Ejercicios de Análisis Matemático Algunas series cuya suma puede

Ejercicios de Análisis Matemático
Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta
Debes tener ya claro que una cosa es estudiar la convergencia de una serie y otra es calcular su
suma. Son relativamente pocas las series convergentes cuya suma se puede calcular de forma exacta.
Aquí vamos a ver algunas de ellas. No debes esforzarte por memorizar fórmulas para sumar series, sino
en comprender y en aplicar los métodos que permiten calcularlas.
X
Series geométricas. Las series de la forma
˛x n donde ˛ 2 R y jxj < 1, cuya suma viene dada por
n>0
1
X
nD0
˛x n D
˛
1
x
.
Series aritmético - geométricas. Son series de la forma
X
p.n/x n donde p es una función polinómica
n>0
de grad0 m > 1. Aplicando el criterio del cociente se obtiene fácilmente que estas series convergen
absolutamente si jxj < 1. Es claro que no convergen si jxj > 1 pues entonces fp.n/x n g es una sucesión
no acotada y, por tanto, no converge a 0. Supongamos que jxj < 1 y pongamos:
SD
1
X
p.k/x k D lKım
n!1
kD0
n
X
p.k/x k
kD0
Definamos las diferencias
de primer orden de p, que notaremos, 1 p , como el polinomio dado para
todo k 2 N por 1 p .k/ D p.k C 1/ p.k/. Observa que 1 p es un polinomio de grado m 1.
Tenemos:
!
n
n
X
X
k
kC1
S xS D .1 x/S D lKım
D
p.k/x
p.k/x
n!1
D lKım
n!1
n 1
X
p.k C 1/
kD0
P1
kD0
p.k/ x
kD0
kC1
C p.0/
p.n/x
nC1
!
D p.0/ C x
1
X
kD0
1 p .k/x k :
Pongamos S1 D kD0 1 p .k/x k . La igualdad anterior nos dice que .1 x/S D p.0/ C xS1 . Este
X
procedimiento puede volver a aplicarse a la serie
1 p/.k/x k . De la misma forma obtenemos
k>0
P
k
ahora .1 x/S1 D 1 p/.0/ C xS2 , donde S2 D 1
kD0 2 p .k/x y 2 p son las diferencias de
segundo orden de p definidas para todo k 2 N por:
2 p .k/ D 1 p .k C 1/
1 p .k/:
Observa que 2 p es un polinomio de grado m 2.
Repitiendo este proceso m veces llegaremos a obtener finalmente
Sm D
1
X
kD0
m p .k/x k D
˛
1
x
porque las diferencias de orden m, .m p , de un polinomio de grado m son constantes, .m p .k/
D˛
para todo k 2 N. Conocido Sm calculamos Sm 1 a partir de la igualdad .1 x/Sm 1 D m 1 p .0/ C
xSm . A partir de Sm 1 podemos calcular Sm 2 , etcétera, hasta llegar a obtener finalmente el valor de
S.
P
Series hipergeométricas. Consideremos una serie an de términos positivos tal que para todo n 2 N
es:
anC1
˛n C ˇ
D
;
.˛ > 0; ˇ; 2 R/:
an
˛n C Dpto. de Análisis Matemático
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Escribiendo esta igualdad para n D k en la forma:
˛kakC1 C akC1 D ˛kak C ˇak
y sumando desde k D 1 hasta k D n se obtiene:
˛nanC1 C .anC1 C Sn
Donde Sn D
n
X
a1 / D ˛Sn C ˇSn :
(1)
ak . Supuesto que la serie sea convergente y que su suma es S D lKımfSn g, se deduce
kD1
de la igualdad anterior que la sucesión fnanC1 g también converge y necesariamente su límite debe ser
cero (si fuera nanC1 ! > 0 se tendría que an n lo que implicaría que la serie diverge).
Aplicando el criterio de Raabe se obtiene fácilmente que la serie converge si > ˛ C ˇ y diverge
si < ˛ C ˇ. También diverge si D ˛ C ˇ porque en tal caso se deduce de la igualdad 1 que:
˛nanC1 C anC1
a1 D 0 ÷
anC1 D
a1
˛n C y, por comparación con la serie armónica, se sigue que la serie diverge.
Supuesto que, > ˛ C ˇ, y tomando límites en la igualdad 1 deducimos que:
S
a1 D ˛S C ˇS
÷ SD
a1
:
˛ ˇ
X P .n/
donQ.n/
de P y Q son funciones polinómicas. A partir de un cierto término en adelante, dichas series tienen todos sus términos positivos o todos negativos (según que lKımx!C1 P .x/Q.x/ D C1 o que
lKımx!C1 P .x/Q.x/ D 1). Estas series convergen absolutamente cuando el grado del denominador es al menos dos unidades mayor que el grado del numerador. Cuando esta condición se cumple y,
además, las raíces del polinomio Q son todas reales y simples es posible calcular la suma de la serie
P .x/
descomponiendo la función racional
en fracciones simples, Se tendrá una descomposición de la
Q.x/
forma:
P .x/
A1
A2
Am
D
C
CC
Q.x/
x ˛1
x ˛2
x ˛m
Series cuyo término general es una función racional. Se trata de series de la forma
donde ˛1 ; ˛2 ; : : : ; ˛m son las raíces de Q. Sustituyendo en la igualdad anterior x D k y sumando desde
k D 1 hasta k D n resulta:
n
n X
A1
A2
Am
P .k/ X
D
C
CC
Q.k/
k ˛1
k ˛2
k ˛m
kD1
kD1
Ahora hay que hacer todas las simplificaciones posibles hasta que finalmente nos quede una sucesión
X A
que sea convergente. Observa que las series de la forma
son divergentes (por comparación
n ˛
con la serie armónica) pero la suma de todas las que hay en el paréntesis anterior tiene que ser, en
las hipótesis hechas, una serie convergente. Lo usual es que los coeficientes Ak sean unos positivos y
otros negativos y que las raíces ˛k sean números enteros, de manera que se produzcan cancelaciones
que finalmente permitan calcular la suma de la serie. Es frecuente que en los cálculos aparezca la serie
armónica alternada.
P
Series de diferencias o telescópicas. Se llaman así las series an cuyo término general puede escribirse en la forma an D bnC1 bn . Puesto que, en tal caso, se verifica la igualdad
n
X
ak D bnC1
b1 ;
kD1
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la serie converge si, y sólo si, la sucesión fbn g converge, en cuyo caso
1
X
an D lKımfbn g
b1 .
nD1
Series relacionadas con la exponencial. Sea x 2 R un número real distinto de 0, fijo en lo que sigue y
sea n 2 N. Aplicando el teorema de Taylor a la función exponencial con a D 0, tenemos que hay algún
punto c comprendido entre 0 y x tal que:
ex D1 C
n
X
1 k
ec
x C
x nC1 :
k!
.n C 1/!
kD1
La serie
Xx
n>0
n
n!
es absolutamente convergente porque, poniendo an D
jxjn
n! ,
tenemos:
anC1
jxj
D
! 0:
an
nC1
n
jxj
En particular, se verifica que lKım
D 0. Como 0 < jcj < jxj, tenemos que:
n!1
n!
ˇ ˇ
ˇ
ˇ
n
ˇ
ˇ
c
nC1
ˇ
ˇ x X 1 k ˇ ˇˇ e
nC1 ˇ
jxj jxj
x ˇDˇ
x
6
e
;
ˇe
ˇ
ˇ
k! ˇ
.n C 1/!
.n C 1/!
kD0
de donde deducimos que:
ˇ
ˇ
ˇ
lKım ˇex
n!1 ˇ
ˇ
n
1
X
X
1 k ˇˇ
xn
x ˇ D 0 ” ex D
:
k! ˇ
n!
nD0
kD0
Como x ¤0 es un número real cualquiera y la igualdad anterior es trivialmente cierta para x D0, hemos
probado que para todo número real x se verifica la igualdad:
1
X
x
x2
x3
xn
xn
e D
D lKım 1 C C
C
CC
n!1
n!
1!
2!
3!
n!
x
(2)
nD0
En particular, para x D 1, resulta que:
eD
1
X
1
1
1
1
1
D lKım 1 C C C C C
:
n! n!1
1!
2!
3!
n!
(3)
nD0
X p.n/
donde p es una
n!
función polinómica de grado m>1. Dichas series son (absolutamente) convergentes como se comprueba
fácilmente con el criterio del cociente. Para calcular su suma expresamos el polinomio p.x/ en la forma:
Con ayuda de esta serie podemos calcular la suma de series de la forma
n>0
p.x/ D a0 C a1 x C a2 x.x
1/ C a3 x.x
1/.x
2/ C C am x.x
1/.x
2/ .x
m C 1/:
Los números ak pueden calcularse fácilmente:
a0 D p.0/; a1 D p.1/
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a0 ; 2a2 D p.2/
a0
2a1 ; : : :
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Con ello tenemos que:
0
1
1
m
X
X
X
p.n/
aj n.n
@ a0 C
D
n!
n!
nD0
nD0
D a0 e C
j D1
1/ .n
n!
m
1
X
X
aj n.n
j D1
nD0
0
m
1
X
X
aj n.n
@
D a0 e C
j D1
nDj
0
m
1
X
X
@
D a0 e C
j D1
nDj
aj
.n
1/ .n
n!
1/ .n
n!
1
1
D
!
D
j C 1/ A
j C 1/
1
j C 1/ A
D
m
1
X
X
aj
A D a0 e C
j /!
n!
j D1
nD0
!
D
D .a0 C a1 C a2 C C am / e :
Naturalmente, si la serie no empieza a sumar desde n D 0 hay que hacer los ajustes necesarios.
X p.n/
El mismo procedimiento puede aplicarse para series del tipo
xn.
n!
n>0
De la igualdad (3) se deduce fácilmente que el número e es irracional. En efecto, para todo n 2 N
tenemos que:
0<e
k
1
1
1 n
X
X
1
1 X
1
1 X
1
1 1
1
D
D
<
D
k!
k!
n!
.n C 1/.n C 2/ .n C k/
n!
nC1
n! n
kD1
kDnC1
Si e fuera racional, e D
kD1
kD1
p
con p; q 2 N, multiplicando por q! la desigualdad:
q
0<e
q
X
1
1 1
<
k!
q! q
kD1
se tiene que:
0 < .q
1/!p
q!
q
X
1
1
< 6 1:
k!
q
kD1
q
X
1
es un número entero y por tanto es imposible que sea mayor que
k!
kD1
0 y menor que 1. Esta contradicción muestra que e es irracional.
Pero el número .q
1/!p
q!
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