Ejercicios resueltos del Capítulo 3 Variables Aleatorias

1
ESTADÍSTICA
VARIABLES ALEATORIAS
Alberto Luceño
Francisco J. González
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Tabla de Contenido
Inicio Artı́culo
c 2000
Copyright Actualizado el: 11 de noviembre de 2003
Versión 2.00
Tabla de Contenido
3. Variables aleatorias
3.1. Variables aleatorias discretas
3.2. Variables aleatorias continuas
3.3. Cambio de variable
Soluciones de Ejercicios
Sección 3: Variables aleatorias
3
3. Variables aleatorias
3.1. Variables aleatorias discretas
Ejercicio 39. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige
uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación se lanzan tres
dados. Si el número elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3
veces lo apostado, y se recupera éste. Si no aparece el número elegido,
se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la
ganancia. Obtener E(X).
Ejercicio 40. Una variable aleatoria tiene la siguiente función de
probabilidad,
x
P (x)
1
0,05
2
0,20
3
0,05
4
0,45
5
0,25
1. Comprobar que es una función de probabilidad.
2. Calcular P (x ≤ 3).
3. Calcular P (x > 3).
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
4
4. Calcular P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5).
5. Calcular E(X).
6. Representar la función de distribución FX (x).
Ejercicio 41. Fiabilidad de un componente. Para una componente
de un sistema, sea A el suceso “la componente funciona”. Se define la
función indicatriz del suceso A como aquella función IA tal que IA = 1
si A es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qué indica E(IA )?
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
f)
Representar la función de distribución FX (x).
Sección 3: Variables aleatorias
5
I
41.
42.
b) 0,3
c) 0,7
d) 0,35
e) 3,65
Ejercicio 42. A partir la figura
Fiabilidad de un componente. Para una componente de un sistema, sea A el suceso “la componente
funciona”. Se define la función indicatriz del suceso A como aquella función I A tal que IA = 1 si A
1. Determinar la función indicatriz de los sistemas.
es cierto e IA = 0 si A es falso. ¿Qué indica E(IA )?
2. Determinar la fiabilidad de los sistemas.
A partir la figura 3.1
a) Determinar
la función
indicatriz
3.
Suponiendo
p1 =
p2 = de
p3los
=sistemas.
0,90, determinar la fiabilidad de los
b) Determinar la fiabilidad de los sistemas.
sistemas y compararlos.
c)
Suponiendo p1 = p2 = p3 = 0,90, determinar la fiabilidad de los sistemas y compararlos.
1
1
2
1
2
2
3
3
(a) Circuito1
(b) Circuito2
(c) Circuito3
Figura 3.1: Función indicatriz y fiabilidad
I
a) 1 − (1 − I1 )(1 − I2 )(1 − I3 ), I1 I2 , 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 )
Universidad de Cantabria.
Toc
JJ
b) 1 − q1 q2 q3 , p1 p2 , 1 − (1 − p1 p2 )q3
Alberto Luceño y Fco. Javier González
II
J
I
Volver
25
J
Doc
Doc
I
43.
3.
3. VARIABLES ALEATORIAS
Sección 3: Variables aleatorias
6
Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.2
Ejercicio 43. Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada
1
2
Determinar
la función
indicatriz
fiabilidad de cada uno de 1los sistemas de 1la figura 3.2
uno de los
sistemas
de ylalafigura
1
2
3
1
4
2
(a) Circuito4
3
1
2
(b) Circuito5
4
2
(a) Circuito4
2
Figura 3.2: Función indicatriz y fiabilidad
I
(b) Circuito5
a) I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 I4 ), R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 p4 )
b) Función
I = [1 − (1indicatriz
− I1 )(1 − I2 )][1
− (1 − I3 )(1 − I4 )], R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 )
Figura 3.2:
y fiabilidad
44.
4.
Ejercicio 44. Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada
uno
de los
sistemas
de
la
I fiabilidad
= 1 − (1 − IdeI cada
)(1 − uno
I I ),de
R los
= 1 sistemas
− (1 − p pde
)(1la−figura
p p ) 3.3
Determinar
la función
indicatriz
ya)lafigura
I
1 2
3 4
1
2
3
4
b) I = [1 − (1 − I1 )(1 − I2 )][1 − (1 − I3 )(1 − I4 )], R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 )
1
2
1
Determinar la función indicatriz y la fiabilidad de cada uno de los sistemas de la figura 3.3
3
1
3
2
2
4
1
5
4
3
(a) Circuito6
(b) Circuito7 3
2
4
Toc
JJ
5
(a) Circuito6
Figura 3.3: Función indicatriz y fiabilidad
II
J
I
4
Volver
J Doc
(b) Circuito7
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
7
Ejercicio 45. Sea una variable aleatoria definida por su función de
distribución:

0
x < −2



0,4 −2 ≤ x < 0,5
F (x) =
0,8 0,5 ≤ x < 3



1
x≥3
1. Representar F (x) y calcular la función de probabilidad de esta
variable.
2. Calcular E(X).
Ejercicio 46. Se lanza una moneda tres veces; sea X el número de
caras obtenidas. Hallar la función de probabilidad y de distribución
de X.
Ejercicio 47. El número medio de personas que acuden a un local es
de 1000 con una desviación tı́pica σ = 20. ¿Cuál es el número de sillas
necesarias para asegurar que todos los asistentes puedan sentarse, con
una probabilidad de 0,75? (Usar la desigualdad de Chebyschev.)
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
8
Ejercicio 48. Sea X variable aleatoria cuya distribución de probabilidad viene dada por
3
1
P (X = r) =
r = 0, 1, 2, 3, 4
2 r! (4 − r)!
P (X = r) = 0
para otros valores
Hallar P (X = 3); P (1 ≤ X ≤ 2,5) y P (X ≤ 2,5).
Ejercicio 49. Los artı́culos en venta en unos grandes almacenes se
someten al control diario y , se estima que la probabilidad
r de que en
2 1
. Determinar
un dı́a sean vendidos r artı́culos defectuosos es
3 3
la probabilidad de que en un dı́a de los artı́culos vendidos:
1. Dos o más sean defectuosos.
2. Cinco sean defectuosos.
3. Tres ó menos sean defectuosos.
4. Determinar la esperanza.
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
9
3.2. Variables aleatorias continuas
Ejercicio 51. Sea X una variable aleatoria que tiene como función
de densidad de probabilidad f (x) = a(1 + x2 ) si x ∈ (0, 3) y f (x) = 0
en los demás casos. Se pide:
1. Hallar a y la función de distribución de X.
2. Hallar la probabilidad de que X esté comprendido entre 1 y 2.
3. P (X < 1).
4. P (X < 2|X > 1).
5. Calcular P (|X − µ| ≥ k σ), con k = 2.
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
10
Ejercicio 52. Sea Y una variable aleatoria con función de densidad
dada por:

−1 ≤ y ≤ 0
 0,2
0,2 + k y 0 < y ≤ 1
pY (y) =

0
en el resto
1. Determinar el valor de k.
2. Determinar la función de distribución, FY (y).
3. Calcular P (0 ≤ Y ≤ 0,5).
4. P (Y > 0,5|Y > 0,1).
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
11
Ejercicio 53. La cantidad aleatoria de dinero ahorrado por una persona en un mes sigue una ley de probabilidad dada por:

0
x<0


 x

 2 0≤x<1
1
1≤x<2
F (x) =
2

x

2≤x<4


 4
1
4≤x
donde x viene expresado en cientos de euros. Determinar la probabilidad de que, en un mes la cantidad de dinero ahorrado:
1. Sea superior a 200 euros.
2. Sea inferior a 450 euros.
3. Sea superior a 50 euros y menor ó igual a 250 euros.
4. Calcular el ahorro mensual medio.
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
12
Ejercicio 54. Con objeto de establecer un plan de producción, una
empresa ha estimado que la demanda aleatoria de sus potenciales
clientes se comportará semanalmente con arreglo a la ley de probabilidad definida por la función de densidad
3
2
0≤x≤2
8 (4x − 2x ),
pX (x) =
0,
en el resto
donde x viene expresada en millones de unidades. ¿Qué cantidad C
deberá tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, para
poder satisfacer la demanda en dicho periodo con una probabilidad
de 0,5?
Ejercicio 55. Cierta aleación se forma con la mezcla fundida de dos
metales. La aleación que resulta contiene cierto porcentaje de plomo
X, que puede considerarse como una variable aleatoria. Suponiendo
que X tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:
3x(100 − x)
,
0 ≤ x ≤ 100,
5
y que el beneficio neto G obtenido al vender esta aleación, es una
pX (x) = 10−5
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
13
función del porcentaje de plomo: G = A + BX, se pide calcular el
beneficio esperado.
Ejercicio 56. Si la duración en horas de cierto tubo de radio es una
variable aleatoria continua X con función de densidad
100
x > 100,
pX (x) = 2 ,
x
SE PIDE:
1. Probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe
que el tubo funciona todavı́a después de 150 horas de servicio.
2. Si se instalan tres de estos tubos en un conjunto, probabilidad
de que exactamente uno tenga que ser sustituido después de 150
horas de servicio.
3. ¿Cuál es el número mı́nimo de tubos n que se pueden poner
en un sistema en paralelo, de modo que haya una probabilidad
0,999 de que después de 150 horas de servicio funcione todavı́a
el sistema?
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
14
Ejercicio 57. El tiempo de vida (en cientos de horas) de un transistor
es una variable aleatoria Z con función de distribución
0
z<0
FZ (z) =
−z 2
1−e
0≤z
SE PIDE:
1. Demostrar que FZ (z) es una función de distribución.
2. Obtener la función de densidad de probabilidad pZ (z).
3. Calcular la probabilidad de que un determinado transistor dure
más de 200 horas.
Ejercicio 58. Una estructura metálica puede sufrir, debido al calor,
una dilatación que (medida en cm) es una variable aleatoria X con
función de densidad de probabilidad dada por:

ax
0≤x≤3

b
3<x<5
pX (x) =
 b
(8
−
x)
5≤x≤8
3
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
15
1. Sabiendo que la función de densidad de probabilidad es una
función continua de x, determinar a y b.
2. Calcular e interpretar la probabilidad de que la dilatación sea
inferior a 3.
3. Si con un aparato se ha observado que la estructura ha dilatado
más de 3 cm, ¿con qué probabilidad la dilatación estará entre 3
y 5 cm?
Ejercicio 59. Sea una variable aleatoria X, que tiene como función
de densidad:
(
x+6
−6 ≤ x ≤ 4
pX (x) =
50
0
resto
1. Calcular la función de distribución de X.
2. Hallar k, si P (k ≤ x ≤ k + 1) = 0,09.
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
16
Ejercicio 60. La demanda, expresada en toneladas, de un determinado producto es una variable aleatoria cuya función de densidad es:
x
pX (x) =
2≤x≤4
6
¿Cuales son la media, la varianza y la mediana de esta demanda?
El fabricante del producto sabe que cada kilo vendido reporta un
beneficio de 12 euros, y cada kilo que queda sin vender supone una
pérdida de 6 euros. Es por tanto, importante para él establecer cuál es
la cantidad a fabricar. Si el criterio para establecer dicha cantidad es
el maximizar la ganancia esperada, determinar cuál es la fabricación
óptima.
Toc
JJ
II
J
I
Volver
J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
17
3.3. Cambio de variable
Ejercicio 61. Sea X una variable aleatoria con E(X) = 2 y V ar(X) =
0,5. Sea Y = 3X − 8. Hallar E(Y ) y V ar(Y ).
Ejercicio 62. Supongamos que una variable aleatoria X tiene función
de densidad de probabilidad:
pX (x) = 2x
0<x<1
Determinar la función de densidad de probabilidad de las variables
1. Y = H1 (X) = 3X + 1,
2. Z = H2 (X) = e−X
3. W = H3 (X) = X 2
Ejercicio 63. Para medir la velocidad del aire se usa un tubo que
permite medir la diferencia de presión. Esta diferencia está dada por
R = 21 d V 2 , con d la densidad del aire (supuesta constante) y V la
velocidad del viento (en km/h). Si V es una función de densidad de
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
18
probabilidad uniforme en (10, 20), encontrar la función de densidad
de probabilidad de R.
Ejercicio 64. La tabla siguiente representa la distribución de probabilidad conjunta de la variable aleatoria discreta (X, Y ). Determinar
Y \X
1
2
3
1
1
12
1
6
0
2
0
1
9
1
5
3
1
18
1
4
2
15
1. Calcular P (X = 2, Y = 1); P (X = 2); P (Y = 1) y P (X =
3|Y = 2).
2. Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ).
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Sección 3: Variables aleatorias
19
Ejercicio 65. Dos lı́neas de producción fabrican artı́culos. Supóngase
que la capacidad es de 5 artı́culos para la lı́nea I y de 3 artı́culos
para la lı́nea II. Sea (X, Y ) la representación de la variable aleatoria
bidimensional que da el número de artı́culos producidos por la lı́nea I
y por la lı́nea II:
Y \X
0
1
2
3
0
0
0,01
0,01
0,01
1
0,01
0,02
0,03
0,02
2
0,03
0,04
0,05
0,04
3
0,05
0,05
0,05
0,06
4
0,07
0,06
0,05
0,06
5
0,09
0,08
0,06
0,05
1. Determinar la probabilidad del suceso: la lı́nea I produce más
artı́culos que la lı́nea II.
2. Hallar las distribuciones marginales.
3. Calcular P (X = 3) y P (Y = 1).
4. Calcular E(X) y E(Y ).
5. Calcular P (X = 2|Y = 2).
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
20
Soluciones de Ejercicios
Ejercicio 39. Sea x la variable aleatoria que proporciona la ganancia
x
P (x)
E[X] = −1 ×
Toc
JJ
−1
1
2
3
125
216
15
216
75
216
1
216
125
15
75
1
+1×
+2×
+3×
= −0,078
216
216
216
216
Ejercicio 39
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
21
Ejercicio 40.
1. Se verifica que P (xi ) ≥ 0, ∀i y
Pn
i=1
P (xi ) = 1
2. P (x ≤ 3) = Fx (3) = 0,3
3. P (x > 3) = 1 − P (x ≤ 3) = 1 − Fx (3) = 0,7
4. P (x = 1 ∪ x = 3 ∪ x = 5) = P (x = 1) + P (x = 3) + P (x = 5) =
0,35
5. E[X] = 1 × 0,05 + 2 × 0,20 + · · · + 5 × 0,25 = 3,65
Ejercicio 40
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
22
Ejercicio 41. Sea IA la variable aleatoria definida como
1 x∈A
IA (x) =
0 x 6∈ A
E[IA ] = 1 × P (A) + 0 × P (A) = P (A)
luego E[IA ] indica la probabilidad de que la componente funcione.
Ejercicio 41
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
23
Ejercicio 42.
1. Función indicatriz
a) 1 − (1 − I1 )(1 − I2 )(1 − I3 )
b) I1 I2
c) 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 )
2. Fiabilidad
a) 1 − q1 q2 q3 ,
b) p1 p2
c) 1 − (1 − p1 p2 )q3
Ejercicio 42
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
24
Ejercicio 43.
1. Circuito 4
I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 I4 )
R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 p4 )
2. Circuito 4
I = [1 − (1 − I1 )(1 − I2 )][1 − (1 − I3 )(1 − I4 )]
R = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 )
Ejercicio 43
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
25
Ejercicio 44.
1. Circuito 6
I = 1 − (1 − I1 I2 )(1 − I3 )(1 − I4 I5 )
R = 1 − (1 − p1 p2 )(1 − p3 )(1 − p4 p5 )
2. Circuito 7
I = I1 + I2 (1 − I1 )(I3 + I4 − I3 I4 )
R = p1 + p2 (1 − p1 )(p3 + p4 − p3 p4 )
Ejercicio 44
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
26
Ejercicio 45.
1.
p(−2) = P (x = −2) = F (−2) − F (−2− ) = 0,4 − 0 = 0,4
p(0,5) = P (x = 0,5) = F (0,5) − F (0,5− ) = 0,8 − 0,4 = 0,4
p(3) = P (x = 3) = F (3) − F (3− ) = 1 − 0,8 = 0,2
2. E[X] = −2 × 0,4 + 0,5 × 0,4 + · · · + 3 × 0,2 = 0
Ejercicio 45
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
27
Ejercicio 46. Sea x la variable aleatoria, número de caras obtenidas:
función de probabilidad
1
3
p(0) =
p(1) =
8
8
p(2) =
3
8
p(3) =
1
8
función de distribución
F (x) =

0



1



 8
x<0
0≤x<1







2≤x<3
4
8
7
8
1≤x<2
1
x≤3
Ejercicio 46
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
28
Ejercicio 47. Sea x la variable aleatoria, el número de personas que
acuden. Nos piden hallar n con
P (x ≤ n) ≥ 0,75 =⇒ P (x > n) ≤ 0,25
restando µ = E[X] = 1000
P (x − µ > n − µ) ≤ 0,25
Comparando con la desigualdad
P (|x − µ| > kσ) ≤
1
1
= 0,25 = =⇒ k = 2
k2
4
1
k2
n − µ = 2 × 20
Se obtiene
n = 1040
Ejercicio 47
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
29
Ejercicio 48. Hallamos primero:
3 1
1
P (X = 0) =
=
2 0! 4!
16
3 1
1
P (X = 1) =
=
2 1! 3!
4
3 1
1
=
2 4! 0!
16
3 1
1
P (X = 3) =
=
2 3! 1!
4
3 1
3
P (X = 2) =
=
2 2! 2!
8
P (X = 3) =
P (X = 4) =
1
4
P (1 ≤ X ≤ 2,5) = P (X = 1) + P (X = 2) =
5
8
P (X ≤ 2,5) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =
11
16
Ejercicio 48
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
30
Ejercicio 49. Sea x el número de artı́culos defectuosos vendidos en
un dı́a:
1
2
q=
P (X = r) = p q r
p=
3
3
Es útil hallar P (X > r) = q r+1 . Pues:
1. P (X > 1) = q 2 .
2. P (X = 5) = p q 5 .
3. P (X ≤ 3) = 1 − P (X > 4) = 1 − q 5 .
4. Por ser x geométrica E[X] = 3
Ejercicio 49
Toc
JJ
II
J
I
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J
Doc
Doc
I
Soluciones de Ejercicios
31
Ejercicio 51.
R3
1
1. 0 a (1 + x2 ) dx = 1 =⇒ a = 12
.
x
Z x
1
1
1
F (x) =
a (1 + s2 ) ds = a s + s3 =
(x + x3 )
3
12
3
0
0
2. P (1 < X < 2) = F (2) − F (1) =
3. P (X < 1) = F (1) =
4. P (X < 2|X > 1) =
5
.
18
1
.
9
P (1 < X < 2)
F (2) − F (1)
45
=
=
.
P (X > 1)
1 − F (1)
144
Ejercicio 51
Toc
JJ
II
J
I
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J
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Soluciones de Ejercicios
32
Ejercicio 52.
1.
Z
0
1
Z
0,2 dy +
−1
2.
(0,2 + ky) dy = 1 =⇒ k = 1,2
0

−1 ≤ y ≤ 0
 0,2y + 0,2
0,6y 2 + 0,2 y + 0,2 0 < y ≤ 1
F (y) =

0
en el resto
3. P (0 ≤ Y ≤ 0,5) = F (0,5) − F (0) = 0,25.
4. P (Y > 0,5|Y > 0,1) =
P (Y > 0,5)
1 − F (0,5)
=
= 0,71.
P (Y > 0,1)
1 − F (0,1)
Ejercicio 52
Toc
JJ
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Soluciones de Ejercicios
33
Ejercicio 53.
1. P (X > 2) = 1 − F (2) = 0,5.
2. P (X < 4,5) = F (4,5) = 1.
3. P (0,5 < X ≤ 2,5) = F (2,5) − F (0,5) = 3/8.
R4
4. E[X] = 0 x f (x) dx = 1,75
Ejercicio 53
Toc
JJ
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Soluciones de Ejercicios
34
Ejercicio 54. Nos piden C de forma que
P (X < C) ≥ 0,5 ⇐⇒ FX (C) ≥ 0,5
luego
Z
C
3
(4x − 2x2 )dx ≥ 0,5
0 8
3 2 1 3
C − C ≥ 0,5
4
4
2
3
3C − C − 2 ≥ 0 ⇐⇒ (C − 1)(C 2 − 2C − 2) ≤ 0
Como 0 ≤ C ≤ 1, C = 1.
Ejercicio 54
Toc
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Soluciones de Ejercicios
35
Ejercicio 55.
Hallamos la E[X]
E[X] =
10−5
5
Z
100
3x2 (100 − x)dx = 50
0
luego
E[G] = A + 50 B
Ejercicio 55
Toc
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Soluciones de Ejercicios
36
Ejercicio 56.
La función de distribución es
FX (x) = 1 −
1.
P (x < 200|x > 150) =
100
x
P (150 < x < 200)
1
=
P (x > 150)
4
2. Sea Y el número de tubos a sustituir de los tres, con p =
FX (150) = 1/3 la probabilidad de que dure menos de 150 horas
3
4
P (Y = 1) =
p q2 =
9
1
3. Para el tiempo TP del sistema en paralelo dure menos de 150
horas, es necesario que las n componentes duren menos de 150
horas, luego:
log 0,001
= 6,29
P (TP > 150) = 1 − pn ≥ 0,999 =⇒ n ≥ −
log 3
Ejercicio 56
Toc
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Soluciones de Ejercicios
37
Ejercicio 57.
1. Comprueba que se cumplen las propiedades dadas en la página
84 del libro de teorı́a.
2.
fZ (z) =
2
dFZ (z)
= 2ze−z
dz
z>0
3.
P (Z > 2) = 1 − P (Z < 2) = 1 − (1 − e−4 ) = e−4
Ejercicio 57
Toc
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Soluciones de Ejercicios
38
Ejercicio 58.
1. Por continuidad
f (3− ) = f (3+ ) =⇒ 3a = b
f (5− ) = f (5+ ) =⇒ b = b
Z
Z 3
Z 5
Z 8
f (x)dx = 1 = a
xdx + 3a
dx + a
(8 − x)dx = 1
0
3
1
a=
15
2.
P (X < 3) =
5
1
b=
5
1
15
3.
P (3 < x < 5|x > 3) =
Z
3
xdx =
0
3
10
P (3 < x < 3)
4
=
P (x > 3)
7
Ejercicio 58
Toc
JJ
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Soluciones de Ejercicios
39
Ejercicio 59.
1.
Z
x
FX (x) =
−6
x+6
1 1 2
dx =
( x + 6x + 18)
50
50 2
2.
P (k ≤ x ≤ k + 1) = FX (k + 1) − FX (k) = 0,09 =⇒ k = −2
Ejercicio 59
Toc
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Soluciones de Ejercicios
40
Ejercicio 60.
Sea c la cantidad a fabricar y G(c, x) la ganancia
12x − 6(c − x) 2 ≤ x ≤ c
G(c, x) =
12c
c<x≤4
Z c
Z 4
x
x
E[G(c, x)] =
(18x − 6c) dx +
12c dx
6
6
2
c
1 3
E[G(c, x)] = − c + 18c − 8
2
√
dE[G(c, x)]
3 2
= − c + 18 = 0 =⇒ c = 12
dc
2
Ejercicio 60
Toc
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Soluciones de Ejercicios
41
Ejercicio 61.
E(Y ) = E(3X − 8) = 3E(X) − 8 = −2
V ar(Y ) = V ar(3X − 8) = 9V ar(X) = 4,5
Ejercicio 61
Toc
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Soluciones de Ejercicios
42
Ejercicio 62.
Calculamos la función de distribución de X:
Z x
Z x
x
FX (x) =
f (s)ds =
2sds = s2 0 = x2
0
0
1.
= pY (Y ≤ y) = pX (3X + 1 ≤ y) = pX (X ≤
2
y−1
y−1
=
= FX
1<y<4
3
3
2 y−1
f (y) =
1<y<4
3
3
FY (y)
Toc
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y−1
)=
3
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Soluciones de Ejercicios
43
2.
= pZ (Z ≤ z) = pX (e−X ≤ z) = pX (X > − ln z) =
= 1 − FX (− ln z) = 1 − ln2 z
e−3 < z < e−1
ln z
f (z) = −2
e−3 < z < e−1
z
FZ (z)
3.
√
√
= pW (W ≤ w) = pX (X 2 ≤ w) = pX (− w ≤ X ≤ w) =
√
= FX ( w) − 0 = w
0<w<1
f (w) = 1
0<w<1
FW (w)
Ejercicio 62
Toc
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Soluciones de Ejercicios
44
Ejercicio 63.
Calculamos la función de distribución de v:
1
v − 10
fV (v) =
FV (v) =
10 < v < 20
10
10
r !
2r
1
FR (r) = pR (R ≤ r) = PV
d V 2 ≤ r = PV 0 ≤ V ≤
=
2
d
q
r !
2r
2r
d − 10
= FV
=
50d < r < 200d
d
10
fR (r)
=
1
√
10 2dr
50d < r < 200d
Ejercicio 63
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Soluciones de Ejercicios
45
Ejercicio 64.
Y \X
1
2
3
P (y)
1
1
12
0
2
0
3
1
18
1
6
1
9
1
4
1
5
2
15
3
12
14
45
67
180
P (x)
5
36
19
36
1
3
1
1.
1
6
1 1 1
19
P (X = 2) = + + =
6 9 4
36
1
1
1
P (Y = 1) = + + 0 =
12 6
4
P (X = 3, Y = 2)
9
P (X = 3|Y = 2) =
=
P (Y = 2)
14
P (X = 2, Y = 1) =
Toc
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Soluciones de Ejercicios
46
2. Calcular E(X); E(Y ) y Cov(X, Y ).
19
12
79
5
E(X) =1 ·
+2·
+3·
=
36
36
36
39
14
67
358
3
+2·
+3·
=
E(Y ) =1 ·
12
45
180
180
1
1
Cov(X, Y ) =1 · 1 ·
+ 2 · 1 · + ···
12
6
1
2
= + ··· + 2 · 3 · + 3 · 3 ·
− E[x] E[y]
4
15
=0,7879
Ejercicio 64
Toc
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Soluciones de Ejercicios
47
Ejercicio 65.
1.
p(X > Y )
= p(X,Y ) (1, 0) + p(X,Y ) (2, 0) + · · · + p(X,Y ) (5, 3)
= 0,01 + 0,03 + 0,04 + · · · + 0,05 = 0,13
2. En la tabla figuran, la distribución conjunta, y las distribuciones
marginales pX (x) y pY (y) de X e Y .
Y −X
0
1
2
3
pX (x)
0
0
0.01
0.01
0.01
0.03
1
0.01
0.02
0.03
0.02
0.08
2
0.03
0.04
0.05
0.04
0.16
3
0.05
0.05
0.05
0.06
0.21
4
0.07
0.06
0.05
0.06
0.24
5
0.09
0.08
0.06
0.05
0.28
pY (y)
0.25
0.26
0.25
0.24
1
3. Con la marginal de X, pX (x = 3) = 0,21. Con la marginal de
Y , pY (y = 1) = 0,26.
Toc
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Soluciones de Ejercicios
48
4.
E[X]
=
=
E[Y ] =
=
x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · + x5 · p(x5 )
0 · 0,03 + 1 · 0,08 + · · · + 5 · 0,28 = 3.39
y1 · p(y1 ) + y2 · p(y2 ) + y3 · p(y3 ) + y4 · p(y4 )
0 · 0,25 + 1 · 0,26 + 2 · 0,25 + 3 · 0,24 = 1.48
5. p(X = 2|Y = 2) =
p(X,Y ) (x = 2, y = 2)
0,05
1
=
=
pY (y = 2)
0,25
5
Ejercicio 65