Práctica 5

Prácticas de Física Avanzada. Curso 2004-2005
5.- Óptica de Fourier. Procesamiento óptico de imágenes.
1. Material.
Banco óptico. Láser de He-Ne. Objetivo de microscopio de f'=5 mm. Dos lentes
convergentes, ambas de f'=300 m. Pantalla opaca, soporte para pantalla. Diapositivas y
portadiapositivas de plástico. Máscaras de filtrado (cuchillas, rendijas simples y
orificios circulares). Red de difracción de 100 líneas/mm.
2. Objetivos.
a) Comprobación de las propiedades de transformación óptica de las lentes mediante la
construcción de un procesador óptico.
b) Realización de un filtrado óptico de paso-banda para la supresión de las barras
horizontales o verticales de una cuadrícula. Filtrado óptico de diversas
transparencias.
c) Realización del multiplexado óptico de una señal.
3. Teoría.
3.1. Frecuencias espaciales.
En óptica la variación en el espacio
(Figura 1) puede estudiarse en función
de las frecuencias espaciales (fx, fy),
expresadas usualmente en mm–1, que
indican la rapidez con la que un objeto
o imagen varía espacialmente. Como
ocurre en el caso de muchas señales
periódicas temporales, muchas figuras
formadas por elementos que se repiten
espacialmente están formadas por un
armónico fundamental y armónicos de
orden superior.
Un ejemplo de un objeto con un bajo
contenido espectral es una red de
difracción (Figura 2). En comparación
con una red puramente sinusoidal, en
la que sólo aparece el armónico
fundamental, en el caso de una red
binaria
la
separación
de
la
sinusoidalidad se traduce en la
aparición en su espectro de armónicos
de orden superior. La formalización
rigurosa de esta descripción de los
objetos en el dominio frecuencial es
matemáticamente compleja y tiene su
base en el Teorema de Fourier, cuyo
Figura 1. Objeto espacialmente periódico.
Figura 2. Representación espacial vs. espectral.
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enunciado nos dice que cualquier función periódica puede ser expresada como una serie
de funciones armónicas de frecuencias múltiplos enteros del frecuencia fundamental. La
descomposición de una figura periódica en sus armónicos se denomina análisis de
Fourier. Este análisis determina la amplitud y la fase con que cada armónico contribuye
a la formación de la figura periódica. Este proceso puede ser invertido: si una figura
sinusoidal de una cierta frecuencia fundamental se combina con los armónicos de
frecuencias múltiplos enteros de ésta con amplitud y fase apropiadas, se puede obtener
una figura periódica determinada. Este proceso se denomina síntesis de Fourier. En esta
práctica estudiaremos el proceso de formación de imagen a través de una lente como
constituido por dos etapas: análisis de Fourier seguido de síntesis de Fourier.
3.2. Formación de imagen.
Una lente forma la transformada de Fourier bidimensional de un objeto iluminado
(señal óptica) coherentemente (luz láser) en el plano conjugado de la fuente que ilumina
dicho objeto (el plano en el que se formaría la imagen de la fuente), el denominado
plano de Fourier. En el caso particular de que este objeto sea iluminado con luz
colimada (de rayos paralelos, es decir, la fuente de iluminación está situada en el
infinito) este plano es el plano focal imagen de dicha lente. La luz en el plano de Fourier
se dispone de forma que la frecuencia espacial aumenta con el radio, de manera que si el
objeto tiene bajas frecuencias espaciales, la luz en el plano de Fourier aparece
concentrada en los máximos de intensidad centrales, mientras que cuando las
frecuencias del objeto son altas se refuerzan los máximos lejanos. Esto permite
manipular el espectro espacial del objeto y realizar, por lo tanto, diversas operaciones
con la información contenida en el mismo modificando el contenido de la imagen de
una forma predecible. El proceso de modificar una imagen cambiando sus frecuencias
espaciales se denomina filtrado espacial, siendo ésta una de las principales herramientas
del procesado óptico de la información. Para realizar el filtrado espacial debe situarse
una transparencia con una cierta función de transmisión en el plano de Fourier.
Generalmente esta transparencia es de transmisividad variable (cada punto de la misma
presenta una diferente absorción de la luz que incide sobre ella), aunque también puede
ser de espesor óptico variable, es decir, puede hacer variar la fase de cada punto del
frente de onda que le llega. En cualquier caso el contenido espectral de la imagen I(fx, fy)
será igual al producto del espectro del objeto O(fx, fy) y la función de transmisión del
filtro T(fx, fy):
I ( f x , f y ) = T ( f x , f y ) O( f x , f y )
[1]
o alternativamente, la amplitud compleja de la imagen i(x, y) es el resultado de convolucionar (en dos dimensiones) la transformada inversa de Fourier de la función de
transmisión t(x, y) y la amplitud del propio objeto o(x, y):
i( x , y ) = t ( x , y ) ** o( x , y )
siendo la intensidad en la pantalla de observación el cuadrado del módulo de [2].
[2]
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4. Experimentos.
4.1. Montaje de un procesador óptico básico.
La figura 3 representa una
configuración convencional
de un sistema óptico para el
procesado de información.
El haz de luz emitido por un
láser se focaliza en un punto
Figura 3. Procesador óptico.
mediante
una
lente
convergente de corta distancia focal (objetivo de microscopio). Otra lente, L1, de
distancia focal f1' (utilizaremos la lente de f1'=300 mm) se coloca en una posición tal que
su foco objeto coincida con el foco de la lente anterior, de este modo obtenemos un haz
colimado. Una segunda lente L2 (utilizaremos la lente de f2'=300 mm) vuelve a focalizar
el haz, siendo su plano focal imagen el plano de Fourier. La información a procesar
consiste normalmente en una transparencia fotográfica T colocada en una posición tal
que L2 forme una imagen real de la misma que pueda ser observada sobre una pantalla
P. En la figura 3 se ha representado esta transparencia a una distancia 2f2 de L2, con lo
que su imagen se forma en el espacio imagen a una distancia también 2f2, con una
relación de aumento 1:1, si se quiere tener una relación mayor basta con acercar más la
transparencia a la lente L2 y alejar la pantalla P. La máscara o filtro F está situado en el
plano de Fourier y es el elemento que permitirá manipular la señal en el dominio de
frecuencias.
Para montar el procesador en el laboratorio procederá como sigue:
a) Monte el láser en el extremo del banco óptico (no olvide apoyar su soporte
delantero en un jinetillo sin tornillo frontal) y alinee, grosso modo, el haz con el
banco. Sitúe el banco en el extremo izquierdo de la mesa para poder disponer de
la mayor distancia de trabajo posible.
b) Monte el objetivo de microscopio (O) en un jinetillo con tornillo frontal con
cabeza de plástico. Sitúe lo más próximo posible al láser, con el tornillo frontal
hacia la parte libre del banco, y sobre una división de centímetro para que sea
fácil leer su posición. Fije el jinetillo al banco.
c) Coloque el objetivo de microscopio de manera que el haz divergente quede
centrado. Recuerde que para subir y bajar el haz ha de actuar sobre la altura del
objetivo y para desplazarlo lateralmente ha de girar ligeramente el láser.
d) Monte una lente de f' = +300 mm en la parte trasera de un soporte de plástico y
el portadiapositivas de plástico en la parte delantera del mismo soporte. Esta será
la lente colimadora (L1) y justo delante de ella, en el portadiapositivas,
colocaremos el objeto (diapositiva) que vayamos a trasformar (T).
e) Monte el soporte con la lente y el portadiapositivas en un jinetillo sin tornillo
frontal y situelo en el banco a unos 30 cm = 300 mm del objetivo de
microscopio. Ajuste esta distancia hasta conseguir colimar el haz. Una vez
lograda la colimación, fije el jinetillo al banco.
f) Si es necesario, retoque el alineamiento del haz desplazando el objetivo de
microscopio y girando el láser como en el apartado c).
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g) Sitúe el banco adicional de 1 m que se le proporcionará a continuación del que
viene con el equipo de óptica y que ha estado utilizando hasta el momento.
h) Sitúe en el extremo derecho de la mesa una pantalla blanca (cuartilla de papel)
montada en el soporte de pantallas (plano inclinado). Esta será la pantalla en la
que observaremos la imagen final (P) que resulta del procesamiento óptico.
i) Monte en el portadiapositivas (T) la red binaria cuadriculada con figura.
L1
O
T
j) Monte otra lente de f' = +300 mm en la parte trasera de un soporte de plástico
éste en un jinetillo sin tornillo frontal. Esta será la lente transformadora (L2).
k) Coloque la lente transformadora a unos 55 cm = 550 mm < 2×300 mm de la
diapositiva, de esta manera conseguirá un aumento lateral mayor que la unidad y
ello le permitirá observar los detalles de la imagen final con una cierta
comodidad. Ajuste su posición hasta ver en la pantalla una imagen bien enfocada
de la diapositiva (cuando la figura esté ya enfocada acérquese a la pantalla para
comprobar que la red cuadriculada está tambien enfocada; si observa desde una
distancia grande, el speckle no le dejará ver los detalles). Una vez logrado el
enfoque, fije el jinetillo al banco.
l) Si es necesario, retoque el alineamiento del haz desplazando el objetivo de
microscopio y girando el láser como en el apartado c).
m) Monte el portarendijas de aluminio en un jinetillo con tornillo frontal con
cabeza de plástico. Sitúelo en el banco adicional a unos 30 cm = 300 mm de la
lente transformadora (esta es la posición en que teóricamente tendría que estar el
plano de Fourier). Monte en este portarrendijas la diapositiva con la pantalla
difusora opaca cuasilambertiana.
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P
L2
L1
T
O
n) Ajuste la posición del portarrendijas hasta que vea bien enfocado el patrón de
puntos brillantes que constituye la transformada de Fourier de la red binaria
cuadriculada. Cuando lo consiga habrá localizado el plano de Fourier (F), fije el
jinetillo del portarrendijas en esta posición.
ñ) El procesador óptico está listo para ser utilizado.
F
O
L1
T
L2
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4.2. Observación de las transformadas de Fourier de objetos sencillos obtenidas
ópticamente.
Situaremos en la posición T de la figura 3 transparencias con redes de líneas paralelas,
verticales (RV) y horizontales (RH), binarias y sinusoidales respectivamente.
Observaremos sus espectros de potencia espaciales (transformadas de Fourier)
colocando una pantalla en el plano focal de L2 (posición F). Relacionaremos las
orientaciones de las redes de líneas con las de sus espectros y, atendiendo a la
distribución de éstos, razonaremos en que grado se parecen o no las transparencias a una
red sinusoidal, qué redes tienen las líneas más proximas entre sí (mayor frecuencia
espacial) y cuales más alejadas, etc.
Situaremos en la posición T las redes anteriores cruzadas por pares (binaria RV con
binaria RH, sinusoidal RV con sinusoidal RH, binaria RV con sinusoidal RH, sinusoidal
RV con binaria RH), para tener así una colección de redes cuadriculadas de líneas
oscuras sobre fondo claro, y las redes cuadriculadas binaria (RC) y sinusoidal (R×).
Observaremos los seis espectros resultantes e intentaremos explicarlos haciendo uso de
las propiedades de las transformadas de Fourier. Repetiremos el experimento con una
red cuadriculada de líneas claras sobre fondo obscuro (R+), interpretaremos nuevamente
el espectro y lo compararemos con el anterior.
4.3. Filtrado de barras verticales/horizontales de un cuadrícula.
Como objeto utilizaremos una transparencia consistente en una red cuadriculada
sinusoidal (R× o R+, es indiferente). Situándola en la posición T de la figura 3
observaremos su transformada en el plano de Fourier. También observaremos la imagen
de dicho objeto sobre la pantalla P, retirando la diapositiva con la pantalla opaca.
Situando filtros adecuados (rendijas simples o pares de cuchillas) en el portarrendijas
del plano de Fourier (F) obstaculizaremos los armónicos horizontales, dejando pasar
únicamente los verticales centrales. Observaremos que la imagen en la pantalla consiste
ahora en una serie de barras horizontales, las verticales no aparecen.
Así mismo obstaculizando los armónicos verticales, dejando pasar únicamente los
horizontales centrales observaremos que la imagen es una serie de barras horizontales.
Una vez comprendido el proceso de filtrado en estos patrones geométricos sencillos, se
realizarán filtrados ópticos mediante rendijas simples, pares de cuchillas u orificios
circulares en otras transparencias más complejas como la «red cuadriculada binaria con
figura» o la «diapositiva con figuras en negativo».
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4.3. Multiplexado óptico.
Emplearemos ahora como objeto la transparencia con la «figura binaria en positivo» de
pequeño tamaño. Colocaremos esta transparencia en la posición T de la figura 3. En el
plano de Fourier F colocaremos una red de difracción de 100 líneas por milímetro.
Observaremos como sobre la pantalla P aparece la figura replicada. Comprobaremos
que la distancia entre estos caracteres aumenta al colocar una red más tupida (300 líneas
por milímetro). Observaremos qué sucede cuando la red de difracción se gira o se
desplaza.
Red de
Difracción
P
F
L2