PRIMER GRÁFICO DE LA SERIE ORIGINAL: CONSTATACIÓN DE

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE
MODELIZACIÓN ARIMA A LA
SERIE DE COTIZACIONES
DIARIAS DE TERRA - LYCOS
NOVIEMBRE 1999 A JUNIO 2001
CURSO DE TÉCNICAS DE PREVISIÓN DE
VARIABLES FINANCIERAS
PROGRAMA CITIUS
Junio 2001
Prof. Rafael de Arce
Dpto. de Economía Aplicada
[email protected]
MODELIZACIÓN DE LA COTIZACIÓN DIARIA DE TERRALYCOS DESDE EL 18/11/99 HASTA EL 25/06/01
El objetivo de este documento es ilustrar el empleo de un modelo ARIMA para la
predicción de la evolución diaria de un activo financiero. En este caso se han tomado los
valores de la empresa TERRA-LYCOS.
A lo largo del documento se irán indicando los procedimientos seguidos en el programa
e-views para obtener la información que aparece y se comenta. Las instrucciones
utilizadas en la barra de E-views para la obtención de la salida correspondiente se
escriben en azul y en cursiva.
Los pasos que se exponen intentarán cubrir las siguientes etapas en la identificación de
un modelo ARIMA:
A. Determinación de la estacionariedad en media y en varianza de la serie a
modelizar: filtrado y análisis de orden de integación.
B. Identificación de la serie a partir del correlograma y por comparación con los
modelos teóricos elementales.
C. Estimación del modelo propuesto en la fase (B) y comprobación de la presencia
de un ruido blanco.
D. Predicción con el modelo propuesto
A.- PROCURANDO LA ESTACIONARIEDAD EN MEDIA Y EN VARIANZA
Estacionariedad en media
PRIMER GRÁFICO DE LA SERIE ORIGINAL: CONSTRATACIÓN DE DOS
TENDENCIAS (Plot ultimo)
160
140
120
100
80
60
40
20
0
50
100
150
200
250
ULT I MO
300
350
400
Para comenzar el análisis se propone hacer el gráfico de la serie original ya que,
intuitivamente, si dicho gráfico presenta algún tipo de tendencia, ésta será signo claro de
no estacionariedad en media; es decir, la media no será constante para todas las
observaciones del proceso aleatorio a modelizar.
En el ejemplo propuesto (la serie es la del valor de cierre diario de la acción de TERRALYCOS, al que hemos llamado “ultimo”), es clara la presencia de dos momentos de
tendencias opuestas. La primera se produce desde el inicio de la serie hasta la
observación 67 (para ver la serie se puede escribir el comando show ultimo y comprobar
así que, efectivamente, es el punto 67 donde se alcanza el máximo del primer período
ascendente). La segunda ocurre desde la observación 68 hasta el final del período.
Además, la primera tendencia podría quedar bien definida de forma lineal; mientras que
la segunda se asemejaría más a una tendencia parabólica. En cualquier caso, esto se
puede comprobar haciendo ambas (u otras) para cada período y observando el R
cuadrado obtenido y su ajuste gráfico.
Después de comprobar con un ajuste lineal, uno parabólico, uno exponencial, etc, se
determinó que el mejor ajuste posible era uno lineal hasta la observación 67 y otro
parabólico desde la observación 68 hasta el final.
Para distinguir ambas situaciones, se generó una variable ficticia
1,...DESDEOBS67
FICDESDE68  

 0.............RESTO 
para generar dicha variable se siguió la siguiente secuencia de valores en e-views:
SMPL 1 400
GENR FICDESDE68 = 0
SMPL 68 400
GENR FICDESDE68 = 1
SMPL 1 400
Para describir la tendencia lineal del primer período (hasta la observación 67), se generó
la siguiente variable:
1,2,3,4,...HASTAOBS67
FIC67  

 0.............RESTO 
la cadena de comandos empleados en E-views fue la siguiente:
SMPL 1 400
GENR FIC67 = 0
SMPL 1 1
GENR FIC67 = 1
SMPL 2 67
GENR FIC67 = 1+FIC67(-1)
SMPL 1 400
El resultado de estimar el modelo propuesto para la tendencia fue el siguiente
(LS ULTIMO C FIC67 FICDESDE68 @TREND @TREND()^2)
Dependent Variable: ULTIMO
Method: Least Squares
Sample: 1 400
Included observations: 400
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
FIC67
FICDESDE68
@TREND()
@TREND()^2
15.73859
2.414181
126.2561
-0.734680
0.001025
2.335531
0.064977
3.894582
0.029691
6.27E-05
6.738765
37.15426
32.41840
-24.74460
16.36686
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.916777
0.915934
9.451406
35284.98
-1463.525
0.129704
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
42.51412
32.59763
7.342625
7.392518
1087.817
0.000000
GRÁFICO DE AJUSTE TENDENCIA Y RESIDUO
(pulsando la solapa superior RESID)
150
100
40
50
20
0
0
-20
50
100
150
Residual
200
250
Act ual
300
350
400
F it t ed
Dando por suficiente esta estimación de la tendencia (todos los parámetros son
significativamente diferentes de cero a la luz del contraste t-estadístico y la R cuadrado
es bastante elevada. Además, el gráfico nos muestra un buen grado de acompañamiento
de la serie real – actual - y la tendencia propuesta – fitted -), obtenemos, empleando
como serie filtrada de tendencia el residuo de esta regresión, una serie con media
constante.
Se emplea como serie filtrada de tendencia (es decir, serie estacionaria en media) la
diferencia entre la serie original y esta tendencia estimada; es decir, el residuo de la
regresión anterior.
ULTIMOI  TENDENCIAI  FILTRADAI
FILTRADAI  ULTIMOI  TENDENCIAI
Para guardar la serie del residuo de forma que el propio e-vierws no la vaya cambiando
al hacer nuevas regresiones, escribimos:
MAKERESID FILTRADA
Siendo esta nueva serie “FILTRADA” la que utilizaremos para la modelización
ARIMA.
Estacionariedad en varianza
Para ello seguiremos las fases propuestas por Dolado y otros (1992) en la aplicación del
contraste Ampliado de Dickey-Fuller, que se podrían resumir en las siguientes:
1. Determinar una regresión con términos autorregresivos suficientes para eliminar
la posible autocorrelación en el residuo, así como con término independiente y
variable de tendencia. Por supuesto, incluyendo la variable endógena (sin
diferenciar) con un retardo.
2. Comprobar que, efectivamente, el residuo no está correlacionado (Durbin
Watson). Si es así, comprobar la significatividad de la tendencia (t-estadística
comparada con las tablas de McKinnon). Si no lo fuera, re-estimar el modelo
suprimiendo esta variable explicativa. Si lo es, comprobar la significatividad del
término constante y proceder del mismo modo.
3. Cuando, con o sin estos términos, hayamos cerrado este proceso, comparar el
valor de la t-estadística de la variable endógena con los valores tabulados de
Mckinnon. Si aceptamos la nulidad del parámetro (valor absoluto de la testadística inferior al de Mckinnon), diremos que la serie tiene por lo menos una
raíz unitaria, siendo necesaria diferenciarla una vez para eliminarla.
4. En cualquier caso, deberemos comprobar, para la serie ya diferenciada por tener
una raíz, si existe una segunda raíz, repitiendo el proceso ahora con la endógena
igual a dos diferencias de la original.
1.- Aplicación del contraste al modelo no restringido más amplio posible:
4
FILTRADA  FILTRADAt  FILTRADAt 1  c  at  bFILTRADAt 1   FILTRADAt i
i 1
En E-views:
SHOW FILTRADA
PULSAR EN “VIEW” Y EN LA OPCIÓN “Unit Root Test”
La ventana siguiente preguntará cuantos retardos poner en el autorregresivo (cuatro por
defecto) y sobre qué serie (en niveles, primeras diferencias o segundas diferencias).
DÉJESE EN PRIMERAS DIFERENCIAS. INCLÚYASE TENDENCIA (TREND) Y
CONSTANTE (INTERCEPT).
El resultado es el siguiente:
ADF Test Statistic
-2.803379
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
-3.9853
-3.4229
-3.1341
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(FILTRADA)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 6 400
Included observations: 395 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
FILTRADA(-1)
D(FILTRADA(-1))
D(FILTRADA(-2))
D(FILTRADA(-3))
D(FILTRADA(-4))
C
@TREND(1)
-0.051342
0.184603
-0.185851
-0.008835
-0.204581
-0.085285
0.000241
0.018314
0.049856
0.050574
0.050060
0.049381
0.326667
0.001408
-2.803379
3.702753
-3.674845
-0.176479
-4.142939
-0.261076
0.171174
0.0053
0.0002
0.0003
0.8600
0.0000
0.7942
0.8642
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regresión
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.130288
0.116839
3.190202
3948.827
-1015.183
1.940777
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-0.022221
3.394675
5.175608
5.246120
9.687455
0.000000
Sobre este resultado hay que comentar:
-
A partir del contraste estadístico de Durbin-Watson (1,94), se puede confirmar
que no hay autocorrelación o que el número de retardos elegido ha sido
suficiente para eliminar ésta. Si no fuera así, habría que aumentar el número de
retardos antes de seguir adelante, aunque cuatro son casi siempre suficientes.
-
El valor del ADF (2.803379) es inferior al de Mackinnon, por lo que podríamos
sospechar la existencia de una raíz unitaria. Aún así, este punto no se puede
confirmar hasta encontrarnos con un modelo en el que las explicativas sean
significativas (tendencia y constante), ya que, por el momento, los estadísticos
“t” están sesgados a la baja.
-
Por lo anterior, en siguiente lugar comprobaremos si ha de incluirse o no la
explicativa tendencia (@trend(1)). Observando la t-stastistic parece claro que
no1 y que la probabilidad de equivocarme cuando rechazo la hipótesis de nulidad
del parámetro de esta variable es del 86,42%. Por ello, se vuelve a estimar este
modelo, ahora sin incluir el término TREND o incluyendo sólo INTERCEPT.
Repitiendo el proceso en E-Views, al llegar a esta pantalla:
1
Lo correcto sería comprobar esta t-statistic con las tablas de McKinnon al efecto, pero la diferencia sería
muy pequeña, por lo que aquí miraremos directamente el valor comparado con la t de Student habitual.
-
La salida obtenida entonces es la siguiente
ADF Test Statistic
-2.804595
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
-3.4490
-2.8691
-2.5708
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(FILTRADA)
Method: Least Squares
Date: 06/27/01 Time: 17:29
Sample(adjusted): 6 400
Included observations: 395 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
FILTRADA(-1)
D(FILTRADA(-1))
D(FILTRADA(-2))
D(FILTRADA(-3))
D(FILTRADA(-4))
C
-0.051295
0.184623
-0.185811
-0.008828
-0.204490
-0.036588
0.018289
0.049793
0.050510
0.049998
0.049316
0.160349
-2.804595
3.707780
-3.678676
-0.176562
-4.146499
-0.228175
0.0053
0.0002
0.0003
0.8599
0.0000
0.8196
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.130222
0.119043
3.186219
3949.125
-1015.198
1.940792
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-0.022221
3.394675
5.170620
5.231059
11.64815
0.000000
Es preceptivo ahora comprobar la significatividad del término constante. Como ocurre
lo mismo que con la tendencia, deberemos estimar un modelo sin éste tampoco:
El resultado de estimación es el siguiente:
ADF Test Statistic
-2.807441
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
-2.5708
-1.9403
-1.6161
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(FILTRADA)
Method: Least Squares
Date: 06/27/01 Time: 17:31
Sample(adjusted): 6 400
Included observations: 395 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
FILTRADA(-1)
D(FILTRADA(-1))
D(FILTRADA(-2))
D(FILTRADA(-3))
D(FILTRADA(-4))
-0.051284
0.184719
-0.185718
-0.008760
-0.204343
0.018267
0.049731
0.050447
0.049936
0.049252
-2.807441
3.714355
-3.681424
-0.175422
-4.148929
0.0052
0.0002
0.0003
0.8608
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.130106
0.121184
3.182345
3949.654
-1015.224
1.940787
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-0.022221
3.394675
5.165691
5.216057
14.58262
0.000000
Donde ahora se puede contrastar si el parámetro de la variable original retardada es nulo
o no a partir de las tablas de McKinnon. En el caso de confirmarse este extremo,
hablaríamos de la existencia de una raíz o de que, por lo menos, la serie es integrada de
orden uno.
En nuestro ejemplo, el valor de la t-stastic (cociente entre el parámetro y la desviación
típica del mismo estimadas) es superior en valor absoluto a los valores tabulados por
McKinnon, por lo que rechazamos la nulidad del mismo. Es decir, decimos que la serie
es ya integrada de orden cero o, lo que es lo mismo, ESTACIONARIA EN
VARIANZA con una probabilidad del 99%.
ADF Test Statistic
-2.807441
1% Critical Value*
5% Critical Value
10% Critical Value
-2.5708
-1.9403
-1.6161
B. IDENTIFICACIÓN DEL PROCESO GENERADOR DE DATOS O DE LA
ESTRUCTURA ARIMA
Una vez confirmadas, u obtenidas mediante las necesarias transformaciones, la
estacionariedad en media y varianza de la serie, procedemos a identificar cuál es el
proceso ARIMA que mejor se ajusta a la forma de la función de autocorrelación de esta
serie a partir de las funciones de autocorrelación teóricas definibles para distintos
procesos:
AR(1)
AR(2)
MA(1)
MA(2)
ARMA(1,1)
yt
yt
yt
yt
yt
 0  1 yt 1   t
 0  1 yt 1  2 yt  2   t
 0  1 t 1   t
 0  1 t 1  1 t  2   t
 0  1 yt 1   2 t  2   t
Por citar los más corrientes
Escribimos la función de autocorrelación total y parcial de la serie FILTRADA en Eviews: IDENT FILTRADA (a la pregunta sobre el número de “lags” pondremos algo
que nos permita comparar tres ejercicios completos, tanto en la parte regular como en
la estacional).
Este correlograma coincide de forma muy aproximada con el de un proceso AR(1), por
lo que estimamos el modelo como:
FILTRADAt  0  1FILTRADAt 1   t
C. ESTIMACIÓN DEL MODELO PROPUESTO
En E-views LS FILTRADA C AR(1), obteniéndose la siguiente salida:
Dependent Variable: FILTRADA
Method: Least Squares
Date: 06/27/01 Time: 17:49
Sample(adjusted): 2 400
Included observations: 399 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 4 iterations
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
AR(1)
-0.623517
0.932811
2.490868
0.017760
-0.250321
52.52350
0.8025
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Inverted AR Roots
0.874197
0.873880
3.335433
4416.670
-1045.790
1.633207
.93
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-0.033326
9.392037
5.252082
5.272077
2758.718
0.000000
40
20
0
30
20
-20
10
0
-10
-20
50
100
150
Residual
200
250
Act ual
300
350
400
F it t ed
Donde, el coeficiente del autorregresivo es significativo y el ajuste es del 87,4%.
Si la identificación es plenamente correcta, el correlograma del residuo de esta regresión
debe presentar un ruido blando, comprobable gráficamente o con el estadístico de Box
Pierce o el de L-JUNG BOX2, siendo éste último el que aparece en la salida a la
izquierda:
2
A partir de una serie de simulaciones sobre la Q de Box-Pierce, se comprobó que este estadístico podría
estar infravalorando el nivel de significación a partir del cual se debe rechazar la existencia de un ruido
IDENT RESID
Sample: 1 400
Included observations: 399
Autocorrelation
.|*
*|.
*|.
*|.
.|*
.|.
.|.
.|.
*|.
.|.
.|*
.|.
.|.
.|*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Partial Correlation
.|*
*|.
.|.
*|.
.|*
*|.
.|.
.|.
.|.
.|.
.|*
.|.
.|.
.|*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
AC
PAC
Q-Stat
Prob
0.181
-0.122
-0.090
-0.185
0.092
0.034
0.017
0.030
-0.071
0.021
0.121
0.044
-0.024
0.098
0.181
-0.161
-0.038
-0.189
0.162
-0.085
0.056
-0.023
-0.018
0.025
0.123
-0.005
-0.019
0.165
13.231
19.266
22.575
36.405
39.861
40.320
40.437
40.806
42.869
43.051
49.078
49.862
50.094
54.087
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
La hipótesis nula del contraste Q-Stat (L Jung-Box) es “No autocorrelación”.
Observando el valor de la probabilidad (p-value) obtenida para este contraste (0.000),
debemos rechazar dicha hipótesis nula, luego NO ESTAMOS ANTE UN RUIDO
BLANCO AÚN. En cualquier caso, nos muestra una probabilidad igual a cero de que
haya alguna autocorrelación en el residuo; es decir, afirma que estamos ante un Ruido
Blanco.
Así las cosas, debemos “aumentar” el modelo especificado incluyendo otros términos
ARIMA visibles en el propio correlograma del RESID. Esto no es siempre una tarea
sencilla y, con frecuencia, se realiza por ensayo y error, introduciendo ordenadamente
distintas especificaciones y viendo si, con ellas, obtenemos un ruido blanco. En la
actualidad, diversos programas realizan este proceso de un modo automático porque,
ciertamente, resulta muy complejo poder observar alguna estructura ARIMA en los
residuos una vez ya se ha estimado algún tipo de modelo.
En nuestro caso, y después de varias “pruebas”, la especificación que da lugar a un
ruido blanco es la siguiente:
blanco. Por ello se propuso la corrección a la fórmula anterior que ahora por L Jung Box y que intenta
paliar este problema de infravaloración.
k
Q * (k )  N·( N  2)·  ( N  t ) 1· rt2   k2
t 1
Con este criterio, valores de la “Q” experimental calculada según esta expresión superiores al valor
tabulado de la chi-cuadrado nos llevarían a rechazar la existencia de un ruido blanco (los valores de la
función de autocorrelación serían, globalmente, diferentes de cero).
Dependent Variable: FILTRADA
Method: Least Squares
Sample (adjusted): 2 400
Included observations: 399 after adjustments
Convergence achieved after 12 iterations
MA Backcast: -2 1
C
AR(1)
MA(1)
MA(2)
MA(4)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
-0.766282
0.949856
0.222264
-0.155823
-0.194330
2.765659
0.018565
0.055380
0.053685
0.050132
-0.277070
51.16389
4.013432
-2.902527
-3.876388
0.7819
0.0000
0.0001
0.0039
0.0001
0.888522
0.887390
3.151725
3913.747
-1021.673
785.0805
0.000000
Inverted AR Roots
Inverted MA Roots
.95
.67
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
-.05-.60i
-.05+.60i
-0.033326
9.392037
5.146229
5.196216
5.166026
1.992729
-.80
A la vista de la “probability” en el Q-stat que se muestra más abajo, aceptaremos ahora
la hipótesis nula y afirmaremos que estamos ante un ruido blanco: p-value mayor que
0.05 por lo menos hasta el retardo 18 (recuérdese que es una serie diaria).
Date: 03/22/13 Time: 11:25
Sample: 1 400
Included observations: 399
Autocorrelation
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.|*
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Partial Correlation
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
AC
PAC
Q-Stat
Prob
0.002
-0.019
-0.053
-0.021
0.064
0.016
-0.003
0.054
-0.091
0.049
0.080
0.051
-0.069
0.131
-0.042
-0.053
0.002
-0.019
-0.053
-0.021
0.062
0.013
-0.003
0.061
-0.088
0.048
0.082
0.045
-0.075
0.158
-0.046
-0.073
0.0013
0.1531
1.2865
1.4623
3.1189
3.2276
3.2303
4.4311
7.8068
8.7794
11.435
12.492
14.485
21.585
22.333
23.485
0.971
0.926
0.732
0.833
0.682
0.780
0.863
0.816
0.554
0.553
0.408
0.407
0.341
0.088
0.099
0.101
.|.
.|.
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.|.
.|.
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17
18
0.029
0.033
0.051
0.030
23.838
24.309
0.124
0.145
E. UTILIZACIÓN DEL MODELO PARA PREDECIR
Ya se ha obtenido un modelo que se podría resumir como:
Para predecir esta serie FILTRADA, hay que poner un SMPL a futuro y presionar el
botón Forecast:
Obtendremos entonces una serie de predicción llamada FILTRADAF. Para obtener la
serie de las acciones de TERRA-LYCOS de predicción, deberemos incorporar a ésta el
valor de predicción de la tendencia, para lo cual no habrá más que dar valores a futuro a
las variables empleadas @trend() – ya los da por defecto e-views -, FIC67
FICDESDE68. Aplicando los coeficientes de la regresión:
(LS ULTIMO C FIC67 FICDESDE68 @TREND @TREND()^2)
Obtendremos ahora un FORECAST para los cinco períodos siguientes:
Para obtener nuestra predicción de TERRA – LYCOS, tan sólo será necesario sumar la
predicción de la serie filtrada (FILTRADAF) y la de la tendencia (ULTIMOF):
SMPL 375 405
GENR TERRAPRED= FILTRADAF + ULTIMOF
397
398
399
400
401
402
403
404
405
11.10638988389165
11.18491309930912
11.26548726835366
11.34811239102293
11.43278846731451
11.51951549722631
11.60829348075612
11.6991224179019
11.79200230866189
Sobre este modelo básico ARIMA se podría ahora desarrollar alguna especificación más
compleja a través de un análisis de intervención (incluyendo variables dicotómicas que
corrijan los puntos atípicos) o de transferencia (incluyendo alguna variable explicativa
conocida como regresor3), pero esto se sale del objeto de este documento.
3
Por ejemplo, es habitual recoger alguna variable que especifique factores deterministas observados en
los mercados para días de la semana concretos (en general, los viernes la jornada es alcista y los lunes
bajista).