ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Enero 2014 1

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Enero 2014
1. • Describe las curvas caracterı́sticas de la ecuación
ux + yuy = 0
en forma paramétrica y cartesiana.
• Dibuja las caracterı́sticas que pasan por (0, 0), (0, 1) y (0, −1).
• Calcula la solución del problema de Cauchy
(
ux + yuy = − (1 + x) u,
2
u(0, y) = e−y .
• Explica si existe o no u en C ∞ (R2 ) tal que
ux + yuy = 0, en R2
y que verifique alguna, ambas o ninguna de las condiciones:
(A) u(x, ex ) = 2, x ∈ R,
(B) u(x, −ex ) = x2 , x ∈ R.
• Calcula la solución de
(
uux + uy = 1,
u(x, x) = x2 .
2. • Muestra que sin (kx) sinh k(y − π), k ≥ 1, son soluciones de variables
separadas de la ecuación de Laplace.
• Halla con variables separadas una solución de


en (0, π) × (0, π),
∆u = 0,
u(0, y) = u(π, y) = u(x, π) = 0, si x, y están en [0, π],


en [0, π].
u(x, 0) = sin2 x,
• ¿Bajo qué condiciones sabes que este problema tiene solución única?
3. • Halla la solución u de
(
∆u = 0,
u(x, y) = √
y
x2 +y 2
,
en B2 \ B 1 ,
en ∂(B2 \ B 1 ),
en coordenadas polares.
4. • Explica cómo resolver por separación de variables el problema parabólico

√

en (0, 2) × (0, +∞),
ut − 5uxx = 0,√
(1)
ux (0, t) = ux ( 2, t) = 0, en (0, +∞),
√


u(x, 0) = f (x),
en (0, 2)
y escribe una fórmula para la solución generada con ese método.
• Explica un razonamiento matemático que
√ muestre que la solución
√ que
encuentras verifica que u(x, 0) = f (x) en [0, 2], si f está en C ∞ ([0, 2]).
• Calcula la solución explı́cita u de (1) si
3π
f (x) = 6 + 4 cos √ x .
2
√
• Calcula los valores máximos y mı́nimos de esta solución en [0, 2] ×
[0, +∞) y los puntos dónde se alcanzan.
• Explica cómo construir con otro método otra solución de (1) si
3π
f (x) = 6 + 4 cos √ x .
2
• ¿Coincide la segunda solución con la primera? ¿Por qué?
5. Prueba el principio del máximo para
(
uxx + uyy = 0, x ∈ R, y > 0,
(2)
u(x, 0) = f (x), x ∈ R,
en el semiplano superior y utilı́zalo para mostrar la unicidad de solución de
(2) en una clase razonable de soluciones.
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Junio 2014
1. Calcula la solución del problema de Cauchy
(
ux + uy = u3 ,
u(0, y) = y 3 .
2. La solución del problema


uxx + uyy = 0,
u(x, 0) = u(x, π) = 0,


ux (0, y) = 0, u(π, y) = y,
en (0, π) × (0, π),
en (0, π),
en (0, π),
se puede escribir como
u(x, y) =
+∞
X
An cosh(nx) sin (ny).
n=1
Calcula y justifica la construcción de una posible solución del problema
anterior. ¿Puede ser tal solución continua en [0, π] × [0, π]?
3. • Usando el método que prefieras encuentra una solución de


en (0, +∞) × (0, +∞),
ut − uxx = 0,
ux (0, t) = 0,
en (0, +∞),


−x
u(x, 0) = xe , ut (x, 0) = 0 en (0, +∞).
• Halla una solución de


vt − vxx = 0,
vx (0, t) = t,


v(x, 0) = xe−x , vt (x, 0) = 0
en (0, +∞) × (0, +∞),
en (0, +∞),
en (0, +∞).
que sea continua en [0, +∞) × [0, +∞).
• ¿Es v diferenciable en (0, +∞) × (0, +∞)?
4. • Halla con el método de separación de variables las soluciones de los
problemas


en (0, π) × (0, +∞),
ut − uxx = 0,
u(x, 0) = x,
en (0, π),


ux (0, t) = ux (π, t) = 0, en (0, +∞).
y

vt − vxx = (1 + t) cos2 x, en (0, π) × (0, +∞),

v(x, 0) = 0,
en (0, π),


vx (0, t) = vx (π, t) = 0,
en (0, +∞).
• Muestra que la familia de autofunciones del problema de SturnLiouville asociado es completa en L2 (0, π). Aquı́ puedes suponer que
{1, cos kx, sin kx},
es una familia completa en L2 (−π, π).
• Muestra que u es continua en [0, π] × [0, +∞) ¿Puede ser u de clase
C 1 en [0, π] × [0, +∞)?
• Calcula el valor de la suma infinita
+∞
X
1
.
(2k + 1)4
k=0
5. Enuncia y demuestra algún resultado que permita garantizar la unicidad
de solución en el problema parabólico
(
∂t u − ∆u = 0,
en R × (0, +∞),
u(x, 0) = f (x), en R.