Asignación de prioridades en un sistema M/M/1

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Núm. 91, 1981, p^igs. 93 a 107
Asignació n de prioridades en un s i stema M / M /1
por J. ARANDA GALLEGO
Dpto. de Estadistica.
F. de CS. Económicas
Alcalá de Henares
RESUMEN
En este articulo se estudia un criterio de asignación de priaridades a los
individuos que acuden a un sistema de servicio del tipo M/M/ l bajv la
hipótesis de que todas ellos Ilevan asociada un beneficio que suponemos
descrito por una variable aleatoria uniforme en el intervalo ((3, 1). Después
de estudiar un caso general se da la solución exacta del prablema para el
caso en que existan das y tres clases de prioridad en el sistema, que
dependen únicamente de la intensidad de tráfico del ^istema.
Palabras c^lave: Cola; prioridad; asignación.
INTRODUCCION
El estudio de los modelas de colas, principalmente en los casos de una sola estación
de servicio con uno o varios canales, se encuentra en un alta grado de desarralla. Sin
embargo, no ocurre lo mismo con estos sistemas cuando se considera el beneficio 0
caste que praduce al sistema el atender a sus clientes. En este sentido, estudiaremas un
modelo de colas del tipo M/M/1 en el que supondremos que los clientes praducen un
beneficio al sistema y en función de él daremos un criterio que permita asignar mayor
prioridad a aquellos clientes que prc^duzcan mayor beneficio.
S^4
ESTADISTlCA ESPAÑC)LA
E-^ n cunsecuencia, supundremos que el beneficio pruducido por cada cliente es una
variable aleataria B cr^n rangca en el interval^^ (0, K) y función de distribucicín F(.), de
tal forma que la r-ésima Ilegada al sistema lleva asociado un beneficio dado pur la
variable aleatoria B^, r= 1, 2, ..., donde las B, son variables aleatorias independientes
e idénticamente disiribuidas con fución de distribución F(.). El proceso de llegadas lo
supondrernos Poisson de parámetru ^, y el tiempo de servicio será exponencial de
parámetro µ, igual para todos los cl ientes.
El prc^blema que tratamos de resolver es el de dividir el intervalo {0, K) en j
subintervalos C;, i= 0, ..., f-- 1, de forma que cuando se produzca la llegada r-ésima
al sistema, la clasificaremos como perteneciente al tipo de prioridad (j - i) si ocurre que
B. E C;. Es decir, buscaremos j- 1 puntus y,, tales que:
0 ^ y, < y,. <... < y^_^ ^ 1
[ 1]
a partir de los cuales definimos los subintervalos C; como
C; -^v; ^. y;1
i= 0, ..., j- 1
[2]
y el criterio de asignación será:
« El cliente r-ésimo es del t ipo j - i si Br E C^» , con lo que la mayor prioridad
curresponde al tipo 1 y la menor al tipo j. Supondremos además que el tipo de prioridad
es relativa, es decir, cualquier individuo en servicio lo completa antes de abandonarlo,
y los clientes de igual prioridad esperan en cola según la disciplina primero en llegar
primero en ser servido.
Cun objeto de obtener los conjuntos C,, maximizaremos lo que denominamos vaior
del sistema, es decir, el bene^ciu que se encuentra en el sistema en un momento dado,
que será igual a la surr^a de1 número de clientes en cala por el beneficio que produce
cada unu. Cumo trabajaremos en régimen estacionario, la medida del número de
clientes en cola vendrá dada por su valor medio LQ, notando por LQ al número medio
de individuus de prioridad t en cola. Por otra parte, necesitamos asociar a los individuus del mismu tipu un beneficiv, que será el valur medio del conjunto CS al que
pertenezcan. Tendremos asi que el funcional a maximizar será:
^ ^
-(^^_ ^ + y,^ . ^;^0 2
^
[31
cun la restricción dada en [ 1].
La expresión de L9 puede encontrarse en [2) y su forma depende de la distribución
de Ilegadas de cada tipo de cliente, por lo que el conocimiento de la función F(.) es
ASIGNACI^O^ N DE PRIOit1DADES EN UN SISTE14tA ^rt/M11
S^S
necesario para dar una expresión concreta de [3]. Así, supondremos en el desarrollo
posterior que la variable aleatoria B es u niforme en (o, 1>, siendo posible otras hipótesis
sobre tal variable aleatoria, pero siempre que su rango se encuentre acotado, por lo que
pueden utilizarse distribuciones truncadas para describir el comportamiento de tal variable aleatoria.
ESTUDIO DEL MODLLO
Pasamos ahora a estudiar este método de asignación en el caso general en que se
tengan n+ 1 clases de prioridad distintas, lo que da lugar a la partición del intervato de
beneficios en n+ 1 puntos que veri^quen:
o = y^ < y, < y2 < .. . < y^ { yn+^ = t
[4)
o bien, llamando
t^ = 1 - y^
para j = n + 1 - ^ ,
i = 0, . . . , n + 1
[S]
tendremos
o=t^,<t, <r2< ...<r„<r^+^= 1
[^]
Es decir, los valores t^ corresponden a las distancias a los puntos y^ medidas desde el
extremo superior del intervalo.
Diremos entonces que la r-ésima llegada pertenece a la clase de prioridad j, j=
= t, ..., n+ l, si ocurre que
1- 1^ ^ br ^ 1 t^-1
[7^
siendo b, el valor ubservadu de la variable aleatoria B,. La condición [7] se veri^icará
con probabilidad p^ dada pur
p
^
= P(1 -- t; < 6, <
1` t^- ^) = t^ - t,_ t
[g]
Para estudiar el problema hemos de asignar a cada individuu un beneficio que lo
represente, que como hemos indicado anteriormente, será el beneficio medío del intervalu de definición de la clase de prioridad. Así, un individuo de la clase j llegará al
sistema cun probabilidad p, y se le asociará un beneficio
J
^i^ _ (2 - t f - t^ _ t)l2
[9]
Teniendo en cuenta que el beneficio que cada individuo produce al sistema es
independiente del producido por lus otros clientes, esto nos permite descomponer [ 1] el
,
ESTADf5TECA ESPAÑ(?1.,A
proceso de llegadas al sistema en n+ 1 procescas de Puisson independientes de
parámetro respect i vo
^. ^ - p j,^^
j - l,...,n+
siendo
r--^
^.., ^.^ = h
^
Estamos, por tanto, en un sistema marcoviano de prioridades relativas en el que los
clíentes de prioridad j llegan a un solo canal según un proceso de Poisson de parámetro
h;, j= 1, .. ., n + i, donde esperan dentro de su respecti va clase de prioridad mediante
la disciplina prímero en llegar, primero en ser servido, siendc^ la distribución del tiempo
de servicio exponencial de parámetro µ, igual para todos los clientes. En estas ^ondiciones, el número medio de individuos en cola es ; 2;
M#
Z, c^k/µ)
k^^
,
[ 11]
_ ^^- ^^ ^ 1 _ ^^^
donde
p f=^,^/µ
1^ j< n+ 1
p^
^k -
czo = 0
[ 12]
an+ ^ = p
[13)
^^ ^
siendo aN+ ^= p< 1 la condición para yue el sistema sea estacionario,
Teniendo en cuenta las expresiones dadas anteriormente, las ecuaciones [ 11] -[ l3J
quedarán:
p
= ^. /µ
P^ = p^'P = it^ " t^- i)'P
j - l, ..., n + 1
a^=t^•p
(t1 - t;^,)
Lq^ - p ^.
( i - ^^- ^p) t 1 - l^P)
con lo que el funcional a maximizar será:
^ (t^, ..., tn) -.
ASIGNACI^N QE PRIC)RtDADF.S EN UN SISTEMA Mi^+U^l
97
que es eyuivalente a la optimización (maximizacíón) de:
^ 2 - t ^ - t.i - ^ )(t.i - t.; - ^ )
G4t , , . . . , ^t ^ ^
(1 - t.;+^P)i1 - t^p)
sujeto a la cundición [6].
Si def;nimos la función g(x, y,1 como
( 2 -- x - y ) (}' -- x )
k' (X^ .Y)
(1 - xp)(1 -- yp)
que está definida y es cuntinua para x ^(1/p), y
expresarse cc^mo
^( tip), el f^^nciunal [ 14J puede
G (t) =^,x (tJ_,,
[15^
l
dunde las t^ curnplen que t^ ^(1/p), debidc) a la condición de estacionariedad del
sistema.
Tenemos así planteado un problema de uptimización con restriccianes, cuya solución, aplicand^ las condiciones de Kuhn y Tucker, se reduce a la del sisterna
c^ Gl c^r
^
- 0
j- l, ..., n
que pur la particular expresión de G queda:
l k (l^_i, 1 )/t !^ + c ^ (t^. tj+l)/c, !j - 0
,/ - l , ..., rl + I
que, después de realizar algunas transfurmaciones, se reduce a
2!^
- t^Q2 = IJ,1 ^- t^+I
t ^,
tj_
^+tp
j - l, ..,, n
[ló)
= 0
tn+t - 1
cuya sulución se puede obtener por sustitución, llegando así a obtener en la ecuación
n-- 1 a tn como función de t, al igual que en la ecuación n-ésima, con lo que entre
ambas ecuaciones queda u na sola ecuación potinómica en t, cun coeficientes función de
la intensidad de tráfico del sistema, p. En consecuencia, la única solución de la
ecuación resultante en t, q ue c umple las restricciones [b) dependerá del parárnetro p de
la cola, con lo que los parámetres de llegadas y servicio sólo muestran su influencia a
través de su cociente p.
5i8
ESTADISTiCA FSPAÑULA
La solución del sist^e.ma [ ib] se hace tanto más complicada a menudo que aumenta el
valor de n, por lo yue d cuntinuaci©n estudiamos con detalle su solucián en los casos
particulares en que sean dos y tres las clases de prioridad a determinar.
EL MGIDELO^ PARA N -1
Corresponde el caso de dos tipos de prioridades y en consecuencia hemos de
determinar un pur^to «y^ tal que 0< y< 1, que maximice el funcional [ 14^, que en este
caso se reduce a
Gtt) = g(U, t) + k'(t, 1)
siendo t= i-^^, con la re^tricción
0 < t < 1
En consecuencia, tendremos
G (t ) = t ^2 ^ t } +
{ 1 -- tp)
(1 - tl2
(1 + tp)(1 - P)
quedando la ecuación a resol ver
2t - t ^p - 1
[ 17]
cuyas posibles soluciones son
t
=
T -}-
T ^T
- 1 }
siendo t = 1/p > l.
Si tenemos en cuenta que el valor de t será siempre mayor que la unidad, la
expresián encerrada dentro de la raíz será siempre positiva, por lo que las soluciones
posibles de [ 17] son reales, pero por la misma razón la raíz correspondiente al signo
positivo es siempre mayor que la unidad, siendo, por tanto, la única raíz que cumple las
restricciones del problema la dada por
t -- t -
t (t -- 1)
que, efectivamente, cumple la restricción 0< t< 1, ya que la cc^ndicián necesaria y
suficiente para que el valor t así obtenido sea positivo es que z también lo sea, lo que
AS[GNAC ION DE PRiORiDAAES EN UN StSTElirlA lw[/M/ 1
siempre ocurre. Además, el valor de t dado por [ 1Hj es menor que la unidad para
cualquier valor de T y en consecuencia de p.
Dada la forma de la soc ulción, podemos expresaria en función del parámetro p com^
t (p ) _ ( l --- ^^' ( I - p )) /p
[ 19j
con lo que su derivada respecto de P es
- 2
P
t'(P) _
2P^^'(l - P)
y dado que ts siempre p< 1, el signo de t'(p) es siempre negativo, lo que da lugar a
las siguientes consecuencias:
a)
La solución es función creciente de la intensidad de tráfico del sistema.
b)
Es función creciente del núrnero medio de 1legadas par unidad de tiempo.
c•)
Es función c^ecreciente del número medio de individuos servidos por unidad de
tiempo.
Sin embargo, lo que necesitamos conocer para asignar la prioridad 1 ó 2 a cada
cliente que llega al sistema es el punto óptimo y= l- t, que divide el intervalo de
beneficios en dos subintervalos. Así, este valor será
Y = ^P - I +
(i - P ) ^ ^ P
[ 24l
cuya representación gráfica damos en la gráfica 1 junto con la correspondiente a los
valores de t.
y = y(P)
1 ,0 ^
_
^
t = t (P )
^
^
0, 5
^--T . . . . ♦ , , ^ ._ . ,
.7500
1
. 5000
. 2500
p ^ ^. ^^.--r--T-^ ^ ^--a +--+
0
. 25
.75
.5
Grcíf ica 1
100
ESTADlSTiCA ESPAÑOt,A
Las propiedades de y svn paralelas a las enconiradas para t, y ahura se tendrá que
la solución áptima del prr^t^ema es funcián decreciente de tos parámetros p y h y
creciente del parámetro µ. Además, los valures de y se encuentran acotados s^^periormente por el vaiur 1/2. En efectu, si en [20j hacemos tender p hacia el valor cero,
vemos que y se dproxima al valor 1/2, mientras yue si p tiende a uno, el valor de y se
apraxima al punto cera.
Los distintos valores qu^e puede tomar la solución para cada valor de la intensidad
de tráfco pueden crbtenerse de la expresión dada en [20], sin embargo, para mayor
facilidad operativa damos una tabla de valores de la solución en la tabla [.
TABLA I
P
.005
.O 1
.Ois
.02
.025
.03
.035
.04
.045
.OS
.OSS
.06
.065
.07
.075
.OR
.085
.09
.095
.1
.los
.il
.115
.12
.125
.13
.135
.14
.145
.15
.155
.16
.165
.17
.175
.18
.185
.19
.195
Y
^
Y
P
Y
.499373432b
.4987437107
.498iibS84267
.4974746o30S
.49b83531628
.4961926726b7
.49SS46720543
.494897427825
.4942447611389
.493S88b89b2
.492829177473
.49226b 191383
.49i39%9b78S
.490929b585S7
.4802S6E}4112
.489578808287
.488897923353
.488213349078
. 4875 25047ó
.48b83298051
.486I3710877i
.485437492782
.48473379227
.4840262b6375
.483314773544
.482590271668
.481879717681
.4811S6U68214
,480428278931
.479b9b30486
.4789b0100277
.478219b 18694
.477474812879
.476725634788
.475972035594
.475213965033
.474451374395
. 4736842105 26
.472912421774
.335
. 34
.345
.35
.355
.36
.365
.37
.375
.38
.385
.39
.395
.4
.405
.4 l
.415
.42
. 425
.43
.435
.44
.445
.45
.455
.46
.465
.47
.475
.40
.485
.49
.495
.S
.SOS
.S1
.51 S
.S2
.525
.4491800b4224
. 4482465896
.44738b384962
.44b3593Sbb57
.4454054()9042
.444444444444
,4434703b3082
:442501063024
.441 S 18440 I I 2
.440528387897
.439530797579
.438525557926
.437512555203
.436491b73102
.435462792659
. 434425792163
.433380547082
.43232b929967
. 4312b48103b5
.430194054714
.429114526251
.42802b084898
.42b928S871b4
.42582188b022
.424705830796
.423580267033
.422445036378
.42129997b443
,420144920651
.4 1 8979698 1 1
.417804133443
.41661804ób41
.415421252885
.4142135ó2374
.412994780i47
.411764705882
.4 10523 1 33707
. 409269851977
.408004643057
.b65
. ó7
.b75
.68
.ó85
.69
.695
.7
.705
.7l
.715
.72
.725
.73
.735
. 74
.745
,75
. 75 5
.7b
.765
.77
.775
.78
.785
.79
.795
.8
.805
. 81
.815
. 82
.825
.83
.835
.84
. 845
. 85
.855
.36b6b4278406
. 3648b(x}9b499
.363892907981
.361302095613
.359487019001
.357647089i0b
.3SS7813b8142
.3538893b^^64
. 351970247603
.350023212272
.348047430213
.346042030851
.34400b102186
.341938688042
.339838785141
. 337705339674
.335537244185
.333333333333
. 331092379909
.328813080207
.326494699809
.3241339b406ó
.321731160032
.319284071772
.31679088b975
.31425008797
.31165944265
.309016994375
,306320554703
. 303567770807
.300756151352
. 297883016624
.294943470627
.291940436822
.2888b4S75t28
.285714285714
.282485673019
. 27917451 I 319
.275776205021
,
t01
ASIGNACI4N DE PRIORiDAUES I✓ N l1N SISTFMA M,'NV1
(C c^rtclusttín)
y
^
p
y
p
y
.2
.472 I 35955
. 53
.40ó727283094
.86
.27228574264U
. 205
.2l
.2 l 5
. 22
. 225
.23
.235
.24
.245
.25
.25 5
.26
.265
.27
.275
.28
.285
.29
.471354756 I 27
.470568770152
.469777941084
.4689822119fi8
. 468181 S 24t313
.4b73751320fiú4
.4bb5bS039264
.4b5749119b17
.46492799384
.46410161513b
.463269902282
.4b2432795015
. 46 I 590226317
.46U74212789b
.459888430167
.4596290b2229
.458163951804
.457293025234
.535
. 54
. 54S
.5S
. S 55
. 56
. SóS
.57
.575
. S8
. 585
. S9
. 595
.b
.605
. 61
. 61 S
.62
. 405437541774
.4U41351820ó t
.40281995993
.40 I 491 ó24091
. 40U 14991 S68b
. 3987945679t34
. 39742530(i642
.39b04184ó368
.39464389ó557
.393231 t54898
.391803309976
.3903G0040242
. 38R90101356
.387425886723
.385934304957
.384425901377
. 38290029b423
.381357097253
.865
.K7
. t37S
. 88
. 88S
.89
. 895
.9
.905
. 91
.91 S
.92
.925
.93
.935
. 94
.945
.9S
.2^b8697643257
.265005893731
.2ó 12038749b3
.257284274448
. 2S 3238982097
.249058965209
.24473411 x229
.240253073352
.235602983589
.230769230769
.225735076321
.220481209212
. 2149851 fib219
.209220571082
.2031Sb123722
.i9ó754227955
. t 89969{}8?821
.182743997632
.295
.4564162U7414
. 625
.379795897114
.955
.175ú073b5818
.3
.305
.45553342178
.454644590252
. 63
. 635
.378216274651
.37ó61779319?
.96
. 965
.16fi6f^fi(if^ófió7
.157598828331
. 31
.315
.4537496332
.452b48469403
.64
. 645
. 375
.373362425412
. 97
.975
.147634103873
.136S276S9495
.32
.325
. 33
.4S 1941016012
.a5 1027 1 884^^6
.4SO l 0ó9005b7
. 65
. fi56
. ó0
.3717(^SS2015
. 3700259637U1
. 3b832b044b74
. 98
.yBS
. 99
.123999343099
.109111154456
.0^909090909
.995
.OÓ6040082532
EL MUDEL^ PARA N=2
Tenemus ahura tres tipus de priuridades, pur lu cual se hace necesariu encuntrar dos
puntos y^, y Z yue verifiquen
0 ^
^
< yy
de furma yue e^ criterio de asignacián de priuridades para un cliente que produZCa un
beneficio b será
Priuridad =
1
si
2
si
b > _y ,^
y, < h ^ y2
3
si
0^ b^ y,
Siguiendo la nutación dada anterir^rmente, tendremus:
t ^ - t--y2;
t2 = l -_y,
[21]
ESTADISTICA ESPAÑO^1.A
con lo que el funcional a maximizar será
^{t) _^tU,
^
t,)
+ g(t,, t 2) +^(t2, 1)
y el sistema a resolver es
.
2• t, - t; p = t2
2• t2 - t^ • p-- t, + 1- t, • p
[22.a]
[22.b]
Entre ambas ecuaciones podemas obtener una sula ecuacicín en la variable t,, que
es:
t; • p' -- 4 • t ; • p^ + 6 • t; • p - (3 + p) • t, +
I =0
[23]
Evidentemente, las soluciones de esta ecuación serán función de la intensidad de
tráfico del sistema, por lo que para obtener la raíz de [23] que buscamos, y que es la
única raíz de esta ecuación que pertenece a] intervalo (0,1), hemos estudiado la solución
para un conjunio de valores del parámetro p, que damos en la tabla Il, junto a los
valores corresp^ndientes de t2 según [22.a].
El cálculo de estas raíces lo hemos realizado empleando el método de Siljak y
utilizando un mini-ordenador HP-135. Asimismo, damos en la tabla indicada los puntos
óptimos y,, y 2 que buscamos, los cuales obtenemos a partir de los valores de t,, t 2
mediante la transformación dada en [2I j.
Si observamos el comportamienio de los valores de y,, y^ que pudemos ver en la
gráfica 2, tienen las siguientes propiedades:
.666^^00000
.3333 ^ ^^ ,, o^
Y2
°o0 0
.1
°o 0
0
o a
0
0
t
0 0
0
0
0
0
0
0
0
w
0
^
-f-T--T--
^
+
+--}-
+
--^--Ti
.001 .2500 .5000
+-
i
-+
. 7500
o
1
^
1
r-^-T-
0 ^- -T- ^--+---+--T--;---T----+
.0001
Grcif i cu 2
.2500
T-+- +-^
. 5000
0
^ ^
+--T--^-:-
.7500
lU3
ASEGNACION D£ PR[ORIDADES EN UN SIST'EMA lbl1MJ1
Cuando la intensidad de tráfico se apruxima al valor cero, los valores de y, e y 2
tienden, respectivamente, a los punios If3 y 2/3 por la izquierda, es decir, para una
intensidad de tráfico próxima a cero ( tráfico lento), la división óptima del intervalo de
beneficios está formada por tres subintervalos de igual amplitud.
Cuando la intensidad de tráfico se aproxima al vaior uno, los valores de y, e y1
tienen el valor cero, conservándose la relación y, < y3,
Además, ambas variables son función decreciente de la intensidad de tráfco y del
parámetro de Ilegadas al sistema, corno ocurría en el caso N= 1, siendo funciones
crecientes del parámetro de la distribución del tiempo de servicio.
Dada la dificultad que tiene el obtener los puntos de división óptima del intervala de
beneficios, podemos recurrir bien a tabular sus valores o bien a tratar de encontrar
alguna funciá^ n del parámetro q ue se ^j uste a los puntos ya calculados en la tabla I l. En
TA BLA 1 I
P„
T,
T2
.0001
. 3333
. óóóó
.3333
.óó66
.OOOS
.0010
.0050
.O1
.OS
.10
.15
. 20
. 25
. 30
. 35
. 40
. 45
. SO
.55
.60
.65
.70
.75
. 80
. 85
.90
.95
.9ó
.97
.98
.99
.995
.999
.9995
.9999
. 3334
. 3334
.3339
.3345
.3390
.3451
. 3515
. 3584
. 3658
.3737
. 3822
. 3914
. 4015
.4 I 2ó
.4249
.4387
.4543
.4722
.4934
. 5190
. S 515
.5954
.óó48
.6854
. ? 106
.7434
.792S
. 8332
.9009
.9211
.9537
.óóóó
.óóó8
.á673
.á678
.ó722
.ó782
. b844
. ó9 I 1
. 6981
.7055
. 7132
. 7215
.7304
. 7400
.7505
.7619
.7744
.7883
. 8042
.$225
. 8443
. 8717
.909?
. 9198
. 9313
.9452
.9632
. 9797
. 9910
. 9943
.9970
. 3333
.3332
.3327
.3321
.3277
.32 l7
. 31 S S
.3089
. 3018
.2945
. 2867
.2785
.2ó95
. 2599
.2495
.2381
.2255
.2116
.1957
. I 174
.15 S 6
.1282
.0902
.0801
.06Hó
.0547
.0367
.0204
.0090
.0058
. 0020
. óbóó
.6ó6ó
.óóó 1
.bó55
.óó10
.óS49
.6485
. 6416
.6342
.62ó3
. ó 178
.6086
. 5985
. 5874
.5751
. 5ó 13
.5457
.5278
.5066
. 4810
. 448b
. 404b
. 3352
. 3146
. 2894
.25óó
.2075
.16ó8
.0991
.0789
.0463
Y,
Y2
^STADISTI^CA ESPAÑULA
cc^nsecuencia, pr4octderemos a continuacic^n a ajustar a tales valores una función de p.
Para eilu consideraremos lc^s vaiores de p comprendidos entre p= 0,01)1 y p= 0,95, lo
yue da I^rgar a una muestra de 22 ubservaciones, omitiendo los demás puntos que
aparecen en la tabla ll, puesta que ya se encuentran suficientemente próximos entre sí
para que sea necesario un ^juste para lus puntos intermedios.
Asi, hemas utilizado ^,justes cie tipo lineal, logarítmico exponencial y potencial,
obteniéndose los siguientes res ultados para la variable y, :
Tipo de s^juste
Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expanencial . . . . . . . . . . .
Logarítmic^ . . . . . . . . . . .
Potencial . . . . . . . . . . . . . .
Ec:uación estimada
Y - 0,35 i - 0,219 • p
Y = 0,37b exp ( -0,997p}
Y = 0,214 - 0,027 log (P)
log Y -^ lug 0,204 - 0,114 logp
R2
F
g• 1
0,5134
O,H28
0,485
0,371
281,1
90,8
18,9
11,8
(1,20)
(1,20)
(1,20)
(1,20)
Analogamente, para la variable y 2 se tiene:
Tipo de ^juste
Feuación estimada
R2
F
g. I.
0,881
0,811
147,5
86,0
(1,20)
(1,20)
Lineal . . . . . . .
Exponencial .
Y = O,é95 - 0,276p
Y= 0,711 exp (-O,Sp}
Logaritmic© ..
Y= 0,525 - 0,033 Ic^g (p)
0,425
14,8
(1,20)
Fotencial ....
log Y= tog 0,517 - 0,059 log (p )
0, 364
1 í,S
(1,20)
Vemos así que el mejor ajuste corresponde en ambos casos al lineal, sin embargo,
no lo podemos cansiderar excesivamente bueno para el caso que nos ocupa. En
consecuencia, vamus a probar ajustes polinómicos hasta el grado ocho para ambas
variables, obteniendo los siguientes resultados:
Grado del polinomio
R2(Y,}
R2(YZ)
2
3
4
5
0,992
4,999
1,000
1,000
0,979
0,995
0, 999
1,000
siendo el valor del coeficiente de determinación igual a unu para mayor gradu del
polinomio de ajuste.
Teniendo en cuenta los valores que se han obtenido para el coeficiente de determinación en ambas variables, vemos que en ambus casos un polinomio de grado 5 se
^justa perfectamente a los valures muestrales utilizadus e incluso dado el valor de dicho
coeficiente en el caso de un polinomio de grado cuatro podemos considerar prácticamente como bueno un a^juste polinómico de dicho gradu.
ASIGNACKJN DE PRiORiDADES EN UN SISTEMA M/M!!
Para la variable Y,, los pulinomios de juste minimocuadráticos de grados ires y
cuatr^ son:
Y,= 0, 34 - 0,1 ?p + 0, 20p 2 -- 0, 30p ^
Y, - 0,33 -- 0,07p - 0,3.^p2 + O,óSp3 - 0,15p°
a cuyos caeficientes les correspontien ias desviaciones típicas y estadísticas t para
realizar el contraste t de Student siguientes:
Pb! (3)
Des. tip.
lndependiente .
0,34
O,OU (*)
Grado 1 . , . . . .
Grado 2 . . . . . .
Grado 3 . . . , . .
Grado 4 . . . . ..
-0,17
0,20
--0,30
Coeficiente
(^)
t
0,02
0,04
0,03
Pbl (4)
Des. tip,
t
220,78
0,33
0,00
446,76
-10,25
4,50
--9,43
--0,07
-0,35
-0,65
--0,51
0,0 ^
O,U7
0,11
U,^06
-4,80
--5,14
5,72
-- 8,44
Los va{onea 0,04 dt las des. tip. se deben a redond^o a dos dccimales
y teniendo en cuenta el valor que toma el estadística t en todos los casas se puede
afirmar que los coe^cientes ver^daderos son todos distintos de cero para los datos can
ios yue se han realizado las esiimaciones.
Además, en ambos casos se obtiene un valor del estadístico F para realizar el test
basado en la F de Snedecor, para contrastar la hipótesis de validez del modelo, muy
elevad^, lo que subraya la validez de ambos a4justes.
Las gráficas de estos aEjustes corresponden a las que damas en la ^ráfica 3.
. 3332
r-,,
^
^•.^ -...
.._t
`` ,.,.. P4
^^ .,^
' . .*P3
^^ ^
''^
.0902 ! T-- ^--^- ;--r--;-r--^ -^ + -t +--^- +-+-T
-^--,
.001
.95 .001
^Gráf ica 3
Para la variable Y2, los polinomios de ajuste de grado cuatro y cinco vienen dados
por:
Yz ^ 0,66 - 0,01 p- 0,790 2+ l,SÓp 3- l, lópa
Y2 = O,ó? - 0,19p + 0,75p2 - 3,O1p3 + 4,37p4 -- 2,34ps
ESTADI3TICA ESPAI^i©I..A
106
con la siguiente tabla de desviaciones típicas y valores del estadístico t.
Pol ( 4)
DT
t
Pal ( S)
DT
t
lndepend. ...,...
Grado 1 . . . . . . . . .
0,6ó
--0,01
0,00
0,04
346,7
-0,23
0,67
--0,19
0,00
0,03
fi43,51
-5,9fi
Grado 2 . . . . . . . . .
-0,79
0,18
-4,4ó
0,75
0,24
3,20
^rrado 3........
Grado 4 . . . . . . . . .
G^cado S . . . . . . . .
t,S6
- l, ló
4,29
0, IS
S,3S
-7,48
-3,UI
4,37
--2,34
0,6b
0,79
0,33
-4,54
5,56
--7,Oó
C oefic irnte
De los valores del estadístico t calculado para los estimadores de cada uno de los
eoefieientes se tiene que el único que da lugar a aceptar la hipótesis de que el
parámetro respectivo sea nulo es el coe^ciente de grado 1 del polinumio de grado 4,
siendo ios demás valores de los coeficientes signifícativamente distintos de cero. Asimismo, en ambos ^justes se obtiene un valor del estadístico F suficientemente grande
como para garantizar la validez de ambos modelos estimados. En la gráfica 4 damos la
forma que tienen ambos ^justes.
ssss ..... ^_
.ssss *--^-^.,._
^ ^y ^^ ^--^.
*.^-.a,,^.
•♦.
`r.. . ^.. ^. .,^
'^^i.
' ^^•
^
t
. 3352 .^-i--^
.001
^. ^
-.
}•. .tP4
.^.
:
^
--+^ .3352 ^--t
.95
.(}01
.95
Gr^c^a 4
En resumen, para obtener los puntos de división óptima del intervalu de benetici^s
podemos hacerlo a partir de las expresiones dadas anteriormente, las cuales sólo
dependen del parámetro intensidad de tráfico, lo que hace más uperativo el mc^delo al
no tener que recurrir a resolver el sistema [22] en cada caso necesario.
CDNCLUSIDN ES
Del estudio detallado de ios N= 1 y I'J = 2, se deduce una interesante conclusión.
En primer lugar, hemos de hacer notar que en ambos casos, los puntos óptimos son
ASIGNAC IUN DE P1ttUitIDADES EN UN SISTEMA MIM/l
1^%
tunciunes crecientes del parámetro de la distribución del tiempo de servicio y función
decreciente de la intensidad de tráficu y del númerc^ mediu de Ilegadas al sistema, lo
yue es un comportamiento lógico del sistema, puesto que si el trdfico a través de ^él se
hace lento, llegan pocus cl ientes en comparación a lus que se pueden atender, el
intervalo de beneficios tiende a dividirse en tres subintervalos de iguai amplitud,
mientras que a medida que el tráfico es más tluido la clase de mayor prioridad se hace
más amplia en detrimento de las otras, con objeto de abarcar el mayor número posible
de clientes y en consecuencia despreciar aquellos que producen escaso beneficio al
sistema.
Estos resultados parecen indicar que se mantienen para casos más generales que los
aquí descritos, dado lo racional del comportamiento del sistema, como efectivamente
ucurre para el caso en el que la intensidad de tráfico sea ceru en el sistema [ 16^, cuya
sul uc ión en este caso es :
t^ - jl{n + 1}
j= 1,
lo que da lugar a subintervalus de igual amplitud.
Las c^nclusiunes ubtenidas para lus particulares casus aquí estudiados, así como el
estudio del mudelu en el caso de distintas distribuciunes para la variable aleatoria B,
serán ubjeto de un próximu estudio.
R^FERENC'IAS
CINLAR, E.: «Superpc^sition point processes» . En Stoc•hastic^ pc^int Prucess^s: Statistica! Analysis
Th^ury and Applic•utiuns. Wiley, 1972.
GROSS, D., MAR^t(s, C. M.: Fundamentuls of' yueuceink 1hYOry. Wiley, 1974.
MoottE, J. B.: «A canvergence algorithm for solving polyn^mial equatiuns». Journal of the
Assuc•iutivn f^^r C'umputing Muc•^iin^ry, vol. 14, núrn. 2, pp. 311-315 (19ó7).
StMM©NS, D. M.: N^ntin^ur Prvgramming fur OpPrutinns Research.
Prentíce Hall, 1975.
SUMMARY
The present paper studies a criterium for the assignation of priorities to
persons who resurt to an M/M/ 1 system uf services, the hypothesis being
that all of them enjoy a prufit suppc^sedly described by a uniforrn a. v.
(aleatory variable) within the interval {O.I). After studyng a general case,
the exact sulution to the three types of priority which depend exclusively
un the system's traffic intensity.
Key Kfc^rds: (lueue; priurity; assignatiutt.
AMS, 15^70 subject classificatiun: 90-C-35, yU-B-20.