Liceo Marta Donoso Espejo Profesor: Mauricio Marín Documento de apoyo 3° medio Profesor: Mauricio Marín Tema: Raíces y sus propiedades Concepto de raíz Es la obtención de un numero, que ha sido multiplicado “n veces” por si mismo.bajo el operador raíz ( n m = b) En donde n: índice radical, o índice de la raiz, que indica las veces que ha sido multiplicado cierto numero. m: subradical o radicando, indica el producto de aquella multiplicación de cierto número. b: es la raíz (raíz aritmética) o el numero buscado, que ha sido multiplicado “n veces por si mismo” Se llama raíz (o raíz aritmética) de un número m de índice n y se escribe número que cumple: ( m) n n n m , a un =m Propiedad de las raíces • Si m > 0: n m existe cualquiera que sea n Cuando m > 0, n m es un número positivo (y es único) • Si m < 0: sólo existe la raíz n m cuando el índice n es impar. Cuando el índice n es impar, y m < 0: n m es negativo (y es único). Véase el siguiente ejemplo: a) b) 16 = 4 , el índice radical es 2, que no se escribe por conveniencia y se lee raíz cuadrada de 16(radicando), la pregunta fue ¿Qué numero multiplicado por si mismo da como resultado 16?. Resp: 4 8 = 2 , el índice radical es 3, y se lee raíz cúbica de 8(radicando), la pregunta fue ¿Qué numero multiplicado tres veces por si mismo da como resultado 8?. Resp: 2 3 Ejercicios resueltos 1) 25 = 2 2) 225 = 15 3) 3 − 27 = −3 4) 5 32 = 2 5) 3 2 8 = 27 3 Liceo Marta Donoso Espejo Profesor: Mauricio Marín Resuelva aplicando el concepto de raíz. 4 = 9 1) 5) 4 1 81 49 • • = 9 4 36 2) 3x 4 = 16 6) 3 ⎛ 1 1⎞ 4 ⎟÷ − = 9) ⎜⎜ ⎟ 9⎠ 9 ⎝ 4 0,25 + 0,125 = 3 3) − 0,027 = 10) [Recuerde que 7) ( a ) = ( a )= a ] n n 4) 400 = 289 8) 4 n n ⎛ x3 ⎞ ⎟= 16 • ⎜ 3 ⎜ 7 ⎟ ⎠ ⎝ 16 25 1 −3 + = 81 9 9 25 16 1 +8 − = 4 8 36 PROPIEDADES DE LAS RAICES Ejemplos: 3 1) 0 =0 0 =0 (n: índice, distinto de cero) 0 =0 n Propiedad 1: Raíz de radicando cero 2) 7 Propiedad 2: Raíz de la unidad Ejemplos: 1) 5 1 = 1 1 =1 2) 1 = 1 n 8 n a • n b = n ab 7 4 •7 2 = 7 8 Propiedad 3: Producto de raíces de igual índice Ejemplos: 1) 4 3 • 4 5 = 4 15 2) Propiedad 4: División de raíces de igual índice Ejemplos: 8 1) 2 = 8 = 4=2 2 Propiedad 5: Raíz de una Raíz Ejemplos: 1) 3 4 m = 12 m n 2) n a7 n a3 n m 2) a = b n a n b =n a 7 n 7 −3 n 4 = a = a a3 a = nm a 3 4 7 3 x = 84 3 x Propiedad 6: Raíces de la forma a n b an b = n a n • b Ejemplos: 1) 23 2 = 3 2 3 • 2 = 3 2 4 = 3 16 2) x 5 4 = 5 4 x 5 Liceo Marta Donoso Espejo Profesor: Mauricio Marín Ejercicios propuestos Aplicando propiedades de raíces resuelva. I) Multiplique las siguientes raíces. 3• 5• 2 = 1) ( ax a x −3 •2 = 2 5 5) 3 ( 8) 3 2 + 5 ) 2 ) 2 1+ 7 = 2) 3) 4 •3 2 = 3 6) 5 x y • 3 y 2 x = = 7) 1 + 3 • 1 + 3 = 1 1− x • = 1− x 9 9) 2a 3 • = 3 2a 4) 10) 5⎛ 5⎞ ⎜ 2+ ⎟= 2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ II) Divida las siguientes raíces. 32 1) = 2 3 20 5) a 2 x −1 2) = a x−2 3) 5a 2 50 ÷ 3a 2 = −2 2• 8 = 5 6) ) ( 8) 253 x 2 − 103 x 4 ÷ 53 x = a 3x a x −1 8 + 18 4) 2 ( = ) 7) 2 18 − 4 8 ÷ 2 2 = = 9) 5a 2 50 ÷ 3a 2 = 10) 3a 2 3 a 5 x ÷ a 2 3 a 2 x = III) Calcule la raíz de la raíz. 3 1) 6) n 4 = 3 a = 2 2 = 2) 7) 3 7 3) 5 = 3 a a a = 5 = 4) 8) 3 2 4 x = 9) 1 2 3 = 2 3 5 2 6 x = 5) 10) ax x x 3 = IV) Introduce el coeficiente en una sola raíz. 1) 2 5 = 6) m 3 x = 4 2) 23 3 = 7) q 4 3) 2 x 2 5 = m = 2 1 2 8) 4 3 = 2 x 4) x 2x = 2 7 m3 9) 2 4 1 = m 5) − 10) p2 q ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ 2p = 3q 2 3 a = x Liceo Marta Donoso Espejo Profesor: Mauricio Marín V) Descomponer las siguientes raíces y calcular su resultado. 1) 2 + 18 = 2) 4) 3 2 + 8 = 2 − 50 + 3 2 = 80 − 27 + 20 − 12 = 3) 5) 3 12a − 2 27 a + 75a = 28 − 18 + 50 − 63 = 6) 8) 2 3 − 3 27 + 75 ) = 7) 18 − 2 5 + 50 − 20 = VI) Aplique sus conocimientos generales en el tema de fracciones. 3 1 1 1 1 1) ⎛⎜ + − ⎞⎟ • ⎛⎜ − ⎞⎟ = ⎝ 5 4 3⎠ ⎝ 2 ⎛ ⎞ ⎜ 5 ⎟ 2 4) ⎜ ⎟ ÷ = ⎜ 41 ⎟ 5 ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ 8⎠ 5) 1 5 5 2) ⎛⎜ ⎞⎟ • ⎛⎜ ⎞⎟ + = ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 2 1 3 + − = 5 8 2 6) 4 9 8 − + 7 5 1 23 = 3) 5 ⎛1 5⎞ 3 +⎜ • ⎟÷ = 2 ⎝2 4⎠ 4 1 2 1 7) 3 • ⎛⎜ + ⎞⎟ = 2 ⎝5 7⎠