Tema II: Régimen transitorio

Tema II:
Régimen transitorio
Regímenes permanente y transitorio ................................................................
Notación del régimen transitorio........................................................................
Elementos pasivos en régimen transitorio .......................................................
Cálculo de condiciones iniciales y finales..........................................................
Ejemplo 1 de cálculo de condiciones iniciales y finales......................................
Ejemplo 2 de cálculo de condiciones iniciales y finales......................................
Ejemplo 3 de cálculo de condiciones iniciales y finales......................................
Ejemplo 4 de cálculo de condiciones iniciales y finales......................................
Ejemplo 5 de cálculo de condiciones iniciales y finales......................................
Ejemplo 6 de cálculo de condiciones iniciales y finales......................................
Ejemplo 7 de cálculo de condiciones iniciales y finales......................................
Ejemplo 8 de cálculo de condiciones iniciales y finales......................................
Ejemplo 9 de cálculo de condiciones iniciales y finales......................................
Ejemplo 10 de cálculo de condiciones iniciales y finales....................................
Ejercicios de repaso...............................................................................................
Condiciones iniciales y finales / 1 ......................................................................
Condiciones iniciales y finales / 2 ......................................................................
Análisis en régimen transitorio ...........................................................................
Respuesta natural de un circuito RL .................................................................
Significado de la constante de tiempo ................................................................
Ejemplo de respuesta natural en un circuito RL .................................................
Respuesta natural de un circuito RC .................................................................
Respuesta forzada en circuitos RL y RC .........................................................
Respuesta en régimen transitorio de circuitos
con un solo elemento reactivo ...................................................................
Ejemplos de respuesta forzada ...........................................................................
Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RC ................................................
Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RL ................................................
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ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Respuesta de un circuito
con dos elementos reactivos no agrupables............................................
Solución de las ecuaciones diferenciales ............................................................
Solución de la ecuación homogénea...................................................................
Obtención de las expresiones temporales...........................................................
Ejemplo 1 de respuesta de circuito con dos elementos .......................................
Observaciones....................................................................................................
Ejemplo 2 de respuesta en circuito con dos elementos .......................................
Ejemplo 3 de respuesta en circuito con dos elementos .......................................
Ejemplo 4 de respuesta en circuito con dos elementos .......................................
Ejemplo 5 de respuesta en circuito con dos elementos .......................................
Ejemplo 6 de respuesta en circuito con dos elementos .......................................
Ejemplo 7 de respuesta en circuito con dos elementos .......................................
Ejemplo 8 de respuesta en circuito con dos elementos .......................................
Ejercicios de repaso...............................................................................................
Respuesta en transitorio / 1 ................................................................................
Respuesta en transitorio / 2 ................................................................................
Circuitos con elementos desacoplados ..............................................................
Observaciones....................................................................................................
Ejemplo 1 de circuito con elementos desacoplados ............................................
Ejemplo 2 de circuito con elementos desacoplados ............................................
Ejemplo 3 de circuito con elementos desacoplados ............................................
Circuitos con cambios sucesivos ........................................................................
Ejemplo 1 de circuito con cambios sucesivos.....................................................
Ejemplo 2 de circuito con cambios sucesivos.....................................................
Ejemplo 3 de circuito con cambios sucesivos.....................................................
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ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Regímenes permanente y transitorio
Régimen
permanente
Las excitaciones (fuentes)
llevan mucho tiempo aplicadas.
Las características de las fuentes
no cambian con el tiempo.
Condiciones de estudio
Régimen
permanente continuo.
Régimen
permanente sinusoidal.
Régimen
transitorio
Condiciones de estudio
Régimen transitorio
entre dos regímenes
permanentes de continua.
Análisis
integro-diferencial.
La respuesta del circuito
(corrientes y tensiones)
es de la misma naturaleza
que las excitaciones
Algunas excitaciones (fuentes)
se aplican o se suprimen
bruscamente (instantáneamente;
en un tiempo nulo)
La respuesta del circuito
(corrientes y tensiones)
es de distinta naturaleza
que las excitaciones
debido a la presencia
de elementos reactivos
En un circuito cuyos elementos pasivos son únicamente resistencias
no hay régimen transitorio aunque cambien las excitaciones;
el circuito se adapta instantáneamente a las nuevas condiciones de excitación.
35
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
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Notación del régimen transitorio
Abierto
Circuito abierto
Interruptor
ideal
Cerrado
t=-∞
Régimen
permanente
continuo
inicial
Respuesta
continua
Cortocircuito
Otros
elementos
Excitaciones
continuas
iniciales
Una o más
excitaciones
Circuito
t = t0
t = t -0
t = t+0
Excitaciones
continuas
finales
t= ∞
t = tT
Régimen
transitorio
t -0 = t0 = t +0
Régimen
permanente
continuo
final
Respuesta
continua
Respuesta
variable
con el tiempo
t = t -0: final del régimen permanente continuo inicial
t = t +0 : inicio del régimen transitorio
t = tT: final del régimen transitorio; comienzo del permanente continuo final
t = ∞: final del régimen permanente continuo final
Salvo que se indique explícitamente lo contrario, se supondrá t0 = 0 s.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
37
Elementos pasivos en régimen transitorio
Representación
gráfica
+
vR
-
+
vL
-
+
vC
-
iR(t)
R
iL(t)
L
iC(t)
C
Relación
funcional
Resistencia
vR(t) = RiR(t)
pR(t) = vR(t)iR(t)
Representación
gráfica
+
vR
-
Inductancia
di (t)
v L(t) = L L
dt
pL(t) = vL(t)iL(t)
+
vL
-
Capacidad
dv (t)
iC(t) = C C
dt
pC(t) = vC(t)iC(t)
+
vC
-
iR(t)
R
iL(t)
L
iC(t)
C
Relación
funcional
Resistencia
vR(t) = - RiR(t)
pR(t) = - vR(t)iR(t)
Inductancia
di (t)
v L(t) = - L L
dt
pL(t) = - vL(t)iL(t)
Capacidad
dv (t)
iC(t) = - C C
dt
pC(t) = - vC(t)iC(t)
Consecuencias
Inductancia
La corriente no
varía bruscamente
(daría origen a
tensión infinita)
iL(t +0 ) = iL(t -0)
Continua
La tensión puede
variar bruscamente
v L(t +0 ) = v L(t -0)
≠
Circuito
abierto
iC = 0 A
vC cualquiera
Cortocircuito
vL = 0 V
i L cualquiera
Capacidad
Resistencia
La tensión no
varía bruscamente
(daría origen a
corriente infinita)
La corriente
y la tensión pueden
variar bruscamente
iR(t +0 ) = iR(t -0)
≠
v C(t +0 ) = v C(t -0)
La corriente puede
variar bruscamente
iC(t +0 ) = iC(t -0)
≠
v R(t +0 ) = vR(t -0)
≠
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
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Cálculo de condiciones iniciales y finales
Condiciones
en t = t -0
Condiciones
en t = t +0
Condiciones
en t = ∞
Situación del circuito
correspondiente a
- ∞ ≤ t ≤ t -0
Continua
Situación del circuito
correspondiente a
t0 ≤ t ≤ ∞
Transitorio
Situación del circuito
correspondiente a
t0 ≤ t ≤ ∞
Continua
Para todos t, L y C
Para todas L y C
iL(t +0 ) = iL(t -0)
Para todos t, L y C
vL(t) = 0 V
iC (t) = 0 A
v C (t +0 )
=
v C(t -0)
vL(t) = 0 V
iC (t) = 0 A
Para todos t, L y C,
hallar
Para todas L y C,
hallar
Para todos t, L y C,
hallar
iL(t), vC (t)
v L(t +0 ), iC (t +0 )
iL(t), vC (t)
y otras magnitudes
(Kirchhoff,
mallas, nudos)
y otras magnitudes
(Kirchhoff,
mallas, nudos)
y otras magnitudes
(Kirchhoff,
mallas, nudos)
A iL y vC se les denomina magnitudes fundamentales
porque definen el comportamiento de inductancias y capacidades.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
39
Ejemplo 1 de cálculo de condiciones iniciales y finales
R
t=0
C
IG
R
L
Se suponen conocidos los valores
de todos los elementos del circuito.
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio de
posición del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no experimenta más cambios.
Se desea hallar los valores
de las corrientes y las tensiones
en la inductancia y la capacidad
en t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
iC
IG
C
+
vC
-
R
R
+
vL
iL
L -
Se asignan arbitrariamente
los sentidos de las corrientes
y las polaridades de las tensiones.
La capacidad es un circuito abierto en continua
(corriente nula).
La corriente de la fuente ha de circular
por la resistencia en paralelo con la capacidad,
ya que ésta es un circuito abierto.
Las tensiones en ambos elementos son iguales
por estar en paralelo.
La figura adjunta muestra
la situación del circuito
para todo t tal que - ∞ ≤ t ≤ 0,
y, en particular, para t = 0-.
El circuito se halla en régimen
permanente continuo,
ya que la fuente es continua.
iC(0-) = 0 A
IG = i C +
vC
⇒ v C(0 -) = RI G
R
La inductancia es un cortocircuito en continua
(tensión nula).
vL(0-) = 0 V
No hay corriente en la inductancia
porque no está conectada a la excitación.
iL(0-) = 0 A
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
iC
IG
C
+
vC
-
R
R
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La figura adjunta muestra
+ la situación del circuito
vL para todo t tal que 0 ≤ t ≤ ∞,
iL
L - y, en particular, para t = 0+.
El circuito entra en transitorio
porque han cambiado
las condiciones de excitación
en algunos elementos.
Se mantienen
los sentidos de las corrientes
y las polaridades de las tensiones
elegidos anteriormente.
La tensión en la capacidad
y la corriente en la inductancia
no pueden variar bruscamente.
vC(0+) = vC(0-) = RIG
iL(0+) = iL(0-) = 0 A
Ecuación de nudo.
IG = i C +
v C = Ri L + v L ⇒ v L(0 +) = RI G
Ecuación de malla.
iC
IG
C
+
vC
-
vC
+ i L ⇒ i C(0 +) = 0 A
R
R
R
La figura adjunta muestra
+ la situación del circuito
vL para todo t tal que 0 ≤ t ≤ ∞,
iL
L - y, en particular, para t = ∞.
Se mantienen
los sentidos de las corrientes
y las polaridades de las tensiones
elegidos anteriormente.
El transitorio ha finalizado
y el circuito se encuentra
en régimen permanente
continuo.
La capacidad es un circuito abierto en continua
(corriente nula).
iC(∞) = 0 A
La inductancia es un cortocircuito en continua
(tensión nula).
v
IG = i C + C + i L
R
vL(∞) = 0 V
iL(∞) =
⇒
v C = Ri L + v L
v C(∞) =
IG
2
RI G
2
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
41
Ejemplo 2 de cálculo de condiciones iniciales y finales
L
VG
t=0
R
R
C
Se suponen conocidos los valores
de todos los elementos del circuito.
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio de
posición del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no experimenta más cambios.
Se desea hallar los valores
de las corrientes y las tensiones
en la inductancia y la capacidad
en t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
+ vL iL
VG
L
R
iC
R
C
+
vC
-
Se asignan arbitrariamente
los sentidos de las corrientes
y las polaridades de las tensiones.
La figura adjunta muestra
la situación del circuito
para todo t tal que - ∞ ≤ t ≤ 0,
y, en particular, para t = 0-.
El circuito se halla en régimen
permanente continuo,
ya que la fuente es continua.
La capacidad es un circuito abierto en continua
(corriente nula).
iC(0-) = 0 A
La inductancia es un cortocircuito en continua
(tensión nula).
vL(0-) = 0 V
Ecuación de malla.
VG = v L + v C ⇒ v C(0 -) = V G
Ecuación de nudo.
2V G
iL = v C 1 + 1 + i C =
R R
R
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
42
La figura adjunta muestra
la situación del circuito
para todo t tal que 0 ≤ t ≤ ∞,
y, en particular, para t = 0+.
+ vL iL
VG
L
R
iC
R
C
+
vC
-
El circuito entra en transitorio
porque han cambiado
las condiciones de excitación
en algunos elementos.
Se mantienen
los sentidos de las corrientes
y las polaridades de las tensiones
elegidos anteriormente.
La tensión en la capacidad
y la corriente en la inductancia
no pueden variar bruscamente.
vC(0+) = vC(0-) = VG
iL(0 +) = i L(0 -) =
2V G
R
Ecuación de nudo.
vC
V
+ i C = 0 ⇒ i C(0 +) = - G
R
R
Ecuación de malla.
VG = v L + Ri L ⇒ v L(0 +) = - V G
+ vL iL
VG
L
R
iC
R
C
+
vC
-
Se mantienen
los sentidos de las corrientes
y las polaridades de las tensiones
elegidos anteriormente.
La capacidad es un circuito abierto en continua
(corriente nula).
La inductancia es un cortocircuito en continua
(tensión nula).
Ecuación de nudo.
Ecuación de malla.
La figura adjunta muestra
la situación del circuito
para todo t tal que 0 ≤ t ≤ ∞,
y, en particular, para t = ∞.
El transitorio ha finalizado
y el circuito se encuentra
en régimen permanente
continuo.
iC(∞) = 0 A
vL(∞) = 0 V
vC
+ i C = 0 ⇒ v C(∞) = 0 V
R
VG = v L + Ri L ⇒ i L(∞) =
VG
R
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
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Ejemplo 3 de cálculo de condiciones iniciales y finales
avL
t=0
R
iC
C
IG
+
vC
-
R
+
vL
-
iL
L
Se desea hallar los valores de las corrientes
y las tensiones en la inductancia
y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ∞,
y la variación de energía en la inductancia
entre t = 0 y t = ∞.
t = 0- Continua
Ecuación de nudo
Ecuación de malla
t = 0+ No hay cambios
Ecuación de nudo
El circuito de la figura,
en el que la fuente independiente
es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio de
posición del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no experimenta más cambios.
Se suponen conocidos los valores
de IG, R, L, C y a.
vL(0-) = 0 V, iC(0-) = 0 A
iC(0 -) + i L(0 -) = 0 ⇒ i L(0 -) = 0 A
v C(0 -) = av L(0 -) + Ri L(0 -) + v L(0 -) = 0 V
vC(0+) = vC(0-) = 0 V, iL(0+) = iL(0-) = 0 A
v (0 +)
+ i C(0 +) + i L(0 +) ⇒ i C(0 +) = I G
IG = C
R
Ecuación de malla v (0+ ) = av (0 + ) + Ri (0+ ) + v (0 + ) ⇒ v (0+ ) = 0 V
C
L
L
L
L
t = ∞ Continua
Ecuación de nudo
vL(∞) = 0 V, iC(∞) = 0 A
v (∞)
+ i C(∞) + i L(∞)
IG = C
R
Ecuación de malla
v C(∞) = av L(∞) + Ri L(∞) + v L(∞)
iL(∞) =
∞
wL =
∞
p L(t)dt =
0
∞
v L(t)i L(t)dt =
0
0
IG
RI
, v C(∞) = G
2
2
di (t)
LI 2
L L iL(t)dt = L i2L(∞) - i 2L(0) = G
dt
8
2
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44
Ejemplo 4 de cálculo de condiciones iniciales y finales
avC
t=0
R
iC
C
IG
+
vC
- R
R i
L
+ Se suponen conocidos
vL los valores
L - de IG, R, L, C y a.
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua,
ha permanecido mucho tiempo sin cambios
antes del cambio de posición del interruptor.
Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios.
Se desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la inductancia
y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ∞, y la variación de energía
en la capacidad entre t = 0 y t = ∞.
t = 0- Continua
Ecuación de nudo
Ecuación de malla
vL(0-) = 0 V, iC(0-) = 0 A
v (0 -)
v (0 -)
+ i C(0 -) + C
+ i L(0 -)
IG = C
R
R
v C(0 -) = av C(0 -) + Ri L(0 -) + v L(0 -)
RI
iL(0 − ) = 1 - a IG, v C(0 − ) = G
3-a
3-a
t = 0+ No hay cambios
Ecuación de nudo
Ecuación de malla
RI
iL(0 +) = i L(0 − ) = 1 - a IG, v C(0 +) = v C(0 − ) = G
3-a
3-a
IG =
v C(0 +)
+ i C(0 +) ⇒ i C(0 +) = 2 - a IG
R
3-a
0 = Ri L(0 +) + av C(0 +) + Ri L(0 +) + v L(0 +) ⇒
⇒ v L(0 +) = a - 2 RI G
3-a
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
t = ∞ Continua
Ecuación
de nudo
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vL(∞) = 0 V, iC(∞) = 0 A
v (∞)
+ i C(∞) ⇒ v C(∞) = RI G
IG = C
R
Ecuación
de malla
0 = Ri L(∞) + av C(∞) + Ri L(∞) + v L(∞) ⇒ i L(∞) = -
∞
wC =
∞
p C(t)dt =
0
∞
v C(t)i C(t)dt =
0
0
dv (t)
v C(t)C C dt =
dt
RI G 2
= C v 2C(∞) - v 2C(0) = C
(8 - 6a + a 2)
2
2 3-a
aI G
2
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46
Ejemplo 5 de cálculo de condiciones iniciales y finales
+ v1 R
t=0
R
iL
L
VG
+ v2 +
vL
-
R
RiL
iC
C
+ Se suponen conocidos
vC los valores
- de VG, R, L y C.
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua,
ha permanecido mucho tiempo sin cambios
antes del cambio de posición del interruptor.
Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios.
Se desea hallar los valores de las tensiones v1 y v2 en t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
v1(0-) = RiL(0-) = 0 V
No hay excitación en la inductancia; iL(0-) = 0 A
v2(0-) = RiC(0-) = 0 V
En continua iC(0-) = 0 A
v1(0+) = RiL(0+) = RiL(0-) = 0 V
Ecuación de malla
iL(0+) = iL(0-)
v2(0+) = RiL(0+) - vC(0+) = RiL(0-) - vC(0-)
⇒ v 2(0 +) = 0 V vC(0+) = vC(0-)
RiL(0 -) = RiC(0 -) + v C(0 -) ⇒ v C(0 -) = 0 V
VG = Ri L(∞) + Ri L(∞) + v L(∞) ⇒ i L(∞) =
v 1(∞) = Ri L(∞) =
VG
2
v 2(∞) = Ri C(∞) = 0 V
VG
2R
En continua
iC(∞) = 0 A
vL(∞) = 0 V
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
47
RG
t=0
Ejemplo 6 de cálculo de condiciones iniciales y finales
i1
VG
+
v1
-
i2
+
v2
-
i3
R3
+
v3
-
t=0
i4
gVG R4
+
v4
-
i5
+
v5
-
i6
R6
+
v6
-
i7
Se suponen conocidos
los valores
de todos los elementos
del circuito.
+
v7
-
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua,
ha permanecido mucho tiempo sin cambios
antes del cambio de posición de los interruptores.
Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios.
Se desea hallar los valores de
v3(0+), i1(0+), i2(0+), i7(0+), v7(0+), i6(0+), i5(0+), v7(∞), e i7(∞).
Elementos en paralelo.
Continuidad de la tensión en la capacidad.
La inductancia es un cortocircuito en continua.
Continuidad de la corriente
V - v (0 )
v (0 ) V G en la inductancia.
i1(0 +) = i 1(0 -) = G 1
- i 2(0 -) - 1
=
Ecuación de nudo.
RG
R3
R G La capacidad es un circuito abierto
en continua.
v3(0+) = v2(0+) = v2(0-) = v1(0-) = 0 V
i2(0 +) = - i 1(0 +) -
v 3(0 +)
V
=- G
R3
RG
Ecuación de nudo.
Continuidad de la corriente en la inductancia.
Ausencia de excitación en la inductancia para t < 0.
Elementos en paralelo.
Continuidad de la tensión
en la capacidad.
v7(0+) = v5(0+) = v5(0-) = [gVG - i5(0-)]R4 = gVG R4 Ecuación de nudo.
La capacidad es un circuito
abierto en continua.
i7(0+) = i7(0-) = 0 A
i6(0 +)
v 6(0 +) v 7(0 +) gV GR 4
=
=
=
R6
R6
R6
Elementos en paralelo.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
v 4(0 +)
- i 6(0 +) - i 7(0 +) =
R4
v (0 +)
gV R
= gV G - 5
- i 6(0 +) - i 7(0 +) = - G 4
R4
R6
48
i5(0 +) = gV G -
v7(∞) = 0 V
v 4(∞)
v (∞)
- i 5(∞) - 6
=
R4
R6
v (∞)
v (∞)
= gV G - 7
- i 5(∞) - 7
= gV G
R4
R6
i7(∞) = gV G -
Ecuación de nudo.
Elementos en paralelo.
La inductancia es un cortocircuito en continua.
Ecuación de nudo.
Elementos en paralelo.
La capacidad es un circuito abierto
en continua.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
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Ejemplo 7 de cálculo de condiciones iniciales y finales
- vC +
t=0
+
v1
-
i1
gvC Ra
L1
i2
L2
+ C
v2
-
iC
Rb
IG
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua,
ha permanecido mucho tiempo sin cambios
antes del cambio de posición de los interruptores.
Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios.
Se suponen conocidos los valores de todos los elementos del circuito.
Además, se sabe que i1(0+) = gRbIG, i2(0+) = 0 A
(el cálculo de estos valores se efectúa como se indicó en ejemplos anteriores).
Se desea hallar los valores de las corrientes en las inductancias para t = ∞.
Solución aparente
Las corrientes son nulas porque se verifica 0 A = iC(∞) = i1(∞) + i2(∞).
Sin embargo, que la suma sea nula no implica que lo sean las corrientes.
De hecho, no lo son (como se ve a continuación)
porque las inductancias parten de condiciones iniciales distintas
(lo confirma el dato de que las corrientes al inicio del transitorio son distintas).
Para todo t ≥ 0 se verifica
di 1(t)
di (t)
= L2 2
dt
dt
v 1(t) = v 2(t) ⇒ L 1
Integrando esta expresión se obtiene
L1
di 1(t)
dt =
dt
di 2(t)
dt ⇒ L 1i 1(t) = L2i 2(t) + K
dt
L2
(1)
Dado que (1) se verifica para todo t ≥ 0, también lo hará para t = 0+,
con lo que, utilizando los datos del enunciado,
L1i 1(0 +) = L 2i 2(0 +) + K ⇒ K = L 1gR bI G
(2)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
50
Dado que (1) se verifica para todo t ≥ 0, también lo hará para t = ∞; es decir,
L1i 1(∞) = L 2i 2(∞) + K
(3)
Además, dado que la capacidad es un circuito abierto en continua,
0 A = iC(∞) = i1(∞) + i2(∞)
Resolviendo el sistema (3-4) se llega a
i1(∞) =
gR bI GL 1
= - i 2(∞)
L 1 + L2
(4)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
51
Ejemplo 8 de cálculo de condiciones iniciales y finales
+ v1 R i
L
VG
L
+ C1
vL
-
+ v2 C2
i1
i2
t=0
R
RiL
El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua,
ha permanecido mucho tiempo sin cambios
antes del cambio de posición de los interruptores.
Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios.
Se suponen conocidos los valores de VG, R, L, C1 y C2.
Además, se sabe que v1(0+) = 0 V, v2(0+) = - VG
(el cálculo de estos valores se efectúa como se indicó en ejemplos anteriores).
Se desea hallar los valores de las tensiones en las capacidades para t = ∞.
Solución aparente
Las tensiones son nulas porque se verifica 0 V = v1(∞) + v2(∞)
(las capacidades están entre los cortocircuitos de la inductancia y un interruptor).
Sin embargo, que la suma sea nula no implica que lo sean las tensiones.
De hecho, no lo son (como se ve a continuación)
porque las capacidades parten de condiciones iniciales distintas
(lo confirma el dato de que las tensiones al inicio del transitorio son distintas).
Para todo t ≥ 0 se verifica
dv 1(t)
dv (t)
=C2 2
dt
dt
i1(t) = i 2(t) ⇒ C 1
Integrando esta expresión se obtiene
dv 1(t)
dt =
dt
C1
dv 2(t)
dt ⇒ C 1v 1(t) = C 2v 2(t) + K
dt
C2
(1)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
52
Dado que (1) se verifica para todo t ≥ 0, también lo hará para t = 0+,
con lo que, utilizando los datos del enunciado,
C 1v 1(0 +) = C 2v 2(0 +) + K ⇒ K = C 2V G
(2)
Dado que (1) se verifica para todo t ≥ 0, también lo hará para t = ∞; es decir,
C 1v 1(∞) = C 2v 2(∞) + K
(3)
Además, como se indicó más arriba,
0 V = v1(∞) + v2(∞)
Resolviendo el sistema (3-4) se llega a
v 1(∞) =
C 2V G
= - v 2(∞)
C1 + C 2
(4)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
53
Ejemplo 9 de cálculo de condiciones iniciales y finales
+ vL R
IG
L
iL
R
RiL
t=0
iC
R
C
+
vC
-
Son datos los valores de
IG, R, L y C.
Además,
iL(0 +) =
El circuito de la figura, en el que
la fuente independiente es continua,
ha permanecido mucho tiempo sin cambios
antes del cambio de posición del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no experimenta más cambios.
Ecuación de malla
Se desea hallar las derivadas
con relación al tiempo
de la tensión en la capacidad
y la corriente en la inductancia
en el instante t = 0+.
0 = Ri C(0 +) + Ri L(0 +) + v C(0 +) ⇒ i C(0 +) = dv C(t)
dt
Ecuación de nudo
2I G
RI
, v C(0 +) = - G
3
3
IG =
=
0+
IG
3
i C(0 +)
I
=- G
C
3C
v L(0 +) + Ri L(0 +)
RI
+ i L(0 +) ⇒ v L(0 +) = - G
R
3
di L(t)
dt
=
0+
v L(0 +)
RI
=- G
L
3L
La derivada con relación al tiempo de cualquier variable
en régimen permanente continuo es nula.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
54
Ejemplo 10 de cálculo de condiciones iniciales y finales
+ v1 -
t=0
1
i1
VG
+
i2 2 v2
+
i 3 3 v3
-
+
i 4 4 v4
-
+
i 5 5 v5
-
i6
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio
+ de posición de los interruptores.
6 v6 Una vez producido éste,
- ya no experimenta más cambios.
Se conocen los datos
indicados en la tabla adjunta.
Se desea averiguar la naturaleza (R, L o C) de los elementos numerados.
t
i1
1A
1A
00+
v1
1V
1V
i2
1A
1A
v2
0V
0V
i3
1A
1A
v3
1V
1V
i4
0A
-1A
v4
1V
1V
i5
0A
1A
v5
0V
1V
i6
0A
0A
v6
0V
1V
Elemento
Naturaleza
Razonamiento
1
Resistencia
La corriente no es nula en 0-; no puede ser capacidad.
La tensión no es nula en 0-; no puede ser inductancia.
2
Inductancia
La corriente no es nula en 0-; no puede ser capacidad.
La tensión es nula en 0-; no puede ser resistencia.
3
Resistencia
La corriente no es nula en 0-; no puede ser capacidad.
La tensión no es nula en 0-; no puede ser inductancia.
4
Capacidad
La tensión no es nula en 0-; no puede ser inductancia.
La corriente es nula en 0-; no puede ser resistencia.
5
Resistencia
Cambia bruscamente la tensión; no puede ser capacidad.
Cambia bruscamente la corriente; no puede ser inductancia.
6
Inductancia
Cambia bruscamente la tensión; no puede ser capacidad.
En 0+ hay tensión sin corriente; no puede ser resistencia.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
55
Ejercicios de repaso
Condiciones iniciales y finales / 1
+ vD -
El circuito de la figura, en el
que la fuente independiente
iC
+
+ es continua, ha permanecido
iL
R
aiC
vC
vL mucho tiempo sin cambios
antes del cambio de posición
C L - del interruptor. Una vez
IG
R
R
producido éste, ya no
experimenta más cambios.
Son datos los valores de IG, R, L, C y a.
t=0
Se desea calcular vD en t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
Soluciones
v D(0 -) =
RI G
, v D(0 +) = - aRI G, v D(∞) = 0 V
2
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
56
Condiciones iniciales y finales / 2
R
VG
L iL
R
+ vC t=0
+ vL -
C iC
avL
R
Se desea calcular la potencia
en la resistencia marcada con un círculo
en los instantes t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
El circuito de la figura, en el
que la fuente independiente
es continua, ha permanecido
mucho tiempo sin cambios
antes del cambio de posición
del interruptor. Una vez
producido éste, ya no
experimenta más cambios.
Son datos los valores
de VG, R, L, C y a.
Soluciones
p R(0 -)
aV G 2
V 2G
+
1
,
p
=
(0 ) =
, p R(∞) = 0 W
4R R
R 2(1 + a)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
57
Análisis en régimen transitorio
Objeto
Respuesta única
Todas las
expresiones temporales
son de la misma forma
Determinar la respuesta
(evolución temporal)
Cálculo de las
expresiones temporales
de corrientes y tensiones
durante el transitorio
Tipos de
respuestas
Natural
Forzada
La excitación se
suprime bruscamente
en uno o más
elementos
La excitación se
aplica bruscamente
a uno o más
elementos
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
58
Respuesta natural de un circuito RL
t=0
RG
iL
IG
L
+
vL
- R
Son datos los valores de todos
los elementos del circuito.
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo sin cambios
antes de la apertura del interruptor.
Una vez producida ésta, ya no experimenta
más cambios.
Se pretende encontrar la respuesta del
circuito para t > 0.
El régimen transitorio sólo se manifiesta en la parte del circuito
que incluye la inductancia.
Es a esa parte a la que se refiere la pregunta sobre la respuesta.
La respuesta es natural porque se suprime la excitación de la inductancia.
Como la respuesta es única, se calculará la expresión temporal de la magnitud
fundamental correspondiente al elemento reactivo considerado (iL).
La expresión temporal correspondiente a cualquier otra magnitud
puede obtenerse una vez hallada aquélla.
Para t > 0 se tiene
vL + RiL = 0
Ecuación de malla / nudo
Sustituyendo en esta expresión la relación funcional de la inductancia, se tiene
di
L L + Ri L = 0
dt
Ecuación diferencial que caracteriza
la evolución temporal de iL para t > 0
La solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable
con coeficientes constantes y segundo miembro nulo es de la forma
iL(t) = Ae - τt
τ=L
R
Expresión temporal (instantánea)
que caracteriza la evolución de iL para t > 0
Constante de tiempo
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
59
Para que la respuesta esté completamente determinada,
hay que hallar la constante que aparece en la expresión temporal.
Para ello se compara la condición inicial del transitorio
que puede deducirse directamente de la observación del circuito
con el valor que proporciona la expresión temporal. Así,
Por la observación del circuito
(el cálculo se hace
como se indicó en secciones anteriores)
Por la expresión temporal
Expresión temporal de iL para t > 0
iL(0 +) = i L(0 -) = I G
⇒ A = IG
iL(0) = A
R
iL(t) = I Ge - L t
Conocida la expresión temporal (instantánea),
puede obtenerse el valor de la variable en cualquier instante de tiempo.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
60
Significado de la constante de tiempo
iL(t)
IG
respuesta para
ritmo de descenso
constante
Respuesta natural
de un circuito RL
respuesta
natural
0.37I G
iL(t) = I Ge - τt
0.007IG
τ
t T = 5τ
t
La constante de tiempo es una medida
de lo rápido que desaparece (o de cuanto dura) el régimen transitorio.
Puede decirse que el régimen permanente continuo final
se establece cuando ha transcurrido un tiempo igual a cinco constantes de tiempo
(pasado ese intervalo, las variaciones en la respuesta son inapreciables).
Esto permite suponer que el circuito está en régimen permanente continuo
cuando se produce el cambio de posición en el interruptor.
Si la excitación correspondiente se ha aplicado en t = - ∞ (hace mucho tiempo),
es evidente que desde entonces ya transcurrieron cinco constantes de tiempo.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
61
Ejemplo de respuesta natural en un circuito RL
t=0
R2
+
v1
-
RG
VG
iL
R1
L
+
vL
- R3
VG = 24 V, L = 5 mH
RG = 12 Ω, R1 = 6 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 10 Ω
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes de la apertura
del interruptor.
Una vez producida ésta,
ya no experimenta más cambios.
Se desea obtener
la expresión temporal de v1(t > 0),
y la variación de energía en R3
entre t = 0 y t = ∞.
Para t > 0 se tiene
L
vL
v
+ iL + L = 0
R1 + R 2
R3
Ecuación de nudo
di
1
+ 1 L + iL = 0
R 1 + R 2 R 3 dt
Ecuación diferencial
iL(t) = Ae - τt
τ=L
Expresión temporal
1
+ 1 = 1 ms
R1 + R 2 R3
Constante de tiempo
iL(0 +) = i L(0 -) =
VGR 1
=
=1A
R GR 1 + R GR 2 + R 1R 2
Por el circuito
⇒A=1A
iL(0) = A
Por la expresión temporal
di (t)
v L(t) = L L = - LA
e - τt = - 5e - t V (t en ms)
τ
dt
R1
Divisor de tensión
v 1(t) = v L(t)
= - 3e - t V (t en ms)
R1 + R 2
∞
w3 =
∞
p 3(t)dt =
0
0
v 2L(t)
dt =
R3
∞
0
(- 5e - t) 2 dt = 1.25 mJ
10
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
62
RG
t=0
Respuesta natural de un circuito RC
VG
i1
C1
+
vC i2
R - C2
Son datos los valores de todos
los elementos del circuito.
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes de la apertura
del interruptor.
Una vez producida ésta, ya no
experimenta más cambios.
Se pretende encontrar la respuesta
del circuito para t > 0.
El régimen transitorio sólo se manifiesta en la parte del circuito
que incluye las capacidades.
Es a esa parte a la que se refiere la pregunta sobre la respuesta.
La respuesta es natural porque se suprime la excitación de las capacidades.
Aunque hay dos capacidades, el circuito puede ser tratado como si tuviera una
porque ambas pueden ser agrupadas en paralelo.
Como la respuesta es única, se calculará la expresión temporal de la magnitud
fundamental correspondiente al elemento reactivo considerado (vC).
La expresión temporal correspondiente a cualquier otra magnitud
puede obtenerse una vez hallada aquélla.
Para t > 0 se tiene
i1 +
vC
+ i2 = 0
R
Ecuación de nudo
Sustituyendo en esta expresión la relación funcional de la capacidad, se tiene
dv
v
(C 1 + C 2) C + C = 0
dt
R
Ecuación diferencial que caracteriza
la evolución temporal de vC para t > 0
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
63
La solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable
con coeficientes constantes y segundo miembro nulo es de la forma
v C(t) = Ae - τt
τ = R(C 1 + C 2)
Expresión temporal (instantánea)
que caracteriza la evolución de vC para t > 0
Constante de tiempo
Para que la respuesta esté completamente determinada,
hay que hallar la constante que aparece en la expresión temporal.
Para ello se compara la condición inicial del transitorio
que puede deducirse directamente de la observación del circuito
con el valor que proporciona la expresión temporal. Así,
Por la observación del circuito
(el cálculo se hace como
se indicó en secciones anteriores)
v C(0 +) = v C(0 -) =
Por la expresión temporal
Expresión temporal de vC para t > 0
VGR
RG + R
⇒A=
VGR
RG + R
v C(0) = A
v C(t) =
VGR -t/R(C1 + C2)
e
RG + R
Conocida la expresión temporal (instantánea),
puede obtenerse el valor de la variable en cualquier instante de tiempo.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
64
R
iL
L
VG
La respuesta
es forzada
porque se aplica
la excitación
L descargada para t < 0
RG
t=0
RG
t=0
Respuesta forzada en circuitos RL y RC
R
VG
C
+
vC
-
C descargada para t < 0
Para t > 0 se tiene
di
L L + (R G + R)i L = V G
dt
Ecuación diferencial
(obtenida combinando
una ecuación de circuito
y relación funcional)
dv
(R G + R)C C + v C = V G
dt
La solución de una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable
con coeficientes constantes y segundo miembro no nulo
está dada por las matemáticas.
iL(t) = B + (A - B)e - τt
τ=
L
RG + R
Expresión temporal
(instantánea)
v C(t) = B + (A - B)e - τt
Constante de tiempo
τ = (R G + R)C
Hay que hallar las constantes que aparecen en la expresión temporal.
Se comparan las condiciones inicial y final del transitorio,
que pueden deducirse de la observación del circuito,
con los valores que proporciona la expresión temporal.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
65
Por el circuito
Por el circuito
iL(0 +) = i L(0 -) = 0 A
v C(0 +) = v C(0 -) = 0 V
Por la
expresión temporal
⇒A=0A
iL(0) = A
v C(0) = A
Por el circuito
Por el circuito
iL(∞) =
VG
RG + R
⇒A=0V
Por la
expresión temporal
v C(∞) = V G
⇒B=
Por la
expresión temporal
VG
RG + R
⇒ B = VG
Por la
expresión temporal
v C(∞) = B
iL(∞) = B
Respuesta en régimen transitorio
de circuitos con un solo elemento reactivo
Ecuaciones
del circuito
iL
Relación
funcional
x=
vC
Ecuación diferencial
que caracteriza
la evolución temporal
dx + x = K ⇔ τdx + x = K τ = x
f
dt
dt τ
Expresión temporal
(expresión instantánea)
x(t) = x f + (x o - x f)e - τ
Respuesta natural
xf = x(t = ∞) = K = 0
t
xo = x(t = 0)
xf = x(t = ∞)
El procedimiento también es aplicable si hay varios elementos reactivos
de la misma naturaleza que puedan ser agrupados en uno solo.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
66
Ejemplos de respuesta forzada
Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RC
t=0
R1
iC
C
VA
+
vC
- R
3
R2
iB
VB
VA = 2 V, VB = 2 V, C = 1 µF
R1 = 2 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 2 Ω
El circuito de la figura,
en el que las fuentes son continuas,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio
de posición de los interruptores.
Una vez producido éste,
ya no experimenta más cambios.
Se desea obtener
la expresión temporal (t > 0)
de la potencia en la fuente VB.
Para t > 0 se tiene
VB - v C
v
dv
= iC + C , iC = C C
R2
R3
dt
Ecuación de nudo y relación funcional
CR 2R 3 dv C
R3
+ vC =
V Ecuación diferencial
(R 2 + R 3) dt
R2 + R 3 B
τ=
CR 2R 3
= 1 µs
R2 + R 3
v Co = v C(0) = V A = 2 V
Constante de tiempo
Por el circuito
R3
v Cf = v C(∞) =
V =1V
R2 + R 3 B
v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e - τt = 1 + e - t V (t en µs) Expresión temporal
V - v (t)
p B(t) = - V Bi B(t) = - V B B C = - 1 + e - t W (t en µs)
R2
Es respuesta forzada porque en t = 0 la capacidad es sometida bruscamente
a una excitación no nula distinta de la que soportaba anteriormente.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
67
Ejemplo de respuesta forzada en un circuito RL
t=0
R1
i1
L1
IG
R2
+
vL
-
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cierre
del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no experimenta más cambios.
i2
L2
Son datos los valores
de todos los elementos del circuito.
R
iL
IG
L
IG =
+
vL
-
Se desea obtener
la expresión temporal (t > 0)
de la corriente i1.
Para t > 0 se tiene
R=
R 1R 2
L 1L 2
,L=
R1 + R 2
L 1 + L2
vL
di
+ i L, v L = L L
R
dt
Ecuación de nudo y relación funcional
di L R
+ i =I
dt L L G
Ecuación diferencial
τ=L
R
Constante de tiempo
iLo = i L(0) = 0 A
Por el circuito
iLf = i L(∞) = I G
iL(t) = i Lf + (i Lo - i Lf)e - τt = I G(1 - e - τt )
di 1
di
di
= L2 2 = L L
dt
dt
dt
di
di
L 1 1 dt = L L dt ⇒ L 1i 1 = Li L + K
dt
dt
L1
t = 0 ⇒ i 1 = 0 A = i L ⇒ K = 0 Vs
Expresión temporal
⇒ i 1(t) = L iL(t) =
L1
L 2I G
=
(1 - e - τt )
L 1 + L2
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
68
Respuesta de un circuito
con dos elementos reactivos no agrupables
+ vL R
t=0
L
iL i
C
VG
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cierre
del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no experimenta más cambios.
+
vC
C -
Son datos los valores
de todos los elementos del circuito.
Se desea obtener
la respuesta para t > 0.
Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito
VG = Ri L + v L + v C
(1)
iL = i C
(2)
di L
dt
(3)
dv C
dt
(4)
vL = L
Relaciones funcionales
iC = C
Combinando (1-4) se llega a
Ecuaciones diferenciales
que caracterizan la evolución
de iL y vC para t > 0
d 2v C
dv
+ RC C + v C = V G
dt
dt 2
d 2i
di
LC L + RC L + i L = 0
dt
dt 2
LC
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
69
Solución de las ecuaciones diferenciales
Para cada magnitud fundamental
hay una ecuación diferencial
2
ad x + b dx + cx = K
dt
dt 2
Solución
x(t) = x f + x h (t)
a, b y c son iguales
para todas
las magnitudes fundamentales
K puede ser distinto
para distintas
magnitudes fundamentales
x f = x(t = ∞)
x f = 0 si K = 0
x h(t)
Solución de la
ecuación homogénea
Ecuación homogénea
2
ad x + b dx + cx = 0
dt
dt 2
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
70
Solución de la ecuación homogénea
Ecuación homogénea
2
ad x + b dx + cx = 0
dt
dt 2
Ecuación característica
as 2 + bs + c = 0
Coeficiente
de amortiguamiento
Raíces de la
ecuación característica
s 1, 2 =
α 1 = b
s
2a
- b ± b 2 - 4ac
=
2a
=-α±
Frecuencia angular
de resonancia
ω 0 rad = 1 =
s
s
α 2 − ω 20
Respuesta
supercrítica
Respuesta
crítica
Respuesta
subcrítica
(sobreamortiguada)
s 1 y s 2 reales
s1 < 0 > s2
s1 ≠ s2
(amortiguada)
(subamortiguada)
s 1 y s 2 complejas
ω 20 < α 2
ω 20 = α 2
x h (t) = Ae s 1 t + Be s 2 t
s 1 y s 2 reales
s1 < 0 > s2
s1 = s2
x h (t) = Ate
− αt
t → ∞ ⇒ x h(t) → 0
c
a
+
Be − α t
s 1 = s *2
ω 20 > α 2
ωd = +
ω 20 − α 2
ω dt) +
x h (t) = Ae − α t cos(ω
α
−
t
ω dt)
sen(ω
+ Be
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Obtención de las expresiones temporales
Dos ecuaciones
de circuito
(mallas, nudos)
Ecuaciones
adicionales
Relaciones
funcionales
Ecuación diferencial
de una magnitud fundamental
Expresión temporal
de la magnitud fundamental
(constantes: xf , A, B)
Expresión temporal de la
otra magnitud fundamental
(constantes: xf, A, B)
Condiciones en
t=0yt=∞
Cálculo de
xf, A, B
71
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
72
Ejemplo 1 de respuesta en circuito con dos elementos
t=0
a
R
R
R
VG
+
iC
vC
C -
kiL
iL
L
VG = 1 V, k = - 1
R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
+
vL
-
El circuito de la figura,
en el que la fuente
independiente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio
de posición de los interruptores.
Una vez producido éste,
ya no se producen más cambios.
Se desea obtener
las expresiones temporales
de iL y vC para t > 0.
Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito
v a = Ri C + v C
v a = Ri L + v L
Fuente dependiente
Relaciones funcionales
ki L = i C +
va
+ iL
R
(1)
(2)
(3)
dv
iC = C C
dt
(4)
di
vL = L L
dt
(5)
Combinando (1-5) se llega a
Ecuaciones
diferenciales
de las variables
fundamentales
dv
d 2v C
2LC
+ (3 - k)RC + L C + (2 - k)v C = 0
R dt
dt2
di
d 2i L
2LC
+ (3 - k)RC + L L + (2 - k)i L = 0
R dt
dt2
Se elige arbitrariamente una de las ecuaciones diferenciales
(por ejemplo, la primera) y se aplica el procedimiento general a partir de ella.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
73
as 2 + bs + c = 0
a = 2LC = 2 s 2
Ecuación característica
b = (3 - k)RC + L = 5 s
R
c=2-k=3
α = b = 5 s -1, ω0 =
2a 4
Tipo de respuesta
c =
a
3 rad/s
2
α2 > ω02 ⇒ respuesta supercrítica
Expresión temporal
de la variable considerada
v C(t) = v Cf + Ae s1t + Be s2t
(se incluye vCf por generalidad,
aunque en este caso
tal valor es nulo,
porque también lo es
el segundo miembro de (6-7))
s1 = - α +
s2 = - α -
(6)
α2 - ω02 = - 1 s -1
α2 - ω02 = - 1.5 s -1
Combinando (1-6) se obtiene
v Cf
iL(t) = 1
+ A 2Cs 1 + 1 e s1t + B 2Cs 2 + 1 e s2t =
Expresión
k-1 R
R
R
temporal
s
t
1
v
de la otra variable
= - Cf + Ae + Be s2t
2
2
(7)
Aplicando las condiciones y finales a (6-7) se tiene
(sólo se utilizan tres ecuaciones porque hay tres incógnitas)
Por el circuito
Por la expresión temporal
1 V = VG
0V
vC(0)
vC(∞)
0A
iL(0)
Respuesta
(expresiones temporales)
v Cf + A + B
v Cf
v
- Cf + A + B
2
2
⇒
vCf = 0 V
A=2V
B=-1V
v C(t) = 2e -t - e -1.5t V (t en s)
iL(t) = e -t - e -1.5t A (t en s)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Observaciones
Las siguientes observaciones se deducen del ejemplo anterior,
pero tienen validez general en el caso de régimen transitorio
en circuitos con dos elementos reactivos no agrupables.
Los coeficientes de los primeros miembros de las ecuaciones diferenciales
no dependen de las características de las fuentes independientes.
Éstas sólo influyen en los segundos miembros de aquéllas.
Es decir, la respuesta está determinada por los elementos pasivos
y las características de las fuentes dependientes.
No es posible determinar el tipo de respuesta
si no se conocen los valores numéricos de los elementos del circuito.
Obsérvese que el tipo de respuesta depende de la relación
entre el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia angular de resonancia,
que estos parámetros dependen de los coeficientes de la ecuación característica,
y que éstos dependen de las características de los elementos del circuito.
En circuitos con dos elementos reactivos
no existe nada exactamente equiparable a la constante de tiempo.
Para determinar un parámetro aproximadamente equivalente
puede seguirse cualquiera de los siguientes procedimientos:
Obtener el mayor valor de t que hace que
hace que un término exponencial valga e-5 = 0.0067
(en el ejemplo anterior, t = 5 s).
Calcular la mayor de las constantes de tiempo
que aparecen en las ecuaciones diferenciales
(en el ejemplo anterior, (3 - k)RC = 4 s, L/R = 1 s).
74
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
75
Ejemplo 2 de respuesta en circuito con dos elementos
t=0
R
a
R
R
R
IB
L iC
C
+
vC
-
IA
iL
L
El circuito de la figura,
en el que las fuentes son
continuas ha permanecido
mucho tiempo sin cambios
antes del cambio de posición
de los interruptores.
+ Una vez producido éste,
vL ya no se producen más
- cambios.
IA = 2 A, IB = 2 A
R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
Se desea obtener
la expresión temporal
de la potencia en la fuente IA.
Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito
y relaciones funcionales
dv
di
RC C + v C = v a = Ri L + L L
dt
dt
dv
v
IA = C C + a + i L
dt
R
(1)
(2)
Combinando (1-2) se obtiene
dv
d 2v C
+ 3RC + L C + 2v C = RI A
R dt
dt 2
di
d 2i
2LC L + 3RC + L L + 2i L = I A
R dt
dt 2
2LC
Ecuaciones diferenciales
con lo que puede deducirse
Ecuación característica
Tipo de respuesta
a = 2LC = 2 s 2, b = 3RC + L = 4 s, c = 2
R
α = b = 1 s -1, ω 0 =
2a
c = 1 rad/s
a
α 2 = ω 20 ⇒ respuesta crítica
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Expresión temporal de vC
76
(3)
v C(t) = v Cf + Ate - αt + Be - αt
Combinando (1-3) se llega a
Expresión i (t) = I - v Cf + A 2αC - 1 te - αt + - 2CA + B 2αC - 1 e - αt = (4)
A
temporal L
R
R
R
de iL
αt
αt
= 2 - v Cf + Ate + (B - 2A)e
Aplicando las condiciones y finales a (3-4) se tiene
Por el circuito
2 V = RIB
RI
1V= A
2
I
1A= A
2
Respuesta
Por la expresión temporal
vC(0)
v Cf + B
vC(∞)
v Cf
iL(0)
2 - v Cf + B - 2A
vCf = 1 V
⇒ A = 0.5 V/s
B=1V
v C(t) = 1 + 0.5te -t + e -t V (t en s)
iL(t) = 1 + 0.5te -t A (t en s)
di (t)
p A(t) = - v a(t)I a = - Ri L(t) + L L IA = - (2 + e -t) W (t en s)
dt
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
77
iC
IG
+
vC
C -
R
t=0
Ejemplo 3 de respuesta en circuito con dos elementos
R
iL
L
IG = 2 A
R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua
+
vL ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio
- de posición del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no se producen más cambios.
Se desea obtener
la variación de energía en la
capacidad entre t = 0 y t = ∞.
Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito
y relaciones funcionales
v C = Ri L + L
IG = C
di L
dt
dv C v C
+ iL
+
dt
R
(1)
(2)
Combinando (1-2) se obtiene
Ecuaciones diferenciales
dv
d 2v C
LC
+ RC + L C + 2v C = RI G
R dt
dt 2
di
d 2i L
LC
+ RC + L L + 2i L = I G
R dt
dt 2
con lo que puede deducirse
Ecuación característica
a = LC = 1 s 2, b = RC + L = 2 s, c = 2
R
α = b = 1 s -1, ω 0 =
2a
Tipo de respuesta
c = 2 rad/s
a
α 2 < ω 20 ⇒ respuesta subcrítica
ωd = +
ω 20 - α 2 = 1 rad/s
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Expresión temporal de iL
78
iL(t) = i Lf + Ae - αtcos(ω dt) + Be - αtsen(ω dt)
(3)
Combinando (1-3) se llega a
v C(t) = Ri Lf + Ae - αt[(R - αL)cos(ω dt) - ω dLsen(ω dt)] +
+ Be - αt[(R - αL)sen(ω dt) + ω dLcos(ω dt)] =
Expresión
temporal
de vC
(4)
= i Lf - Ae -tsen(t) + Be -tcos(t)]
Aplicando las condiciones y finales a (3-4) se tiene
Por el circuito
Por la expresión temporal
0A
iL(0)
iLf + A
IG
2
iL(∞)
iLf
2 V = RIG
vC(0)
iLf + B
1A=
iLf = 1 A
⇒
A=-1A
B=1A
iL(t) = 1 - e -tcos(t) + e -tsen(t) A (t en s)
v C(t) = 1 + e -tcos(t) + e -tsen(t) V (t en s)
Respuesta
∞
wC =
∞
p C(t)dt =
0
0
dv (t)
v C(t)C C dt = C v 2C(∞) - v 2C(0) = - 1.5 J
dt
2
El valor de vC(∞) puede obtenerse del circuito o de la expresión temporal
Si se deseara obtener la energía en la resistencia
que está en paralelo con la capacidad, el cálculo sería
∞
wR =
∞
p R(t)dt =
0
0
v (t)
v C(t) C dt =
R
∞
0
[1 + e -tcos(t) + e -tsen(t)] 2 dt
R
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
79
R
VG
t=0
Ejemplo 4 de respuesta en circuito con dos elementos
R
R
iC
+
vC iL
L
+
vL
-
C
El circuito de la figura, en el que la fuente
es continua ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio de posición del
interruptor. Una vez producido éste,
ya no se producen más cambios.
Se desea obtener
la respuesta para t > 0.
Son datos los valores de V G y τ,
siendo τ = RC = L .
R
Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito
y relaciones funcionales
dv
dv
VG = R C C + i L + RC C + v C
dt
dt
dv
di
VG = R C C + i L + Ri L + L L
dt
dt
dv
d 2v C
+ 3RC + L C + 2v C = V G
R dt
dt 2
di
d 2i
V
2LC L + 3RC + L L + 2i L = G
R
R dt
dt 2
2LC
Ecuaciones diferenciales
Ecuación característica
Tipo de respuesta
RC = τ = L ⇒ LC = (RC) L = τ 2
R
R
a = 2LC = 2τ 2, b = 3RC + L = 4τ, c = 2
R
α = b = 1τ , ω 0 =
2a
c =1
a τ
α 2 = ω 20 ⇒ respuesta crítica
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Expresiones
temporales
80
v C(t) = v Cf + Ate - αt + Be - αt
iL(t) =
V G - v Cf
+ A 2αC - 1 te - αt + - 2CA + B 2αC - 1 e - αt
R
R
R
Por el circuito
Por la expresión temporal
0V
vC(0)
v Cf + B
VG
2
vC(∞)
v Cf
0A
iL(0)
VG - v Cf
- 2CA + B 2αC - 1
R
R
v Cf =
⇒
A = 0 V/s
V
B=- G
2
VG
(1 - e - τt )
2
VG
(1 - e - τt )
iL(t) =
2R
v C(t) =
Respuesta
La expresión temporal de la corriente en la inductancia
no está completamente determinada, ya que se desconoce el valor de R.
Pese a las apariencias, la respuesta de este circuito no está relacionada
con la de un circuito con un solo elemento reactivo.
La similitud formal se debe únicamente a la circunstancia
de que el coeficiente A tenga un valor nulo.
VG
2
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
81
R
t=0
Ejemplo 5 de respuesta en circuito con dos elementos
L1
C1
L2
C2
VG
El circuito de la figura, en el que la fuente
es continua, ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio de posición del
interruptor. Una vez producido éste,
ya no se producen más cambios.
Se desea obtener la expresión temporal
de la potencia en C2 para t > 0.
VG = 0.5 V, R = 0.5 Ω
L 1 = 0.6 mH, L2 = 0.4 mH
C1 = 2 mF, C2 = 2 mF
Pese a tener cuatro elementos reactivos,
el circuito puede ser tratado
como si sólo tuviera dos,
ya que aquéllos son agrupables dos a dos.
R
IG
iL
L
+
+
i
vC
vL C
C -
Para t > 0 el circuito es equivalente
al de la figura adjunta, en la que
VG
=1A
R
C 1C 2
L = L 1 + L 2 = 1 mH, C =
= 1 mF
C1 + C 2
IG =
Ecuaciones del circuito
y relaciones funcionales
Ecuaciones diferenciales
vC = L
- IG =
di L
dt
vC
dv
+ iL + C C
R
dt
d 2v C L dv C
+ vC = 0
LC
+
2
dt
R
dt
d 2i L L di L
+ iL = - IG
LC
+
2
dt
R
dt
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Ecuación característica
82
a = LC = 10 -6 s 2, b = L = 2×10 -3 s 1, c = 1
R
c = 10 3 s -1
a
α = b = 10 3 s -1, ω 0 =
2a
Tipo de respuesta
α 2 = ω 20 ⇒ respuesta crítica
iL(t) = i Lf + Ate - αt + Be - αt
Expresiones
temporales
v C(t) = L[A(1 - αt)e - αt - αBe - αt] =
= 10 -3[A(1 - αt)e - αt - αBe - αt]
Por el circuito
Por la expresión temporal
0A
iL(0)
iLf + B
- 1 A = - IG
iL(∞)
iLf
0V
vC(0)
10 -3(A - αB)
Respuesta
dv
C C dt =
dt
iLf = - 1 A
⇒ A = 103 A/s
B=1A
iL(t) = - 1 + te -t + e -t A (t en ms)
v C(t) = - te -t V (t en ms)
dv
dv
C C = C 2 C2
dt
dt
dv
C 2 C2 dt ⇒ C 2v C2 = Cv C + K
dt
⇒ v C2(t) = C v C(t)
C2
t = 0 ⇒ v C2 = 0 V = v C ⇒ K = 0 As
dv
p C2(t) = v C2(t)i C(t) = C v C(t) C = 0.5t(1 - t)e -2t mW (t en ms)
dt
C2
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
83
Ejemplo 6 de respuesta en circuito con dos elementos
t=0
iC
IG
+
vC
C -
R
R
iL
+
vL
L -
IG = 2 A, R = 1 Ω
El régimen transitorio se caracteriza
por los siguientes parámetros:
α = 1 s -1, ω 0 = 2 rad/s
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio de
posición del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no se producen más cambios.
Se desea obtener los valores
de la inductancia y la capacidad.
Para t > 0 se tiene
v C = Ri L + L
Ecuaciones del circuito
y relaciones funcionales
Ecuación diferencial
IG = C
LC
dv C v C
+ iL
+
dt
R
dv
d 2v C
+ RC + L C + 2v C = RI G
R dt
dt 2
a = LC, b = RC + L , c = 2
R
Ecuación característica
1 s -1 = α = b = R + 1
2a 2L 2RC
2 rad/s = ω 0 =
di L
dt
c =
a
2
LC
L=1H
⇒
C=1F
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
84
Ejemplo 7 de respuesta en circuito con dos elementos
t=0
R
iC
VG
+
vC
C -
iL
R
L
Para t > 0,
vC = (1 - t)e-t V (t en s)
iL = 0.5te-t A (t en s)
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
+ ha permanecido mucho tiempo
vL sin cambios antes del cambio de
- posición de los interruptores.
Una vez producido éste,
ya no se producen más cambios.
Se desea obtener los valores de
VG, R, L y C.
Para t > 0 se tiene
di L
dt
dv
v
0 = C C + C + iL
dt
R
vC = L
Ecuaciones del circuito
y relaciones funcionales
Ecuación diferencial
LC
Ecuación característica
d 2i L L di L
+ iL = 0
+
2
dt
R
dt
a = LC, b = L , c = 1
R
En régimen transitorio la respuesta es crítica,
ya que en las expresiones temporales figuran términos de la forma te-kt.
En la respuesta crítica, el coeficiente de amortiguamiento
es el coeficiente del exponente en tales términos; luego,
α = 1 s -1
En la respuesta crítica, los valores numéricos del coeficiente de amortiguamiento
y la frecuencia angular de resonancia son iguales; luego
ω 0 = α = 1 rad/s
(por el circuito) V G = v C(0) = 1 V (por la expresión temporal) ⇒ V G = 1 V
Por las expresiones
Por el circuito
Por las expresiones
temporales
temporales
e -t
-
te -t
1 rad/s = ω 0 =
di L
⇒L=2H
L(0.5e -t - 0.5te -t)
dt
c = 1 ⇒ C = 0.5 F, 1 s -1 = α = b = 1 ⇒ R = 1 Ω
a
2a 2RC
LC
vC = L
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
85
Ejemplo 8 de respuesta en circuito con dos elementos
+ vL R
t=0
Li
L
VG
iC
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio de
posición del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no se producen más cambios.
+
vC
C -
Para t > 0,
vC = 10 - 5e-1000t - 5e-9000t V (t en s)
iL = e-1000t + 9e-9000t mA (t en s)
Se desea obtener los valores de
VG, R, L y C.
Para t > 0 se tiene
dv C
dt
di
VG = Ri L + L L + v C
dt
iL = C
Ecuaciones del circuito
y relaciones funcionales
Ecuación diferencial
LC
d 2v C
dv
+ RC C + v C = V G
dt
dt 2
a = LC, b = RC, c = 1
Ecuación característica
La respuesta en régimen transitorio es supercrítica,
ya que en las expresiones temporales figuran términos exponenciales
con distintos valores de los coeficientes de los exponentes.
En la respuesta supercrítica,
esos coeficientes son las raíces de la ecuación característica; luego,
s 1 = - 1000 s -1, s 2 = - 9000 s -1
s1 = - α +
α 2 - ω 20
s2 = - α -
α 2 - ω 20
α=-
s1 + s2
= 5000 s -1
2
⇒
ω0 = +
α2 -
s1 - s 2
2
2
= 3000 rad/s
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
86
(por el circuito) V G = v C(∞) = 10 V (por la expresión temporal) ⇒ V G = 10 V
Por las expresiones
temporales
Por
el circuito
Por las expresiones
temporales
dv
C
0.001e -1000t + 0.009e-9000t iL = C dt C(5000e -1000t + 45000e -9000t) ⇒ C = 0.2 µF
3000 rad/s = ω 0 =
c = 1 ⇒L=5 H
a
9
LC
5000 s -1 = α = b = R ⇒ R = 50 kΩ
9
2a 2L
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
87
Ejercicios de repaso
Respuesta en transitorio / 1
t=0
R
R
iC
VS
+
vC
C -
R
R
iL
VG
+
vL
L -
VS = 4 V, VG = 4 V
R =1 Ω, L = 1 µH, C = 1 µF
El circuito de la figura,
en el que las fuentes son continuas,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio
de posición de los interruptores.
Una vez producido éste,
ya no se producen más cambios.
Se desea obtener la expresión temporal
de la potencia en VG para t > 0.
Solución
pG(t) = - 8 + 4e-t W (t en µs)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
88
Respuesta en transitorio / 2
+ vL R
VG
L
iL
t=0
iC
R
C
+
vC
-
R
VS
Se desea obtener la expresión temporal
de la corriente en la capacidad para t > 0.
VS = 3 V, VG = 4 V
R =1 kΩ, L = 1 mH, C = 1 nF
El circuito de la figura,
en el que las fuentes
son continuas,
ha permanecido mucho
tiempo sin cambios antes del
cambio de posición de los
interruptores.
Una vez producido éste,
ya no se producen más
cambios.
Solución
iC(t) = - e-t[cos(t) + sen(t)] mA (t en µs)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
89
Circuitos con elementos desacoplados
+ vL L
VG
iL
El circuito de la figura, en el que la fuente
es continua, ha permanecido mucho tiempo
+ sin cambios antes del cambio de posición del
iC
vC interruptor. Una vez producido éste,
C - ya no se producen más cambios.
t=0
R
R
Son datos los valores de todos
los elementos del circuito.
Se desea obtener las expresiones temporales
de la corriente en la inductancia y la tensión
en la capacidad para t > 0.
Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito,
relaciones funcionales
y ecuaciones diferenciales
VG = L
0=C
di L
+ Ri L
dt
dv C v C
+
dt
R
Son ecuaciones diferenciales de primer orden, cada una en una variable;
por tanto, se resuelven como se indicó anteriormente.
Expresiones
temporales
iL(t) = i Lf + (i Lo - i Lf)e -t/τL
2V
V
iLo = i L(0) = G , i Lf = i L(∞) = G , τ L = L
R
R
R
v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -t/τC
v Co = v C(0) = V G, v Cf = v C(∞) = 0, τ C = RC
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Observaciones
Para t > 0 los dos elementos reactivos y sus respectivas magnitudes eléctricas
no se influyen entre sí; las variables son independientes
y los elementos están totalmente desacoplados.
En circuitos con elementos totalmente desacoplados,
a la variable fundamental de cada uno de ellos
le corresponde una ecuación diferencial de primer orden.
Puede haber influencia de un elemento reactivo en otro
sin que el segundo influya en el primero.
Se habla entonces de elementos parcialmente acoplados (o desacoplados).
A la variable correspondiente al elemento no influido
(variable independiente)
le corresponde una ecuación diferencial de primer orden.
A la variable correspondiente al elemento influido (acoplado)
le corresponde una ecuación diferencial de segundo orden.
En circuitos parcial o totalmente desacoplados
no puede hablarse de respuesta única.
90
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
91
Ejemplo 1 de circuito con elementos desacoplados
t=0
El circuito de la figura,
en el que la fuente
+
+ independiente es continua,
R
R
kvC
iC
iL
vC
vL ha permanecido mucho
C
R
IG
L - tiempo sin cambios antes
del cambio de posición del
interruptor.
IG = 2 A, k = 1
Una vez producido éste,
R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
ya no se producen más
cambios.
Se desea obtener las expresiones temporales
de iL y vC para t > 0.
Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito,
y relaciones funcionales
IG =
vC
dv
+C C
R
dt
0 = (R + R)i L + kv C + L
(1)
di L
dt
(2)
(1) es una ecuación diferencial de primer orden en una sola variable;
por tanto,
v Co = v C(0) =
RI G
= 1 V, v Cf = v C(∞) = RI G = 2 V, τ C = RC = 1 s
3-k
v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -t/τC = 2 - e -t V (t en s)
Sustituyendo (3) en (2) se obtiene
di L
+ 2i L + 2 = e -t
dt
La solución de esta ecuación diferencial
(así como las de otras similares que surgen
en circuitos con elementos parcialmente acoplados)
no es sencilla porque el segundo miembro no es una constante.
Por consiguiente, es preferible utilizar un procedimiento alternativo.
Así, despejando vC de (2) y sustituyendo el resultado en (1), se llega a
Ecuación diferencial
de la variable acoplada
di
d 2i L
LC
+ 2RC + L L + 2i L = - kI G
R dt
dt 2
(3)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Ecuación característica
92
a = LC = 1 s 2, b = 2RC + L = 3 s, c = 2
R
α = b = 1.5 s -1, ω 0 =
2a
Tipo de respuesta
c = 2 rad/s
a
α 2 > ω 20 ⇒ respuesta supercrítica
Expresión temporal de iL
iL(t) = i Lf + Ae s1t + Be s2t
(4)
s1 = - α +
α 2 - ω 20 = - 1 s -1
s2 = - α -
α 2 - ω 20 = - 2 s -1
Sustituyendo (4) en (2) se obtiene
Expresión
temporal de vC
v C(t) = -
s2t
2Ri Lf Ae s1t
(2R + Ls 1) - Be (2R + Ls 2) =
k
k
k
= - 2i Lf - Ae s1t
(5)
iLf = - 1 A
Igualando término a término (3) y (5)
⇒
(por el circuito) 0 A = iL(0) = iLf + A + B (por (4))
⇒
Respuestas
A=1A
B=0A
v C(t) = 2 - e -t V (t en s)
iL(t) = - 1 + e -t A (t en s)
Tras la apertura del interruptor, la capacidad no está influida por la inductancia
(la primera está desacoplada con relación a la segunda),
pero la inductancia sigue influida por la capacidad
a través de la fuente dependiente (está acoplada).
La similitud de las expresiones temporales es puramente circunstancial
(se debe a que se anula el coeficiente de un término exponencial de la corriente).
El tratamiento general de elementos parcialmente acoplados
se basa en determinar la variable acoplada como si no se conociera
la expresión temporal de la variable independiente.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
93
Ejemplo 2 de circuito con elementos desacoplados
+ vL L
t=0
R
iL
VG
RiL
R
iC
R
+
vC
C -
VG = 2 V
R = 1 Ω, L = 4 H, C = 1 F
Se desea obtener las expresiones temporales
de iL y vC para t > 0.
El circuito de la figura,
en el que la fuente
independiente es continua,
ha permanecido mucho
tiempo sin cambios antes
del cambio de posición del
interruptor.
Una vez producido éste,
ya no se producen más
cambios.
Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito,
y relaciones funcionales
0 = RC
Expresión
temporal
de iL
iLo = i L(0) =
di L
dt
(1)
dv C
+ Ri L + v C
dt
(2)
VG = (R + R)i L + L
2V G 4
V
= A, i Lf = i L(∞) = G = 1 A, τ L = L = 2 s
3R
3
2R
2R
iL(t) = i Lf + (i Lo - i Lf)e -t/τL = 1 + e
-0.5t
3
A (t en s)
Despejando iL de (2) y sustituyendo en (1) se tiene
Ecuación diferencial
de la variable acoplada
Ecuación característica
Tipo de respuesta
LC
dv
d 2v C
+ 2RC + L C + 2v C = - V G
R dt
dt 2
a = LC = 4 s 2, b = 2RC + L = 6 s, c = 2
R
α = b = 3 s -1, ω 0 =
2a 4
c = 1 rad/s
a
2
α 2 > ω 20 ⇒ respuesta supercrítica
(3)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Expresión temporal de vC
94
(4)
v C(t) = v Cf + Ae s1t + Be s2t
α 2 - ω 20 = - 0.5 s -1
s1 = - α +
s2 = - α -
α 2 - ω 20 = - 1 s -1
Sustituyendo (4) en (2) se obtiene
Expresión
temporal
de iL
iL(t) = -
s2t
v Cf Ae s1t
(1 + RCs 1) - Be (1 + RCs 2) =
R
R
R
= - v Cf - 0.5Ae s1t
(5)
vCf = - 1 V
Igualando término a término (3) y (5)
⇒
(por el circuito) - 2 V = v C(0) = v Cf + A + B (por (4))
3
Respuestas
A=-2V
3
⇒
B=1V
-0.5t
iL(t) = 1 + e
3
-0.5t
v C(t) = - 1 - 2e
3
A (t en s)
+ e -t V (t en s)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
95
Ejemplo 3 de circuito con elementos desacoplados
+ vL L
iL
t=0
RG
R
VG
iC
C
+
vC
-
isc
R
El circuito de la figura,
en el que la fuente es continua,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes del cambio de
posición del interruptor.
Una vez producido éste,
ya no se producen más cambios.
Se desea obtener la expresión temporal
de la corriente isc para t > 0.
VG = 2 V, RG = 2 Ω
R = 1 Ω, L = 1 H, C = 0.5 F
Para t > 0 se tiene
Ecuaciones del circuito,
relaciones funcionales
y ecuaciones diferenciales
Expresiones
temporales
0 = RC
VG = R Gi L + L
dv C
+ vC
dt
di L
dv
di
+ RC C + v C = R Gi L + L L
dt
dt
dt
iL(t) = i Lf + (i Lo - i Lf)e -t/τL
VG
V
iLo = iL(0) =
= 2 A, iLf = iL(∞) = G = 1 A, τ L = L = 0.5 s
RG + R 3
RG
RG
v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -t/τC
v Co = v C (0) =
R V = 2 V, v = v (∞) = 0 V, τ = RC = 0.5 s
Cf
C
C
RG + R G 3
dv (t)
RC C + v C(t)
-2t
dv C(t)
dt
iL(t) = C
+ i sc(t) +
⇒ i sc(t) = 1 + e A (t en s)
dt
3
R
El cortocircuito, al imponer una tensión fija (nula),
separa los dos elementos reactivos.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
96
Circuitos con cambios sucesivos
Los interruptores del circuito
cambian de posición
en instantes diferentes
Cálculo de la
respuesta
En cada intervalo
se aplica
el procedimiento
convencional
Las condiciones iniciales en cada intervalo
son las finales del intervalo anterior
Las condiciones finales en cada intervalo
son las correspondientes a t = ∞
(el circuito no sabe
que se producirán cambios posteriores)
En los términos exponenciales
el tiempo se desplaza al origen
de cada intervalo
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
97
Ejemplo 1 de circuito con cambios sucesivos
t=0
R1
+
vC
-
iC
C
VA
t = t1
R2
R3
VB
VA = 4 V, VB = 3 V, C = 1 F
R1 = 2 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 2 Ω
t1 = 1 s
El circuito de la figura, en el
que las fuentes son continuas,
ha permanecido mucho
tiempo sin cambios antes
de t = 0. Después de t = t1 ya
no experimenta más cambios.
Se desea conocer la variación
de la corriente y la tensión en
la capacidad para
0 < t < ∞.
Para 0 < t ≤ t1 se tiene
Ecuación del circuito
y ecuación diferencial
v Co = v C(0) =
dv
R 2C C + v C = 0
dt
R2
V = 2 V, v Cf = v C(∞) = 0 V, τ = R 2C = 2 s
R1 + R 2 A
v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -t/τ = 2e -0.5t V (t en s)
dv (t)
iC(t) = C C = - e -0.5t A (t en s)
dt
Expresiones temporales
(1)
(2)
Para t1 ≤ t < ∞ se tiene
Ecuación
del circuito
y ecuación
diferencial
VB - v C
dv
v
CR 2R 3 dv C
R2
+ vC =
=C C + C ⇒
V
R3
dt
R2
(R 2 + R 3) dt
R2 + R 3 B
v Co = v C(t 1) = v C(t -1) = 2e -0.5t1 = 1.21 V
A partir de (1)
v Cf = v C(∞) =
R2
CR 2R 3
VB = 1.5 V, τ =
=1s
R2 + R 3
R2 + R 3
v C(t) = v Cf + (v Co - v Cf)e -(t - t1)/τ = 1.5 - 0.29e -(t - 1) V (t en s) (3)
Expresiones
temporales
dv (t)
iC(t) = C C = 0.29e -(t - 1) A (t en s)
dt
(4)
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
98
El procedimiento indicado en este ejemplo es aplicable a cualquier otra situación:
mayor número de cambios de posición de los interruptores,
circuitos con dos o más elementos acoplados,
o circuitos con elementos parcial o totalmente desacoplados.
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
Ejemplo 2 de circuito con cambios sucesivos
t = t1
t=0
R
R
VA i
C
+
vC
C -
kvC
El circuito de la figura, en el que la
fuente independiente es continua,
ha permanecido mucho tiempo sin
R
cambios antes de t = 0.
Después de t = t1 ya no experimenta
+ más cambios.
iL
vL
Se desea obtener
L - i (0+), v (100 ms) e i (1.1 s).
C
C
L
VA = 200 mV, k = 2
R = 0.5 kΩ, L = 0.5 H, C = 2 µF
t1 = 1 s
Para 0 < t ≤ t1 se tiene
iC(0 +) =
V A - v C(0 +) V A - v C(0 -) V A
=
=
= 0.4 mA
R
R
R
dv
RC C + v C = V A
dt
En principio habría que resolver esta ecuación diferencial,
obtener la expresión temporal correspondiente,
y sustituir en ésta el valor t = 0.1 s.
Sin embargo, puede observarse que la constante de tiempo es
τ = RC = 1 ms << 0.1 s
Es decir, la parte del circuito que incluye la capacidad
está en régimen permanente en el instante de interés. En consecuencia,
v C(0.1 s) = v Cf = v C(∞) = V A = 0.2 V
99
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
100
Para t1 ≤ t < ∞ se tiene
di
L L + Ri L = kv C
dt
Esta ecuación indica que la inductancia es un elemento acoplado.
Puede ser resuelta por el procedimiento convencional.
Pero es más sencillo aplicar un procedimiento alternativo.
La parte del circuito que contiene la capacidad continúa en régimen permanente
en este intervalo temporal, ya que no ha experimentado más cambios,
ni los cambios producidos en otra parte del circuito repercuten en ella.
En consecuencia, la ecuación anterior puede ser sustituida por
di
L L + Ri L = kV A
dt
Ahora habría que resolver esta ecuación diferencial,
obtener la expresión temporal correspondiente,
y sustituir en ésta el valor t = 0.1 s = (1.1 s - t1).
Recuérdese que los exponentes correspondientes
a intervalos que no empiezan en 0
están desplazados con relación a sus respectivos orígenes.
Pero, nuevamente, puede observarse que la constante de tiempo es
τ = L = 1 ms << 0.1 s
R
Es decir, la parte del circuito que incluye la inductancia
también está en régimen permanente en el instante de interés. En consecuencia,
kV
iL(0.1 s) = i Lf = i L(∞) = A = 0.8 mA
R
ETSIT-Vigo. Análisis de circuitos. Transparencias de clase
101
Ejemplo 3 de circuito con cambios sucesivos
1
L
+
vC
-
iC
C
VA
5
R
3
t = t1
R
6
t = t1
t=0
2
R
VB
4
El circuito de la figura,
en el que las fuentes son continuas,
ha permanecido mucho tiempo
sin cambios antes de t = 0.
Después de t = t1 ya no experimenta
más cambios.
Se desea obtener vC(t1),
y determinar el tipo de respuesta
en la malla 126451 para t > t1.
t1 = 100 s
Para 0 < t ≤ t1 y en la malla 123451
α = 10 s -1, ω0 = 8 rad/s
Para 0 < t ≤ t1 y en la malla 123451
α2 > ω02 ⇒ respuesta supercrítica
α2 - ω02 ⇒ s 1 = - 4 s -1, s 2 = - 16 s -1
s 1, 2 = - α ±
v C(t) = v Cf + Ae s1t + Be s2t
v Cf = v C(∞) = 0 V
Ae s1t1 = Ae -400 ≈ 0 V
⇒ v C(t 1) ≈ 0 V
Be s2t1 = Be -1600 ≈ 0 V
Para t > t1 la malla 126451 es de la misma forma que la 123451
(los elementos pasivos tienen los mismos valores
y están dispuestos de la misma forma;
las fuentes independientes no influyen en la respuesta).
Luego la respuesta buscada también es supercrítica.