Distribución y Transporte de Portadores de Carga
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Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Distribución y Transporte de Portadores de Carga Lección 01.2 Ing. Jorge Castro-Godı́nez EL2207 Elementos Activos Escuela de Ingenierı́a Electrónica Instituto Tecnológico de Costa Rica I Semestre 2014 Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 1 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Contenido 1 Estado y distribución de portadores Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio 2 Transporte de portadores de carga Corriente de difusión Corriente de arrastre Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 2 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Densidad de estados (1) El valor numérico del dopado de un semiconductor quizá no resulta tan interesante como conocer la distribución de portadores en función de la energı́a para una determinada banda. Relaciones de distribuciones y concentraciones de portadores bajo condiciones de equilibrio. Cantidad de estados por unidad de volumen y unidad de energı́a. Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 3 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Densidad de estados (2) Banda de energı́a = número total de estados permitidos. ¿Cómo están distribuidos los estados? ¿Cuántos estados pueden ser encontrados a un nivel determinado de energı́a? Densidad de estados = distribución energética de los estados. gc (E) y gv (E) son las densidades de estado a una energı́a E determinada en la banda de conducción y valencia, respectivamente. Densidad de estados establece cuantos estados existen para una energı́a E dada. Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 4 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Densidad de estados Jorge Castro-Godı́nez (3) Distribución y transporte de portadores 5 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Densidad de estados Jorge Castro-Godı́nez (4) Distribución y transporte de portadores 6 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Nivel de Fermi (1) Es el término utilizado para describir la parte superior del conjunto de niveles de energı́a de electrones a la temperatura de cero absoluto. o el nivel más alto ocupado por un sistema cuántico a 0 K. EF , Ei cuando se trata del valor intrı́nseco. En el caso de semiconductores intrı́nsecos, el nivel de Fermi intrı́nseco se encuentra aproximadamente a la mitad de la banda prohibida. A temperaturas altas, existirá una cierta fracción de portadores de carga, caracterizada por la función de Fermi, por encima del nivel de Fermi. Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 7 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Función de Fermi (1) La densidad de estados establece cuantos estados existen a una energı́a E dada. La función de Fermi especifica cuantos estados existentes, a una energı́a E, se encuentran llenos con un electrón. f (E) Especifica, bajo condiciones de equilibrio, la probabilidad de que un estado disponible a una energı́a E se encuentre ocupado por un electrón Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 8 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Función de Fermi (2) f (E) = 1 1+ e(E−EF )/kT EF energı́a de Fermi o nivel de Fermi k constante de Boltzmann, k = 8, 62 × 10−5 eV/K T temperatura en Kelvin (K) Es una función de distribución de probabilidad. Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 9 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Función de Fermi (3) Se tienen un par de aproximaciones: f (E) = 1 1+ e(E−EF )/kT Si E > EF f (E) = e −(E−EF ) kT Si E < EF f (E) = 1 − e Jorge Castro-Godı́nez (E−EF ) kT Distribución y transporte de portadores 10 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Función de Fermi Jorge Castro-Godı́nez (4) Distribución y transporte de portadores 11 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Función de Fermi (5) Dependencia de la función de Fermi respecto de la energı́a. Considérese los siguientes casos: 1 2 3 4 T →0K E = EF E ≥ EF + 3kT E ≤ EF − 3kT Función de Fermi aplica únicamente bajo condiciones de equilibrio. f (E) es válida para todo los materiales. Función estadı́stica asociada con los electrones en general. Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 12 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio EF por encima de Eg /2 Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 13 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio EF cerca de Eg /2 Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 14 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio EF por debajo de Eg /2 Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 15 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Representaciones (1) Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 16 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Representaciones (2) Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 17 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Distribución de portadores La densidad de electrones cae conforme se incrementa la energı́a (banda de conducción). La situación es análoga para los huecos (banda de valencia). Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 18 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio EF y Ei Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 19 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Degenerados y no degenerados (1) Cuando EF se encuentra entre: Ev + 3kT ≤ EF ≤ Ec − 3kT se establece que el semiconductor es no degenerado Si EF se encuentra en la banda prohibida, cerca más cerca de 3kT de cualquiera de los bordes de las bandas, o penetra inlcusive alguna de las bandas, el semiconductor se determina como degenerado Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 20 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Degenerados y no degenerados Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores (2) 21 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Expresiones para n y p Expresiones válidas para cualquier semiconductor en equilibrio que haya sido dopado de manera tal que el nivel de Fermi se encuentre posicionado en una región no degenerada n = ni · e(EF −Ei )/kT p = ni · e(Ei −EF )/kT Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 22 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Ley de acción de masas Para un semiconductor no degenerado en equilibrio: n2i = n · p ni : concentración intrı́nseca de portadores de carga cm−3 ni ≈ 1, 45 × 1010 cm−3 para el Si n: concentración de electrones libres cm−3 p: concentración de huecos cm−3 Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 23 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Relación de neutralidad de carga (1) Para establecer relaciones de neutralidad de carga se debe considerar un semiconductor dopado uniformemente. ⇒ # atomos dopante/cm3 es el mismo en todo el semiconductor. Carga neutral, esto es, no posee carga neta. Si este no fuera el caso, se tendrı́an campos eléctricos dentro del semiconductor. Esto ocacionarı́a movimiento de portadores, y con ello, corrientes asociadas. ¿Habrı́a equilibrio? Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 24 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Relación de neutralidad de carga (2) carga + = qp − qn + qND − qNA− = 0 cm3 + p − n + ND − NA− = 0 + ND = número de donadores ionizados /cm3 NA− = número de aceptores ionizados /cm3 Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 25 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Relación de neutralidad de carga (3) + ND = ND NA− = NA Asumiendo ionización de todos los átomos dopates: p − n + ND − NA = 0 Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 26 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Cálculos de la concetración de portadores p= (1) n2i n n2i − n + ND − NA = 0 n n2 + n (ND − NA ) − n2i = 0 Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 27 / 51 Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Cálculos de la concetración de portadores ND − NA n= + 2 " n2 NA − ND p= i = + n 2 ND − NA 2 " #1/2 2 NA − ND 2 (2) + 2 n2i #1/2 + n2i Evidentemente, solo la solución positiva interesa, puesto que fı́sicamente la concentración de portadores debe ser mayor o igual que cero. Las anteriores soluciones constituyen casos generales. Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 28 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Determinación de EF EF − Ei = kT ln(ND /ni ) para ND NA y ND ni Ei − EF = kT ln(NA /ni ) para NA ND y NA ni Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 29 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio EF en función del dopado Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 30 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio EF en función de la temperatura • Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 31 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Clasificación de semiconductores (1) Intrı́nseco NA = 0, ND = 0 n = p = ni Dopado donde: ND − NA ' ND ni , o NA − ND ' NA ni Tipo n: n ' ND , p = n2i /ND Tipo p: p ' NA , n = n2i /NA Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 32 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Clasificación de semiconductores (2) Dopado donde: ni |ND − NA | Entonces n = p = ni Compensado ND − NA = 0 ND − NA > 0 entonces: Tipo n: n ≈ ND − NA , p = n2i /(ND − NA ) Tipo p: p ≈ NA − ND , n = n2i /(NA − ND ) Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 33 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de estados Distribución de Fermi-Dirac Distribución de portadores en equilibrio Concentración de portadores en equilibrio Ejercicio Considere una muestra no degenerada de Ge que se mantiene en condiciones de equilibrio, a una temperatura cercana a la temperatura ambiente. Si se sabe que ni = 1013 /cm3 , n = 2p y NA = 0. Determine n ND Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 34 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Transporte de Portadores de Carga La corriente eléctrica consiste en el movimiento de cargas Electrones Huecos Iones • Los átomos de dopado pueden ionizarse como parte del proceso de conducción eléctrica: • Los átomos donadores se ionizan positivamente al ceder un electrón para la conducción eléctrica (ND+) • Los átomos aceptores se ionizan negativamente al recibir un electrón durante la conducción eléctrica (NA-) • En semiconductores, los dopantes ionizados son inmóviles y no contribuyen a la conducción • 2 mecanismos de transporte de portadores de carga -Corriente de difusión, debido a gradientes de concentración de portadores de carga -Corriente de arrastre, debido a la aplicación de un campo eléctrico Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 35 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Difusión • Debido a gradientes de concentración Obedece a la ley de Fick F D Flujo proporcional al gradiente de concentración. En el caso de semiconductores Jdif ,n q Dn n , Jdif ,p q Dp p n n n n xˆ yˆ zˆ y z x En una dimensión, Jdif ,n q Dn dn dp , Jdif ,p q Dp dx dx •D: Coefficiente de difusión, medido en cm2/s Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 36 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Difusión Movilidad relacionada con difusión por medio de la relación de Einstein D kT Vt q Vt : voltaje térmico ≈ 25 mV a temperatura ambiente (300 K) Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 37 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Difusión Electrones difundiéndose (corriente real) • Electrones se desplazan de mayor concentración a menor concentración – Jdiff debe tener el signo de corriente técnica, no corriente real • Signo de Jdiff es igual al del gradiente (dirección x ) Corriente técnica Electrones difundiéndose (corriente real) • Electrones se desplazan de mayor Corriente técnica Jorge Castro-Godı́nez concentración a menor concentración – Jdiff debe tener el signo de corriente técnica, no corriente real • Signo de Jdiff es igual al del gradiente (dirección - x ) Distribución y transporte de portadores 38 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Difusión • Huecos se desplazan de mayor Huecos difundiéndose (corriente técnica) concentración a menor concentración – Jdiff debe tener el signo de corriente técnica • Signo de Jdiff contrario al del gradiente (dirección ) x Huecos difundiéndose (corriente técnica) • Huecos se desplazan de mayor concentración a menor concentración – Jdiff debe tener el signo de corriente técnica • Signo de Jdiff contrarioal del gradiente (dirección - x ) Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 39 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de difusión Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 40 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de difusión Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 41 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de Arrastre* J: densidad de corriente de arrastre : conductividad E: campo eléctrico Jdrift E (qne qph ) q: carga del electrón n: concentración de portador de carga : movilidad del portador de carga Jdrift (qne qph )E *En inglés: drift current Algunas veces traducido como corriente de desplazamiento o corriente de deriva, sin embargo, corriente de desplazamiento se refiere a la variación de densidad de flujo en materiales aislantes Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 42 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Movilidad • En ausencia de un campo eléctrico, el electrón presenta un movimiento térmico aleatorio con una velocidad térmica promedio vt • Al aplicar un campo eléctrico, el electrón adquiere una velocidad de arrastre determinada por v d para 3x103 V / cm vd: velocidad de arrastre (cm/s) : movilidad (cm2/Vs) E: campo eléctrico (V/cm) Para |E | > 3x103 V/cm la velocidad de deriva se satura ≈ 107 cm/s • Los electrones tienen una movilidad mayor que los huecos en un factor • de 2..3 →ante un campo eléctrico, los electrones son 2..3 veces más rápidos que los huecos La movilidad está determinada por: masa efectiva, dispersión por impurezas, dispersión por la estructura cristalina Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 43 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Movilidad vs Dopado El caso ilustrado corresponde al silicio Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 44 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Movilidad vs Temperatura Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 45 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Corriente de arrastre Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 46 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Corriente de difusión Corriente de arrastre Difusión y arrastre Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 47 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Concentración de portadores Determine las concentraciones de electrones y huecos en equilibrio para una muestra de Si uniformemente dopado, bajo las siguientes condiciones: 1 Temperatura ambiente, NA ND , ND = 1015 /cm3 2 Temperatura ambiente, NA = 1016 /cm3 , NA ND 3 Temperatura ambiente, NA = 9 × 1015 /cm3 , ND = 1016 /cm3 4 T = 450 K, NA = 0, ND = 1014 /cm3 5 T = 650 K, NA = 0, ND = 1014 /cm3 Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 48 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Concentración de portadores Dado una muestra de Si dopado con NA = 1014 /cm3 : 1 Calcule EF como función de T en un material en intervalos de 50 K desde T = 300 K hasta T = 500 K 2 ¿Qué concluye al respecto del comportamiento general de la posición del nivel de Fermi con respecto a la temperatura? 3 ¿Cómo se modificarı́an sus respuestas anteriores si la muestra de Si se dopa con donadores en lugar de aceptores? Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 49 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Densidad de corriente Se inyectan huecos de manera constante en una región de silicio tipo N. En estado estable, se establece el perfil de concentración de huecos mostrado en la figura. Encuentre D y J. Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 50 / 51 Estado y distribución de portadores Transporte de portadores de carga Ejercicios Referencias Bibliográficas I J. M. Albella et al. Fundamentos de microelectrónica, nanoelectrónica y fotónica. Pearson, 1era edición, 2005. R. Pierret. Semiconductor Device Fundamentals Adisson-Wesley, 1996. Jorge Castro-Godı́nez Distribución y transporte de portadores 51 / 51
