práctica 2

Probabilidades y Estadística (M)
Práctica 2
Probabilidad condicional - Independencia
1. Se dispone de dos urnas cuyo contenido es el siguiente:
Urna A: 5 bolillas rojas y 3 blancas
Urna B: 1 bolilla roja y 2 blancas
Se arroja un dado y, si el resultado es 3 ó 6, se extrae una bolilla de la urna A y se coloca en la urna B
para luego extraer una bolilla de esta última. En caso contrario, el procedimiento se realiza a la inversa.
a) Calcular la probabilidad de que ambas bolillas extraídas sean rojas.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolillas sean blancas si ambas bolillas son del mismo color?
Si ambas bolillas son del mismo color, ¿es más probable que sean rojas?
2. Se tienen tres urnas numeradas con veinte bolillas de color en cada una. La primer urna contiene veinte
bolillas blancas, la segunda quince y la última diez, siendo todas las bolillas restantes negras. Se elige una
de las urnas al azar y se extraen de ella con reposición dos bolillas. La probabilidad de elegir la primer
urna es la misma que la de elegir la segunda, mientras que la de elegir la última es igual a su suma.
Calcular la probabilidad de haber seleccionado la primer urna sabiendo que las dos bolillas extraídas son
blancas.
3. Cuando se realiza un análisis de laboratorio para diagnosticar una cierta enfermedad en un paciente se
pueden cometer dos tipos de errores de diagnóstico: si el análisis da positivo (es decir, éste dice que el
paciente está enfermo) pero el paciente está sano se dice que tenemos un falso positivo, mientras que si
el análisis da negativo pero el paciente está enfermo se dice que tenemos un falso negativo. Consideremos
los eventos E = fLa persona examinada está enfermag y A = fEl resultado del análisis es positivog. La
cantidad P (AjE) se conoce como sensibilidad del test mientras que P (Ac jE c ) se denomina la especi…cidad
del test.
a) Supongamos que una cierta prueba de laboratorio es tal que P (AjE) = P (Ac jE c ) = 0;95 y además
que la probabilidad de que un paciente que se examina padezca la enfermedad es 0;005. ¿Cuál es la
probabilidad de que una persona cuyo análisis diagnóstico es positivo esté realmente enferma?
b) Supongamos que P (AjE) = P (Ac jE c ) = p y P (E) = 0;005: ¿Para qué valor de p es P (EjA) = 0;95?
4. El color de ojos de una persona está determinado por un sólo par de genes. Si ambos son genes que codi…can
ojos azules, entonces la persona tendrá ojos azules; si ambos son genes que codi…can ojos marrones, la
persona tendrá ojos marrones; y si uno de ellos es un gen que codi…ca ojos azules y el otro codi…ca ojos
marrones, entonces la persona tendrá ojos marrones (es por esto último que se dice que el gen de ojos
marrones es dominante por sobre el de ojos azules). A los …nes de este ejercicio supondremos que los
ojos de una persona sólo pueden ser azules o marrones. Un bebé recién nacido recibe exactamente un
gen que codi…ca el color de sus ojos de cada uno de sus padres mientras que los dos genes de cada padre
tienen igual probabilidad de ser transmitidos a su bebé. Supongamos que Beto y sus dos padres tienen
ojos marrones, pero que la hermana de Beto tiene ojos azules.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que Beto posea un gen que codi…ca ojos azules?
b) Beto se casó con Ana, una hermosa mujer de ojos azules. Juntos tuvieron dos hijos, Juan y Pedro.
Mostrar que tanto Juan como Pedro tienen la misma probabilidad de tener ojos azules y dar el valor
de dicha probabilidad.
c) Si Juan tiene ojos marrones, calcular la probabilidad de que Pedro tenga ojos marrones también.
1
d ) ¿Son independientes los eventos fJuan tiene ojos marronesg y fPedro tiene ojos marronesg?
5. Esquema de Polya. De un bolillero que contiene B bolillas blancas y R rojas se extraen sucesivamente
y al azar n bolillas, devolviendo en cada instancia la bolilla extraída al bolillero junto con otras c bolillas
del mismo color. Para cada n 2 N de…nimos los eventos
Rn = fLa n-ésima bolilla extraída es rojag
y
Bn = fLa n-ésima bolilla extraída es blancag:
R
a) Probar que P (Rn ) = R+B
para todo n 2 N.
Sugerencia: Condicionar respecto de un evento adecuado que permita hacer inducción en n.
b) Probar que para todo m < n se tiene
P (Rm \ Rn ) =
R (R + c)
(R + B) (R + B + c)
y
P (Rm \ Bn ) =
RB
:
(R + B) (R + B + c)
Generalizar a más de dos extracciones.
Sugerencia: En 5a se prueba el caso m = 1 y n arbitrario. Hacer inducción en m:
c) ¿Son los eventos Rm y Rn independientes para n 6= m?
d ) Calcular P (R3 jR2 ) y P (R1 jRn ) para n
2.
6. Se tienen n + 1 urnas numeradas desde la 0 hasta la n. La urna i contiene i bolillas blancas y n
i negras.
a) Se elige al azar una urna y se extrae de ella una bolilla al azar. Luego se la devuelve a la urna
correspondiente. Se repite este procedimiento k veces.
i. Hallar la probabilidad de que la primera bolilla extraída sea blanca.
ii. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bolilla extraída provenga de la urna i si ésta es
blanca?
iii. ¿Cuál es la probabilidad de que las k bolillas extraídas sean blancas?
iv. ¿Son los eventos Bm y Bn independientes para m 6= n?
b) Se elige al azar una urna y luego se realizan k extracciones con reposición de la urna elegida.
i. Hallar la probabilidad de que las k bolillas extraídas sean blancas.
ii. Si las k bolillas extraídas son blancas, ¿cuál es la probabilidad de que al realizar una nueva
extracción de la misma urna esta última bolilla sea blanca?
iii. ¿Son los eventos B1 y B2 independientes?
Nota: En ambos items denotamos por Bn al evento de obtener una bolilla blanca en la n-ésima extracción.
7. Se extrae al azar una bolilla de una urna que contiene 9 bolillas, de las cuales 3 son blancas, 3 son negras
y 3 son rojas. Además, las bolillas de cada color tienen la numeración 1; 2; y 3. Por último, la primer
bolilla blanca, la segunda negra y la tercera roja son rayadas. Consideremos los eventos
A = fLa bolilla es número 1g
B = fLa bolilla es blancag
C = fLa bolilla es rayadag:
¿Son independientes los eventos A, B, y C? ¿Y de a pares?
8. Tres jugadores a, b y c se disponen a jugar un torneo de metegol bajo las siguientes reglas: la modalidad
de juego es por turnos bajo la consigna de que el ganador de un partido jugará el siguiente con el jugador
que se encontraba afuera y aquel que logre dos victorias consecutivas será el ganador del torneo. En cada
partido ambos jugadores involucrados tienen la misma probabilidad de ganar. Comienzan jugando a y b.
2
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el torneo continue inde…nidamente? Es decir, hallar la probabilidad
de que no haya dos victorias consecutivas de un mismo jugador.
b) Calcular la probabilidad de ganar el campeonato para cada uno de los tres jugadores a, b y c.
¿Conviene jugar el primer partido?
9.
a) Probar que el evento A es independiente de cualquier evento B si y sólo si P (A) = 1 ó 0.
b) Mostrar que si A y B son eventos independientes y A
B entonces P (A) = 0 ó P (B) = 1.
c) Probar que si A1 ; : : : ; An son eventos independientes y B1 ; : : : ; Bn son tales que para cada i = 1; : : : ; n
se tiene Bi = Ai o Bi = Aci entonces los eventos B1 ; : : : ; Bn también resultan independientes.
Sugerencia: Hacer inducción en la cantidad de complementos involucrados.
d ) Deducir del ítem anterior que si A1 ; : : : ; An son eventos independientes entonces se tiene la fórmula
!
n
n
[
Y
P
Ak = 1
(1 P (Ak )) :
k=1
k=1
10. De un bolillero que contiene n bolillas numeradas de la 1 hasta la n se extrae una al azar. Para cada
1 k n de…nimos el evento Ak = fEl número de la bolilla elegida es divisible por kg.
a) Calcular la probabilidad del evento Ak para todo número natural k divisor de n.
b) Probar que los eventos Ak1 ; : : : ; Akm son independientes si k1 ; : : : ; km son divisores coprimos de n.
c) Sea ' la función de Euler de la teoría de números de…nida para cada número natural según la fórmula
'(n) = # fm 2 f1; : : : ; ng : m es coprimo con ng :
Probar la identidad
'(n) = n
Y
p primo: pjn
3
1
1
p