Reactividad de una Barra de Control "Gris".

JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR
REACTIVIDAD DE UNA BARRA DE CONTROL "GRIS"
por
Luis Al vares: del Buergo
y
Justo Montero Ponce de León
J. E.N. - 44
MADRID 1.958
REACTIVIDAD DE UNA BARRA DE CONTROL,
iS
GRIS"
ocr
Luís Alvares; del Buergo
y
Justo Montero Ponte de León"
Inti-
Las mayores aportaciones al cálculo de la reactividad de barras de control han sido hechas por L. W. Nordheim y Scalettar (1) y por el "Grupo de
Proyecto de Energía Atómica de Chalk River" del Canadá (2).
Ambos estudios difieren en las condiciones límites impuestas en las superficies de las barras. El método de Nordheim-Scalettar se ha desarrollado más
ampliamente que el canadiense y ha sido llevado a la práctica por la "Power
Pile División of the Clinton Laboratories" (3) y por el "Oak Ridge National
Laboratory" (4),
En los últimos años se ha aplicado la Teoría de Perturbaciones de Weinberg
al cálculo de barras , principalmente , por F. L. Fillmore y colaboradores de
la "Atomics International". Por este método, se han obtenido brillantes resultados*
Tanto por la Teoría de Perturbaciones como por el método de NordheimScalettar es relativamente fácil evaluar la reactividad de una barra de control
cilindrica '•oaxial con un reactor cilindrico»
Estos cálculos están referidos a barras "negras", entendiendo por tales
aquellas constituidas de boro o cadmio teóricamente puros. Sin embargo, dificultades metalúrgicas hacen irreali.sa.ble su construcción. En la práctica no
se h~ podido pasar de un 6% de boro en aleaciones de Fe=Al-B, Con un contenido de Boro superior al 4j?5 % la aleación no es forjable. En los reactores
de Calder-Hall se han utilizado barras de control de acero-boro en forma de
tubos extrausados con un 3 , 8% de boro y tubos fundidos con un 5% (5).
Este problema implica que se ha de calcular la reactividad de una barra
"gris", llamando de este modo a una barra hecha de una. aleación de una sustancia absorbente (boro, cadmio) y otra de buenas cualidades mecánicas (hierro, niquel, etc). Resumiremos los métodos seguidos para esta evaluación
y los valores y gráficos hallados, en los distintos casos concretos, definiendo
el "coeficiente de mérito" de una barra "gris"
de control.
s>
Se llega a la conclusión : le no existe problema metalúrgico ya que con un
3 ó 4% de boro ó cadmio se obtiene prácticamente la misma reactividad que
con un 100%. En cuanto a la duración de la barra por "quemado" del boro (ó
cadmio) tampoco esto es problema para emplear barras de muy pequeño tanto
por ciento, ya que aún con muy poco boro se puede controlar el reactor.
II. CALCULO DE LA REACTIVIDAD DE UNA BARRA DE CONTROL "GRIS"
Seguiremos un método análogo al desarrollado por Glaséeme y Edlund (6)
(basado en la teoría de Nordheim-Scalettar) quienes calculan la reactividad
controlada por una barra "negra".
Supondremos, para simplificar, un reactor homogéneo cilindrico, desnudo
y de dimensiones finitas. La única barra de control es también cilindrico y
coaxial con el reactor, siendo su radio pequeño con relación al del reactor,.
Cuando se coloca la barra en el reactor, se extrae un volumen igual al de
aquella del núcleo y cuando se retira no debe dejar vacío este agujero a lo largo del eje. Como consecuencia de esta suposición se sobrestima el efecto de
la barra, pues al introducirla no sólo se añade un fuerte absorbente de neutrones sino que también se separa una parte activa del núcleo.
Los cálculos se realizarán con un solo grupo de neutrones.
La ecuación de difusión en el núcleo (zona i)
es : DjV 2 0
r
Z101 + K 21 0 X = 0 (2. 1)
En la zona II no hay término de fuente
y se tiene :
D-,¿ V (h - £ Ó
=0
r z
2r2
(2.2)
Las ecuaciones (2, 1) y (2.2) se pueden e s cribir en forma de ecuaciones de ondas :
=0
cuyas soluciones, después de separar variables,
(j)(r,z) =
vienen dados para
9 (r). Z (a)
6 (r) por las funciones de Bessel :
= AJ O (
a i
r)+C
6 2 ( r ) = A ' I Q ( GC2x)
Sin e m b a r g o , la 9 2^ r ) s e
6 2 ( r ) = A'I o (,cC 2 r)
Pues
K ( # 2 r ) "* ^
para r -» 0
Determinación de las constantes mediante las condiciones límites.
Puesto que
9, (r) se hace nulo para r = R resulta :
9 ,(R) = A J ( OC.R) + CY ( OC.R) = 0
•*•
oí
o
1
de donde
A J n ( <X}R)
C =
Y
o<
y sustituyendo
Con lo cual ya se ha eliminado la constante C
Aplicando la condición de igualdad de c o r r i e n t e s netas n o r m a l e s a la super =
ficie de separación de los dos medios y la condición de igualdad de flujo, se
tiene :
e
2(
J
R
o>=
2+
S
l(Ro>
y
es aecir,
D
d(*2.r)
dr
=
l.r)
D
dr
r=R.
Verificando estas condiciones obtenemos :
o}
D^
= A
'
X
°
(flC
2 R o>
(2.3)
-O í , .
(2.4)
Dividiendo ( 2 . 4 ) por (2,3) se eliminan l a s constantes A y A.**
- oí
y operando :
«]Ro)
J o ( «: iR o ) Yo( a: iR) - J o (
Y o (ce 1 R O )
(2.5)
2
2
2
=
Recuérdese que <X + j3
B g y como hemos supuesto un reactor grande,
Bg (Buckling geométric::.} será pequeño. Llamando ¡Xo y¡3 o a los valores correspondientes que hacen crítico el rea* • >r cuando ri£ hay barra y oí l el valor
de oí cuando se ha introducido una barra de radio RQ mucho menor que el radio
del reactor, R, el cambio en oí debe ser pequeño pues Bg es pequeño y |3 2 n o
varia luego es lícito escribir (X \ = CC o + Ací siendo A oí pequeño.
El cambio en reactividad debido a la presencia de la barra viene dado por :
Ak= 6 k = ( k - 1) - (ko - l) = k - k o
El valor de B 2 es
k
"
pero como se ha hecho la suposición de que los neutrones son monoenergeti.o, T= O,
2
2
L =M +t
y
se reduce a
1? Sustituyendo se obtiene :
k=M2B2+
ko= M2 B2+ 1 = M 2 (cí 2
B2)
Por lo que
Ak= k - k o = MZ{CCZ1 -CC 2 )
De donde
^2
^2
Ak
De la expresión
0C]_ = oí .^ + A oí
se deduce la r e l a c i ó n
_^J_Z_5-L_
x...
2CCO A CC
cc n
Igualando
2
OC! -
2
ttn
^
o: }.
Con la expresión anterior resulta :
A k
ce Q. M 2
+ 1
6
...ak
AcC
(2.6)
f
"r.uítituyendo en la expresión (2. 5) Oí ^ por (Xo + A oí
se despeja el valor
de
AC
C después de sencillas aunque laboriosas operaciones, en las que se
aplican las relaciones existentes entre las funciones de Bessel y sus derivadas :
_GD2_
Atf=
-
Siendo :
G
= J o ( °-'oRo)
E
-
J
l ( °-o R o)
Y
o< * o R ) - J o ( «o R >
Y
Y
o( ^o11) + J o ( ^oR) Y l ( * o R o )
o( *ORO)
F = R o J j ( 0 f o R Q ) Y o ( 0 C o R ) + R J r : o : o R 0 ) Y^ac
+
H
R
oJo(^oR)
= R J
o
Y
í ^ oRo) -
( « oRo)Yi^ ^oR)-
R
R J
l(
flC R
o o)
Y
l(
o J l ( o ^ oRo) Y o ( ^
Calculado el valor de M y teniendo en cuenta que oC =
do estos v a l o r e s y el de A <X se puede d e t e r m i n a r la
de l a b a r r a p o r l a e x p r e s i ó n (2. 6)
'•
sustituyenreactividad
Ak = 2 M ce Ací
Dada la complicación que entraña el cálculo de este valor de Ak, vamos
a dar una expresión aproximada del valor de A(X con lo que tendremos una
expresión mucho más sencilla y práctica para la determinación de
A k.
Para ello consideremos de nuevo la expresión (2.5), haciendo
=m
con lo que se reduce a
Jp(.yiRo) YQ( <*lR)- Jo( <*iR) Yn(
J
l< «l R o> Yo< * 1R> + V *1R> Y l< «l R o>
_
Puesto que para peque? s argumentos (6)
J oo (( « r ) = l
YQ( oci)= - -^
- 0
- u
(0,116 + l n - ^
Y ( a
resulta :
Yo( ex: ÍR)-JO(QC iR)Y o ( QC iR n )
Expresaremos a continuación estas funciones de Bes sel en función de
aplicando de nuevo propiedades de estas funciones :
«1RO>
+
=
(0,116
+ ln
A
c ¿TRZ£—
o
A
oo
1 — )+
+
=
R
R
Ací R,
o
^ R O ¿ R Z „;
u
o
o
o
P a r a que el reactor sea crítico sin b a r r a de control ha de ser
es decir of OR = 2,405. Para este argumento los valores de las respectivas funciones son :
JAoC R) = 0,519
i
o
Y ( oí R) = 0,510
o
o
y
Y,( cí R) = 0,103
1 o
Con estos valores se calculan :
J (ce -,R) = J ( oc R) G
Yo( a
•*•
x
O
R ) = YQ(CÍ
o
Q
AccR JAcC R) = - 0,519 R A a
X
R )+
O
ACÍ R Y x ( <X Q R ) = 0 , 5 1 0
+
R 0 , 1 0 3 AcC
Sustituyendo en La e:r:iresiun simpli.tUa.da re
R
Operando, d<; «preciando los términos en A C( • A a
mos la expresión que da el valor aproximado de A oí :
2 m R 0;. 519 - 7C RR
Con e s t e v a l o r d e
?
obtene
0,510 70 Rn
0,10i+2RR
O , 5 19(0 , 116 + ln — 1 —
A a', ti de A k
es :
>
°
y despej' >•••:'•
•0.510TE R
O ?r ^ R
O C 19-
RR
n
0. 103 + 2
C A L C U L O D E LA R E A C T I V I D A D DE UNA BARRA '^
Para los c~.":.?..-.'o = supusimos un reactor ri.U'ndrico de 130 cm. de radio. El
radio efectivo de la b a r r a , también cilindrica y coaxial con el reactor se supuso de 3,08 cm. Se calcularon las reactividades de varias b a r r a s de distintos
% de c:-.draio y otras de boro.
Los obtenidos mediante la formula (2,7) fueron comparados con los efectos
de las barras "negras" de cadmio y boro, de las mismas dimensiones. Para
las barras "negias 11 se empleó la fórmula (un grupo)
AK= - 1 ¿^ 1 (0.116 + l
R
n
5
2 .4 R
"
1
o
de Glasstone and Edlund (7)
Los resultados obtenidos no pueden merecer una elevada garantía, debido
al hecho de que las fórmulas fueron deducidas aplicando teoría de un grupo;
sin embargo, los valores aproximados obtenidos basta para poner de manifiesto que la reactividad de una barra l ! gris" con un pequeño % de boro ó cadmio
es sensiblemente igual a la de una barra "negra" de las mismas dimensiones.
Citemos a modo de ejemplo el de una barra de CB4 con un 4% de boro cuya
reactividad resultó ser del 4 , 1 % . mientras que la reactividad de la barra "negra" es del 4,6%. Claramente se observa el poco efecto que en la reactividad
Haciendo en (3. 2) el cambio x = K r la ecuación se trasforma en :
dx ¿
x
dx
-K=0
que es una ecuación de Bes sel cuya solución es :
(p= A I o (x) + B KQ(x).
Como K (x) -* oo
cuando x -*• 0 habrá de ser :
B =0
con lo que la solución se reduce a :
= A I (x) = A I (K r).
o
o
Si RQ es el radio de la barra y se designa por u)
evidentemente :
ÓTs =
el flujo en su superficie
A Io v(K Ro')
de donde :
I
o
x(
K R )
o'
El valor del flujo en el interior de la barra vendrá dado por :
r)
y
K R
O)
El valor de K se obtiene por la fórmula de la teoría de transporte
K
.,
= th
K
con este valor de K es lícito, según se prueba en la teoría de transporte,
aplicar la ecuación de difusión a medios que son absorbentes fuertes como
es el caso que se trata (6).
CALCULO DE LA ABSORCIÓN POR LA BARRA.
La absorción por unidad de longitud de barras es :
12
2 a d V = .•í
(r ¿ I=t-
2 s r d r s
"' o
'R.
r dr =
(KRJ
Jo
o)
I (K r) r dr
J
Por las propiedades de las funciones de Bessel se
verifica :
x IQ(x) dx = x Ix(x)
Por lo que :
a
Ro
LlÍv K R o7)
K
I o (K R o )
CALCULO DEL COEFICIENTE DE MÉRITO.
Si la barra fuese "negra" 2 S seria despreciable frente a 2 a con lo cual
la fórmula
K
= th
K
se transforma en :
K
th (+ oo ) = 1
es decir :
K=
Por otro lado R K =—~— >>1 ya que la barra es un fuerte absorbente. Con
o
L
.
estas dos aproximaciones la absorción de la barra por unidad de longitud viene
dada por :
R
(j)Z a dV = (2TL R d) )
r
o rs
S
a
H(K
I (K R o )
= 2% R
pues :
n
T (K R n )
para
2(K R )
" 8 (K R J 2
o r/ s
tiene una variación tan grande del tanto por ciento de boro, que en este caso
ha sido del 96 %.
Se trato de obtener fórmulas más exactas para lo cual lo inmediato fue
pensar en aplicar teorías de dos grupos de neutrones. En el texto ya citado
de Glasstone Edlund figura la formula que da el valor de una barra negra
calculada mediante la teoría de dos grupos. La deducción de una expresión
para barra "gris" siguiendo este método se complica demasiado por lo que
se empleó el procedimiento que se estudia en la sección siguiente basado en
determinar la variación de la absorción de neutrones cuando la barra es
"gris" con relación a cuando es "negra". Hemos de recalcar que los resultados obtenidos con las fórmulas deducidas por teoría de un grupo tuvieron un
gran valor, al evidenciar que la reactividad no variaba proporcionalmente al
tanto por ciento de boro ó cadmio y a la vez proporcionarnos un método, aunque grosero, permitió tener un medio de evaluar la reactividad de una barra
"gris" .hasta este momento desconocido por nosotros.
III.
DEFINICIÓN Y CALCULO DEL "COEFICIENTE DE MÉRITO DE UNA
BARRA".
El cálculo de la reactividad de una barra "negra" , como ya se ha indicado
se puede abordar mediante la teoría de Nordheim - Scalettar ó, (más exactamente), por la teoría de perturbaciones. Siguiendo a Fillmore (8) para
calcular la reactividad de una barra "gris", lo más conveniente y práctico
es determinar la reactividad de la barra "negra" y calcular un factor que es
función del tanto por ciento de absorbente y que llamaremos "coeficiente de
mérito" , factor por el cual hay que multiplicar la reactividad de la barra
"negra" para obtener el valor de la "gris". La evaluación de este coeficiente
se hará posteriormente, pero señalamos aquilas ventajas de éste método sobre el anterior:
Es más exacto ,y además la reactividad de la barra "gris" se puede expresar en función de la reactividad de la barra "negra" y del tanto por ciento
de absorbente. También permite probar lo que pareció preverse del estudio
realizado en la sección II, de que la reactividad no varía prcpcrciortalmente
con el tanto por ciento de absorbente, sino que, por el contrario, apenas depende de dicho tanto por ciento.
Recordemos que, según lo visto en esa sección II, para evaluar la reactividad para cada tanto por ciento era necesario repetir prácticamente todos
los cálculos desde el principio, mientras que aquifes mucho más sencillo.
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE MÉRITO DE UNA BARRA.
Para su cálculo partimos de los siguientes supuestos :
a) Un absorbente "negro" captura cada neutrón térmico que penetra en su
interior, sin reflejar ninguno.
b) Si la sección eficaz de
1I
scattering" de la barra no es despreciable, al-
10
••gu.nos de los neutrones térmicos que penetran serán reflejados, por lo cual la
barra no cumple la condición anterior y no se le puede considerar como un
absorbente perfecto. Diremos, por tanto, que si una barra es "gris" su sección eficas de "scattering" es apreciable comparada con la de absorción y es
precisamente este efecto el que analizaremos.
Recuérdese que la teoría de difusión no es aplicable a un absorbente fuerte,
como es el caso de la barra "gris !l ; sin embargo, será aplicada aquí" para obtener una corrección de primer orden para determinar la absorción de la barra. Además, dado que la barra es un absorbente intenso daría lo mismo considerarla maciza o hueca, siempre que el espesor en este último caso fuese
superior a varios caminos libres medios de absorción. En nuestro estudio
consideraremos una barra maciza cilindrica.
CALCULO DEL FLUJO EN UN PUNTO INTERIOR DE LA BARRA.
La ecuación de difusión aplicada a los neutrones térmicos es
0t
En estado estacionario ,--*=——•= 0 y además en el interior de la barra es tamVen S = 0, por lo que la ecuación se reduce en este medio a :
=0
Puesto que la barra es cilindrica pondremos
V'
"dr"
r
rü
~b r
8¿
"tí
.o
que se reduce a :
d2é
dr¿
2A
V y
4, 1
r
dé
dr
Sustituyendo en (3. 1) :
dr~
r
dr
D
Teniendo en cuenta que :
re sulta :
= 0
r
dr
(3.2)
13
KR » 1
y
£ - K
o
'
a•
De este análisis deducimos que la absorción de la barra "gris" viene dada
por la absorción de la barra de igual forma y dimensiones considerada "negra"
multiplicada por el factor que llamamos "coeficiente de mérito"
Il (K Ro)
I O (KR O )
K
Esta conclusión es importantísima, como ya habíamos indicado, resolviendo
un problema difícil de tratar por otros caminos.
Del mismo modo podemos expresar la reactividad de una barra "gris" en
función de la reactividad de la barra negra correspondiente (de boro puro e
iguales dimensiones) multiplicando la reactividad de la barra "negra" por el
coeficiente de mérito. Naturalmente para poder hacer esto hace falta suponer
que las reactividades son proporcionales a las absorciones, lo cual equivale
a suponer que el flujo no varía notablemente al cambiar de barra.
IV. VARIACIÓN DEL COEFICIENTE DE MÉRITO DE UNA BARRA SEGÚN EL
TANTO POR CIENTO DE BORO.
Se ha considerado una barra de aleación de níquel y boro y se determinará
la variación del coeficiente de mérito con el tanto por ciento de boro que contenga. Según se indicó en la introducción al pasar de un 4% se presentan considerables dificultades metalúrgicas, por lo cual el estudio se reduce a variaciones desde el 0,5 % hasta el 4% de boro.
Para obtener el valor del coeficiente de mérito en los distintos casos es
necesario determinar los valores de 2 S y E para resolver la ecuación
transcendente que da K. Conociendo K y mediante tablas de funciones de Bessel
se calcula el coeficiente de mérito, C m .
CALCULO DE I .
El valor de la densidad media de la aleación fue calculada por la Sección
de Investigación Metalúrgica y viene dada por :
d = 8"9 + 0'36 n
m
siendo n el tanto por ciento de boro. Este valor es aproximado ya que no puede
determinarse con exactitud teóricamente debido a la presencia en la aleación
de impurezas que no se pueden eliminar. Por ello se decidió suponer una mezcla homogénea de níquel y boro, pues de los cálculos se observó que con esta
suposición no se introducia un error apreciable en el valor del coeficiente de
mérito.
La expresión que da el valor de
I
es :
14
Siendo :
P-o densidad del boro = 2"35 gramos/cm
P N densidad del niquel = 8 "9 gramos/cm
A peso atómico de boro = lCf'SZ gramos
13
A
peso atómico del niquel = 58'69 gramos
N . número de Avogadro = 6'02.. 1 0 " núcleos/átomo gramo
v T-, número de núcleos de boro en una molécula de aleación
Ja
v AT número de átomos de niquel en una molécula de aleación
Cf A Sección eficaz microscópica del boro (de absorción o de
scattermgj
O -*r sección eficaz microscópica del niquel (de absorción o de
scattering)
Los valores de v
son obtenidos por las expresiones
; N
..
_ i
N
_
..
V
B
Siendo :
X^ tanto por uno de boro en peso
X-J^J tanto por uno de niquel en peso
Con los valores de 2 s , 2 a y K se determina el valor del coeficiente de
mérito C por la expresión ya deducida en la sección III
C m "
^a
K
Ij (K RQ)
. I o (K Ro)
VALORES DE C m<
Se calcularon los valores de C m al variar el tanto por ciento desde 0'5 a
4 en boro, en dos barras cuyos radios efectivos son 1"! cm. y 3 '18 cm. respe_c
tivamente. Los resultados se detallan en el siguiente cuadro.
15
% de boro
C de la barra de
Ro = 1'7 cm.
C de la barra de Ro =
= ^ ' 1 8 cm.
0'5
0'54978
0'57314
l'O
0'68354
0'70206
1'5
C75765
0'77302
2"0
0'80315
C81617
2'5
0'83440
0"84571
3'0
0'85671
0'86673
3'5
0'87525
C88440
4"0
0S8603
C89424
En el gráfico se representa la variación de C con el tan"!: o por ciento de
m
boro para la barra de 1"7 cm. de radio efectivo.
De los valores obtenidos se deducen las siguientes conclusiones :
Para un 0^5 % de boro la reactividad de la barra es un 55 % de la reactividad de la barra "negra". A medida que aumenta el tanto por ciento de boro
el valor del coeficiente de mérito se eleva, alcanzando un 90 % aproximadamente para el 4 % de boro.
También deducimos de los valores tabulados que el valor del coeficiente de
mérito no varia sensiblemente al aumentar el radio de la barra, lo cual es lógico, pues pasando de un espesor de varios caminos libres medios no se absqr
ben prácticamente más neutrones.
Esto permite el construir barras huecas, como en el SRE . con espesor de
unos 8 mm. , pudiendo utilizarse la oquedad para refrigeración.
APÉNDICE
BARRAS DE CONTROL SIN BORO NI CADMIO.
Por la "Atomics International" se han realizado estudios teóricos y experieji
cias en el SRE con barras constituidas únicamente de materiales de pequeña
sección eficaz, tales como el titanio, níquel e incluso acero.
Los resultados experimentales referidos por ITillmore (10) y Osear Seawell
(11) son prometedores. Las barras son de iguales dimensiones que las de boro-
16
níquel con las que opera el SRE y al substituirlas por las de niquel o titanio se
ha conseguido obtener mayor potencia del reactor debido al mejor aplanamiento
radial de flujo.
Las ventajas son varias y entre ellas citamos :
No hay problema metalúrgico
No hay necesidad de reajustes de las barras de control fino.
1,0
0,90,80,7-
~ 0,6 H
i..
0,5•K3
* 0,4
c
o>
.2 0/3
*«—
O)
o
o 0,2H
0,1
0,5
2,5
r
3
|
3,5
—r~
4
¡
4,5
* - % Boro
Variacio'n del coeficiente d® me'rito
con el tanto por ciento de Boro en
una barra de control Boro-niquel
de 1,7 cm.de radio efectivo.
18
BIBLIOGRAFÍA
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10. Report NAA-SR-Memo 1234
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12. "The Effectiveness of Control-Rod Materials" BMI-H96
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