Tema 3

3
APLICACIONES LINEALES
 p(0) p´(1) 
 , siendo
 p´(1) p(0) 
2(x) el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que dos,
3.1 Dada la aplicación lineal T : 2 (x) → 2x2 (v) / T(p) = 
y E2x2 (v) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos sobre v. Se
pide:
a) Matriz de la aplicación T.
b) Ecuaciones cartesianas y una base del Núcleo de T.
c) Ecuaciones cartesianas y una base del subespacio Imagen de T.
d) ¿Son suplementarios los subespacios Núcleo e Imagen de T?. Razona la
respuesta.
(Febrero 1996)
Resolución:
a) Se consideran las bases usuales de 2 (x) y 2x2 (v), y en ellas se calcula la
matriz de la aplicación.
Base de 2 (x) = B1 ={ 1, x, x2 }.
 1 0   0 1   0 0   0 0 
 .
, 
, 
, 
Base de 2x2 (v) = B2 = 
0
0
0
0
1
0
0
1









Las columnas de la matriz A de la aplicación son:
1 
 
1 0
 0
 ⇒ Coordenadas de T (1) en la base B1 de 2x2 (v) =   .
T (1) = 
0
0 1
 
1 
 
 0
 
0 1
1 
 ⇒ Coordenadas de T (x) en la base B1 de 2x2 (v) =   .
T (x) = 
1
1 0
 
 0
 
0
 
 0 2
 2
2
2
 ⇒ Coordenadas de T (x ) en la base B1 de 2x2 (v) =   .
T (x ) = 
2
 2 0
 
0
 
De donde la matriz de la aplicación resulta:
1

0
A= 
0

1

0
1
1
0
0

2
.
2

0 

 0 0 
 .
b) Ker T = p( x ) ∈ P2 ( x ) / T(p( x )) = 
 0 0 

1

0
0

1

0
1
1
0
0
  x1 
2  
x2  =
2  
 x
0   3 
 0
 
x1 = 0

 0
⇒
 Ecuaciones cartesianas del núcleo.
 0
x 2 + 2 x 3 = 0
 
 0
 


0
 0

 


Ker T =  − 2 x3  = x3  − 2  / x3 ∈ R  .

 x 
 1
3
 


En la base de 2 (x) = { 1, x, x2 }, una posible base del núcleo es:
Base del Ker T = { -2x + x2 }.
c) dim (Im T) = rango (A) = 2, ya que las columnas segunda y tercera de la
matriz A son proporcionales. Entonces, una posible base de Im T es por
ejemplo:
  1 0   0 1 
 , 
  .
Base de Im T =  
 0 1  1 0 
A continuación se obtienen las ecuaciones del subespacio Imagen. Para ello se
ha de verificar que:
1

0
Rango 
0

1

0
1
1
0
1

y1 
0

 0
y2 
=
2
⇒

y3 
1

0
y 4 

 1






0 y1

1 y 2 = 0 ⇒ y1 − y 4 = 0 

0 y4


0 y1
1 y 2 = 0 ⇒ y 2 − y3 = 0
1 y3
Ecuaciones cartesianas del subespacio Imagen de T.
d) El núcleo y la imagen de esta aplicación no son suplementarios, ya que son
subespacios vectoriales de distintos espacios vectoriales, así Ker T ⊂ 2 (x) e
Im T ⊂ 2x2 (v).
▄
3.2 Dada la aplicación lineal f : v 4 → v 3 que en las bases canónicas viene dada por
 x1 
 
x 
la expresión f  2  =
x
 3 
x4 
x1




x2

 , se pide:
− x + x + x 
2
3
 1
a) Hallar la matriz A de f en estas bases.
b) ¿Es f inyectiva? ¿Es f sobreyectiva? Razonar la respuesta.
c) Si las coordenadas de un vector x respecto de la base:

 2
1
0
0
 1 
 
 
 
 
  

 2
1
1
0
 1 
′
′
′
′
′ 
B =  e1 =   , e2 =   , e3 =   , e4 =    son   , hallar su
1
0
0
1
1

 
 
 
 
  

1
0
0
0
1 
transformado, es decir f (x).
d) Ecuaciones y base de los subespacios Núcleo e Imagen de f .
(Septiembre 1996)
Resolución:
a) De la expresión dada de la aplicación lineal se tiene que:
 x1 
 
x 
f(x) = f  2  =
x
 3
x 
 4
x1




x2

=
− x + x + x 
2
3
 1
 x1 
 1 0 0 0  

 x2 
 0 1 0 0  ·   = A·x
 −1 1 1 0  x3 

 x 
 4
de donde la matriz de la aplicación lineal resulta ser:
 1 0 0 0


A =  0 1 0 0
 −1 1 1 0


b) f inyectiva ⇔ Ker f =
{
x ∈ v4 / f (x) = 0 v3
 0
 
 0
Pero x =   ∈ Ker f ⇒ Ker f ≠
0
 
1 
 
{
0 v4
}
}= {
0 v4
}.
⇒ f no inyectiva.
f sobreyectiva ⇔ Im f ≡ v3 ⇔ dim (Im f ) = rango (A) = 3 ⇒ f sobreyectiva.
 2
 
 2
c) Como en la base B´ las coordenadas del vector x son   , se tiene que:
1
 
1
1 
 0   0  1  3 
 
       
1 
1   0  1  5 
′
′
′
′
x = 2e1 + 2e2 + e3 + e4 = 2   + 2   +   +   =   , en la base canónica
0
0
1
1
2
 
       
 0
 0   0  1 1 
 
       
4
de v .
3
  3
5  
De donde su transformado en la base canónica de v3 es f(x) = A·   =  5  .
2
   4 
1 
 
d) Ker f =
{
4
3
x ∈ v / f (x) = 0 v
 x1 
 1 0 0 0  

 x
} ⇒ A·x =  0 1 0 0  ·  2  =
 −1 1 1 0  x3 

 x 
 4
x1 = 0


x2 = 0
 ⇒ x1 = x2 = x3 = 0. Luego,
− x 1 + x 2 + x 3 = 0
BKer f
 0
 
 0 ⇒
 0
 
 0 
 
 0 
=   .
 0 
1 
 
Como Im f ≡ v3 , el subespacio imagen de la aplicación no tiene ecuaciones
cartesianas. Una base cualquiera de Im f sería una base cualquiera de v3, por
ejemplo la usual:
B Im f
1   0   0 
     
=  0 , 1 ,  0  .
 0   0  1 
     
▄
3.3 Sea f : v3 → E2x2 (v) una aplicación lineal de la que se sabe que:
1
 
f 0 =
0
 
 3 1

 ,
 2 0
0
 
f 1 =
0
 
 1 − 1
 ,

0
1


0
 
f 0 =
1
 
 4 0


 2 1
a) Hallar la expresión matricial de la aplicación en las bases canónicas de v3 y
E2x2 (v).
b) Hallar una base de Ker f y de Im f.
c) Naturaleza de la transformación.
 2 2
 .
d) Hallar, si es posible, dos vectores x, z ∈ v3 / f (x) = f (z) = 
 2 −1
1 0
e) Hallar, si es posible, un vector x ∈ v3 / f (x) = 
 .
0 1
(Febrero 1997)
Resolución:
a) Sean las bases canónicas de 2x2 (v) y de v3 las siguientes:
 1 0   0 1   0 0   0 0 
, 
, 
, 
 .
Base de 2x2 (v) 
0
0
0
0
1
0
0
1











Base de v = 


3
1
 
0 ,
0
 
0
 
1 ,
0
 
0
 
0
1
 


 = { e1, e2, e3 }.


La expresión matricial de esta aplicación lineal es de la forma:
 y1 
 
 x1 
 
 y2 
 y  = A·  x 2 
x 
 3
 3
y 
 4
siendo la matriz A de la aplicación la que tiene por columnas las coordenadas
de los vectores f (e1), f (e2) y f (e3) referidos a la base canónica de E2x2 (v),
es decir:
1
3

 1 −1
A= 
2 0

0
1

b) Ker f =
{
x ∈ v 3 / f (x) = 0 v4
4

0
.
2

1
} = {x / A·x = 0 }, luego:
1
3

 1 −1
2 0

0
1

4
  x1 
0  
·x2  =
2  
 x
1  3 
 0
 
 0
 0
 
 0
 
⇒
 x1 




Ker f =  x =  x 1  / x1 ∈ v
− x 

 1

3x 1 + x 2 + 4 x 3 = 0 

x1 − x 2 = 0

 ⇒ x1 = x2 = - x3
2x 1 + 2x 3 = 0


x2 + x3 = 0





⇒ BKer f
 1
 
=  1 .
 − 1
 
dim (Im f) = rango (A) = 2, ya que la tercera columna de A es la suma de las
dos primeras. Entonces, una posible base de Im f es por ejemplo:

B Im f = 

c) Ker f ≠
{
0 R3
}
 3 1   1 − 1 
 .

 , 
1 
 2 0  0
⇒ f no inyectiva.
Im f ≠ E2x2 (v) ⇒ f no sobreyectiva.
f no es endomorfismo, ya que los espacios inicial y final son distintos.
Por tanto, se trata de un homomorfismo.
d) Empleando la expresión matricial obtenida en el apartado a) se tiene:
1
 2
3
 

 2
 1 −1
A·x =   ⇒ 
2
2 0
 

 − 1
0
1
 

⇒
4
  x1 
0  
·x2  =
2  
 x
1  3 
x 2 = x1 − 2

 ⇒ x=
x 3 = −1 − x 2 = 1 − x 1 
 2
 
 2
 2
 
 − 1
 
⇒
3x 1 + x 2 + 4 x 3 = 2 

x1 − x 2 = 2

 ⇒
2x 1 + 2x 3 = 2


x 2 + x 3 = −1
 x1 


 x1 − 2  .
1− x 
1 

Dando valores a x1 se obtienen los vectores x y z pedidos. Así por ejemplo:
 0
 
Si x1= 0 se obtiene el vector x =  − 2  , y si x1=1 se obtiene z =
 1
 
1
1 
3
 

 0
 1 −1
e) A·x =   ⇒ 
0
2 0
 

1 
0
1
 

4
  x1 
0  
·x2  =
2  
 x
1  3 
1 
 
 0
 0
 
1 
 
⇒
 1
 
 − 1 .
 0
 
3x 1 + x 2 + 4 x 3 = 1

x1 − x 2 = 0

 ⇒
2x 1 + 2x 3 = 0


x2 + x3 = 1
1 
 
 0
⇒ Sistema Incompatible, es decir, no existe ningún x ∈ v 3 / A·x =   ⇒
0
 
1 
 
⇒
1 0

 no tiene antiimagen.
0 1
▄
3.4
a) Demostrar que f : E2x3 (v) → E3x2 (v) / f (A) = A t es aplicación lineal.
b) Obtener la matriz que caracteriza dicha aplicación en las bases usuales de
E2x3(v) y E3x2(v), escribiendo también dichas bases.
(Septiembre 1997)
Resolución:
a) Para ser f aplicación lineal ha de verificar:
i)
∀A, B ∈ E2x3 (v)
f (A+B) = f (A) + f (B)
ii) ∀A ∈ E2x3 (v) ∧ ∀λ ∈ v
f ( λ ·A) = λ · f (A)
Se comprueba:
∀A, B ∈ E2x3 (v)
∀A ∈ E2x3 (v) ∧ ∀λ ∈ v
f (A+B) = (A+B)t = At + Bt= f (A) + f (B)
f ( λ ·A) = ( λ ·A)t = λ ·At = λ · f (A)
Luego, f es aplicación lineal.
b) Sean las bases usuales de E2x3 (v) y de E3x2 (v) las siguientes:
Base de E2x3(v) =
 1 0 0   0 1 0   0 0 1   0 0 0   0 0 0   0 0 0 
, 
, 
, 
, 
, 
 =
= 
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1













={L1, L2, L3, L4, L5, L6 } ⇒ dim (E2x3(v)) = 6.
Base de E3x2 (v) =
 1 0   0 1   0 0   0 0   0 0   0 0 







=  0 0 ,  0 0 ,  1 0 ,  0 1 ,  0 0 ,  0 0  =
 0 0   0 0   0 0   0 0   1 0   0 1 







={F1, F2, F3, F4, F5, F6 } ⇒ dim (E3x2 (v)) = 6.
Luego, la matriz asociada a la aplicación, Af , es de dimensión 6x6.
Si
⇒
a
A =  11
 a 21
a 12
a 22
a 13 

a 23 
 a 11

⇒ f (A) = A =  a 12
a
 13
 a 11   1 0
  
 a 21   0 0
a  0 1
12
CB E ( f (A)) =   = 
3x 2
 a 22   0 0
  
 a 13   0 0
a  0 0
 23  
t
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
a 21 

a 22  ⇒
a 23 
0   a 11 
  
0   a 12 
0   a 13 
 ·   = Af ·CB (A)
E2 x 3
0   a 21 
 
0   a 22 
1   a 23 
De otra forma:
Teniendo en cuenta que la matriz de la aplicación tiene por columnas las
coordenadas de las imágenes de los vectores de la base del espacio inicial
referidos a la base del espacio final, entonces en este caso las columnas de Af
son:
f (L1) = F1
1 
 
 0
 0
⇒ CB E ( f (L1)) =   , primera columna de Af .
3x 2
 0
 0
 
 0
 
f (L2) = F3
 0
 
 0
1 
⇒ CB E ( f (L2)) =   , segunda columna de Af .
3x 2
 0
 0
 
 0
 
f (L3) = F5
 0
 
 0
 0
⇒ CB E ( f (L3)) =   , tercera columna de Af .
3x 2
 0
1 
 
 0
 
y de manera análoga se haría con f (L4) = F2, f (L5) = F4 y con f (L6) = F6.
Por otro lado, si se hubiera tomado como base del espacio final:
Base de E3x2 (v) ={F1, F3 , F5, F2, F4, F6 }, entonces en este caso la matriz de la
aplicación sería la matriz unidad de orden seis, es decir, Af ≡ I6.
▄
3.5 Sea
f : v3 → v3 /
x  x − z 
  

f  y  =  2x + 4 y  .
 z   − 2 y + mz 
  

a) Calcular la matriz de la aplicación.
b) Calcular las dimensiones del Núcleo e Imagen de la aplicación en función de
los posibles valores de m.
c) Naturaleza de la aplicación según los valores de m.
(Septiembre 1997)
Resolución:
0 − 1  x 
x  x − z   1
  
 
  
a) Como f  y  =  2 x + 4 y  =  2
4
0  ·  y  , la matriz de la aplicación
 z   − 2 y + mz   0 − 2 m   z 
  
 
  
resulta:
0 − 1
1


A = 2
4 0 .
0 − 2 m


b) Como Ker f =
{
x ∈ v 3 / f (x) = 0 v3
},
se tiene que:
x − z = 0
 x   x − z   0
  
  

f  y  =  2 x + 4 y  =  0  ⇒ 2 x + 4 y = 0 ⇒
 z   − 2 y + mz   0 
− 2 y + mz = 0
  
  



x = z

⇒ y = − x / 2

x=0
x + mx = 0 ⇒ x (1 + m) = 0 ⇔ 

m + 1 = 0
Casos posibles:
{
0 v3
}
m ≠ −1
⇒
x = y = z = 0 ⇒ Ker f =
m = -1
⇒
Ker f = { (x -x/2 x)t / x ∈ v 3 } = Span { (1 -1/2 1)t}
⇒
dim (Ker f) = 1.
⇒ dim (Ker f) = 0.
A continuación se calcula la dimensión del subespacio imagen de la aplicación
Im f = { y ∈ v 3 / y = f (x) ∧ x ∈ v 3 } .
Como por el Teorema Fundamental de las aplicaciones lineales:
dim v3 = dim (Ker f) + dim (Im f), se tiene que:
si m ≠ −1 ⇒ dim (Im f) = 3 – 0 = 3
si m = -1 ⇒ dim (Im f) = 3 – 1 = 2.
d) Por tratarse de una aplicación f : v 3 → v 3 de un espacio vectorial en sí mismo
es un endomorfismo.
Además, en el caso de m ≠ −1 :
Ker f =
{
0 v3
}
⇒ f es inyectivo.
Im f ≡ v3 ⇒ f es sobreyectivo.
Luego, f es endomorfismo biyectivo ⇒ f es automorfismo.
▄
3.6 Se considera la aplicación lineal f : v 3 → v 3 , que en la base usual de v 3 tiene
asociada la matriz:
1 3
2


A =  1 − 1 1 .
 1 2 2


a) Establecer el tipo de transformación de que se trata y hallar la dimensión,
ecuaciones y una base de los subespacios Ker f e Im f.
b) Hallar la dimensión, una base y las ecuaciones cartesianas del subespacio
transformado del que tiene por ecuación x 1 − x 2 − x 3 = 0 .
(Febrero 1998)
Resolución:
a) rango (A) = 2 = dim (Im f ) < dim v 3 ⇒ f no sobreyectiva.
Por el Teorema Fundamental de las aplicaciones lineales:
dim v 3 = dim (Ker f ) + dim (Im f ) ⇒ dim (Ker f ) = 3 – 2 = 1 ≠ 0 ⇒ f no
inyectiva.
Por ser f una aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo,
f : v 3 → v 3 , se trata de un endomorfismo.
Como Ker f = { x ∈ v 3 / f (x) = 0 } , para calcular sus ecuaciones y una
base del mismo basta con plantear la ecuación matricial:
2 x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 
1 3  x1   0 
2

    

f (x) = 0 = A· x ⇒  1 − 1 1 ·  x 2  =  0  ⇒ x 1 − x 2 + x 3 = 0
 1 2 2  x   0
x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 0

  3  
De aquí se obtienen las dos ecuaciones cartesianas linealmente independientes
del subespacio Núcleo:
x1 – x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 + 2x3 = 0
Restando(2ª ec. – 1ªec.) resulta: 3 x 2 + x 3 = 0 ⇒ x 3 = -3 x 2 , x 1 = 4 x 2 .
Luego,
Ker f =
{
x ∈ v 3 / x = (x 1
x2
x 3 ) t = (4 x 2
x2
− 3x 2 ) t = x 2 (4 1 -3)t
}
Base del Ker f = {(4 1 -3)t}.
Como la dimensión del subespacio Imagen es dos, para obtener una base del
mismo basta con elegir dos columnas linealmente independientes de la matriz
A de la aplicación, por ejemplo las dos primeras:
Base de Im f = {(2 1 1)t, (1 -1 2)t }.
Para conocer el número de ecuaciones cartesianas de Im f , se plantea:
nº ecuaciones cartesianas = dim v 3 - dim (Im f) = 3 – 2 = 1.
Para calcular la ecuación se forma una matriz que tenga por columnas las
coordenadas de los vectores de la base de Im f y las coordenadas de un vector
genérico y = (y1 y2 y3 )t ∈ Im f, y se impone la condición de que dicha
matriz tenga rango dos, es decir:
2
1 y1
1 −1 y2 = 0 ⇒
1 2 y3
y1 – y2 + y3 = 0.
b) Primeramente se calcula una base del subespacio dado, que tiene por ecuación:
x 1 − x 2 − x 3 = 0 . Así, una base sería {(1 1 0)t, (1 0 1)t }.
A continuación se calculan los transformados de cada uno de los vectores de
esa base:
1 3  1 
1  2
  
  
f  1  =  1 − 1 1 ·  1  =
 0  1 2 2  0
  
  
 3
 
 0 ,
 3
 
1 3  1 
1  2
  
  
f  1  =  1 − 1 1 ·  0  =
 0  1 2 2 1
  
  
5
 
 2 .
 3
 
Una base del subespacio transformado del que tiene por ecuación
x 1 − x 2 − x 3 = 0 sería la formada por los vectores {(3 0 3)t, (5 2 3)t }. Por
tanto la dimensión del subespacio transformado sería igual a dos.
El número de ecuaciones cartesianas de dicho subespacio sería:
dim v 3 - dimensión del subespacio transformado = 3 – 2 = 1.
Para calcular esta ecuación se trabaja de la misma manera que en el apartado
anterior, resultando:
3 5 z1
0 2 z2 = 0 ⇒
3 3 z3
z1 – z 2 - z3 = 0.
▄
3.7
a) Sea V un espacio vectorial de dimensión n impar, y f un endormorfismo
definido en V. Demostrar que Ker f e Im f son dos subespacios vectoriales
distintos.
x 
b) Dada la aplicación f : v2 → v2 / f  1  =
x2 
aplicación lineal.
 x1

 0

 , estudiar si se trata de una

(Septiembre 1998)
Resolución:
a) Por el Teorema Fundamental de las aplicaciones lineales:
dim (V) = dim (Ker f) + dim (Im f).
Como dim (V) = n, siendo n impar significa que dim (Ker f) y dim (Im f) no
pueden ser los dos pares al mismo tiempo (par + par = par) ó impares (impar +
impar = par). Por lo tanto, sus dimensiones son diferentes, y subespacios
vectoriales de diferente dimensión son diferentes.
b) Para ver si la aplicación dada es lineal se comprueba si verifica las dos
condiciones siguientes:
i)
∀ x, y ∈ v2
f (x + y) = f (x) + f (y)
ii) ∀ x ∈ v2 ∧ ∀ α ∈ v
f ( α ·x ) = α · f (x)
Para comprobar la primera:
x 
Sean x =  1  e y =
x2 
 y1 
  ⇒ x + y =
 y2 
 x + y1 
 =
f (x + y) = f  1
 x 2 + y2 
x
Por otro lado, f (x) =  1
 0

 ∧ f (y) =

 x 1 + y1 

 , luego:
 x 2 + y2 
 x 1 + y1

 0
 y1

 0

 .


 , de donde:

 x + y1 
 .
f (x) + f (y) =  1
0


Por la desigualdad del valor absoluto:
x 1 + y1 ≤ x 1 + y1
⇒
f (x + y) ≤ f (x) + f (y)
luego, no se cumple la condición i), y por tanto no es aplicación lineal.
Al no ser aplicación lineal no sería necesario comprobar si se verifica la
segunda condición, aunque si se quisiera hacer se procedería de la siguiente
 x1 
manera. Para comprobar si se verifica la segunda condición ∀ x ∈ v2/ x =  
x2 
y ∀ α ∈ v , se calcula:
 α·x 1 
 =
f( α ·x )=f 
 α·x 2 
 α·x 1

 0

 ≠ α · f(x) =

 α· x 1

 0

 , ya que α·x 1 = α · x 1 ≠ α· x 1

luego, tampoco se cumple la segunda condición.
▄
3.8 Sean { e1, e2, e3, e4 } y { e1′, e2′, e3′ } las bases canónicas de v 4 y v 3
respectivamente. Se considera la aplicación f : v 4 → v 3 que verifica:
-
Ker f = Span { e1 + e2, e3 }
-
f (e2) = e1′ + e3 ′
-
f (e1 + e2 + e3 + e4) = - e1′ + e2′ - e3′
a) Hallar la matriz A de f en las bases canónicas.
b) Obtener una base del subespacio vectorial F de v 4 de ecuaciones paramétricas:
x = λ − 2µ
 y = −2λ

F≡
z = −6µ
t = λ − µ
 x

  

3
c) Sea un subespacio vectorial G =   y  ∈ v / y = 0  ¿Son G y f (F)
 z

  

subespacios suplementarios?. Razona la respuesta.
(Septiembre 1998)
Resolución:
a) La matriz A de esta aplicación lineal en las bases canónicas dadas, es una
matriz de dimensión 3x4 que tiene por columnas las imágenes de los vectores
de la base del espacio inicial f (e1), f (e2), f (e3) y f (e4), referidas a la base del
espacio final. Por tanto, para hallar la matriz A hay que calcular dichas
imágenes.
Puesto que el Núcleo de la aplicación es el subespacio:
Ker f =
{
x ∈ v 4 / f (x) = 0 v3
 0
 
f (e1 + e2) =  0 
 0
 
} , se tiene que:
0
 
⇒ f (e1) + 2· f (e2) =  0  .
0
 
 0
 
f (e3) =  0  .
 0
 
Por otro lado,
1  0 1
     
f (e2) = e1 + e3 =  0  +  0  =  0  . Llevando este valor a la
 0 1 1
     
′
′
primera ecuación resulta:
1  − 2
   
f (e1) = - 2 ·f (e2) = - 2·  0  =  0  .
1  − 2
   
Para calcular f (e4) se hace uso del dato: f (e1 + e2 + e3 + e4) = - e1′ + e2 ′- e3′.
De donde:
1  0  0
     
f (e1) + f (e2) + f (e3) + f (e4) = -  0  +  1  -  0  =
 0  0 1
     
 − 1
 
 1 ⇒
 − 1
 
 − 1  − 2   1   0 
  
    
f (e4) =  1 -  0  -  0  =  1  .
 − 1  − 2   1   0 
  
    
Ahora se disponen f (e1), f (e2), f (e3) y f (e4) en columnas y se tiene la matriz
A de la aplicación:
 − 2 1 0 0


A =  0 0 0 1 .
 − 2 1 0 0


b) A partir de las ecuaciones paramétricas de F se obtiene una base de F:
x = λ − 2µ
 y = −2λ

F≡
z = −6µ
t = λ − µ
⇒
 x   λ − 2µ 
 − 2
 1
 

 
  
 y   − 2λ 
 0
 − 2
= λ   + µ 
F =   = 

−6
0
 z   − 6µ 
 
 
 − 1
 1
 t   λ − µ 
 
 




Base de F = 


 1  − 2 
  
 − 2  0
 0 ,  − 6 
  
 1  − 1
  









 ⇒ dim F = 2.


c) Se comienza calculando una base de G y otra de f (F).
 x 
 
G =  y  ∈ v 3 / y = 0
 z 
 
 x 
 0 
1

 
 
 

 =  0  = x  0  + z  0  , de donde una base de

 z 
 1 
 0
 
 

 
  1   0 
    
G sería:   0 ,  0  ⇒ dim (G) = 2.
  0   1 
    
Para calcular una base de f (F) se hallan las imágenes de los vectores de la base
de F que se han calculado en el apartado anterior, es decir:
 1
 1
 
 − 2 1 0 0  

  − 2
 − 2
f   =  0 0 0 1 ·   =
0
 − 2 1 0 0  0
 

  1
 1
 
 
 − 4
 
 1 .
 − 4
 
 − 2
 − 2
   − 2 1 0 0  
  0
 0 
f   =  0 0 0 1 ·   =
−6
−6
   − 2 1 0 0   
 − 1
 − 1
 
 
 − 4 
 
Luego, una base de f (F) es:  1
 − 4 
 
 − 4
 
 1 .
 − 4
 
⇒ dim (f (F)) = 1 .
A continuación se halla el subespacio intersección, G ∩ f (F), así como el
subespacio suma, G + f (F):
 1 0
 − 4
 
    
G ∩ f (F) = { x / x ∈ G ∧ x ∈ f (F) } =  α 0  + β 0  = γ 1
 − 4
  0 1
 
    


=


 α   − 4γ 
  

 0  =  γ
 β   − 4γ 
  



 =



α = −4 γ


⇒ α = β = γ = 0 ⇒ G ∩ f (F) = { 0 }.
 ⇒ 0 = γ

β = −4 γ


Por ser G y f (F) subespacios disjuntos, la dimensión del subespacio suma es:
dim (G + f (F)) = dim (G) + dim (f (F)) = 2 + 1 = 3 = dim v 3
y como, (G + f (F)) ⊆ v 3 , se tiene en este caso que (G + f (F)) ≡ v 3 .
Luego, por verificarse que:
G ∩ f (F) = { 0 } ∧
suplementarios.
(G + f (F)) ≡ v 3 ⇒ G y f (F) son subespacios
▄
3.9 Sea la aplicación lineal
f : 2x2 (v) → v
B → f (B) = Traza (B)
a) Hallar la matriz A de la aplicación en las bases usuales de los espacios
vectoriales considerados.
b) Hallar la dimensión, base y ecuaciones del Ker f así como de Im f.
c) Naturaleza de la transformación.
1 2
d) Calcular la imagen de la matriz C = 
 .
4 1
(Febrero 1999)
Resolución:
a) Sean las bases usuales de 2x2 (v) y de v las siguientes:
 1 0   0 1   0 0   0 0 
, 
, 
, 
 .
Base de 2x2 (v) = 
 0 0   0 0   1 0   0 1 
Base de v = {1}.
La matriz A de esta aplicación tiene dimensión 1x4, y sus columnas son las
imágenes de los vectores de la base del espacio inicial referidas a la base del
espacio final, es decir:
1 0
 = 1 + 0 = 1
f 
0 0
0 1
 = 0 + 0 = 0
f 
0 0
0 0
 = 0 + 0 = 0
f 
1 0
0 0
 = 0 + 1 = 1
f 
0 1
Así, la matriz de la aplicación es: A = (1 0 0 1).
b) La dimensión del subespacio imagen es el rango de la matriz de la aplicación,
luego, dim (Im f) = rango (A) = 1.
Una base del subespacio Imagen es {1}.
En este caso Im f no tiene ecuaciones, ya que:
nº.ecuaciones = dim v - dim (Im f) = 1 – 1 = 0 (no tiene restricciones por
coincidir con el espacio final).
Aplicando el Teorema fundamental de las aplicaciones lineales, se obtiene la
dimensión del subespacio Núcleo de la aplicación:
dim 2x2 (v) = dim (Ker f) + dim (Im f)
luego, dim (Ker f) = dim ( 2x2 (v)) - dim (Im f) = 4 – 1 = 3.
De la definición de Ker f se obtiene una base así como sus ecuaciones:
Ker f = { B ∈ 2x2 (v) / f (B) = 0 }=

b
= B =  11
 b 21

b12 

 / traza (B) = b11 + b 22 = 0 =
b 22 


b
= B =  11
 b 21

b12 
 1 0
0 1
 0 0 
 = b11 
 + b12 
 + b 21 
 .
− b11 
 0 − 1
0 0
 1 0 
Ecuación del Ker f :
Base del Ker f =
b11 + b 22 = 0 .
 1 0   0 1   0 0 
,
, 
 .

0
−
1
0
0
1
0







c) Ker f ≠ {0} ⇒ f no es inyectiva
Im f = v ⇒ f es sobreyectiva.
d) Para calcular f (C) se puede hacer de dos formas.
1 2
Sea C = 
 ⇒ f (C) = traza (C) = 1+1 = 2.
4 1
O bien empleando la expresión matricial de la aplicación:
1
 
 2
f (C) = (1 0 0 1)·   = 2 , siendo
4
 
1
 
del apartado a).
1
 
 2
 4  las coordenadas de C en la base usual
 
1
 
▄
3.10 Comprobar si las siguientes aplicaciones son lineales:
 x1 + 1 

 x1  
a) f : v → v / f   =  x 2 
x2  x + x 
2
 1
2
3
 x1 + x 2 

 x1  
b) f : v → v / f   =  x 2 
x2  x − x 
2
 1
2
3
( Septiembre 1999)
Resolución:
Para ser f aplicación lineal se ha de verificar:
∀ x, y ∈ v2 ∧ ∀ α , β ∈ v
f ( α ·x + β ·y) = α · f (x) + β · f (y)
Veamos si se cumple.
x 
a) Sean x =  1  e y =
 x2 
 y1 
  .
 y2 
 α·x 1 + β·y1 
 =
f ( α ·x + β ·y) = f 
 α·x 2 + β·y 2 
α·x 1 + β·y1 + 1




α·x 2 + β·y 2


 α·x + β·y + α·x + β·y 
1
1
2
2

 x1 + 1 
 y1 + 1 




α · f (x) + β · f (y) = α  x 2  + β  y 2  =
x + x 
y + y 
2
2
 1
 1
 α·x 1 + β·y1 + α + β 


α·x 2 + β·y 2


 α·x + β·y + α·x + β·y 
1
1
2
2

Se observa que
f ( α ·x + β ·y) ≠ α · f (x) + β · f (y) ⇒ f no es aplicación lineal.
x 
b) Sean x =  1  e y =
x2 
 y1 
  .
 y2 
 α·x 1 + β·y1 
 =
f ( α ·x + β ·y) = f 
 α·x 2 + β·y 2 
α · x1 + β · y1 + α · x 2 + β · y 2 


α ·x 2 + β · y 2


 α ·x + β · y − α ·x − β · y 
1
2
2 
 1
 x1 + x 2 


α ·f (x) + β ·f (y) = α ·  x 2  + β
x − x 
2
 1
 y1 + y 2 


·  y2  =
y − y 
2
 1
 α·x 1 + β·y1 + α·x 2 + β·y 2 


α·x 2 + β·y 2

.
 α·x + β·y − α·x − β·y 
1
1
2
2 

En este caso se observa que:
f ( α ·x + β ·y) = α · f (x) + β · f (y) ⇒ f es aplicación lineal.
▄
3.11 Sea f : 1 → 2 / f [p(t)] = t· p(t) + p(0)
Sabiendo que f es una aplicación lineal:
a) Hallar la matriz A asociada a dicha aplicación en las bases usuales (B1 y B2) de
1 y 2 (siendo 1 y 2 los espacios vectoriales de los polinomios de
orden ≤ 1 y ≤ 2 respectivamente).
b) Hallar la dimensión, base y ecuaciones de los subespacios núcleo e imagen de
la aplicación.
c) Naturaleza de la transformación.
d) Hallar, utilizando la matriz A, la imagen del polinomio cuyas coordenadas
 3
referidas a la base B 1' = { 1-t , 1+t } son pB 1' =   .
 −1
(Septiembre 1999)
Resolución:
a) Sean B1= { 1, t } la base usual de 1 y B2 = { 1, t, t2 } la base usual de 2.
Se calculan las columnas de la matriz A de la aplicación:
f (1) = t ·1 + 1 = t + 1
f (t) = t · t + 0 = t
2
1 
 
⇒ CB 2 [ f (1)] = 1  .
 0
 
⇒
 0
 
CB 2 [ f (t)] =  0  .
1 
 
1 0


A = 1 0 .
0 1


De donde
b) Ker f = { p(t)∈ 1 / f [p(t)] = 0 }
Sea p(t) = a0 + a1t
⇒
f [p(t)] = t (a0 + a1t ) + a0 = 0 ⇔ a0 = a1 = 0
Luego, Ker f = { 0 }.
Por tanto, dim (Ker f ) = 0 y Ker f no tiene base.
Ecuaciones de Ker f : a0 = 0 ∧ a1 = 0.
Im f = Span { f (1), f (t) } = Span { t + 1, t 2 }
B Im f = { t + 1, t 2 }
⇒ dim (Im f ) = 2
Para hallar las ecuaciones de Im f se considera:
⇔
q(t) ∈ Im f
b 0 = b1 = α 
⇒
b2 = β

q(t) = α ·(t + 1) + β ·t
Ecuación de Im f :
b0 - b1 = 0.
c) Ker f =
{
0 P1
}
2
= b0 + b1·t + b2·t2
⇔
⇒ f es inyectiva.
Im f ≠ 2 ⇒ f no sobreyectiva.
Por tanto, se trata de un monomorfismo.
 3
d) Las coordenadas de pB 1' referidas a la base B 1' son   . Para hallar las
 −1
coordenadas de este polinomio en la base B1 se hace:
 x 1   1 1  3 
  = 
·  =
 x 2   − 1 1  − 1
 1 1
 2
 la matriz de paso de B1 a B 1' .
  , siendo 
−
1
1
−
4


 
Para hallar la imagen de este polinomio se aplica la ecuación matricial de f en
las bases B1 y B2:
 y1 
 
 y2  =
y 
 3
1 0

  x1 
 1 0  ·   =
0 1  x 2 


1 0

  2
 1 0  ·   =
0 1  − 4


 2
 
 2 .
 − 4
 
▄
CUESTIONES TEÓRICAS
3.12 Condición necesaria y suficiente para que una aplicación lineal sea inyectiva
(enunciado y demostración)
(Febrero 96)
3.13
a) Sean E y F espacios vectoriales reales de dimensiones n y m respectivamente.
Deducir la relación existente entre las matrices asociadas a una aplicación
lineal f : E → F cuando cambian las bases de ambos espacios vectoriales.
b) Particularizar la expresión obtenida para el caso en que E = F.
(Septiembre 1998)
3.14
a) Enunciar el Teorema Fundamental de las aplicaciones lineales.
b) Definir Núcleo e Imagen de una aplicación lineal, y demostrar que son
subespacios vectoriales.
(Enero 2000)