La geometría en la cultura andalusí y su influencia en el estilismo

La geometría en la cultura andalusí y
su influencia en el estilismo actual.
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La geometría en la cultura
andalusí y su influencia en el
estilismo actual
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ÍNDICE
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1. Objetivos.
2. Líneas de trabajo.
2.1. Breve revisión histórica de la geometría y la arquitectura religiosa
2.2. Reproducción en 2D y 3D.
2.3. Maquetación.
2.4. Investigación sobre las decoraciones en los monumentos árabes
2.5. Influencia en el estilismo actual.
2.6. Psicología que hay tras la elección de los motivos decorativos.
2.7. Cálculos.
3. Conclusiones.
2
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1.
OBJETIVOS.
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• Conocer los motivos por los cuales es tan común el uso de elementos geométricos en la
decoración de los edificios y monumentos árabes.
• Estudiar los diferentes elementos geométricos presentes en dichas edificaciones,
buscando los ángulos presentes en ellos, las proporciones, y toda otra información
geométrica que se pueda obtener.
• Analizar los efectos que producen las columnas al formar diferentes galerías, y los
debidos a su estrechez.
• Determinar las medidas de columnas, arcos, rectángulos, y demás elementos presentes
en las edificaciones objeto de estudio.
• Identificar la presencia de elementos comunes con las decoraciones árabes en la
actualidad.
• Visitar diferentes monumentos donde estén presentes estos elementos: mezquita de
Córdoba, Alhambra de Granada, Baños árabes de Jaén.
• Reproducir en 2D y 3D los diferentes elementos detectados en las visitas a estos
edificios.
• Elaborar maquetas a escala de aquellos edificios y formas geométricas que son más
representativos de la cultura andalusí.
3
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2.
LÍNEAS DE TRABAJO.
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2.1. Breve revisión histórica de la geometría y la arquitectura religiosa
La geometría, que empezó en el antiguo Egipto, es la rama de las matemáticas
que se ocupa de las propiedades del espacio. Es una de las ciencias más antiguas,
constituyendo la primera de las áreas matemáticas que se conocen. Inicialmente,
constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con problemas métricos,
como el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes.
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las
posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de
resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes
desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría analítica, marcando una nueva
etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser
representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones.
La Geometría en la Edad Media.
Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos de la
mano de hindúes y árabes en Trigonometría y Álgebra aunque relacionadas con
la Astronomía y la Astrología; pero en geometría apenas hay nuevas aportaciones. En
Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete artes liberales las escuelas y
universidades se limitan a enseñar los "Elementos", y no hay aportaciones.
Arquitectura.
La arquitectura es el arte y técnica de proyectar y diseñar edificios,
estructuras y espacios.
Así, para los antiguos griegos, el arquitecto era el jefe o director de la
construcción y la arquitectura la técnica o arte de quien realizaba el proyecto y
dirigía la construcción de los edificios y estructuras.
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Se dice que la arquitectura descansa en tres principios: la Belleza, la Firmeza
y la Utilidad. La arquitectura se puede definir, entonces, como un equilibrio entre
estos tres elementos, sin sobrepasar ninguno a los otros. No tendría sentido tratar de
entender un trabajo de la arquitectura sin aceptar estos tres aspectos.
Desde la Grecia Antigua, la búsqueda de ilusiones ópticas en la arquitectura
ha sido una constante. Jugar con las fugas, las proporciones, paradojas espaciales, las
sombras, los vacíos y los llenos, alterar las escalas agrandando o achicando espacios
para distraer al observador. Provocarlo. Inquietarlo.
Arquitectura religiosa.
Cristiana
La planta basilical, derivada de la basílica romana, se
incorporó a la arquitectura paleocristiana con la cristianización del
Imperio romano a partir del siglo IV. En la arquitectura
bizantina se desarrolló la planta centralizada (como la planta de
cruz griega), que se utiliza también en el arte carolingio.
Santa Sofía de Constantinopla, siglo VI.
Musulmana
La mezquita es
el
edificio religioso islámico,
y su estructura se deriva de
la casa de Mahoma en
Medina.
Mezquita de los Omeyas de Damasco.
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Mezquita de Córdoba.
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2.2. Reproducción en 2D y 3D.
La proporción cordobesa.
Dicha proporción se ha empleado como base de la composición plástica
de edificios a lo largo de la historia, muestra de ello es la arquitectura cordobesa
y más recientemente los proyectos de Rafael de la Hoz, quien ejecutó un
exhaustivo estudio de dicha proporción y recurrió a ella para la configuración de
sus obras.
Córdoba fue la depositaria y única usufructuaria del tesoro euclidiano
durante la Edad Media. Con estos antecedentes, era razonable pensar que si en
alguna arquitectura pre-renacentista se había empleado racionalmente la
proporción áurea, este lugar no podía ser otro que Córdoba.
Desde el punto de vista matemático, dicha proporción presenta unos
cálculos que siguen un modelo similar al de la proporción áurea. La misma
queda establecida al obtener la proporción buscada como la relación entre el
radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste. Esta
relación es:
Dicho cociente es un número irracional: c= 1,306562964…conocido
como el número cordobés.
Teniendo en cuenta el apartado anterior es
muy fácil construir un rectángulo en la proporción
cordobesa. Basta con trazar una circunferencia y la
bisectriz del primer cuadrante. RT es un lado del
rectángulo y el radio de la circunferencia el otro.
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Buscando edificios y monumentos situados en España sobre los que se
aplique dicha proporción, nos situamos en Córdoba y señalamos los siguientes
ejemplos: se encontró por vez primera en la Mezquita de Córdoba. Pero a
geometría de la puerta de AL-Hakam II, la fachada del Mihrab, la planta de la
Mezquita y la arcada interior, se someten en su estructura a la proporción
cordobesa.
Construcción de la mezquita.
La construcción de la Mezquita fue iniciada por Abderramán I, en el año
785, sobre los restos de una iglesia visigoda, inspirándose en una mezquita
omeya de Jerusalén. El resultado de esta primera etapa constructiva fue una
armónica sala de 11 naves con 110 columnas de mármol y granito con capiteles
romanos paleocristianos y bizantinos. Sobre ellos una doble serie de arcos de
herradura y medio punto que constituyeron una novedad arquitectónica sin
precedentes. El juego de luces y sombras que ofrecen la piedra caliza y el
ladrillo de sus arcos crea una singular atmósfera.
I. En el año 833 Abderramán II la amplía, añadiendo 8 arcadas. Las
columnas que la sujetan son de mármol blanco procedentes del teatro
romano de Mérida. Once capiteles son árabes, y el resto son romanos y
postromanos.
II. En el año 961 Alhakem II aporta los mayores tesoros que hoy tiene la
mezquita: el Mihrab, con su preciosista y exuberante decoración en
mármol labrado y la cúpula octogonal central de arcos entrelazados de la
Kliba, consideradas ambas obras maestras del arte universal.
III. La última y mayor ampliación se debe a Almanzor, que en el año 987,
casi dobló su talla. De esta época son las columnas de mármol azul con
capiteles compuestos, y las de mármol pardo rojizo con capiteles
corintios.
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Columnas propias de la ampliación de la Época de Almanzor, del año 987.
IV. La Mezquita de Córdoba presenta adicionalmente dos singularidades que
la diferencian del resto de mezquitas árabes: por un lado su orientación,
pues representa la nostalgia que Abderramán I sentía por Damasco,
expresada por él mismo en su poesía. Pues lo cierto es que la Mezquita de
Córdoba se orienta a las mezquitas de Damasco y no a la Meca
(aproximadamente un ángulo de 45º de desviación respecto a la dirección
a la Meca). La otra singularidad es su ubicación descentralizada del
Mihrab. Ello se debe a la ampliación que hizo Almanzor, que tuvo que
hacerla por el lado oriental, ya que al Sur se topaba con el río
Guadalquivir y al Oeste estaba el palacio del Califa.
Características islámicas.
Tiene características propias del arte islámico como la fidelidad a la
tradición local: columnas y capiteles corintios, arcos de herradura, …
También tiene el influencias directas de la religión:
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- Aniconismo (rechazo a las imágenes) por eso existe la decoración
vegetal y geométrica en sus edificios.
- Abundancia de Mezquitas de grandes dimensiones orientadas a La
Meca,(excepción de la Mezquita de Córdoba que esta desorientada unos 45
grados).
Distintas galerías observables.
En la Mezquita de Córdoba, en la parte interior se pueden observar,
gracias a la organización que poseen los capiteles y columnas, varias galerías
desde un mismo punto.
Desde un mismo punto se pueden ver diferentes galerías.
Columnas de la mezquita.
La Mezquita posee dos tipos de figuras de columnas con distintas
medidas. Las medidas de cada columnas hacen que al mirarlas desde distintas
perspectivas no tengamos una idea real sobre ellas (mas altas, líneas
perpendiculares, …).
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Las medidas de las distintas figuras de columnas son:
I. Columna 1
145 cm a 0 m de altura
d=46.155cm
135’5 cm a 15 cm de altura
r=23.0775cm
d=42.972cm
r=21.486cm
133 cm a 1 m de altura
d=42.335cm
r=21.1675
130 cm a 2 m de altura
d=41.380cm
r=20.690cm
II. Columna 2
141 cm a 10cm de altura d=44.882cm
r=22.441cm
139 cm a 1m de alturad=44.245cm
r=22.1225cm
132 cm a 2m de altura
d=42.017cm
11
r=21.0085cm
2.3. Maquetación.
Los principales objetivos de la realización de la maqueta de La Mezquita de Córdoba
son:
•
La posibilidad de poder ver todos los detalles de la Mezquita a escala, detalles
ocultos y descubrir cuáles son las fórmulas logarítmicas, el número cordobés...
•
El estudio de La Mezquita con las formas geométricas permitidas por la
religión de los árabes, relacionando esta geometría con las matemáticas.
•
Saber apreciar y diferenciar los distintos tipos de arcos y columnas, que se
encuentran en La Mezquita.
•
Saber apreciar un monumento tan especial como La Mezquita.
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2.4. Investigación sobre las decoraciones en los monumentos árabes.
La Mezquita de Córdoba es uno de los mayores ejemplos de arte y cultura árabe,
introducida en la Península Ibérica en el 711. Se empezó a construir en 785, en el lugar que
ocupaba la basílica visigótica de San Vicente Mártir, el templo cristiano más importante de la
ciudad, construido a su vez sobre un templo romano dedicado a Jano.
El resultado fue una mezquita formada por 8 naves perpendiculares al muro de la
quibla que constan de doce tramos que se apoyan sobre 110 columnas de diferente
procedencia: romanas, paleocristianas, bizantinas..., que soportan arcos de herradura
policromados y pilares. Para resolver el problema de la altura y conseguir mayor luminosidad
se superponen dos tipos de arcos unos inferiores, de herradura, que actúan como tirantes y los
superiores de medio punto que soportan los muros y el techo, creando una original arquería de
arcos de sillería blanca y ladrillo rojo.
Consta de un Alminar (torre), el Sahn (patio de los naranjos), y el Haram (Sala de
oración en cuyo interior destaca la Catedral, el Mihrab y el muro de la quibla), tiene en su
parte central la nave principal, más ancha que las demás, desde donde se puede ver de frente
el Mihrab que se recubrió con mosaicos regalados por el emperador de Bizancio.
Las diversas ampliaciones que experimenta a lo largo de este período permiten
analizar la evolución del arte cordobés a través de estas etapas constructivas de la mezquita
aljama. En el año 833 Abd al-Rahman II hizo la primera ampliación derribando el muro de la
quibla hacia el sur. Posteriormente el califa Abd al-Rahman III amplio el patio hacia la zona
norte y construyo el alminar. En el 961 Al-Hakam II añadió 12 tramos, un mihrab con su
preciosista decoración de mármol labrado y la cúpula octogonal de arcos entrelazados de la
quibla. Y Almanzor, en el año 987, realizó la tercera ampliación hacia el este. De esta época
son las columnas de mármol azul con capiteles compuestos y las de mármol pardo rojizo con
capiteles corintios. La utilización de las columnas en la parte inferior, elemento de soporte
débil, pero que permite gran visibilidad. Con la superposición del pilar se lograba mayor
altura. Los fustes son de mármol y granito y varios presentan estrías verticales o en espiral,
estando el collarino labrado con el cuerpo del fuste. Los capiteles, de mármol blanco, de
orden corintio y compuesto.
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Tras la conquista cristiana, en 1523, se construye la catedral renacentista realizada por
Hernán Ruíz el Viejo. Las obras tardaron 234 años por lo que al inicial estilo gótico se le
añadieron renacentista y barroco. Su planta es de cruz latina, la decoración plateresca y la
cúpula renacentista. Cabe destacar en su interior el retablo mayor, la sillería del coro y el
tesoro de la catedral.
Dentro de la decoración encontramos una gran utilización de mosaicos y frisos que se
disponían a lo largo de paredes y suelos.
Hasta la fecha se han encontrado 17 grupos cristalográficos, es decir, maneras de
formar mosaicos a partir de rotaciones de una misma figura o baldosín (motivo mínimo), o
traslaciones y simetrías de la misma.
Aquí hay algunos ejemplos:
El avión
Estrellas
Estrellas
Estrellas
El hueso
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La aguja
Trapecios
Trapecios
Rombos
La pajarita
El pétalo
Dentro de la decoración arquitectónica del arte árabe, aparecen la utilización de arcos
de herradura, conopial, de medio punto,… formando cúpulas muy bonitas y bóvedas de
cañón o de crucería. También se utilizan artesonados (techos de madera decorados),
influencia del arte mudéjar.
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Aquí podemos ver algunos ejemplos que se encuentran en la Mezquita:
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Según el Corán, los musulmanes no podían representar al hombre ni a cualquier
animal; por lo que utilizaban solo motivos geométricos (en los mosaicos mencionados
anteriormente), plantas o lazos (lacería).
Los musulmanes eran unos apasionados de las matemáticas, por lo que buscaban
siempre en sus obras la proporción perfecta para que llamase la atención y que fuera
agradable a la vista. Entre las proporciones más utilizadas están la raíz de 2, la raíz de 3
(menos frecuente), la proporción áurea, y el cuadro cordobés (solo se da en la Mezquita de
Córdoba).
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2.5. Influencia en el estilismo actual.
Puerta de los patios de Córdoba.
El edificio de la Casa Mudéjar, casa señorial tardomedieval de influencias mudéjares,
agrupa cinco casas diferentes enlazadas por galerías, pasadizos y escalinatas, con cuatro
patios y un torreón. La edificación original data del siglo XIV, aunque la mayor parte de las
edificaciones actuales pertenecen a los siglos XV y XVI. Albergó hasta 1960 la sede
del Museo Arqueológico y recientemente ha sido reformada para sede de la Casa Árabe.
El edificio libera cuatro patios, uno de acceso o de carruajes, otro principal y otros dos
secundarios, a distinto nivel y de formas cuadrangulares. El patio principal alberga una fuente
central y vegetación, destacando el testero frontal en el que se aprecia una galería porticada de
arcos angrelados de influencia nazarí.
Arcos.
Arco, del latín arcus, derivado del indoeuropeo arkw, es el elemento constructivo de
directriz en forma curvada o poligonal, que salva el espacio abierto entre dos pilares o
muros depositando toda la carga que soporta el arco en los apoyos, mediante una
fuerza oblicua que se denomina empuje. Funcionalmente un arco se realiza en el lienzo de un
muro como coronación de una apertura o vano. Tradicionalmente un arco está compuesto por
piezas (hechas de piedra tallada, ladrillo o adobe) denominadas dovelas, y puede adoptar
formas curvas diversas que trabajan siempre a compresión. Este tipo de elemento constructivo
es muy útil cuando se desea salvar espacios relativamente grandes mediante el aparejo de
piezas de reducidas dimensiones.
A pesar de ser un elemento sencillo, y que aparece de forma natural en la construcción
de estructuras desde antiguo, su funcionamiento no fue comprendido científicamente hasta el
primer tercio del siglo XIX. Con anterioridad para su diseño se empleaban métodos
empíricos geométricos que determinaban el grosor de los estribos, o de la resistencia
necesaria de los firmes machones. Estos métodos constructivos carecían de fundamento
científico y se fundamentaban en la capacidad sobredimensionada de las estructuras de
soporte, generalmente los estribos, o el uso de tirantes. El nacimiento de nuevos estudios a
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mediados del siglo XIX resolvió en gran medida la teoría del arco, de su trabajo, y de las
causas de su desplome. El empleo de nuevos materiales constructivos, a comienzos del siglo
XX, como era el hierro, el acero y el hormigón armado permitió igualmente la construcción
de arcos continuos de gran tamaño, cayendo su construcción más en el área de la ingeniería
que en el de la arquitectura.
Arquitectura.
La arquitectura árabe fue también un gran aporte de los árabes a la Península ibérica.
La arquitectura no solamente entendida en el sentido estético, sino desde tres ángulos
distintos:
• La estética
• El urbanismo
• La técnica constructora
Respecto del primer punto, la estética, los árabes influyeron evidentemente más en la
arquitectura de las residencias de las ciudades del sur de España. Las amplias casas y los
techos altos entre otras son características muy propias de la casa árabe, la cual nosotros
vulgarmente denominamos arquitectura colonial por razones históricas. El techo de barro, la
multiplicidad de ventanas y puertas y la existencia de las casas con solares amplios son un
legado del carácter árabe. Al respecto merece citarse un anuncio de la televisión colombiana
el cual filmaba calles del barrio de La Candelaria y a su vez el objeto del anuncio era hacer
evidente la gran similitud entre la arquitectura colonial y la arquitectura en Andalucía. Es
evidente que la funcionalidad de esas casas responde a un clima adverso y además bastante
caliente por lo cual en Bogotá no son de mucha utilidad a pesar de que tuvieron acogida por
su amplitud.
Respecto del urbanismo, se le debe a los árabes la disposición urbanística de ciertas
ciudades árabes en España, la existencia de las ciudades amuralladas y de los alcázares, estos
últimos edificios destinados para los órganos de la administración pública muy característicos
de ciudades de Andalucía. Además cabe anotar que la disposición de calles y carreteras es
algo muy árabe puesto que los visigodos carecían del sentido nomenclador en sus urbes.
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Con relación a la técnica constructora, los árabes también fueron pioneros en la forma
de construir no solamente residencias con barro que fue más práctico, estético y avanzado
sino que además fueron maestros en las construcciones para la guerra como los fuertes. A
pesar de que los visigodos construían con piedra, no conocían la aplicación matemática que
los árabes le hacían de manera tal que su aplicación era mucho mejor y más perdurable.
Manifestaciones arquitectónicas de todos los estilos salen al encuentro del caminante
en Segovia. Una lección de historia de la arquitectura en cada esquina, emblemáticos
ejemplos
de
arquitectura
civil
(Acueducto
romano,
Caserío
románico,
palacios
renacentistas...), militar (Alcázar, Muralla), religiosa (Catedral Gótica, Románico porticado,
conventos y monasterios...) deslumbran en esta ciudad de Piedra y Luz.
Ya en la Edad de Hierro, sobre el 500 antes de Cristo encontramos restos de armas y
verracos procedentes de la cultura celtibérica a la que Roma pondrá fin fortificando la roca
entre los ríos Eresma y Clamores y obsequiándonos con su emblema, el Acueducto:
construido para abastecer de agua a la ciudad. El Acueducto, obra maestra de la ingeniería
hidráulica romana, está realizado mediante grandes sillares de granito, sin argamasa de unión.
El agua discurría por el canal existente en la parte superior y atravesaba la ciudad, soterrado,
hasta llegar al Alcázar.
En el 410 comienza la llegada de los bárbaros a España, a nuestra tierra llegaron los
visigodos, que vivieron como grupos independientes hasta la conversión de Recaredo al
Catolicismo, siendo el año 527 el que marca el inicio del Obispado segoviano.
En el 711 los musulmanes invaden la Península asediando la ciudad y destruyendo
varios arcos del Acueducto por las tropas de Almamum, rey de Toledo. Pocos testimonios han
quedado de su presencia antes de que la ciudad fuera reconquistada por Alfonso.
Arquitectura árabe en España.
Una cosa que realmente sorprende alos visitantes es lo que la época musulmana ha
dejado como herencia. La gran Mezquita de Córdoba es uno de los monumentos más
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admirados; el otro es, por supuesto, laAlhambra de Granada, un palacio sorprendentemente
bien conservado en su estado original. Cuando se habla de la España mora, árabe,
o musulmana, se habla de una particularidad de la historia del arte europeo que puede resultar
confusa. Pues mientras Europa continuaba en la época feudal, tras la caída del Imperio
Romano, a evolucionar en sus líneas visigóticas y posteriormente románicas y góticas, España
entra en este capítulo de la historia con una invasión africana que, desde el Sur, llega a casi
toda la península. Sólo en el norte se conservarían algunos reductos o reinos independientes
que continuarían edificando en un estilo europeo medieval y que sucesivamente irían tratando
durante siglos de reconquistar el territorio dirección al sur. Estos portarían consecuentemente
esta influencia europea medieval a territorios que por corto o largo espacio de tiempo habían
estado bajo la influencia musulmana en sus costumbres y en su arte.
Por otro lado cuando los árabes llegaron a la Península Ibérica, su estilo era netamente
africano, pero tras 800 años asentados en ella, lógicamente se fueron hispanizando
progresivamente, alejándose de las tendencias africanas que siglos atrás hubieran traído con
ellos. Crearon entonces un estilo sui generis, no exento de importantes novedades técnicas y
estilísticas que se diferenciaba, siglos más tarde, de lo que se construía en África. Este estilo
propio llega a su punto culminante en el estilo Califal, generado en Córdoba, y que tuvo como
máximo exponente a la Mezquita.
Estos 800 años de historia estarían caracterizados por una España muy mestiza, en la
que convivirían en paz tres poblaciones con religiones diversas, los judíos, los musulmanes y
los cristianos. Al igual que en territorio musulmán se respetaba la libertad de religión por la
que judíos y cristianos pudieron seguir viviendo en paz y de acuerdo a sus costumbres, en los
territorios reconquistados, hasta la época de los Reyes Católicos, también se permitiría a
musulmanes y judíos continuar viviendo conforme a sus tradiciones en territorio
reconquistado. Es precisamente esta característica la que crea esta curiosa fusión de estilos tan
característicamente hispana, donde vemos monumentos de estilo mozárabe,mudéjar, y todas
las combinaciones posibles, (gótico-mudéjar, románico con ornamentos mozárabes, etc.). Y
nos preguntamos ¿Qué significa todo esto?
La palabra mozárabe procede del árabe mustab' rab que significa que quiere parecer
árabe, y así se denominaba a los cristianos que permanecieron en territorio conquistado
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manteniéndose fieles a su religión. A su estilo arquitectónico se le denominó así por
extensión, y se caracterizaba por el uso de técnicas constructivas esencialmente visigóticas,
modificadas por la influencia califal. Por otro lado la palabra mudéjar proviene de la
árabe mudeyyen, que significa al que se le permite permanecer, se trataba de musulmanes que
vivían en territorio hispano-cristiano. De nuevo su estilo arquitectónico se denomina del
mismo modo, y se puede definir como el existente entre los s. XI al XV, en el que se mezclan
elementos cristianos (románicos o góticos) con estructuras, materiales y elementos
decorativos musulmanes.
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2.6. Psicología que hay tras la elección de los motivos decorativos.
¿Por qué nos gustan las proporciones?
¿Por qué nos agrada más un muro rectangular que uno cónico? ¿Por qué preferimos
usar folios de un tamaño concreto a los que tienen otras dimensiones? ¿Por qué aún hoy
utilizamos exactamente los mismos patrones que hace siglos?
La respuesta se encuentra en nuestro cerebro.
Concretamente, en nuestros principios más animales y
primitivos. La naturaleza, y en especial los seres vivos,
esconden una serie de patrones de tamaño y forma (ver
fragmentos de vídeo anexos al presente trabajo). La
evolución ha hecho que estos elementos geométricos
naturales se conviertan en “lo normal”: nuestro instinto
de supervivencia ha asumido que todo lo que no cumpla esta regla es extraño y, posiblemente,
peligroso, y por tanto debe ser evitado.
Esto es común a todos los animales de la Tierra. En el caso de los humanos, nos
encontramos en un punto tan avanzado de la
evolución que nuestro instinto de supervivencia se
ha refinado. Ya no vemos las “formas raras” como
malignas y peligrosas. Nuestra percepción del
peligro está muy perfeccionada, convirtiendo estos
patrones en “agradables o desagradables”.
En definitiva, los seres humanos nos hemos acostumbrado a utilizar estas formas y
tamaños imitando la naturaleza. E imitamos la naturaleza porque nos gusta. Todo lo que se
sale de lo normal es rápidamente rechazado por razones estéticas. Hay que puntualizar que,
aunque no nos agrade un elemento concreto, sus utilidades prácticas pueden convencernos
para utilizarlo.
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2.7. Cálculos.
En este capítulo se quiere apoyar con cálculos matemáticos todo lo
observado, intuido, sentido al visitar las construcciones islámicas. Empezaremos
con las columnas, que no son perfectamente cilíndricas sino que tienen forma de
tronco de cono muy sutil, difícil de notar a simple vista.
Esto podría tener como función dotar a la estructura de mayor estabilidad,
ya que la generatriz está inclinada hacia dentro y, sobre todo, al haber más masa
de columna en la parte inferior que en la superior el centro de gravedad está
bastante por debajo de la mitad de la mitad de la columna, por lo que es mucho
más firme.
Pero también notamos otra consecuencia de esta característica, y es que
las columnas parecen más altas. Al observar el primer espacio entre columnas
tenía la siguiente forma:
y
x
Ponemos las medidas x e y como incógnitas porque a simple vista
parecían distintas, en concreto las columnas parecían notablemente más alta que
el espacio que había entre ellas. Sin embargo, al tomar ambas medidas con cinta
métrica nos sorprendimos al comprobar que eran prácticamente iguales, 3 metros
en el caso concreto que pudimos medir.
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La primera hipótesis para explicar este fenómeno fue que el falso
paralelismo de las generatrices engaña al ojo humano, acostumbrado a ver en
perspectiva cónica, en la que las líneas que son paralelas en realidad se ven como
líneas congruentes en un punto, y se nota más cuando mayor es su longitud;
podemos imaginar un pasillo largo en el que los rodapiés parecen ir dirigidos
hacia el centro de la última puerta o una torre muy alta que parece coronar en
una pequeña punta cuando sabemos que la última planta tiene la misma anchura
que la primera.
Por eso, al ser las generatrices de la columna congruentes en la realidad el
cerebro entiende que ese cuerpo geométrico es más alto de lo que parece, tanto
como debería ser para producir dicho efecto siendo el cilindro que parece ser,
pero no es.
Para comprobar dicha hipótesis se tomaron las medidas de los contornos
de varias columnas a distintas alturas. Retomamos los de la columna I medida en
el capítulo 2.2 y descartamos la primera medida de 145 cm, que claramente
rompe la proporción, al deberse a un elemento decorativo en la base de la
columna que aumentaba su anchura. Nos quedamos por tanto con:
Altura
15 cm
100 cm
200 cm
Contorno
135’5 cm
133 cm
130 cm
Diámetro
42’972 cm
42’335 cm
41’38 cm
Radio
21’486 cm
21’168 cm
20’69 cm
La reducción de los contornos a medida que aumenta la altura muestra que
efectivamente estamos tratando con un tronco de cono, pero para demostrarlo de manera
más fiable deberíamos comprobar las proporciones entre dichas reducciones y el aumento
de la altura para asegurarnos de que su generatriz es recta (ya que podría tener una curva
tan sutil que no se puede observar a simple vista). Estudiémoslo con el siguiente corte de
la columna:
26
20’69 cm
100
cm
100
cm
21’168 cm
0’478 cm
Cortamos por la línea roja
para poder aplicar el teorema
de Thales (se deforma un poco
para hacer el dibujo visible).
85
cm
85
cm
21’486 cm
0’796 cm
Aplicando Thales vemos que
La igualdad no se cumple con exactitud, pero el error producido ha sido de un
10% entre medidas muy parecidas y tomadas con metros de tela que no dan una precisión
milimétrica, por lo que es asumible que efectivamente la pérdida de contorno sea
propocional a la ganancia de altura y por tanto estemos manejando un tronco de cono.
Ahora queda estudiar el efecto óptico planteado en la hipótesis, para ello, vamos a
suponer que estamos situados a dos metros de la columna y que los ojos del observador
están situados a un metro de altura sobre el suelo (altura posible para un estudiante de
primaria, y sobre todo por ser una de las alturas medidas). La percepción de la anchura
viene determinada por el ángulo que forman las tangentes (que siempre son
perpendiculares al radio) desde el observador a la columna, de la siguiente manera:
21’168 cm
Como hemos dicho antes la tangente x es perpendicular al radio,
así que su medida (y el valor de α) se pueden hallar en un simple
triángulo rectángulo.
2m
200 cm
x
21’168 cm
α/2
x
α
Se puede hallar el ángulo directamente:
27
( )
Ahora toca estudiar bajo qué ángulo se ve la anchura de la parte superior de la
columna a 3 metros de altura, cálculo que empieza igual, aunque con un contorno menor
que podemos deducir como 127 cm, ya que al haber perdido 3 cm de 1m a 2m de altura
con 3m se debe mantener la misma pérdida. Dicho contorno da un radio de
.
Repetimos entonces los primeros cálculos:
200 cm
20’213 cm
20’213 cm
α/2
x
2m
x
( )
α
Ahora sí hace falta x, que se puede hallar por el teorema de Pitágoras:
√
√
’ 7 cm
Hace falta porque sólo estamos mirando el conjunto en planta, en realidad la
distancia del observador al centro de la circunferencia superior también saldría de un
triángulo rectángulo:
’
√
x
cm
300 cm
200 cm
Así como la distancia del observador al punto donde la tangente toca a la
circunferencia superior de la columna sería:
x
7
300 m
198’976 cm
28
√
359’988 cm
Se forma por tanto un triángulo entre las dos medidas recién calculadas y el radio
de la circunferencia superior, que sigue siendo rectángulo al ser la última medida
tangente a dicha circunferencia y por tanto perpendicular al radio:
360’551 cm
20’213 cm
( )
α/2
359’988 cm
La pregunta clave ahora es: ¿qué altura tendría que tener la columna si fuera
cilíndrica para que el ángulo de observación hubiera sido éste? En este caso me vale el
primer corte que planteé como ejemplo:
200 cm
21’168 cm
21’168 cm
α/2
x
x
2m
En el que ahora sí necesito calcular x:
√
√
α
’877 cm
Como este cálculo también se ha realizado en planta,
aplicamos el mismo triángulo rectángulo que antes para comprobar la
verdadera medida de la tangente que va desde el observador a la
circunferencia superior de la columna, siendo la altura una incógnita:
77
x
√
h
198’877 cm
Así como la distancia del observador al centro de la columna también dependerá
de h:
x
√
h
200 cm
29
Planteando el último triángulo que calculamos para hallar el ángulo de
observación, el formado por la distancia observador - centro de la circunferencia
superior, la distancia observador – punto de tangencia con la circunferencia superior y el
radio de dicha circunferencia, podemos hallar h imponiendo que el ángulo de observación
7
(
para calcular más cómodamente) sea el mismo hallado para la
columna real:
√
√
cm
21’168 cm
√
√
√
cm
7
√
7 √
(
√
√
√
7 √
)
(√
)
7
7
√
Comprobamos entonces que debido a la pérdida de contorno de las columnas a
medida que la altura aumenta, nuestros ojos detectan su pérdida de anchura como si fuera
una columna cilíndrica de casi 4 metros de altura, y no un tronco de cono de 3 metros
como es en realidad.
En nuestra visita a la Mezquita observamos que este efecto óptica se acentuaba
cuanto más nos acercábamos a la columna. Comprobaremos eso en futuros cálculos.
30
.
3.
CONCLUSIONES.
.
Nuestro trabajo pretende acercarnos a una visión matemática del arte, la arquitectura y
la decoración presentes en tres monumentos árabes que han quedado como testigos de Al
Ándalus en nuestra tierra: la Mezquita de Córdoba, la Alhambra de Granada, y los Baños
Árabes de Jaén.
En esta primera etapa hemos realizado una visita a la Mezquita de Córdoba en la cual
hemos pretendido buscar estos elementos geométricos que nos permitan profundizar en la
importancia que tuvieron las matemáticas para los árabes al realizar estas construcciones, así
como la intención que tuvieron con el uso de las mismas.
Posteriormente trataremos de reproducir los patrones geométricos que hayamos
detectado en estas edificaciones y buscar cómo su influencia se ha extendido de forma que
haya impregnado a estilos decorativos más modernos.
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