dos secciones que restan se tratará el problema de sistemas de partı́culas, es decir, de como se mueven un conjunto de partı́culas puntuales. Se parte de un sistema de N partı́culas, cada una con un vector de posición ~ri . Sobre la partı́cula i, genérica, actúa una fuerza resultante F~i , que será la suma de las fuerzas debidas a agentes externos e internos. Por supuesto, sobre cada partı́cula se puede aplicar lo que se ha visto hasta ahora en el tema, en concreto la segunda ley de Newton. El resultado serı́a un sistema de N ecuaciones diferenciales acopladas tal como m1 mi mN d2~r1 = F~1 dt2 .. . d2~ri = F~i dt2 .. . (7) d2~rN = F~N dt2 Este sistema de ecuaciones está acoplado, ya que las fuerzas que actúan sobre la partı́cula i dependerá en general de la posición relativa de esta partı́cula respecto del resto del sistema. Aunque en teorı́a se podrı́a solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales, en la práctica no es posible cuando existen fuerzas entre las partı́culas del sistema que varı́an con la distancia relativa, como son las fuerzas gravitatorias o electromagnéticas. En este caso, solo se pueden resolver analı́ticamente para un sistema de dos cuerpos. Aunque para sistemas de tres o más cuerpos no se puede resolver el problema analı́ticamente, se podrá descomponer en complejo movimiento de un sistema como el de una partı́cula puntual, de masa la masa total del sistema, más un movimiento relativo en torno al de esta partı́cula puntual. Esto es lo que se verá en el resto de la sección. 7.1. Principio de conservación del momento lineal para un sistema de partı́culas La resultante de la fuerzas F~i que actúa sobre la partı́cula i se puede descomponer, en general, como: F~i = F~i,ext + F~i,int David Blanco ([email protected]) 28 Curso 2009-2010 7 SISTEMAS DE PARTÍCULAS. CENTRO DE MASA donde F~i,ext es la suma de de todas las fuerzas debidas a agentes externos y F~i,int es la suma de todas la fuerzas que el resto de las partı́culas del sistema ejercen sobre la partı́cula i. Si se realiza esta descomposición, el sistema de ecuaciones diferenciales (7) queda d~ p1 = F~1,int + F~1,ext dt .. . d~ pi = F~i,int + F~i,ext dt .. . d~ pN = F~N,int + F~N,ext dt donde p~i es el momento lineal de la partı́cula i. Si se suman todas las anteriores ecuaciones el resultado es N N N X X X d~ pi = F~i,int + F~i,ext (8) dt i=1 i=1 i=1 Ahora bien, como se ha dicho antes la fuerza F~i,int es la suma de las fuerzas que el resto de las partı́culas ejercen sobre la partı́cula i, es decir F~i,int = F~i,1 + F~i,2 + · · · + F~i,i−1 + Fi,i+1 + · · · + F~i,N = N X F~i,j j=1(j6=i) donde F~i,j es la fuerza que la partı́cula j ejerce sobre la i, y la sumatoria recorre todas las partı́culas menos PN la misma i, ya que la partı́cula i no puede ejercer una fuerza sobre sı́ misma. En la suma i=1 F~i,int estará la fuerza que el resto de la partı́culas ejerce sobre la i, pero también la fuerza que el resto de las partı́culas ejerce sobre la j. Ası́, dentro de la primera se encontrará F~i,j y dentro de las segunda estará F~j,i . Pero por la tercera ley de Newton se tiene que F~j,i = −F~j,i , por lo que se anularán en la suma. Como esto sucede para cualquier dos partı́culas, el resultado es que : N N N X X X F~i,int = F~i,j = 0 i=1 i=1 j=1(j6=i) Si estos se sustituye en (8) el resultado es N X d~ pi i=1 dt = N X F~i,ext i=1 Si se define el momento lineal total del sistema PN p~T como la suma de los momentos lineales individuales de las partı́culas, es decir, p~T = i=1 p~i , y la suma de todas las fuerzas exteriores PN que actúan sobre el sistema se nota como F~ext = i=1 F~i,ext , la última ecuación queda como: d~ pT = F~ext dt (9) Este última ecuación es fundamental en el estudio de la dinámica de sistema de partı́culas. Por ejemplo, si la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema es nula, F~ext = 0, David Blanco ([email protected]) 29 Curso 2009-2010 7 SISTEMAS DE PARTÍCULAS. CENTRO DE MASA de introducir esto en la ecuación (9), se tiene p~T = 0 =⇒ p~T = cte dt es decir, el momento lineal total del sistema se conserva. A este resultado se conoce como principio de conservación el momento lineal, e implica que si p~iA y p~iB son el momento lineal de la partı́cula i en los instantes A y B, entonces: N N X X p~iA = p~iB i=1 7.2. i=1 Centro de masa La expresión (9) se parece mucho a la segunda ley de Newton para una partı́cula puntual, lo que induce a pensar que hay algo en los sistemas que se comporta respecto a las fuerzas exteriores como una masa puntual. Este algo será el centro de masas. Se define el centro de masas de un sistema de partı́culas como un punto geométrico cuyo vector de posición en el punto N X mi~ri ~rCM = i=1 N X mi i=1 Si se llama mT = posición PN i=1 mi a la masa total del sistema, el centro de masas se encuentra en la ~rCM = N 1 X mi~ri mT i=1 Se puede calcular la velocidad del centro de masas, sin más que derivar su posición con respecto al tiempo. El resultado es: ~vCM = N N N 1 X d~ri 1 X 1 X p~T d~rCM = mi = mi~vi = p~i = dt mT i=1 dt mT i=1 mT i=1 mT Es decir, el momento total del sistema es igual a la masa total del sistema por la velocidad del centro de masa. También se puede encontrar la aceleración del centro de masas ~aCM Pero se tenı́a que ~T dP dt N d~vCM 1 X 1 d~ pT = = mi~ai = dt mT i=1 mT dt = F~ext , por lo que se obtiene mT ~aCM = F~ext Esto implica que el centro de masas de un sistema de partı́culas, por muy complejo que sea el sistema, se mueve como una partı́cula puntual, de masa mT y sometida a la acción de las únicamente de las fuerzas exteriores. David Blanco ([email protected]) 30 Curso 2009-2010 7 SISTEMAS DE PARTÍCULAS. CENTRO DE MASA En el caso de que el sistema de partı́cula no esté constituido por partı́culas discretas, sino que sea un sistema continuo, la posición del centro de masas quedarı́a: Z 1 ~rdm ~rCM = mT es decir, las componentes del vector de posición del centro de masa serı́an Z Z Z 1 1 1 xdm , yCM = ydm , zCM = zdm xCM = mT mT mT La velocidad y la aceleración del centro de masa quedarı́an definidas como Z Z 1 1 ~v dm y ~aCM = ~adm ~vCM = mT mT Si se tiene en cuenta que la densidad ρ es ρ = dm dV , con V el volumen, la posición del centro de masa para un sistema continuo de partı́culas queda Z 1 ~rρdV ~rCM = mT y si el cuerpo es homogéneo, es decir ρ = cte, quedarı́a Z Z ρ 1 ~rCM = ~rdV = ~rdV ρV V La parte derecha de la anterior igualdad no es otra cosa que la expresión del centro geométrico del sistema. Ası́, si el sistema continuo es homogéneo, el centro de masas se encuentra en el centro geométrico del sistema. 7.2.1. Coordenadas relativas Se puede elegir un sistema de coordenadas centrado en el centro de masa, de forma que la posición de una partı́cula i en este sistema se notará ~ri0 , que se denomina posición de la partı́cula i relativa al centro de masa, o simplemente posición relativa de la partı́cula i. Teniendo esto en cuenta se tiene que para cualquier partı́cula i, su vector de posición se puede expresar como: ~ri = ~ri0 + ~rCM Si la anterior ecuación se multiplica por mi y se suma la para todas las partı́culas del sistema, el resultado es N N N X X X 0 mi~ri = mi~ri + mi~rCM i=1 i=1 i=1 Pero la parte izquierda de la igualdad es mT ~rCM , y el segundo sumatorio de la parte derecha también resulta mT ~rCM , por lo que se cumple: N X mi~ri0 = 0 i=1 Al igual que se ha hecho con la posición, la velocidad y la aceleración de las partı́culas se puede expresar como las velocidades y aceleraciones relativas al centro de masa, más la velocidad y la aceleración del centro de masa, respectivamente. Es decir: ~vi =~vi0 + ~vCM ~ai =~a0i + ~aCM David Blanco ([email protected]) 31 (10) Curso 2009-2010 7 SISTEMAS DE PARTÍCULAS. CENTRO DE MASA Repitiendo el mismo proceso que se hizo con la posición relativa se obtiene que: N X mi~vi0 = 0 y N X i=1 7.3. mi~a0i = 0 (11) i=1 Energı́a cinética Para una única partı́cula se obtuvo que el trabajo de la resultante de las fuerzas era igual a la variación de la energı́a cinética. Siguiendo con la misma idea, ahora interesa calcular el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre todo el sistema, y se verá como se puede definir una energı́a cinética total del sistema de forma análoga a como se hizo para una partı́cula. Esta energı́a cinética total se podrá descomponer en una energı́a cinética relativa y una del centro de masa, simplificando su cálculo. Para calcular el trabajo de la resultante de las fuerzas F~T que actúan sobre un sistema, hay que tener en cuenta que esta fuerza total es igual a la suma de las resultantes de las fuerzas que actúan sobre cada una de las partı́culas: F~T = N X F~i i=1 donde F~i es la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partı́cula i. Como el trabajo que realiza la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partı́cula i es igual a la variación de la energı́a cinética, el trabajo de la resultante total F~T queda: Z B Z BX N Z B N N N N X X X X F~i · d~r = F~i · d~r = ∆Eci = EciA − EciB F~T · d~r = A A i=1 i=1 A i=1 i=1 i=1 donde Eci es la energı́a cinética de la partı́cula i. De esta forma, si se define la energı́a cinética de un sistema de partı́culas como N X Ec = Eci i=1 entonces el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sistema queda Z B F~T · d~r = ∆Ec A La energı́a cinética del sistema se puede descomponer en energı́a cinética relativa o interna y energı́a cinética del centro de masa. Para ello, hay que utilizar la expresión de la velocidad de la partı́cula i dada en (10). Teniendo en cuenta esta expresión, la energı́a cinética de un sistema de partı́culas queda: Ec = N X Eci = i=1 = i=1 N X 1 i=1 N X 1 2 2 mi vi0 + 2 mi vi2 = i=1 N X 1 i=1 N X 1 2 2 mi vCM 2 + mi (~vi0 + ~vCM ) · (~vi0 + ~vCM ) N X mi~vi · ~vCM = i=1 N X 1 i=1 2 2 mi vi0 1 2 + mT vCM + 2 N X ! mi~vi · ~vCM i=1 El último sumando es igual a cero, teniendo en cuenta la expresión (11), de forma que, si se define 2 la energı́a cinética relativa, Ec 0 , y la energı́a cinética del centro de masas como EcCM = 12 mT vCM , la energı́a cinética del sistema de partı́culas se puede descomponer como: Ec = Ec 0 + EcCM David Blanco ([email protected]) 32 Curso 2009-2010 7 SISTEMAS DE PARTÍCULAS. CENTRO DE MASA 7.4. Energı́a potencial Si todas las fuerzas que actúan en el sistema y sobre el sistema son conservativas, tanto las exteriores como las interiores, para cada una de ellas se podrá definir una energı́a potencial, y para el sistema completo se podrá definir una energı́a potencial total Ep T que será la suma de las energı́as potenciales individuales. Ep T = N X Ep i i=1 donde Ep i es la energı́a potencial total de la partı́cula i, tal y como se definió en la Sección 5. Ası́, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre el sistema de partı́culas quedarı́a: Z B F~T · d~r = A Z N BX A F~i · d~r = i=1 N Z X i=1 B F~i · d~r = A N X −∆Ep i = −∆Ep T i=1 A parte de como la suma de las distintas energı́as potenciales de las partı́culas del sistema, la energı́a potencial total del sistema se puede separar en dos términos, uno debido a las fuerzas interiores y otro debido a las fuerzas exteriores. Ası́: Z ∆Ep T = − N BX A F~i · d~r = − i=1 Z N BX A F~i,ext · d~r − Z N BX A i=1 F~i,int · d~r = ∆Ep ext + ∆Ep int i=1 Donde Ep i,ext es la energı́a potencial debido a las fuerzas externas y que en general sólo dependerá de la configuración del centro de masa, y Ep i,int es la energı́a potencial debido a fuerzas internas y que sólo dependerá de las posiciones relativas. Por ejemplo, para un sólido rı́gido, en el que la distancia entre dos partı́culas no puede variar, la energı́a potencial interna no puede variar, por lo que no hay que considerarla y a efectos de energı́a potencial, sólo habrá que tener en cuenta la variaciones de energı́a potencial que sufra el centro de masa. 7.5. Principio de conservación de la energı́a mecánica Cuando todas las fuerzas que actúan sobre un sistema son conservativas, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre el sistema F~T se ha visto que se puede expresar como la variación de la energı́a cinética total o como menos la variación de la energı́a potencial total. Si se tiene esto en cuenta se tiene una ecuación similar a la que se encontró para una partı́cula: ∆Ec = −∆Ep ⇒ EcB − EcA = Ep A − Ep B ⇒ EcB + Ep B = EcA + Ep A donde se ha eliminado el subı́ndice “T ” en la energı́a potencial. Si se aplican las descomposiciones a las energı́as cinética y potencial realizadas en los dos anteriores apartados, la anterior ecuación queda: (Ec0 )B + (EcCM )B + (Ep int )B + (Ep int )B = (Ec0 )A + (EcCM )A + (Ep int )A + (Ep int )A En el caso del sólido rı́gido, la anterior ecuación se simplifica enormemente, ya que se puede eliminar Ep int y Ec0 toma una forma muy sencilla. Si se define la energı́a mecánica del sistema de partı́culas como la suma de la energı́a cinética más la potencial, se vuelve a cumplir que la energı́a mecánica de un sistema de partı́culas se conserva cuando todas las fuerzas que intervienen son conservativas, es decir: EmB = EmA David Blanco ([email protected]) 33 Curso 2009-2010 8 COLISIONES lo que se conoce como el principio de conservación de la energı́a mecánica para un sistema de partı́culas. Para terminar con el apartado, sólo indicar que si existen fuerzas no conservativas actuando sobre el sistema (pueden ser externas y/o internas), el fácil comprobar que la ecuación energética queda: EmB = EmA + W N C Donde W N C es el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas. 8. Colisiones En la Sección 7.1 se demostró que si no existen fuerzas exteriores el momento lineal total de un sistema permanece constante. Este apartado se demuestra que en el caso de colisiones, el momento lineal total de un sistema permanece constante aunque haya fuerzas externas, con tal de que estas no sean impulsivas. Por colisión o choque se entenderá una interacción que dura muy poco tiempo, de forma que se puede considerar instantánea. En la Sección 7.1 se estudió que la derivada del momento lineal total cumplı́a (9), por lo que si ∆t es el tiempo que dura la interacción, la variación de momento lineal que se produzca será: ∆~ pT ≈ F~ext ∆t Si la interacción dura muy poco, ∆t será muy pequeña, y si la hacemos tender a cero, ∆~ pT tenderá a cero también. Por lo que en el caso en el que la interacción se instantánea se tendrá: ∆~ pT = 0 (12) Existe una excepción a la anterior deducción y es el caso en el que se tengan fuerzas exteriores F~ext que tomen valores muy altos durante el pequeño tiempo que dura la interacción. En este caso, al hacer el intervalo durante el que dura la interacción tender a cero, no tienen por qué resultar una ∆~ pT nula, ya que el producto de algo muy pequeño (el tiempo) por algo muy grande (la fuerza) no tiene que dar algo muy pequeño. Este tipo de fuerzas se denominan impulsivas y son fuerzas que toman valores muy altos durante intervalos de tiempo pequeño. Ejemplos de este tipos de fuerzas hay muchos, por ejemplo, la fuerza que un palo de golf realiza sobre la pelota, la fuerza entre dos bolas de billar, etc. Es importante notar que puede haber (y casi siempre habrá) fuerzas impulsivas dentro del sistema de partı́culas, pero no puede haber fuerzas externas impulsivas, si se quiere que se cumpla la ecuación (12). Los choque pueden ser elásticos o inelásticos. Los choques elásticos son aquellos en los que se conserva la energı́a (la energı́a antes del choque es igual a la energı́a después del choque), mientras que los choques inelásticos son aquellos choques donde no se conserva la energı́a (generalmente se pierde energı́a en el choque). Dentro de los choques inelásticos, están los choques denominados plásticos o perfectamente inelásticos que son aquellos choques inelásticos con la mayor pérdida de energı́a posible, lo que implica que los cuerpos que chocan permanecen unidos después del choque. David Blanco ([email protected]) 34 Curso 2009-2010

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