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Geometría Física
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Geometría Física
Segunda Edición
Gustavo R. González-Martín
Profesor Titular, Departmento de Física
Universidad Simón Bolívar
Caracas
iv
© Gustavo R. González-Martín 1999, 2010
Versión Electrónica Digital 2.53
producida en 2010 por el autor
Título del Libro Original: Geometría Física, Segunda Edición
© Gustavo R. González-Martín 1999, 2010
Hecho el depósito de ley
Depósito legal 1f25220095304251
ISBN 978-980-12-4051-8
Impreso en
Q. Odisea, Sur 6, El Placer, Caracas 1080, Venezuela
v
A Lourdes
vi
Nota a la Segunda Edición
Se incorporan nuevos resultados para lo cual fue necesario reestructurar el tratamiento
de varios tópicos e introducir capítulos adicionales. Se corrigieron erratas en algunas
ecuaciones.
Prefacio
La idea de este libro nace de una serie de lecciones sobre teorías unificadas dictadas en la
Universidad Simón Bolívar. En realidad este es una recopilación coherente de publicaciones
dispersas sobre la unificación geométrica de la física, incluyendo trabajos inéditos. Su objetivo
es establecer los fundamentos de esta unificación y dar una respuesta a la pregunta ¿Existe una
Geometría Física? Las ideas fundamentales y algunos resultados están publicados en las
referencias.
Se reconoce que la acción de la materia define ciertos conceptos y sus relaciones, todos
susceptibles de representación geométrica. Los aspectos esenciales son los siguientes:
1 El universo físico se describe usando ecuaciones geométricas no lineales asociadas
a un grupo de estructura.
2. El grupo de relatividad, el grupo de automorfismos del espacio tiempo plano, se
generaliza al grupo de automorfismos del álgebra geométrica del espacio tiempo.
3. Las ecuaciones de los campos y las ecuaciones de movimiento se representan a
través de una conexión geométrica y bases materiales que determinan la geometría.
4. La física microscópica se interpreta como el estudio de excitaciones geométricas
lineales, que son representaciones del grupo, caracterizadas por un conjunto de
números discretos.
5. La geometría determina un espectro de masas, caracterizadas por la energía del espacio
de fondo calculable usando cocientes del grupo.
Los resultados obtenidos indican que la gravitación y el electromagnetismo quedan unificados de una manera no trivial. Hay generadores adicionales que usamos para representar todas
las interacciones no clásicas. Las ecuaciones multipolares de movimiento determinan el movimiento geodésico con el término de fuerza de Lorentz. Si se restringe a la parte gravitacional
exclusivamente, se obtiene la ecuación de campo de Einstein y un tensor energía impulso
puramente geométrico que plantean una solución interna geométrica. El parámetro constante
de curvatura (densidad geométrica de energía) de una solución simétrica hiperbólica se puede
relacionar, en el límite newtoniano, con la constante gravitacional G. Si los campos irriemannianos
de conexión contribuyen al escalar de curvatura, el parámetro G sería variable, disminuyendo
con la intensidad de los campos. Este efecto puede interpretarse como la presencia de
materia oscura. En el vacío se obtienen las soluciones gravitacionales conocidas, con constante
cosmológica. La parte electromagnética está relacionada con un subgrupo SU(2)Q. Si se restringe
exclusivamente a un subgrupo U(1) se obtienen las ecuaciones de campo de Maxwell. En
general, la ecuación de movimiento es una generalización geométrica de la ecuación de Dirac.
De hecho, esta geometría parece ser el germen de la teoría cuántica incluyendo su aspectos
probabilísticos. La naturaleza geométrica de la constante de Planck h y la velocidad de la luz c
está determinada por sus relaciones respectivas con la conexión y la métrica. La masa se puede
definir en forma invariante en términos de la energía, dependiente de la conexión y la base
material.La geometría tiene una estructura tridimensional que determina varias estructuras físicas
vii
triples. Las excitaciones geométricas tienen cuantos de carga, flujo y espín que determinan el
efecto Hall cuántico fraccional. Los cocientes de las masas desnudas de las tres únicas partículas
estables se calculan y nos dan expresiones geométrica sorprendentes, previamente conocidas
pero sin explicación física. Existen excitaciones masivas de la conexión cuyas masas corresponden
a la de los bosones débiles y permiten una interpretación geométrica del ángulo de Weinberg.
La ecuación geométrica de movimiento (una ecuación de Dirac generalizada) determina los
momentos magnéticos anómalos desnudos del protón, el electrón y el neutrón. La parte
electromagnética “fuerte” SU(2) Q, sin ayuda de ninguna otra fuerza, genera potenciales
atractivos de corto alcance suficientemente fuertes para determinar la energía nuclear de
ligadura del deuterón y otros nucleidos livianos, compuestos de protones y electrones. La
fuerza nuclear es el resultado de la acción del potencial o conexión de este subgrupo. Las
masas desnudas de los leptones de las tres familias se calculan como excitaciones topológicas
del electrón. Estas masas se incrementan bajo la acción del potencial fuerte SU(2)Q (relatividad
de la energia) y están relacionadas con las masas de mesones y quarkios. La geometría determina
el espectro de masas de las excitaciones geométricas, que para masas pequeñas, esencialmente
concuerda con el espectro de masas de partículas físicas. El protón muestra una estructura
triple que puede relacionarse con una estructura de quarkios. Las combinaciones de las tres
excitaciones geométricas fundamentales (asociadas al protón, al electrón y al neutrino), que
forman otras excitaciones, se pueden usar para clasificar las partículas y muestran una simetría
bajo el grupo SU(3)xSU(2)xU(1). La única constante de acoplamiento es la constante alfa de
estructura fina la cual también se determina geométricamente.
Los primeros dos capítulos representan una introducción. En los capítulos 3 al 10 se desarrollan las ideas geométricas fundamentales. En los capítulos 11 al 18 se aplica la teoría a casos
concretos.
Caracas, Venezuela, 24 de octubre de 2009
Gustavo R. González Martín
Agradecimientos
He tratado de dar crédito a todos aquellos cuyos trabajos sirven de sustento a las ideas
expresadas en este libro. Sin embargo, parece imposible lograr esto plenamente. Al momento de
escribir, es mucho lo que debo a aquellos de quienes he aprendido a través de los años. En este
sentido agradezco a los miembros de la comunidad de físicos del área de Boston, en particular
a mi profesor, John Stachel.
Especialmente quiero agradecer a los colegas con quien he discutido estos temas, sin que
uno pueda precisar la contribución a la germinación y formación de ideas; en particular, a la
facultad sénior del Seminario de Relatividad y Campos de Caracas: Luis Herrera Cometta, Alvaro
Restuccia, Sebastián Salamó y el recordado Carlos Aragone (Q.E.P.D.). También agradezco la
colaboración de tesistas y algunos alumnos de mis cursos de relatividad y lecciones especiales
sobre unificación en la Universidad Simón Bolívar, quienes sirvieron de estimulante prueba de
fuego en la presentación y discusión de la tesis geométrica de la física: G. Salas, G. Sarmiento, V.
Villalba, V. Varela, A. Mendoza, O. Rendón, E. Valdeblánquez, I. Taboada, V. Di Clemente, J. Díaz,
J. González T., A. de Castro, A. Hernández y M. A. Lledó.
Caracas, Venezuela, julio de 1999
Gustavo R. González Martín
viii
Notación.
Los índices griegos minúsculos, correspondientes al espacio tiempo, varían del 0 al 3.
Los índices latinos minúsculos corresponden a la dimensión de un álgebra de Lie, usualmente
del 1 al 15; ocasionalmente indican el espacio tridimensional, del 1 al 3.
Los índices latinos mayúsculos corresponden a la dimensión de matrices o espinores, usualmente varían del 1 al 4.
La repetición de índices indica sumatoria sobre la dimensión del espacio correspondiente.
La derivada se denota por ¶ , la derivada covariante por  , la derivada exterior por d y la
derivada exterior covariante en un fibrado por D .
Las unidades físicas se escogen geométricamente, de forma que las constantes c,, y e son
iguales a 1.
La signatura de la métrica del espacio tiempo es 1, -1, -1, -1.
La mayoría de la notación matemática especializada se define en los apéndices.
ix
Primera Parte: Fundamentos
1. PRINCIPIOS FÍSICOS GEOMÉTRICOS.
1.1. Geometría de la Relatividad General.
1.2. Unificación Electrogravitacional.
1.3. Hacia una Geometría Física.
1.4. El Grupo de Estructura.
2. ULTRARRELATIVIDAD.
2.1. Introducción.
2.2. Extensión de la Relatividad.
2.3. Relatividad de las Interacciones.
2.4. Resumen.
3. UNA TEORÍA UNIFICADA.
3.1. Objetos Geométricos de la Teoría.
3.2. Principio Variacional.
3.3. Algunas Relaciones Algebraicas.
3.4. Ecuaciones de Movimiento para la Poliada Material.
3.5. Relación con la Teoría Cuántica.
3.5.1. Acuerdo con la Mecánica Cuántica.
3.5.2. Diferencias en Acoplamiento Inabeliano.
3.6. El Sector Electromagnético.
3.7. Otras Interacciones.
3.8. Resumen.
4. TEORÍAS CLÁSICAS.
4.1. Relación de los Fibrados.
4.2. Los Campos Clásicos.
4.3. Partículas Clásicas Geométricas.
4.4. Movimiento de las Partículas Clásicas.
4.5. Ecuaciones de Movimiento de Lorentz.
4.5.1. Inclusión de la Subálgebra Par.
4.5.2. Interpretación.
4.6. Resumen.
5. EL CAMPO GRAVITACIONAL.
5.1. Introducción.
5.2. Una Ecuación para el Tensor de Einstein.
5.2.1. La Ecuación de la Energía.
5.2.2. La Ecuación de Einstein.
5.3. Ecuaciones para una Solución Interna Geométrica de Schwarzschild.
5.4. El Límite Newtoniano.
5.5. Resumen.
1
1
2
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6. CUANTIZACIÓN DE CAMPOS.
6.1. Introducción.
6.2. Linealización de Campos.
6.3. Soluciones Poliádicas.
6.4. Soluciones de Conexión.
6.5. El Corchete como Derivación.
6.6. Teoría Geométrica de Campos Cuánticos.
6.7. Resumen.
7. CARGA Y FLUJO CUANTIZADOS.
7.1. Introducción.
7.2. Representaciones Inducidas del Grupo de Estructura G.
7.3. Subálgebras de Cartan.
7.4. Relación Entre Números Cuánticos.
7.5. Interpretación Física.
7.6. Representaciones del Subgrupo P.
7.7. Aplicaciones.
7.8. Resumen.
8. MEDICIÓN DE OBSERVABLES GEOMÉTRICOS.
8.1. Introducción.
8.2. Mediciones de Corrientes Geométricas.
8.3. Espín Geométrico.
8.4. Carga Geométrica.
8.5. Resumen.
9. DEFINICIÓN DE MASA.
9.1. Introducción.
9.2. El Concepto de Masa.
9.3. Masa Invariante.
9.4. El Operador Impulso.
9.5. Resumen.
10. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA.
10.1. Introducción.
10.2. Relaciones Geométricas.
10.2.1. Producto de Operadores de Jacobi.
10.2.2. Relaciones de Conmutación.
10.3. Electrodinámica Geométrica.
10.3.1. Partículas Libres y Corrientes.
10.3.2. Electrodinámica Cuántica.
10.3.3. Interpretación Estadística.
10.4. Aplicaciones.
10.5. Resumen.
68
68
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Segunda Parte: Aplicaciones
11. EFECTOS CUÁNTICOS FRACCIONALES.
11.1. Introducción.
11.2. Cuantos de Flujo Magnético.
11.3. El Efecto Hall Cuántico Fraccional.
11.4. Resumen.
12. EL SUBSTRATO Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA.
12.1. Introducción.
12.2. La Ecuación de Campo.
12.3. Una Solución de Substrato.
12.3.1. La Conexión del Substrato.
12.3.2. La Curvatura del Substrato.
12.3.3. Relación con el Límite Newtoniano.
12.3.4. Significación Física del Substrato.
12.4. Ecuación General de Movimiento.
12.5. Substrato General.
12.6. Resumen.
13. COCIENTES DE MASA.
13.1. Introducción.
13.2. Masas Desnudas.
13.3. Cocientes Simétricos.
13.3.1. Volumen del Espacio C.
13.3.2. Volumen del Espacio K.
13.3.3. Razón Geométrica de Volúmenes.
13.4. Cociente de Masa Física.
13.5. Resumen.
14. MASA DE EXCITACIONES DE CONEXIÓN.
14.1. Introducción.
14.2. Forma General de la Ecuación de Excitación.
14.3. Una Solución Particular.
14.4. Excitaciones SU(2) Masivas.
14.4.1. Valores de las Masas en el Espacio Libre.
14.4.2. Excitaciones de Conexión en una Red.
14.5. Ecuaciones para Campos sin Masa.
14.5.1. Restricciones a Soluciones Posibles.
14.6. Resumen.
15. INTERACCIONES DÉBILES
15.1. Introducción.
15.2. Interacción Débil Geométrica.
15.3. Relación con la Teoría de Fermi.
15.4. Resumen.
130
130
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201
xii
16. INTERACCIÓN MAGNÉTICA FUERTE.
203
16.1. Introducción.
203
16.2. Movimiento de una Excitación en una Aproximación No Relativista.
203
16.3. Momentos Magnéticos.
205
16.4. La Ecuación Modificada de Pauli.
210
16.5. El Modelo Protón-Electrón-Protón para el Deuterón.
211
16.6. Energía de Ligadura del Deuterón.
215
16.7. El Modelo Electrón-Protón para el Neutrón.
217
16.8. El Modelo de muchos Deuterones.
219
16.9. Resumen.
221
17. LA ESTRUCTURA GEOMÉTRICA DE PARTÍCULAS E INTERACCIONES.
223
17.1. Introducción.
223
17.2. Clasificación de la Conexión.
227
17.3. Excitaciones Correspondientes a Subgrupos.
228
17.4. Estructura Algebraica de Partículas.
230
17.5. Interpretación Física en Términos de Partículas e Interacciones.
233
17.6. Estructura Topológica de Partículas.
234
17.7. Masas de Excitaciones Geométricas.
237
17.7.1. Masas Leptónicas.
239
17.7.2. Masas Mesónicas.
242
17.9. Modelo de Barut.
246
17.9. Relación con la Teoría de Partículas.
250
17.10. Resumen.
253
18. LA CONSTANTE ALFA.
256
18.1. Introducción.
256
18.2. Una Medida Geométrica.
256
18.2.1. Espacio Simétrico K.
256
18.2.2. Realización del Espacio Simétrico K como un Polidisco Unidad. 257
18.2.3. Medida Invariante en el Polidisco.
259
18.3. La Medida de Wyler en el Espacio K.
261
18.4. Valor del Coeficiente Geométrico.
264
18.5. Resumen.
266
xiii
Tercera Parte: Apéndices
A. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA.
267
A.1. Introducción.
267
A.1.1. Álgebras de Clifford y Espinores.
267
A.2. Representación del Álgebra A.
269
A.3. Espacio Correlacionado del Grupo G.
276
A.4. Relación de A(3,1) con A(2,0).
279
A.5. Relación de Espinores de los Grupos G y L.
280
A.6. Bases Espinoriales Pares y Bases Vectoriales.
283
A.7. Derivada del Subconjunto Ortonormal.
283
B. GRUPOS Y ESPACIOS SIMÉTRICOS.
285
B.1. Grupos de Lie.
285
B.1.1. El Diferencial de una Aplicación.
285
B.1.2. El Algebra de Lie de un Grupo.
287
B.2. Subespacios de Cartan.
289
B.3. El Grupo G.
293
B.4. Espacios Simétricos.
296
C. CONEXIONES EN FIBRADOS.
300
C.1. Un Campo Fundamental.
300
C.2. La Conexión de Ehresmann.
301
C.3. Las k-Formas Tensoriales.
303
C.4. Curvatura y Torsión.
305
C.5. Formas Inducidas de Conexión, Curvatura y Torsión.
307
D. FIBRADOS JETADOS.
312
D.1. Fibrados Jetados.
312
D.2. Secciones Críticas y Vectores de Jacobi.
315
E. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS FIBRADOS.
318
E.1. Variedades.
318
E.2. Fibrados.
319
E.3. Producto Homotópico.
320
E.4. Tercer Grupo de Homotopía.
322
F. GRAVITACIÓN DE NEWTON Y TEORÍAS GEOMÉTRICAS.
324
F.1. Límites del Espacio Tiempo.
324
F.1.1. Propagación Instantánea.
324
F.1.2. Límite Local.
326
F.1.3. Límite Global.
328
F.1.4. Postulados.
329
F.2. Condición de Rigidez Geométrica.
330
F.3. Conexión Geométrica del Borde.
333
F.4. Conexión Newtoniana.
334
ÍNDICE ................................................................................................................................. 338
xiv
+E = E
3
q3
E
Q
q2
q1
-E = E iE

1
2
Cuantización geométrica de los generadores E de la conexión
electromagnética SU(2) y la carga eléctrica. ¿Acción geométrica universal?
xv
…Mach sintió que había algo importante acerca del concepto de evitar un sistema inercial… Todavía no tan claro en el concepto de espacio de Riemann. El primero en ver esto
claramente fue Levi-Civita: paralelismo absoluto y una manera de diferenciar…
…La representación de la materia por un tensor fue solamente un parche para que fuese
posible hacer algo temporalmente, una nariz de madera en un hombre de nieve…
…Para la mayoría de la gente, la relatividad especial, el electromagnetismo y la gravitación no son importantes, sino para ser añadidas al final después que todo lo demás esté
hecho. Al contrario, tenemos que tomarlas en cuenta desde el principio…
Albert Einstein
de la Última Lección de Albert Einstein,3
Seminario de Relatividad,
Room 307, Palmer Physical Laboratory, Princeton University,
14 de Abril de 1954,
según notas tomadas por J. A. Wheeler.
3
J. A. Wheeler en: P. C. Eichelburg and R. U. Sexl (Eds.), Albert Einstein (Friedr.
Vieweg & Sohn, Braunschweig) p. 201, (1979).
1. PRINCIPIOS FÍSICOS GEOMÉTRICOS.
1.1.
Geometría de la Relatividad General.
Reconociendo las críticas de Mach sobre los sistemas inerciales preferidos, Einstein
construyó la relatividad general usando el principio de covariancia y el principio de
equivalencia. Sin embargo enseguida, en 1917, Kretschmann indicó [1] y Einstein ratificó
poco después [2] que el principio de covariancia, como se expresa usualmente, carece de
contenido físico y toda teoría, cualquiera que sea, puede ser formulada en forma covariante
general. Formulaciones covariantes de la teoría de gravitación de Newton fueron dadas
por Cartan [3, 4] y Friedrichs [5] y discutidas en artículos de repaso por Havas [6], Trautman
[7] y Kilminster [8]. Estas formulaciones también concuerdan con el principio de
equivalencia. Por estas razones es necesario aclarar el significado de estos principios tal
como fueron enunciados por Einstein en el razonamiento físico que lo llevo a la relatividad
general.
Toda teoría de gravitación especifica el movimiento de partículas de prueba ideales.
Una partícula de prueba tiene solamente estructura gravitacional monopolar, en otras
palabras, no hay cargas ingrávidas ni ninguna estructura multipolar, etc. En ausencia de
gravitación, la primera ley de Newton establece el principio de inercia: hay una clase
privilegiada de movimientos, llamados “movimientos libres”, que son seguidos por los
cuerpos sobre los cuales no actúa fuerza alguna.
Para incorporar el principio de equivalencia en una teoría busquemos una nueva clase
de movimientos privilegiados. Lo mejor que se puede hacer es usar las trayectorias de
partículas de prueba bajo la acción de fuerzas gravitacionales, llamadas “caídas libres”.
Los movimientos de partículas de prueba definen un conjunto de curvas, caídas libres,
para cada punto en cada dirección temporal en la variedad y un parámetro físico en cada
curva que es una medida del desplazamiento de la partícula a lo largo de la curva. Si
tenemos una familia preferida de curvas en una variedad, una a través de cada punto y en
cada dirección en ese punto y un parámetro preferido a lo largo de cada curva, se define
una conexión en la variedad M, o equivalentemente en su fibrado tangente TM. La conexión
se determina requiriendo que las curvas sean geodésicas y el parámetro sea el parámetro
afín. En consecuencia, podemos decir que una teoría de gravitación que incorpore el
principio de equivalencia define una conexión en el espacio tiempo.
Si introducimos una conexión en esta forma, no hay seguridad que haya compatibilidad
de la conexión con una métrica en el espacio tiempo. Einstein hizo la hipótesis implícita
que hay una relación orgánica entre las estructuras afín y métrica del espacio tiempo. Se
requiere que la estructura afín sea mínima con respecto a la estructura métrica, o sea que
los coeficientes de la conexión sean los símbolos de Christoffel de la métrica. Esto implica
que la derivada covariante de la métrica se anule y que las varas de medición y los relojes
2
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 1
sean independientes del campo gravitacional. Esta relación mínima excluye la posibilidad
de añadir un tensor simétrico a los símbolos de Christoffel. Parece que este requisito de
compatibilidad es el contenido del principio de covariancia.
Si ponemos los comentarios anteriores en un lenguaje geométrico podemos enunciar
los dos principios en la forma siguiente:
1. Una teoría de gravitación debe ser representada por una conexión que no sea
trivial en el fibrado tangente TM al espacio tiempo M.
2. El fibrado principal asociado a TM tiene al grupo de Lorentz, SO(3,1), como
grupo de estructura.
El primer enunciado garantiza el principio de equivalencia. El segundo enunciado puede
tomarse como el contenido del principio de covariancia. Debe destacarse que la posibilidad
de introducir coordenadas locales es una propiedad de cualquier variedad y que el uso de
estas coordenadas y sus transformaciones no introduce ninguna estructura geométrica
adicional a la hipótesis de ser una variedad.
1.2. Unificación Electrogravitacional.
Es bien conocido que las ecuaciones de campo de la gravitación de Einstein implican
las ecuaciones de movimiento de las partículas de prueba [9] y que, al contrario, las
ecuaciones de campo del electromagnetismo de Maxwell no implican la ecuación
correspondiente de movimiento. En esta caso, es necesario postular la ecuación de la fuerza
de Lorentz o derivarla a partir de postular separadamente un principio variacional. Este
hecho está relacionado con la ilinealidad de la gravitación y la linealidad de la
electrodinámica [10].
Si una teoría unificada de gravitación y electrodinámica se construye con ecuaciones
de campo ilineales, debe ser posible derivar las ecuaciones de movimiento de Lorentz
partiendo de las ecuaciones de campo de la teoría.
Dentro de la teoría de Einstein y Maxwell las ecuaciones deseadas fueron obtenidas
por Infeld y Wallace [11]. En esta teoría, si escogemos apropiadamente el tensor energía
impulso T E del electromagnetismo, la conservación del tensor de energía impulso total T
implica la ecuación de fuerza de Lorentz. Esto no debe sorprendernos porque el TE del
electromagnetismo se construye precisamente para conservar la energía y el impulso de un
sistema de campos electromagnéticos y cargas eléctricas moviéndose de acuerdo a la fuerza
de Lorentz. En otras palabras la estructura de TE supone la validez de la ecuación de Lorentz.
En la teoría de Einstein y Maxwell, aparte de los postulados geométricos gravitacionales,
tenemos que postular adicionalmente la forma exacta del tensor de energía impulso del
electromagnetismo que contiene la hipótesis de movimiento acorde con la fuerza de Lorentz.
Con este postulado, el movimiento de partículas cargadas queda determinado aún en el
espacio plano, sin usar las ecuaciones de Einstein [12, 13, 14].
También se puede argumentar que la teoría de Einstein y Maxwell no es verdaderamente
una teoría unificada geométricamente. El mismo Einstein [15] estaba insatisfecho con al
carácter ageométrico de T E y pasó sus últimos años buscando una teoría unificada
Principios Físicos Geométricos
3
satisfactoria.
Hoy día, la necesidad de teorías de interacciones débiles y fuertes puede revivir la idea
de una teoría unificada geométricamente. La teoría de Einstein y Maxwell es incompleta,
en el sentido que no suministra una estructura geométrica capaz de representar estos campos
adicionales.
La mayor parte del trabajo realizado acerca del movimiento de partículas cargadas [16,
17, 18, 19], incluyendo el cálculo de Infeld y Wallace explica el movimiento con las hipótesis
indicadas anteriormente. En vez de estudiar el movimiento bajo las fuerzas de alguna teoría
unificada, debemos tomar nota de las similitudes entre la expresión para la fuerza de Lorentz
y la expresión para la fuerza sobre partículas en giro en relatividad general y suponer que
la similitud no es una mera coincidencia. Esto nos conduce a representar la gravitación y el
electromagnetismo por el mismo objeto geométrico. Exigiendo la predicción de la ecuación
correcta de movimiento, incluyendo la fuerza de Lorentz por lo menos en algún límite,
podremos restringir las teorías posibles.
En las teorías conocidas como teorías “ya” unificadas se requiere que el tensor de
curvatura satisfaga las condiciones de Rainich [20], Misner y Wheeler [21] que son
equivalentes a la existencia de un tensor electromagnético de energía impulso T E. Con
estas condiciones, la fuerza de Lorentz se obtiene en la misma forma que en la teoría de
Einstein y Maxwell, pero en realidad se postula en el requisito extra sobre la curvatura.
En la teoría unificada de Weyl [22], las ecuaciones de movimiento están sujetas a una
objeción, argumentada primero por Einstein [23], que ellas implican que las frecuencias
de las líneas del espectro atómico debieran depender de la historia pasada de los átomos.
En la teoría de Kaluza [24], las ecuaciones de Lorentz se obtienen de la ecuación de las
geodésicas en un espacio pentadimensional con un vector de Killing en la quinta dimensión.
Se interpreta la componente de la pentavelocidad a lo largo de la quinta dirección como la
carga eléctrica y ciertas componentes de la conexión simétrica como el tensor del campo
electromagnético. Podemos objetar que, como siempre se puede hacer la conexión cero a
lo largo de cualquier curva dada, el tensor electromagnético podría anularse en un sistema
apropiado de coordenadas. El significado físico de este sistema de coordenadas no es
compatible con resultados experimentales del electromagnetismo.
Ecuaciones de movimiento derivadas fueron discutidas por Johnson [25] dentro de la
teoría del campo antisimétrico de Einstein [26]. En el límite sin gravitación, la
electrodinámica de esta teoría no es la teoría convencional de Maxwell [27], aunque las
ecuaciones resultantes son compatibles con las interacciones experimentales conocidas de
partículas cargadas sobre distancias de laboratorio.
1.3. Hacia una Geometría Física.
Como se indicó en la primera sección, la gravitación se asocia a una estructura
geométrica, una conexión en un fibrado principal SO(3,1) asociado al fibrado tangente del
espacio tiempo. Se conoce también que el electromagnetismo se puede describir como una
conexión en un fibrado principal U(1) sobre el espacio tiempo. En consecuencia, se escogió
4
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 1
una conexión como el objeto geométrico que representa a la interacción unificada.
Propusimos [28, 29] una teoría unificada geométrica donde el electromagnetismo no
entra como parte de la métrica o del tensor de energía impulso de la materia, sino como
parte de una conexión como originalmente intentó Weyl [30]. Similarmente, la gravitación
también entra como parte de la conexión. Esto se logró agrandando el grupo de estructura
de la teoría para incorporar ambos campos como parte de una conexión de Ehresmann
unificada, haciendo la teoría claramente diferente de las teorías de Einstein y Maxwell,
Weyl, Kaluza [31] y la teoría del campo antisimétrico [32]. La motivación física para esta
especulación nació del hecho que la curvatura gravitacional entra, en la ecuación de
movimiento de cuerpos girantes, de la misma manera que la curvatura electromagnética
entra en la ecuación de Lorentz para partículas cargadas y del hecho que una teoría de
gravitación que incorpore naturalmente al principio de equivalencia deber ser representada
por una conexión, no necesariamente por una métrica.
Si deseamos representar la interacción unificada por una conexión, tenemos que enfrentar
la selección del grupo de estructura del fibrado. Escogimos un criterio geométrico para
esta selección. El grupo buscado debe estar asociado geométricamente con el espacio tiempo.
Posteriormente consideraremos su relación con otras áreas de la física.
Debido a estas posibilidades y la bien conocida relación de la teoría electromagnética
de Maxwell con conexiones U(1) en un fibrado principal se estimó que, para acercarse a la
unificación, sería deseable trabajar con el grupo SL(2,C),en vez del grupo propiamente de
Lorentz SO(3,1). Una teoría de gravitación relacionada con SL(2,C) fue presentada por
Carmelli [33]. Siguiendo esta idea, la forma más sencilla para agrandar el grupo es,
aparentemente, usar el grupo U(1)SL(2,C) que es el grupo que preserva la métrica asociada
a una tétrada inducida por una base espinorial.
Era conocido por Infeld y Van der Waerden [34, 35, 36] cuando introdujeron una
conexión espinorial, que aparecían componentes arbitrarias que admitían la interpretación
de potenciales electromagnéticos ya que satisfacían las ecuaciones de campo. Para admitir
esta interpretación nosotros exigimos que la ecuación de la fuerza de Lorentz sea una
consecuencia de las ecuaciones de campo. De otra manera, las ecuaciones de campo
necesariamente determinadas por la teoría contradicen el movimiento, experimentalmente
bien establecido, de las partículas cargadas y la teoría debe rechazarse.
Un primer intento [28, 37], usando U(1)SL(2,C) como el grupo, produjo un resultado
negativo porque las ecuaciones de movimiento dependen de los conmutadores de las partes
gravitacional y electromagnética que conmutan. Esto significa que las partículas cargadas
seguirían las mismas geodésicas que siguen las partículas neutrales. Esto prueba que no es
posible, sin contradicciones, considerar que la parte U(1) representa el electromagnetismo
como sugirieron Infeld y Van der Waerden. Esto significa también que, para obtener el
movimiento correcto, debemos agrandar el grupo escogido de forma que los generadores
electromagnéticos no conmuten con las generadores gravitacionales. No es cierto que
cualquier grupo de estructura que contenga a SL(2,C)U(1) da una teoría unificada sin
contradecir las ecuaciones de movimiento de Lorentz. El movimiento clásico correcto es
un requisito fundamental para una teoría unificada.
Principios Físicos Geométricos
5
De acuerdo al criterio indicado deseamos un grupo asociado al espacio tiempo. Como
las álgebras de Clifford y sus espinores están asociadas geométricamente a los espacios
ortonormales, ellas representan una generalización del concepto de métrica. Hay
transformaciones de este álgebra que preservan su producto y por consiguiente la estructura
métrica del espacio ortonormal asociado.
Si ponemos estas ideas en un lenguaje geométrico podemos enunciar dos principios
que generalizan los indicados anteriormente:
1. Una teoría unificada debe representarse por una conexión que no sea trivial en
un fibrado principal E con el espacio tiempo M como espacio base del fibrado.
2. El grupo de estructura G del fibrado principal E es el grupo de automorfismos
correlacionados del espacio espinorial del álgebra geométrica del espacio tangente
TM al espacio tiempo.
1.4. El Grupo de Estructura.
De acuerdo al segundo postulado usamos el grupo SL(2,K) sobre un anillo K, que es el
grupo de automorfismos espinoriales del álgebra universal de Clifford del espacio tiempo
plano. Resulta que hay dos álgebras, que no son isomorfas, para el espacio tiempo de
acuerdo a la signatura escogida para la métrica (vea el apéndice A). En correspondencia
hay dos grupos SL(2,K), uno donde K es el cuerpo de los cuaterniones Q y otro donde K es
el anillo sin división R(2), que llamaremos los seudocuaterniones . El último grupo es
homomorfo a SL(4,R).
Se conoce que el grupo SL(2,K) no preserva la métrica correspondiente. Sin embargo,
si pensamos que la relatividad general esta ligada a transformaciones generales de
coordenadas que cambian la forma de la métrica, sería en el mismo espíritu usar este grupo.
En vez de transformaciones de coordenadas cuyo significado físico esta asociado con el
cambio de observadores, tendríamos transformaciones pertenecientes al grupo SL(2,K)
cuyo significado físico estaría asociado a un cambio de espinores relacionados con
observadores. Representaciones de este grupo estarían vinculadas a los campos materiales.
Si restringimos a la parte par de cualquiera de estos grupos SL(2,K), como subconjunto
del álgebra de Clifford, llegaríamos al grupo SL1(2,C), usado en la física de espinores.
Como SL(2,K) es de mayor dimensión que SL(2,C) nos brinda la oportunidad de asociar
estos generadores adicionales con interacciones distintas a la gravitación y el
electromagnetismo. El generador que juega el papel de electromagnetismo debe ser
consistente con su uso en otras ecuaciones de la física. El significado físico de los
generadores restantes debe ser identificado.
La ecuación de campo debe relacionar la conexión con un objeto geométrico que
represente a la materia. Esperamos que la materia esté representada por una n-forma tensorial
valuada en el álgebra de Lie del grupo, en vez del tensor ageométrico T. El objeto más
sencillo de este tipo, construido de la conexión, es la curvatura W que obedece la identidad
de Bianchi,
6
DW = 0 .
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 1
(1.4.1)
El siguiente objeto más sencillo se construye usando la dualidad de Hodge *W, si
tenemos una métrica en el espacio tiempo. En similitud con el electromagnetismo
postulamos la ecuación de campo,
D *W = k *J ,
(1.4.2)
donde *J debe ser una tres forma valuada en el álgebra y k es una constante a ser
identificada posteriormente. Debido a la estructura geométrica de la teoría, la fuente
de corriente debe ser un objeto geométrico compatible con la ecuación de campo y la
geometría. La estructura de J, claro está, se expresa en términos de ciertos objetos
geométricos sobre los cuales debe actuar la conexión. Las propiedades geométricas de
la curvatura y la ecuación de campo determinan que la corriente J obedece condiciones
de integrabilidad,
DDX = [W, X ] ,
(1.4.3)
DD *W = éëêW , *W ùûú = 0 ,
(1.4.4)
D J* = 0 .
(1.4.5)
Esta relación que es una condición de integrabilidad de la ecuación de campo incluye
todos los términos de autorreacción de la materia sobre sí misma. Un sistema físico
sería representado por campos de materia y campos de interacción que son soluciones
de este conjunto de ecuaciones ilineales simultáneas. No debe haber preocupaciones
acerca de infinitos producidos por los términos de autorreacción. Como en el método
EIH en la relatividad general [38], cuando se perturban las ecuaciones, por ejemplo
para obtener linealidad, la separación de las ecuaciones en ecuaciones de orden diferente
introduce los conceptos de campo producido por la fuente, fuerza producida por el
campo y en consecuencia términos de autorreacción. Estos términos, ausentes en el
sistema ilineal original, son un problema introducido por este método particular de
resolución. En el orden cero, una partícula clásica se mueve como una partícula de
prueba sin auto reacción. En el primer orden, el campo producido por la partícula
produce una autocorrección del movimiento.
Agrandar el grupo de la conexión no solo unifica satisfactoriamente la gravitación
y el electromagnetismo sino exige otros campos y parece brindar una teoría que difiere
en principio de la gravitación de Einstein y se parece a la de Yang [39]. Esto se puede
ver de la ecuación de campo que relaciona las derivadas de la curvatura de Ehresmann
con una fuente de corriente J.
Así como en relatividad general, las condiciones de integrabilidad determinan las
ecuaciones de movimiento para partículas clásicas, sin conocimiento detallado de la
forma de la fuente, si suponemos que J tiene una estructura monopolar. Las deseadas
Principios Físicos Geométricos
7
ecuaciones de movimiento de Lorentz se obtendrán en el capítulo 4 satisfaciendo de
esta manera el criterio de aceptación de la teoría unificada propuesta.
Sin embargo el objetivo principal presente no es describir el movimiento clásico
exhaustivamente, sino construir una teoría geométrica y exigir que sea compatible con
el movimiento clásico de las fuentes y posiblemente exigir compatibilidad con las ideas
modernas de la teoría cuántica. Particularmente, el primer objetivo parece ser
aprovechar la oportunidad ofrecida por la teoría para interpretar geométricamente la
corriente de la fuente en términos de objetos geométricos fundamentales de campo. Si
se establece una estructura geométrica para J, se completa la primera etapa en la
construcción de la teoría unificada.
Una teoría de conexiones sin otros objetos es incompleta desde un punto de vista
geométrico. Una conexión en un fibrado principal se relaciona con el grupo de estructura
y el espacio base del fibrado. Las representaciones del grupo proveen una fibra para
un fibrado vectorial asociado sobre el cual actúa naturalmente la conexión. El
significado geométrico de la conexión está relacionado con el transporte paralelo de
los elementos de la fibra en puntos diferentes en el espacio base. Esto es, esencialmente,
un proceso de comparación de elementos en eventos diferentes.
Un fibrado vectorial de este tipo tiene una base y el efecto de la conexión se define
naturalmente sobre estas bases. Desde un punto de vista geométrico debemos completar
la conexión con una base vectorial. Es bien conocido que la teoría gravitacional de
Einstein se puede expresar usando una base ortonormal en vez de la métrica [40]. En
esta teoría hemos llevado esta idea un paso adelante introduciendo una base espinorial
e en el espacio de fibra de un fibrado vectorial asociado S, en adición a la base u de la
fibra del espacio tangente. En otras palabras, trabajamos en el espacio “raíz cuadrada”
del espacio plano usual. La conexión que representa los campos gravitacionales y
electromagnéticos depende de un término de corriente de fuente. Suponemos también
que esta corriente de fuente se construye de los campos materiales fundamentales que
tienen la interpretación geométrica de formar una base e en la fibra del fibrado vectorial
y define un subconjunto ortonormal k del álgebra geométrica Clifford,
J* =
1
eabgmek medx a  dx b  dx g ,
3!
(1.4.6)
o en forma equivalente
J* =
1
ekakb kce dx a  dx b  dx c .
3!
(1.4.7)
Esta base material e, cuando se ordena como una matriz con los vectores de la base
como columnas, está relacionada con un elemento del grupo del fibrado principal. Una
sección e en el fibrado principal establece canónicamente un entramado espinorial material
sobre el espacio tiempo y representa la distribución de materia. Indicaremos este entramado
8
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 1
espinorial con el nombre de poliada. Es natural esperar que esta poliada o sección e debe
obedecer ecuaciones de movimiento que dependen naturalmente del campo de conexión.
De hecho, veremos que una solución particular de la condición de integrabilidad, la
conservación covariante de J, se obtiene de la ecuación,
k m m e = 0 .
(1.4.8)
Esta ecuación puede ser interpretada como una ecuación generalizada de Dirac si en el
grupo de estructura, SL(2,K), el anillo K se escoge como el anillo sin división R(2)=
de los seudocuaterniones, lo cual determina que el grupo de estructura de la teoría es
SL(2, ) o su grupo cubriente SL(1,L  Q) [41]. La ecuación de la poliada
correspondiente al otro grupo SL(2,Q) no se reduce a la ecuación de Dirac para una
partícula libre. Esto se discutirá en el capítulo 3. A partir de este punto usaremos la
notación SL(2,) o SL(4,R) para indicar estos grupos o el grupo cubriente, salvo
indicación contraria cuando sea conveniente distinguirlos.
Debemos destacar que cuando tenemos una conexión sl(2,C) existe un acoplamiento
canónico de la gravitación usual con partículas de espín ½ obtenida postulando una
ecuación de Dirac que dependa de espinores [42, 43, 44]. Sin embargo, esto no
representa una unificación real en el sentido estricto. Nuestra ecuación de campo implica
condiciones de integrabilidad en términos de J. Junto con la estructura de J, estas
condiciones determinan la ecuación generalizada de Dirac que, por lo tanto, no tiene
que ser postulada separadamente como en el caso mencionado anteriormente. Al
contrario, la teoría bajo discusión, no es meramente una adhesión de gravitación y
electromagnetismo para partículas con espín ½. Mas bien es la introducción de una
estructura geométrica general que, en forma significativa, modifica ambas teorías
canónicas y su acoplamiento. En realidad la ecuación ilineal de campo y la estructura
más simple de la corriente son suficientes para predecir esta ecuación generalizada de
Dirac.
Aparentemente, la teoría en discusión puede contener ambas ecuaciones de
movimiento de la materia, la clásica y la cuántica. En particular, la ecuación clásica se
obtiene de una aproximación multipolar. La ecuación cuántica (1.4.8) es la ecuación
geométrica de movimiento de acuerdo a la estructura de la corriente.
Una partícula clásica no es la idealización adecuada del mundo físico. La teoría
debe suministrar las relaciones entre los campos de interacción (gravitación,
electromagnetismo, etc.) y campos de materia (masas, cargas, espinores, etc.) y
especificar como evolucionan estos campos. Una definición moderna de partícula y
sus propiedades debe descansar en los campos geométricos fundamentales. Es deseable
que los aspectos clásicos y cuánticos de la partícula física puedan ser obtenidos de una
teoría geométrica.
Principios Físicos Geométricos
Referencias
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2. ULTRARRELATIVIDAD.
2.1.
Introducción.
Resultados anteriores parecen indicar que existe una geometría que puede tener un
amplio significado físico. Antes de continuar el desarrollo de la teoría discutiremos este
significado, introduciendo una extensión de la relatividad y por lo tanto descansando la
teoría sobre primeros principios.
El uso de álgebras geométricas de Clifford [1] introduce en la geometría del espacio
tiempo un grupo de dimensión mayor que el grupo de Lorentz. Como este último es el
grupo de la relatividad podemos considerar que el uso de un grupo mayor indica una
extensión de la relatividad. Originalmente el grupo fue introducido para lograr una
unificación no trivial de la gravitación y el electromagnetismo. Se ha mostrado que esta
teoría unificada, donde el electromagnetismo se asocia a un subgrupo SU(2), implica la
cuantización de la carga eléctrica y del flujo magnético [2], suministrando una explicación
plausible del efecto Hall cuántico fraccional. En adición, la teoría brinda un modelo
geométrico para el proceso de cuantización de campos [3], implicando la existencia de
operadores fermiónicos y bosónicos y sus reglas de cuantización.
La relatividad especial [4] se relaciona con un espacio de cuatro dimensiones con métrica
de Minkowski con signatura (1,-1,-1,-1). Un observador físico se asocia a una tétrada
vectorial u en este espacio, definiendo así una dirección temporal y tres direcciones
espaciales. La signatura se determina por el requisito de que para un observador físico en
reposo, el intervalo métrico sea el parámetro real, tiempo propio, de la línea universal del
observador.
El principio de relatividad especial define una equivalencia entre los observadores en
movimiento uniforme entre sí, una relatividad respecto a la velocidad. Si la métrica es la
misma para estos observadores, las transformaciones entre ellos forman el grupo de Lorentz,
que preserva la métrica y las tétradas de los observadores se pueden escoger ortonormales.
2.2.
Extensión de la Relatividad.
Asociada a cada espacio ortonormal relativista existe un álgebra geométrica A(3,1) de
Clifford [5]. Hay una aplicación de inclusión k del espacio ortonormal al álgebra, que envía
las bases de vectores ortonormales a subconjuntos ortonormales del álgebra. Las diferentes
imágenes de una base determinan un subespacio del álgebra. La razón geométrica para
introducir estas álgebras es obtener objetos geométricos cuyo cuadrado es el negativo del
producto escalar de un vector consigo mismo,
(k (x ))
2
= -x .x I = -g (x , x ) I .
(2.2.1)
12
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 2
En cierto sentido, esto es una generalización de la introducción de números imaginarios
para la recta. Estas álgebras son útiles para definir la raíz cuadrada de operadores.
Para el espacio euclidiano de tres dimensiones, el subálgebra par de Clifford tiene
también la estructura del álgebra del grupo SU(2) homomorfo 2 a 1 al grupo de
rotaciones. Las transformaciones SU(2) de 2p y de 4p son diferentes pero ambas
asociadas a una rotación de 2p. Adicionalmente, se sabe que una rotación de 4p no es
geométricamente equivalente a una rotación de 2p cuando se considera su relación de
orientación y enredo relativo a su entorno [6]. Para preservar esta diferencia geométrica
en un subespacio del espacio tiempo debemos exigir el uso de, por lo menos, el
subálgebra par en el tratamiento del espacio tiempo.
Cuando se define el álgebra geométrica universal para el espacio tiempo de
Minkowski, las tétradas ortonormales del observador son aplicadas a los subconjuntos
ortonormales del álgebra. Entonces se tiene que el número de subconjuntos
ortonormales posibles del álgebra es mucho mayor que el número de tétradas posibles
del espacio tiempo. Hay operaciones, dentro del álgebra, que transforman todos los
posibles subconjuntos ortonormales entre sí. Estas son los automorfismos internos del
álgebra. Geométricamente, esto significa que el espacio del álgebra contiene muchas
copias del espacio ortonormal de Minkowski. Un observador relativista, puede ser
sumergido en el álgebra de muchas maneras equivalentes. Se puede decir que el
observador del espacio tiempo es “ciego” algebraicamente. Usualmente el álgebra es
restringida a su parte par cuando la simetría relativista es extendida del grupo de
Lorentz, automorfismos del espacio tiempo, al grupo espín SL(2,C) [7], automorfismos
del subálgebra par. De esta manera una copia fija del espacio de Minkowski se escoge
dentro del álgebra geométrica. Esta copia permanece invariante bajo el grupo espín.
Esta similitud permite la extensión del principio de relatividad [8] al tomar como
simetría el grupo de automorfismos correlacionados de los espinores del álgebra
geométrica del espacio tiempo en vez del grupo de automorfismos del propio espacio
tiempo o solamente los automorfismos de los espinores de la subálgebra par. Un
observador relativista que lleva una tétrada espacio temporal se sumerge en el álgebra
geométrica en una forma no única, dependiendo de un “prejuicio” relacionado con la
orientación de un subespacio cuatridimensional en el álgebra de dieciséis dimensiones.
Debemos, como apuntó Dirac dejar que la misma estructura geométrica nos brinde su
interpretación física.
La situación es similar a la inmersión de un observador tridimensional, llevando
una triada espacial, dentro del espacio tiempo cuatridimensional. Esta inmersión no es
única, dependiendo del estado de movimiento del observador. Hay muchos subespacios
tridimensionales espaciales que definen hiperplanos de simultaneidad, que son
diferentes para observadores con velocidades diferentes. Todos los observadores físicos
posibles se pueden transformar entre sí por el grupo de automorfismos del espacio
tiempo, el grupo de Lorentz.
Podemos concebir observadores completos que no sean “ciegos” algebraicamente.
Estos observadores deben ser asociados a subconjuntos ortonormales diferentes pero
Ultrarrelatividad
13
equivalentes. Las transformaciones entre observadores completos deben producir
automorfismos del álgebra que preserven la estructura algebraica. Esta es la misma
situación de la relatividad especial para observadores en el espacio tiempo y
transformaciones de Lorentz.
En particular los automorfismos internos son de la forma,
a ¢ = g -1a g ,
(2.2.2)
donde g es un elemento del mayor subespacio contenido en el álgebra A que constituya
un grupo. Esta acción corresponde al grupo adjunto actuando en A.
3,1
Para el espacio de Minkowski, denotado por R , el álgebra de Clifford R 3,1 es (2),
donde  es el anillo de seudocuaterniones [9] y el grupo correspondiente es GL(2,).
La adjunta del centro de este grupo, actuando en el álgebra, corresponde a la identidad.
+
El cociente con su subgrupo normal R es el grupo simple SL(2,). Por tanto, el grupo
que transforma no trivialmente a los observadores completos entre sí es SL(2,). Este
grupo es precisamente el grupo G de automorfismos correlacionados del espacio
espinorial asociado al álgebra geométrica. Podemos asociar una base espinorial o poliada
a un observador completo. Una transformación por G de un observador completo en
otro produce una transformación adjunta del álgebra y, en consecuencia, una
transformación de un subconjunto ortonormal en un subconjunto equivalente en un
subespacio de Minkowski diferente dentro del álgebra. La métrica en espacios
equivalentes de Minkowski en el álgebra A es la misma. Estas transformaciones
preservan el producto escalar de vectores espacio temporales sumergidos en el álgebra.
El subgrupo de G cuyo Ad(G), en adición, deja invariante al subespacio original de
Minkowski, se conoces como el grupo de Clifford. El subgrupo Spin del grupo de
Clifford se usa como norma en física para extender el principio de relatividad de
vectores a espinores. Como hay muchas copias del grupo espín L en SL(2,), en nuestra
extensión tenemos que escoger una copia particular de L especificando una aplicación
de inclusión i. En adición a escoger un elemento de L, un observador vectorial normal,
debemos escoger i, definiendo así un observador espinorial completo.
Este observador completo asociado a una poliada espinorial lleva no solo
información espacio temporal sino otra información interna relacionada con el álgebra.
El grupo SL(2,) de transformaciones de estos observadores completos transforma
las observaciones hechas por ellos. Las observaciones son relativas. El principio de
relatividad puede extenderse a esta situación. Designaremos esta extensión como
ultrarrelatividad para distinguirla de la relatividad especial y general.
Podemos enunciar el principio generalizado en la forma siguiente, reemplazando
el grupo Spin por SL(2,): Todos los observadores, definidos por poliadas espinoriales
asociadas al álgebra geométrica, son equivalentes bajo una transformación SL(2,)
para establecer las leyes físicas de los sistemas naturales.
La falta de unicidad de los subconjuntos ortonormales ha sido conocida por largo
tiempo en geometría. Hemos dado un significado físico a estos subconjuntos
ortonormales al asociarlos a observadores físicos. Esto implica que las transformaciones
GEOMETRÍA FÍSICA
14
Capítulo 2
permitidas físicamente son aquellas que mandan el álgebra a sí misma por sus propias
operaciones. También hemos dado un significado físico a estas transformaciones.
Adicionalmente debemos apuntar que nuestro álgebra es isomorfa al álgebra usual
de Dirac como un espacio vectorial pero no como álgebra. Ambas álgebras corresponden
a un espacio tiempo de signatura opuesta. El requisito de usar un intervalo temporal
para parametrizar la curva universal de un observador determina que el álgebra
apropiada no es el álgebra de Dirac, R 1,3 sino el álgebra R 3,1, que hemos indicado aquí.
Las diferencias prácticas se verán en el próximo capítulo.
2.3.
Relatividad de las Interacciones.
En la relatividad general [10] la variedad de espacio tiempo puede tener curvatura, la
relatividad especial es válida localmente y se introducen referenciales de observadores
locales que dependen de su posición en el espacio tiempo. De esta manera tenemos
campos de tétradas ortonormales en una variedad curva. La geometría de la variedad
determina el movimiento, introduciendo aceleraciones de naturaleza gravitacional o
inercial.
Similarmente, en nuestro caso, para incluir sistemas acelerados dejamos que el
espacio tiempo tenga curvatura e introducimos observadores locales completos que
dependen de sus posiciones. Pero ahora estos observadores se representan por
referenciales de espinores generales de acuerdo con la ultrarrelatividad, que es válida
localmente. De esta manera tenemos campos de poliadas espinoriales (referenciales)
que son secciones locales en un fibrado E con espacio base curvo M. La geometría
determina la evolución de la materia pero ahora tenemos, en adición a las aceleraciones
gravitacionales e inerciales, otras aceleraciones posibles debidas a otros campos de
fuerza. En otras palabras, tenemos ahora una teoría unificada geométricamente cuyas
propiedades debemos investigar.
La relación del espacio tangente TM de la variedad base, el espacio tiempo M, con
el álgebra geométrica determina una estructura de variedad hiperbólica en M. El álgebra
determina una métrica minkowskiana a la cual corresponde una conexión de LeviCivita en M. Si en un entorno normal U de un punto m de M se construyen todas las
geodésicas que emanan de m, correspondientes a esta conexión, podemos definir
coordenadas normales. Estas coordenadas se construyen usando el mapa exponencial
en M. La inclusión i determina, para cada vector en TM m , su imagen en el subespacio
de A subtendido por el subconjunto ortonormal i m. Estos vectores del álgebra pueden
ser exponenciados hacia un subespacio hiperbólico C de un espacio simétrico K,
definiendo, a su vez, coordenadas normales en este espacio simétrico. La
correspondencia de ambos sistemas normales de coordenadas define un homeomorfismo
h del entorno U en M hacia un abierto en el espacio hiperbólico K. De esta manera uno
puede construir un atlas sobre M cuyos homeomorfismos locales,
hi :U i ¾¾
K ,
(2.3.1)
Ultrarrelatividad
15
tienen valores en abiertos de K. Cuando dos cartas se solapan el cambio de coordenadas
corresponde a un elemento g del grupo G de automorfismos de A,
g
h j  hi-1 : hi (U i ÇU j ) ¾¾
 h j (U i ÇU j ) .
(2.3.2)
La acción del grupo G preserva la estructura lorentziana de K. En particular preserva el
producto interno lorentziano en el subespacio cuatridimensional K U de K que es la
imagen del entorno UM. Por lo tanto, el grupo G también preserva la distancia
hiperbólica definida para dos vectores temporales (puntos) x, y en K por
æ x y
dH (x , y ) = cosh -1 ççç
çè x y
ö÷
÷÷
÷ø
.
(2.3.3)
4
Como esta distancia suministra una métrica riemanniana sobre H , tenemos que G es
4
una isometría sobre H . Concluimos entonces que este atlas es una estructura
hiperbólica [11] sobre M como se definió en el apéndice E. Decimos que la variedad M
es una variedad hiperbólica modelada por K.
La curvatura de la geometría del fibrado es una curvatura generalizada asociada al
grupo SL(2,). Como es conocido que el subgrupo par de SL(2,) es el grupo Spin
relacionado con el grupo de Lorentz buscamos una teoría límite para obtener esta
reducción. Cuando los efectos de ultrarrelatividad son pequeños, esperamos que se
puedan escoger poliadas de modo que la parte impar sea pequeña de orden e. Esto se
realiza matemáticamente contrayendo el grupo SL(2,) con respecto a su subespacio
impar [12]. En el grupo contraído este subespacio impar se convierte en un subespacio
abeliano. Entonces la curvatura SL(2,) se reduce a
W = W+ +O (e) ,
(2.3.4)
donde W + es la curvatura par, del subgrupo par SL 1(2,C).
El resultado es que la curvatura se reduce a una curvatura SL(2,C) y una curvatura
U(1) separadas (que conmutan). Se sabe que una curvatura SL(2,C) puede representar
a la gravitación [13] y que una curvatura U(1) puede representar al electromagnetismo
[14, 15, 16].
Si tomamos este U(1) como representante del electromagnetismo usual, debemos
aceptar que en la teoría completa el electromagnetismo está relacionado con un
subgrupo SU(2) de SL(2,) obtenido usando los automorfismos internos. Similarmente
el SL(2,C) de la gravitación puede transformarse en un subgrupo equivalente por medio
de un automorfismo. Esta ambigüedad de los subgrupos representa una simetría de las
interacciones. Como los generadores incompactos son equivalentes a impulsiones
espacio temporales, su simetría generada puede considerarse externa. La simetría interna
se determina por el sector compacto no rotacional.
Es bien conocido en relatividad especial que el movimiento produce una relatividad
16
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 2
de los campos eléctricos y magnéticos. Como SL(2,) actúa sobre la curvatura, aparece
una relatividad intrínseca de los campos unificados, alterando los campos no unificados
vistos por un observador. Dado el subconjunto ortonormal correspondiente a un
observador, la curvatura SL(2,) se puede descomponer en términos de una base
generada por el subconjunto. Los términos cuadráticos corresponden a la curvatura
SL(2,C) y su asociada curvatura de Riemann vistas por el observador. Un campo
nombrado gravitación por un observador puede aparecer diferente para otro observador.
Estas transformaciones disfrazan las interacciones entre sí.
El álgebra asocia algunos generadores al espacio tiempo y simultáneamente a
algunas interacciones. Esto parece sorprendente, pero pensándolo bien es una
asociación natural. En un experimento, cambios debidos a un generador de interacciones
son interpretados por un observador como tiempo y distancia que se convierten en
parámetros de cambio. Entonces es natural que una reordenación, un giro, del espacio
tiempo dentro del álgebra corresponda a un reordenamiento de las interacciones. Un
observador completo tiene la capacidad de sentir fuerzas no imputables a su curvatura
riemanniana. Él las siente como fuerzas irriemannianas, o sea, fuera de la gravitación.
Esta capacidad puede ser interpretada como la capacidad de llevar ciertas cargas
generalizadas correspondientes a las interacciones no gravitacionales. La
ultrarrelatividad se interpreta esencialmente como una relatividad intrínseca de las
interacciones.
Es claro que para completar la teoría debemos establecer una ecuación de campo
para la curvatura generalizada, como se discutió en el primer capítulo. Anteriormente
apareció la necesidad de usar un grupo como el SL(2,) para evitar contradicciones
en las ecuaciones de movimiento unificadas de una partícula cargada. De hecho, fue
persiguiendo la significación física de este grupo que se encontró esta posible extensión
de la relatividad. Ahora es posible hacer las cosas al revés. Podemos escoger la
geometría usando la relatividad como fundamento. Los resultados anteriores son,
entonces, una consecuencia de aplicar estos primeros principios.
Algunos aspectos de la teoría dependen solamente de su geometría y no de una
ecuación particular de campo y pueden ser determinados directamente. Por ejemplo,
la materia debe evolucionar como una representación de SL(2,) en vez del grupo de
Lorentz. Por consiguiente, los estados de la materia están caracterizados por tres
números cuánticos que corresponden a los números discretos que caracterizan los
estados de una representación de SL(2,). Uno de estos números es el espín, otro está
asociado al SU(2) electromagnético. Esto nos permite reconocer este último como la
carga eléctrica.
Quizás debemos reconocer que la idea del quantum entró en la física moderna por
la determinación experimental de la existencia de cargas eléctricas discretas.
Posteriormente, las mediciones atómicas fueron explicadas por la teoría cuántica
suponiendo el quantum de espín pero la teoría cuántica no recibió la tarea de cuantizar
a la carga eléctrica. La posibilidad de obtener el quantum de carga como se explicó
anteriormente puede indicar que la teoría cuántica presente es una teoría incompleta
Ultrarrelatividad
17
como indicó Dirac [17].
Como un bono adicional, esta teoría suministra un tercer número cuántico para los
estados de la materia que puede ser reconocido como un quantum de flujo magnético,
y lograr así una explicación fundamental para el efecto Hall cuántico fraccional.
2.4.
Resumen.
Hemos visto que el uso de álgebras de Clifford permite extender el principio de
relatividad especial. Cuando este principio se generaliza a espacios curvos con
conexiones, surge la geometría de una teoría unificada. Adicionalmente, la geometría
sola implica la existencia de cuantos de carga, espín y flujo. Estas implicaciones
cuánticas sugieren que esta geometría sea el germen de la física cuántica.
Claro que siempre podemos tratar de evitar esta idea de la ultrarrelatividad. Para
hacer esto debemos escoger una de esas alternativas: 1- No usar las álgebras de Clifford
para nada. Las matrices de Pauli y Dirac son muy queridas por los físicos para tomar
esta alternativa seriamente; 2- Usar solamente el álgebra par del espacio tiempo. Esto,
de hecho postula que la gravitación está desacoplada del resto de las teorías físicas y
niega la posibilidad de una unificación geométrica; 3- Usar el álgebra completa pero
a) negar su relación geométrica a los espacios ortonormales, o b) negar todo significado
físico a esta relación. En este caso no estaríamos siguiendo a Einstein y Dirac en su
recomendación de obtener la física de las estructuras geométricas; 4- Usar el álgebra
completa pero negar la interpretación presentada aquí suministrando un significado
diferente.
Referencias
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1225 (1987). Vea el capítulo 3.
G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991). Vea los capítulos 7 y 11.
G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 24, 501 (1992). Vea el capítulo 6.
A. Einstein, Ann. Physik 17, 891 (1905).
Y. Porteous, Topological Geometry, (Van Nostrand Reinhold Co., London), Ch 13
(1969).
W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Francisco),
p. 1148 (1973).
P. A. M. Dirac, Proc. R. Soc. London, 117, 610 (1928).
G. González-Martín, USB preprint, 97c (1997).
Vea el apéndice A.
A. Einstein, Ann. Physik, 49, 769 (1916).
J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds (Springer-Verlag, New York)
(1994)
R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their Aplications (John Wiley and
Sons. New York), ch. 10 (1974).
18
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 2
13 M. Carmelli, Ann. Phys. 71, 603 (1972).
14 H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics (Dover, New York). (1931).
15 L. Infeld, B. L. van der Waerden, Sitzber. Preuss. Akad. Wiss. Physik Math. K1, 380
(1933).
16 W. L. Bade and H. Jehle, Rev. Mod. Phys. 25, 714 (1953).
17 P. A: M. Dirac, Directions in Physics (John Wiley & Sons, New York), p.20 (1978).
3. UNA TEORÍA UNIFICADA.
3.1.
Objetos Geométricos de la Teoría.
Para incorporar la gravitación y el electromagnetismo como una teoría de conexiones se
selecciona, como grupo de estructura G del fibrado principal E sobre el espacio tiempo M,
al grupo de automorfismos de los espinores del álgebra geométrica [1] de TMm. Este espacio
3,1
tangente es isomorfo a R con álgebra geométrica R3,1 y el grupo es SL(2,). El grupo tiene
una acción natural como automorfismos del espacio espinorial V asociado al álgebra R3,1.
Geométricamente construimos un fibrado vectorial VM sobre el espacio tiempo M, un fibrado
asociado a E con fibra V. Las secciones locales de E nos suministran bases locales para los
espacios espinoriales VM, que descansan encima del punto m del espacio base.
Los elementos duales del grupo g-1 y g corresponden a representaciones inequivalentes
de G. Como se indica en el apéndice A, para definir una correlación en el espacio espinorial
debemos incluir ambas representaciones en un espacio de doble dimensión S. Ponemos la
2
poliada y la copoliada juntas como elementos de la fibra G´G de un fibrado principal E.
Los objetos de interés son las poliadas materiales locales o entramados de espinores 2e
que representan la distribución de materia sobre la variedad de espacio tiempo.
La relación de las poliadas con los elementos del grupo se puede ver de la manera
siguiente. El proceso de medición es esencialmente la comparación de un sistema físico
desconocido con un sistema físico “de referencia” determinado con cierto grado de
arbitrariedad. La noción de medida sobre un sistema de referencia es lógicamente vacía
porque descansa en una comparación con sí mismo. El mismo problema surge en geometría
cuando se escoge una base en un espacio dado. De alguna manera es necesaria una definición
de una norma. Es natural identificar los sistemas físicos que se toman como norma con
otra poliada referencial, construida en principio por un entramado espinorial de observadores
con el mismo tipo de materia. La poliada material se relaciona con la poliada referencial
por medio de sus componentes que forman un elemento del grupo.
También construimos el fibrado E’, de bases ortonormales en TM, con grupo de
estructura SO(3,1) y el fibrado homomorfo E” con grupo de estructura SL(2,C). Podemos
incluir SL(2,C) en SL(2,) y en consecuencia, E” en E. Una base vectorial u en E’ puede
ser aplicada hacia una poliada en E. Podemos retroinducir un elemento del fibrado dual, una
copoliada e para definir una base de 1-formas q en E’.
Es natural exigir que la materia representada por la poliada material 2e, en ciertas
regiones del espacio tiempo, determine el campo de interacción representado por la
conexión. De esta manera una conexión SL(2,) se determina físicamente. Esta conexión
tiene una parte par que es una conexión SL(2,C) sobre M, en el fibrado E” y por lo tanto
induce una conexión SO(3,1) sobre M en el fibrado E’. Esta última conexión es
seudoeuclidiana, en el sentido usado por Lichnerowicz [2]. Entonces la métrica en M asociada
Capítulo 3
GEOMETRÍA FÍSICA
20
con esta conexión se define por compatibilidad, esto es por la relación,
g = 0 .
(3.1.1) )
Es conveniente resumir aquí las definiciones de los objetos geométricos que entran
en la teoría, con una notación que difiere algo de la usada previamente. El símbolo *
L
indica el dual de Hodge en *TM y V es el espacio espinorial dual a V. Tenemos:
-1
1. e , una sección de poliadas en el fibrado principal E. Puede ser identificada
L
L
con los homeomorfismos de las cartas e -1 : VM V.
L
2. e, una sección de copoliadas de E. Puede ser identificada con los
homeomorfismos e : VMV.
2
-1
3 . 2 e, la poliada material, una sección de E, correspondiente al par e, e .
4. w, la 1-forma de conexión en E, de tipo adjunto, w : TE  sl(2,)ÌR 3,1 y la
correspondiente 2w.
2
L
5. W, la 2-forma de curvatura, de tipo adjunto W :  TM VM Ä VM o
2
2
equivalentemente W : TE  R 3,1 y la correspondiente W.
3,1
L
6. k, el subconjunto ortonormal del álgebra geométrica R 3,1, k : R  V Ä V
2
y el correspondiente k.
7. i*w, la conexión en TM, retroinducida de la conexión w, i*w:TE’so(3,1)
2
8. g, el tensor métrico en M inducido de i*w , g: T M  R.
9. u, la tétrada ortonormal, compatible con g, una sección de E’, u : *TM 
3,1
R .
3
10.*J, la 3-forma densidad tensorial de corriente, de tipo adjunto, *J : TM
L
VM Ä VM.
Debe indicarse que la conjugación en el álgebra no suministra un producto invariante
en V a menos que se restrinjan las transformaciones a un subgrupo. Este hecho impone
ciertas limitaciones a la fuente de corriente propuesta en [3]. Usando los significados
geométricos contenidos en las definiciones previas podemos esperar que la fuente de
corriente más simple en la ecuación de campo debe tener la forma siguiente,
J = e -1i  u e
,
(3.1.2)
donde el símbolo  representa el producto escalar en R e i es un subconjunto
ortonormal, definido módulo equivalencia bajo el grupo SL(2,).
Las fibras de los fibrados principales E, E’, tienen la estructura de bases. Como
existe la aplicación k de Clifford, usando la inclusión de E’ a E es posible definir una
forma en E relacionada con la forma de soldadura [4] en E’.
3,1
3.2.
Principio Variacional.
En muchos casos es conveniente tener un principio variacional para las ecuaciones
de la teoría, asegurando de esta manera la compatibilidad entre las ecuaciones
geométricas. Usando la correlación invariante bajo SL(2,) en el espacio de doble
Una Teoría Unificada
21
dimensión S, discutida en el apéndice A, es posible introducir una 4-forma l compuesta
de dos partes. La primera parte depende de la conexión SL(2,). Se construye de la
curvatura usando el producto exterior y la métrica de Cartan-Killing asociada al grupo
de estructura, obteniendo una forma canónica. La segunda parte está determinada por
una 4-forma en función de la poliada, su derivada covariante y una 3-forma valuada en
el álgebra, *i, que representa al subconjunto ortonormal módulo una transformación
del grupo que preserva la correlación en el espacio espinorial S. La expresión es
é *
l = 41 tr ê- 2W  2W + k
ë
{ e
2
( 2i  u -1 )  D 2e + D 2e  ( 2i  u -1 ) 2e}ùúû
*
*
(3.2.1)
o en forma de componentes, el lagrangiano es
1 é
é
L = 41 tr ê(-g ) 2 ê -41 2W mn 2Wmn + k
ë
ëê
{ e ( i  u)  e}ùúû ùúûú
2
2
m
2
m
.
(3.2.2)
Para obtener esta expresión usamos el hecho de que la operación ~ corresponde al
inverso y transferimos la derivada a la variable 2e. Entonces usamos las propiedades
de la traza para mover variables en el último monomio desde el final hacia el principio.
En el procedimiento variacional tomaremos la conexión y la poliada material como
las variables dinámicas del problema, determinando de esta manera la conexión
geométrica en términos de la poliada material. La tétrada ortonormal u debe ser
introducida para tener aplicaciones bien definidas entre los espacios. Su cotétrada
dual q puede ser definida partiendo de la copoliada e como se mostrará en un capítulo
posterior. Como esta relación es complicada, preferimos tratar a la tétrada ortonormal
u como variable independiente obteniendo así una ecuación adicional del principio
variacional. Permitiendo esta variación independiente de u la mantenemos separada
de la conexión permitiendo la posibilidad de torsión como vínculo entre estas
estructuras. El tensor métrico no es una variable dinámica. La ec. (3.1.1) implica que
el grupo de holonomía de la conexión inducida en E’ deja invariante el tensor métrico
[2]. La métrica es invariante bajo SO(3,1). La expresión de la métrica, con las tétradas
ortonormales usadas, permanece igual a la métrica de Lorentz.
Si variamos con respecto a la conexión obtenemos la ecuación
1
n
m êé(-g ) 2 2W nm ùú = k 2e ( 2i  u ) 2e ,
ë
û
(3.2.3)
o
*
D 2W = k 2e
*
( 2i  u -1 ) 2e
,
que implica partiendo la expresión en subespacios V de S,
(3.2.4)
GEOMETRÍA FÍSICA
22
éD *W
ée -1 0 ù é *i  u -1
ù ée 0 ù
0 ùú
0
ê
ê
úê
úê
ú ,
k
=
-1 ú
* ú
*
-1 ú ê
ê 0
ê
ú
ê
0
e
0
0

D
W
e
i
u
ë
û
ë
û
ë
ûë
û
Capítulo 3
(3.2.5)
o
D *W = ke -1
*
(i  u -1 )e
(3.2.6)
y su conjugada,
D *W = ke
*
(i  u -1 ) e -1
,
(3.2.7)
que son las ecuaciones de campo propuestas [5].
Si variamos la poliada 2e , como la operación ~ corresponde al inverso y el grupo de
variaciones escogido es precisamente el que preserva esta correlación [6] en los
espacios espinoriales asociados, la variación total del producto de 2e por 2e es nula.
Si usáramos la técnica de multiplicadores de Lagrange para vincular 2e con 2e , como el
vínculo tiene variación total cero, bajo SL(2,), las ecuaciones resultantes son
equivalentes a las obtenidas por variaciones independientes. Obtenemos entonces, para
variaciones de 2e bajo el grupo, la ecuación
2 2i  u mm 2e + 2i  m u m 2e = 0
(3.2.8)
que implica, partiendo la expresión en los subespacios V de S,
2i  u mme + i  mu me = 0
(3.2.9)
y su ecuación conjugada. Esta ecuación determina la densidad de movimiento de la poliada e
y tiene la estructura de la ecuación de Dirac.
Alternativamente, en vez de variaciones independientes, podemos usar que 2e es el
inverso de 2e. La variación completa nos da
 2e  2  u  2e  2e   2e 2  u 2e   0 ,

(3.2.10)
 e   u e   0 ,
2
2
 2
(3.2.11)
que es la ecuación de conservación de la densidad de corriente J. Esta ecuación también
se obtiene geométricamente de la primera ec. (3.2.4),
D
{ e
2
*
( 2i  u -1 ) 2e} = k DD * 2W = k éêë 2W ,
1
1
W ùú = 0 .
û
*2
(3.2.12)
Una Teoría Unificada
23
Esta ecuación de conservación nos lleva a
m 2e 2i  u m 2e + 2e 2i  mu m 2e + 2e 2i  u mm 2e = 0 ,
(3.2.13)
que puede escribirse en la forma
( 2e 2i  u mm 2e + 21
e 2i  mu m 2e ) = 2e 2i  u m m 2e +
~
2
e 2i   m u m 2e .
1 2
2
(3.2.14)
Por otra parte, como la expresión en paréntesis es un elemento del álgebra, la operación
~ invierte su signo y obtenemos la ec. (3.2.9), indicando la consistencia de las
ecuaciones variacionales.
Recordemos que la forma lagrangiana l se construyó de la 3-forma corriente J que
depende del conjunto ortonormal k. Esto introduce, en la 3-forma *i representativa del
álgebra, una dependencia de la poliada ortonormal u, como sigue,
im =
1 mn1n2n3
1
e
kn1 kn2 kn3 = e mn1n2n3 unaˆ11 unaˆ22 unaˆ33 kaˆ1 kaˆ 2 kaˆ 3 .
3!
3!
(3.2.15)
La dependencia explícita total de la parte material del lagrangiano está contenida en
el término
i mu mrˆ =
1 mn1n2n3 rˆ aˆ1 aˆ 2 aˆ 3
(e umun1 un2 un3 )kaˆ1 kaˆ2 kaˆ3 .
3!
(3.2.16)
El término encerrado en paréntesis es proporcional al elemento de volumen, la 4-forma
S,
d
d
ˆ
e mn1n2n3 u mbunaˆ11 unaˆ22 unaˆ33 = 4 ! r
r
du
du
(
)
(u
*
bˆ
)
 u aˆ1  u aˆ 2  u aˆ 3 = 4 !
d *S
. (3.2.17)
du r
La variación de S con respecto a la forma ortonormal u es una 3-forma relacionada
con el producto interior u  S. Obtenemos, para la variación de este término,
dS
= 4u r  S
du r
(3.2.18)
y podemos escribir
æ1
ö
d (i mu mrˆ ) = 4 çç e mn1n2n3 kn1 kn2 kn3 ÷÷÷ du mrˆ = 4i m du mrˆ .
çè 3!
ø
(3.2.19)
La dependencia del lagrangiano en la métrica, que es cuadrática en u, determina
GEOMETRÍA FÍSICA
24
Capítulo 3
una variación implícita adicional. La ecuación variacional resultante es
tr éêë 4 2Wrnˆ 2W mn - u rmˆ 2W kl 2Wkl ùúû = k tr éêë 4 2e 2i  u ( m rˆ ) 2e - u rmˆ 2e 2i  u n n 2e ùúû
(3.2.20)
que implica, partiendo la expresión en sus subespacios V de S,
tr éêë 4Wrnˆ W mn - u rmˆ W klWkl ùúû = k tr éê 4e-1i  u (m rˆ ) e - u rmˆ e-1i  u n n e ùú
ë
û
(3.2.21)
y su ecuación conjugada. Esta expresión, una función de la 2-forma W y de la densidad
vectorial i, tiene la estructura de una suma de términos de la forma correspondiente al
tensor energía impulso del campo electromagnético. Se puede definir un tensor con la
estructura de energía impulso usando esta ecuación. Es claro que este tensor no
representaría la fuente de la ecuación de campo sino solamente la energía impulso
total de la conexión y la poliada.
Esperamos que haya soluciones para las cuales cualquier vector de la tétrada
ortonormal del espacio tiempo sea un campo sin fuentes, por lo menos en una región
finita R, por su posible interpretación física como un sistema físico de referencia.
Entonces el flujo de los campos vectoriales en u que crucen cualquier hipersuperficie
cerrada S alrededor de una región R en el espacio tiempo debe ser cero,
òu
m
-gdS m = 0
m
-gdS m = ò ¶m
(3.2.22 )
¶R
y
òu
¶R
R
(
)
-gu m dV = ò mu m -gdV = 0
(3.2.23)
R
para cualquier región arbitraria R del espacio tiempo M. Esto implica que
m uâm = 0
(3.2.24)
y la ecuación de movimiento para la poliada se simplifica bajo estas condiciones,
i  u mme = 0 .
(3.2.25)
Como i es cualquier subconjunto ortonormal, podemos especializar, por ejemplo,
a las matrices explícitas k m, k 5k 0k m o e -1 ke obteniendo ecuaciones equivalentes a las
indicadas anteriormente.
Cuando se considera el problema externo, o sea, regiones del espacio tiempo donde
no hay materia, y se tome solamente la parte par gravitacional, las ecuaciones obtenidas
Una Teoría Unificada
25
son similares a las gravitacionales de Yang. Fairchild [7] ha mostrado que, para la teoría
de Yang, [8] la ec. (3.2.21) es suficiente para eliminar las soluciones espurias de vacío
encontradas por [9, 10] y Thompson [11].
Para el problema interno donde la fuente J no es cero, la teoría es esencialmente
diferente a la teoría de Yang. La teoría gravitacional de Yang se puede ver como una
teoría de una conexión en el fibrado principal de tétradas lineales TM m con grupo de
estructura GL(4,R). En la teoría de Yang el grupo actúa sobre el espacio tangente de M
y por lo tanto, es diferente de la teoría bajo discusión. La conexión en la teoría de
Yang no es necesariamente compatible con la métrica, lo que produce las dificultades
indicadas. Como la métrica y la conexión permanecen compatibles en nuestra teoría,
el espacio base permanece seudoriemanniano con torsión evitando las dificultades
discutidas por Fairchild y otros.
3.3.
Algunas Relaciones Algebraicas.
Hay una acción de SL(2,) sobre las copoliadas materiales de los espacios. Esta es
realmente un cambio en los homeomorfismos entre cartas que se logra cambiando una
sección e -1 en el fibrado E por la acción del grupo por la derecha o cambiando una
L
sección e en el fibrado E por la acción del grupo por la izquierda. Estos cambios de
bases se pueden entender como una acción de SL(2,) sobre los espacios verticales
de los fibrados vectoriales VM y SM. Bajo esta acción e se transforma como vector,
ˆ
e aˆ = gbaˆˆeb ,
(3.3.1)
bˆ
(e -1 )aˆ = (e-1 )bˆ ( g -1 )aˆ
.
(3.3.2)
Las filas y columnas de las matrices correspondientes se transforman como vectores
bajo un cambio de la poliada material (transformación activa) o la poliada referencial
(transformación pasiva). Las ecuaciones son covariantes bajo estas transformaciones.
Una situación similar ocurre en el espacio tangente de M,
ˆ
uaˆ = ubˆ Lbaˆ
(3.3.3)
y es el punto de vista normal tomado en la mecánica cuántica donde las derivadas ¶ a
se asocian a las componentes del vector impulso y su módulo es
ˆ
ˆ
¶ 2 = h ab
¶aˆ ¶bˆ .
(3.3.4)
Esta situación contrasta con el punto de vista tomado en geometría diferencial donde
las ¶ a, forman un conjunto de cuatro vectores (tétrada) en M.
Dentro de nuestro enfoque geométrico, por lo tanto, entenderemos las
GEOMETRÍA FÍSICA
26
Capítulo 3
transformaciones en la mecánica cuántica de los vectores ¶ a y espinores e a como
transformaciones activas de las poliadas vectoriales o espinoriales consistentes con
nuestra representación de la materia por poliadas. La teoría debe ser covariante bajo un
cambio SL(2,) de la poliada material e o la poliada referencial.
Dada una conexión en el fibrado principal tenemos una forma de conexión que
actúa infinitesimalmente sobre los componentes de los elementos de SM por la izquierda
L
(y sobre elementos de SM por la derecha), representando la interacción.
En términos de manipulación de índices, podemos decir que la conexión, con la
poliada referencial fija, opera sobre índices de componentes vectoriales de la poliada
material. El cambio de poliada referencial opera sobre los índices que indican los
vectores de la poliada referencial. La expresión para la derivada covariante en términos
de los coeficientes de la conexión G de la 1-forma local i*w, relativa a una poliada
referencial,
(uamˆ kaˆ aˆe )m = uamˆ kbaˆˆaˆ (¶membˆ -enbˆG mnm )
aˆ
,
(3.3.5)
muestra los índices a, a como índices de los vectores de una poliada y los índices m, n,
m como índices de componentes.
Como nuestro formalismo se basa enteramente en copoliadas espinoriales y tétradas
vectoriales ortonormales, las derivadas indicadas en expresiones como la ec. (3.2.9)
pueden ser derivadas anholonómicas.
Cualquier elemento del álgebra se puede escribir en términos de su parte par y su
parte impar
a = a + + k 0a-
(3.3.6)
y puede ser representado por una matriz de dimensión doble con componentes pares
como sigue
éa + -a-† ù
ú
a  êê
† ú
a
a
+ û
ë -
.
(3.3.7)
Usando esta técnica representamos los objetos como sigue
é h -x † ù
ú
eê
êx h † ú ,
ë
û
(3.3.8)
éG
-G -† ùú
G  êê +
† ú
ëG - G + û
(3.3.9)
Una Teoría Unificada
27
y como
k m = k 0k 0 †k m = k 0 s m ,
(3.3.10)
é 0 -s m ù
ú .
km  ê m
ês
ú
0
ë
û
(3.3.11)
3.4. Ecuaciones de Movimiento para la
Poliada Material.
Si seleccionamos la densidad vectorial i m =k m obtenemos una expresión explícita para
las ecuaciones de densidad de movimiento de una poliada material, e,
k m (¶me -eG m ) + 21 k aˆ n u anˆ e = 0 ,
(3.4.1)
que tiene partes par e impar,
s m (¶m x - xG + m - h †G -m ) + 12 s aˆ +n u anˆ x = 0 ,
-s m (¶m h - hG +m + x †G -m ) - 21 s aˆ +n u anˆ h = 0
(3.4.2)
,
(3.4.3)
que se pueden escribir,
s m+m x + 12 s aˆ +n uanˆ x = s m h †G-m
,
-s m+m h - 12 s aˆ +n uanˆ h = s m x †G -m .
(3.4.4)
(3.4.5)
Una solución particular para estas ecuaciones corresponde a
x† =x
,
(3.4.6 )
h† = h .
(3.4.7)
Si en adición la parte SL(2,C) de la conexión es cero y
G+m = k 5Am = iAmI
G-m = mdm0 ,
haciendo,
,
(3.4.8)
(3.4.9)
GEOMETRÍA FÍSICA
28
Capítulo 3
x  ix ,
(3.4.10)
obtenemos
s m (i¶m + Am ) x = m h ,
(3.4.11)
s m (i¶m + Am ) h = m x ,
(3.4.12)
que son ecuaciones de Dirac con el acoplamiento electromagnético usual si
identificamos la conexión con el acoplamiento minimal eA. Estas expresiones deben
ser comparadas con aquellas presentadas en [3], donde el acoplamiento
electromagnético no era el usual. En la sección siguiente discutiremos el origen de la
diferencia.
Las matrices reales 4´4 pueden ser representadas por matrices complejas 2´2 Las
columnas resultantes se pueden tomar como un par de espinores de dos componentes
y vemos que la poliada original se descompone en espinores complejos
x  (xA
xB ) ,
(3.4.13)
h  (hA
hB ) .
(3.4.14)
Estas ecuaciones son un par de ecuaciones de Dirac, en la forma normal de dos
componentes. La interpretación natural es decir que los campos de Dirac pueden ser
representados geométricamente por una poliada espinorial en el fibrado vectorial
asociado. Las “ecuaciones de campo” de Dirac son las ecuaciones de movimiento
correspondientes o el trasplante covariante de la poliada espinorial.
3.5.
Relación con la Teoría Cuántica.
3.5.1.
Acuerdo con la Mecánica Cuántica.
Consideremos primero la mecánica cuántica de partículas libres. Por esto entendemos
que no exista ningún acoplamiento explícito a un campo externo o de interacción,
excluyendo posiblemente la autointeracción que pueda dar origen al término de masa en
la ecuación de Dirac. Esto implica, en nuestra teoría, que la conexión es cero excepto por
el parámetro de masa.
Las ecuaciones de la teoría son esencialmente relaciones entre matrices que representan
poliadas espinoriales generalizadas. Hemos introducido matrices de biespinores h, x iguales
a las partes par e impar de la poliada respectivamente.
Tenemos las siguientes ecuaciones para las partes h, x,
Una Teoría Unificada
29
is m¶ m x = m h ,
(3.5.1)
i s m ¶m h = m x ,
(3.5.2)
que implican que una poliada para una partícula masiva debe tener partes par e impar.
En nuestro caso, si ponemos la parte impar igual a cero obtenemos que m es cero.
s m ¶m h = 0 .
(3.5.3)
Debe quedar claro que una onda que se mueva a lo largo del eje z positivo de acuerdo
a esta ecuación admite solamente funciones de onda con valores propios negativos de
3
s . Esto significa que el campo de masa cero asociado a una poliada par tiene helicidad
negativa. En otras palabras, esta ecuación debe asociarse al campo del neutrino. La
inexistencia de neutrinos de helicidad positiva se debe, en nuestra teoría, a la
imposibilidad de tener una poliada impar pura. La razón geométrica es que un fibrado
principal no puede ser definido con la parte impar solamente porque esta no forma un
subgrupo.
Si una excitación del campo corresponde a una representación de un subgrupo con
números cuánticos específicos, puede ser asociada a una sola de las columnas
espinoriales de la matriz asociada, la que tenga los números cuánticos correspondientes.
En concordancia, restringimos las excitaciones o fluctuaciones de poliada a matrices con
una sola columna en cada una de las dos partes de la poliada, la par h y la impar x.
é h 1ˆ 0 ù
ú ,
h = êê 1ˆ
ú
2
êë h1 0 úû
(3.5.4)
é x 1ˆ 0 ù
ú .
x = êê 1ˆ
ú
2
êë x1 0 úû
(3.5.5)
Restringimos ahora al subgrupo par simple SL(2,C), homomorfo al grupo de Lorentz.
Como se muestra en el apéndice A las partes h, x tienen transformaciones inequivalentes
bajo este grupo,
h¢ = lh ,
(3.5.6)
x ¢ = l* x .
(3.5.7)
Estas columnas son representaciones espinoriales de este grupo.
Podemos formar un espinor de cuatro dimensiones (Dirac) adjuntando estos dos
espinores, donde las componentes h, x son dos biespinores complejos. Combinamos
30
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 3
las dos columnas en un cuatriespinor de Dirac,
é x 1ˆ ù
ê 1ú
ê 2ˆ ú
êx ú
y = ê 1ˆ ú .
êh1 ú
ê 1ú
ê 2ˆ ú
ëê h1 ûú
(3.5.8)
Mostramos ahora que las partes par e impar de la poliada están relacionadas con las
componentes izquierda y derecha del campo. Calculemos las partes izquierda y derecha
obteniendo, omitiendo los índices,
æ x ö æ0 ö
yL = 12 (1 + g 5 ) y = 21 (1 + g 5 )çç ÷÷÷ = çç ÷÷÷ ,
èçh ø÷ èçh ø÷
(3.5.9)
æ x ö æx ö
yR = 12 (1 - g 5 ) y = 12 (1 - g 5 )çç ÷÷÷ = çç ÷÷÷ .
çèh ÷ø çè0÷ø
(3.5.10)
Encontramos que la componente izquierda es equivalente al campo h que a su vez
se define en términos de la parte par del poliada. Similarmente vemos que la parte
derecha es equivalente al campo x y consecuentemente a la parte impar del campo. En
consecuencia una poliada par corresponde a una partícula izquierda, como debe ser
para un neutrino. Esta excitación de una poliada de Lorentz tiene las propiedades del
neutrino.
Es fácil comprobar que la traza de las matrices correspondientes nos da,
y †y = tr (h † h + x † x ) .
(3.5.11)
Es claro que las ecuaciones se combinan, con las definiciones usuales, para producir
la forma estándar de la ecuación de Dirac,
i g m ¶m y = m y .
(3.5.12)
Originalmente la mecánica cuántica introdujo el operador diferencial de Schrödinger
que actúa sobre funciones escalares. Mas tarde se determinó que las funciones de onda
tienen una estructura espinorial y se introdujeron los operadores diferenciales
matriciales de Pauli y Dirac. El acoplamiento minimal normal, j.A, originalmente fue
un acoplamiento espacio temporal a través de la estructura compleja del grupo abeliano
U(1). Como se mostró en las ecs. (3.4.11, 3.4.12), hay esencialmente un acuerdo de
nuestra teoría con este acoplamiento U(1). Volveremos a esta cuestión en los caps. 12 y 16.
Una Teoría Unificada
3.5.2.
31
Diferencias en Acoplamiento Inabeliano.
Los acoplamientos normales, aunque válidos como hipótesis física, no se prestan
fácilmente para interpretaciones geométricas y generalizaciones. Al contrario, nuestro
enfoque es geométrico desde el comienzo. Las diferencias prácticas de nuestra teoría
con las técnicas normales aparecen, no propiamente en la mecánica cuántica sino en la
forma en que se introducen acoplamientos inabelianos cuando es necesario describir
las interacciones. Hay dos diferencias:
1. El uso de poliadas espinoriales en vez de espinores sencillos;
2. El uso del grupo SL(2,) en vez de grupos de simetría interna.
3.5.2.1.
Poliadas Espinoriales.
Los acoplamientos normales exigen la definición de un mecanismo para introducir
el acoplamiento. Cuando se introduce un acoplamiento estándar con la gravitación
(curvatura del espacio tiempo), se hace actuar la conexión sobre los espinores de la
misma manera que las matrices g. Para otras interacciones el término j.A, fue generalizado
en teorías de calibre para incluir una acción interna sobre la materia (uso de índices
internos adicionales). Este acoplamiento normal no permite un acoplamiento geométrico
espacio temporal completo a otras interacciones como se presenta aquí. Reconociendo
la estructura poliádica de e, como una función de onda generalizada de la mecánica
cuántica, separamos la acción de la conexión de la acción de las matrices k, modificando
esencialmente los posibles acoplamientos geométricos de la teoría.
Para ilustrar este punto consideremos la formulación dual de la teoría, en particular,
la ecuación de movimiento en términos de la poliada material dual e -1 . Como se indicó
en la ec. (3.3.5) la acción de las matrices k es sobre los índices poliádicos mientras
que la acción de la conexión es sobre los índices de componentes espinoriales. La
ecuación es
m e -1k m = (¶m + Gm )e -1k m = 0 ,
(3.5.13)
donde e es una poliada en el fibrado principal y k es un subconjunto ortonormal del
álgebra geométrica. Separemos e -1 en su parte par y su parte impar en el álgebra A.
Similarmente separemos la conexión G en su parte par G + y su parte impar G - La
ecuación previa se convierte en,

(¶ h + ¶ xk )k
m
m
0
m




+ (Gm+ h + Gm+ xk 0 + Gm- h + Gm- xk 0 ) k m = 0 ,
(3.5.14)
que puede ser separada en sus partes par e impar llegando al par de ecuaciones,


m+ h k m = -Gm- xk 0 k m ,
(3.5.15)


m +xk0km = -Gm- hkm ,
(3.5.16)
GEOMETRÍA FÍSICA
32
Capítulo 3
donde la derivada covariante se entiende respecto a la parte par de la conexión G +.
Si suponemos que G + es cero y que,
G-m = mdm0 ,
(3.5.17)
el par de ecuaciones se convierte en,


¶m hk m = m x †k0 ,
(3.5.18)


¶m xk0k m = m h †
(3.5.19)
.
Si tomamos como antes, las componentes hermíticas,


¶m hk m = m xk 0 ,
(3.5.20)


¶m xk 0k m = m h ,
(3.5.21)
escritas usando números complejos,


¶m hs m = m x ,
(3.5.22)


-¶m xs m = m h ,
(3.5.23)
obtenemos, cambiando


x  -i x ,


i¶m hs m = m x ,
(3.5.24)


i¶m xs m = m h ,
(3.5.25)
que son ecuaciones equivalentes de Dirac. Esta distinción entre las formulaciones duales
no aparece en la mecánica cuántica relativista normal.
3.5.2.2.
El Grupo de Automorfismos.
Los automorfismos no forman un grupo interno sino uno asociado al álgebra
geométrica de Clifford. Hay dos álgebras geométricas asociadas al espacio plano y se
escogió una, como se discutió en el capítulo 2, exigiendo que se use un intervalo
temporal (en vez de un intervalo espacial) para parametrizar la línea temporal universal
de un observador. Debe indicarse que si se escogiera el otro grupo, SL(2,Q) donde Q
el cuerpo de los cuaterniones la ec. (3.2.9) nos llevaría a ecuaciones cuánticas libres
Una Teoría Unificada
33
en 2 componentes, similares a la ecuación de Dirac pero con un signo menos adicional.
La existencia de este signo extra se puede ver de la manera siguiente. Primero notemos
que las hipótesis hechas implican que las ecuaciones se reducen a
k m¶me = -me
(3.5.26)
y despejando e de la última ecuación y sustituyendo de vuelta en la misma ecuación, se
obtiene una ecuación de Klein-Gordon como debe ser. Si usamos las matrices g como el
subconjunto ortonormal de R 1,3, estaríamos repitiendo los cálculos reemplazando las
k por las g finalmente llegando a reemplazar
k mk n ¶m¶ne = m 2e  g m g n ¶m¶ne = m 2e ,
(3.5.27)
que es imposible de evitar porque estamos trabajando con un álgebra real sobre las
matrices k (o matrices g) y entonces m debe ser real. No obtenemos la ecuación de
Klein-Gordon. Claro que podríamos tomar ig como subconjunto ortonormal pero esto
implicaría que realmente trabajamos en la misma álgebra de Clifford R 3,1 y el mismo
grupo SL(2,), solamente con un cambio trivial de notación para el subconjunto
ortonormal. Al contrario, en la mecánica cuántica normal trabajamos con el álgebra
R 1,3 generada por las g y adicionalmente se introduce una i en el operador de Dirac
para adaptarse al operador de Schroedinger. El punto es que la introducción de esta i
extra significa, geométricamente, la necesidad de usar la otra álgebra y un grupo
diferente. El álgebra y el grupo adecuados son en términos del anillo  en vez del
cuerpo Q. Aunque el uso de cualquiera de ellos no importa en la derivación de las
ecuaciones de movimiento clásicas de Lorentz, si importa cuando se derivan las
ecuaciones cuánticas de movimiento de la teoría geométrica. La presencia del sector
impar, fundamental en la definición de masa, rompe el isomorfismo de las álgebras.
3.6.
El Sector Electromagnético.
La fuente de corriente material en esta teoría es la corriente J que se construye de
objetos geométricos fundamentales. Ahora encontraremos una expresión para la
corriente eléctrica j que es una componente de la corriente material generalizada J.
Sabemos que la corriente eléctrica es la fuente de las ecuaciones de Maxwell. Estas
ecuaciones corresponden a nuestra ecuación de campo cuando la conexión es cero
excepto la parte correspondiente al generador electromagnético. Este generador ya
esta determinado por el requisito de que las ecuaciones de Lorentz se obtengan de la
ecuación de campo [3, 12]. Esto implica que el generador electromagnético puede ser
uno de los tres generadores del grupo SU(2) que no se identifica con las rotaciones.
Hemos visto que la ecuación de Dirac con el acoplamiento electromagnético normal
es una solución particular de las ecuaciones de movimiento cuando el generador
electromagnético es k 5. En principio, la corriente electromagnética puede ser asociada
a la componente k 5 de la corriente generalizada J. Esta componente surge si e es
GEOMETRÍA FÍSICA
34
Capítulo 3
generado, por ejemplo, por exponenciación de k 1k 2 k 3. Como k 5 es equivalente a k 0 hay
una forma más sencilla para hallar la corriente electromagnética. Para hallarla
restringiremos el grupo a un subgrupo particular que tiene solo uno de los generadores
electromagnéticos.
El operador conjugación en el álgebra A tiene valores propios 1. El subespacio
generado por k a y k [ak b], define una subálgebra de Lie A p . La exponenciación de esta
subálgebra nos da el subgrupo P de G cuyos elementos tienen la forma,
e = exp (a p ) .
(3.6.1)
El inverso en esta subálgebra se obtiene por la conjugación,
e = exp (-a p ) = e -1 .
(3.6.2)
Si el subconjunto i es justamente k tenemos la corriente generalizada,
J m = ek aˆ uamˆ e .
(3.6.3)
Si escogemos k 0 como el generador electromagnético, el único de los tres contenido
en P, estaríamos interesados en la componente k 0 de la ec. (3.2.6),
- 41 tr (k 0 *D *W ) = - 41 tr (k 0J ) .
(3.6.4)
Si no hay componentes de conexión adicionales, aparte de k 0, la ecuación se reduce a
las ecuaciones de Maxwell,
D * F = d *F = k *j ,
(3.6.5)
incluyendo la identidad de Bianchi,
DF = dF = 0
(3.6.6)
y la expresión para la corriente eléctrica debe ser la componente k 0 de J. Como solo la
parte impar contribuye a la traza, podemos escribir, usando la ec. (3.6.4),
j m = - 41 tr ((e+k me+ + e-k me- ) k 0 )
(3.6.7)
reconociendo la relación
e = h + k0 x ,
(3.6.8)
tenemos
j m = 41 tr (x †s m x + h †s m h ) .
Finalmente, como las matrices son pares de biespinores, podemos escribir,
(3.6.9)
Una Teoría Unificada
j m = 41 (x1†s m x1 + x2†s m x2 + h1†s m h1 + h2†s m h2 ) .
35
(3.6.10)
Esta es la expresión usual de la corriente eléctrica en forma espinorial para los dos
campos de los dos espinores asociados a una poliada dada. Esto puede verse usando la
expresión en términos de un espinor de Dirac y y las matrices g,
j m = Yg m Y
j m = éêëh †
,
é0
x † ùúû ê m
ês
ë
(3.6.11)
s m ùú é x ù
ê ú = x †s m x + h †s m h
ú
0 û êë h úû
.
(3.6.12)
Si tomamos estos resultados en consideración, se ratifica que el electromagnetismo
0
5
0 5
puede ser representado por los generadores k , k , k k de una subálgebra de sl(4, R),
isomorfa a su(2). El electromagnetismo es un sector correspondiente a un subgrupo de
SL(2,), isomorfo a SU(2), y no por un subgrupo U(1).
De la misma manera que una rotación uniparamétrica puede ser representada por
una combinación lineal de los tres generadores de rotación dependiendo de la base
escogida como referencia, un electromagnetismo uniparámetrico puede ser representado
por una combinación de los tres generadores k 0, k 5, k 0k 5 dependiendo de la base interna
escogida.
La cuantización de la carga eléctrica puede verse como una consecuencia de la
relación del electromagnetismo con este subgrupo SU(2) de la misma manera que la
cuantización del espín es una consecuencia del grupo de rotaciones.
3.7.
Otras Interacciones.
Debe entenderse que en una teoría verdaderamente unificada la distinción entre
los diferentes tipos de campos no es clara, en la misma forma en que la distinción
entre los campos eléctrico y magnético no es clara en la relatividad. Dado un sistema
de referencia es posible hablar de los diferentes campos medidos por un observador
asociado al sistema. Los generadores adicionales exigidos por la teoría para evitar las
contradicciones en el movimiento de partículas cargadas, pueden ser asociados a otras
interacciones, por ejemplo, las fuerzas nucleares. Para considerar esta conjetura
seriamente debemos, en primer lugar, discutir si la teoría contiene los ingredientes
que puedan permitirnos decir que ella no contradice, a primera vista, las características
principales de la fenomenología de las interacciones nucleares fuertes y débiles. Al
final del libro volveremos a este tema con mas detalles.
Se conoce que las conexiones en un fibrado pueden ser clasificadas usando los
grupos de holonomía de la conexión. Si este grupo es uno de los dos subgrupos
compactos SU(2) podemos decir que la conexión describe interacciones que son
respectivamente dependientes del espín o de la carga eléctrica. Si tomamos el subgrupo
36
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 3
par L, de seis parámetros, podemos decir que la conexión describe a la interacción
gravitacional. Si tomamos el subgrupo P generado por k a y k [ak b] podemos decir que
la conexión representa una interacción no trivial que acopla la gravitación con fuerzas
electromagnéticas. Finalmente, si el grupo de holonomía es todo el grupo G podemos
decir que la conexión representa interacciones adicionales posiblemente relacionadas
con las fuerzas nucleares. Como LÌPÌG, este esquema nos permite clasificar las
interacciones geométricamente en un orden cada vez más complejo.
Esta cadena de grupos tiene una simetría porque no hay una manera única de
identificar L  G y L  P. El cociente G/L representa cuantos subgrupos equivalentes a
L hay en G. También hay una relación de equivalencia R entre los generadores
incompactos de G, todos ellos equivalentes a un generador de impulsión o simetría
externa del espacio tiempo. El subespacio obtenido como cociente de G/L por esta
relación es el grupo de simetría interna de L  G,
G /L
= SU ( 2) .
R
(3.7.1)
Similarmente el cociente P/L da, como simetría interna de L  P, el grupo
P /L
=U (1) .
R
(3.7.2)
La simetría interna total de la cadena L  P  G es el producto de estos dos grupos,
SU(2)  U(1), que coincide con el grupo de simetría de las interacciones débiles. No
hay razón geométrica para identificar el grupo de estructura de la teoría con el grupo
de simetría porque son conceptos geométricos diferentes.
En los capítulos 15 y 16 volveremos sobre estas cuestiones geométricas en detalle.
Aquí nos limitamos a comentarios introductorios generales. Las interacciones nucleares
fuertes y débiles fueron históricamente introducidas para tomar en cuenta aquellos
fenómenos físicos no explicados por los campos electromagnético o gravitacional.
Podemos decir que los efectos nucleares son residuales en el sentido que ellos forman
el conjunto de fenómenos sin explicación después de tomar en cuenta el
electromagnetismo de Maxwell y la gravitación de Newton.
En una teoría consistente ilineal de electromagnetismo y gravitación como la
propuesta aquí es claro que el conjunto residual de fenómenos sin explicar es diferente
del conjunto indicado anteriormente. Entonces las hipótesis necesarias para los campos
de interacción adicionales pueden diferir de las normales en interacciones fuertes y
débiles. Solamente después de resolver los efectos ilineales de la teoría propuesta
quedan determinados el conjunto residual de fenómenos sin explicar y las propiedades
de las interacciones adicionales. De hecho puede suceder, y de mucha importancia,
que el conjunto residual sea el conjunto nulo, en cuyo caso no serían necesarias
interacciones adicionales.
Una Teoría Unificada
37
Un ejemplo de una situación similar se conoce en la historia de la ciencia. El sistema
propuesto por Ptolomeo para describir el movimiento astronómico, en términos de
circunferencias tenía movimientos residuales sin explicar, que requerían más y más
circunferencias para explicar el movimiento observado. El reconocimiento que la elipse
era la curva adecuada como órbita eliminó los efectos residuales y la gran cantidad de
parámetros necesarios.
Por estas razones podría ser ingenuo pensar que la teoría debe contener
completamente las teorías actuales de interacciones fuertes y débiles. No debemos
exigir que el grupo de simetría del modelo estándar [13] SU(3)SU(2)U(1), sea un
subgrupo del grupo de estructura de la teoría. En cambio se debe verificar la teoría
directamente con respecto a los resultados experimentales. En adición no hay razón
para asociar una partícula a cada 1-forma correspondiente a cada generador de la
conexión. Transformaciones posibles entre los generadores indican que ellos
representan aspectos diferentes del mismo objeto geométrico. Dentro de esta teoría
eso sería como asociar partículas separadas a un cuanto del campo eléctrico o un cuanto
del campo magnético.
Las propiedades de las fuerzas nucleares llevaron al concepto de interacciones
fuertes y débiles y los trabajos de Yukawa [14] y Fermi [15]. Ambas teorías fueron
modeladas en la interacción electromagnética. Hoy día las teorías de calibre
correspondientes se reducen, a bajas energías, a estas teorías.
Aparte de la simetría indicada anteriormente, la teoría bajo discusión tiene
características que se asemejan a las fuerzas nucleares. Debido a la ilinealidad podemos
esperar que la autointeracción sea muy fuerte en ciertas regiones y que muestre
saturación. Debido a la presencia de generadores de espín y de electromagnetismo es
posible esperar que halla fuerzas dependientes del espín que adicionalmente mostraran
aspectos no centrales similares a la fuerza magnética. Debido a su estructura algebraica
hay generadores asociados a vectores propios y axiales permitiendo una descripción
de procesos que violen las invariancias P y C. A bajas energías, puede ser posible
reducir la fuente de corriente asociada a un par de partículas a una forma compatible
con la corriente de interacción de la teoría de Fermi.
3.8.
Resumen.
El grupo SL(2,), en vez de preservar la métrica de Lorentz, preserva una
correlación en el espacio espinorial. Esta correlación se expresa en un espacio de
dimensión doble, formado de espinores de dos tipos que transforman como conjugados
Esta correlación preservada nos permite presentar una formulación variacional de
la teoría donde la conexión y la poliada tienen el papel de variables dinámicas. El
principio establecido nos lleva a tres ecuaciones:
1. La ecuación de campo propiamente, una ecuación diferencial para la conexión
con una fuente expresada en términos de la poliada;
2. La ecuación de densidad de movimiento de la poliada material, una ecuación
38
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 3
generalizada de Dirac en términos de la derivada covariante de la poliada;
3. La ecuación de energía impulso, que sugiere la definición de un tensor de
energía impulso generalizado y sirve como elemento adicional para
determinar la base ortonormal y su torsión.
Para el espacio vacío la tercera ecuación, cuando el álgebra se reduce a su parte
par, es similar a una ecuación de Stephenson en la teoría de Yang. Fairchild demostró
que esta ecuación elimina las soluciones que no sean también soluciones de la ecuación
de Einstein con constante cosmológica.
Con las definiciones geométricas presentadas en la sección 1, la ecuación de
movimiento incluye, como caso particular, la ecuación de Dirac con el acoplamiento
electromagnético normal. En adición, la transformación de espinores en mecánica
cuántica se obtiene de la transformación de la poliada.
La conjetura que el electromagnetismo puede estar asociado a una subálgebra de
sl(4,R), isomorfa a su(2), con una sola subálgebra u(l) observada en la mecánica clásica
y en la mecánica cuántica normal, puede ofrecer una explicación a la cuantización de
carga. Implicaciones de esta idea se discutirán en capítulos posteriores.
Las características de los generadores en el sector impar parecen ser compatibles
con los rasgos principales de las interacciones nucleares. El hecho de que los efectos
nucleares tienen carácter residual nos permite no exigir una relación inmediata con el
grupo del modelo standard.
Se puede hacer la conjetura de que la geometría euclidiana y la mecánica clásica
son demasiado restrictivas e innecesarias para construir teorías físicas. Una geometría
física de conexiones y poliadas materiales o “kosmetría” (mediciones del “kosmos”,
palabra griega por orden, universo), no tiene estas restricciones y puede ser útil como
teoría física. En adición parece que este enfoque es suficiente para eliminar la
introducción de una física cuántica separada. La naturaleza cuántica de la física
moderna puede estar en las reglas de esta geometría física.
En este contexto, las partículas pueden asociarse a fluctuaciones lineales o excitaciones de
los elementos geométricos ilineales, la poliada e y la conexión w, que describen la materia y su
interacción.
Referencias
1 I. Porteous, Topological Geometry, (Van Nostrand Reinhold, London), p. 201, ch 13
(1969).
2 A. Lichnerowicz, Théorie Globale des Connexions et des Groupes d’Holonomie, (Ed.
Cremonese, Roma), p. 62, 101 (1972).
3 G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1225 (1987).
4 A. Trautman, Geometrical Aspects of Gauge Configurations, preprint IFT/4/84, Warsaw
University, (1981).
5 G. González-Martín, Gen. Rel. and Grav. 22, 481 (1990).
6 Vea el apéndice A.
Una Teoría Unificada
7
8
9
10
11
12
13
E. Fairchild, Phys. Rev. D14, 384 (1976).
C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 33, 445 (1974).
R. Pavelle, Phys. Rev. Lett. 34, 1114 (1975).
R. Pavelle, Phys. Rev. Lett. 37, 961 (1976).
A. H. Thompson, Phys. Rev. Lett. 34, 507 (1975).
Vea el capítulo 4.
A. Zee, Unity of Forces in the Universe, (World Scientific, Singapore) Vol. 1, p. 4
(1982)
14 H. Yukawa, Proc. Phys. Math. Soc. Japan 17, 48 (1935).
15 E, Fermi, Z. Physik 88, 161 (1934).
39
4. TEORÍAS CLÁSICAS.
4.1.
Relación de los Fibrados.
En el primer capítulo, en nuestra búsqueda de una teoría unificada de gravitación y
electromagnetismo consistente con una dinámica geométrica para partículas clásicas, se
introdujo un fibrado principal E con SL(2,) como grupo de estructura. Como estas teorías
clásicas están asociadas, respectivamente, a fibrados con grupos SO(3,1) y U(1), nos
enfrentamos a la tarea de recobrar estos fibrados desde el fibrado E. Esto es necesario para
obtener las ecuaciones de campo consistentes para ambas teorías y la ecuación correcta de
Lorentz para partículas clásicas.
El grupo SL(2,), indicado por G, tiene un subgrupo determinado por los generadores
pares del álgebra homomorfo a U(1)SL(2,C) que indicaremos por L en este capitulo.
Queremos proyectar desde el fibrado E, a otro fibrado E’ con SO(3,1) como grupo de
estructura. Para especificar esta proyección es conveniente hacerlo en dos pasos. Primero
pasamos de E al fibrado E” con L como grupo de estructura y entonces pasamos de E” a
E’.
Consideremos el primer paso. Tenemos la aplicación inclusión i del anillo C en el
anillo  y la correspondiente retracción r de  a C,
(4.1.1)
r i = I .
Esto determina una inclusión de L en G. Indiquemos el cociente izquierdo G/L por K y
escribamos la descomposición por cociente,
G = KL .
(4.1.2
El grupo G tiene una estructura de fibrado principal sobre K con grupo de estructura L
que indicaremos por (G,K,L). Podemos establecer que la imagen de la inclusión de L
en G es un espacio vertical de (G,K,L). Se puede escribir, para un elemento lL
i (l ) = kl º g .
(4.1.3)
En este caso la retracción que envía el espacio vertical en algún punto kK al grupo L
se puede escribir en términos del elemento k,
rk ( g ) = k -1 g = l .
(4.1.4)
Hay inclusiones inducidas correspondientes, desde el fibrado E” hacia el fibrado
E y desde el fibrado espinorial asociado V”M hacia VM. En particular tenemos,
i* :TE ¢¢  TE
,
(4.1.5)
Teorías Clásicas
i* :TV ¢¢M  TV
41
.
(4.1.6)
Hay una conexión en TE´´ retroinducida de la conexión w en TE
i *w :TE ¢¢  A(C ) ,
(4.1.7)
i *w (t ¢¢) = w (i*t ¢¢) = r  w (t ) = w+ (t ) .
(4.1.8)
que corresponde a la parte par de w, que indicamos con el signo +.
L
Consideremos la copoliada material e, una sección del fibrado dual E. Se puede
identificar con los homeomorfismos de las cartas e : VMV. Como matriz se puede
a
L
identificar con el conjunto de covectores J que forman una base en el espacio dual V
en correspondencia 1 a 1 con los elementos de G. En general se tiene la poliada
retroinducida,
i *J :VM  V ,
(4.1.9)
i *Ja (v ¢¢) = Ja (i*v ¢¢) =r  J (v )
v ¢¢ ÎV ¢¢
Ja base Î LV
a
.
(4.1.10)
L
que permite definir un conjunto de covectores i*J en V” de un conjunto dado de
a
covectores J en V. Como hay una correspondencia 1 a 1 con sus grupos respectivos
L
tenemos una relación que permite la definición de una curva en E” partiendo de una
L
a
curva en E. La trayectoria de la poliada i*J se obtiene de la retracción de  a C.
Claramente, la retracción no corresponde a tomar sencillamente la parte par porque
esta operación no resulta en un elemento del grupo L. La acción de i* es el primer paso.
Consideremos ahora el segundo paso. Podemos representar cualquier elemento de
SL 1(2,C) por una matriz compleja de dos dimensiones g´´. Note que este grupo no es
un producto directo. Hay un conocido homomorfismo h f con SO(3,1) expresado en
notación matricial por,
hfba ( g ¢¢) = -41 tr (kb g ¢¢ka g ¢¢) = 12 tr (s b g ¢¢†sa g ¢¢)
g ¢¢ ÎG ¢¢ º L .
(4.1.11)
Definamos una aplicación sobre M´G” compuesta por el par de aplicaciones,
h2 : M ´G ¢¢  M ´G ¢ ,
(4.1.12)
h2 = {I , h f } ,
(4.1.13)
h2 (m , g ¢¢) = (m , g ¢)
m Î M ; g ¢¢ ÎG ¢¢ ; g ¢ Î G ¢ .
(4.1.14)
Definamos la aplicación,
h : E ¢¢  E ¢ ,
(4.1.15)
Capítulo 4
GEOMETRÍA FÍSICA
42
por la relación,
f ¢  h = h2  f ¢¢ .
(4.1.16)
Esta aplicación, que es el segundo paso, preserva la proyección del fibrado
p ¢  h = p ¢¢
(4.1.17)
y su acción en las fibras es un homomorfismo,
h (p ¢¢-1 (m )) = f ¢-1h2f ¢¢ (p ¢¢-1 (m )) = f ¢-1 (m , h f (g ¢¢)) Î p ¢-1 (m ) .
(4.1.18)
Podemos definir una forma canónica de soldadura en E’ retroinduciendo las formas
a
J . Para esto es necesario, como h -1 no es una aplicación bien definida, considerar una
inclusión h de E’ en E” donde la fibra SO(3,1) se incluye en SL(2,C)/Z 2. En particular
e corresponde al inverso de la inclusión de alguna tétrada u que es una base en TM.
Podemos escribir
-1
J i h (u ) = g -1 = l -1k -1 = (i  h (u ))
.
(4.1.19)
De esta manera se tiene la forma
Q :TE ¢  R 4 ,
(4.1.20)
Qua º h *i * Jiah (u ) ,
(4.1.21)
que cumple las relaciones
u *Qua (t ) = h *i *Jiah (u ) (u*t ) = t b Jiah (u ) (i  h (ub ))
a
= t b dba = (u -1 (t ))
Q (Y ) = u -1 (p*Y )
t ÎTM
,
Y ÎTE ¢ .
(4.1.22)
(4.1.23)
La existencia de esta forma de soldadura nos permite definir la torsión en el fibrado E’
en la forma usual, por medio de
S = DQ .
(4.1.24)
Consideremos ahora el diferencial h * del homomorfismo de fibrados h,
h f *I : sl1 ( 2, C)  so (3, 1) ,
(4.1.25)
Teorías Clásicas
43
hab (e ¢¢) = 21 tr (s be ¢¢†sae ¢¢) ,
(4.1.26)
hab*b (a ) = 12 tr (s bb †saa + s ba †sab ) ,
(4.1.27)
hab*I (a ) = 21 tr (s b saa + s ba †sa ) .
(4.1.28)
Vemos que la proyección m necesaria para pasar del fibrado E al fibrado E’ es la
composición de las dos operaciones previas,
m = h  i* ,
(4.1.29)
El diferencial de m se puede escribir, con la trivialización escogida, como
mab*I (a ) = 21 tr (s b sar (a ) + s b r (a † ) sa )
a Î sl (4, R ) ,
(4.1.30)
en términos de la retracción de a de acuerdo con la inclusión.
Esta relación nos permite obtener ecuaciones para las formas tangentes en *TE’,
de las ecuaciones para formas tangentes en *TE. Debemos apuntar que la retracción
necesaria hace que la base vectorial ortonormal u del espacio tiempo dependa, aunque
con cierto grado de arbitrariedad, de la base espinorial e en el fibrado asociado. En el
capítulo anterior las ecuaciones se obtuvieron de un principio variacional tomando
variaciones de u independientes de e. Antes de proseguir es necesario verificar que
esta dependencia no afecta las ecuaciones variacionales.
La base dual se puede expresar como una descomposición por cociente, ec.(4.1.3),
e -1 = kl (u ) ,
(4.1.31)
lo cual nos permite añadir al lagrangiano un termino con un multiplicador de Lagrange y
el vínculo expresado en la última ecuación,
L + l (e -1 - kl (u )) .
(4.1.32)
Al escoger los grupos de variaciones, establezcamos que una variación de e genera
una variación en el fibrado (G,K,L) o sea una transformación de Lorentz en la fibra L
y una traslación en el espacio base K. El elemento del grupo L que corresponde a una
variación bajo un elemento de G se escoge de forma que la variación total del conjunto
de las tres transformaciones e, l, k,
d (e -1 - kl (u )) = d (e -1 ) -dk l (u ) -k dl (u ) = 0 ,
(4.1.33)
sea nula. Por lo tanto, bajo estos grupos, el vínculo añadido no genera variaciones
cuya combinación total cambie las ecuaciones de Euler. Estas ecuaciones son
equivalentes a las obtenidas haciendo variaciones independientes.
GEOMETRÍA FÍSICA
44
4.2.
Capítulo 4
Los Campos Clásicos.
Hemos separado las ecuaciones con respecto al subgrupo o subálgebra par porque
esta parte representa a los campos clásicos. Antes que considerar la ecuación de Lorentz
debemos tomar un tiempo para desarrollar el significado de las ecuaciones pares. La
inclusión permite la posibilidad de definir la conexión retroinducida i*w y su
composición con los homomorfismos h nos brinda una conexión valuada en so(3,1)
que es compatible con la métrica en el espacio tiempo. En otras palabras tenemos las
formas sl 1(2,C), en función de los generadores i, E,
i * w = AiI + G a E a ,
(4.2.1)
i *W = nFiI + nRa Ea .
(4.2.2)
Debe indicarse que la curvatura par no solo sale de la parte par de A sino que depende
del producto de partes impares.
La forma de curvatura R de la conexión G corresponde a la curvatura de Riemann
con torsión, en la formulación espinorial estándar. Ellas obedecen las ecuaciones
D * R = k *J + ,
(4.2.3)
DR = 0 ,
(4.2.4)
que no son ecuaciones de Einstein pero representan una gravitación equivalente a la
de Yang [1] restringida a su subgrupo SO(3,1). Todas las soluciones de vacío de las
ecuaciones de Einstein son soluciones de esta ecuación para J=0. En particular, la
solución de Schwarzchild es una solución de estas ecuaciones y se obtiene el
movimiento newtoniano bajo un potencial gravitacional 1/r como un límite del
movimiento geodésico bajo las ecuaciones propuestas. Debe indicarse que la existencia
de un límite newtoniano completo no es obvia [2, 3]. Mas adelante volveremos a esta
cuestión.
La curvatura F de la conexión corresponde a la curvatura de Maxwell en
electromagnetismo y obedece,
D * F = d *F = k * j
,
DF = dF = 0 ,
(4.2.5)
(4.2.6)
las ecuaciones estándares de Maxwell.
Un elemento del álgebra sl(2,C) define canónicamente, por los homomorfismos h
expresados por la ecuación (4.1.11), un elemento del álgebra so(3,1),
hab*I (a ) = 12 tr (s b saa + s ba †sa ) .
(4.2.7)
Teorías Clásicas
45
Se puede verificar que si definimos las componentes de la conexión
b
G ma
º
1
tr (s b G m†sa + s b sa G m )
2
(4.2.8)
para cada uno de los seis generadores (rotaciones e impulsiones) de SO(3,1) que
corresponden isomorfamente a los seis generadores de SL(2,C), se verifica también la
siguiente relación,
a
G mb
sa º G m†sb + sb G m .
(4.2.9)
Así podemos calcular la derivada de las matrices s como una sección del fibrado
producto de los fibrados espinoriales duales y el fibrado cotangente,
a
msn = ¶msn + G m†sn + sn G m - sa G mn
=0
(4.2.10)
y por consiguiente, la métrica definida en TM de una métrica e en el espacio espinorial,


X Y
,
g mn = eAC eXY
  s mAsnC
(4.2.11)
satisface la condición de compatibilidad,
g = 0 .
4.3.
(4.2.12)
Partículas Clásicas Geométricas.
Entendemos por ecuación de movimiento para una partícula clásica puntual singular,
una ecuación diferencial que determine la evolución del vector tangente a la curva
universal de la partícula.
Podemos idealizar una partícula de prueba asociándola a una tétrada ortonormal
compuesta por el vector temporal cuadrivelocidad y tres vectores espaciales
relacionados con las propiedades rotacionales de la partícula. En dos eventos diferentes
de la línea universal, las tétradas correspondientes deben diferir, cuando más, por una
transformación de Lorentz. La evolución de la tétrada a lo largo de la línea universal
se determina por una transformación de Lorentz que depende y evoluciona como una
función del parámetro de la línea universal.
Considere el fibrado principal E’ construido tomando el grupo de Lorentz como
fibra y el espacio tiempo como variedad base. Si nos dan una curva en este fibrado
tenemos precisamente un elemento del grupo evolucionando como una función del
parámetro de la curva. Es claro que la curva dada determina por proyección una curva
en el espacio base del fibrado. La curva proyectada se puede tomar como la trayectoria
de una partícula en el espacio tiempo base lo cual impone ciertas condiciones que
identifican la tangente a la trayectoria con el vector temporal de la tétrada. Estas
condiciones son las ecuaciones diferenciales de movimiento, expresadas por la acción
GEOMETRÍA FÍSICA
46
Capítulo 4
del álgebra de Lie del grupo de Lorentz sobre la tangente a la trayectoria. Si
representamos la evolución de la partícula por la curva original en el fibrado principal
podemos obtener la trayectoria espacio temporal e información adicional relacionada
con la triada espacial asociada a cada punto de la curva.
Por otro lado, hemos introducido en las secciones anteriores un fibrado principal
con un grupo mayor. Sin embargo, las condiciones de integrabilidad determinan
ecuaciones para una curva en este fibrado si asociamos una estructura clásica a la
corriente e identificamos la tangente a la trayectoria. Si podemos resolver las ecuaciones
para esta curva y su proyección tendríamos la trayectoria de la partícula e información
adicional acerca de la evolución de elementos internos de la partícula.
Si tenemos una manera de relacionar la curva en E con la curva en E’ podríamos
pensar que la curva en E representa la evolución de un observador completo. Este
observador lleva una base completa de la fibra que le permite medir magnitudes externas
(espacio base) y magnitudes internas (espacio de fibra). La curva en E’ representaría
un observador llevando una tétrada espacio temporal cuya evolución es determinada
por la curva. Una medida clásica puede ser interpretada como la medición, en el espacio
tiempo, de solamente la proyección de la trayectoria, determinada por la curva en E.
En otras palabras, clásicamente solamente notaríamos la “sombra” de la partícula.
Debemos indicar que proyecciones similares se usan normalmente en física, por
ejemplo, cuando trabajamos con el cuerpo de los números complejos y restringimos a
al cuerpo de los números reales.
Es claro que podríamos proyectar el anillo  en el álgebra sl(2,) al cuerpo
complejo C llegando a la subálgebra sl 1 (2,C) de la cual podemos pasar al álgebra de
Lorentz usando el homomorfismo conocido. Esto nos permitiría hallar una ecuación
diferencial para el vector temporal de la tétrada bajo la acción del grupo, o sea la
ecuación clásica de movimiento de la partícula. [4, 5].
4.4. Movimiento de las Partículas Clásicas.
Definimos una partícula clásica singular por la estructura multipolar, en términos de
funciones deltas, de su fuente de corriente J que es dual a la 3-forma valuada en el álgebra
de Lie del grupo de estructura G del fibrado. Esta estructura se expresa a lo largo de una
m
curva trayectoria x’(s) en el espacio base con vector tangente x por la siguiente ecuacón
[6, 7],
¢
¢
ù
¢
J BmA = ò t Bm¢¢A ¢ dmm¢AB
x - x ¢ (s ))ds - ò a êé t Ba¢¢m ¢A ¢daam¢mAB
¢A ¢B (x - x (s ))úû ds +
A¢B (
ë
+ å
n
(-1) n
n!
ò
a1
¢ ¢
¢ ¢
¢
a2 ...an êé t Ba1¢ a2 ...an A daa11¢aa2¢2 ......aann¢ AAB¢B (x - x ¢ (s ))úù ds .(4.4.1)
ë
û
Teorías Clásicas
47
Las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba clásica se determinan
por la condición de integrabilidad de las ecuaciones de campo, o ley de conservación,
D J* = 0 ,
(4.4.2 )
usando un método de Tulczyjew [8], para el caso de relatividad general, que relaciona
los diferentes términos multipolares algebraicos y la tangente al camino. Haremos el
cálculo para los dos primeros multipolos. Descomponemos los términos como sigue,
t BmA = x mm BA + m BAm ,
(4.4.3)
t Bmn A = x m x n hBA + x m h1ABn + x n h2ABm + hBAmn ,
(4.4.4)
donde se cumplen las siguientes relaciones entre los elementos del álgebra de Lie,
x m xm = 1 ,
(4.4.5)
m BA = t BAm xm ,
(4.4.6)
hBA = t Bmn A xm xn ,
(4.4.7)
h1ABn = t Bmn A xm - x n hBA ,
(4.4.8)
h2ABm = t Bmn A xn - x m h BA ,
(4.4.9)
m
de forma que m, h 1 , h 2, son ortogonales a x .
El método para obtener las ecuaciones de movimiento se basa en los dos lemas
siguientes que aún son válidos en el contexto presente.
Lema 1: Se cumple la siguiente expresión para funciones d, que tiene significado
después de integrar sobre su argumento,
¥
ò ds
-¥
m
éx ma A ¢a ¢b ¢...u ¢d mB¢Aab ...u (x - x ¢ (s ))ù =
m ¢BA ¢a ¢b ¢...u ¢
êë B¢
úû
¥
D
ò ds ds ëêéa
-¥
A ¢a ¢b ¢...u ¢
B¢
ù d B¢Aab ...u (x - x ¢ (s )) .
ûú BA ¢a ¢b ¢...u ¢
(4.4.10)
Contrayendo con un y ABab arbitrario e integrando se puede verificar la expresión.
Lema 2: Si tenemos
Capítulo 4
GEOMETRÍA FÍSICA
48
n

AB...N
¥
¢ ¢
¢ ¢ ¢
¢
ù
= å ò dsm1 m2 ...mk éên m1m2 ...mk A B ...N dmm1¢1mm2¢2......mmk¢kAAB...N
¢B¢...N ¢ (x - x (s ))úû , (4.4.11)
ë
k =0
-¥
ò
AB ...N
K AB ...N d 4x = 0 ,
(4.4.12)
m
donde las expresiones n son simétricas en el índice m y ortogonales a x . Entonces hay
condiciones necesarias,
n m1m2 ...mk AB...N = 0 .
(4.4.13)
Para verificar este lema se contrae con un K AB... arbitrario y se integra por partes,
å ...(-1)
k
m K n mn ... ... = 0
(4.4.14)
y entonces se va al sistema en reposo y se usa la arbitrariedad de K, suponiendo que
todas las derivadas menores que k se anulan.
Usando el lema 1, la ecuación de conservación,
m *J BmA = 0 ,
(4.4.15)
se puede transformar para obtener
mö
éæ
ù
ìïïé Dm
ù
éWmn , S mn ù ú d (x - x ¢ (s )) +m êççm m - DN ÷÷d (x - x ¢ (s )) ú
ê
í
ò ïîïêë ds ëê
ûú ú
êçè
ú
ds ÷ø÷
û
ë
û
}
mn
- mn éê h ( )d (x - x ¢ (s ))ùú ds = 0
ë
û
(4.4.16)
donde D es la derivada absoluta a lo largo de la curva, con respecto al grupo SL(2,)
y
N BAm = x m hBA + h1ABm + h2ABm ,
(4.4.17)
A[m n ]
S BAmn = h1B
x
.
(4.4.18)
De la ec. (4.4.16) obtenemos las ecuaciones multipolares deseadas, usando el lema
2,
hB (
A mn )
=0 ,
(4.4.19)
Teorías Clásicas
m BAm -
D Am
NB = 0 ,
ds
A
D A é
m B - ëêWmn , S mn ùûú = 0 .
B
ds
49
(4.4.20)
(4.4.21)
La última ecuación determina la evolución de un elemento del álgebra de Lie de G en
términos del parámetro s asociado con una curva dada x m en el espacio base M. Por otro
lado, el objetivo del cálculo es obtener, precisamente, la curva x en M. Si esta curva es
desconocida a priori esta ecuación no es suficiente para determinar completamente la
evolución de m AB. Se necesita información adicional como se indicó anteriormente. Si
imponemos el requisito físico de identificar la tangente a la curva x con el vector temporal
de la tétrada producida por la evolución de m AB , entonces esta ecuación expresa la
evolución del elemento del álgebra a lo largo de la curva integral del vector temporal de
la tétrada. En particular este requisito debe ser suficiente para obtener una ecuación
para la evolución del vector temporal a lo largo de su propia dirección. La curva integral
determinada en esta forma es la trayectoria espacio temporal deseada, que describe el
movimiento de la partícula.
4.5. Ecuaciones de Movimiento de
Lorentz.
Como E es un fibrado principal, hay una acción natural del grupo de estructura G,
por la derecha, en el fibrado E, que produce un desplazamiento vertical a lo largo de la
fibra. En particular una curva en el álgebra de Lie de G induce una curva vertical en E,
JJ(s ) = J (s )m ,
(4.5.1)
donde representamos por un punto la derivada absoluta con respecto del vector tangente
L
x. Sin embargo, nos interesa una curva en el fibrado dual E’ por acción izquierda del
L
álgebra en algún punto e’Î E’ que sea el camino de una cotétrada q.
qq(s ) = aq (s ) .
(4.5.2)
La retracción del vector tangente definido por la ecuación (4.4.21) nos da precisamente
la ecuación para el vector tangente a esta curva en el álgebra. La relación m nos da la
L
curva en E’ y el diferencial m * define una ecuación para el vector tangente al camino de
L
la cotétrada q en E’,
a = m*I m = m*I ( éëêWmn , S mn ùûú ) ,
(4.5.3)
Capítulo 4
GEOMETRÍA FÍSICA
50
donde W es la curvatura SL(2,) y S es el tensor definido por la ec.(4.4.18).
Se obtiene entonces la ecuación deseada para q,
q = m*I ( éëêWmn , S mn ùûú )q ,
(4.5.4)
donde el punto indica la derivada absoluta, ahora con respecto a la conexión SO(3,1).
L
En otras palabras, m * permite hallar la ecuación para una curva en E’.
Estamos interesados esencialmente en la evolución del vector cuadrivelocidad de
la partícula asociada con la 1-forma temporal de la cotétrada q. En otras palabras,
debemos hacer que el vector x tangente al camino en el espacio tiempo, corresponda a
0
la 1-forma temporal de la cotétrada q . Tenemos,
Dx x = Dx qô = q0 .
ˆ
(4.5.5)
Usando la ec. (4.1.30) obtenemos,
qa = 12 q b tr éêr (a † ) sb s a + sbr (a ) s a ùú .
ë
û
(4.5.6)
Considerando la ecuación para el vector tangente, se tiene,
(
†
ˆ
q0 = 12 q b tr r éêëWmn , S mn ùûú sb + sb r éëêWmn , S mn ùûú
)
,
(4.5.7)
donde la retracción del conmutador debe ser obtenida de acuerdo con la aplicación
inclusión i.
Para obtener la ecuación de movimiento de Lorentz, el conmutador [W,S] debe
satisfacer ciertos requisitos. Con este propósito se expandirá la curvatura W en términos
de los generadores del álgebra de Lie de G. Seleccionaremos uno de estos como
relacionado al electromagnetismo, indicándolo por E. La 2-forma de curvatura asociada
a E se identificará con el tensor electromagnético F, Adicionalmente, expresamos el
tensor S en términos de los multipolos h que lo definen como se indicó en la sección
anterior. El cálculo explícito de esta ecuación nos lleva a varios términos. Supondremos
que los términos no relacionados con E son pequeños y por lo tanto conservaremos
solamente los términos electromagnéticos de interés. Se tiene,
(
†
ˆ
ˆ
q0 = 21 q b Fmn x n tr r éêëE , h m ùûú sb + sbr éëêE , h m ùûú
)
+ 
.
(4.5.8)
Los términos adicionales, no relacionados con E, son generados por la subálgebra
sl(2,C) y representan fenómenos rotacionales como momento angular incluyendo
términos de espín.
Notemos que E no debe ser un elemento cuadrático para evitar problemas de
interpretación con los generadores cuadráticos asociados al grupo de Lorentz.
Teorías Clásicas
51
4.5.1. Inclusión de la Subálgebra Par.
Si la imagen de la inclusión es la parte par del álgebra A, la retracción correspondería
a tomar la parte par del álgebra. Para obtener la ecuación de Lorentz deseamos que,
éE , h p ù = dap sa
êë
úû +
.
(4.5.9)
En este caso solo hay dos posibilidades para ambos E y h: ellos pueden ser productos
simples o triples de k.
Tomando la primera posibilidad,
E = km ,
(4.5.10)
h p = h paka + h pabg k[akb kg ] ,
(4.5.11)
se obtiene,
ékm , h p ù = h pa ékm , ka ù + h pabg ékm , k[akb kg ] ù ,
êë
ëê
ûú
ëê
ûú
ûú
(4.5.12)
de la cual vemos que no es posible obtener ec. (4.5.9) a no ser que
E = k0 ,
(4.5.13)
h p = q d pa ka ,
(4.5.14)
donde q es una constante.
Si tomamos la segunda posibilidad, obtenemos esencialmente el mismo resultado
de las dos últimas ecuaciones, pero con el factor adicional de
ée 0 ù
ú .
k0k1k2k3 = ê
êë0 -eúû
(4.5.15)
que implica la posibilidad que
E = k0k5 .
(4.5.16)
Escogiendo entonces, por ejemplo, el valor dado por la ec. (4.5.10), se tiene
(
ˆ
ˆ
q0 = 12 q b Fmn x n tr éêëq damsa - dpm h p 30i ùûú sb + sb éëêq damsa - dpm h p 32i ùûú
+
+
ˆ
ˆ
q0 = 21 qFmn q b x n tr (damsa sb + damsb sa ) ,
)
,
(4.5.17)
(4.5.18)
GEOMETRÍA FÍSICA
52
ˆ
ˆ
ˆ
q0 = qFmn x n q b (dbm - d0mdb0 ) = q q b Fbn x n ,
Capítulo 4
(4.5.19)
que es equivalente a
æDx ö
n
ççèç ø÷÷÷ = qFmn x ,
ds m
(4.5.20)
las ecuaciones de movimiento deseadas en términos de la cuadrivelocidad x, el tensor
electromagnético F y una constante q, que se puede identificar con una constante
proporcional a una carga obtenida del multipolo electromagnético.
4.5.2. Interpretación.
Como el generador k 5 es equivalente a k 0 y k 1 k 2k 3, bajo el grupo de automorfismos
del álgebra, consideremos el caso que este generador se tome como E. Notamos que
conmuta con la toda parte par y anticonmuta con toda la parte impar y siendo k 5 par se
tiene,
[k5 ,A] Ì A-
.
(4.5.21)
Sin embargo, bajo las transformaciones que convierten los otros dos generadores
en k 5 , la parte par del álgebra no queda invariante. De hecho no existe una copia única
del grupo de Lorentz dentro del álgebra A. Por lo tanto, la expresión para la fuerza de
Lorentz no se obtiene únicamente en términos de estas matrices pares sino también en
términos de aquellas que sean pares para alguna otra inclusión equivalente.
Hemos obtenido la ecuación de Lorentz para una partícula singular con carga eléctrica
partiendo de la conservación de la corriente. La conservación geométrica de J que
determina la evolución de la poliada es compatible con la conservación del tensor
esfuerzo energía T. Este último se relaciona con la ecuación de energía como se mostrará
en el próximo capítulo. Es conocido [6, 7, 8] que una expansión multipolar de T
determina las ecuaciones de movimiento de partículas rotantes. El vector impulso
asociado es igual al vector temporal de la poliada por la masa. La constante q en la ec.
(4.5.20) es la carga por unidad de masa.
La identificación del generador electromagnético depende de la aplicación de
inclusión. La subálgebra C(2) se puede incluir en A de maneras diferentes, de acuerdo
a la inclusión. Ahora entendemos la situación. Dentro de SL 1(2,C), el generador k 5 no
da las ecuaciones de Lorentz porque conmuta con todos los generadores. Dentro de
SL(2,), los tres elementos k 0 , k 5, k 0 k 5 que generan un subgrupo SU(2), nos llevan a
la ecuación de Lorentz y son generadores electromagnéticos válidos. El F par no solo
sale de la parte par de A porque también depende del producto de partes impares. En
principio podemos orientar el generador electromagnético en cualquier dirección en la
subálgebra y obtener el mismo resultado físico final. Claro que los cálculos actuales
Teorías Clásicas
53
para obtener el resultado invariante pueden ser diferentes.
La misma relación debe ser válida con respecto al acoplamiento electromagnético
en la ecuación de Dirac, discutido en el capítulo anterior. Si orientamos el generador
a lo largo de k 5 obtenemos el acoplamiento usual. Si orientamos el generador a lo
largo de k 0 o k 0k 5 obtendremos un acoplamiento anormal pero los resultados físicos
finales deben ser iguales, invariantes bajo el grupo de automorfismos.
4.6.
Resumen.
Las ecuaciones clásicas de Maxwell se obtienen de la ecuación geométrica de campo.
Las ecuaciones clásicas de Lorentz se obtienen también de la conservación de la fuente
de corriente. En general, el movimiento de una partícula singular dentro de la teoría geométrica
está determinado por la estructura mutipolar par, que corresponde a los términos conocidos [8]
que dependen de los tensores curvatura del campo gravitacional y momento angular de la
partícula, y por partes impares adicionales que incluyen la fuerza de Lorentz para partículas
cargadas. Para la materia en general la teoría geométrica requiere la ecuación completa del
movimento de la corriente material que corresponde a una ecuación geométrica de Dirac como
se indicó en el capítulo anterior.
References
1
2
3
4
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6
7
8
C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 33, 445 (1974).
G. v. Bicknell, J. Phys, A7, 1061 (1974).
P. Havas, Gen. Rel. Grav. 8, 631 (1977).
G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1215 (1987).
G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1225 (1987).
M. Mathisson, Z. Phys. 67, 270 (1931).
M. Mathisson, Acta Phys. Pol. 6, 163 (1937).
W. Tulczyjew, Acta Phys. Pol. 18, 393 (1959).
5. EL CAMPO GRAVITACIONAL.
5.1.
Introducción.
El enfoque estándar de la gravitación requiere de la construcción de un tensor T, de
energía e impulso o esfuerzo y energía, determinado por las ecuaciones clásicas de materia
y campos macroscópicos. En general estos campos materiales son descritos por las
ecuaciones de fluidos clásicos. Se puede alegar que estas teorías no son realmente teorías
unificadas geométricamente. Einstein [1] mismo no estaba satisfecho con el carácter
ageométrico de T y pasó sus últimos años buscando una teoría unificada satisfactoria.
Asociada a la teoría unificada que estamos discutiendo [2, 3, 4] hay una geometría física
que suministra tres ecuaciones para los objetos de la teoría. La primera o ecuación de
campo es una ecuación diferencial para la conexión generalizada con una fuente de corriente
material. La segunda o ecuación de movimiento determina la evolución de objetos de la
fuente en términos de la derivada covariante. La tercera
tr éëê 4Wrnˆ W mn - u rmˆ W klWkl ùûú = X
(5.1.1)
tiene la estructura de una suma de términos, cada uno de la forma correspondiente al
tensor electromagnético de energía impulso. Usando esta ecuación de la energía se
puede definir un tensor geométrico de energía impulso. Es claro que este tensor no
representaría el término de fuente de la ecuación de campo. Debe representar la energía
e impulso de los campos de la conexión de interacción y la poliada material.
En el capítulo anterior, se ha mostrado que las partes pares de las ecuaciones
representan las interacciones clásicas de gravitación y electromagnetismo. Separaremos
las ecuaciones con respecto al subgrupo o subalgebra par, porque esta parte representa
los campos clásicos. La aplicación inclusión permite la posibilidad de definir la conexión
retroinducida i*w cuya composición con los homomorfismos h suministra una conexión
valuada en so(3,1) que es compatible con una métrica g en el espacio tiempo.
La forma par de curvatura R corresponde a la curvatura de Riemann en la formulación
espinorial estándar. Obedece ecuaciones de campo diferentes de las de Einstein y
representa una formulación espinorial de la gravitación equivalente a la teoría de Yang
[5] restringida a su subgrupo SO(3,1). La restricción a la parte par produce soluciones
de vacío
La teoría gravitacional de Yang se puede ver como una teoría de una conexión en el
fibrado principal de poliadas lineales TM m con grupo de estructura GL(4,). En la teoría
de Yang el grupo se toma como una acción sobre el espacio tangente a M y por lo tanto
es diferente de la teoría bajo discusión. La conexión en la teoría de Yang no es
necesariamente compatible con una métrica en el espacio base M, lo cual conduce a
El Campo Gravitacional
55
conocidas dificultades indicadas en los trabajos citados. Sin embargo cuando la teoría
de Yang se restringe a su subgrupo SO(3,1) sus problemas métricos son eliminados. El
bien conocido homomorfismo entre este grupo y nuestro subgrupo par SL(2,) establece
una relación entre estas dos restricciones de las teorías.
Se puede alegar que la ecuación de Einstein en la teoría unificada geométrica es la
ecuación de la energía (5.1.1) en lugar de la ecuación de campo. Cuando se considera el
problema externo, o sea en regiones del espacio tiempo donde no hay materia, la parte
gravitacional de las ecuaciones de campo para J=0 es similar a la teoría gravitacional
de Yang. Todas las soluciones de vacío de la ecuación de Einstein son soluciones de
estas ecuaciones. En particular la métrica de Schwarzchild es una solución y, por lo
tanto, el movimiento newtoniano bajo un potencial gravitacional 1/r se obtiene como
límite del movimiento geodésico bajo las ecuaciones propuestas. Sin embargo, hay
soluciones adicionales espurias de vacío para las ecuaciones de campo en estas teorías,
que no son soluciones de la teoría de Einstein. Fairchild [6] ha demostrado que, para la
teoría de Yang, [5] la ecuación (5.1.1), o sea la ecuación geométrica restringida, es suficiente
para eliminar las soluciones espurias de vacío encontradas por Pavelle [7, 8] y Thompson
[9].
Sin embargo, el problema interior [10] suministra una situación donde hay diferencias
esenciales entre la teoría de Einstein y la geometría física unificada. Para el problema
interno donde la fuente J no es cero, esta teoría es también esencialmente diferente de
la teoría de Yang. En la geometría física, la métrica y la conexión so(3,1) permanecen
compatibles y el espacio base permanece seudoriemanniano con torsión evitando las
dificultades discutidas por Fairchild y otros en la teoría de Yang.
La presencia del término de corriente material en la ecuación de la energía ofrece la
posibilidad de obtener un tensor geométrico de energía impulso que podría considerarse
la fuente en una ecuación totalmente geométrica de Einstein para la métrica, asemejándose
a la teoría de Einstein.
5.2. Una Ecuación para el Tensor de
Einstein.
5.2.1. La Ecuación de la Energía.
La ecuación (3.2.21)
tr éêë 4Wrnˆ W mn - u rmˆ W klWkl ùúû = k tr éê 4e-1i  u (m rˆ ) e - u rmˆ e-1i  u n n e ùú
ë
û
(5.2.1)
define un campo tensorial en M, una sección en el fibrado tensorial sobre M. Es claro
que la traza en la ecuación introduce un producto escalar, la métrica de Cartan-Killing
C
g, en la fibra y el resultado está valuado en el fibrado tensorial. Este producto escalar
de Killing permite escribir el lado izquierdo de esta ecuación en términos de una sumatoria
GEOMETRÍA FÍSICA
56
Capítulo 5
sobre todas las componentes a lo largo de los 15 generadores de una base en el álgebra
de Lie. Separemos los términos debidos a la subálgebra par sl(2,) de sl(4,) en la forma
siguiente,
ù
é
ù
1 é
1
1
tr êWrn Wm n - g rmW klWkl ú = Cgab ê LW a rn LWb m n - g rm LWakl LWb kl ú +
úû
êë
úû
4 êë
4
4
é
ù
1


C
gab  ê cW a rn cWb m n - g rm cWakl cWb kl ú ,(5.2.2)
êë
úû
4
L
donde la sumatoria sobre los índices latinos de W se restringe a las seis componentes
de la subálgebra par sl(2,) de sl(4,) y la sumatoria sobre índices latinos con tilde es
sobre las nueve componentes del cociente de las álgebras. Los últimos términos, que
vienen de los generadores impares y el generador par k 5, corresponden al tensor de
energía impulso de las interacciones no gravitacionales adicionales, campos “cocientes”
presentes en la teoría, incluyendo al campo electromagnético estándar. Todos ellos
tienen la estructura cuadrática familiar en términos de las componentes de curvatura,
c
Qrm º
ù
-1 C é c a c b n 1

gab  ê W rn W m - g rm cWakl cWb kl ú ,
êë
úû
4p
4
(5.2.3)
y definen un tensor energía impulso Q asociado al cociente no gravitacional. Como el
generador electromagnético es compacto, la métrica de Killing introduce un signo menos
c
y debemos definir Q como se muestra, de forma que la energía estándar electromagnética
sea positiva definida.
El lado derecho de la ecuación principal (5.2.1) se interpreta como un tensor energía
j
impulso Q relacionado con la corriente material de la fuente, en función de la densidad
vectorial i,
c
Qrmˆ º
j
-k C -1
m
g e i  u ( rˆ) e - 41 u rmˆ e -1i  u l l e =
4p
a
m
- tr éêe -1i  u ( rˆ ) e - 41 u rmˆ e -1i  u l l e ùú .
û
4 ë
(
)
(5.2.4)
Así, podemos escribir la ecuación de energía impulso, (5.2.1) en la forma siguiente
é
ù
1
gab ê LW a rn LWb m n - g rm LW akl LWb kl ú - 4 p cQrm = -4 p jQrm .
êë
úû
4
C
(5.2.5)
Los generadores pares de sl(4,) correspondientes al lado izquierdo de la última
ecuación se pueden expresar en términos de los generadores homomorfos (2 a 1) de
El Campo Gravitacional
57
so(3,1), X a (generadores de rotación de Lorentz), matrices 4´4 que actúan en el fibrado
tangente TM. Para estas dos álgebras L y L’ las métricas respectivas de Cartan-Killing,
definidas por la traza sobre la dimensión, difieren por un factor de 2. Así podemos
escribir
é
ù
1
gab ê LWa rn LWb m n - g rm LWakl LWb kl ú = 4 p LQrm
êë
úû
4
é ¢
ù
1
¢
¢
¢
= Cgab¢ (2) ê L Wa rn L Wb m n - g rm L Wakl L Wb kl ú
êë
úû
4
C
=
æ ¢
öù
1 é
1
¢
¢
¢
tr êXa Xb ( 2)çç L Wa rn L Wb m n - g rm L Wakl L Wb kl ÷÷÷ú
çè
øúû
4 êë
4
=
æ
ö
1
1
tr Xa Xb çç L ¢Wa rn L ¢Wb m n - g rm L ¢Wakl L ¢Wb kl ÷÷÷ .
ç
è
ø
2
4
(5.2.6)
Adicionalmente, el tensor de curvatura tiene componentes pares de sl(4,) que
surgen del producto cuadrático de componentes en el sector cociente de la conexión y
R
son claramente irriemannianos. La parte riemanniana de la curvatura, designada por W,
se define por la conexión métrica que preserva la componente cuadrática de sl(4,) y
n
podemos escribir en términos de una parte irriemanniana complementaria W
L¢
W a bkl = nW a bkl + RW a bkl .
(5.2.7 )
Consecuentemente, hay una contribución al tensor par de energía impulso
correspondiente a esta parte irriemanniana de la curvatura.
R
La conexión asociada al grupo SO(3,1), responsable por W, admite la posibilidad de
torsión. Podemos separar la torsión S de la conexión de Levi-Civita,
ïì a ïü
a
a
G bm
= ïí ïý + Sbm
ïîïbmïþï
y expresar la curvatura RW en términos del tensor de Riemann R
del espacio tiempo, y una dependencia explícita en la torsión,
W a bkl = ( nW a bkl + R a bkl ) + Z a bkl º nR a bkl + Z a bkl ,
L¢
n
donde R
a
bmn
(5.2.8)
a
bmn
, definido por la métrica
(5.2.9)
se define como una curvatura irriemaniana que incluye al tensor de Riemann y
a
a
a
g
a
g
.
Z a bkl = kSbl
-lSbk
+ Sgk
Sbl
- Sgl
Sbk
(5.2.10)
58
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 5
Se hace notar que definimos el tensor de Riemann R en el sentido estricto usado
n
originalmente por Riemann para espacios métricos e indicamos por R una curvatura par
n
que incluye una parte irriemanniana W .
Substituyendo en la ecuación (5.2.6) se obtiene una expresión en términos del tensor
de Riemann de la conexión métrica simétrica,
ö÷
g
1æ
ˆ
n bˆ n
4p LQrm = çç nR aˆ brn
R am
- rm nR aˆ bˆ kl nR b akl
ˆ
ˆ
ˆ ÷
÷÷
2 çè
4
ø
g
g
1
1
ˆ
ˆ
n bˆ n
bˆ n
+ Z aˆ brn
- rm Z aˆ bˆ klZ b akl
+ Z aˆ brn
R am
- rm Z aˆ bˆ kl nR b akl
ˆ Z am
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
8
2
8
g
1
ˆ
bˆ n
.
+ nR aˆ brn
- rm nR aˆ bˆ klZ b akl
ˆ Z am
ˆ
ˆ
2
8
(5.2.11)
El primer término en paréntesis en el lado derecho es similar a una expresión previamente
desarrollada por Stephenson [11] dentro de la teoría de gravitación de Yang [5],
1
ˆ
bˆ n
.
H rm = R aˆ brn
- g rmR aˆ bˆ kl R b akl
ˆ R am
ˆ
ˆ
4
(5.2.12)
Podemos definir un tensor de energía impulso asociado a la torsión
æ aˆ
g
g
ˆ
ˆ
bˆ n
n bˆ n
÷÷ö
- rm Z aˆ bˆ klZ b akl
+ Z aˆ brn
- rm Z aˆ bˆ kl nR b akl
R am
çççZ brn
ˆ Z am
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ÷
-1 ç
÷
4
4
t
Qrm º
çç
÷÷÷
g rm n aˆ kl bˆ ÷÷ .
8p çç
bˆ n
+ nRaˆ brn
R bˆ Z akl
ççè
ˆ Z am
ˆ
ˆ ÷
÷ø
4
(5.2.13)
De esta manera podemos escribir la ecuación (5.2.5) como
8 p (- cQrm - tQrm ) + nH rm = -8 p jQrm
(5.2.14)
y podemos considerar H como el tensor energía impulso de la gravitación. El tensor
j
energía impulso de la corriente material Q es equivalente a la suma total de las
contribuciones de energía e impulso de los campos geométricos. El tensor energía
impulso de los campos incluye términos que son equivalentes a la energía impulso
asociada al movimiento de la corriente material (partículas). Es una cuestión de
conveniencia en las teorías clásicas el considerar que esta energía impulso se halle
El Campo Gravitacional
59
bien en el campo o bien en la materia. En la teoría geométrica esta ecuación se considera
como una ecuación de balance de energía impulso más bien que la propia ecuación de
campo.
5.2.2. La Ecuación de Einstein.
Hay una expresión alterna de H obtenida descomponiendo el tensor de Riemann en
términos del tensor de Weyl, el tensor de Ricci y el escalar R, usando la expresión
1
R ba mn = nC ba mn + 2d[[mb nRna]] - d[[mb dna]] nR .
3
n
(5.2.15)
De nuevo debemos apuntar que estamos considerando el tensor de curvatura so(3,1)
en lugar del tensor más general de curvatura gl(4,r) también llamado de Riemann por
otros. El término cuadrático en C se anula [6],
1
C b akl nC a bml - g mk nC b anl nC a b nl = 0 ,
4
n
(5.2.16)
n
y no contribuye a H. Las otras contribucionaes al primer término de H se convierten en
R bamn nR abkn = -
n
1n n
1
1
R Rmk - g mk nR am nRam + g mk nR 2 - 2 nR al nC amlk
3
2
6
(5.2.17)
obteniendo finalmente
n
H rm =
- nR æç n
1
n ö
n k
n l
çè Rrm - g rm R ÷÷÷ø - 2 C mlr Rk .
ç
3
4
(5.2.18)
La última expresión implica que se puede escribir formalmente en términos del tensor de
Einstein G mn.
n
H rm =
- nR æç
1
1
n
n ö
n k
n l
ççèG rm + g rmR + Wrm - g rm W ÷÷÷ø - 2 C mlr Rk .
3
4
4
(5.2.19)
Debido a la ilinealidad de las ecuaciones hay una contribución de la gravitación a su misma
fuente. Podemos separar H en una parte dependiente de G, que represente a la gravitación, y
una parte complementaria, que represente una contribución geométrica al tensor de energía
impulso,
n ö
ù
1 éê nR æç R n
W÷
÷÷ + 2 nC k mlr nRkl ú
Qmr º
g
+
W
g
ç
rm
rm
rm
ú
8 p êë 3 çè
4
4 ø÷
û
g
(5.2.20)
GEOMETRÍA FÍSICA
60
Capítulo 5
y representar la ecuación (5.2.14) como una ecuación de Einstein. Los diferentes términos
Q de campos se pueden agrupar juntos; definiendo un tensor geométrico generalizado
total de energía impulso de los campos externos, designado por Q mn. La ecuación (5.2.1)
se puede escribir
n
R
G rm + 8p ( gQrm + tQrm + cQrm ) = 8 p jQrm .
3
(5.2.21)
Esta es una ecuación de Einstein generalizada con tensores geométricos de energía
j
impulso. Sin embargo, como en la ecuación (5.2.1), el tensor energía impulso Q de la
corriente material es equivalente al total de contribuciones de energía e impulso de los
n
campos geométricos incluyendo al tensor de Einstein. Si R no es cero podemos escribir
formalmente esta ecuación de Einstein,
G rm = 8 p
3 j
3
Qrm - cQrm - gQrm - tQrm ) º 8 p n Qrm º 8 pGTrm ,
(
R
R
n
(5.2.22)
la cual define dos tensores de energía impulso: el geométrico Q y el clásico T. El tensor de
energía impulso geométrico tiene términos que reflejan la energía y el movimiento de la materia
y los potenciales de la interacción en una manera similar a situaciones físicas conocidas. Sin
embargo, es posible que incluya términos geométricos desconocidos que puedan relacionarse
con las llamadas materia y energía oscuras. En ciertas situaciones fenomenológicas
macroscópicas es también posible que este tensor se convierta solamente en una combinación
de los tensores que usualmente se usan en astrofísica. En cualquier caso, la diferencia fundamental
n
radica en la presencia de R en lugar de G en la ecuación, causada por su estructura cuadrática.
Debe observarse como dijimos anteriormente, que esta ecuación debe ser considerada
una ecuación de balance de energía e impulso en lugar de la propia ecuación de campo.
Sin embargo, la conservación del tensor G con respecto a la conexión de Levi-Civita
inducida en el fibrado TM implica la conservación de un tensor definido por
æ 3Q rm ö
r G rm = 8p r çç n ÷÷÷ = 0 .
çè R ÷ø
(5.2.23)
Debe haber compatibilidad de estas ecuaciones resultantes con aquellas obtenidas de
la conservación de la corriente J, que determinan ecuaciones de movimiento [3, 4]. Si el
tensor de energía impulso se descompone en términos de una expansión multipolar
encontramos las ecuaciones usuales de movimiento [12]: la ecuación geodésica para un
monopolo, las ecuaciones para una partícula rotante y otras ecuaciones multipolares
de movimiento.
Para el caso de una teoría de gravitación métrica pura, no hay campos cocientes ni
torsión. Tenemos entonces
El Campo Gravitacional
G rm = 8 p
3 j
3
Qrm - gQrm ) º 8 p m Qrm
(
R
R
61
(5.2.24)
donde hemos definido el tensor energía impulso Q de la corriente material.
g
Adicionalmente, en el vacío no hay corriente material. Sólo Q permanece y
encontramos de vuelta la ecuación de Stephenson-Yang para el vacío,
m
H rm =
ö
-R çæ
1
k
l
ççèRrm - g rmR ÷÷÷ø - 2C mlr Rk = 0 .
3
4
(5.2.25)
Fairchild ha mostrado [6] que un H mn nulo implica, en la teoría Yang, que las únicas
soluciones posibles de espacio vacío son los espacios de Einstein, eliminando las
soluciones excepcionales estáticas y esféricamente simétricas dadas por Thomson [9]
y Pavelle [7,8]. Una manera simple de probar esto aquí es descomponer R mn en sus
partes con traza y sin traza.
Rrm =
R
g rm + Prm
4
(5.2.26)
y substituir en (5.2.25)
H rm =
-R
Prm - 2C km lrPlk = 0 .
3
(5.2.27)
Esta ecuación se puede escribir como una ecuación de autovalores para un operador
C con autovector P
æ -R ö÷
CP = çç
P .
çè 6 ÷÷ø
(5.2.28)
Las matrices simétricas sin traza P están subtendidas por un espacio lineal
nonadimensional. El conjunto de componentes diagonales del operador matricial C,
99, se anula en cualquier sistema de coordenadas reales debido a las propiedades del
tensor de Weyl. Por otro lado, para reproducir un autovector que no sea nulo por la
acción del operador, es necesario que exista un sistema de coordenadas reales donde C
sea una matriz diagonal que no se anule. Como no existe tal sistema la única solución de
(5.2.28) es que el autovector P sea el vector cero. La expresión de la ecuación (5.2.26),
con P igual a cero define los espacios de Einstein. Estos espacios claramente satisfacen
la ecuación (5.2.25) y por lo tanto son las únicas solucionespuramete gravitacionales de
vacío posibles en esta teoría. Ellas corresponden a la ecuación de Einstein con constante
cosmológica.
GEOMETRÍA FÍSICA
62
Capítulo 5
5.3. Ecuaciones para una Solución
Interna Geométrica de Schwarzschild.
Si suponemos simetría esférica, la métrica toma la forma,
d t 2 = e 2 Fdt 2 -e 2jdr 2 - r 2dW ,
(5.3.1)
Bajo estas condiciones, se puede determinar una solución interna para la teoría de
Einstein resolviendo las ecuaciones siguientes:
1. El componente temporal de del tensor de Einstein G 00;
2. El componente radial del tensor de Einstein G 11;
3. La conservación del tensor energía impulso;
4. La ecuación de estado de la materia.
En nuestra teoría tenemos esencialmente los mismos requisitos.
Primero calculamos los valores necesarios de Gmn con respecto a una base ortonormal
[13]. Para la componente temporal se tiene,
æ 1 e -2j 1 de -2j ö÷ 1 d
3Q ˆ ˆ
÷÷ = 2 (r (1 -e -2j )) = 8p n 00 ,
G00ˆ ˆ = çç 2 - 2 çèr
r
r dr ÷ø r dr
R
(5.3.2)
donde el lado derecho es solamente una función de r y se puede integrar,
æ3Q00ˆ ˆ ö÷ r dr d
r
-2 j
çç
=
÷
=
1 -e - 2 j ) º G  ,
1
r
e
4
dr
p
r
(
(
)
(
)
÷
n
ò
ò
çè R ÷ø 0 2 dr
2
0
r
2
(5.3.3)
definiendo la masa de Schwarzschild  que es la masa gravitacional activa macroscópica
de la solución, usando una constante G que mantenemos indeterminada. El potencial
esférico newtoniano dentro de la distribución de materia se puede tomar como
j0 º -
G  (r )
r
,
(5.3.4)
obteniendo la siguiente expresión dentro de la distribución interna de materia,
e -2 j = 1 -
2G  (r )
= 1 + 2j0 .
r
(5.3.5)
En segundo lugar tenemos la componente radial,
æe -2j 1 2e -2j d F ö÷
3Q ˆ ˆ
÷÷ = 8p n 11
G11ˆ ˆ = çç 2 - 2 +
çè r
r
r dr ø÷
R
,
(5.3.6)
El Campo Gravitacional
63
que puede resolverse para la derivada de F,
æ3Q
ö
G  (r ) + 4pr 3 çç 11ˆ ˆ n ÷÷÷
ç
Rø
dF
è
=
dr
r (r - 2G  (r ))
,
(5.3.7)
donde hemos usado la definición previa de .
En tercer lugar tenemos la conservación del tensor de Einstein, con respecto a la
conexión inducida de Levi-Civita en el fibrado TM, que implica una ley de conservación
similar para el lado derecho de la ecuación (5.2.22)
æ Q rm ö
m çç n ÷÷÷ = 0
çè R ÷ø
.
(5.3.8)
Finalmente, en vez de la ecuación de estado se tiene una expresión geométrica para
Q determinada por soluciones de las tres ecuaciones geométricas ilineales acopladas,
incluyendo la que se reduce a la ecuación cuántica de Dirac. Como estas ecuaciones se
derivan de un principio variacional, esperamos que sean consistentes entre ellas y que
junto con condiciones apropiadas de borde determinen una solución interna geométrica
de Schwarzschild. Debe indicarse aquí que esto es una consecuencia de tener un tensor
energía impulso geométrico como aspiraba Einstein para una teoría completamente
geométrica. Además, podemos suponer que macroscópicamente la fuente geométrica
debe contener las propiedades fenomenológicas conocidas de la materia microscópica,
por ejemplo, la ecuación de estado para un fluido. En esta aproximación, el problema se
reduciría al problema interno macroscópico usual en relatividad general.
La solución geométrica interna esférica debe ser empalmada con la solución externa
(de vacío) de Schwarzschild en el borde esférico. Debido a las ecuaciones de vacío
afuera de la distribución esférica de materia, se conoce que en el exterior
g 00 = e 2 F = e -2j = 1 + 2j0 ,
(5.3.9)
lo cual relaciona la métrica externa de Schwarzschild con el potencial gravitacional
newtoniano esférico, donde G es una constante relacionada con la masa gravitacional
activa total dentro del borde esférico. Así, la solución exterior correspondiente satisface
los requisitos físicos del campo gravitacional de un cuerpo masivo esférico.
5.4.
El Límite Newtoniano.
Es usual suponer, como aproximación newtoniana, que los parámetros característicos
de una solución de la ecuación de Einstein, v/c1, j1, son de orden e 2 [14] en función
de un parámetro adimensionado pequeño e. Este parámetro pequeño e se puede
GEOMETRÍA FÍSICA
64
Capítulo 5
relacionar con la tétrada ortonormal u, y caracterizar así la propagación de disturbios
gravitacionales. El límite newtoniano de las teorías de gravitación del tipo de Einstein
se discute in detalle en el apéndice F. Allí se muestra que, en el límite e0, la métrica se
hace singular en e. Sin embargo la conexión permanece regular en el límite y define una
conexión afín newtoniana que no está relacionada con una métrica. Como hemos tomado
la conexión como la representación fundamental de la gravitación, podemos definir
apropiadamente el límite gravitacional. El tensor newtoniano de curvatura
correspondiente es el límite del tensor de Riemann. La proyección de este tensor en las
hipersuperficies tridimensionales de tiempo t define en ellas un tensor de Riemann que
no es necesariamente plano.
Sin embargo, hay hipótesis acerca del tensor energía impulso que determinan que el
a
espacio tridimensional de Newton es plano. En este caso, las componentes 0G 00 de la
conexión límite que no se anulan darían las únicas componentes del tensor de curvatura
que determinan la ecuación de Poisson.
En la teoría geométrica, el límite newtoniano e0 debe obtenerse de la ec. (5.2.22).
El escalar de curvatura R puede ser singular en el límite debido a la singularidad en la
métrica. Es posible hacer hipótesis sobre la geometría para evitar esta singularidad,
pero también es posible dejar que la geometría se determine por el tensor energía
impulso, haciendo hipótesis de regularidad sobre este último tensor. En la teoría de
Einstein esta singularidad se puede manejar moviéndola al tensor energía impulso
æ
ö
1
-R = g mn ççRmn - g mn R ÷÷÷ = kg mnTmn = kT ,
çè
ø
2
(5.4.1)
æ
ö
1
Rmn = k ççTmn - g mnT ÷÷÷ .
çè
ø
2
(5.4.2)
En el límite la relación entre los escalares R y T se rompe debido a la singularidad en la
métrica. Cuando se toma el límite newtoniano, se supone que el tensor energía impulso
tiene tales propiedades que hacen posible evitar la singularidad en R.
Realmente, podemos hacer lo mismo para manejar la posible singularidad de R,
presente en el tensor de Einstein G, adjuntándola a Q. Equivalentemente también es
posible mover el término del lado izquierdo al lado derecho. También suponemos, como
en la teoría de Einstein, que el tensor energía impulso contravariante permanece regular
en el límite. Como se muestra en el apéndice F, el tensor de curvatura en el límite, en
términos de un vector tiempo ortogonal a una superficie, es
æ1
ö 1
Rmn = lim çç kT abtat bt mtn +  (e 2 )÷÷÷ = 0k 0T abtat bt mtn .
e 0 ç
è2
ø 2
0
(5.4.3)
Como en la teoría de Einstein, las hipersuperficies curvas de tiempo se hacen planas
El Campo Gravitacional
65
en el límite porque la ecuación de campo
æ
ö
1
Rmn = lim Rmn = lim k ççgmagn bT ab - gmn g abT ab ÷÷÷ = lim  (e 2 ) = 0
e 0
e 0 ç
è
ø e 0
2
0
(5.4.4 )
determina que el correspondiente tensor de Riemann tridimensional 0R es cero en el
límite. Similarmente las otras componentes espaciales del tensor de Riemann R también
m
se anulan y el vector tiempo t se hace ortogonal a estas hipersuperficies. Así,
obtenemos la ecuación para la única componente geométrica del tensor de Riemann en
el límite,
R00 =
æ 3Q ˆ ˆ ö
8p
lim çç n 00 ÷÷÷ .
2 e0 çè R ø÷
(5.4.5)
En el límite, como se muestra en el apéndice F, obtenemos la ecuación de Poisson,
æ 3Q ˆ ˆ ö
¶a ¶ a j = 4p lim ççç n 00 ÷÷÷ ,
e0 è R ÷
ø
(5.4.6)
donde claramente el límite newtoniano de la expresión en paréntesis debe ser interpretado como
la densidad newtoniana de masa rG. Una diferencia esencial con la teoría de Einstein es la
n
aparición explícita del escalar R en esta ecuación. Al acercarse al límite newtoniano este escalar
n
de curvatura cuatridimensional R puede ser singular de orden e-2, debido a la métrica como se
indicó anteriormente. En otras palabras, aumenta como
æ nR ö
lim nR = lim çç- 2 ÷÷÷ ¹ 0
e 0
e0 ç
è e ø÷
(5.4.7)
en términos de un escalar de curvatura tridimensional de las hipersuperficies de tiempo.
n
Sin embargo es posible tener soluciones tales que el valor regular del escalar R en el
límite dependa de la curvatura de una solución afuera del límite newtoniano plano.
El límite de las ecuaciones de campo determina, usando la regularidad del tensor
energía impulso, que el tensor curvatura tridimensional debe ser de orden e 2, como indica
la ecuación (5.4.4 ). Debe haber una solución física relativística, afuera del límite
newtoniano, donde las hipersuperficies de tiempo tengan una curvatura isotrópica de
orden e 2 . Este espacio debe ser un espacio simétrico. En el capítulo 12 se muestra una
solución que cumple con estos requisitos. La curvatura correspondiente suministra una
distancia característica indeterminada l, por ejemplo,
n
Rmn =
3
ˆ
hab
e aˆe bl -2 .
ˆˆ m n
4
(5.4.8)
66
Capítulo 5
GEOMETRÍA FÍSICA
2
Debemos tener un parámetro de curvatura positivo definido, l , para relacionarlo con la
constante gravitacional. En el límite newtoniano los vectores de la triada, que determinan
la métrica espacial, son de orden e y obtenemos
2
3
3
ˆ v
Rmn = - dabˆ ˆ 0emaˆ 0enb 2 l -2 º - hmn e 2l -2 ,
4
c
4
n
(5.4.9)
donde v es una velocidad característica de la solución. A velocidades muy pequeñas
esta solución física relativística es aproximadamente igual a la solución límite newtoniana.
2
n
-2
En el límite newtoniano no existe la singularidad e en R y éste toma el valor 3l . Las
densidades geométrica y clásica determinan una relación entre la constante gravitacional
2
newtoniana G y el parámetro constante de curvatura l ,
3Q00
= l 2 lim Q00 º G r .
n
e 0
e 0
R
lim
(5.4.10)
Una curvatura de orden e 2 en la hipersuperficie de tiempo original de la solución física
n
relativística puede producir un valor grande en el límite del escalar R y consecuentemente
relacionarse con una constante gravitacional G pequeña en el límite newtoniano. Este
escalar está geométricamente relacionado con el parámetro de curvatura l de una
hipersuperficie hiperbólica que en el límite newtoniano se convierte en el espacio
newtoniano plano.
La densidad expresada en la ecuación (5.4.6) concuerda con la definición de la masa
total  de la solución esférica dada in la sección anterior, ecuación (5.3.3). En otras
palabras la densidad de materia, correspondiente a la fuente de la ecuación de Poisson
en la teoría de Newton, determina por integración la masa total de la solución de
Schwarzschild.
5.5.
Resumen.
La ecuación de Einstein con constante cosmológica en la relatividad general se
obtiene de la ecuación de energía impulso para un espacio vacío. Para espacios con
materia obtenemos una ecuación de Einstein generalizada (5.2.22) que relaciona el tensor
de Einstein G mn con un tensor geométrico de energía impulso Q mn. Para una solución
interna con simetría esférica la masa de un cuerpo se puede definir en términos de
integrales de energía-masa, como en la teoría de Einstein. La solución externa
correspondiente concuerda con las pruebas estándares de la relatividad. Adicionalmente
existe el límite newtoniano donde se obtiene la ecuación de Poisson correspondiente,
en función de una densidad geométrica de energía relacionada, por una distancia
característica l y la constante gravitacional G, con la densidad clásica de energía.
El Campo Gravitacional
67
Referencias
1 A. Einstein The Meaning of Relativity, 5th ed. (Princeton Univ. Press, Princeton), p. 98
(1956).
2 G. González-Martín, Phys. Rev. D 35, 1225 (1987). Vea el capítulo 3.
3 G. González-Martín, Gen. Rel. and Grav. 22, 481 (1990). Vea el capítulo 3.
4 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991). Vea el capítulo 7.
5 C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 33, 445 (1974).
6 E. Fairchild, Phys. Rev. D14, 384 (1976).
7 R. Pavelle, Phys. Rev. Lett. 34, 1114 (1975).
8 R. Pavelle, Phys. Rev. Lett. 37, 961 (1976).
9 A. H. Thompson, Phys. Rev. Lett. 34, 507 (1975).
10 G. González-Martín, USB preprint, 01b (2001) y ArXiv gr-qc/0007066.
11 G. Stephenson, Nuovo Cimento 9, 263 (1958).
12 W. Tulczyjew, Acta Phys. Pol. 18, 393 (1959).
13 W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Francisco),
p. 602 (1973).
14W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Francisco),
p. 412 (1973).
6. CUANTIZACIÓN DE CAMPOS.
6.1. Introducción.
¿Podemos obtener la teoría cuántica de campos de esta geometría sin recurrir a la
mecánica cuántica o clásica? Esta pregunta está en línea con la aspiración ideal indicada
por Schrödinger [1].
Los resultados de trabajos previos, que suministran una posible unificación de la
gravitación, el electromagnetismo y la ecuación de Dirac, apoyan la esperanza de obtener
más resultados interesantes del análisis de la teoría geométrica, en particular acerca de los
fenómenos cuánticos. Se puede mostrar que las secciones admiten una interpretación similar
a la de funciones de onda generalizadas. Los procedimientos para determinar resultados
físicos en la teoría cuántica podrían surgir canónicamente de las propiedades geométricas
de la teoría.
En la teoría cuántica, los campos se consideran operadores que forman un álgebra.
Parece posible que esta surja de las propiedades geométricas de secciones en un fibrado
principal, que están relacionadas con elementos de un grupo. Discutimos ahora estas
cuestiones que lucen interesantes porque el álgebra de Clifford, asociada al grupo, tiene
una estructura algebraica anticonmutativa.
Los postulados de la mecánica clásica de Newton [2] están basados en el concepto de
partículas puntuales y el movimiento libre a lo largo de las rectas de la geometría euclidiana.
Un campo clásico se ve usualmente como un sistema mecánico donde se aplica la mecánica
clásica. Con el advenimiento de la relatividad general y las teorías de calibre, debe existir
un reconocimiento que la geometría del mundo físico no es tan simple como la suministrada
por la geometría griega clásica. La idea de una geometría física determinada por la
distribución de masa y energía [3, 4] es atractiva como criterio para establecer las leyes
fundamentales de la naturaleza.
Fue natural cuando nació la mecánica cuántica, [5, 6] basar su desarrollo en la mecánica
clásica y la geometría euclidiana. Los postulados revelaron las dificultades en la medición
simultánea de la posición y velocidad de una partícula puntual. Otro enfoque, en
retrospectiva, puede ser el convencimiento que una partícula no es el elemento geométrico
apropiado sobre el cual sobreponer postulados físicos. El concepto de campo es cercano a
las ideas geométricas modernas y apunta en la dirección de establecer los postulados en
una geometría general alejada de prejuicios introducidos por la geometría clásica y la
mecánica clásica.
En consecuencia discutiremos una generalización de la teoría de campos, directamente
hacia la geometría, rehusando el paso intermedio de la mecánica. ¿Por que debemos
introducir estos conceptos intermedios cuya necesidad de revisión es revelada por la historia
de la física relativista y cuántica? La mecánica puede ser vista, antes que una teoría
Cuantización de Campos
69
fundamental, como una simplificación cuando la evolución de la materia puede ser
aproximada por el movimiento de un punto.
6.2. Linealización de Campos.
En la teoría de conexiones y poliadas desarrollada en los capítulos anteriores, donde las
ecuaciones fundamentales son
D *W = k *J ,
J* =
1
eabgmek medx a  dx b  dx g ,
3!
2km m e + k aˆ m uamˆ e = 0 ,
(6.2.1)
(6.2.2)
(6.2.3)
los campos materiales son representados por la copoliada e que es una sección de un
fibrado principal E. La interacción se representa por una conexión con forma de
curvatura W. Ambos objetos, la copoliada y la conexión, son determinados por las
ecuaciones, en términos de una base ortonormal u y un subconjunto ortonormal k que
genera al álgebra geométrica [7] asociada al espacio tiempo.
Si introducimos el fibrado de conexiones W, una conexión w puede tomarse como
una sección de este fibrado afín. Cuando consideramos una ecuación que relacione la
conexión y la poliada, estamos lidiando con variedades diferenciales de secciones de
los fibrados E, W y operadores diferenciales ilineales que definen aplicaciones
diferenciables entre estas variedades de secciones. La técnica necesaria para atacar
estos problemas es conocida con el nombre de análisis global ilineal [8].
Generalmente se acepta que el proceso de cuantización requiere de la existencia de
una teoría de la mecánica clásica que se cuantiza por ciertas reglas fundamentales. En
su lugar, pensamos que una geometría relacionada con la física da origen a los campos y
en forma aproximada a ambas teorías, la clásica y la cuántica.
Hacemos la conjetura que el proceso de cuantización de campo es la técnica de
reemplazar este problema ilineal, recién indicado, por un problema lineal obtenido
por variaciones de las aplicaciones ilineales, reduciendo las variedades diferenciables
de secciones de Banach, a espacios lineales de Banach y las aplicaciones ilineales
entre variedades de secciones, a aplicaciones lineales entre los espacios de funciones.
Desde un punto de vista geométrico, esto significa trabajar en el espacio tangente
a estas variedades de secciones en un “punto” (sección) definido.
Hay ciertas variedades, convenientes para trabajar con secciones de fibrados,
k
llamados los fibrados jetados de orden k, indicados por J E, que son esencialmente
variedades de secciones iguales en un punto módulo derivadas [9] de orden mayor que
k+1. De particular interés es la variedad de soluciones g, que es la subvariedad de
todas las secciones que satisfacen una ecuación diferencial dada. Las secciones
GEOMETRÍA FÍSICA
70
Capítulo 6
obtenidas de una solución por la acción del grupo de estructura son soluciones
equivalentes. El cociente de g por esta relación de equivalencia es la solución física.
Si tenemos un problema variacional, sus secciones críticas (soluciones) se pueden
caracterizar geométricamente en la forma siguiente: Una sección s es crítica si y sólo si
la forma de Euler-Lagrange es cero en la prolongación 1-jeta [9] js de la sección s,
(DL + f h )js = 0
.
(6.2.4)
El conjunto de todas las secciones críticas forma la variedad diferenciable g de
soluciones del problema variacional. En esta variedad hay campos vectoriales cuyo
flujo genera el espacio de soluciones. Estos campos son secciones del espacio tangente
Tg. En vez de estudiar g es posible estudiar los espacios lineales Tg s. Podemos introducir
en Tg un vector y que represente una solución de la ecuación variada asociada. Un
campo “operador cuántico” se puede relacionar a un campo de Jacobi en los fibrados
en consideración.
Realmente una solución a la ecuación corresponde a una aplicación entre ambas
variedades de soluciones: una g E, correspondiente al fibrado E, que representa una
solución de la poliada material y la otra g W, correspondiente al fibrado W, que representa
una solución de la conexión de interacción. Una sola variedad de soluciones se puede
obtener combinando g E y g W, dentro de una variedad producto relacionada con E y W,
pero esto nos llevaría a complicaciones matemáticas innecesarias para nuestro
propósito. Aquí consideraremos separadamente las variedades.
6.3. Soluciones Poliádicas.
Para la variedad de soluciones de poliadas g E consideremos su tangente Tg.
v
Definimos un campo vectorial de Jacobi como una sección V s, del fibrado s*T E
inducido por la sección s del subfibrado vertical de TE, de forma que la correspondiente
extensión 1-jeta satisfaga
jV (DL + f h ) = 0 .
(6.3.1)
Aquí  indica la derivada de Lie. El espacio de todos los campos vectoriales de
Jacobi forma el espacio tangente a g en una sección dada y se denota por Tg s. La
última ecuación es una linealización de la ecuación ilineal (6.2.4) que es la misma
ec.(6.2.1) en otra forma. Un campo de Jacobi se puede ver como el vector tangente a
una curva diferenciable de soluciones s t de la ecuación ilineal en una solución dada s.
Cuando se tiene esa curva, podemos considerarla como la curva integral de un campo
vectorial extendido de Jacobi V que toma los valores V s, en cada punto de la curva.
La fibra del fibrado E es el grupo SL(2,). El álgebra de Lie de este grupo está
envuelta por el álgebra geométrica de Clifford A con el producto natural de las matrices
del subconjunto ortonormal del álgebra de Clifford. Los elementos de A se pueden
expresar como polinomios de cuarto grado en términos de este subconjunto ortonormal.
Cuantización de Campos
71
Cuando las variaciones se toman en la forma usual, en términos de las coordenadas
de la fibra, las propiedades algebraicas de la fibra no se utilizan completamente en la
teoría. Para extraer la información adicional contenida en la fibra que, aparte de ser
una variedad, está relacionada con el álgebra A, notemos que en muchos casos tenemos
que trabajar con el elemento representativo en la fibra por los homeomorfismos del
fibrado. Estamos lidiando con elementos de G.
v
Los espacios verticales de s*T E son homeomorfos al espacio vertical de TG. Esto
v
significa que la fibra de s*T E es A, tomada como un espacio vectorial. La asociación
v
de la estructura algebraica de A con los espacios verticales de s*T E depende de la
imagen de la sección s en G dada por los homoemorfismos del fibrado principal.
Cuando se escoge una poliada de observación, el homeomorfismo local queda fijo
y la estructura algebraica de A puede ser asignada a los espacios verticales. Una
variación del observador h produce un efecto equivalente a una variación de la sección
s, y debe tomarse en consideración. La variación física total es debida a la variación
de la sección y/o una variación del observador en la composición de aplicaciones h o s,
definida en una carta local U
h  s :U U ´(G ¢´G ) .
(6.3.2)
Una variación de h o s se representa por un vector variación, un vector de Jacobi
generalizado, valuado en el álgebra de Clifford.
Estamos trabajando con una doble estructura algebraica, una relacionada con el
álgebra A, de la fibra de TE y la otra relacionada con el álgebra de Lie de los campos
vectoriales  en el fibrado jetado JE. Esto nos permite asignar una estructura algebraica
canónica a los campos de Jacobi, que debe definirse en términos de estas estructuras
naturales en cada uno de estos espacios relacionados.
Por ejemplo, si usamos ambas estructuras algebraicas y calculamos el siguiente
conmutador de vectores,
éx k 0 ¶m , yk 1¶n ù ,
ëê
ûú
(6.3.3)
donde m, v son coordenadas en el fibrado jetado y x, y las componentes, el resultado
no es un vector debido a las propiedades conmutativas del subconjunto ortonormal,
Sin embargo si calculamos el anticonmutador el resultado sí es un vector.
En particular, también se conoce [10] que el álgebra de Clifford, tomada como un
espacio vectorial gradado, es isomorfa al álgebra exterior del espacio tangente asociado,
que en nuestro caso es *TM. Hay dos productos canónicos, llamados los productos
exterior e interior que pueden ser definidos entre cualquier par de monomios del álgebra
usando el producto de Clifford. Para cualquier elemento k a del subconjunto ortonormal
el producto de un monomio a de grado p por k a es una aplicación
ka : Ap  Ap +1 + Ap-1 .
(6.3.4)
72
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 6
La primera componente de la aplicación es el producto exterior k a a y la segunda
componente es el producto interior k aa. Entonces podemos escribir
kaa = ka  a + ka  a .
(6.3.5)
Debido a la propiedad asociativa del producto de Clifford podemos extender esta
descomposición a productos de monomios. Se puede definir el grado del producto ab,
indicado por gr(ab), como el número de productos interiores en el producto de Clifford.
El grado es el número de elementos comunes en el monomio.
Por ejemplo, (k 0 k 1 ) (k 2 k 0 k 3 ) es de grado uno. Esta descomposición puede ser
aplicada al producto de cualquier par de elementos de A. Es claro que el grado máximo
es el número de elementos del subconjunto ortonormal y que el producto de grado
cero es el producto exterior.
El uso del producto exterior en vez del producto de Clifford convierte el álgebra A en
un álgebra de Grassmann, isomorfa al álgebra exterior de las formas diferenciales en
los espacios tangentes. Este hecho nos lleva a buscar una gradación de la estructura
del álgebra de Lie [11].
El grupo de estructura de la teoría es el grupo simple de los automorfismos internos
del álgebra de Clifford. En este sentido el grupo, su álgebra de Lie y sus productos
respectivos surgen del álgebra de Clifford. De hecho, el corchete de Lie es igual al
conmutador de productos de Clifford. Para evitar un factor innecesario de 2 podemos
definir el producto de Lie como el producto antisimetrizado. (1/2 del conmutador).
Podemos notar que los elementos de A también satisfacen los postulados para formar
un anillo, en la misma forma que los números complejos pueden considerarse como
un álgebra sobre  o como un cuerpo. De esta manera los elementos de A juegan el
papel de números generalizados, los números de Clifford. Los candidatos para el
producto en el anillo son naturalmente el producto geométrico de Clifford, el producto
exterior de Grassmann, el producto interior y el producto de Lie. Como mencionamos
todos estos productos surgen del producto de Clifford. De hecho, para dos monomios
cualquiera a, b Î A, todos los otros productos a⋅b, si no son cero, son iguales al
producto de Clifford ab. El producto de Clifford es mas general y fundamental y los
otros se pueden obtener como restricciones de éste. Adicionalmente el producto de Lie
no es asociativo y pudiera necesitar generalizaciones de las estructuras algebraicas.
Por otro lado el fibrado de poliadas, E, es un fibrado principal y su fibrado tangente TE
vertical tiene como fibra una estructura de álgebra de Lie heredada del grupo, y sería
más natural que el producto fuese cerrado en el álgebra de forma que los resultados
también estuvieran valuados en el álgebra de Lie. Por el momento tomaremos el producto
geométrico de Clifford como el producto mas general de la estructura de anillo de A y
especializaremos a los otros productos cuando fuere necesario.
Es conveniente, entonces, trabajar con el álgebra asociativa, envolvente universal
del álgebra de Lie, de los campos vectoriales . De esta manera se tiene un producto
asociativo definido y podemos representar los corchetes como conmutadores de los
vectores. El conjunto de vectores verticales en JE se puede tomar como un módulo
Cuantización de Campos
73
sobre el anillo A. Usando la estructura algebraica canónica podemos definir una
operación corchete en los elementos del producto A´  . Para cualquier monomio a,b,g
Î A y V,W,Z Î  , definimos
{aV , bW } = a · b ´[V ,W ] = g Z
,
(6.3.6)
convirtiendo el módulo en un álgebra . Este corchete satisface,
ab
{aV , bW } = -(-1) {bW , aV }
,
(6.3.7)
(-1) {aV , {bW , gZ }} + (-1) {bW , {gZ , aV }} +
ga
ab
(-1) {gZ , {aV , bW }} = 0
bg
,
(6.3.8)
donde |ab| es la gradación del producto ab o del corchete, e igual al número de
permutaciones dado por
ab = a b - gr (ab ) ,
(6.3.9)
en términos del |a| de los monomios A y del grado del producto ab. Para cualquier par
de elementos y, F del álgebra  que sean polinomios en A, el corchete se define como
la suma de los corchetes de los monomios componentes,
{f, y} = å {f(n ) , y(m ) }
.
(6.3.10)
n ,m
Otra forma de ver esta operación corchete es considerar que la acción de un vector
y sobre un campo escalar f en M da una sección a del fibrado AM, con A de fibra,
Y ( f ) = yaaEa ¶a f = a .
(6.3.11)
Con este entendido, el corchete de monomios vectoriales en A se pueden definir por su
acción sobre las funciones como sigue:
{F( ) , Y ( ) } f = F( ) (Y (
n
m
n
m)
( f )) + (-1) Y (m ) (F(n ) ( f ))
FY
.
(6.3.12)
Esta definición concuerda con la anterior ec. (6.3.6). Para ver esto se descomponen
los vectores en términos de una base y se utiliza la primera definición.
Las fórmulas anteriores son válidas en general si restringimos el producto de Clifford
a los productos exterior o interior tomando los números apropiados de permutaciones
para cada caso. Por ejemplo en el caso del producto de Grassmann, gr(ab) es siempre
cero. Si restringimos al producto de Lie, el corchete es siempre simétrico en la ec.
(6.3.6) y en la identidad gradada de Jacobi ec. (6.3.8).
74
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 6
6.4. Soluciones de Conexión.
Para la variedad de solución de conexiones g W procederemos en forma similar
tomando en consideración que el fibrado de conexiones W tiene una estructura
geométrica diferente a la del fibrado de poliadas E.
Una conexión en el fibrado principal se puede definir por una dicotomía de la
secuencia exacta corta de fibrados vectoriales [12],
p
0  AdE  TG E ¾¾
TM  0 ,
(6.4.1)
donde la dicotomía
w :TM  TG E = H ÅV
(6.4.2)
es un homomorfismo que define los subespacios horizontales del fibrado principal.
Esos subespacios horizontales definen una forma de conexión w.
Una conexión en E se puede identificar con una sección del fibrado de conexiones
p:WM definido en el apéndice E. Se puede ver que cada punto w m del espacio vertical
W m del fibrado W corresponde a un complemento de espacio vectorial de AdE en T GE.
Se conoce [7] que un espacio de complementos lineales de un subespacio vectorial
tiene una estructura afín natural. Por lo tanto, la fibra de W es un espacio afín con
parte lineal L(T GE/AdE, AdE) » L(TM, AdE).
v
Definimos los campos vectoriales de Jacobi V s , como secciones de s*T W y
asociamos operadores cuánticos a las prolongaciones de los vectores extendidos de
Jacobi. En este caso surge una diferencia debido a la estructura algebraica de la fibra
de W, que no es un fibrado principal, y difiere de la estructura de la fibra de E. Una
conexión en E se define dando una sección en W. Esto define un subespacio vectorial
horizontal en TE. La fibra de la variedad de conexiones W es el espacio de
complementos del espacio vertical en T GE e. La fibra de W es un espacio afín y podemos
decir que W es un fibrado afín.
Intuitivamente, podemos considerar un espacio afín como un plano P de n
dimensiones sin un origen definido. La estructura afín de este espacio permite que
cualquier punto o Î P sea definido como el origen, convirtiendo el plano en un espacio
vectorial V,
Q0 : P V .
(6.4.3)
La estructura algebraica del espacio tangente a la fibra de W es entonces isomorfa a
TP p y consecuentemente isomorfa a V con la operación usual de adición de vectores.
Correspondientemente los vectores verticales en JW forman un espacio vectorial sobre
un anillo conmutativo y el corchete definido in la sección anterior se reduce al corchete
de Lie, porque no hay permutación de signo bajo la conmutación.
Cuantización de Campos
75
6.5. El Corchete como Derivación.
En ambos casos tenemos que el corchete se define utilizando el producto geométrico
natural relacionado con las estructuras algebraicas de las fibras de los correspondientes
fibrados E y W.
Es claro que el corchete es una derivación,
XF
{X , FY } = {X , F} Y + (-1) F {X , Y } ,
(6.5.1)
y que, por lo tanto, tenemos una generalización de la derivada de Lie con respecto a la
prolongación de los vectores de Jacobi dada por
jV jW = { jV , jW } ,
(6.5.2)
donde el corchete es el anticonmutador o el conmutador dependiendo del número de
permutaciones para las poliadas y siempre el conmutador para las conexiones. Esto
significa físicamente que los campos materiales deben ser fermiónicos y los campos
de interacción deben ser bosónicos. Los operadores cuánticos en la teoría cuántica de
campos se pueden identificar con la prolongación de los campos vectoriales extendidos
de Jacobi.
El significado geométrico de estos corchetes, ec. (6.5.2), es equivalente al postulado
de la teoría cuántica que da el cambio en un campo de operadores cuánticos F producido
por la transformación generada por otro operador Y. En el contexto presente, esta
ecuación no es un postulado separado, sino es solamente el resultado de aplicar la
derivada  con respecto a la dirección tangente a una curva en la variedad de soluciones
g y se debe a la geometría de los fibrados.
La derivada  se puede extender a formas tensoriales valuadas en el anillo A. Estas
derivadas representan la variación de secciones a lo largo de una dirección en Tg, que
corresponde al generador de alguna transformación en el fibrado jetado a lo largo de
una dirección vertical.
La formalización geométrica de este problema variacional físico se puede hacer
v
construyendo la extensión del espacio vectorial vertical T E e a un módulo sobre el
anillo A. En una manera similar a la complexificación de un espacio vectorial
v
*
consideramos el dual (T E e) y se definen las aplicaciones
*
V : (T v Ee )  A .
(6.5.3)
Estas aplicaciones son elementos de un A-módulo derecho que designaremos como
A v
T E . Si formamos la unión de estos espacios sobre la variedad E obtenemos un fibrado
A v e
T E e sobre E.
A v
v
En adición podemos construir los fibrados T JE e sobre JE y s*T E sobre M. La
versión geométrica estándar de las variaciones se puede generalizar a estas variaciones
v
v
físicas sustituyendo apropiadamente estos fibrados en vez de los fibrados T E, T J y
GEOMETRÍA FÍSICA
76
Capítulo 6
v
s*T E respectivamente, usando la derivada  y tomando en cuenta los productos
inconmutativos [9].
6.6. Teoría Geométrica de Campos
Cuánticos.
El operador corchete nos lleva a las relaciones de cuantización de la teoría cuántica
de campos si se usa el principio de acción de Schwinger. El generador de una variación
F se puede escribir en el formalismo de fibrados jetados por los términos apropiados
en la ec. (2.9), del apéndice D,
F µ jV P ,
(6.6.1)
Se puede ver que los elementos que entran en la expresión son formas tensoriales en
el fibrado jetado que heredan las propiedades algebraicas de la fibra y por lo tanto,
tienen propiedades de operadores.
Las funciones generadoras F determinan las variaciones como se indica en la ec.
(6.5.2). Escribiremos el generador F en la expresión estándar equivalente usada en la
teoría cuántica [13], obteniendo,
ìï
üï
dY (x ) = {Y , F } = ïíy (x ) , ò P m dYd sm ïý ,
ïï
ïï
s
î
þ
(6.6.2)
para las variaciones de los campos de operadores Y. En esta expresión reconocemos
que los elementos son operadores cuánticos, como se definieron anteriormente, que
obedecen la operación corchete definida. Si expresamos el corchete en esta relación
como en la ec. (6.5.1), obtenemos
dY (x ) = ò {Y (x ) , P m (y )} dY (y )d s m  ò P m (y ){Y (x ) , dY (y )}d s m . (6.6.3)
s
s
Es claro que los conmutadores resultantes para los operadores de conexión y
anticonmutadores o conmutadores para los operadores de poliadas no son otra cosa
que las relaciones de conmutación en la teoría cuántica de campos para campos de
bosones y fermiones.
La última ecuación implica
{Y (x ), dY (y )} = 0
,
{Y (x ), P m (y )} = -d m (x , y )
(6.6.4)
,
(6.6.5)
Cuantización de Campos
77
donde el corchete se interpreta como conmutador o anticonmutador dependiendo de la
gradación del corchete según el tipo de campo.
De esta formulación se hacen claras las razones geométricas para la existencia de
ambos tipos de campos, los bosónicos y los fermiónicos. Otra ventaja de esta
formulación geométrica es que la naturaleza operacional de los campos puede ser
explícitamente expresada en términos de los operadores vectoriales tangentes en el
espacio de soluciones y las matrices del álgebra de Clifford.
Un vector tangente puede ser considerado como una acción infinitesimal sobre
funciones en una variedad. En particular, para la variedad g de secciones que son
soluciones, el operador cuántico actúa sobre una sección de solución, que llamaremos
solución de fondo o substrato, produciendo perturbaciones de la solución llamadas
excitaciones cuánticas. La sección de substrato puede tomar el lugar del vacío de la
teoría cuántica convencional.
Si la variedad de secciones se toma como una variedad de Hilbert sus espacios
tangentes son espacios lineales de Hilbert. Esto significa que los operadores cuánticos,
que actúan en los espacios tangentes, actúan sobre espacios de Hilbert como se supone
en la teoría cuántica.
Si estas variedades de Hilbert en cuestión admiten secciones armónicas locales, se
pueden introducir excitaciones armónicas fundamentales. Cualquier excitación arbitraria
se puede descomponer linealmente en términos de estas excitaciones armónicas. Las ecs. (6.6.4,
6.6.5) determinan reglas de conmutación para las amplitudes de las excitaciones armónicas que
corresponden a los operadores de creación, aniquilación y número de partículas de las
excitaciones armónicas de campo en cada punto, con las propiedades de los correspondientes
al oscilador armónico cuántico. La energía de las excitaciones armónicas de campos se
puede definir de la manera estándar llevándonos al concepto de una partícula cuántica.
Sin embargo, si este modelo geométrico se toma seriamente, la (segunda) cuantización
de campo se reduce a una técnica para calcular excitaciones de campos o perturbaciones
a soluciones exactas de las ecuaciones geométricas teóricas. Podría haber otras técnicas
para calcular estas perturbaciones. De hecho, se conoce que algunos resultados
cuánticos se pueden obtener sin la cuantización del campo electromagnético. Véase,
por ejemplo, una técnica alternativa a la EDC [14] donde el autocampo se toma como
fundamental.
En la relatividad general, los términos de autorreacción no aparecen como una
característica separada pero si aparecen en las ecuaciones linealizadas obtenidas
utilizando técnicas de perturbación. Una vez que la estructura geométrica, no
fenomenológica, de la fuente J se conozca, la ecuación exacta de movimiento de los
campos descriptivos de la materia, incluyendo las partículas, sería la ley de
conservación de J. Esta relación siendo una condición de integrabilidad de las
ecuaciones de campo incluye todos los términos de autorreacción de la materia sobre
sí misma. No hay que preocuparse de los infinitos producidos por los términos de
autorreacción. Un sistema físico estaría representado por campos materiales y de
interacción que son soluciones del conjunto de ecuaciones simultáneas. Cuando se
78
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 6
realiza una perturbación en las ecuaciones, por ejemplo para obtener ecuaciones lineales,
la separación de las ecuaciones en ecuaciones de distinto orden introduce los conceptos
del campo producido por la fuente, fuerza producida por el campo y en consecuencia
términos de autorreacción. No debemos ver los términos de reacción como fundamentales
sino como una indicación de la necesidad de usar ecuaciones ilineales.
6.7. Resumen.
Se demostró [15] que si tomamos en consideración la estructura geométrica de los
fibrados E y W, relacionada con la estructura algebraica de sus fibras, un proceso de
variación de las ecuaciones de la teoría nos lleva a la interpretación de los campos
extendidos de Jacobi como operadores cuánticos. Es posible definir una operación
corchete que se convierte en los conmutadores para los vectores de Jacobi asociados a
la conexión y en los anticonmutadores, según la gradación, para los asociados a la
poliada. Este corchete implica las relaciones de cuantización de la teoría cuántica de
campos tanto para los campos bosónicos de interacción como para los campos
fermiónicos materiales. El proceso de cuantización de campo es la técnica de reemplazar
el problema geométrico ilineal por un problema lineal obtenido por variaciones de las
aplicaciones ilineales.
References
1 E. Schrödinger, Space-time Structure, 1st ed. (University Press, Cambridge), p. 1 (1963).
2 I. Newton, in Sir IsaacNewton’s Mathematical Principles of Natural Phylosophy and his
System of the World, edited by F. Cajori (Univ. of California Press, Berkeley and Los
Angeles) (1934).
3 A. Einstein, M. Grossmann, Zeit. Math. Phys. 62, 225 (1913).
4 A. Einstein The Meaning of Relativity, 5th ed. (Princeton Univ. Press, Princeton), p. 55
98, 133, 166 (1956).
5 E. Schrödinger, Ann. Physik 79, 489 (1926).
6 W. Heisenberg, Z. Physik, 33, 879 (1925).
7 I. Porteous, Topological Geometry, (Van Nostrand Reinhold, London), ch 13 (1969).
8 R: S. Palais, Foundations of Global Non linear Analysis, (W. A. Benjamin, New York)
(1968).
9 Vea el apéndice D.
10 M. Atiyah, Topology Seminar Notes, (Harvard University, Cambridge) p. 23 (1962).
11 R. Hermann, preprint HUTP-77/AO12 (1977).
12 P. L. Garcia, Rep. on Math. Phys. 13, 337 (1978).
13 J. Schwinger, Phys. Rev. 82, 914 (1951).
14 A. O. Barut, Phys. Rev. 133B, 839 (1964).
15 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 24, 501 (1992).
7. CARGA Y FLUJO CUANTIZADOS.
7.1. Introducción.
La estructura geométrica de la teoría, en términos de una conexión que describe las
interacciones y una poliada que describe la materia, se determina por la ecuación de campo
que relaciona la curvatura generalizada con la distribución de materia. Sin embargo, algunos
aspectos de la teoría se pueden discutir por técnicas de grupo sin la necesidad de resolver
las ecuaciones.
Una consecuencia de la teoría es la asociación necesaria del electromagnetismo a un
subgrupo SU(2) del grupo de estructura de la teoría. Las condiciones de integrabilidad nos
llevan a una ecuación que es una generalización de la ecuación de Dirac acoplada a la
conexión.
El grupo de estructura de la teoría, SL(2,), de automorfismos del álgebra universal de
Clifford del espacio tangente en un punto, actúa sobre fibrados espinoriales y tiene
generadores que pueden representar otras interacciones, aparte de la gravitación y el
electromagnetismo.
Para dar una visión completa, los campos poliádicos deben representar la materia y en
consecuencia las excitaciones poliádicas deben representar partículas. La conexión actúa
sobre las excitaciones poliádicas y estas pueden considerarse representaciones lineales del
grupo. Dentro de este contexto, es de interés considerar las representaciones irreducibles
de este grupo y discutir su interpretación física y predicciones [1]. Representaciones de
grupos relacionados han sido discutidas previamente [2].
7.2. Representaciones Inducidas del
Grupo de Estructura G.
Las representaciones irreducibles de un grupo G se pueden inducir de las de un subgrupo
H. Estas representaciones actúan sobre las secciones de un fibrado vectorial [3] sobre el
espacio cociente M = G/H con fibra el espacio U de representaciones de H.
Es conveniente, entonces, considerar los subgrupos contenidos en SL(2,), en particular
el subgrupo compacto maximal. Los subgrupos simples de mayor dimensión son los
siguientes:
1. El grupo de 10 dimensiones P, generado por ka, k[akb]. Este grupo es isomorfo a
los subgrupos generados por k[akbkg], k[akb] y por k[akbkc], k[akb], k5;
2. El grupo de 6 dimensiones L, correspondiente a los generadores pares del álgebra,
k[akb]. Este grupo es isomorfo a los subgrupos generados por ka, k[akb] y por
k0k[akb], k[akb];
80
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 7
3. Hay dos subgrupos compactos generados por k[akb] y por k0, k5, k1k2k3.
El subgrupo P es, de hecho, Sp(2,), homomorfo a Sp(4,), como se puede verificar
explícitamente mostrando que los generadores satisfacen los requisitos simplécticos [4].
Este grupo es homomorfo a SO(3,2), un grupo de De Sitter. El subgrupo L es homomorfo a
SL(2,). Los subgrupos compactos son ambos isomorfos a SU(2) y por lo tanto el subgrupo
compacto maximal del grupo cubriente G es SU(2)SU(2) homomorfo a SO(4). Como se
mostró en la sección 3.7, la simetría interna de la cadena LPG, SU(2)U(1), coincide con
la simetría de las interacciones débiles.
Representaciones irreducibles del grupo cubriente de SL(2,) pueden ser inducidas del
subgrupo maximal compacto. Estas representaciones están caracterizadas por los números
cuánticos asociados a las representaciones irreducibles de ambos subgrupos SU(2). Estas
representaciones se pueden considerar secciones del fibrado homogéneo sobre el cociente
SL(4, ) /(SU(2)SU(2)) con fibra el espacio de representaciones de SU(2)SU(2).
Uno de los SU(2), que actúa en espacios espinoriales, está asociado al grupo de
rotaciones que actúa en el espacio de vectores. Sus representaciones irreducibles están
caracterizadas por el número cuántico l del operador Casimir asociado L2, que representa el
cuadrado del impulso angular. El otro SU(2), como se indica en capítulos anteriores, se
puede asociar al electromagnetismo. Tiene un operador Casimir C2, similar a L2 pero que
representa la carga total generalizada, con un número cuántico c. Las representaciones
irreducibles de SL(2,) tienen una tercera etiqueta que puede ser asociada a uno de los
operadores de Casimir de SL(2,), por ejemplo, el operador cuadrático M2 en el espacio
simétrico SL(4,)/SO(4).
Los estados de estas representaciones irreducibles de SL(2,) deben ser caracterizados
por enteros m, q que corresponden a partículas físicas con componente z de impulso angular
m/2 y carga qe. Estos números cuánticos se estudiaran en detalle en las secciones 4 y 5.
El precio pagado para obtener esta cuantización de carga es solamente la asociación del
electromagnetismo al segundo SU(2) en SL(2,). De hecho, esto puede ser una ventaja en
una teoría unificada de este tipo, donde puede llevarnos a nuevas representaciones de
fenómenos físicos. Debe apuntarse que el esquema de cuantización de carga de Dirac [5]
exige la existencia de monopolos magnéticos. Este requisito no es parte de esta teoría.
Representaciones de SL(2,) también se pueden inducir de L, incluyendo naturalmente
las representaciones de espín de su subgrupo SU(2). Como L es un subgrupo de P, es más
interesante mirar las representaciones inducidas de P que incluyen, en particular, las de L.
En algunas situaciones el grupo de holonomía de la conexión puede ser P= Sp(2,) y
podemos esperar que las representaciones inducidas de este grupo jueguen un papel
interesante. Debe estar claro que el cociente P/L es el espacio de De Sitter S- [6]. Los
puntos de S- se pueden ver como operadores de traslación en el mismo espacio S- de la
misma manera que en el espacio de Minkowski. Los operadores de Laplace-Beltrami en Stienen valores propios que deben corresponder a los conceptos de masa en este espacio
curvo. El grupo de isotropía en una traslación (punto) de S- es el subgrupo de rotaciones
SO(3) para traslaciones en líneas dentro del 3-hipercono nulo y el subgrupo SO(2,1) para
Carga y Flujo Cuantizados
81
traslaciones en líneas en el mismo 3-hipercono nulo. Las representaciones de SL(2,)
inducidas del grupo de De Sitter P están caracterizadas por masa y espín o helicidad y
expresadas como secciones (funciones) de un fibrado sobre el 3-hiperboloide de masa o el
3-hipercono nulo, respectivamente para representaciones masivas o de masa nula según sea el
caso. Estas representaciones son soluciones de la ecuación de Dirac en este espacio curvo
y corresponden geométricamente a secciones de fibrados sobre subespacios del espacio de
De Sitter S-.
El grupo SO(3,2), homomorfo a Sp(2,), se contrae [4] a ISO(3,1) que es el grupo de
Poincaré y podríamos tener representaciones aproximadas de SL(2,) relacionadas con el
grupo de Poincaré. Entonces las representaciones del producto directo del grupo pequeño
de Wigner [7] por las traslaciones, se introducen aproximadamente en la teoría. El subgrupo
de isotropía SO(2,1) de P se contrae al subgrupo ISO(2) de ISO(3,1). Así, podríamos trabajar
con representaciones caracterizadas por masa y espín o helicidad expresadas como secciones
(funciones) de un fibrado sobre el 3-hiperboloide de masa o el cono de luz, como sea el
caso. Debe quedar claro, de estas consideraciones grupales, que la ecuación estándar de
Dirac, que es una representación del grupo de Poincare, juega un papel aproximado en la
teoría geométrica.
Debemos apuntar que el subgrupo de isotropía de P en una traslación de De Sitter (punto) en
un subespacio nulo es el grupo de transformaciones que deja invariante los vectores nulos
tangentes en la traslación dada. El subgrupo de isotropía es SO(2,1) que actúa en el espacio
curvo de traslaciones de De Sitter o su contracción ISO(2) que actúa en el espacio plano de
traslaciones de Minkowski. En ambos casos hay solamente un generador de rotaciones
correspondiente al subgrupo compacto SO(2) que es común en ambos subgrupos de isotropía.
Por lo tanto, las representaciones de masa nula inducidas de P están caracterizadas por el valor
propio correspondiente o número cuántico de SO(2) que es conocido como helicidad. En el resto
de este capítulo nos restringiremos a representaciones masivas.
7.3. Subálgebras de Cartan.
Debemos considerar la relación de las representaciones inducidas con aquellas
obtenidas usando la técnica de Cartan [8], en términos de generadores del espacio canónico
del álgebra, formado por un conjunto maximal de los elementos del álgebra que conmutan
entre sí (subespacio de Cartan).
Para estudiar las representaciones irreducibles del grupo SL(2,), necesitamos introducir
la extensión compleja de este grupo, o sea, SL(4,). El espacio de Cartan del álgebra compleja
sl(4,), también conocido como el espacio de raíces A 3, describe las relaciones de
conmutación de los generadores canónicos de Cartan de este álgebra compleja y sus formas
reales sl(4,), su(4), su(3,1), su(2,2) y su*(4) [9]. En particular, la forma real sl(4,) es la
forma real menos compacta de sl(4,).
En la representación definitoria, los elementos de sl(4,) son matrices complejas sin
traza. En la restricción a variables reales, la forma real normal tiene la estructura de una
matriz real sin traza.
GEOMETRÍA FÍSICA
82
Capítulo 7
La subálgebra compacta maximal de sl(4,) consiste de las matrices reales que sean
antisimétricas, lo que nos lleva a la descomposición de Cartan,
sl (4,R) = t Å ip ,
(7.3.1)
donde t es compacta, real antisimétrica, y ip es incompacta, real simétrica.
Bajo el truco unitario de Weyl [4], construimos el álgebra de su(4), con todas las
matrices compactas,
su (4) = t Å p ,
(7.3.2)
que corresponde a las matrices antihermíticas sin traza. Bajo automorfismos involutivos
similares, se pueden obtener las otras tres formas reales.
Esta relación de las álgebras sl(4,) y su(4), implica que sus representaciones
irreducibles se describen por conjuntos equivalentes de números cuánticos. La razón
para esto se puede ver estudiando las representaciones irreducibles de la extensión
compleja común. Este hecho, junto con aquellos indicados en la sección anterior, nos
da esperanzas de que estas representaciones puedan ser usadas para describir partículas
físicas. Los generadores canónicos de Cartan son
é1 0
ê
1 êê0 -1
H 1¢ =
4 êê0 0
ê0 0
ë
0
0
0
0
0ù
ú
0ú
ú ,
0úú
0úû
é1
ê
1 êê0
H 2¢ =
4 3 êê0
ê0
ë
0 0
1 0
0 -2
0 0
é1
ê
1 êê0
H 3¢ =
4 6 êê0
ê0
ë
0
1
0
0
(7.3.3)
0ù
ú
0ú
ú ,
0 úú
0 úû
(7.3.4)
0 0 ù
ú
0 0 ú
ú ,
1 0 úú
0 -3 úû
(7.3.5)
Carga y Flujo Cuantizados
é0
ê
1 êê0
Ea b =
2 2 êê0
ê0
ë
0
0
0
0
0ù
ú
0ú
ú .
0 úú
0 úû
0
1
0
0
83
(7.3.6)
Las raíces son las siguientes:
r1¢¢ = 1 [1 0 0 ] ,
2
é
r2¢¢ = 1 ê 1
2 êë 2
3
é
r3¢¢ = 1 ê 1
2 ëê 2
(7.3.7)
ù
0ú ,
úû
2
2 ùú ,
3 ûú
1
2 3
(7.3.8)
(7.3.9)
é
ù
r4¢¢ = 1 ê 1 - 1
- 2 ú ,
2 ëê 2
3
2 3
úû
(7.3.10)
é
r5¢¢ = 1 ê0 - 1
2 ëê
3
2 ùú ,
3 ûú
(7.3.11)
ù
0ú ,
úû
(7.3.12)
é
r6¢¢ = 1 ê- 1
2 êë 2
3
2
y los vectores pesos los siguientes:
é
w1¢¢ = 1 ê1
4 êë
é
w 2¢¢ = 1 ê-1
4 ëê
1
1
3
1
ù
ú ,
6 úû
1
ù
ú ,
6 ûú
(7.3.14)
1
ù
ú ,
6 ûú
(7.3.15)
3
é
w 3¢¢ = 1 ê0 - 2
4 ëê
3
(7.3.13)
GEOMETRÍA FÍSICA
84
é
ù
w 4¢¢ = 1 ê0 0 - 3 ú .
4ë
2û
Capítulo 7
(7.3.16)
Se puede introducir otra base en el álgebra de Lie tomando como generadores las
matrices generadas por un subconjunto ortonormal del álgebra de Clifford A que
envuelve a sl(4,). Usando la notación previa estos generadores están dados
explícitamente en el apéndice A. El uso de estos generadores implica un cambio de base
en el subespacio de Cartan expresado por las siguientes relaciones:
G1 =
1
1
1
1
H 1¢ H 2¢ +
H 3¢ =
k2 ,
2
6
3
4 2
G2 =
G3 = -
2
1
1
H 2¢ +
H 3¢ =
k0k3 ,
3
6
4 2
1
1
1
1
H 1¢ H 2¢ +
H 3¢ =
k2k3k0 .
2
6
3
4 2
(7.3.17)
(7.3.18)
(7.3.19)
La base introducida en las ecs. (7.3.17)-(7.3.19) tiene el mérito que hay un
subconjunto que genera la subálgebra par de Clifford. Esta última está relacionada con
SL(2,) y correspondientemente con las transformaciones de Lorentz, usualmente
asociadas a simetrías externas. Los restantes generadores forman un subespacio que
genera el cociente
K=
SL (4,R )
SL1 (2,C )
.
(7.3.20)
Este cociente representa las transformaciones internas de simetría. Está claro que
hemos reemplazado el grupo de transformaciones internas, que es un factor en el grupo
de simetrías de una teoría, por un espacio cociente.
7.4. Relación Entre Números Cuánticos.
La relación de los números cuánticos asociados a estos generadores con los números
cuánticos de la las representaciones inducidas del subgrupo compacto maximal, se
puede ver considerando las correspondientes subálgebras de Cartan. Claro está que
los generadores G i subtienden la misma subálgebra de Cartan que la de los H’ i . Hay
otras subálgebras de Cartan en sl(4,). Se conoce que una subálgebra de Cartan no se
determina unívocamente sino que depende de la escogencia de un elemento regular del
álgebra completa. Sin embargo, también se conoce que existe un automorfismo del
Carga y Flujo Cuantizados
85
álgebra compleja que vincula cualquier par de subálgebras de Cartan [8]. Esto implica
que existe una relación entre los conjuntos de números cuánticos correspondientes a
dos subálgebras diferentes de Cartan dentro de sl(4,). Podemos tomar los números
cuánticos vinculados al espín y la carga como los números físicos fundamentales y
considerar a los otros que surgen de diferentes subálgebras de Cartan como números
que son funciones de los fundamentales.
Por razones físicas, como el electromagnetismo y la carga eléctrica están asociados
al subgrupo SU(2) generado por k 0, k 1k 2k 3, k 0k 1k 2k 3 dentro de la teoría geométrica, nos
interesa considerar una descomposición algebraica con respecto a uno de estos
generadores Como los tres conmutan con todos los generadores del SU(2) de espín,
k 1k 2, k 2 k 3 , y k 3k 1, tenemos diferentes posibilidades a nuestra disposición. Para mayor
facilidad de interpretación escogemos k 1k 2 , y k 0k 1k 2k 3 como nuestro punto de partida.
El único otro generador del álgebra que conmuta con estos dos es k 0 k 3 . Se muestra
ahora que ni k 0k 1k 2k 3 ni k 1k 2 son elementos regulares del álgebra total sl(4,) a pesar de
ser elementos regulares de las dos subálgebras su(2). La expresión para estos
generadores en la representación adjunta (regular) es, módulo una constante de
normalización,
éS3
ê
ê0
ê
ad (k1k2 ) = êê 0
ê
ê0
ê0
êë
0
0
0
0
0
0
0
0
I3
0 -I 3
0
0
0
0
0ù
ú
0ú
ú
0 úú ,
0 úú
0 úúû
é0 0
0
0
0ù
ê
ú
ê0 S 3 0
0
0ú
ê
ú
ad (k0k1k2k3 ) = êê0 0 S3 0
0 úú ,
ê0 0
0 S3 0 úú
ê
ê0 0
0
0 S3 úúû
êë
(7.4.1 )
(7.4.2)
donde cada entrada en las matrices es una matriz tridimensional, dando el total de 15
dimensiones de la representación adjunta. El orden de las columnas y filas se escoge
como sigue:
1. Los tres índices i de rotación,
2. Los tres índices a del electromagnetismo y
3. Los nueve productos ia (11,12, etc.).
GEOMETRÍA FÍSICA
86
Capítulo 7
La matriz I 3 es la matriz unidad tridimensional y S 3 es
é0
ê
ê 1
S3 = ê
ê0
ë
1 0ù
ú
0 0ú .
ú
0 0 úû
(7.4.3)
Es claro que cada una de las dos matrices, k 1 k 2 y k 0k 1k 2 k 3, genera un subespacio V o,
correspondiente a valores propios l=0,
k
ad (H ) X = 0 ,
(7.4.4)
que es de dimensión siete. Como la subálgebra de Cartan de sl(4,) es tridimensional,
se comprueba que ninguno de los dos generadores es un elemento regular. Sin embargo,
éS3 0
0
0
0ù
ê
ú
ê 0 S3
0
0
0ú
ê
ú
0 S3 I 3 0 úú
ad (k1k2 + k0k1k2k3 ) = êê 0
ê0
0 -I 3 S3 0 úú
ê
ê0
0
0
0 S3 úúû
êë
(7.4.5)
tiene un subespacio V O , para l=0, que es tridimensional. En consecuencia, este
generador suma si es un elemento regular del álgebra de Lie.
El espacio V O generado por este elemento regular es una subalgebra de Cartan
subtendida por los generadores
X 1 = k1k2 ,
(7.4.6)
X 2 = k0k1k2k3 ,
(7.4.7)
X 3 = k0k3 ,
(7.4.8)
donde el producto se entiende en el álgebra envolvente de Clifford.
Es claro que tanto X 1 , como X 2 son generadores compactos y por lo tanto tienen
valores propios imaginarios. Debido a la forma en que fueron construidos deben
asociarse, respectivamente, a la componente z de impulso angular y a la carga eléctrica.
Ambos pueden ser diagonalizados simultáneamente en términos de sus valores propios
imaginarios dejando invariante a X 3 . Es usual cuando se trata de elementos compactos
de una forma real, como el espín, introducir la notación estándar en términos de las
matrices reales, incompactas, correspondientes en la base real del álgebra compleja.
Carga y Flujo Cuantizados
87
Tenemos entonces,
é i 0 0 0ù
é1 0
0
ê
ú
ê
ê0 -i 0 0 ú
ê0 -1 0
ú =i ê
X1 = ê
ê0 0 -i 0 ú
ê0 0 -1
ê
ú
ê
ê0 0 0 i ú
ê0 0
0
ë
û
ë
éi 0
ê
ê0 -i
X2 = ê
ê0 0
ê
ê0 0
ë
é1 0
0 0ù
ú
ê
ê0 -1
0 0ú
ú =i ê
ê0 0
i 0 úú
ê
ê0 0
0 -i úû
ë
é1
ê
ê0
X 30 = ê
ê0
ê
ê0
ë
0
0ù
ú
1 0
0ú
ú º H3 .
0 -1 0 úú
0 0 -1úû
0
0ù
ú
0ú
ú º iH 1 ,
0 úú
1úû
(7.4.9)
0 0ù
ú
0 0ú
ú º iH 2 ,
1 0 úú
0 -1 úû
(7.4.10)
(7.4.11)
Las matrices del álgebra de Clifford suministran una normalización geométrica de
las raíces y pesos en el subespacio de Cartan. Los vectores pesos, en las base X i y G i ,
-1/2
tienen la misma estructura, excepto por el factor de normalización estándar de (32) ,
w0 = [+1 +1 +1] ,
(7.4.12)
w1 = [+1 -1 -1] ,
(7.4.13)
w 2 = [-1 +1 -1] ,
(7.4.14)
w 3 = [-1 -1 +1] .
(7.4.15)
Similarmente, las raíces también tienen la misma estructura, difiriendo por el mismo
factor de normalización estándar,
r01 = [ 0 -2 -2 ] ,
(7.4.16)
GEOMETRÍA FÍSICA
88
r02 = [-2
0 -2 ] ,
Capítulo 7
(7.4.17)
r03 = [-2 -2
0] ,
(7.4.18)
r12 = [ 2 -2
0] ,
(7.4.19)
r23 = [ 0
2 -2 ] ,
(7.4.20)
r31 = [-2
0
2] .
(7.4.21)
7.5. Interpretación Física.
Puede verse que, en la representación fundamental, uno de los generadores en la
subálgebra de Cartan se puede expresar como un producto de Clifford (no un producto
de Lie) de los otros generadores de la subálgebra. Esto es cierto para los generadores
G i y los X i.
X1 = X 2X 3 .
(7.5.1)
Esto implica que, dentro del álgebra de Clifford, hay una relación multiplicativa
entre los números cuánticos de la teoría. En particular, la componente z del generador
de impulso angular o espín es el producto de Clifford del generador de carga eléctrica y
del generador X 3. El número cuántico asociado a X 3 debe tener el significado físico de
impulso angular dividido por carga eléctrica o equivalentemente, de flujo magnético. O
sea, que el cuanto fundamental de acción debe ser el producto del cuanto fundamental
de carga por el cuanto fundamental de flujo,
( )
h =e h
.
2
2e
(7.5.2)
Podemos interpretar intuitivamente la última ecuación como un efecto cuántico de
betatrón, donde un cambio en el campo magnético está relacionado con un cambio de
impulso angular.
Hemos tomado el cuanto de acción como h en vez de  porque la unidad natural de
frecuencia es ciclos por segundo en vez de radianes por segundo. Entonces el cuanto
de flujo f 0 es
f0 = h
2e
= p
e .
(7.5.3)
Los cuatro miembros de la representación irreducible fundamental forman un tetraedro
Carga y Flujo Cuantizados
89
k0k3 flujo
-1, -1, +1
k1k2 espín
+1, +1, +1
-1, +1, -1
+1, -1, -1
Representación irreducible
de SL(4,R)
k0k1k2k3 carga
Figura 1
en el espacio tridimensional A3 de Cartan como se indica en la figura 1. Ellos representan
la combinación de los dos estados de espín y los dos estados de carga de una partícula
asociada que llamaremos G-partícula. Un estado de carga representa un estado de partícula
física y el otro representa un estado conjugado de carga. La dual de la representación
fundamental, definida por productos tensoriales antisimétricos de 3 estados de la representación
fundamental o triadas, corresponde al tetraedro invertido. Un estado conjugado o un estado
dual pueden ser relacionados con una antipartícula. Esto puede ser útil pero no es una
interpretación necesaria. Es mejor mantener físicamente separados estos conceptos matemáticos.
Consideramos, por un lado, excitaciones fundamentales y excitaciones duales y, por otro lado,
excitaciones con estados de partícula y conjugados. La G-partícula lleva un cuanto de carga
eléctrica, uno de flujo magnético y otro de espín, pudiendo hallarse en uno de cuatro
estados cuyos números cuánticos son:
Capítulo 7
GEOMETRÍA FÍSICA
90
espín carga flujo
-1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
carga negativa con espín arriba
carga negativa con espín abajo
carga positiva con espín arriba
carga positiva con espín abajo
f-
f-
f+
f+
Los estados de una representación irreducible de mayor dimensión, construida
partiendo de la fundamental, están caracterizados también por tres enteros: impulso
angular m, carga eléctrica q y flujo magnético f. Podemos hacer la conjetura que el
momento magnético no es tan fundamental como el flujo magnético cuando se describe
una partícula.
7.6. Representaciones del Subgrupo P.
Se conoce que el subgrupo SL(2,) tiene un subespacio de Cartan unidimensional
tipo A 1 asociado a los valores cuantizados del impulso angular. El subgrupo Sp(4,)
tiene un subespacio de Cartan bidimensional tipo C2. En la misma manera que se procedió
con SL(4,), se puede escoger un elemento regular asociado al generador de espín
k 1k2, en particular,
é0
ê
ê-1
ê
ê0
ê
ê0
ê
ê0
ad (k1k2 + k0k3 ) = êê
ê0
ê
ê0
ê
ê-1
ê
ê0
ê
êë 0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1 0
0 -1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
úû
(7.6.1)
Carga y Flujo Cuantizados
91
que aniquila el subespacio bidimesional, con autovalores cero, subtendido por los
generadores k 1k 2 y k 0k 3. Los correspondientes vectores pesos son los siguientes, con
la misma normalización anterior,
w 3¢ = [-1 -1] ,
(7.6.2)
w 2¢ = [-1 +1] ,
(7.6.3)
w1¢ = [+1 -1] ,
(7.6.4)
w0¢ = [+1 +1]
(7.6.5)
y las raíces son las siguientes
¢ = [-2
r02
0] ,
(7.6.6)
¢ = [ 0 -2 ] ,
r01
(7.6.7)
¢ = [-2 -2 ] ,
r03
(7.6.8)
¢ = [-2
r12
(7.6.9)
2] .
Sin embargo, también podríamos tomar como elemento regular uno relacionado con
la carga,
é0
ê
ê-1
ê
ê0
ê
ê0
ê
ê0
ad (k0 + k1k2 ) = êê
ê0
ê
ê0
ê
ê0
ê
ê0
ê
êë 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
-1 0
0
-1 0
0
0 -1 -1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú , (7.6.10)
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
úû
92
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 7
que aniquila el subespacio bidimesional, con autovalores cero, subtendido por los
generadores k 1k 2 y k 0.
En ambos casos los cuatro miembros de la representación fundamental forman un
cuadrado en un espacio C 2 bidimensional de Cartan, pero en distintos subespacios de
Cartan del espacio de raíces A 3. Podemos visualizar la relación de estos vectores con
aquellos del grupo completo SL(4,) reconociendo que el espacio tridimensional de
Cartan A 3 colapsa a un subespacio bidimensional C 2 como se indica en la figura 1. El
tetraedro que representa los estados de la representación fundamental colapsa a un
cuadrado. Los 4 vértices del tetraedro se proyectan a los 4 vértices del cuadrado. El
conjunto de los 4 vectores pesos de C 2 se puede obtener proyectando los 4 vectores
pesos de A 3, que corresponden a los vértices del tetraedro, sobre el plano subtendido
por los vectores k 1k 2 y k 0k 3 o k 1 k 2 y k 0 , formando cuadrados en estos subespacios de
Cartan. Las 6 aristas del tetraedro se proyectan a los 4 lados y 2 diagonales de cada
cuadrado. Los lados opuestos de un cuadrado son equivalentes por tener la misma
dirección. El conjunto de las 8 raíces de C 2 también se puede obtener proyectando el
conjunto de las 12 raíces de A 3, que corresponden a las aristas del tetraedro. En este
caso, 8 de las raíces se proyectan en 4 pares de raíces degeneradas (equivalentes)
correspondientes a los lados del cuadrado. Las otras 4 raíces se proyectan a las cuatro
raíces correspondientes a las diagonales del cuadrado. Un colapso de los espacios
bidimensionales C 2 al espacio unidimensional A1 de Cartan de SL(2,C) produce una
proyección de los cuadrados sobre el segmento que representa los 2 estados estándares
de espín y las dos raíces de este último espacio de artan, asociado a una L-partícula.
El hecho que el espacio bidimensional de artan no esté determinado unívocamente
tiene consecuencias físicas, de acuerdo a la interpretación suministrada. Los cuatro
estados de la representación irreducible se pueden etiquetar con el espín y el flujo o
carga según el elemento regular escogido, la ec. (7.6.1) o la ec. (7.6.10). Pero, como se
indicó anteriormente, ambos espacios de artan están relacionados por un automorfismo
del álgebra compleja, lo que implica que un conjunto de números cuánticos se puede
expresar como funciones del otro conjunto o sea que el cuanto de flujo es una función
de los cuantos de espín y carga. En este caso, esta relación se interpreta como el
remanente de la relación multiplicativa entre el espín, la carga y el flujo en la
representación fundamental del grupo padre SL(4,). Esto indica que una partícula
física asociada a esta representación, que llamaremos una P-partícula, tiene los tres
números cuánticos. No hay variables continuas que representen los valores mensurables
de espín, carga y flujo de la P-partícula. La diferencia entre la G-partícula y la P-partícula
no se muestra a través de estos números cuánticos.
Tres espacios sp(4,) pueden ser inyectados como subálgebras en los tres sectores geométrica y algebraicamente independientes del álgebra completa sl(4,) del grupo G. De esta manera
podemos construir una sección p valuada en sl(4,) inyectando tres secciones independientes
(e1, e2, e3) valuadas en la subálgebra sp(4,). oncluimos que para cualquier estado e de la
representación fundamental de P, su dual e formado por la tríada (e1, e2, e3) de estados de la
representación fundamental de P determina un estado de partícula p de la representación
Carga y Flujo Cuantizados
93
fundamental de G. Los estados correspondientes, de igual carga, definen una relación de
equivalencia de carga entre estos estados,
e @ (e1 ,e2 ,e3 ) @ p .
(7.6.11)
Podemos escoger cualquier estado en la representación fundamental de G para representar
físicamente la partícula fundamental p asociada a esta representación. Los estados
fundamentales (1, 1, 1) de SL(2,) definen un signo de carga para el protón. Sin
embargo, como las cargas de los estados correspondientesy e y p son iguales, estamos en
libertad de definir la carga solamente para un estado en las representaciones de G y P en
conjunto. La carga correspondiente a esta partícula escogida p (el protón) se puede definir
como positiva. Esto determina una carga inequivalente negativa para el estado correspondiente
que represente a la otra partícula fundamental e (el electrón) en la representación fundamental
de P,
+1 ºQ (p) =Q (e) =-Q (e ) .
(7.6.12)
7.7. Aplicaciones.
De acuerdo a la discusión anterior toda partícula que fuese una representación
fundamental de SL(4,) o Sp(4,) tiene que ser una partícula cargada con un cuanto de
flujo. Este cuanto de flujo es exactamente el valor determinado experimentalmente por
Deaver y Fairbank [10] y Doll y Nebauer [11], predicho teóricamente con anterioridad
por London [12 p.152] con un factor extra de dos. El experimento consistió en hacer un
pequeño cilindro superconductor depositando una delgada capa electroplateada de
estaño sobre un alambre de cobre. El alambre se colocó en un campo magnético y se
redujo la temperatura hasta que el estaño se convirtiera en un anillo superconductor.
Después el campo externo se eliminó, dejando atrapado un mínimo de flujo atravesando
el anillo.
Nuestro resultado es consistente con el resultado experimental si consideramos que
el flujo atrapado, atravesando la capa cilíndrica anular de estaño superconductor, está
asociado al flujo discreto mínimo intrínseco de un solo electrón dentro del alambre de
cobre normal (no superconductor) que sirve de núcleo para el estaño superconductor.
Se cree generalmente, que la cuantización del flujo se debe a la topología del material
superconductor en el experimento y relacionada a la carga de un par de electrones
dentro del superconductor. La idea expresada aquí es que el cuanto de flujo es una
propiedad intrínseca de las partículas materiales cargadas (electrones, protones etc.) y
que solamente la posibilidad de atrapar el flujo depende de la topología del
superconductor.
Si una partícula cruza una línea en un plano normal a su flujo, hay una relación entre
la carga y el flujo que cruzan la línea,
GEOMETRÍA FÍSICA
94
( )
h
DF f 2e .
=
DQ
qe
Capítulo 7
(7.7.1)
Si no hay pérdidas resistivas a lo largo de la línea, la fuerza electromotriz inducida
determina una resistencia transversal que esta fraccionalmente cuantizada,
( q )(h 2e ) .
Rt = f
(7.7.2)
2
Esta expresión nos lleva a la conjetura que el efecto Hall cuantizado fraccionalmente
(EHF o FQHE) [13, 14] nos da evidencia acerca de la existencia de esos cuantos de
flujo en vez de evidencia acerca de la existencia de cargas fraccionales. El experimento
EHCF consiste esencialmente en la medición de la conductividad transversal que ocurre
a bajas temperatura en un gas de electrones en interfaces cristalinas en semiconductores.
Si consideramos que las funciones de onda correspondientes a los portadores de
cuantos deben ser representaciones de SL(2, ) o de Sp(2, ), ellas estarán
caracterizadas por los enteros cuánticos m, q, f. Si imaginamos la formación del campo,
los detalles serían complicados por la reacción de corrientes inducidas sobre el campo
original. Independientemente de estos detalles, después de llegar a un estado
estacionario el flujo total debe tener f cuantos, incluyendo todos los efectos. Se tiene,
entonces,
( 2e)
F = Nf h
.
(7.7.3)
La conductividad bidimensional en términos del campo eléctrico E, la velocidad de
Hall V y el área A de la superficie es
s=
( )(e h ) .
qeNv
= 2q
f
AE
2
(7.7.4)
Esta expresión es compatible con la estructura general de los datos experimentales
del EHCF. Para f, q enteros aleatorios, las fracciones de e 2 /h con denominador impar
son 11 veces más probables que las pares.
Adicionalmente la ec. (7.7.3) suministra una interpretación simple del efecto Meissner
[15]. Esta expresión debe ser válida también cuando los electrones están apareados. Si
el par es tal que los cuantos de flujo se cancelan entre sí, el valor de f debe ser cero para
cada par y en consecuencia, el flujo magnético total dentro del superconductor debe
ser cero también.
Es de interés apuntar que las motivaciones clásicas de esta investigación nos llevan
a una relación sencilla que implica un resultado cuántico profundo. La existencia de
este cuanto de flujo parece ser realizada en la naturaleza y no esta asociada a un cuanto
de carga magnética. El carácter fundamental de este flujo ayuda a explicar la exactitud
Carga y Flujo Cuantizados
95
extraordinaria del cuanto de resistencia en el EHCF.
7.8. Resumen.
Las representaciones irreducibles fundamentales de SL(2,) inducidas del SU(2) de
rotaciones y del SU(2) electromagnético están caracterizadas por números cuánticos
cuya interpretación se asocia al impulso angular y la carga total, dentro de la teoría
propuesta.
Se demostró que una subálgebra de Cartan se puede generar por el elemento regular
(k 1k 2 + k 0k 1k 2k 3) y tiene como base los generadores compactos k 1 k 2 del SU(2) de
rotaciones y k 0k 1k 2k 3 del SU(2) electromagnético y el generador incompacto obtenido
por el producto de Clifford de los otros dos en la representación definitoria.
En esta subálgebra, los estados de una representación irreducible se pueden etiquetar
con los enteros m, q, f. Los dos primeros determinan los valores posibles de la
componente z del impulso angular m/2 y de la carga eléctrica qe. Además, la relación
multiplicativa entre los generadores implica que el tercer número cuántico está
relacionado con los otros dos y asociado a un cuanto de flujo magnético.
Si exigimos que una partícula cargada sea una representación de sl(4,) o sp(4,),
debe llevar cuantos de impulso angular, carga eléctrica y flujo magnético. Otros números
cuánticos físicos, relacionados con otras subálgebras de Cartan, se pueden expresar
en términos de estos números cuánticos fundamentales.
La teoría suministra un mecanismo de cuantización de la carga que requiere, en vez
de los monopolos de Dirac, el cuanto de flujo magnético.Adicionalmente la teoría implica
que el signo de la carga de la partícula (dual) electrón debe ser opuesto al signo de la carga de
la partícula (dual) protón.
Referencias
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991).
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Vea el apéndice B.
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R. Doll, M. Nabauer, Phys. Rev. Lett. 7, 51 (1961).
96
12
13
14
15
GEOMETRÍA FÍSICA
F. London, Superfluids (John Wiley & Sons, New York), Vol. 1 p. 152 (1950).
D. Tsui, H. Stormer, A. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).
K. V. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).
W. Meissner, R. Ochsenfeld, Naturwiss. 21 787 (1933).
Capítulo 7
8. MEDICIÓN DE OBSERVABLES
GEOMÉTRICOS.
8.1. Introducción.
Hemos visto en los capítulos 3, 6 y 7 que la geometría física muestra algunas
características cuánticas cuyo desarrollo continuamos aquí. Es posible dar una
representación geométrica a los postulados de la mecánica cuántica. En la mayoría de los
casos esto es solamente una superestructura que puede estar vacía de nuevas ideas físicas.
Al contrario, es posible empezar por una teoría física geométrica y obtener sus implicaciones
cuánticas. De esta manera pueden surgir nuevos fenómenos físicos. Propósitos similares
guiaron a Dreschler a discutir objetos extendidos como funciones en fibrados homogéneos
de De Sitter dentro de una teoría geométrica de hadrones [1, 2].
Drechsler incorporó el electromagnetismo en su teoría usando una geometría modificada
de Weyl en la construcción de los fibrados homogéneos de De Sitter y relacionando la
curvatura completa a corrientes de materia cuantizada [3, 4]. Nuestro enfoque ha sido
distinto. Originalmente nuestro propósito fue unificar la gravitación con el
electromagnetismo por medio de una conexión. Para evitar contradicciones tuvimos que
introducir grupos que actuaban sobre el álgebra de Clifford del espacio tiempo, forzando
una estructura geométrica que implica aspectos cuánticos.
Nuestra teoría considera a las excitaciones de la materia física como representaciones
del grupo de estructura de la teoría geométrica. De esta idea se deduce que hay ciertos
números discretos asociados a los estados de la materia microscópica. Se demostró que
esos números podían ser interpretados como cuantos de espín, carga eléctrica y flujo
magnético, suministrando una explicación plausible del efecto Hall cuántico fraccional
(FQHE) [5]. En adición, la teoría nos llevó a un modelo geométrico de cuantización de
campos [6], implicando la existencia de operadores bosónicos y fermiónicos y sus reglas
de cuantización. Debe estar claro que un proceso de mediciones físicas debe exhibir estos
números geométricos discretos como cuantos experimentales, suministrando una descripción
atomista (partículas) de la materia. Por lo tanto, es necesario discutir el proceso de medición
dentro de la geometría física [7].
Podemos especular que estos resultados sean accidentales o la consecuencia de una
profunda relación fundamental de la estructura geométrica de la teoría unificada con la
estructura cuántica estándar. Aquí perseguimos la segunda alternativa. Se puede argumentar
que, si el principio de incertidumbre se toma como fundamental, la geometría a distancias
muy pequeñas se convierte en una geometría “difusa” y las aplicaciones de geometría
diferencial son cuestionables. Sin embargo, nada nos impide dentro de la teoría, seguir
tomando la geometría diferencial como germen fundamental de los principios de la teoría
98
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 8
cuántica y representar las partículas por excitaciones o fluctuaciones de un substrato
ilineal.
En particular, consideramos las siguientes preguntas que pueden indicar el camino:
¿Se puede definir, dentro de nuestra teoría, una operación geométrica que represente el
proceso de medición en la física cuántica? ¿Son los resultados de este proceso compatibles
con los bien conocidos hechos de la física experimental? ¿Podemos definir un impulso
angular y una carga geométricamente? Primero repasaremos las ideas principales de la
teoría geométrica.
Exigimos el uso del grupo de automorfismos del álgebra universal de Clifford asociada
al espacio tiempo plano cuatridimensional o equivalentemente su subgrupo simple de mayor
dimensión, SL(2,). Esto implica una extensión de la relatividad. La conexión, que
representa la interacción, no sólo unifica la gravitación con el electromagnetismo,
incluyendo el movimiento correcto, sino que da una teoría gravitacional que difiere de la
teoría de Einstein y se asemeja a la teoría de Yang [8]. Esto se puede ver de las ecuaciones
de campo de la teoría que relacionan las derivadas de la curvatura de Ehresmann a una
fuente de corrientes J,
D *W = k *J .
(8.1.1)
Debido a la estructura geométrica de la teoría, la corriente de fuente J debe ser un
objeto geométrico compatible con las ecuaciones de campo de la teoría. La ecuación
de campo implica unas condiciones de integrabilidad en términos de J. Junto con la
estructura geométrica de J, estas condiciones implican una ecuación generalizada de
Dirac que, por lo tanto, no tiene que ser postulada adicionalmente como se hace
normalmente en las teorías no unificadas. En realidad las ecuaciones ilineales para la
conexión y la más simple estructura geométrica de la corriente son suficientes para
predecir la ecuación generalizada de Dirac. La estructura de J, claro está, se da en
términos de los objetos geométricos sobre los cuales actúa la conexión,
kJ m = ke (i aˆ u amˆ )e ,
(8.1.2)
en términos de la copoliada e, un subconjunto ortonormal i del álgebra, la correlación
en los espacios espinoriales ~, y una tétrada espacio temporal u.
Los tres generadores compactos k 0, k 5 , y k 1k 2k 3 son equivalentes como generadores
electromagnéticos, dentro de la teoría, porque existen automorfismos que transforman
a cualquiera de ellos en cualquier otro. Se deduce que el subconjunto i a que entra en
la corriente se define módulo un automorfismo del álgebra. Esto nos permite tomar al
elemento i 0 como cualquiera de estos tres generadores electromagnéticos o una
combinación lineal sin cambiar el contenido físico de la teoría.
8.2. Mediciones de Corrientes
Medición de Observables Geométricos
99
Geométricas.
Es posible estudiar las propiedades de fluctuaciones o excitaciones de los elementos
geométricos de la teoría unificada. Adicionalmente, si como se sugirió anteriormente
[5], se puede representar a una partícula como una excitación de la geometría, sus
propiedades físicas se pueden determinar por sus fluctuaciones asociadas. Estas
fluctuaciones se pueden caracterizar matemáticamente por un problema variacional.
De un principio variacional, si las ecuaciones de movimiento se cumplen, es posible
definir el generador de la variación. Hay una corriente geométrica canónica asociada
con este generador que representa geométricamente a la excitación y debe ser
considerada el sujeto de una medición física (observable).
La densidad lagrangiana, en general, tiene unidades de energía por volumen y la
acción tiene unidades de energía tiempo. En las unidades naturales definidas por la
conexión (c = 1,  = 1, e = 1), la acción es adimensional. En las unidades relativistas
estándares (c = 1), la constante  surge como un factor en la acción W.
Es bien conocido que la variación de una integral de acción a lo largo de una
transformación de la variable y con parámetro l es
dW = ò
R
dL
dyd 4x + ò dQ md sm ,
dy
¶R
(8.2.1)
donde la corriente canónica , y el impulso conjugado P son
æ
dy
dx m ö÷
÷ dl ,
dQ m =  mdl = ççP m
+L
çè dl
dl ÷÷ø
Pm =
¶L
¶y , m
.
(8.2.2)
(8.2.3)
La corriente  es un campo de objetos geométricos que representa una propiedad
observable p.e., densidad de impulso angular. En general una medida no es un proceso
puntual sino una excitación de interacción con un instrumento sobre una región espacio
temporal local. En la teoría geométrica, el resultado de una medición debe ser un número
que dependa de la corriente variacional  de una variación de una sección de substrato
e, sobre una región R(m’) alrededor de un punto característico m del espacio base M,
con algún procedimiento de promedio instrumental sobre la región. Por lo tanto, haremos
la hipótesis que una medición de una excitación geométrica se representa
matemáticamente por un funcional m de la corriente geométrica observable definida
por la variación asociada sobre una hipersuperficie complementaria s,
GEOMETRÍA FÍSICA
100
 m (  ) = ò  (m ¢, m )  m (m ¢)d s m
.
Capítulo 8
(8.2.4)
¶R
En algunos casos las excitaciones se pueden aproximar a excitaciones puntuales sin
una estructura extendida. Para mostrar la relación de nuestra teoría geométrica con
otras teorías, sin usar ningún conocimiento acerca de la estructura de las excitaciones,
definiremos la medición geométrica de una propiedad de una excitación puntual por
un proceso de contraer la región R(m’) de la corriente al punto m. Con este procedimiento,
la sección local que representa la excitación se convierte en una sección singular en m.
Podemos expresar esto matemáticamente por
lim  m (  ) = dm (  ) ,
(8.2.5)
R(m ¢)m
donde el funcional d m es el funcional de Dirac,
dm (  ) =  (m ) .
(8.2.6)
Este procedimiento contrae la corriente a una línea universal temporal. Podemos
visualizar el borde ¶R de una región R como una cajita cilíndrica infinitesimal cruzada
por la corriente en las superficies espaciales inferior y superior S. Mientras la cajita
se contrae al punto m, las funcionales de la corriente d m() en las superficies inferior y
superior son iguales, si la corriente es continua. El funcional d m() en cualquiera de las
superficies espaciales es la medición geométrica
dm (  ) = ò dm3  md sm = ò d 3 (x - m )  m (x )um d 3x ,
(8.2.7)
dm (  ) =  mum (m ) ,
(8.2.8)
S
donde u es la velocidad temporal, ortogonal a S, del observador espacio temporal.
Del lagrangiano de a la teoría, ec. (3.2.2), la corriente geométrica de una excitación
material arbitraria tiene la forma general
 m = ei m Xe ,
(8.2.9)
en términos de la copoliada e, un subconjunto ortonormal i del álgebra, la correlación
en los espacios espinoriales ~, y el generador X del grupo correspondiente a la variación.
Debe apuntarse que la copoliada e está asociada con el conjunto de estados que
forman una base de una representación del grupo de estructura. No representa un único
estado físico sino un conjunto de estados físicos. Para cada operador L del álgebra
podemos seleccionar, como vectores columnas de e, a los vectores propios f
correspondientes a L. Podemos escribir entonces,
Medición de Observables Geométricos
Le = L (f1 , f2 , fi ) = (l 1f1 , l 2f2 ,l i fi ) = el ,
101
(8.2.10)
donde l es la matriz diagonal formada por los valores propios l .
i
En concordancia, el resultado de la medición dado por la ec. (8.2.9) en coordenadas
adaptadas a la cuadrivelocidad u, es
dm (  ) =  0 = ei 0Xe = eLe ,
(8.2.11)
lo cual define el operador asociado L.
En esta expresión debemos apuntar que e es el inverso de grupo de e y que el
producto correlacionado en el espacio espinorial es un escalar. El producto e e nos da
una matriz unidad de escalares y los valores medidos de la corriente  coinciden con
la matriz diagonal formada por los valores propios,
él1
ù
ê
ú
ê
ú
l2
ú .
 l=ê
dm (  ) = ee
ê
ú

ê
ú
ê
ú
l
iû
ë
(8.2.12)
Este resultado está de acuerdo con uno de los postulados de la mecánica cuántica.
El contenido matemático de la última ecuación es verdaderamente independiente de la
interpretación física de e. En particular no requiere, pero permite, interpretar a e como
una amplitud de probabilidad.
El resultado de la medición esencialmente es igual al valor de la corriente en el
punto representativo m. Equivalentemente es el promedio sobre un trivolumen V
característico de S,
1
 =
V
ò
V
dQ m
1
d sm =
dl
V
ò
m
d sm
.
(8.2.13)
V
Este promedio, indicado por á ñ, es similar a la operación de tomar el valor de
expectación de un operador en la mecánica ondulatoria.
Los diferentes generadores del grupo producen excitaciones cuyas propiedades
pueden ser investigadas midiendo las corrientes geométricas asociadas. En particular
estamos interesados aquí en las corrientes asociadas con los generadores de los
subgrupos compactos, que fueron usados para caracterizar las representaciones
inducidas.
GEOMETRÍA FÍSICA
102
Capítulo 8
8.3. Espín Geométrico.
El concepto de espín se relaciona con las rotaciones. En la teoría geométrica los
generadores pares compactos forman una subálgebra su(2) que está relacionada con el
álgebra de rotaciones. El homomorfismo de grupos entre este subgrupo SU(2) y las
rotaciones es
Rba = 12 tr (sa g †sb g ) ,
(8.3.1)
donde gÎSU(2) y RÎSO(3). El isomorfismo entre este SU(2) y el subgrupo par
compacto de SL(2,) es el bien conocido isomorfismo entre los números complejos y
una subálgebra de las matrices reales 2 ´ 2,
é1 0ù
ú ,
1« ê
êë0 1úû
é0 -1ù
ú .
i«ê
êë 1 0 úû
(8.3.2)
El isomorfismo dado por estas expresiones no es accidental, sino parte de la
definición conceptual del álgebra geométrica de Clifford como una generalización de
los números complejos y los cuaterniones. Estas álgebras y los espacios espinoriales
donde actúan tienen estructuras complejas bien definidas.
Si consideramos que los generadores k ikj que pertenecen a su(2) son los generadores
de rotación, la corriente geométrica asociada es el impulso angular. Por ejemplo, los
resultados de la medición de esta corriente en una dirección preferida  3 , usando como
ilustración la ec. (8.2.13) para el valor de expectación, son
3 =
1
V
æ m de
dx m ö÷
ççP
d
L
s
+
ò m çè dl dl ÷÷÷ø ,
(8.3.3)
donde la variación de es generada por k 1k 2. Entonces, para una métrica plana,
3 =
1
V
ò ds
m
ei aˆ u amˆ
de
1
=
dl V
ò d xei
3
0
de
.
dl
(8.3.4)
Como i 0 conmuta con k 1k 2 y i 0i 0 es -1, podemos usar la ec. (8.3.2) para identificar
i 0  iI ,
k 1k 2  is 3
(8.3.5)
y expresar la variación generada por k 1k 2 como el diferencial de la ec. (8.3.1),
dRba =
il
tr (s a s 3sb - s a sb s 3 ) .
2
Los únicos elementos no nulos son
(8.3.6)
Medición de Observables Geométricos
-dR21 = dR12 = 2l = q ,
103
(8.3.7)
que representan una rotación por un ángulo q en el plano 1-2. Esta rotación induce un
cambio en las funciones en el espacio tridimensional, dando una variación total de e
igual a
æi
ö
de = çç s 3e + (x ¶y - y ¶x )e ÷÷÷ dl ,
çè 2
ø
(8.3.8)
que nos lleva a
3 =
1
V
ò d xe (
3
1
2
s 3 - i (x ¶y - y ¶x ))e .
(8.3.9)
El factor ½ indica, claro está, que el parámetro l de SU(2) es la mitad de la rotación
angular, debido al homomorfismo 2-1 entre estos dos grupos.
El cálculo fue hecho, por simplicidad, con una sola componente. Queda claro que
si usamos las tres componentes espaciales obtendremos
a =
1
V
ò d xe {
3
1
2
s a - i eabc (xb ¶c )}e ,
(8.3.10)
donde la expresión en paréntesis es el operador impulso angular L en la mecánica
cuántica. Si e es una poliada propia de este operador obtendremos los valores de las
componentes de impulso angular asociada con una fluctuación relacionada con la
representación de espín. El resultado es
L =
1
V
1
ò eLed x = V ò ee ld x
3
3
.
(8.3.11)
Como antes, el producto e e da una matriz diagonal de escalares, y podemos
construir la integral en el espacio base
 x =V I
ò eed
3
,
(8.3.12)
donde I es la identidad y V es el volumen característico. Está claro que podemos
introducir una e normalizada al volumen, dividiendo por V. Los valores medidos del
operador L coinciden con la matriz diagonal formada por sus valores propios como se
indicó anteriormente:
GEOMETRÍA FÍSICA
104
él1
ù
ê
ú
ê
ú
l2
ú .
L = êê
ú

ê
ú
ê
ú
l
iû
ë
Capítulo 8
(8.3.13)
En el caso descrito, los estados de e son puros (término cuántico) con respecto al
impulso angular. Ambos elementos, poliada y el operador se pueden diagonalizar
simultáneamente o, equivalentemente, conmutan entre sí.
En general la poliada no es pura con respecto al operador. Así los resultados de la
medición no son elementos diagonales de los operadores (valores propios). Si
designamos las columnas de e por F a, y las filas de ê por F b se tiene para las medidas
la matriz
rab =
1
V
òF
b
LFad 3x ,
(8.3.14)
que corresponde a la matriz densidad (para el operador observable L).
Las secciones poliádicas tienen el papel de funciones de onda y los generadores
del grupo tienen el papel de operadores cuánticos. Estas similitudes entre nuestra teoría
geométrica y la mecánica cuántica suministran resultados esencialmente equivalentes.
Hay diferencias, en particular las funciones de onda tienen una estructura compleja y
nuestras secciones poliádicas tienen una estructura de Clifford. En vez de una
contradicción esta diferencia es una generalización porque existen estructuras
complejas en varios subespacios del álgebra geométrica de Clifford. Es posible
introducir espacios de secciones pero ellos ciertamente pueden tener estructuras más
generales que los espacios de Hilbert. Los elementos geométricos y de grupo en la
teoría realmente determinan muchas de las características físicas.
8.4. Carga Geométrica.
La corriente geométrica fuente J es una generalización de la corriente eléctrica.
Los tres generadores compactos k 0, k 5, y k 1k 2 k 3 son equivalentes como generadores
electromagnéticos dentro de la teoría porque hay automorfismos que transforman a
cualquiera de ellos en otro cualquiera. Se deduce que el subconjunto i a, que entra en
la corriente esta definido módulo un automorfismo del álgebra. Esto nos permite escoger
cualquiera de los generadores electromagnéticos como el elemento i 0 sin cambiar el
contenido físico de la teoría.
La corriente fuente generalizada J es la corriente canónica  correspondiente a una
variación generada por un generador electromagnético. Para ver esto escogemos el
subconjunto k m para i m, y buscamos un generador de una variación que resulte en un
Medición de Observables Geométricos
105
automorfismo de la corriente. En otras palabras, buscamos un generador que nos dé un
subconjunto equivalente a k m por multiplicación derecha. Un generador que hace esto
es k 5 ,
æ p ö
æp ö
k mk 5 = exp çç- k 5 ÷÷÷ k m exp çç k 5 ÷÷÷ .
èç 4 ø
èç 4 ø
(8.4.1)
Es posible escoger otro que resulte en un automorfismo diferente pero siempre estará
en el sector electromagnético. Queda claro que la corriente J corresponde a variaciones
generadas por el sector electromagnético.
Cuando hacemos una medición de esta corriente canónica J, estamos midiendo la
carga asociada con la fluctuación de e relacionada con una representación irreducible
del grupo. Repetimos el mismo cálculo hecho en la sección anterior para la corriente
del impulso angular. Si despreciamos la parte gravitacional, la métrica es plana y la
expresión para la medida de la corriente de carga es
 =
1
V
ò
 =
1
V
ò ek k ed x
m
d sm =
0
5
3
1
V
 s
ò ek u ed
aˆ
m
aˆ
m
,
(8.4.2)
donde se entiende que estamos trabajando en el fibrado SM que es la suma de Whitney
de los fibrados espinoriales asociados VM y su conjugado. Explícitamente, en términos
de los elementos de VM la última ecuación se escribe
1
j =
V
ée -1 0 ù ék0
0 ùú éêk 5
0 ùú ée 0 ù
ê
ú
ê
d
x

ò ê 0 e ú ê 0 -k 0 ú ê 0 -k 5 ú êêë0 e -1 úúû .
ë
ûë
û ë
û
3
(8.4.3)
Debe enfatizarse que las matrices en la última ecuación son matrices reales 8´8, la
representación de doble dimensión usada en el fibrado SM como se indica en el apéndice
A. Los generadores pares se pueden escribir como matrices complejas 4´4 usando el
isomorfismo de la ec.(8.3.2). Podemos sustituir un generador equivalente por k 0 k 5 .
Es posible, escoger una sección poliádica e correspondiente a los vectores propios
de la representación fundamental de SU(2). De hecho, como k 5 conmuta con k 1k 2, es
también posible escoger una poliada correspondientes a los vectores propios de estos
dos generadores antihermíticos pertenecientes a las dos subálgebras su(2) en sl(4,).
Los valores propios corresponden a los cuantos de espín y carga, en la forma siguiente:
GEOMETRÍA FÍSICA
106
éi
ê
ê
k 1k 2 = ê
ê
ê
ê
ë
-i
é-i
ê
ê
-i
k5 = ê
ê
ê
ê
ë
i
i
Capítulo 8
ù
ú
ú
ú ,
ú
ú
-i úû
(8.4.4)
ù
ú
ú
ú ,
ú
ú
i úû
(8.4.5 )
que es precisamente la forma explícita de estas matrices cuando se trabaja en el fibrado
SM. Claro está que es usual trabajar con los operadores hermíticos asociados por una
multiplicación por i, con valores propios reales ±1. Sin embargo el uso de la expresión
antihermítica es natural porque ellos son los generadores de las dos subálgebras
compactas su(2).
Si e es una poliada propia de los generadores, tenemos
j = i .
(8.4.6)
En otras palabras, la medida resultante para la representación fundamental es un número
cuántico igual a ±1. Este número conservado se puede interpretar como el cuanto de
carga.
Se conoce que la carga electrónica tiene dos roles distintos, uno como el cuanto de
carga y otro como la raíz cuadrada de la constante de acoplamiento de estructura fina
a. Para reducir la teoría al electromagnetismo debemos justificar el uso de la constante
de acoplamiento de Coulomb k/4p y entender las relaciones entre estas constantes.
Esta k se puede absorber en la definición de corriente en la ec.(8.1.1), pero al final
debe ser identificada. Es mejor indicarla explícitamente y mantener la poliada e
separada, como una sección del fibrado principal de forma que su conjugada e sea el
inverso dual de e, y su producto e e sea la matriz unidad.
La constante adimensional de la estructura fina a está dada por ke 2 /4pc. Las
unidades de la constante arbitraria k, que sirve para definir las unidades
electromagnéticas de las mecánicas, son ml 3 t -2 q -2. Si ponemos k = 4p, las unidades
corresponden al sistema gaussiano, donde la constante de Coulomb es 1. Si ponemos
k = 1, obtenemos el sistema de Heaviside-Lorentz donde la constante de Coulomb es 1/
4p. Si ponemos k = 4pc 2 10 -7 , obtenemos el sistema de unidades racionalizadas MKSA
donde la constante de Coulomb es c 2 10 -7. En todas estas unidades, el acoplamiento
Medición de Observables Geométricos
107
minimal determina que la conexión G corresponde a eA, en términos del potencial A y la
carga eléctrica e. Por otro lado, en vez de fijar k, parece mejor considerar que la teoría
geométrica introduce una unidad natural de carga al definir el potencial
electromagnético igual a la conexión. De esta manera, la nueva unidad geométrica de
carga (el “electrón”) es igual a e Coulombs, k se determina igual a 4pa y la constante
de Coulomb se convierte en la constante de estructura fina a. Con nuestra definición
de corriente y constante de acoplamiento (4pa) la carga calculada del electrón es ±1
en estas unidades geométricas. En unidades arbitrarias el cuanto de carga calculado e
es ±(4pac/k) 1/2 .
En otras palabras este valor es el cuanto mínimo de cambios mensurables de carga.
Esta predicción geométrica explica los dos roles que tiene la carga del electrón, como
constante de acoplamiento y como cuanto. En la sección anterior, el cálculo nos dio
los valores bien conocidos del impulso angular. En esta sección obtuvimos un nuevo
resultado teórico.
Cuando hay un solo campo electromagnético U(1) en el espacio plano, nuestras
ecuaciones se reducen a [9]
d *d G = 4pa *j
.
(8.4.7)
Una solución particular para una conexión G, estática con simetría esférica, es
G0 =
aq
r
,
(8.4.8)
donde q es la carga en “electrones”. Si ahora cambiamos las unidades al sistema
gaussiano (1 electrón = e Coulombs), donde a = e 2 ,
G0
aq qe
=j =
=
e
er
r
a =e 2 (Gauss) ,
(8.4.9)
que es la ley de Coulomb en términos de la carga qe en Coulombs.
8.5. Resumen.
Hemos demostrado que es posible introducir, en la teoría geométrica unificada,
una hipótesis que concierne a la representación matemática de las propiedades medibles
de las excitaciones geométricas. En concordancia, se define el proceso de medición de
una propiedad de una excitación alrededor de una sección geométrica material como
un funcional de la corriente geométrica que genera la excitación. Para excitaciones
puntuales (partículas puntuales) el funcional se reduce al funcional de Dirac,
llevándonos a la expresión para valores de expectación. Debido a las propiedades de
las secciones e, los resultados de la medición son los valores propios de los generadores
(operadores) de la excitación.
108
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 8
El impulso angular es la corriente geométrica canónica asociada con variaciones de
las secciones generadas por rotaciones. Esto lleva a la expresión del impulso angular
total como el operador diferencial y matricial de la mecánica cuántica. Similarmente,
la carga eléctrica se representa por la corriente geométrica canónica asociada con una
variación de secciones generada por el sector electromagnético.
La medida del impulso angular de una excitación fundamental de una sección (la
representación fundamental) resulta en el número cuántico ±½ [±(/2) en otras unidades]
correspondiente a los valores propios del generador de espín. Similarmente, como el
electromagnetismo está relacionado con el otro SU(2) contenido en SL(2,), usando
sus generadores la medición de carga resulta en el número cuántico ±1 [(4pac/k) 1/2 en
otras unidades] correspondiente a los valores propios del generador de carga. Debemos
enfatizar que la unidad natural de carga eléctrica es la que hace el potencial
electromagnético coincidir con la componente de la conexión geométrica (e desaparece
en el acoplamiento minimal).
Claro está que estas ideas se aplican a la representación fundamental del grupo que
corresponde a espín /2 y carga e. Esta representación es la base con la cual se
construyen representaciones irreducibles de mayor dimensión. Para estos campos las
matrices son de mayor dimensión y deben tener valores propios de n /2 y qe.
El cuadro que emerge de esta teoría es que la geometría es el germen de la física
cuántica. A través de ecuaciones ilineales la materia determina la geometría y debe
obedecer condiciones de integrabilidad. Las ecuaciones implican una ecuación
generalizada de Dirac para la sección material e que tiene el rol de la función de onda
que representa la materia. Una fluctuación irreducible (partícula) es una representación
irreducible del grupo que lleva ciertos números discretos. De esta manera, los números
discretos de la teoría cuántica surgen en compatibilidad con la continuidad de la
geometría diferencial. Los resultados numéricos de las medidas microscópicas sobre
una excitación geométrica necesariamente revelan estos autovalores geométricos discretos
de los generadores del grupo geométrico.
Referencias
1
2
3
4
5
6
7
8
9
W. Drechsler, Found. Phys. 7, 629 (1977).
W. Drechsler, J. Math. Phys. 26, 41 (1985).
W. Drechsler, Class. Quantum Grav. 6, 623 (1989).
W. Drechsler, Found. Phys. 22, 1041 (1992).
G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991). Vea el capítulo 7.
G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 24, 501 (1992). Vea el capítulo 6.
G. González-Martín,.Phys. Rev. A51, 944 (1995).
C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 33, 445 (1974).
Vea el capítulo 4.
9. DEFINICIÓN DE MASA.
9.1. Introducción.
Después de discutir los conceptos fundamentales de cuantos de espín y carga nos
enfrentamos nuevamente al concepto de masa. Este concepto tiene un papel fundamental
en la relatividad como se muestra por la relación de masa con energía y el principio de
equivalencia entre las masas inercial y gravitacional pasiva. Desde un punto de vista
relativista, la masa en reposo de un sistema debe ser un concepto único definido en términos
de la autoenergía del sistema.
En la teoría cuántica, un parámetro en la ecuación de Dirac se interpreta como la masa
relativista en reposo usando el principio de correspondencia. Este parámetro se considera
un parámetro inmensurable, la masa desnuda, y se requiere un proceso de renormalización
para incluir los efectos de la autointeracción en una masa física corregida. Aparte de los
infinitos que aparecen en esta renormalización, no hay una relación clara entre estas masas
que sea derivada enteramente de una definición relativista en términos de la energía.
Consideramos que esta relación es sólo posible en el marco de una teoría unificada.
Nuestra geometría física determina las ecuaciones de la mecánica cuántica relativista
y suministra un parámetro de masa para una ecuación generalizada de Dirac [1, 2]. Como
las ecuaciones ilineales de la teoría y sus condiciones de integrabilidad determinan
simultáneamente la evolución del campo y el movimiento de las fuentes, todos los efectos
de autointeracción quedan incluidos, en principio, en cualquier solución dada. En otras
palabras, conceptualmente, no es posible tener una solución para la ecuación de campo
que no satisfaga la ecuación de movimiento de las fuentes. No se necesitan fuerzas de
autorreacción adicionales para describir la evolución del campo y la fuente.
Como en relatividad general, [3] las dificultades de autointeracción surgen cuando se
separan las fuentes del campo al intentar una resolución aproximada. Una aproximación
(linealización) que divida estas ecuaciones en un sistema infinito de ecuaciones de distinto
orden, exige el cálculo de un número infinito de correcciones debidas a la autointeracción.
Esta renormalización es una consecuencia del método de aproximación y no debida a la
teoría ilineal. En particular, podría ser posible definir una masa que incluya la
autointeracción, sin necesidad de introducir masas desnudas inmensurables.
La ecuación de campo,
D *W = ke -1
*
(i  u -1 )e
,
(9.1.1)
implica condiciones de integrabilidad en términos de J. Junto con la estructura
geométrica de J, estas condiciones determinan una ecuación generalizada de Dirac
que, por lo tanto, no requiere ser postulada separadamente como se hace usualmente
GEOMETRÍA FÍSICA
110
Capítulo 9
en teorías no unificadas,
k m (¶me -eG m ) + 12 k aˆ n uanˆ e = 0 .
(9.1.2)
Como Dirac apunto una vez, en una nueva teoría debemos dejar que la misma
estructura geométrica sugiera su posible interpretación física. Para relacionar la
ecuación de densidad de movimiento con la ecuación estándar de Dirac, el término de
masa se interpretó como un parámetro asociado a la parte impar de la conexión. La
conexión define una unidad de masa de la misma manera que la métrica define unidades
de velocidad y de tiempo. En otras palabras, la conexión G m debe tener las mismas unidades
de ¶ m y por lo tanto, el término de masa se expresa naturalmente en unidades de inverso
-1
de distancia l . Esta unidad de masa, junto con la unidad natural de tiempo determina
una unidad de impulso angular que tiene el valor 1 en nuestras unidades naturales.
Claro está que esta unidad geométrica de impulso angular corresponde al valor de la
constante de Planck en cualquier sistema de unidades.
Es posible estudiar las propiedades de fluctuaciones o excitaciones de los objetos
geométricos de la teoría unificada. Adicionalmente, si como se sugirió anteriormente
una partícula puede representarse como una excitación de la geometría, sus propiedades
físicas se pueden determinar de la fluctuación asociada.
9.2. El Concepto de Masa.
En la relatividad, la masa inercial en reposo es la norma de su cuadriimpulso. En la
mecánica cuántica el impulso se relaciona con las derivadas en el espacio tiempo.
Para arribar a un concepto de masa dentro de nuestra teoría geométrica, debemos
considerar las variaciones generadas por una traslación en el espacio base a lo largo
de las curvas integrales de los vectores de una tétrada espacio temporal u a. Obtenemos,
de esta forma, cuatro corrientes geométricas canónicas, como se definieron en el
capítulo anterior, cuyos valores medios sobre el volumen V son
qaˆ =
1
V
òP
m
aˆed s m ,
(9.2.1)
donde  a indica las cuatro derivadas de Lie con respecto a los vectores u a y P es el
impulso canónico. En coordenadas adaptadas se tiene
qaˆ =
1
V
òe
-1
k m ¶aˆed sm =
1
V
òe
-1
k0 ¶aˆed 3x .
En particular, consideremos la traza de la corriente temporal,
(9.2.2)
Definición de Masa
q0ˆ =
1
V
òe
-1
k0 ¶0ed 3x .
111
(9.2.3)
Usando la ecuación de movimiento y suponiendo, por el momento,
¶âe = 0 ,
(9.2.4)
se expresa la integral en función de la conexión,
k mme = k0 ¶0e - k meG m = - 21 ka muame = 0 ,
tr q0ˆ =
1
V
ò tr e
k meG md 3x =
-1
m
1
V
ò tr J
m
G md 3x .
(9.2.5)
(9.2.6)
m
De la analogía con j A m es claro que J G m debe tener el significado de energía y que <q 0>
es el valor medido correspondiente. Mas tarde volveremos aquí para indicar el
significado de la condición supuesta, ec. (9.2.4).
Esta energía media nos lleva al concepto de parámetro de masa. Como se apuntó
antes, esta masa se puede definir como un parámetro relacionado con la conexión. Por
razones geométricas la unidad de conexión, el inverso de distancia, es la misma del
operador ¶ m. Esto suministra una unidad geométrica (natural) de masa en términos del
inverso de distancia. Previamente hemos definido la masa por
m = 41 tr (k m G m ) .
(9.2.7)
Debemos apuntar que como usamos el tiempo (distancia) como unidad de intervalo, la
métrica y sus matrices relacionadas k m son adimensionales. Entonces la masa m tiene
unidades de inverso de distancia.
Proponemos ahora una mejor definición del parámetro de masa, que se puede obtener
del integrando en la ec. (9.2.6),
m = 41 tr (e -1k meG m ) = 41 tr (J m G m ) .
(9.2.8)
Esta definición se reduce a la anterior, ec. (9.2.7) bajo las hipótesis simplificantes del
capítulo 3.
La masa se define como un parámetro asociado a la conexión y la corriente que
resuelven la ecuación ilineal para el sistema en autointeracción. Si el signo de la
corriente cambia se supone que el signo de la conexión también cambia y el signo de
la masa sigue positivo. Para una excitación alrededor de una solución geométrica, que
llamaremos substrato, la propia solución ilineal para el substrato suministra un
parámetro m 0 para la ecuación lineal de la excitación, que se puede considerar el
parámetro de masa desnuda de la partícula asociada a la excitación.
Como el único elemento del álgebra con traza no nula es la unidad, encontramos
112
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 9
que
e -1k meG m = mI + 
(9.2.9)
y podemos escribir las ecuaciones de movimiento,
k m m e = k m (¶m e -eG m ) = - 12 k a m u ame = 0 ,
(9.2.10)
como una ecuación de Dirac,
k m¶me = me +  .
(9.2.11)
Si usamos la unidad estándar de masa en vez de la unidad geométrica, aparece una
constante enfrente del operador diferencial que es la constante de Planck . La
naturaleza geométrica de la constante de Planck está determinada por la conexión de la
misma manera que la naturaleza geométrica de la velocidad de la luz c es determinada
por la métrica.
9.3. Masa Invariante.
Hay una dificultad con la definición dada. La conexión G no es un tensor y la masa
no es invariante bajo cambios arbitrarios de referenciales. Por ejemplo, supongamos
que hacemos una transformación por un elemento gÎSL(4,). El nuevo parámetro de
masa m’ es
m ¢ = 41 tr {( g -1J m g )( g -1G m g + g -1¶m g )} = m + 41 tr (J m ¶m gg -1 ) .
(9.3.1)
El cambio en la masa es
Dm = 41 tr (J m¶ m gg -1 ) .
(9.3.2)
Si ponemos
g = exp (ta E a ) ,
(9.3.3)
donde el índice a corre sobre todos los generadores E a, el cambio de masa se puede
expresar como
Dm = 41 tr (J m ¶ m ta E a ) = 41 tr (J am ¶m ta E b E a ) ,
(9.3.4)
Dm = 41 J am¶m t a .
(9.3.5)
En palabras, podemos decir que para tener una masa invariante debemos restringir el
cambio g del referencial de forma que el generador de la transformación sea ortogonal
Definición de Masa
113
a la corriente J. Por ejemplo, esto significaría para la electrostática estándar, que el
potencial escalar no cambie en la transformación. Si la corriente J es impar la masa
dada por la ec. (9.2.8) es invariante bajo SL 1(2,) y es por lo tanto un invariante de
Lorentz.
Sin embargo nos damos cuenta que la teoría se aplica a la materia en todo el universo.
Si una partícula se asocia a una excitación de una sección material local con una
solución de fondo cósmico geométrico, esperamos que la masa correspondiente esté
relacionada con la parte de la conexión responsable de la interacción ilineal local con
la corriente local de materia.
Es conveniente separar la corriente en una parte J s correspondiente a un sistema
local representativo de una partícula y otra parte J b correspondiente al fondo cósmico
que bordea el sistema. La ecuación de campo toma la forma,
D *Wt = 4 pa ( *J s + *J b ) ,
(9.3.6)
donde W t es la curvatura de la conexión total G t. Si no hay materia local, se tiene la
ecuación de fondo,
D *Wb = 4 pa J* b ,
(9.3.7)
donde W b es la curvatura de una conexión básica G b del fondo cósmico.
Muy lejos de la región del sistema local podemos considerar que su efecto es una
pequeña perturbación con respecto al fondo cósmico, pero este no es el caso muy
cerca de una poliada material local. De hecho, muy cerca de esta, el fondo cósmico
dinámico puede ser considerado una perturbación con respecto a la autointeracción
ilineal en el área de la sección poliádica.
Con esto en mente, podemos definir la forma tensorial potencial material L s, la
diferencia entre la conexión total y la conexión de fondo,
Ls = G t - Gb ,
(9.3.8)
como el elemento responsable de la autoenergía de la interacción de la poliada material
local.
Es claro que la diferencia de conexiones es un tensor y que la última ecuación es
válida aún en al caso que el efecto del fondo sea nulo. En este caso G b sería una conexión
plana inercial G I , que sería cero en algunos referenciales pero puede tener otros valores
en referenciales arbitrarios. En general este no es el caso debido a la presencia de
materia lejana. Sin embargo, podemos escribir
Gb = G I + L b ,
(9.3.9)
donde la forma tensorial potencial Lb representa el efecto de esta materia lejana. Definamos
la forma tensorial potencial dinámica total L como la suma de L s y L b.
Una expresión invariante para la masa se obtiene de este potencial total L definiendo
GEOMETRÍA FÍSICA
114
C
mº
C
g (J m Lm )
g (-k k0 )
0
=
tr (J m Lm )
tr (I )
= 41 tr (J m (Ls m + L bm)) .
Capítulo 9
(9.3.10)
El parámetro de masa está determinado por el producto escalar, usando la métrica de
Cartan-Killing, del potencial y la corriente que resuelven el sistema autointeractuante
ilineal. Como la métrica de Cartan-Killing depende de la representación [4] del álgebra A
usada en la ecuación de Dirac, el parámetro m depende de la representación escogida. En
algunas representaciones los productos involucrados son convoluciones en vez
multiplicación de matrices.
Si el fondo cósmico dinámico es despreciable, G b se puede tomar como una conexión
plana y esta ecuación se reduce a la original en aquellos referenciales donde G b sea
cero. Los términos extras que aparecen en la ecuación de Dirac cuando se usa un
referencial inapropiado son similares a los efectos inerciales que aparecen en sistemas
de referencia acelerados. Estos efectos aparecen en la ec. (9.2.11), aparte de la masa
real, como parte de una interacción inercial “ficticia”. De hecho, la G I plana relacionada
con la conexión de fondo se llama la conexión inercial porque es la parte responsable
por todos estos efectos inerciales.
Debe apuntarse que una partícula se asocia a una excitación de la poliada material
local en una región muy pequeña comparada con el universo. La poliada material local
es el término dominante y el fondo cósmico dinámico debe tratarse como una
perturbación que consideramos despreciable. Podemos decir que la poliada material
local es el substrato para la excitación. En este caso el substrato es el término dominante
y la excitación debe tratarse como una perturbación lineal de la solución ilineal de
substrato. El valor del parámetro de masa para la excitación debe estar relacionado
con alguna constante asociada con la solución de substrato.
9.4. El Operador Impulso.
La primera definición de masa ec. (9.2.7) fue usada en el capítulo 3, sección 4,
para mostrar la relación de una solución particular, bajo ciertas restricciones, de la
ecuación de movimiento con la ecuación de Dirac. Con la nueva definición de masa
estas restricciones no son necesarias y se obtiene la ecuación generalizada de Dirac,
como se indicó en la sección 2. Por otro lado el concepto de partículas materiales se
ha asociado a excitaciones poliádicas que estrictamente son elementos del álgebra en
vez de elementos del grupo. Por estas razones, debemos revisar la relación de la
ecuación de movimiento con la ecuación estándar de Dirac para una partícula.
La ecuación generalizada de Dirac, ec. (9.2.10), es esencialmente una relación entre
matrices que representan los elementos de un álgebra de Clifford. En particular, la
poliada material e es un elemento del grupo de automorfismos del álgebra. Si las
partículas se asocian a excitaciones, debemos representarlas como fluctuaciones de
Definición de Masa
115
poliadas en vez de poliadas propiamente. La ecuación estándar de Dirac para una
partícula debe corresponder a una fluctuación de la ecuación generalizada de Dirac
para la materia. Si las partículas corresponden a representaciones con números cuánticos
específicos, la excitación asociada debe corresponder a un solo vector de la poliada,
el vector propio que tenga como valores propios los números cuánticos especificados.
En concordancia, para describir una partícula, debemos restringir las fluctuaciones
poliádicas a matrices de la forma
é h 1ˆ 0 ù
ú ,
h = êê 1ˆ
ú
2
êë h1 0 úû
(9.4.1)
é x 1ˆ 0 ù
ú ,
x = êê 1ˆ
ú
2
êë x1 0 úû
(9.4.2)
donde h A indica dos biespinores complejos. Podemos combinar las dos columnas en
una, que puede ser interpretada como un espinor que satisface la ecuación estándar de
Dirac,
é x 1ˆ ù
ê 1ú
ê 2ˆ ú
êx ú
Y = ê 1ˆ ú
êh1 ú
ê 1ú
ê 2ˆ ú
êë h1 úû
.
(9.4.3)
Es fácil comprobar que el escalar y † y corresponde a la traza de las matrices
correspondientes. Se tiene
Y †Y = tr (h † h + x †x ) .
(9.4.4)
Bajo estas condiciones, toda la información de la ecuación de excitación está contenida
en la primera columna de las matrices y la ecuación matricial se reduce a una ecuación
espinorial. Si la conexión es aproximadamente plana, excepto el término de masa, la
ecuación espinorial de movimiento resultante es
k m¶m Y = m Y .
(9.4.5)
Como el límite no relativista de esta ecuación es la ecuación de Schroedinger, que
representa el movimiento libre de una partícula de masa m, es claro que el teorema de
GEOMETRÍA FÍSICA
116
Capítulo 9
Ehrenfest [5] es válido en este límite. Como resultado, el valor medido obedece la segunda
ley de movimiento de Newton. En cierto sentido nuestra teoría dice que hay una
correspondencia con la mecánica y debemos interpretar <-ih¶ m> como el impulso clásico
y <-ih¶ 0 > como la energía clásica. Queda claro también que los operadores que
representan geométricamente el impulso y la posición satisfacen automáticamente las
conocidas relaciones de conmutación de Heisenberg,
[p, x ] = -i 
[E , t ] = i 
,
(9.4.6)
.
(9.4.7)
Ahora estamos en posición de indicar que la ec. (9.2.4) significa, en esta teoría, que
la partícula asociada a la fluctuación especificada tiene triimpulso lineal cero y su
energía es igual a la masa en reposo, como debe ser en el caso de la mecánica cuántica
relativista.
Las relaciones físicas de incertidumbre son la consecuencia de la geometría en vez
de su fuente. Como se indicó en la sección 8.1, no puede argumentarse que la geometría
es “difusa”. Se puede decir que la asociación de un operador diferencial con el impulso
tiene un carácter geométrico. También debe quedar claro que el i imaginario en la
ecuación de Schroedinger (o Dirac) surge del uso del álgebra geométrica para construir
la corriente material como se demostró en capítulos anteriores. En adición, el operador
¶ m está presente en la ecuación porque surge de la ecuación de conservación de la
corriente J.
9.5. Resumen.
Presentamos una definición invariante de masa en reposo, dentro de nuestra teoría
geométrica unificada, en términos del concepto de autoenergía de la interacción ilineal.
Una excitación lineal de una solución ilineal de substrato obedece la ecuación de Dirac
con el término apropiado de masa.
Referencias
1
2
3
4
G. González-Martín, Gen. Rel. and Grav. 22, 481 (1990).
G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 23, 827 (1991).
A. Einstein, L. Infeld, B. Hoffmann, Ann. Math. 39, 65 (1938).
R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their applications (John Wiley and
Sons, New York), p. 248 (1974).
5 A. Messiah, Quantum Mechanics, translated by G: M. Temmer (North Holland,
Amsterdam), p. 216 (1961).
10. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA.
10.1. Introducción.
En el capítulo 6 mostramos que si tomamos en consideración la estructura geométrica
del fibrado principal E y del fibrado afín W, relacionada con la estructura algebraica de sus
fibras, un proceso de variación de las ecuaciones de la teoría suministra una interpretación
de los campos extendidos de Jacobi como operadores cuánticos. También se mostró que es
posible definir una operación de corchetes que se convierte en los conmutadores para los
campos de Jacobi asociados a la conexión y en los anticonmutadores (o conmutadores)
para los asociados a la poliada. Esta operación corchete nos lleva a las relaciones de
cuantización de la teoría cuántica de campos para los campos bosónicos de interacción y
los campos fermiónicos materiales.
Ahora discutiremos, en particular, si la teoría nos da la electrodinámica cuántica (EDC)
incluyendo su interpretación probabilística [1]. Una característica básica de la teoría
propuesta es la ilinealidad. Una solución no puede obtenerse por la suma de dos o más
soluciones y por lo tanto no es posible construir soluciones exactas partiendo de
subsistemas pequeños. Si embargo, es posible estudiar sus ecuaciones locales linealizadas
que representan excitaciones que evolucionan aproximadamente bajo la influencia de los
efectos heredados de la ecuación ilineal.
Si representamos las partículas como excitaciones, la interacción entre dos partículas
corresponde a la interacción de dos de estas excitaciones geométricas, generadas por
operadores geométricos de Jacobi. El acoplamiento geométrico es entre la conexión y la
poliada. La interacción entre electrones (excitaciones poliádicas) es intermediada por fotones
(excitaciones de conexión).
10.2. Relaciones Geométricas.
10.2.1. Producto de Operadores de Jacobi.
El producto ab en el anillo A [2]se ha tomado, en general, como el producto de Clifford.
Como el fibrado poliádico E es un fibrado principal y su fibrado tangente TE tiene como
fibra la estructura algebraica heredada del grupo, es necesario que el producto escogido sea
cerrado en el álgebra de forma que el resultado también esté valuado en el álgebra de Lie.
Geométricamente debemos especializar, como se indicó anteriormente, que el producto en
el anillo sea el producto de Lie. Entonces el producto ab es cero cuando su gradación es
par. El corchete sobrevive solamente cuando el conmutador de ab no se anula porque su
gradación es impar y corresponde a los anticonmutadores. En otras palabras, el producto
GEOMETRÍA FÍSICA
118
Capítulo 10
en el anillo obedece las relaciones
a · b = [a, b ]
a·b =0
ab ¹ 2n ,
ab = 2n .
(10.2.1)
(10.2.2)
Con este producto el corchete definido anteriormente satisface, para los campos de
operadores materiales de Jacobi,
{aV , bW } = {bW , aV }
,
(10.2.3)
que es el anticonmutador.
El fibrado de conexiones, W, es un fibrado afín y el producto del anillo asociado a la
fibra de TW es conmutativo. Por lo tanto, el corchete es el conmutador para los campos
de operadores de Jacobi de la conexión.
10.2.2. Relaciones de Conmutación.
Si tomamos el principio de acción de Schwinger [3], obtenemos las relaciones de
cuantización deseadas requiriendo que los operadores cuánticos Y sean operadores de
campo vectorial de Jacobi,
{Y (x ), dY (y )} = 0
,
{Y (x ), P m (y )} = -d m (x , y )
(10.2.4)
.
(10.2.5)
Como se discutió anteriormente, los vectores de Jacobi V s representan fluctuaciones
de secciones s del fibrado E. La prolongación jeta jV de una extensión V de V s es un
campo vectorial en JE que actúa como operador sobre las funciones en JE. Un campo
vectorial de Jacobi, como vector vertical sobre la sección poliádica s(M) se puede
considerar como un desplazamiento de s. Similarmente, sus prolongaciones jetas se
j
pueden considerar como un desplazamiento de s, en otras palabras una variación,
d js
= jV ( j s ) .
dl
(10.2.6)
La acción lineal de los campos de Jacobi sobre las secciones del substrato nos
permite asociarlos con objetos de la teoría cuántica. Podemos considerar la sección
poliádica del substrato como el estado | ñ de un sistema físico y los campos de Jacobi
como los operadores lineales físicos Y que tienen una acción geométrica sobre los
estados.
Una sección poliádica material física se puede expresar en términos de secciones
poliádicas de referencia. Estas secciones son también sistemas físicos. Por tanto, ellas
Electrodinámica Cuántica
119
pueden evolucionar bajo la acción del mismo grupo que actúa sobre las secciones
materiales. Esto representa la conocida equivalencia de las visiones activa y pasiva de
la evolución. Podemos considerar que el sistema físico evoluciona relativo a una sección
poliádica fija de referencia o, equivalentemente, que el sistema esta fijo relativo a un
sistema de referencia que evoluciona.
Podemos escoger una sección de referencia de forma que la sección de substrato no
evolucione. En esta condición la sección de substrato permanece fija y los operadores
de Jacobi obedecen la ecuación de movimiento linealizada. (Cuadro de Heisenberg).
Los campos vectoriales de Jacobi y sus prolongaciones jetas transforman bajo la
representación adjunta del grupo. Podemos usar estas transformaciones a una nueva
sección de referencia donde los operadores de Jacobi no evolucionen. En esta condición
la dependencia temporal de los operadores de Jacobi se elimina y las secciones de
substrato obedecen ecuaciones de movimiento, indicando que el estado es dependiente
del tiempo (Cuadro de Schrödinger).
10.3. Electrodinámica Geométrica.
10.3.1. Partículas Libres y Corrientes.
Debe estar claro que una solución exacta del problema propuesto no es posible con
esta técnica linealizada. La razón para esto es la presencia de la ilinealidad de las
autointeracciones en las ecuaciones. Debemos considerar solamente soluciones
aproximadas. La interacción entre las excitaciones poliádicas es intermediada por las
excitaciones de la conexión. En EDC (QED) la interacción se impone sobre ciertos campos
especiales llamados “campos libres”, el campo electrónico y el campo de radiación.
Aquí tenemos que discutir que secciones poliádicas y de conexión corresponden a
estos campos libres. Se tiene que escoger una excitación poliádica que represente un
electrón “libre”. Similarmente, debemos escoger una excitación conectiva que represente
un fotón “libre”.
La ecuación de movimiento
k mme = 0 ,
(10.3.1)
incluye términos de autointeracción. No es posible poner la conexión de substrato
igual a cero porque automáticamente eliminaría la autoenergía y el parámetro de masa
de acuerdo con nuestra teoría. Entendamos como electrón “libre” una excitación
poliádica con el parámetro de masa correcto determinado por el substrato [4]. La
aproximación más simple es entonces suponer que todos los efectos de autointeracción,
al primer orden, están concentrados en el único parámetro de masa. La ecuación de
fluctuación es,
k m¶me = me + interac. .
(10.3.2)
120
Capítulo 10
GEOMETRÍA FÍSICA
Es natural considerar un campo poliádico libre como uno que satisface la ecuación
anterior sin el término de interacción. Una solución de esta ecuación libre suministra
una sección poliádica de excitación que puede ser utilizada con nuestra técnica. Las
ecuaciones linealizadas de fluctuación, con el término de interacción, determinan la
evolución de los campos de excitación de la conexión y las poliadas.
La ecuación de campo,
D *W = 4 pa *J ,
(10.3.3)
cuando la conexión tiene solamente la componente electromagnética k se reduce a la
electrodinámica pura,
0
d *dA = 4pa *j .
(10.3.4)
Es natural considerar un campo de conexión libre como aquel que satisfaga la
ecuación anterior con j=0. Una solución a la ecuación de campo suministra una sección
de substrato para la excitación de conexión, que puede ser usada con la técnica propuesta.
Para obtener la EDC estándar de la teoría geométrica, tenemos que reducir el grupo
de estructura a uno de los 3 subgrupos U(1) en el sector electromagnético SU(2). La
componente u(1) correspondiente de la fluctuación de la conexión generalizada es el
potencial electromagnético A m. Similarmente, una fluctuación electromagnética de la
corriente material determina la fluctuación de la corriente generalizada. Esta fluctuación
debe ser generada por uno de los tres generadores electromagnéticos, por ejemplo, k 5 .
La corriente eléctrica estándar es la componente de esta fluctuación de corriente en el
sector electromagnético,
d j = 41 tr (k1k 2k 3dJ ) = 41 tr (k1k 2k 3 12 éëêJ , k 5 ùûú ) = 41 tr (k 5k 1k 2k 3J )
= 41 tr (k 0J ) .
(10.3.5)
Ya se ha demostrado que la corriente estándar en la teoría cuántica está relacionada
con la componente k 0 de la corriente generalizada [5],
1
4
tr k 0J m = 41 tr (k 0ek me ) = Yg m Y ,
(10.3.6 )
que es la corriente eléctrica para una partícula con carga igual a un cuanto en las
unidades geométricas.
10.3.2. Electrodinámica Cuántica.
Podemos escoger una sección de referencia de forma que ambas secciones de
substrato, que incluyen las autointeracciones respectivas de los dos sistemas “libres”,
también incluyan un movimiento libre de ambas excitaciones relativo al observador.
Las dos secciones de substrato no son soluciones del sistema interactuante, sino que
Electrodinámica Cuántica
121
son soluciones de fondo. Esta situación corresponde al cuadro de interacción en EDC.
Escogiendo apropiadamente la poliada de referencia, ambas secciones de substrato
(estados) tienen el movimiento libre, incluyendo efectos de autointeracción, y los
operadores de Jacobi de ambas excitaciones representan la dinámica de la interacción
entre los dos sistemas, excluyendo ambas autointeracciones.
El único efecto invariante de la autointeracción en el movimiento libre de los campos
es el parámetro de masa m. Los otros efectos de la interacción física total, asociados
con los campos de fluctuación, corresponden a una energía efectiva neta de interacción
que se puede escribir como
ek meG m - mI = H .
(10.3.7)
El primer término de H es la interacción física total. El significado del segundo
término es que la autoenergía de la masa no está incluida en la fluctuación y este
método (o EDC), por construcción no es adecuado para calcular la masa desnuda.
Se conoce que el lagrangiano para la primera variación de las ecuaciones de Lagrange
es la segunda variación del lagrangiano. Para ambos campos libres, la segunda variación
correspondiente del lagrangiano nos da el campo libre de Maxwell-Dirac. Como la
variación de la corriente tiene solamente una componente k 0 expresada por la ec.(10.3.6)
y la variación de la conexión tiene a A m como componente k 0, la segunda variación o
hamiltoniano nos da, en términos de estos operadores de Jacobi de campos de
interacción dG, dJ,
H º d 2L = 41 tr (dGdJ ) = 41 tr (k 0k 0 ) Yg m Y Am = -Yg m Y Am ,
(10.3.8)
que es el hamiltoniano estándar de interacción en EDC.
Hemos obtenido un conjunto de operadores lineales (las prolongaciones de campos
de Jacobi) que actúan sobre secciones que forman un espacio de Banach (estados)
donde los operadores obedecen relaciones de conmutación de corchetes, conmutadores
para A y anticonmutadores para Y. Adicionalmente, el lagrangiano geométrico de la
teoría se reduce a un lagrangiano en términos de operadores que es el lagrangiano
estándar para QED.
Desde este punto podemos proceder usando las técnicas, notación y lenguaje de
EDC, equivalentes a técnicas geométricas, para cualquier cálculo que se quiera hacer
en esta aproximación de la teoría geométrica. El resultado del cálculo debe ser
interpretado físicamente, de acuerdo con las ideas geométricas. Este es nuestra próxima
tarea, el obtener una interpretación estadística para las fluctuaciones en la teoría
geométrica.
10.3.3. Interpretación Estadística.
La significación física de las secciones locales en la teoría geométrica ilineal
incluye la influencia holística del universo total de materia e interacciones. La geometría
122
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 10
de la teoría, incluyendo la noción de excitaciones, está determinada por el gran numero de
fuentes en el universo. Dentro de esta teoría geométrica y su interpretación, no es apropiado
considerar las secciones asociadas a una partícula única o excitación. Mas bien, ellas
están asociadas a los efectos geométricos globales ilineales de la radiación y la materia
gruesa extendida.
Esta no es la situación acostumbrada donde se establecen las teorías físicas. Es
usual postular leyes fundamentales entre objetos microscópicos fundamentales
(partículas). Para trasladar la geometría global universal a la física microscópica usual,
como hemos asociado las partículas a excitaciones geométricas, estableceremos lo que
llamaremos un “régimen microscópico de muchas excitaciones”, que se distingue de la
situación descrita en el párrafo precedente.
La estadística entra en nuestra teoría en una manera distinta de la usual, donde se
postulan las leyes microscópicas fundamentales entre partículas elementales ideales y
el análisis estadístico se usa por las dificultades que surgen cuando se combinan
partículas para formar sistemas complejos. Aquí las leyes fundamentales se postulan
geométricamente para toda la materia y radiación presente en el sistema (el universo
físico) y el análisis estadístico surge de las dificultades y aproximaciones inherentes en
la partición del sistema ilineal en subsistemas lineales microscópicos elementales de
fluctuaciones. Como consecuencia de esta situación holística, los resultados asociados
a excitaciones fundamentales deben tener un carácter estadístico natural (clásico) que
corresponda al de la teoría cuántica.
Consideremos que podemos trabajar en dos regímenes diferentes de la teoría
geométrica. Uno es el régimen holístico geométrico, holofísico, que no representa a
partículas, donde hay ecuaciones ilineales exactas entre las secciones locales poliádicas,
que representan la materia y la sección de conexión que representa la interacción. El otro
es el régimen microscópico de muchas excitaciones donde tenemos ecuaciones lineales
aproximadas entre las variaciones de las secciones poliádicas y de conexión, que
representan partículas y campos.
En el régimen de muchas excitaciones, los efectos ilineales quedan escondidos en
una solución de substrato y en su lugar aparecen efectos locales lineales aproximados
de los subsistemas, vistos como una colección de excitaciones en el substrato. El
número de excitaciones es naturalmente muy grande y las interacciones cruzadas entre
ellas hacen imposible un tratamiento exacto para una excitación. En su lugar es necesario
tratar a la excitación como una entre un conjunto grande de excitaciones y usar la teoría
estadística clásica.
Las excitaciones geométricas forman un ensamble estadístico de densidad de
población n i. No es posible seguir la evolución de una de ellas por los argumentos
anteriores. Es absolutamente necesario usar estadísticas para describir la evolución de
las excitaciones. La situación es similar a la que se presenta en las reacciones químicas
o la radiación, donde las partículas son creadas o aniquiladas estadísticamente.
Existen técnicas estadísticas clásicas adecuadas para describir estos procesos. Los
métodos matemáticos usados en química física se pueden aplicar a las excitaciones
Electrodinámica Cuántica
123
geométricas. En particular, podemos usar la teoría de la termodinámica irreversible [6]
para calcular la velocidad de reacción entre diferentes excitaciones geométricas. El
proceso se describe por medio de la densidad de flujo  que caracteriza el flujo de n
excitaciones entre dos sistemas o velocidad de reacción,
 =
dn
.
dt
(10.3.9)
Es también necesario introducir una función fuerza,  , que es llamada afinidad y
representa diferencias de parámetros termodinámicos intensivos. El uso de estos
conceptos clásicos se deriva de un análisis estadístico fundamental. Cuando hay
equilibrio entre dos subsistemas diferentes, ambas variables, la afinidad y el flujo se
anulan.
La identificación de la afinidad se hace considerando la velocidad de producción de
entropía s,
ds ¶ s d nk
=
=  k k ,
dt ¶ nk d t
(10.3.10)
de donde se identifica que la afinidad asociada a una excitación dada es
k =
¶s ¶u
mk
,
=
¶ u ¶ nk T
(10.3.11)
donde u es la energía, T es la temperatura y m es el potencial de excitación, similar al
potencial químico usado para determinar la estadística de las reacciones químicas.
El flujo estadístico es una función de la afinidad y vemos que la estadística de
reacción de las excitaciones geométricas debe depender de la energía clásica geométrica
de las excitaciones. Una excitación es un parámetro extensivo x que tiene asociado un
parámetro intensivo F relacionado termodinámicamente con el cambio de energía,
du = -Fdx .
(10.3.12)
En un punto, la excitación es una función del tiempo que siempre se puede descomponer
en funciones armónicas. En general, la energía de oscilaciones armónicas depende de
la amplitud de las excitaciones. Entonces, la probabilidad de ocurrencia de un evento
único de reacción, implícita en la velocidad de reacción determinada por el potencial
de excitación, depende de la amplitud de excitación. Este es el significado de la
interpretación probabilista de los campos cuánticos.
En algunos casos, para sistemas lineales markoffianos (sistemas cuyo futuro está
determinado por su presente y no por su pasado), el flujo es proporcional a la afinidad
D =
¶
D
¶ 0
(10.3.13)
124
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 10
y el calculo de velocidades de reacción se simplifica, indicando explícitamente la
dependencia del flujo en los potenciales de excitación.
10.4. Aplicaciones.
Para ilustrar este carácter estadístico del régimen linealizado, discutamos la dualidad
onda o corpúsculo de la luz y la materia, típicamente demostrada en el experimento de
doble interferencia de Young, dentro de los conceptos de la teoría geométrica. Hay
excitaciones que corresponden a partículas múltiples y muestran los “estados
enredados” de Schrödinger. En los últimos años ha habido una revolución en la
preparación experimental de enredos de multipartículas [7, 8, 9, 10, 11]. En particular
consideremos un interferómetro de dos partículas, ilustrado en la figura 2. En el centro
hay una fuente de partículas en decaimiento, con una extensión vertical d. Dos pantallas
de colimación, cada una con un par de rendijas ofrecen caminos alternativos a un par de
partículas que se detectan finalmente en dos pantallas.
Una partícula física (p.e. un fotón) es una excitación del campo de substrato de
radiación correspondiente. En términos geométricos, un vector de Jacobi Y, asociado a
una variación de una sección e o w, representa la partícula. Como se indicó en la sección
precedente, no es posible seguir la evolución de una excitación única Y. La técnica
estadística clásica es tratar la radiación como un reservorio termodinámico de
excitaciones. Esta técnica se usó en el estudio de la radiación del cuerpo negro [12, 13,
14] y fue el origen de la teoría cuántica de Planck. En años recientes una idea similar
llevó a la introducción de la cuantización estocástica [15, 16], que se ha demostrado
equivalente a la cuantización por integrales de camino. Nuestra técnica es diferente,
por ejemplo no introducimos una evolución a lo largo de una dirección ficticia de tiempo
como se hace en la cuantización estocástica. Nosotros nos apoyamos en la existencia
de una geometría global ilineal que hace una necesidad práctica el tratamiento estadístico
de las ecuaciones lineales que describen la evolución de subsistemas microscópicos.
Los átomos en la pantalla son un ensamble de excitaciones poliádicas o electrones
alrededor de su substrato electrónico, en contacto con el reservorio de radiaciones que
es un ensamble de excitaciones de conexión o fotones alrededor de su substrato fotónico.
El equilibro del sistema total, radiación y pantalla, es determinado por la igualdad de
los potenciales de excitación asociados a las excitaciones geométricas que forman los
subsistemas electrónico y fotónico. Cuando no hay equilibrio hay un flujo de
excitaciones entre la radiación y la pantalla. Las técnicas de la termodinámica irreversible
relacionan esta densidad de flujo de excitaciones con la afinidad, que depende de la
diferencia de los potenciales de excitación correspondientes. También suponemos que
tenemos sistemas markoffianos. Esta aproximación se ha usado satisfactoriamente en
la teoría cuántica de amortiguación de sistemas de láser [17, 18].
Para calcular los potenciales de excitación necesitamos expresar la energía en términos
del número de excitaciones. La excitación de radiación debe ser una excitación de la conexión
geométrica, sin masa, de largo alcance y que sea una representación del grupo G=SL(2,)
Electrodinámica Cuántica
B’
125
A
P
d/2
P’
z
x
y
-d/2
B
A’
Figura 2
inducida del subgrupo P=Sp(2,). Como se indica en la sección 7.2, esta representación se
caracteriza por el número cuántico helicidad determinado por una representación del grupo de
isotropía SO(2,1). La correspondiente representación irreducible fundamental, que es el fotón,
debe llevar un cuanto de impulso angular. La presencia de helicidad implica que un fotón es una
oscilación armónica de alguna frecuencia n. Entonces los operadores vectoriales de Jacobi Y se
pueden descomponer en sus fotones irreducibles usando una descomposición en una serie de
Fourier.
Debe quedar claro que las relaciones geométricas de conmutación o anticonmutación de los
operadores Y implican relaciones similares para las amplitudes de sus osciladores fundamentales
(componentes de Fourier) a. En consecuencia, la energía de los osciladores armónicos
correspondientes a las excitaciones está cuantizada, con los mismos resultados de la teoría
cuántica. Estas amplitudes se convierten en operadores de creación o aniquilación. Bajo estas
condiciones el operador número,
N = a †a ,
(10.4.1)
tiene valores propios discretos n que indican el número de fotones y determinan la energía
de los osciladores. Los cuantos de energía, para valores grandes de n, son los autovalores
æ
1ö
e = ççn + ÷÷÷ n » n n ,
çè
2ø
(10.4.2)
GEOMETRÍA FÍSICA
126
Capítulo 10
en unidades geométricas donde la constante de Planck  es 1. La energía de las excitaciones
tiene cuantos de valor proporcional a la frecuencia n.
En el experimento estándar de Young las ondas que llegan a un punto de la pantalla
tienen la bien conocida diferencia de fase f que nos permite escribir para la amplitud
resultante,
Y = Y 0e if + Y 0e -if .
(10.4.3)
El campo de radiación tiene una amplitud modulada a través de ciertas regiones del
espacio debido al patrón de interferencias producido por las ondas. Esto significa que
la energía promedio no está distribuida homogéneamente sino concentrada en las
regiones de mayor amplitud. Para n grande, cuando la amplitud Y 0 se expresa en términos
de los operadores de creación a, obtenemos una expresión para la energía modulada,
æ4ö
4
Y † Y = 4a †a cos 2 f = çç ÷÷÷n n cos 2 f = u .
çè n ø
n
(10.4.4)
Esta ecuación muestra que, como un oscilador armónico de cualquier tipo, la energía total
de nuestras excitaciones geométricas es igual a la energía potencial máxima dada por el
cuadrado de la amplitud de desplazamiento Y del parámetro extensivo. Esta amplitud de
energía potencial es la interpretación física del operador vectorial de Jacobi Y.
Debemos considerar un potencial de excitación local definido dentro de un dominio de volumen,
determinado por una distancia de correlación, donde la densidad de energía pueda tomarse como
constante. Entonces el potencial de excitación es
m=
¶u
,
¶n
(10.4.5)
donde n es el autovalor de N o número de fotones.
La energía de la excitación determina la expresión para el potencial de excitación,
æ pl
ö
m = n cos 2 f = n cos 2 çç sin a÷÷÷ .
çè l
ø
(10.4.6)
En nuestro caso tenemos que considerar una onda de excitación de m-particulas.
Para aclarar la situación y evitar confusiones con el concepto de partícula, definamos
una excitación de m-corpúsculos como la representación correspondiente al producto
tensorial de m representaciones fundamentales (1-corpúsculo). La amplitud del campo
vectorial de Jacobi de la excitación es una representación de m productos.
Consideremos el caso de un experimento con una excitación de 2-corpúsculos, en
particular el caso de dos experimentos de Young adosados, lado con lado. No solamente
tenemos una correlación entre caminos alternativos a través de A y B para el corpúsculo
derecho sino también correlaciones entre los caminos A o B y A’ o B’ para la excitación
Electrodinámica Cuántica
127
de 2-corpusculos formada por el producto de dos excitaciones de 1-corpusculo. Si una
partícula decae a la altura x sobre la línea de centros, se puede detectar una partícula en
la pantalla derecha a la altura y y otra en la pantalla izquierda a la altura z. La diferencia
de fase f para la partícula del lado derecho tiene una contribución del ángulo en la
pantalla
fP =
ply
,
lr
(10.4.7)
y otra del ángulo en la fuente,
fP =
plx
,
lr
(10.4.8)
determinando para valores pequeños de y y z,
fP =
pq
(x + y ) ,
l
(10.4.9)
donde q es el ángulo subtendido por las dos rendijas. Una expresión similar se obtiene
para la partícula del lado izquierdo,
fP ¢ =
pq
(x + z ) .
l
(10.4.10)
La amplitud de la excitación de Jacobi, que es una representación producto de las
dos excitaciones, es
+d
2
é pq
ù
é pq
ù
a
Y µ ò dx cos ê (x + y )ú cos ê (x + z )ú .
d -d
ëê l
ûú
ëê l
ûú
(10.4.11)
2
Si d es mucho más pequeña que l/q la integral da el producto de dos patrones de
Young, como debe ser. Si, por el contrario, d es mucho más grande que l/q, esta integral
da
æ pq
ö
a
Y µ cos çç (z - y )÷÷÷ .
çè l
ø
2
(10.4.12)
Obtenemos para el potencial de excitación
é æ pq
öù
m µ ê cos çç (z - y )÷÷÷ú .
êë èç l
øúû
2
(10.4.13)
128
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 10
La probabilidad de la detección simultánea de partículas en P y P’ está determinada
por este potencial de excitación. Hay regiones de alta y baja probabilidad debido al
patrón de interferencias de las amplitudes de excitación. Estos casos recién ilustrados
para interferómetros de 1-particula y 2-particulas presentan una característica general
de las excitaciones de secciones en la teoría geométrica. Similarmente, la probabilidad de
la detección de partículas correlacionadas con energías E y E’ o momento k y k’ debe estar
determinada por un potencial de excitación. No hay ecuaciones exactas para situaciones
físicas con una excitación única. Toda situación física real en el régimen lineal
microscópico requiere el uso de estadísticas. El resultado de experimentos microscópicos
de transición depende de los potenciales de excitación de los sistemas. El requisito de
estadísticas necesariamente conduce a la interpretación probabilista de la teoría
cuántica. Si, dentro de un arreglo experimental particular, podemos físicamente distinguir
entre dos estados de excitación, no hay lugar para aplicar estadísticas y por consiguiente
el patrón de interferencias está ausente. Este es el contenido del pronunciamiento de
Feynman acerca de alternativas indistinguibles experimentalmente [19].
Fundamentalmente las estadísticas en la mecánica cuántica son las estadísticas clásicas
de excitaciones de secciones en esta geometría física. Las objeciones planteadas por
Einstein [20, 21] a la interpretación probabilista se resuelven automáticamente porque
estas estadísticas entran debido a la falta de conocimiento detallado del estado de muchas
excitaciones.
10.5. Resumen.
Las excitaciones geométricas se usaron para representar la teoría de electrodinámica
cuántica. Las excitaciones de la conexión y las excitaciones de la poliada se reducen,
respectivamente, al operador del campo electromagnético y al operador del campo
electrónico. Debido a la estructura geométrica y algebraica inherente, estos operadores
obedecen las reglas de conmutación estándar. El uso del análisis armónico introduce
los operadores de creación y aniquilación asociados a las ondas de excitación. La
energía de las excitaciones de la conexión es n.
Las técnicas geométricas se reducen a las técnicas de ECD (QED). Sin embargo, su
uso está limitado a excitaciones perturbativas y por lo tanto excluye su aplicación a la
autointeracción y en particular al cálculo de masas desnudas.
Las ecuaciones geométricas ilineales se aplican al universo total de materia y
radiación. Si trabajamos con excitaciones, esto implica que necesitamos usar la teoría
estadística cuando consideramos la evolución de subsistemas microscópicos. El uso
de la estadística clásica, en particular de técnicas de la termodinámica irreversible,
determina la probabilidad de absorción o emisión de excitaciones geométricas a través
del potencial de excitación como una función de la densidad de energía clásica.
La emisión y absorción de excitaciones geométricas implican cambios discretos de
ciertas variables físicas porque son representaciones de un subgrupo, pero con una
probabilidad determinada por la densidad de energía de la excitación. Por lo tanto, esta
Electrodinámica Cuántica
129
teoría no contradice los aspectos fundamentales de la teoría cuántica. Al contrario,
ofrece una justificación geométrica para la existencia de cuantos discretos de energía,
espín, carga eléctrica y flujo magnético.
Referencias
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11. EFECTOS CUÁNTICOS FRACCIONALES.
11.1. Introducción.
Como se mostró en el capítulo 7, las excitaciones que representan partículas tienen un
flujo magnético cuantizado. Es posible que estos cuantos de flujo correspondan a niveles
definidos de impulso angular total y que estén asociados a órbitas electrónicas. En este
caso sería posible observar sus efectos en un gas de electrones bajo un campo magnético
intenso a bajas temperaturas. Esta asociación puede ser útil en el análisis del efecto Hall
cuántico. La teoría del efecto integral, EHCI (IQHE), y la del efecto fraccional, EHCF (FQHE),
se han desarrollado por la construcción explícita de las funciones de onda de los estados
cuánticos que describen muchas características de estos fenómenos [1, 2, 3]. Sin embargo,
aún puede ser posible explicar ciertos hechos partiendo de principios generales, como así
lo sugiere la exactitud extraordinaria de los resultados experimentales. Claro que, los análisis
detallados y funciones de onda todavía serían necesarios para una descripción completa.
Sería como utilizar la teoría de representaciones del grupo de Lorentz para caracterizar los
estados del electrón en un potencial central en vez de usar las funciones de onda
particulares. De esta manera esperamos exhibir los principios generales implicados. De
hecho, fue la generalización del grupo de Lorentz (automorfismos del espacio de Minkowski)
al grupo de automorfismos del álgebra geométrica del espacio de Minkowski y la
interpretación física correspondiente, [4, 5], que indicó que cualquier partícula (o
cuasipartícula) masiva debe llevar, no solamente cuantos de impulso angular, sino también
cuantos de carga eléctrica e y cuantos de flujo magnético, h/2e , (uno o más), que pueden
ser intrínsecos u orbitales.
11.2. Cuantos de Flujo Magnético.
Usualmente el movimiento en un campo magnético constante se discute en coordenadas
cartesianas en términos de estados con energía definida y componentes de impulso lineal
definido. Los niveles de energía resultantes, de Landau, son degenerados en términos de la
componente de impulso. Adicionalmente, para el electrón, los niveles de energía de Landau
son doblemente degenerados exceptuando el nivel inferior. Para usar estados de impulso
angular definido, el problema se expresa en coordenadas cilíndricas y la energía de los
niveles es [6],
U = (n + m + 21 + s )
eB 
,
Mc
(11.2.1)
Electrodinámica Cuántica
131
donde B es el campo magnético a lo largo del eje positivo de simetría z, m es el valor
absoluto del número cuántico de impulso angular, también a lo largo del eje z positivo,
n es un número cuántico no negativo asociado a la función de onda radial y s es el
espín. Esta expresión tiene la peculiaridad que aun para m igual a cero, puede haber
cuantos de energía asociados a la dirección radial.
Las ecuaciones de movimiento de partículas cargadas en un campo magnético
constante, en la mecánica clásica o cuántica, no determinan el impulso ni el centro de
rotación de la partícula. Estas variables son el resultado de un proceso previo que
prepara el estado de la partícula. Podemos idealizar este proceso como una colisión
entre la partícula y el campo. Como el campo magnético no realiza trabajo sobre la
partícula la energía de la partícula se conserva si el sistema se mantiene aislado después
de la colisión inicial. También se conserva el impulso angular de la partícula con respecto
al centro eventual de rotación. Los valores de impulso angular y energía adentro del
campo son iguales a sus valores afuera del campo. Esto implica que no hay energía
cinética asociada a la función de onda radial como lo permite la ecuación. Por lo tanto,
debemos excluir todos los valores de n, que representan la energía radial, excepto el
valor cero. Esto significa que la energía sólo depende del impulso angular, como en la
teoría clásica.
La degeneración de los niveles de energía, aparte de la debida a la componente de
impulso a lo largo del campo, es la debida a la dirección del espín como en el caso de las
coordenadas cartesianas. Solamente los electrones en movimiento hacen una
contribución al efecto Hall, así que podemos rechazar los estados de impulso angular
orbital igual a cero. Cada nivel degenerado de energía tiene dos electrones, uno con
espín hacia abajo y impulso orbital m + 1 y otro con espín hacia arriba y impulso orbital
m. Cada nivel degenerado de energía se puede considerar que tiene una carga total q
igual a 2e, espín total 0 y un impulso angular orbital total 2m + 1. Usando unidades de
semienteros,
( 2)
Lz = 2 (2m + 1) 
.
(11.2.2 )
En el tratamiento clásico del movimiento en un campo magnético se conoce que el
impulso cinético clásico de una partícula tiene una circulación, alrededor de la curva
cerrada correspondiente a una órbita, que es el doble de la circulación del impulso
canónico. Esta última, a su vez, es igual al negativo del flujo magnético encerrado por
la curva [7]. Esto es, para un valor dado de cuantos de impulso angular en un nivel
típico, debemos asociar un número de cuantos de flujo magnético orbital. De acuerdo
con la ecuación anterior, asignamos un flujo F L a un nivel degenerado,
( 2e)
FL = -2 (2m + 1) h
.
(11.2.3)
Cuando tenemos un gas de electrones en vez de un solo electrón, los electrones
ocupan un número de estados disponibles en los niveles de energía dependiendo del
GEOMETRÍA FÍSICA
132
Capítulo 10
nivel de energía de Fermi. Los electrones en órbita son corrientes circulares efectivas
que inducen un flujo magnético antiparalelo al flujo externo. El gas de electrones se
comporta como un cuerpo diamagnético, donde el campo aplicado se reduce a un campo
neto, debido al campo inducido por el movimiento electrónico. Asociada a la
magnetización macroscópica M, la inducción magnética B y el campo magnético H
introduzcamos para cada nivel, respectivamente, un flujo cuántico FM de magnetización,
un flujo cuántico F B neto de B, y un flujo cuántico F H desnudo de H. Estos flujos
tienen que estar relacionados por
FB = FH + FM .
(11.2.4 )
El primer nivel de energía de los electrones en movimiento no es degenerado,
correspondiendo a un electrón con espín hacia abajo y un cuanto de impulso orbital.
Para que el electrón orbite tiene que haber un flujo (neto) orbital dentro de la órbita. Si
el flujo está cuantizado, el mínimo posible es un (1) cuanto de flujo orbital para el
electrón. En adición, otro cuanto es exigido por el flujo intrínseco asociado al espín
intrínseco del electrón. Por lo tanto, sin otras ecuaciones, el número neto mínimo de
cuantos de este nivel es 2 y su flujo magnético mínimo es
FB = ( 2)
h
.
2e
(11.2.5)
Debe apuntarse que el flujo mínimo atrapado por el electrón en este estado es el doble
del cuanto de flujo. En otras palabras el flujo atrapado se divide en una parte intrínseca
y otra orbital.
El flujo cuántico de magnetización es, considerando su flujo inducido F L opuesto a
F H, de dos (-2) cuantos por el movimiento orbital del único electrón y un (1) cuanto
adicional por su flujo intrínseco F S,
æh ö h
h
FM = FL + FS = -2 çç ÷÷÷ + = ,
çè 2e ø 2e
2e
(11.2.6)
que nos da para este nivel no degenerado, la relación,
FB = 2 FM ,
(11.2.7)
que indica una permeabilidad magnética mínima equivalente de 2/3.
Este razonamiento no es aplicable al cálculo de F B para niveles degenerados en el
gas de electrones sino que habría que hallar, de alguna manera, una relación con F H.
Para determinar esto exactamente necesitaríamos resolver las ecuaciones (cuánticas)
de movimiento simultáneamente con las ecuaciones (cuánticas) electromagnéticas que
determinan el campo producido por los electrones circulantes. En vez de ecuaciones
detalladas reconozcamos que, como el flujo está cuantizado, el flujo orbital debe cambiar
por cuantos discretos cuando se activen niveles de energía mayor. Mientras el impulso
Electrodinámica Cuántica
133
angular de los niveles aumenta, un aumento proporcional en cualquiera de las dos
variables en la ecuación (11.2.4 ) implicaría que la permeabilidad magnética no varía de
su valor de 2/3 determinado para su nivel no degenerado. Por lo tanto, en general, los
aumentos de flujo debidos a una capa degenerada tienen que cumplir la siguiente relación
cuántica: el flujo F B puede desviarse por valores discretos de la proporcionalidad
indicada en esa ecuación, a causa de un valor entero de cuantos de flujo de acuerdo a,
FB = 2 FM + DF ,
(11.2.8)
donde DF es un flujo cuántico indeterminado del par de electrones del nivel degenerado.
El flujo de magnetización F M tiene F L como cota superior,
( 2e) = F
FM £ 2 (2m + 1) h
L
,
(11.2.9)
y podemos indicar los cuantos vinculados por la desigualdad
( )
FB £ 2 éê 2 (2m + 1)h + d h ùú ,
2e
e û
ë
(11.2.10)
donde d es un entero que indica un salto en el flujo asociado a cada electrón del par.
Cualquiera que sea el flujo resultante F B, debe ser una función solamente del cuanto
de flujo por par de electrones. Un nivel degenerado de energía consiste en la combinación
o acoplamiento de dos electrones de niveles de impulso orbital m y m + 1, en estados de
espines opuestos, con 2m cuantos de flujo orbital vinculados a un electrón y 2m + 2
cuantosvinculados al otro electrón. El par, tiene 2(2m + 1) cuantos, en función de un
entero no negativo m. Por lo tanto, la única variable independiente que puede determinar
el salto en el flujo F B es 2(2m + 1). Para que F B sea una función solamente de esta
variable, el entero d debe ser par para que pueda añadirse a m, dando los valores
posibles del flujo neto del nivel,
( 2e)
FB = 4 (2m + 1) h
,
(11.2.11)
La interpretación física de la última ecuación es la siguiente: Si el campo magnético externo
aumenta, el flujo magnético neto efectivo B y el flujo de magnetización neto efectivo M
por electrón aumentan ambos discretamente, por saltos cuánticos, y la permeabilidad
equivalente permanece constante.
El número de cuantos posibles, indicado por f, vinculados a este nivel que llamaremos
nivel con superflujo, es
f = 4 (2m + 1) ,
(11.2.12)
donde el índice de flujo m tiene una cota superior indeterminada. El número de cuantos de
carga eléctrica por nivel, indicado por q, es
134
GEOMETRÍA FÍSICA
q=2 .
Capítulo 10
(11.2.13)
11.3. El Efecto Hall Cuántico Fraccional.
Cada estado de un electrón es degenerado con una multiplicidad finita. Esto fija la
población de cada seminivel típico correspondiente a un solo electrón, indicada por N 0,
cuando está exactamente lleno. Es claro que si se levanta la degeneración de los niveles
de energía, por alguno de los mecanismos descritos en las referencias, los seminiveles
se pueden llenar separadamente y observar experimentalmente.
Como hay el mismo número de electreones N0 en cada seminivel podemos asociar un
electrón de cada seminivel a un centro definido de rotación o eje magnético. Tendríamos
entonces, como modelo de portador típico, un sistema de electrones rotando alrededor
del eje magnético formando un vórtice magnético o un átomo magnético cilíndrico
(¿cuasipartícula?). La validez de este modelo vorticial descansa en la posibilidad que
los distintos niveles de un vórtice se mantengan encadenados entre sí, de otra forma
los niveles se moverían independientemente. Un mecanismo físico de encadenamiento
es claro: Si tenemos dos bobinas de corriente vinculadas por un flujo común, y una de
las bobinas se mueve reduciendo el flujo a través de la otra, la ley de Lenz produciría
una reacción que se opone al movimiento de la primera bobina, y mantendría las bobinas
encadenadas.
La población electrónica total cuando hay niveles exactamente llenos es
qN = N 0 + 2nN 0 = (2n + 1)No ,
(11.3.1)
donde n niveles energéticos de Landau, doblemente degenerados, están llenos y donde
el primer N 0 corresponde al primer nivel de Landau, no degenerado. El índice de carga n
es un entero si el último nivel lleno es un nivel completo o un semientero si el último
nivel es un seminivel o cero si el único nivel lleno es el primer nivel no degenerado.
El flujo vinculado al vórtice, cualquiera que sea la función de onda que caracterice
los estados de la materia electrónica, debe tener cuantos porque este es una
representación que debe llevar cuantos definidos de carga, flujo magnético y impulso
angular. En otras palabras, el vórtice lleva cuantos de flujo magnético. El flujo vinculado
a un vórtice particular es igual al flujo neto F B encadenado por la órbita del par de
electrones correspondiente al último nivel lleno. El valor de f, el número de cuantos
netos vinculados a un vórtice, se expresa por la ecuación (11.2.12) que depende del
valor del índice de flujo m para el último nivel del sistema.
Hacemos ahora la hipótesis que la condición de llenado de los niveles de Landau
debe ser tomada en el sentido establecido anteriormente [8, 3], contando los cuantos
de flujo netos vinculados a todos los N 0 vórtices. La condición de llenado se determina
por la conservación de flujo (continuidad de las líneas de flujo). El flujo externo aplicado
tiene que ser igual al flujo neto total vinculado solamente al último nivel. Esto determina,
en el sentido canónico (un h/e por electrón), un llenado parcial aparente de los niveles.
Electrodinámica Cuántica
135
Esta condición de llenado implica, para un nivel degenerado con N 0 pares,
æh ö
F
= f çç ÷÷÷ .
çè 2e ø
N0
(11.3.2)
La expresión general para la conductividad de Hall, en términos de la densidad
bidimensional de portadores N/A y los cuantos de carga de los portadores q, es
s=
qeN
.
AB
(11.3.3)
Substituyendo, obtenemos la conductividad, para valores de q y f dados por las
ecuaciones (11.2.12), (11.2.13),
s=
e (2n + 1)N 0
F
=
2n + 1 çæe 2 ÷ö ,
ç ÷
2 (2m + 1) çè h ÷÷ø
n ³ 12 .
(11.3.4)
Esta expresión no es válida si el último nivel es el primer nivel no degenerado. Para
este caso especial, cuando n es cero, hay valores separados de q y f ,
æh ö
F
= f0 çç ÷÷÷ ,
çè 2e ø
N0
(11.3.5)
y obtenemos, usando las ecuaciones (11.2.5),
s=
eN 0
1 æ 2e 2 ö÷ e 2 ,
÷=
= çç
F
f0 çè h ÷÷ø h
n =0 .
(11.3.6)
Para n semientero podemos definir otro semientero n que indica el número de niveles
llenos con número de impulso angular definido m (no niveles de energía), por la relación
n =n+
1
.
2
(11.3.7)
Si reemplazamos n por n obtenemos para la conductividad la expresión equivalente,
æe 2 ö÷
n
çç ÷ ,
s=
(2m + 1) çè h ÷÷ø
n ³1 .
(11.3.8)
El último nivel activo se caracteriza por el índice de flujo entero m, que indica el
número de cuantos de flujo por electrón en este último nivel y el índice de carga semientero,
n, que indica el número de niveles degenerados de energía activos, o n, el número de
136
Capítulo 10
GEOMETRÍA FÍSICA
niveles de impulso angular orbital activos. Mientras se aumenta la intensidad magnética,
los niveles, su población y los cuantos de flujo se reordenan, para lograr niveles llenos.
Los detalles de este proceso dependen de las leyes microscópicas. Sin embargo, la
naturaleza cuántica del flujo magnético exige un valor fraccional exacto de
conductividad cuando la condición de llenado se cumpla, independiente de los detalles.
Mientras el campo magnético aumenta, las fracciones resultantes para valores pequeños
de n, m son
 3, 7 / 3, 2, 5 / 3, 7 / 5, 4 / 3, 6 / 5, 1, 6 / 7 , 4 / 5, 7 / 9, 5 / 7 ,
2 / 3, 7/11, 3 / 5, 4 /7 , 5 / 9, 6 /11, 7 /13, 6 /13, 5 /11, 4 / 9,
3 / 7, 2 / 5,
.
(11.3.9)
Estas fracciones concuerdan con los resultados del efecto Hall cuántico fraccional
[9, 10]. La misma expresión para enteros n, indica mesetas en algunas fracciones con un
divisor adicional de 2. Por ejemplo, si m es cero o 3/2 para n = 1, 5/2 para n = 2, (pero no ½
porque n>0). Esto parece compatible con los valores aceptados [11, 12, 13].
Un nivel con superflujo o parcialmente lleno ocurre a un valor de campo magnético
que es fraccionalmente mayor que el valor correspondiente a un nivel normal con igual
población porque los portadores llevan un flujo extra fraccional.
Los valores de conductividad son degenerados en el sentido que un valor
corresponde a más de un conjunto de índices m, n. El campo magnético para cualquier
par de conjuntos con una conductividad dada es el mismo porque el menor número de
portadores de un conjunto es compensado precisamente por el mayor número de cuantos
de flujo por portador. Sin embargo los dos conjuntos difieren electromagnéticamente
por el flujo extra de uno de los portadores y podemos esperar pequeñas diferencias de
energía que levanten esta degeneración. Claro está que la prueba de esta diferencia
requiere un análisis detallado usando funciones de onda correspondientes a un
Hamiltoniano que incluya términos apropiados. Si todos los electrones están en niveles
de Landau, los niveles de Fermi saltarían directamente de un nivel de Landau a otro y la
curva de conductividad sería un conjunto de puntos singulares. Los estados localizados
debido a imperfecciones de la red permiten un nivel de Fermi entre niveles de Landau,
como se discute en las referencias. Si este es el caso, su pequeña separación haría que
los dos conjuntos confluyan en una meseta. Como el valor de la conductividad para
dos conjuntos m, n con el mismo cociente es exactamente el mismo, el valor de la
conductividad debe ser insensitivo a una pequeña variación del campo magnético (o
energía) lo que indica una meseta de ancho finito en el valor dado por la ecuación
(11.3.4) con gran precisión. En particular para el cociente 1 hay muchos conjuntos de
números bajos que confluyen produciendo una meseta más ancha. Esto explica las
mesetas observadas en los llenados integrales y fraccionales.
Estos resultados se pueden expresar de una manera alterna. Como se indicó en la
referencia [4], la ec. (11.3.2) es una consecuencia de los cuantos de flujo llevados por
Electrodinámica Cuántica
137
los electrones en órbita. Como los portadores en el EHCF están polarizados en la
dirección del campo magnético, cuando cruzan una línea paralela al campo eléctrico
hay siempre una relación fija entre la carga y el flujo que cruza esa línea,
( )
h
DF f 2e
=
DQ
qe
.
(11.3.10)
Si no hay pérdidas resistivas la f.e.m. inducida a lo largo de la línea por el flujo que la
corta nos da una resistencia transversa que esta cuantizada fraccionalmente,
( q )(h 2e ) .
Rt = f
(11.3.11)
2
Esta es una relación general fundamental que solo depende de los cuantos llevados
por los portadores. Este valor de resistencia es un valor de mucha precisión que depende
de constantes fundamentales y enteros que se obtiene cuando se cumplen condiciones
microscópicas adecuadas. El EHCF es tal experimento, que mide esencialmente el
cociente de los cuantos de flujo y carga de las representaciones relevantes del grupo
(portadores).
11.4. Resumen.
Los resultados del capítulo 7, que demuestran que todos los portadores de carga
también portan cuantos de flujo, son esencialmente compatibles con los resultados
experimentales. En particular, podemos decir que los voltajes y corrientes producidos
en el EHCF son ocasionados por portadores de cuantos de carga e y de flujo magnético
h/2e que forman un sistema vorticial de electrones rotando alrededor de un eje magnético.
Referencias
1
2
3
4
5
6
R: Laughlin, Phys. Rev. B23, 5652 (1981).
J. K Jain, Phys. Rev. B41, 7653 (1990).
Kamilla, Wu, J. K. Jain, Phys. Rev. Let., 76, 1332 (1996).
G. González-Martín, Gen Rel. Grav. 23, 827 (1991).
G. González-Martín, ArXiv cond-mat/0009181and Phys. Rev. A51, 944 (1995).
L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Mécanique Quantique, Théorie non Relativiste (Ed. Mir,
Moscow), 2nd. Ed. p. 496 (1965).
7 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (John Wiley and Sons, New York), Second
Ed., p. 589 (1975).
8 Vea la sección 6. 7.
9 D. Tsui, H. Stormer, A. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).and R. Willet, J.
138
10
11
12
13
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 10
Eisenstein , H. Stormer , D. Tsui, A Gossard, J. English, Phys. Rev. Lett. 59, 1776
(1987).
K. V. Klitzing, G. Dorda, M Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)
R. Willet, R. Ruel, M. Paalanen, K. West, L. Pfeiffer, Phys. Rev. B47, 7344 (1993).
R. Du, H. Stormer, D. Tsui, L. Pfeiffer, K. West, Phys. Rev. Lett. 70, 2994 (1993).
J. Eisenstein, L. Pfeiffer, K. West, Phys. Rev. Lett. 69, 3804 (1992).
12. EL SUBSTRATO Y SU
INTERPRETACIÓN FÍSICA.
12.1. Introducción.
La ecuación ilineal propuesta y su condición de integrabilidad tienen aspectos peculiares
que las distinguen de las ecuaciones estándares de la física clásica. Normalmente las
ecuaciones acopladas de campo y movimiento, por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell y
de Lorentz en presencia de una fuente de corriente, no suministran ellas solas una solución
interna estática para una fuente que pueda representar a una partícula bajo la influencia de
su propio campo. El uso de funciones deltas para partículas puntuales no resuelve el problema
sino que lo ignora, y puede introducir soluciones autoaceleradas [1,2]. El tipo de densidad
de corriente en la teoría, junto con la interpretación desarrollada, permite una discusión en
terrenos diferentes. La poliada e que entra en la corriente representa a la materia. Como una
medición es siempre una comparación entre objetos similares, una medición de e requiere
siempre de otra poliada e’ que sirve de referencia para sus componentes. Si se escoge e’
adecuadamente es posible hallar soluciones de interés.
Como se ha visto en los capítulos anteriores, las condiciones de integrabilidad de la
ecuación ilineal determinan una ecuación de Dirac generalizada con un parámetro que se
puede identificar con la masa definida en términos de energía. El reconocimiento de un solo
concepto de masa es fundamental en la relatividad general y amerita la discusión de posibles
soluciones de las ecuaciones acopladas.
Si identificamos una excitación geométrica con una partícula física, la ecuación lineal de
la excitación, que sería entonces la ecuación de una partícula, contiene parámetros
suministrados por la solución curva (ilineal) de fondo que llamaremos su substrato. Algunas
de las propiedades de la partícula podrían determinarse por la geometría de un substrato. En
particular, un parámetro de masa para la partícula de excitación poliádica surge del concepto
de masa en términos de energía. Es claro que este parámetro no es calculable de la ecuación
linealizada sino de una solución ilineal de substrato. Esto parece interesante pero requiere
del conocimiento de una solución de substrato para las ecuaciones ilineales de campo. Por
eso es necesario encontrar una solución ilineal, mientras más sencilla mejor, para ilustrar
estas ideas. En este contexto se presenta la siguiente solución [3].
12.2. La Ecuación de Campo.
La geometría del substrato satisface la ecuación ilineal,
D *Wb = 4 pa J* b .
(12.2.1 )
Capítulo 12
GEOMETRÍA FÍSICA
140
El operador diferencial se puede expandir,
*
D *D w = *d *d w + *d (w  w ) +
*
*
(w  *d w) +
-
*
*
(w 
( *d w  w) -
*
(w  w ))
*
(
(w  w )  w )
*
, (12.2.2)
y el producto exterior se puede escribir en términos de formas diferenciales y generadores
del grupo,
w  w = w[am wnb ]Ea Ebdx m  dx n ,
*
(12.2.3)
(w  w ) = 12 emnkl wa m wbn Ea Ebdx k  dx l
,
(12.2.4)
*
w  (w  w ) = 21 emnkl wrc wa m wbn Ec Ea Ebdx r  dx k  dx l .
(12.2.5)
El término cúbico, que es el responsable de la energía de autointeracción, es
*
a
é w  * (w  w ) - * (w  w )  w ù = d ra wc wa m wbn [E , E E ]
c
a b
mn r
êë
úû
= wrc wa r wba éëEc , [Ea , Eb ]ùû
(12.2.6)
y los términos con derivadas son
*
d w = 21 e mn kl ¶[ m wna ]Eadx k  dx l ,
d *d w = 2
1
-g
estkl ¶r
*
(
(12.2.7)
)
-gg smg tn ¶[ m wn ] Eadx r  dx k  dx l ,
d (w  w ) = 2 1.g emnkl ¶r
(
)
-g wa m wbn Ea Ebdx r  dx k  dx l ,
w  *d w = 12 estklg smg tn wra ¶[ m wbn ]Ea Ebdx r dx k dx l .
(12.2.8)
(12.2.9)
(12.2.10)
La ecuación se puede escribir en términos de la métrica del espacio tiempo g y las
componentes de la conexión referidas a bases en el álgebra de formas diferenciales y en
el álgebra de Lie. La traza de productos de la base del álgebra de Lie introduce la
métrica de Cartan-Killing [4],
1
4
trEd Ea = gda
(12.2.11)
El Substrato y su Interpretación Física
141
y los conmutadores en las expresiones introducen las constantes de estructura,
1
4
trEd [Ea , Eb ] = 41 tr cabn Ed En = cabd ,
(12.2.12)
1
4
tr Ed éëEc , [Ea , Eb ]ùû = 41 tr cab mccmn Ed E n = cabnccmd g mn .
(12.2.13)
Finalmente, indicando dos métricas por g y g, las ecuaciones de campo se convierten en
wrc wa r wbacabnccmd g mn +
+
cabd
-g
é¶
êë r
(
2
¶r
-g
(
)
-gg rmg an ¶[ m wn ]d +
)
-g wa r wba + 2g an wa m ¶[ m wnb ] ùú = 4paJ da .
û
(12.2.14)
12.3. Una Solución de Substrato.
12.3.1. La Conexión del Substrato.
Las ecuaciones ilineales de la teoría son aplicables a un sistema físico aislado en
interacción consigo mismo. Es claro que las ecuaciones deben ser expresadas en términos
de componentes con respecto a un sistema arbitrario de referencia. Una poliada de
referencia adaptada a un observador arbitrario introduce campos arbitrarios que no
contienen información relacionada con el sistema físico en cuestión. La única poliada
no arbitraria es la definida por el mismo sistema físico.
Cualquier excitación debe asociarse a un substrato definido. Una observación
arbitraria de una propiedad de la excitación depende de ambos elementos, la excitación
y el substrato, pero el observador físico debe ser el mismo para ambos, la excitación y
el substrato. Podemos usar la libertad para escoger un sistema referencial para referir la
excitación a la poliada física definida por su propio substrato.
Hemos escogido la 3-forma densidad de corriente J que sea
J m = ek aˆ uamˆ e ,
(12.3.1)
en términos de la poliada espinorial material e y la tétrada ortonormal espacio temporal
u.
Como seleccionamos que el substrato se refiera a sí mismo, la poliada local material
del substrato e b, referida a e r se convierte en la identidad del grupo I. En realidad esto
generaliza las coordenadas comóviles (coordenadas adaptadas a las geodésicas de un
polvo material) [5]. Escogemos estas coordenadas adaptadas a las poliadas materiales
locales del substrato porque ellas son las únicas poliadas no arbitrarias, como lo son las
142
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 12
coordenadas comóviles. Si la poliada e se convierte en la identidad I, la densidad de
corriente del substrato se convierte en una constante. La comparación de un objeto
consigo mismo nos da información trivial. Por ejemplo, la materia libre o un observador
están siempre en reposo con respecto a sí mismos, no hay velocidades ni aceleraciones
ni autofuerzas, etc. En los sistemas propios todos estos efectos desaparecen. Solamente
quedan los términos de autoenergía, determinados por la ilinealidad, que tienen sentido
y deben ser la causa del parámetro de masa constante.
A una distancia pequeña l, característica de las excitaciones, ambos elementos del
substrato, conexión y poliada, parecen simétricos independientes del espacio tiempo.
Debemos recordar que el espacio tiempo M es, matemáticamente, un espacio localmente
simétrico [6] o variedad hiperbólica [7]. Reconocemos que estas son las condiciones
para que el substrato admita localmente la existencia de un conjunto maximal de vectores
de Killing [8] que determinen la simetría espacio temporal de la conexión (y curvatura).
Esto significa que, en el substrato, hay coordenadas de Killing tales que la conexión es
constante pero no nula en la pequeña región determinante para las propiedades de la
excitación. Una conexión nula no satisface la ecuación de campo. Las excitaciones
siempre se pueden tomar alrededor de una conexión simétrica que no se anule.
En particular, la ecuación admite una solución local de conexión constante no nula.
Esta sería la conexión determinada por un observador en reposo con la poliada material.
Está claro que esta solución es trivial pero como la conexión tiene unidades de distancia
inversa, o masa, esto realmente introduce distancias fundamentales en la teoría.
Adicionalmente, una solución constante no nula le asigna un parámetro constante de
masa desnuda a una excitación de partícula y puede permitir el cálculo de masas
fundamentales m relacionadas con la conexión y la energía en función de la constante
adimensional de acoplamiento a. Por lo tanto deseamos hallar una solución constante
para la ecuación ilineal, que llamaremos la solución trivial de substrato.
Primero miramos el lado izquierdo de la ecuación de campo y notamos que, para una
forma de conexión constante w y una métrica plana, la expresión se reduce al producto
triple de w consigo misma, el cual se puede poner en forma de un polinomio en las
componentes de w. Este polinomio cúbico representa una autointeracción del campo de
conexión ya que también puede considerarse como una fuente para el operador
diferencial.
En vez de trabajar con todo el grupo G, primero restringimos el grupo al subgrupo de
10 dimensiones Sp(4,). Adicionalmente, deseamos investigar la parte sin gravitación
de la conexión. Así que limitaremos las componentes de la conexión al subespacio de
Minkowski definido por el subconjunto ortonormal. Esto es posible porque si la conexión
es impar, también lo es el producto triple dando una corriente impar como se requiere.
Usando las relaciones,
1
4
tr kakb = -hab ,
(12.3.2)
El Substrato y su Interpretación Física
1
4
1
4
143
tr kd éêkc , éëka , kb ùû ùú =
ë
û
1
4 tr (kd kcka kb - kd kckb ka - kd ka kb kc + kd kb ka kc ) ,
tr kd éêkc éëka , kb ùû ùú = 4 (hdb hca - hda hcb ) ,
ë
û
(12.3.3)
(12.3.4)
se obtiene la expresión,
-1
4
(
)
(
ˆ
ˆ
tr kdˆ wmgˆ w am
w bl éêkgˆ , éêkaˆ , kbˆ ùú ùú = -4 wmaˆ wamˆ wblˆ - wmaˆ wbmˆ walˆ
ûû
ë ë
)
.
(12.3.5)
Ahora consideremos el lado derecho de la ecuación de campo. La poliada material e
n
referida a sí misma es la identidad y la tétrada espacio temporal u es d m . Así la ecuación
diferencial ilineal se reduce a una ecuación polinomial que puede tener soluciones
constantes para las componentes de w,
-wmaˆ wamˆ wblˆ + wmaˆ wbmˆ walˆ = padblˆ .
(12.3.6)
Las incógnitas de w se pueden indicar por cuatro 1-formas w, una para cada uno de los
cuatro elementos de k. Supongamos que una de las formas sea temporal y las otras tres
sean espaciales. Como tenemos libertad de escoger las coordenadas en el espacio
base, escogemos la coordenada temporal adaptada a la forma temporal. Similarmente
escojamos la coordenada x adaptada a la componente ortogonal de una de las formas
espaciales, con respecto a la forma temporal. Como en el procedimiento de
ortogonalización de Schmidt, escojamos la coordenada y adaptada a la componente
ortogonal de una segunda forma espacial, con respecto al plano t, x. En la misma manera,
escojamos la coordenada z adaptada a la componente ortonormal de la última forma y
escribamos las cuatro formas como sigue,
w0mˆ = éêëw00ˆ
0 0 0 ùúû ,
(12.3.7)
w1mˆ = éêë w10ˆ
w11ˆ 0 0 ùúû ,
(12.3.8)
w2mˆ = éêëw 20ˆ
w21ˆ
w 22ˆ
0 ùúû ,
w3mˆ = éêë w30ˆ
w31ˆ
w32ˆ
w33ˆ ùúû .
(12.3.9)
(12.3.10)
Escribamos ahora la ecuación para la componente 3 de la 1-forma 0 y notemos que
como las componentes terceras son cero, excepto para la 1-form 3, esta ecuación implica
que
144
GEOMETRÍA FÍSICA
ˆ
wm3 w0mˆ w33ˆ = 0 ,
ˆ
wm3 w0m = 0 .
Capítulo 12
(12.3.11)
(12.3.12)
Usando esta relación de ortogonalidad, escribamos ahora la ecuación para la
componente 2 de la misma 1-forma y notemos de nuevo que, como hay componentes
nulas, debemos tener también,
ˆ
wm2 w0mˆ w22ˆ = 0 ,
ˆ
wm2 w0mˆ = 0
(12.3.13)
(12.3.14)
y similarmente obtenemos,
ˆ
wm1 w0mˆ = 0 .
(12.3.15)
Tomando ahora las otras ecuaciones para la 1-forma 1 y entonces la ecuación para la 1forma 3, obtenemos de la misma manera,
ˆ
wm3 w1mˆ = 0 ,
ˆ
wm2 w1mˆ = 0 ,
ˆ
wm3 w 2mˆ = 0 .
(12.3.16)
(12.3.17)
(12.3.18)
Debido a esta ortogonalidad de las cuatro 1-formas, nos damos cuenta que solo
quedan cuatro componentes desconocidas que indicaremos por T, X, Y, Z, y las
ecuaciones se convierten en
-(X 2 +Y 2 + Z 2 )T = pa ,
(12.3.19)
-(Y 2 + Z 2 +T 2 ) X = pa ,
(12.3.20)
-(Z 2 + X 2 +T 2 )Y = pa ,
(12.3.21)
-(X 2 +Y 2 +T 2 )Z = pa .
(12.3.22)
Notemos que estas ecuaciones son todas esencialmente la misma y que una conexión
El Substrato y su Interpretación Física
145
nula no es solución. Hay una solución homogénea isótropa única, proporcional a la
corriente, que llamaremos la solución trivial. Una transformación de Lorentz determina una
solución equivalente. Escogemos el nombre de substrato para esta clase de equivalencia de
soluciones bajo SO(3,1). Existe otra solución constante que depende de un elemento
algebraico no inercial [9]. Como no hay una dirección preferida, la conexión trivial no
debe distinguir entre T, X, Y, Z y las componentes w deben ser proporcionales a la
identidad I. En este caso las cuatro ecuaciones se reducen a una sola para una única
incógnita, como sigue,
-3T 3 = pa º -3mg3 ,
(12.3.23)
que determina la constante positiva m g, con unidades de distancia inversa, en términos
de la constante adimensional de estructura fina. En otras palabras, junto con la carga
fundamental tenemos una masa fundamental o distancia fundamental determinada por un
término de la conexión. Podemos escribir la expresión para la conexión, en este sistema
de referencia, en términos de las bases de 1-formas y las del álgebra de Clifford,
w = -mgdx aˆ kaˆ
(12.3.24)
y en un sistema arbitrario de referencia, en términos de la forma de corriente J,
w = e -1 (-m gdx aˆ kaˆ )e + e -1de = -mgJ + e -1de .
(12.3.25)
La conexión trivial es esencialmente proporcional a la corriente, módulo un
automorfismo. Debe apuntarse que, en la expresión para w, el término que contiene la
corriente J es la forma tensorial potencial L usada en el capítulo 9 en la definición de
masa. Su substracción de w da un objeto, e -1de, que transforma como una conexión
inercial.
Es conveniente introducir un parámetro M determinado por la definición de masa
partiendo de la energía de interacción J.G [10] presentada en el capítulo 9. La forma
tensorial L valuada en el álgebra sl(4,) se puede expresar como
L=
-M
J .
4
(12.3.26)
Usando esta expresión el parámetro de masa calculado correspondiente a esta solución
de substrato es
æ
æ -M -1 ÷öö÷
m = 41 tr (J m Gm ) = 41 tr (J mLm ) = 41 tr çç(e -1k me )çç
e kme ÷÷÷÷
çè 4
çè
øø
= 41 tr (M I ) = M = 4mg .
(12.3.27)
GEOMETRÍA FÍSICA
146
Capítulo 12
12.3.2. La Curvatura del Substrato.
La forma de curvatura se puede calcular en el sistema especial de referencia,
W = w  w = mg2J  J =
1
2
aˆ
bˆ
M dx  dx k[ aˆ kbˆ ] ,
16
(12.3.28)
que es una expresión tensorial y por lo tanto covariante, válida en todo sistema de
referencia. La curvatura es independiente del término e -1 de de acuerdo con la
interpretación de este término como un efecto inercial [11].
La solución de substrato determina, en el espacio tiempo, una métrica plana h y la
forma de curvatura par W de una conexión que no es métrica. El conjunto ortonormal k
define un conjunto equivalente usando una tétrada ortonormal u asociada a g, la métrica
del espacio tiempo en coordenadas arbitrarias. Un tensor de curvatura so(3,1) se obtiene de
la forma valuada en el álgebra par sl(2,) usando el homomorphism correspondiente a la ec.
(4.2.7)
W bamn = -41 tr (kaWmn k b + Wmn ka k b )
(12.3.29)
que se reduce a
Wbamn =
(
)
1
2
M tr ka éêkb , éêkm , kn ùú ùú .
ûû
ë ë
64
(12.3.30)
Por lo tanto, el tensor de curvatura de la solución de substrato se escribe
W bamn =
1 2 b
M d[ mg n ]a
2
(12.3.31)
mostrando la naturaleza hiperbólica de la solución. La constante M determina el
parámetro de curvatura. El espacio tiempo correspondiente es conformalmente plano.
Se conoce que un espacio conformalmente plano tiene, aparte de su métrica regular,
una métrica plana asociada. El tensor de curvatura contraído es
Wan =
3 2
M g an .
4
(12.3.32)
Si cambiamos a otro sistema de referencia por una transformación de grupo que no preserve
la parte par obtenemos un punto de vista diferente, con efectos gravitacionales. En particular, la
conexión w adquiere una componente riemanniana al realizar una rotación interna generada por
k0. Si el ángulo de rotación es p/4 se obtiene
exp (- p4 k0 )ki exp ( p4 k0 ) = exp (- p2 k0 ) k1 = -k0ki .
(12.3.33)
La curvatura par del substrato se transforma, por esta rotación k0, a una curvatura con
El Substrato y su Interpretación Física
147
partes par e impar
W¢ =
1 2 0ˆ
1
2
+
aˆ
aˆ
bˆ
M dx  dx kaˆ +
M dx  dx k[aˆ kbˆ ] º W ¢ + W ¢ .
8
16
(12.3.34)
12.3.3. Relación con el Límite Newtoniano.
La solución de substrato es compatible con la ecuación de energía (5.2.1) y
precisamente suministra la curvatura hiperbólica simétrica necesaria para obtener el
límite newtoniano correcto. Las componentes proyectadas en las hipersuperficies
ortogonales a la dirección temporal tienen el límite newtoniano especificado en la
sección 5.4,
3
lim Wan = - M 2 lim han e 2 = 0 .
e 0
e 0
4
(12.3.35)
Al establecer este límite, para cualquier solución de conexión G, siempre podemos
definir una nueva conexión substrayendo la forma tensorial potencial L correspondiente
a la solución de substrato,

æ -M ö÷
G º G - L = G - çç
J
çè 4 ÷÷ø .
(12.3.36)
La curvatura par o componente so(3,1) de la curvatura se puede separar en una parte de
s
substrato W, determinada por la ec. (12.3.32) en términos de la nueva métrica, el tensor de
Riemann de la nueva conexión y una parte complementaria irriemanniana determinada
solamente por la conexión impar total,
a
a
R abkl = nWbkl
+ Rbkl
+ sW abkl .
n
(12.3.37)
La ecuación de Einstein (5.2.22) se puede escribir
Grm = 8p
3
3

 Qrm º 8pGTrm
Qrm = 8p
2
R
3M + nW + R
n
(12.3.38)
donde la expresión de la energía impulso gravitacional, ecuación (5.2.20), es
g

  ù
1 éê nR æç  R ö÷
g rm ÷÷ + 2C kmlr Rkl ú .
Q=
ç
ú
8 p êëê 3 çè
4 ÷ø
úû
(12.3.39)
La única contribución de la curvatura irriemanniana debida al substrato es a través del
n
escalar R. Todas las demás contribuciones de esta curvatura conformalmente plana se
148
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 12
cancelan entre sí.
Sabemos que la teoría de Newton es una teoría gravitacional pura y suponemos que la
nueva conexión es estrictamente gravitacional cuando se aproxima el límite. Como se discutió
en la sección 5.4, es necesario hacer las hipótesis usuales de regularidad del tensor
energía impulso de la materia. Cuando tomamos el límite newtoniano de la ecuación de
Einstein generalizada (5.2.22), la curvatura del subespacio tridimensional se anula como se
muestra en la ec. (4.4) del apéndice F. Entonces, la única componente del tensor de Riemann
que sobrevive satisface la ecuación de Poisson (5.4.6)
æ 3Q ˆ ˆ ö
æ
ö÷

3Q00ˆ ˆ
8p
÷ .


R00 =
lim ççç n 00 ÷÷÷ = 4p lim ççç s
e0 è W + nW + R ÷
÷ø
2 e0 è R ÷ø
(12.3.40)
Si en el límite newtoniano nos acercamos simultaneamente a la solución de substrato trivial, R
n
s
n
y W son despreciables, en el límite, con respecto a W. El límite de R es
a
a
s a
bk ù
lim nR = lim ( nR abkag bk ) = lim éê( nWbk
a + Rbka + W bka ) g
úû
e 0
e 0
e 0 ë
é
é 3M 2
ù 3M 2
æ h bk öù
= lim ê
g bkg bk ú =
lim êê1 + e 2hbk çç 2 ÷÷÷úú = 3M 2 .
ú
e 0 ê
çè e ÷ø
4 e 0 ë
ë 4
û
û
(12.3.41)
La expresión para la densidad de energía newtoniana, ec. (5.4.10), se puede escribir
entonces en la forma que sigue:
æ Q ˆ ˆ ö 4p
¶a ¶ a j = 4p lim çç 002 ÷÷÷ = 2 lim Q00 = 4pG r .
e0 ç
è M ÷ø M e0
(12.3.42)
En el límite newtoniano las densidades geométrica y clásica están relacionadas por las
constantes M y G. Si los campos irriemannianos de conexión impar contribuyen al escalar
n
de curvatura R, el parámetro G sería variable, disminuyendo con la intensidad de los campos. Este efecto puede interpretarse como la presencia de materia oscura.
12.3.4. Significación Física del Substrato.
En el substrato hay un campo escalar fundamental de energía de interacción caracterizado
por el parámetro constante de masa M, correspondiente a la definición de masa partiendo de J
y w, usando la métrica de Cartan-Killing Cg en la representación definitoria. Este campo escalar
de energía es el dual del campo de una 4-forma densidad w *J también caracterizado por M. El
j
campo tensorial de densidad de energía impulso Q de la corriente está también relacionado con
J y w en el substrato. Esencialmente los objetos geométricos en el substrato son determinados
por estas dos formas valuadas en A: la 3-forma de corriente *J y la 1-forma de conexión w. Estas
formas son constantes en el substrato.
El Substrato y su Interpretación Física
149
Como la métrica de Cartan-Killing depende de la representación particular [4], el parámetro
fundamental de masa que caracteriza al substrato se determina módulo una constante de
normalización dependiente de la representación. Para una representación (A) el parámetro de
masa es, con la normalización que estamos usando,
m=
tr J m G m
tr I
=
tr J m G m
tr (-k 0k0 )
=
=
tr ( (J ) (G ))
tr (- (k0 )  (k0 ))
tr ( (J ) (G ))
N  tr  (I )
=
tr ( (J ) (G ))
N d 
(12.3.43)
en función de la dimensión d y una constante N, ambas relacionadas con la representación .
Aparte de la representación definitoria, tenemos que considerar las representaciones inducidas [12] necesarias para caracterizar excitaciones de partículas. En el próximo capitulo discutiremos estas representaciones inducidas en mayor detalle. El valor del parámetro de masa en
estas representaciones difiere del valor M obtenido en la representación definitoria. Un parámetro
físico fundamental de masa de Dirac, asociado a una representación inducida particular, debe
estar relacionado por una constante con el parámetro escalar de energía de interacción M,
m=M
N
.
(12.3.44)
Para hallar esta constante N es suficiente calcular el producto de Cartan-Killing para un
generador en ambas representaciones [4]. La constante, que relaciona los parámetros entre la
representación matricial definitoria y la representación inducida, es matemáticamente un número indeterminado porque depende del cociente de integrales de valor infinito en los espacios
cocientes simétricos incompactos involucrados en la métrica de Cartan-Killing en la
representación inducida. La relación del campo tensorial geométrico de densidad de energía
impulso Q con la densidad física estándar r, expresada por la ecuación (12.3.42), obtenida del
límite newtoniano, suministra una determinación física de esta constante indeterminada. En
-2
otras palabras, es posible igualar M al valor de la constante gravitacional y m al valor de una
masa fundamental de partícula sin contradicciones. Físicamente consideramos que el substrato
suministra dos escalas conceptualmente relacionadas de masa: en la representación fundamental determina el parámetro gravitacional G que caracteriza una escala macroscópica de masa y en
la representación inducida determina la masa m de una partícula fundamental que caracteriza
una escala microscópica de masa .
Hemos visto que para una solución gravitacional esférica pura, la masa de Schwarzschild
n
 es la integral de la densidad de energía usando este acoplamiento R/3, como se muestra en
la ecuación (5.3.3). Esta masa  determina las geodésicas de la geometría de Schwarzschild y
el movimiento de partículas sin el conocimiento explícito de un parámetro G. En principio,
relaciones similares deben existir para otras soluciones.
GEOMETRÍA FÍSICA
150
Capítulo 12
La curvatura riemanniana asociada a la parte par en la ecuación (12.3.34) puede corresponder
a un espacio tridimensional simétrico que fue usado por Einstein en aplicaciones cosmológicas.
Desde este punto de vista gravitacional cosmológico, la variedad espacial tridimensional es un
espacio simétrico S3, H3 o R3. Suponiendo la simetría S3, Einstein [13] derivó una relación entre
la masa total M, el radio del universo R y el parámetro gravitacional. Uniendo estos resultados
obtenemos un estimado para el parámetro de masa M del substrato, que representa la densidad
lineal radial de masa,
M = 2M
pR
.
(12.3.45)
n
En soluciones cercanas al límite newtoniano, el escalar R/3 debe tener un valor cercano a
la constante G que sería el valor exacto en este límite. La introducción de un parámetro
gravitacional relacionado con la energía de interacción del substrato modifica la ecuación
de Einstein por un factor que puede interpretarse como un incremento (o decremento)
“aparente” del tensor de energía impulso. El tensor de Einstein se puede escribir,
G rm =
8 pQrm
Qrm
.
G
=
8
p


 
1 +G ( nW + R) 3
M 2 + ( nW + R) 3
(12.3.46)
Por lo tanto, la densidad de energía de interacción del substrato se relaciona con la masa en
diferentes contextos. En particular la energía determina lo siguiente: 1- el parámetro de masa de
partículas de Dirac m, en representaciones correspondientes; 2- el parámetro de masa gravitacional  de la de métrica de Schwarzschild; 3- el parámetro gravitacional G. El concepto
macroscópico de masa gravitacional activa es consistente con el concepto microscópico de
masa inercial.
También es consistente el uso del substrato como vacío cuántico. Para mostrar esto es
conveniente evaluar otros términos de energía relacionados con la solución de substrato.
El tensor de energía impulso depende cuadráticamente de la curvatura del substrato. Usando
la ec.(12.3.31) obtenemos que el tensor de energía impulso de la curvatura es
1
Q = Wabrn W abm n - g rmW abklWabkl = 0 .
4
c
(12.3.47)
Similarmente, el tensor de energía impulso de la corriente es
j
Qmr = -
a é -1
tr e k( mr ) e - 41 g mre -1kl l e ùúû
4 êë
aM é
=tr êëk( mkr ) + g mr ùúû = 0 .
16
(12.3.48)
Por lo tanto, la solución de substrato, que tiene una energía de interacción G.J, establece un
El Substrato y su Interpretación Física
151
nivel cero para las energías internas de su geometría y de su fuente material.
La ecuación (12.3.46) puede ser responsable de efectos anómalos achacados a materia
y energía oscuras, Si un cuerpo de masa M produce la métrica cosmológica de Friedmann
d t = dt -a (t )(d c + S (d q + sin qd f
2
2
2
2
2
2
2
))
ïìï k = 1 S = sin c
ï
S =c
í k =0
ïï
ïïîk = -1 S = sinh c
(12.3.49)
podría determinar un tensor aparente de energía impulso que se puede escribir, usando un
resultado bien conocido [14] para su escalar de curvatura R y despreciando W, de la forma
Trm =
Qrm
Qrm
=
.
æa 2 + k aö÷
1 +GR
3 1 - 2G çç 2 + ÷÷
çè a
a ø÷
(12.3.50)
Claro está que las nuevas soluciones para el radio a del universo, usando los diferentes
tensores de energía impulso conocidos, difieren de las soluciones conocidas.
Si k y ä son cero, usando las ec. (12.3.50) la velocidad newtoniana de una partícula
rotante bajo este campo estaría determinada [15] por la relación
v2 =
(
MG
r 1 - 2G (a a )
2
)
=
v02
1 - 2G (a a )
2
,
(12.3.51)
donde v0 sería la velocidad de la partícula si la velocidad de la métrica de Friemann fuese
cero. Este efecto puramente geométrico aumenta la velocidad rotacional aparente. No es
necesario achacar este efecto, que correspondería a la medición de velocidades anómalas
de las galaxias rotantes, a la presencia de una “materia oscura”.
12.4. Ecuación General de Movimiento.
Usando la nueva conexión definida por la ecuación (12.3.36), pero en representaciones
inducidas, la ecuación de movimiento muestra explícitamente un término dependiente de
la masa de substrato, necesario en la ecuación de Dirac

æ
æ -m ÷öö÷
k m me = k m (¶ me -e 0G m ) = k m çç¶ me -eG m -e çç
J
çè 4 m ÷ø÷÷ø÷
çè

= k m me - me = 0
(12.4.1)
152
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 12
y las ecuaciones para las partes par e impar de un sistema G son, partiendo de la
expresión correspondiente en la sección 3.4,



s m ( ¶ m x - xG+ m ) º s m m x = s m h †G-m - m h ,
(12.4.2)



-s m ( ¶ m h - hG+ m ) º -s m m h = s m x †G-m - m x .
(12.4.3)
Debemos indicar aquí que la presencia de s en la ecuación impar determina signos inusuales
importantes en el acoplamiento electromagnético.
Designemos ahora diferentes vectores potenciales en la nueva conexión con la

+
siguiente notación: Ai es la parte par del sector SU(2) Q de la conexión, G (Q ) , y

corresponde al potencial electromagnético; A es la parte impar complementaria en el
mismo sector ; G es, en esta sección, el sector SL(2,) de la conexión que determina una
derivada covariante por el subgrupo L;  es la parte complementaria. Ambas A y 
son matrices complejas, respectivamente proporcionales a la identidad y a las matrices de
Pauli, a lo largo de la direccion impar k 0. La primera ecuación se puede escribir como
s m (¶m x - i +Am x - xGm ) = s m -Am h † + s m h † ¡m - m h .
(12.4.4)
Insertando la unidad -i 2 en el lado izquierdo de esta ecuación
-s m (i¶m (i x ) + +Am (i x ) - (i x )(iGm )) = s m -Am h † + s m h † ¡m - m h .
(12.4.5)
Las partes impar y par, x y h, son elementos de sl(2,) y sl(2,)Åu(1) respectivamente. La
componente u(1) contribuye con una fase común que debe despreciarse. Por lo tanto, la
conjugación da
h = -h ,
(12.4.6)
x = -x
(12.4.7)
y se obtiene
s m (im + +Am )(i x ) = s m -Am h † + s m h † ¡m + m h .
(12.4.8)
Similarmente se tiene para la segunda ecuación después de multiplicar por i
-s m (i¶m h + +Am h - h (iGm )) = s m -Am (i x † ) + s m (i x † ) ¡m - m (i x ) , (12.4.9)
s m (im + +Am )(h ) = s m -Am (i x † ) + s m (i x † ) ¡m + m (i x ) .
Si definimos
(12.4.10)
El Substrato y su Interpretación Física
153
jº
1
2
(h + i x )
,
(12.4.11)
cº
1
2
(h - i x )
,
(12.4.12)
podemos sumar y restar las ecuaciones par e impar y escribir las ecuaciones generalizadas de
Dirac en la siguiente forma
(i0 +
A0 )j - s m (im + +Am ) c = -A0 c† + s m -Am j † +
+
+ c† ¡0 + s m j †¡m + mj ,
(i0 +
(12.4.13)
A0 ) c - s m (im + +Am )j = - -A0 j † - s m -Am c† +
+
- j † ¡0 - s m c† ¡m - m c .
(12.4.14)
12.5. Substrato General.
Un análisis similar al de la sección 3 se puede hacer para el caso general sin restringir
al subgrupo Sp(4,). Queremos una solución sin gravitación, de modo que tomamos la
conexión trivial solamente en términos de los nueve generadores del espacio cociente G/
L,
aˆ k5kaˆ + +wk5 = wa Ea + +wk5 ,
w = w aˆ kaˆ + w
(12.5.1)
donde los puntos encima de w indican el número de matrices k en el generador
correspondiente.Por conveniencia, indicamos los ocho generadores del espacio K por E a.
Si restringimos los índices latinos de los generadores del 1 al 9 en la ecuación (12.2.6),
podemos escribir el producto triple de la conexión, indicado aquí por X, en la siguiente
forma,
X a = wmc wbm waa éëEc , [Eb , Ea ]ùû + wmc wbm +w a éëEc , [Eb , k5 ]ùû
+ wmc +w m waa éëEc , [k5 , Ea ]ùû + wmc +w m +w a éëEc , [k5 , k5 ]ùû
+ +w m wbm waa éëk5 , [Eb , Ea ]ùû + +w m wbm +w a éëk5 , [Eb , k5 ]ùû
+ +w m +w m waa éëk5 , [k5 , Ea ]ùû + +w m +w m +w a éëk5 , [k5 , k5 ]ùû .
(12.5.2)
El subespacio vectorial impar total de sl(4,), subtendido por ka y k5ka, es isomórfo a
K k, el espacio tangente del cociente simétrico K en un punto k. El espacio del cociente
GEOMETRÍA FÍSICA
154
Capítulo 12
simétrico K tiene una estructura compleja, como se muestra en la sección 13.3.2, que nos
permite definir una métrica compleja en su espacio tangente usando la métrica de CartanKilling. De esta manera, el subespacio vectorial impar total de sl(4,) puede considerarse
como un espacio complejo de Minkowski con métrica h,
gCC (X ,Y ) º gC (X * ,Y ) = -h (X * ,Y ) .
(12.5.3)
En general, estamos realmente interesados en la clase de equivalencia de posibles
conexiones complejas de substrato. Esta clase de conexiones se genera por la acción
simétrica del grupo U(1) asociado al generador k5 extendiendo, de esta manera, el espacio
del substrato al espacio complejo KkÅk5. Tomando en cuenta la base del espacio Kk formada
por el conjunto ortonormal ka sobre los números complejos, la ecuación para la corriente
geométrica compleja total, incluyendo las componentes real e imaginaria, es
X l = paJ l = pae if kl ,
(12.5.4)
que es diferente de la ecuacion real (12.3.6) pero se reduce a ella cuando f es cero. Podemos
también considerar excitaciones alrededor de la solución de conexión de substrato 2w. La
representación completa de 2w estaría formada por una combinación de un elemento algebraico
w y su conjugado de Clifford, como se indica en la sección A.3. La ecuación de esta excitación
de la conexión determinaría una excitación bosónica masiva relacionada con un par conjugado
de excitaciones.
Como el generador k5 conmuta con el sector par y genera la estructura compleja, la eq.
(12.5.2) se convierte en
X a = wmc wbm waa éëEc ,[Eb , Ea ]ùû + 2wmc wbm +w a k5 {Ec , Eb }
- 2wmc +w m waak5 {Ec , Ea } + +w m wbm +w a Eb - +w m +w m waaEa .
(12.5.5)
Podemos usar la estructura compleja de K para tomar w como una función compleja y los
generadores como ka,
X a = wmc wbm waa éëkc , [kb , ka ]ùû - 4 wmc wbm +w a k5 hcb
+ 4 wmc +w m waak5 hca + 4 +w m wbm +w a kb - 4 +w m +w m waaka .
(12.5.6)
Finalmente, evaluamos las componentes en el término X,
-1
4
tr kd X a = -41 tr kd (wmc wbm waa éëkc , [kb , ka ]ùû + +w m wbm +w a kb - +w m +w m w aaka )
Xda = -4 (wmc * wcm wda - wmc *wdm wca ) - 4 ( +w m +w m wda - +w m wdm +w a ) .
y escribimos la ecuación de campo en la siguiente forma,
(12.5.7)
El Substrato y su Interpretación Física
((w
c*
m
155
wcm wda - wmc *wdm wca ) + ( +w m +w m wda - +w m wdm +w a )) kd
+ (wmc *wcm +w a - wmc * +w m wca ) k5 = -paJ a .
(12.5.8)
Si suponemos que la componente par de la conexión +w es cero obtenemos
-(wmc * wcm wdl - wmc *wdm wcl ) = pae if ddl
(12.5.9)
y la solución compleja impar de substrato es
w  = -mge if kaˆdx aˆ º -mg (cos f  k5ˆ sin f) kaˆdx aˆ = waˆ dx aˆ
(12.5.10)
con el mismo valor constante mg dado por la ec. (12.3.23),
(
mg = pa
3)
13
=
M
4
.
(12.5.11)
Por lo tanto la parte real es la solución real original.
Podemos representar las conexiones complejas impares w del substrato, dadas por esta
solución, como puntos en el espacio complejo de Minkowski Kk, con módulos iguales. La
energía asociada a la solución es
J w = h (J * ⋅ w  ) = -gC (J * ⋅ w  ) = -gC (J  ⋅ w  )
ö
1 æM
= - tr çç
kaˆ k aˆ )÷÷÷ = M .
(
4 çè 4
ø
(12.5.12)
Los puntos definen vectores complejos -q+,
- +
a
q = ka + ik5ka º
¶
¶
¶
+i a = a
a
¶x
¶y
¶z
(12.5.13)
y sus conjugados complejos -q0, que forman una base en el sector Kk, relacionada con las
coordenadas complejas asociadas za. El par de vectores -q0 junto con el vector determinado
por la conexión estática +w,
+ 3
q = k5 ,
(12.5.14)
suministran una base de quaterniones en un subespacio compacto para el subálgebra
su(2)Q.
Si suponemos que la componente par de la conexión +w no es cero debemos extender la
156
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 12
corriente en concordancia. La parte par de la ec. (12.5.8) es
(wmc*wcm +w a - wmc* +w m wca )k5 = -pa +j k5 .
(12.5.15)
De hecho, una solución arbitraria constante se puede sumar a la solución compleja de
substrato sin cambiar la estructura de la ec. (12.5.8). El valor de la parte impar de esta
ecuación se modifica en presencia de una componente par de acuerdo al témino
Yda = w ( +w 2 dda - +w a +w d )
(12.5.16)
que debe ser cero fuera de la diagonal. Las ecuaciones de campo determinan que solo una
de las componentes de la 1-forma +w puede ser diferente de cero. Esta +w puede ser temporal o espacial y puede ser llamada electrostática o magnetostática. De esta manera,
obtenemos una serie de soluciones de substratos complejos relacionados con diferentes
valores constantes posibles de -w y +w. El módulo de la conexión total w no está dado por
la eq. (12.5.12). Adicionalmente, se puede probar que el módulo de cualqiera de estas
soluciones complejas relacionadas aumenta debido a +w y es mayor que el valor dado por
esta ecuación.
12.6. Resumen.
La ecuación de campo admite soluciones constantes de campos de conexión. En
particular, exhibimos una solución homogénea isótropa constante, que llamamos la
solución de substrato. El valor constante de cualquier componente de la conexión tiene
dimensiones de distancia inversa y fue expresado en función de la constante de
estructura fina a, que es un número puro. Esto introduce una distancia fundamental en
la teoría. Adicionalmente, hemos construido soluciones constantes complejas, en términos
de esta unidad geométrica fundamental, extendiendo las funciones reales del substrato a
funciones complejas.
La expresión para la curvatura constante del substrato muestra que éste es un espacio
simétrico hiperbólico, conformalmente plano. La masa fundamental asociada, en la
representación definitoria, se puede relacionar con la constante gravitacional G. De un
espacio cosmológico de Einstein obtenemos un estimado para el parámetro de masa M en el
substrato.
El escalar de curvatura par W puede considerarse el germen y origen de constantes físicas
relacionadas con el substrato y, en general, juega este papel en soluciones que no sean constantes.
Físicamente consideramos que el substrato suministra dos escalas relacionadas de masas: la
constante gravitacional G caracteriza una escala de masa macroscópica y la masa m de una partícula
fundamental caracteriza una escala de masa microscópica, de acuerdo con las ideas de Mach.
El substrato es el fondo en cuyo derredor están las excitaciones de los campos de
conexión y poliádicos y suministra un mecanismo para asignarles masas constantes. La
ecuación de movimiento se escribe como una ecuación de Dirac en términos de esta masa
constante. En general, el substrato determina las propiedades inerciales de la materia. En este
sentido podemos decir que él representa geométricamente el concepto físico de sistema inercial.
El Substrato y su Interpretación Física
157
Referencias
1 A. O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles (MacMillan,
New York), p. 197 (1964).
2 G. N. Plass, Rev. Mod. Phys., 33, 37 (1962).
3 G. González-Martín, USB prepublicación 96a (1996).
4 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their applications (John Wiley and
Sons, New York), p. 248 (1974).
5 W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Francisco), p. 715 (1973).
6 E. Cartan, Assoc. Avanc. Sc. Lyon, p. 53 (1926)
7 Vea la sección 2.3.
8 A. Trautman, Geometrical Aspects of Gauge Configurations, IFT/4/81, Acta Phys.
Austriaca, Supl. (1981).
9 J. G. González-T., Tesis (Universidad Simón Bolívar, Caracas), p. 45 (1999).
10 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 26, 1177 (1994). Vea el capítulo 9.
11 Vea la sección 9.3.
12 R. Hermann, Lie Groups for Physicists (W. A. Benjamin, New York) (1966).
13 A. Einstein The Meaning of Relativity, 5th ed. (Princeton Univ. Press, Princeton), p. 104
(1956).
14 W. Misner, K. Thorne, J. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Co., San Francisco), p. 715 (1973).
15 G. González-Martín, ArXiv 0910.3380 (2009).
13. COCIENTES DE MASA.
13.1. Introducción.
El proceso dinámico fundamental en la teoría es la acción de la conexión sobre la poliada.
Como la conexión está valuada en el álgebra de Lie de G y la poliada es un elemento del
grupo G, la dinámica se realiza por la acción del grupo sobre sí mismo. La estructura de
fibrado del grupo, (G,K,L), suministra una representación geométrica natural de esta acción
sobre sí mismo. Un subgrupo particular L define un espacio simétrico K, el cociente izquierdo
G/L, el espacio base de este fibrado. El subgrupo L, la fibra del fibrado, actúa sobre sí
mismo por la derecha, y es el grupo de isotropía del cociente K. Los elementos
complementarios del cociente actúan como traslaciones en el espacio simétrico cociente.
Esta interpretación geométrica se puede transformar en una interpretación física si
escogemos que L sea homomorfo al grupo espinorial, SL(2,), relacionado con el grupo
de Lorentz. La acción de L se interpreta entonces como una transformación de Lorentz
(una seudorotación) del espacio externo, el espacio tangente TM a la variedad M del espacio
tiempo físico y define su métrica. La acción del cociente complementario se interpreta
como una traslación en el espacio interno, el mismo cociente simétrico K. Hay entonces
una relación geométrica no trivial entre los espacios interno y externo determinada por la
estructura del álgebra de Clifford de la variedad. El espacio K es la exponenciación del
sector impar del álgebra de Clifford y está relacionado con las copias locales del espacio
tangente TM y su dual el espacio cotangente T*M. Se puede interpretar como un espacio
de impulsos generalizado. Los estados de impulso k corresponderían a los puntos de K.
Se deduce que las excitaciones poliádicas reciben la acción de la conexión y evolucionan
como representaciones de G. El parámetro constante m caracteriza un valor propio de un
operador diferencial , definido por la ecuación de movimiento, que actúa sobre las
excitaciones de de una solución de substrato sobre un espacio tiempo localmente simétrico,
vistos por algún observador definido,
 (d e ) = (k m ¶m + ) d e = md e ,
(13.1.1)

(d e ) ,
m
(13.1.2)
 2 (d e) = m 2d e
(13.1.3)
de=
y por lo tanto m también caracteriza los valores propios de un operador cuadrático  2
sobre el espacio tiempo.
Cocientes de Masa
159
Diferentes observadores medirían diferentes valores de impulso relativo k para una
excitación dada. Una medida para cada k corresponde a una función sobre el espacio de
impulsos. Una excitación abstracta es una clase de equivalencia de estas funciones
bajo el grupo de la relatividad. Como el grupo mismo lleva sus propias representaciones,
la realización de las excitaciones como representaciones definidas en el espacio de
grupo tienen un carácter geométrico fundamental. La acción geométrica del sector K
es una traslación sobre sí mismo y las funciones sobre K son las representaciones
lineales internas que se observan (observables). La acción del sector L es una
transformación de Lorentz y los espinores de sl(2,) son la representación externa
observable. Por estas razones, debemos representar las excitaciones observables
físicamente como clases de funciones sobre el espacio simétrico K valuadas en
espinores. En particular, las realizamos sobre un fibrado vectorial, asociado al fibrado
principal (G,K,L), tomando como fibra a las funciones sobre el espacio simétrico K
valuadas en las representaciones de sl(2,). De hecho, esto es lo que se hace en la
física de partículas cuando se introducen las representaciones del grupo de Poincaré.
En matemáticas estas representaciones se llaman representaciones de SL(4,) inducidas
de SL(2,).
Como se indicó en el capitulo 2 la variedad base, el espacio tiempo M, es una
variedad hiperbólica modelada por K. Dado un observador, las excitaciones en M se
pueden idealizar localmente como funciones en el espacio simétrico K localmente
tangente a M en un punto u en una vecindad U Ì M. Por un momento restrinjamos G a
su subgrupo P de 10 dimensiones. El espacio simétrico tangente modelo es isomorfo
al espacio simétrico hiperbólico P/L que tiene un operador diferencial de LaPlaceBeltrami correspondiente al operador de Casimir  2. Debido al isomorfismo local entre
M y P/L, se puede tomar que  2 corresponde a la imagen de  2 en el espacio tiempo.
Tendríamos entonces que la constante m también caracterizaría los valores propios
de  2 . Es conocido que las representaciones de P inducidas sobre P/L están
caracterizadas por los valores propios de este operador Casimir y por lo tanto, ellas
también estarían caracterizados por m. En general tendríamos que el parámetro m
asociado a una función de excitación (onda) en M, como lo vería un observador
definido, caracteriza una representación inducida de G sobre G/L. Debido a esta relación
puramente geométrica entre  2 y  2 las representaciones inducidas deben jugar un
papel físico significante. Debe quedar claro el origen geométrico de esta conocida
hipótesis de la física de partículas elementales.
Al escoger una representación inducida particular de G sobre G/L y observadores
locales definidos en un entorno de un punto dado de M se determina la función de
excitación (onda). Como tenemos una clase de observadores relativísticamente
equivalentes, realmente tenemos una clase de funciones (de onda) sobre M, una para
cada transformación que vincule observadores válidos. Las secciones del fibrado E
que definen una representación inducida particular tienen como soporte el hiperboloide
de masa en K caracterizado por el valor de la masa en reposo m. Una vez que se escojan
observadores en puntos u en un entorno U en M, correspondientes a puntos k en el
160
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 13
hiperboloide de masa, tenemos funciones (de onda) sobre M con valores definidos de
k(u) en el entorno U. El grupo de isotropía del hiperboloide de masa (el grupo “pequeño”
de Wigner), que deja un punto (impulso) invariante, transforma las funciones (de onda)
sobre el hiperboloide de masa. Si tenemos los fibrados triviales que se usan en la
teoría cuántica estándar, por ejemplo, si M es el espacio plano de Minkowski, P es el
grupo de Poincaré y L es el grupo de Lorentz entonces el cociente P/L  K es un espacio
plano de Minkowski (espacio de impulsos) distinto pero isomorfo a M (espacio tiempo)
y el grupo pequeño sobre el hiperboloide de masa en K es SO(3) o ISO(2). La función
(de onda) se convierte en la función de onda estándar para una partícula, que depende
de un valor definido de k sobre puntos en M.
Debido a los argumentos precedentes, cuando tratemos de calcular los valores físicos
m, correspondientes a excitaciones en un substrato, debemos usar las representaciones
inducidas caracterizadas por m, que son las que representan una excitación geométrica
de impulso definido por funciones (de onda) en el espacio tiempo y que tienen
significado geométrico y físico.
Desde nuestro punto de vista geométrico, hemos indicado [1] que el protón, el
electrón y el neutrino son representaciones de SL(2,) y sus subgrupos, inducidas de
los subgrupos SL 1 (2,) y SL(2,). Esto es una generalización de las partículas como
representaciones del grupo de Poincaré inducidas de su subgrupo de Lorentz. Usando
nuestra definición de masa [2, 3], es posible encontrar una expresión para la masa de
estas excitaciones geométricas y compararlas con el cociente de las masas protónicas
y electrónicas (hay una expresión geométrica no explicada físicamente [4, 5, 6]). Debe
apuntarse que no hay contradicción en este cálculo con las teorías físicas actuales,
que pueden ser consideradas como teorías efectivas derivadas de otras teorías bajo
ciertas condiciones y límites. El grupo de estructura de la teoría, SL(4,), ha sido
usado en un intento de describir propiedades de partículas [7, 8, 9] en otro enfoque.
13.2. Masas Desnudas.
La definición del parámetro de masa m, en términos de una conexión w en el fibrado
principal (E,M,G), fue dada en la representación definitoria fundamental de (SL(4,)
e n t é r m i n o s d e m a t r i c e s 4´ 4, p e r o e n g e n e r a l , s e p u e d e e s c r i b i r e n o t r a s
representaciones usando la métrica de Cartan-Killing Cg, definida por la traza. La
definición de esta métrica se puede extender al álgebra de Clifford A, que es un álgebra
envolvente de las álgebras sl(4,) y sp(4,). El álgebra de Clifford A es una
representación y subálgebra del álgebra envolvente universal U de estas álgebras de
Lie. Hemos normalizado la masa, dentro de una representación fija, por la dimensión del
espacio vectorial que lleva la representación, dada por la traza del representante de la
identidad en A. Podemos escribir la definición del parámetro de masa en cualquier
representación de sl(4,) y sp(4,) y la correspondiente representación del álgebra
envolvente común (A) como
Cocientes de Masa
C
g (J m G m )
tr J m G m
1
m
m = tr J G m =
º
.
C
4
tr I A
g I (A)
(
)
161
(13.2.1)
Se conoce que la métrica de Cartan-Killing depende de la representación, pero usaremos
esta expresión solamente para hallar cocientes dentro de una representación inducida
particular fija del álgebra envolvente.
Si consideramos las excitaciones en el substrato constante que determina la equipartición
de la energía de las excitaciones, esta masa se puede expandir como una perturbación
alrededor del substrato en términos de la única constante de la teoría, el parámetro
pequeño de estructura fina a que caracteriza la excitación,
J = J 0 + aJ 1 + a 2J 2 +  ,
(13.2.2)
G = G 0 + aG 1 + a 2G 2 +  ,
(13.2.3)
m=
1
tr (J 0m G0 m + aJ 1m G0 m + aJ 0m G1m +  (a 2 )) ,
4
(13.2.4)
lo que indica que la aproximación de orden cero, que llamaremos masa desnuda, está
dada enteramente por la corriente y conexión del substrato, con correcciones que
dependen de la autointeracción de las excitaciones.
La variación de J es ortogonal a J. De la misma manera que el módulo de la
cuadrivelocidad es constante en la relatividad y la cuadriaceleración es ortogonal a la
cuadrivelocidad, tenemos en la representación definitoria de matrices de 4 dimensiones,
JG ·JG = e -1kmee -1k me = -4I = J H ·J H = JG¢·JG¢ = J H¢·J H¢ .
(13.2.5)
Esto implica que J 1 es ortogonal a J 0 ,
1
tr (J 1mJ 0 m ) = dJ · J = 0 .
4
(13.2.6)
La corrección de primer orden de la masa es
Dm =
a
a
a
tr (J 1 · G 0 + J 0 · G 1 ) = tr (mgJ 1 · J 0 + J 0 · G 1 ) = tr J 0 · G 1 .(13.2.7)
4
4
4
La ecuación de primer orden para la conexión es lineal,
L (G 1 ) = 4 paJ 1 ,
(13.2.8)
donde L es un operador matricial diferencial lineal. Si tomamos la proyección de esta
162
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 13
ecuación a lo largo de J 0, su fuente se anula y como J 0 es constante,
æa
ö
L çç tr J 0 · G 1 ÷÷÷ = L (Dm ) = 0 .
çè 4
ø
(13.2.9)
Por lo tanto no existen soluciones DM que dependan físicamente de la fuente J. La
única solución física de esta ecuación homogénea, que no sea una solución de un
campo externo, es cuando DM se anula. Por consiguiente la corrección de primer orden
debe ser cero y las correcciones de masa, que dan la masa física teórica partiendo de la
masa desnuda, deben ser del orden de a 2 , o 10 -5 .
Como se indicó en trabajos previos [10], estas correcciones corresponden a una
aproximación geométrica o teoría de campos cuánticos (TCC). En este capítulo nos
limitaremos al término de orden cero que consideramos la masa desnuda de TCC.
El grupo de estructura G es SL(2,) y el subgrupo par G + es SL 1(2,). El subgrupo
L es el subgrupo de G + con determinante real o sea, Sl(2,). Hay otro subgrupo H que
forma la cadena GÉHÉL que es Sp(2,). Los espacios simétricos correspondientes y
sus isomorfismos se discuten en el apéndice B. Trabajaremos con dos cocientes que
designaremos C y K,
Kº
G
SL (4,  )
SO (3, 3)
@
@
,
G+ SL ( 2, ) Ä SO ( 2) SO (3, 1) Ä SO (2)
(13.2.10)
Cº
H Sp (4,  ) SO (3, 2)
@
@
.
L SL (2, ) SO (3, 1)
(13.2.11)
Estos grupos tienen una estructura de fibrado principal sobre los cocientes y ellos
mismos llevan representaciones. La acción geométrica de los generadores de K son
traslaciones en el cociente K. Las funciones en K son las representaciones naturales
internas.
Consideremos las representaciones de SL(2,Q) y Sp(2,Q) inducidas de los subgrupos
SL1(2,C) y SL(2,C) sobre los espacios simétricos SL(2,Q)/SL 1(2,C) y Sp(2,Q)/SL(2,C),
respectivamente. Estas representaciones geométricas inducidas se pueden realizar como
secciones de un fibrado vectorial homogéneo (D, K, D[SL 1 (2,C)], G +) con las
representaciones D de SL1(2,C) como fibra F sobre el cociente [11], como se muestra en la
figura 3. A cada representación inducida de SL(2,Q) en D, corresponde una representación
inducida del álgebra envolvente A de Clifford en D [12]. En adición, la última también
corresponde a una representación del subgrupo Sp(2,Q) en D. En otras palabras, el fibrado
vectorial lleva representaciones correspondientes de A, SL(2,Q) y Sp(2,Q). Estas tres
representaciones son funciones sobre K valuadas en representaciones de SL1(2,C). En
cada punto del espacio base M consideremos el espacio de funciones S de todas las
secciones del fibrado vectorial homogéneo D.
Cocientes de Masa
(L)
s 
163

K
M
(D, K, , L)
(S, M, , G)
Figura 3
Definamos el fibrado vectorial S  (S,M,S,G), asociado el fibrado principal E, con el
espacio de funciones S como fibra. La fibra de S está formada por las representaciones
inducidas de G.
Hay una conexión inducida que actúa, como la representación adjunta de G, en el
fibrado S. La conexión w se representa por una rotación de Lorentz en L y una traslación
en K. La conexión inducida w se puede descomponer en términos de un conjunto de
funciones bases caracterizadas por el parámetro k, las funciones esféricas generalizadas
Y k en el espacio simétrico [13]. Si K fuese compacto, la base de este espacio de funciones
sería discreta, de dimensión infinita d. Las componentes, relativas a esta base estarían
etiquetadas por un numero infinito de índices discretos k. La métrica de Cartan-Killing
en las representaciones inducidas expresa la equipartición de la energía y se tiene
formalmente para el parámetro de masa, en términos de las componentes de G y J
m=
1
¢
tr å J kk¢m G kkm .
4d k ,k ¢
(13.2.12 )
Todos los estados contribuyen igualmente a la masa. Como los espacios en discusión
son realmente incompactos, los índices discretos k que etiquetan las componentes, se
convierten en una variable continua y la sumatoria sobre multiplicación de matrices se
convierte en integración sobre el parámetro continuo k o convolución de funciones J(k),
G(k). Si trabajamos con matrices cuatridimensionales y funciones continuas en el cociente
K, la métrica de Cartan-Killing en A se expresa por la traza y la integración e introduce
un factor de dimensión 4V(KR) para el espacio común de representaciones D, resultando en,
m=
1
tr dk J (k , k 2 ) G (k 2 , k )dk 2 .
4V (AR ) ò ò
(13.2.13)
164
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 13
donde V(AR) es un volumen característico que determina la dimensión de la representación
continua de A. Interpretamos el valor de una función en k como la componente respecto
a las funciones bases Y(kx) del espacio simétrico K, parametrizadas por k, como se
hace usualmente en el espacio plano en términos de una expansión de Fourier. Podemos
decir que hay tantas “traslaciones” como puntos en K. Debe apuntarse que estas
“traslaciones” no forman el bien conocido grupo abeliano de traslaciones.
Una G-conexión en E induce una SO(3,1)-conexión en TM. La acción combinada de
las conexiones, bajo el subgrupo par G +, deja invariante el subconjunto ortonormal k m
[14] y define una relación geométrica de equivalencia relativista R en el subespacio
impar K. Cada elemento del cociente es un elemento k del grupo que corresponde a
una tétrada móvil espacio temporal. Físicamente una clase de equivalencia de tétradas
móviles k se representa, módulo una transformación de SL 1(2,), por una sola tétrada
en reposo, un punto k 0 que corresponde a la masa en reposo m. La descomposición de G y
J es en clases de equivalencias de funciones de estado Y(kx). El número de clases de
funciones Y(kx) (bases independientes), es el volumen de un subespacio K RÌK de clases
(puntos inequivalentes). Las componentes de la corriente y la conexión son funciones
sobre el cociente K. Físicamente, la integral representa la sumatoria del producto
conexión ´ corriente, sobre todos los observadores inequivalentes, representados por
los observadores en reposo.
Existe una solución constante de substrato [15] para las ecuaciones ilineales que
suministra una conexión trivial v al fibrado principal (E,M,G). Esta 1-forma en E
valuada en SL(2,) representa la clase de equivalencia de formas locales de conexión
de la solución de substrato. Para una sección poliádica particular s, que podemos tomar
como origen en el espacio cociente, la expresión local de v es la constante
s *v = -mg kadx a = -mgJ .
(13.2.14 )
Todos los puntos de K o C se pueden alcanzar por la acción de una traslación por k,
restringida al subgrupo correspondiente, desde el origen del cociente. Mientras la
poliada de referencia cambia de s en el origen a sk en el punto k del cociente, la forma
local de conexión cambia
k *s *v = k -1s *v k + k -1dk = -mgJ + k -1dk º L + k -1dk ,
(13.2.15)
que corresponde a la clase de equivalencia de la solución constante v. Todas las k*s*v
corresponden a la misma clase de solución v, vistas en las diferentes poliadas
referenciales del cociente.
En el fibrado principal la conexión constante v se combina con la corriente
constante J para producir un producto constante sobre el cociente mientras la
transformación sea ortogonal a J [16]. Como se indicó anteriormente, la variación de
energía producida por el último término de la ecuación es un efecto inercial debido al
uso de una poliada de referencia arbitraria. El primer término de lado derecho de la
ecuación produce efectos que no son inerciales porque la corriente J es una forma
Cocientes de Masa
165
tensorial que corresponde al potencial del substrato L. Es claro que su substracción
de la conexión, nos da el último término de la ecuación que solo tiene una dependencia
en k, que transforma como una conexión y corresponde a la conexión inercial. La
contribución física a la masa desnuda se calcula referida a la poliada especial s y da,
C
g (s *w ·J ) = C g (J m Lm ) = -mg C g (J mJ m ) ,
(13.2.16)
que define una expresión invariante en G en términos de L, válida en una representación
dada.
Estamos interesados en las representaciones de SL(2,) y Sp(2,) inducidas por
la misma representación de SL 1 (2,) y correspondientes a la misma solución trivial de
substrato. En la representación definitoria de matrices cuatridimensionales, el producto
JJ
JG ·JG = e -1kmee -1k me = -4I = J H ·J H = JG¢·JG¢ = J H¢·J H¢
(13.2.17)
es invariante bajo una transformación SL(2,) en el cociente K y es igual a la identidad
en A para ambos grupos, G y cualquier subgrupo H. Existe una representación de A en
el fibrado S correspondiente a la representación inducida. La invariancia (igualdad)
del producto JJ debe ser válida en cualquier representación de A, aunque el valor del
producto puede diferir de una representación a otra. Para las funciones de las
representaciones inducidas, valuadas en el álgebra sl(2,) (matrices de Pauli), el
producto invariante se convierte en integración sobre la variable k,
òJ
aˆ
m
(k1 , k 2 )k0kaˆJ bmˆ (k 2 , k 3 )k 0k bdk 2 º F (k1 , k 3 ) = F0 =
ˆ
ò J (k ¢, k ¢ )k k J (k ¢ , k ¢ )k k dk ¢
aˆ
m
1
2
0
aˆ
m¢
bˆ
0
2
3
bˆ
2
,
(13.2.18)
que debe ser una matriz 4´4 constante F 0 sobre K, independiente de k 1 y k 3.
La expresión para la masa se convierte en,
m=
mg
tr ò F (k , k )dk
4V (AR ) K R
.
(13.2.19)
El integrando es la misma constante F 0 para ambos grupos, pero el rango de integración
K R difiere. La integración es sobre un subespacio K RÌK de puntos relativísticamente
inequivalentes de K para el grupo G y sobre un subespacio C RÌCÌK para el grupo H.
Las expresiones para las masas correspondientes a excitaciones de G y de H son,
mG =
mH =
Capítulo 13
GEOMETRÍA FÍSICA
166
mg
4V (AR )
mg
4V (AR )
tr ò F (k , k )dk =
KR
tr ò F (k , k )dk =
CR
V (K R )
mg tr (F0 ) ,
4V (AR )
mg
4V (AR )
tr (F0 )V (C R ) =
(13.2.20)
mGV (C R )
V (KR )
.(13.2.21)
Los parámetros de masa desnuda m están relacionados con integraciones en subespacios
cocientes de grupos, dependiendo proporcionalmente de sus volúmenes. En otras
palabras, el cociente de parámetros de masa desnuda para las representaciones de
SL(2,) y Sp(2,), inducidas por la misma representación de SL(2,) como funciones
sobre los espacios K y CÌK debe ser igual al cociente de los volúmenes de los espacios
respectivos.
13.3. Cocientes Simétricos.
13.3.1. Volumen del Espacio C.
Consideremos primero el volumen del espacio simétrico cuatridimensional Sp(2,)/
SL(2,) que coincide con el cociente SO(3,2)/SO(3,1) como se muestra en el apéndice
B. En la representación regular tiene la estructura
éé
êê
êê
êê
ê
C = ê êê
êê
êë
ê
ê[
ëê
*
*
é 0 ùù
êx ú ú
ê 1 úú
êx ú ú
ê 2 úú
êx ú ú ,
êx 3 ú ú
êë úû ú
ú
] éëêx 4 ùûú úûú
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
(13.3.1)
donde x 4 debe ser una función de las x m impuesta por la estructura de grupo [17] que
determina que el espacio es un hiperboloide unidad,
x 4 = (1 - hmn x mx n )
12
.
(13.3.2)
El elemento de volumen euclidiano dV(c) dado en términos de las formas dx m(c)
varía sobre el cociente cuatridimensional. La medida invariante dm(c) se determina
pesando el elemento euclidiano con una densidad igual al inverso del jacobiano de la
Cocientes de Masa
167
transformación generada por una traslación en el cociente,
d m (c ) =
dm =
dV (c )
J (c )
,
(13.3.3)
dx 0  dx 1  dx 2  dx 3
m v
1 - hmn x x
=
dV
1 - hmn x mx n
,
(13.3.4)
5
o en R con w como la quinta coordenada x 4,
d
(
)
w 2 + hmn x mx n - 1 dx 0  dx 1  dx 2  dx 3  dw ,
(13.3.5)
que nos lleva a
dm =
dx 0dx 1dx 2dx 3 dV
=
w
w
,
(13.3.6)
donde,
hmn x mx n  hmn x mx n + w 2 .
(13.3.7)
Por inspección de esta ecuación podemos interpretar físicamente al parámetro w
como una medida de la variación de energía masa sobre el cociente C,
w = 1 - hmn x mx n = 1 - m 2
.
(13.3.8)
La presencia del jacobiano indica que es conveniente usar coordenadas adaptadas a
este espacio simétrico, coordenadas polares hiperbólicas, para calcular su densidad de
volumen invariante,
V (C ) = ò
C
dm
=ò
w
C
-gdV
.
(13.3.9)
El espacio cociente debe ser uno de los hiperboloides unidad cuatridimensionales
4
estándares H [18]. Añadimos un superíndice a que indica el número de signos
n,a
negativos en la definición estándar H ,
1= w2 +
n
a
å (xi ) - å (xi )
i =a+1
2
i =1
2
.
(13.3.10)
Capítulo 13
GEOMETRÍA FÍSICA
168
En particular, el espacio corresponde al hiperboloide minkowskiano H
1  w2  u 2  x 2  y 2  z 2  w2  u2  k 2 ,
4,3
,
(13.3.11)
en términos de las coordenadas u, k, que corresponden respectivamente a la energía y
al valor absoluto del impulso, y un parámetro l=1 que caracteriza el tamaño unidad
del hiperboloide cuatridimensional particular. Introduzcamos una parametrización en
términos de arcos en el espacio simétrico definiendo las coordenadas hiperbólicas j,
q, b, c ,
x
cos j =
cos q =
z
k
(13.3.12)
,
(13.3.13)
u
cosh b =
cos c =
,
x 2 +y2
,
u 2 -k 2
w
l
(13.3.14)
.
(13.3.15)
Debe apuntarse que el parámetro de arco hiperbólico b no es la velocidad sino que
está relacionada con ella por
tanh b =
k v
=
u c
.
(13.3.16)
En particular, el volumen de C se obtiene por una integración sobre este espacio
curvo de impulsos de Minkowski, donde las coordenadas x representan u, k. Separamos
2
la integración en la integración angular sobre la esfera compacta S , la impulsión radial
b y el parámetro de energía c,
b
p
V (C ) = ò d c sin 3c ò d b sinh 2 b
0
0
4p
òd W=
2
0
b
16 p
16 p
d b sinh 2b =
I C (b ) ,
ò
3 0
3
(13.3.17)
Cocientes de Masa
169
obteniendo el resultado en términos de una integral de impulsión I(b).
13.3.2. Volumen del Espacio K.
Para el volumen de K, la integración es sobre un espacio simétrico de 8 dimensiones.
Este espacio G/G + tiene una estructura compleja y no es un espacio hermitiano. El
centro de G +, que no es discreto, contiene un elemento generador k 5 cuyo cuadrado es
-1. Indicaremos por 2J la restricción del endomorfismo de A, ad(k 5), al espacio tangente
TK k. Este espacio que tiene por base las 8 matrices k a, k b k 5, es el subespacio propio de
2
A correspondiente al autovalor -1 del operador J ,
J 2 (x lkl + y lkl k5 ) = 41 éêk5 , éêëk5 , x lkl + y lkl k5 ùúû ùú =
ë
û
l
- x kl - y lklk5 .
(13.3.18)
El endomorfismo J define una estructura cuasicompleja sobre K. Adicionalmente,
usando la métrica de Cartan-Killing en la representación de Clifford,
g (Ja , Jb ) = 41 tr (JaJb ) = 41 tr (J 2 (-a )b ) = 41 tr (ab ) = g (a ,b ) ,
(13.3.19)
hallamos que la estructura compleja preserva la métrica de Killing de tipo
seudoriemanniana (minkowskiana). También encontramos que la torsión S se anula,
S (a ,b ) = [a ,b ] + J [Ja ,b ] + J [a ,Jb ]-[Ja ,Jb ] = 0 .
(13.3.20)
De esta manera, se cumplen las condiciones para que J sea una estructura compleja
integrable invariante por G. Por lo tanto K es un espacio simétrico complejo con métrica
inhermitiana [19].
Se conoce que los espacios simétricos hermitianos son clasificados por ciertos
cocientes de grupos. El espacio simétrico inhermitiano K es una forma real incompacta
del espacio simétrico complejo correspondiente a la extensión compleja del grupo
incompacto SU(2,2) y sus cocientes como se muestra en el apéndice B. Este espacio
coincide con el cociente SO(3,3)/SO(3,1)SO(2) de la serie caracterizada por SO(4,2).
En particular se tienen los espacios octodimensionales
Rº
SO (4, 2)
SL (4,  )
SO (6 )
»
@ K @ »
(13.3.21)
SO (4 )´SO (2) SL (2, )´SO (2)
SO (4 )´SO (2)
que son cinco formas reales caracterizadas por SO(4,2). Los espacios extremos
corresponden a los dos espacios hermitianos, compacto e incompacto R.
Entre los extremos se encuentran tres espacios incompactos inhermitianos, en
particular el espacio de interés K. En la representación regular estos cocientes tienen
la estructura matricial [17 p. 178],
GEOMETRÍA FÍSICA
170
éé
êê
êê
êê
êê
ê
K = ê êê
êë
ê
êé
êê
êê
ëë
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ú
úû
*
*
éx 0
ê
êx 1
ê
êx 2
ê
êx 3
êë
éx 4
ê
êx 5
ë
y 0 ùú ùú
y 1 úú úú
y 2 úú úú
ú ,
y 3 úúû ú
ú
y 4 ùú ú
ú
y 5 úû úû
Capítulo 13
(13.3.22)
donde la matriz inferior derecha determina las condiciones,
1
4ù
é 4
é1 + x · x
x ·y ù 2
êx y ú = ê
ú ,
5
5
êx y ú ê y · x
úû
1
+
y
·
y
ë
ë
û
(13.3.23)
impuestas por los grupos asociados correspondientes sobre las coordenadas x 4, x 5, y 4 ,
y 5 en espacios de mayor dimensión (d>8), expresadas por el producto escalar en esta
submatriz en términos de los cuadrivectores x, y y la métrica correspondiente,
relacionada con la métrica euclidiana por el truco unitario de Weyl. Como en el caso
anterior, esta condición determina un espacio simétrico unidad.
Como estas condiciones son difíciles de analizar, es conveniente tratar de hallar el
volumen aprovechando la estructura compleja de la variedad. Podemos introducir
coordenadas complejas z m en K. Se obtiene de esta manera una métrica compleja bilineal
simétrica en el espacio complejo cuatridimensional K,
2
1
tr (z aka ) = -z az b hab Î C
4
,
(13.3.24)
m
z m = z m e iy .
(13.3.25)
El grupo que preserva esta métrica compleja bilineal simétrica es el grupo ortogonal
SO(4,).
Hay dos proyecciones estándares de los complejos C sobre los reales R, la parte
real y el módulo. En una manera similar al módulo, que proyecta el plano complejo sobre
la semirecta real, definimos una relación de equivalencia S sobre puntos de K definiendo
puntos equivalentes como puntos con coordenadas de igual módulo. Esta relación de
equivalencia se puede expresar por
S = S 1 ´S 1 ´S 1 ´S 1 ,
(13.3.26)
Cocientes de Masa
171
1
donde S es la esfera unidimensional de fases. Podemos definir el cociente
cuatridimensional por
Q=
K
S
.
(13.3.27)
Es conveniente parametrizar K de acuerdo a esta relación de equivalencia S. Cada
una de las coordenadas complejas z tiene un modulo êzê y una fase y que usaremos
como parámetros. La medida de Haar en términos de la medida euclidiana debe
corresponder a la integración en este espacio complejo cuatridimensional. Escojamos
los parámetros que definen el elemento de volumen euclidiano en la identidad,
dV (I ) = d z 0 (I )  d y 0 (I )  d z 1 (I )  d y (I ) 
1
d z 2 (I )  d y 2 (I )  d z 3 (I )  d y 3 (I ) ,
(13.3.28)
y trasladémoslo al punto k por una operación del cociente,
d m (k ) =
dV (k )
J (k )
.
(13.3.29)
Como en el caso anterior el jacobiano es una medida de la variación de masa energía
a través del cociente K. Calculemos la integral de volumen usando la densidad
invariante de volumen,
dm =
d z 0  d z 1  d z 2  d z 3  d y0  d y1  d y 2  d y 3
J (k )
.
(13.3.30)
El jacobiano no depende de las fases y el elemento de volumen de S es separable
de dm definiendo un elemento de volumen complementario que corresponde al espacio
cociente Q. El volumen de K será entonces el producto de los volúmenes de S y Q,
como también indica la ec. (13.3.27). De la ec. (13.3.24) se puede ver que el cociente
Q es un espacio simétrico, tomando como sus puntos representativos aquellos con
coordenadas reales. Por otro lado Q debe ser incompacto de otra forma K sería también
compacto porque la relación S es compacta. El cociente no puede ser el producto de
una variedad por un conjunto discreto porque K tendría componentes desconectadas.
El subgrupo SO(4,) de SO(4,), que actúa sobre este subespacio Q de K preservando
la métrica bilineal de este espacio, tiene S 3 como órbita. Por lo tanto, Q es simétrico,
cuatridimensional, incompacto con un subespacio tridimensional compacto igual a la
3
esfera Riemanniana S ,
Q=
Capítulo 13
GEOMETRÍA FÍSICA
172
K
ÉS3 .
S
(13.3.31)
4,4
3
El cociente Q debe ser el hiperboloide unidad H , el único con un subespacio S no
temporal, caracterizado en un espacio pentadimensional por la invariante,
1 = -w 2 + u 2 - x 2 - y 2 - z 2 = -w 2 + u 2 - k 2 .
(13.3.32)
El parámetro físico de impulsión b (el que representa un cambio de energía cinética)
es el parámetro de arco hiperbólico a lo largo de la órbita de un subgrupo uniparámetrico
incompacto. La parametrización de Q es en términos de las coordenadas hiperbólicas
j, q, z, b definidas, en vez de las ecs. (13.3.14, 13.3.15) por,
cosh b =
cos z =
u
l
,
(13.3.33)
w
.
w +k 2
2
(13.3.34)
Separemos la integral en las integrales de los 4 espacios compactos de fase en S y
la integración en el espacio cuatridimensional Q, parametrizada por los módulos de
las coordenadas. Esta última integral se separa además en la integral sobre las triesferas
3
compactas S y la integración sobre la dirección incompacta complementaria que
corresponde a las impulsiones b. Se obtiene,
V (K ) = ò
-gd 4Vd y0d y1d y2d y3 =V (Q )´V (S ) =
K
æ 2 p ö÷4
ç
ò d b sinh b ò d z sin z ò d W ´çççèò d y÷ø÷÷ ,
0
0
0
0
b
p
4p
3
V (K ) = ( 2p )(2 p )
2
4
2
3
(13.3.35)
b
ò sinh b d b = 2
3
5
p 6 I K (b ) ,
(13.3.36)
0
en términos de otra integral de impulsión I(b). Este resultado muestra, como era de
esperarse, que el subespacio relativísticamente equivalente de K es de mayor volumen
que el espacio relativísticamente equivalente de C, porque así lo indican las integrales
respectivas del seno hiperbólico de b.
Cocientes de Masa
173
13.3.3. Razón Geométrica de Volúmenes.
Indicamos que el cociente de los volúmenes V de subespacios inequivalentes de K
y C, correspondientes a la representación fundamental de espín 1/2, debe estar
relacionado con el cociente de las masas geométricas correspondientes. Como se indicó
en la sección 2 hay un subconjunto de puntos del espacio simétrico que son
relativísticamente equivalentes. Tenemos que eliminar estos puntos equivalentes
dividiendo por la relación de equivalencia R bajo las impulsiones de SO(3,1). Puntos
equivalentes están relacionados por una transformación de impulsión b de Lorentz.
Hay tantos puntos equivalentes como el volumen de la órbita desarrollada por el
parámetro b.
Los volúmenes inequivalentes respectivos son, para C,
16 p
I C (b )
16 p
3
V (C R ) =
=
=
I C (b )
3
V (R (b ))
V (C )
,
(13.3.37)
2 5 p 6 I K (b )
= 25 p 6 .
I K (b )
(13.3.38)
y para K,
V (K R ) =
V (K )
V (R (b ))
=
Aunque los volúmenes de los espacios incompactos divergen, el cociente tomando en
cuenta la relación de equivalencia R tiene un limite bien definido y se obtiene,
V (K R )
V (C R )
= 6 p5 .
(13.3.39)
Realmente hemos demostrado en esta sección que: El cociente de los volúmenes de
K y C, módulo la relación de equivalencia R bajo el subgrupo relativista, es finito y
tiene el valor de 6p 5.
13.4. Cociente de Masa Física.
En la discusión de la sección 1 se vio que, para una solución constante, las masas
s o n p r o p o r c i o n a l e s a l o s v o l ú m e n e s r e s p e c t i v o s V ( K R) . L a s c o n s t a n t e s d e
proporcionalidad dependen solamente de la representación inducente de SL 1(2,). En
particular para cualquier par de representaciones inducidas de la representación ½, las
constantes respectivas son iguales.
Armado con el teorema de la sección anterior, el cociente de las masas desnudas de
las representaciones fundamentales de los grupos G y su subgrupo H inducidas de la
174
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 13
representación de espín 1/2 de L, para el substrato trivial constante, es igual al cociente
de los volúmenes de los espacios inequivalentes de los cocientes respectivos G/L 1 y
H/L, y tiene el valor finito exacto,
m
mG V (K R )
=
= 6 p 5 = 1836.1181 » p = 1836.153 ,
mH V (C R )
me
(13.4.1)
que es una aproximación muy buena para el cociente de las masas físicas experimentales
del protón y el electrón, en confirmación de la relación del grupo G con el protón y el
grupo H con el electrón. Si esto fuera el caso, el único otro subgrupo dinámico de G,
L=SL(2,), debe originar una relación similar. Anteriormente hemos relacionado L
con el neutrino. En este caso el espacio cociente es la identidad y se tiene,
mL VR (L / L ) VR (I )
m
=
=
=0= n ,
mH
VR (C )
VR (C )
me
(13.4.2)
de acuerdo con una masa desnuda del neutrino igual a cero. La masa física del neutrino
puede incluir un término pequeño de corrección debido a la excitación.
13.5. Resumen.
El cociente de los volúmenes de los espacios cocientes SL(2,)/SL 1(2,) y Sp(2,)/
SL(2,)), módulo la relación de equivalencia relativista bajo SL(2,), es igual al valor
del cociente de las masas del protón y del electrón, con una discrepancia de 2´10 -5 .
Es posible tomar los valores geométricos como las masas desnudas en reposo del
protón, del electrón y del neutrino, que necesitan términos de corrección debido a la
interacción de las excitaciones. Se estimó que las correcciones debidas a la interacción
de las excitaciones sean del orden de a 2, igual al orden de la discrepancia.
Referencias
1 G. González-Martín, in Strings, Membranes and QED, Proc. of LASSF, Eds. C.Aragone, A.
Restuccia, S. Salamó (Ed. Equinoccio, Caracas) p, 97 (1989).
2 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 26, 1177 (1994). Vea el calítulo 9.
3 G. González-Martín, ArXiv physics/0009066, Report SB/F/274-99 (1999), Univ. Simón
Bolívar (1999), .
4 F. Lenz, Phys. Rev. 82, 554 (1951).
5 I. J. Good, Phys. Lett. 33A, 383 (1970).
6 A. Wyler, Acad, Sci. Paris, Comtes Rendus, 271A, 180 (1971).
7 Y. Ne’eman, Dj. Sijacki, Phys. Lett., 157B, 267.
8 Y. Ne’eman, Dj. Sijacki, Phys. Lett., 157B, 275.
Cocientes de Masa
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
175
F. W. Hehl, J. D. McCrea, E. W. Mielke, Y. Ne’eman, Phys. Rep. 258, 1 (1995).
G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 24, 501 (1992).
R. Hermann, Lie Groups for Physicists (W. A. Benjamin, New York) (1966).
S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)
p. 90 (1962).
S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)
p. 360 (1962).
Vea la sección 4.4.
G. González-Martín, USB preprint, 96a (1996).
Vea la sección 9.3.
R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applications (John Wiley and
Sons, New York), ch. 9 (1974).
J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds (Springer-Verlag, New York)
(1994).
S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)
p. 285 (1962).
14. MASA DE EXCITACIONES DE CONEXIÓN.
14.1. Introducción.
Las ecuaciones ilineales de campo tienen condiciones de integrabilidad que suministran
una ecuación generalizada de Dirac que introduce una unidad fundamental de impulso
angular  y un parámetro que puede ser identificado como masa. Se estableció una definición
geométrica de masa en términos de energía para los campos materiales poliádicos que
interaccionan a través de la conexión. Adicionalmente las ecuaciones de campo admiten
una solución constante de substrato en términos de una unidad geométrica fundamental de
distancia [1]. Usando estas ideas se calculó con precisión el cociente de las masas desnudas
del protón y del electrón [2].
Estos resultados indican que algunos efectos de la mecánica cuántica pueden estar
contenidos en la teoría geométrica. En particular, algunas de las propiedades se podrían
determinar de la geometría del substrato. Por ejemplo, un substrato curvo puede ser un
mecanismo para dar masas a las excitaciones de la conexión. Esto es posible solo en teorías
ilineales como la que está en discusión y es interesante porque hemos hallado una solución
simple de substrato para la ecuación ilineal de campo. Ahora ilustramos estas ideas hallando
ecuaciones particulares para el caso de una excitación del campo de conexión alrededor de
este substrato [3]. En adición, discutiremos las condiciones para que estas excitaciones
puedan considerarse de masa nula.
14.2. Forma General de la Ecuación de
Excitación.
En el capítulo 12 la ecuación de campo de la teoría,
D *W = 4 pa *J ,
(14.2.1)
se expandió escribiendo el producto exterior en términos de formas diferenciales y
generadores del grupo. La expresión para la ecuación de campo se convierte en,
2
-g
¶r
(
)
-gg rmg an ¶[ m wna ] Ea +
1
-g
¶r
(
)
-g wa r wba [Ea , Eb ] +
2g rmg an wra ¶[ m wnb ] [Ea , Eb ] + wcr wa r wba éëEc , [Ea , Eb ]ùû = 4 pa JaaEa .
(14.2.2)
El conmutador en las expresiones introduce las constantes de estructura y la traza de
Masa de Excitaciones de Conexión
177
productos de las bases del álgebra de Lie introducen la métrica de Cartan-Killing.
Los grupos de holonomía de la conexión se pueden usar geométricamente para
clasificar las interacciones contenidas en la teoría. La cadena de subgrupos SL(2,) É
Sp(2,) É SL(2,) caracteriza una cadena de subinteracciones con sectores de
interacción que se reducen.
Una sección se relaciona por cartas (coordenadas) a elementos del grupo, SL(2,),
los cuales son matrices que forman una base de espinores columnas generales de
SL(2,), en la representación definitoria. La conexión es una 1-forma valuada en sl(4,)
que actúa naturalmente sobre las secciones e.
Procedamos formalmente en la representación definitoria 4´4. La ecuación se puede
escribir referida a estas bases,
wrc wa r wbacabnccmd g mn +
+
cabd
-g
é¶
êë r
(
2
¶r
-g
(
)
-gg rmg an ¶[ m wn ]d +
)
-g wa r wba + 2g an wa m ¶[ m wnb ] ùú = 4paJ da .
û
(14.2.3)
Notemos que los términos cuadráticos en las constantes de estructura también incluyen
términos dependientes de la métrica de Cartan-Killing. Esto puede verse de la expresión
para la traza,
1
4
tr (Ea EbE c Ed ) = gab gcd - gac gbd + gad gbc + o.t. .
(14.2.4)
Para obtener las excitaciones del campo hagamos perturbaciones de los objetos
geométricos en la ecuación. Entonces la ecuación diferencial lineal para la perturbación
de la conexión toma la forma general,
2
-g
¶r
(
)
-gg rmg an ¶[ mdwn ]d + 4wrc wcr dwda + 1Ladcr dwcr + 2Ldamn dg mn =
4 pa dJ da ,
1
(14.2.5)
2
donde L y L son operadores lineales de primer y segundo orden respectivamente, con
coeficientes variables que son funciones de w. El segundo término, que surge del término
de autointeracción cúbica, puede suministrar un mecanismo para dar masas efectivas a
las excitaciones de la conexión sobre el substrato curvo, en términos de un parámetro
que representa la autoenergía, determinada usando la métrica de Cartan-Killing en la
representación definitoria,
w 2 = wcr wcr .
(14.2.6)
Capítulo 14
GEOMETRÍA FÍSICA
178
14.3. Una Solución Particular.
En la sección 12.5 hemos construido una solución constante de substrato complejo, en
términos de la unidad geométrica fundamental de distancia m g, extendiendo la funciones
reales del substrato a funciones complejas,
aˆ k5kaˆ = -mgdx aˆ  (kaˆ  ikaˆ ) .
w = w aˆ kaˆ + w
(14.3.1)
En particular, si suponemos que podemos obtener una solución solamente con
componentes algebraicas en el plano complejo de Minkowski K k generado por el
subconjunto ortonormal k del álgebra de Clifford tendríamos que la base completa E
puede ser reemplazada por este subconjunto ortonormal k . Como la conexión no tendría
componentes pares, la métrica en el espacio tiempo base M es plana. Usando las
relaciones de trazas se tiene,
1
4
tr kakb = -hab ,
(14.3.2)
1
4
tr kd éëka , kb ùû = 0 ,
(14.3.3)
tr kd éêkc , éëka , kb ùû ùú =
ë
û
1
,
4 tr (kd kc ka kb - kd kc kb ka - kd ka kb kc + kd kb ka kc )
(14.3.4)
1
4
1
4
tr kd éêkc éëka , kb ùû ùú = 4 (hdb hca - hda hcb ) .
ë
û
(14.3.5)
Si la excitación compleja alrededor del substrato complejo tiene la forma,

a
wraˆ = (w  ) + dwraˆ ,
r
(14.3.6)
la ecuación de la excitación se convierte, usando la métrica compleja g del plano complejo
de Minkowski Kk, que involucra bajar los índices y tomar la conjugada compleja, en
*
(
ˆ
ˆ
ˆ
)
ˆ
ˆ
ˆ
d *d dwdnˆ + 4 dwrcˆ w ar
w bn + wrcˆ dw ar
w bn + wrcˆ w ar
dw bn ´
(g
*
2
ˆˆ
db
)
g ca
= 4 pa dJ dn ,
ˆ ˆ g cb
ˆ ˆ - g da
ˆˆ
2
d *d dwdaˆ + w  dwdaˆ + 2 w  dwrrˆ ddaˆ = 4pa dJdaˆ .
(14.3.7)
Dada una representación, se puede hallar siempre una solución a estas ecuaciones
Masa de Excitaciones de Conexión
179
lineales acopladas en términos de la función de Green del operador diferencial y la
corriente de excitación dJ que puede ser una fuente extendida. Para desacoplar las
ecuaciones, es necesario suponer que dw rr se anula. Si este es el caso, entonces todas
las ecuaciones son esencialmente la misma y la solución se simplifica.
Restrinjámonos a considerar las ecuaciones para una excitación puntual del cuanto
de carga física y su solución que es la función de Green. Si suponemos una excitación
independiente del tiempo con simetría esférica, la única ecuación relevante sería la
ecuación radial. Como m g es constante, representa una singularidad esencial de la
ecuación diferencial, un punto singular irregular en el infinito. Las soluciones
correspondientes tienen un comportamiento exponencial similar al de Yukawa [4].
Interpretemos que el substrato curvo da un alcance efectivo w-1 a las excitaciones
lineales. La ecuación (14.3.7) independiente del tiempo para una fuente puntual es,
designando la fluctuación como un campo débil W,
2W (x ) - w 2W (x ) = -4pa 2 -d j = -4pa 2g 2d j = -4pa 2g 2d (x - x ¢) ,(14.3.8)
donde se reconoce explicitamente que la corriente es de orden a o equivalentemente de
orden del cuadrado de la carga. Adicionalmente, tomamos en cuenta que la excitación supuesta
es la parte impar de una representación de su(2)Q y debe depender explicitamente de la parte
impar formal de la carga. La carga que entra en esta ecuación de primer orden de perturbación
es la carga su(2)Q, ec. (8.4.5), definida por la ecuación ilineal original sin perturbar. Este es el
cuanto de la única carga física: el cuanto de carga eléctrica e=1. Debemos definir un factor g que
exprese este cuanto de carga geométrica en unidades de una carga impar formal indefinida (o
carga débil). El factor (ag)2 no es parte de la función d que representa la unidad de carga
impar formal. Esta ecuación se puede dividir por (ag)2, obteniendo la ecuación para las
excitaciones impares producidas por la unidad de carga impar puntual o ecuación para la
función de Green
æ w ö÷
çç ÷ W (x ) = -4pd (x - x ¢) .
W
x

(
)
2
èç ag ÷ø
(ag )
1
2
2
(14.3. 9)
Se puede definir una nueva coordenada radial r=agx’, racionalizada con un nuevo alcance
m-1 que incorpora la constante ag. Tomando en consideración las transformaciones covariantes
de W y d, la ecuación radial se puede escribir entonces
-
1 ¶2
(rW ) - -m 2W = -4pd (r - r ¢) .
r ¶r 2
(14.3.10)
Como -m es constante la función de Green para este operador diferencial es
- -m x -x ¢
-
¢
1 e
1 e- mr
=
=
.
4p x - x ¢
4p r ¢
(14.3.11)
GEOMETRÍA FÍSICA
180
Capítulo 14
cuya integración espacial total introduce, en general, el factor de alcance,
¥
4p
1
1
¢
dr ¢r ¢e - m r ò d 2W ¢ = - 2 ,
ò
4p 0
m
0
(14.3.12)
El alcance -m se puede evaluar usando la ec. (14.3.7),
w 2 = gCC (wm w m ) = wm* w m = 8mg2 ,
(14.3.13)
obteniendo
-
m=
2 2mg
w
=
.
ag
ag
(14.3.14)
Para obtener una excitación completa, en vez de su parte impar, se pone g igual a 1.
14.4. Excitaciones SU(2) Masivas.
De acuerdo a la física geométrica podemos considerar una excitación del subgrupo SU(2)Q
de G alrededor del substrato. La solución compleja de substrato nos indica que esta excitación
adquiere una masa efectiva. Consideremos los tres componentes A de una conexión SU(2)Q
como tres potenciales electromagnéticos clásicamente equivalentes.
El subgrupo electromagnético es SU(2)Q, similar al subgrupo de espín SU(2)S. El grupo
2
mismo, como un fibrado (SU(2),S ,U(1)) lleva sus propias representaciones [5]. El espacio base
2
es el cociente SU(2)/U(1) que es la esfera bidimensional S . La fibra es un subgrupo par arbitrario
U(1). La acción de este SU(2)Q electromagnético es una multiplicación en la fibra por un elemento
2
del subgrupo U(1) y una traslación en el espacio base S por la acción del operador Casimir del
grupo SU(2)Q, que representa el cuadrado de una rotación total de SU(2)Q.
Esta acción no es tan simple como una traslación en el espacio plano, sino que tiene
complicaciones similares a las asociadas con el impulso angular debido a la geometría del grupo
SU(2). La orientación de las direcciones en SU(2) esta cuantizada. En particular, solamente un
componente del generador E de rotaciones electromagnéticas conmuta con el operador de Casimir
2
2
E del grupo. Este operador actúa sobre el cociente simétrico S convirtiéndose en el operador
de Laplace-Beltrami sobre el cociente. Sus autovalores están geométricamente relacionados
2
con las translaciones en S de la misma manera como los autovalores del operador usual de
Laplace están relacionados con las translaciones en el plano. Hay autovalores definidos,
simultáneos con el operador de Casimir, a lo largo de una sola dirección arbitraria cualquiera en
+
su(2), que hemos tomado como la dirección del generador par E. El generador E se puede

descomponer en términos de las componentes par e impar complementaria E. No podemos
descomponer E en componentes con valores de expectación definidos. La separación en partes
par e impar representa, respectivamente, la separación de la acción grupal en su acción par
2
vertical en la fibra y una traslación impar complementaria sobre la base S .
Masa de Excitaciones de Conexión
181
+
E
q3
Q
E
q2
q1
-
Figura 4
E
k.r
Considere que las funciones exponenciales e forman una representación del grupo de
traslaciones en el plano. La magnitud de la traslación k esta determinada por el autovalor del
operador de Laplace ,
De k x = le k x = k 2e k  x ,
(14.4.1)
donde el valor absoluto de k es
k = (d mn km kn )
12
.
(14.4.2)
El subespacio impar de su(2)Q, subtendido por los dos generadores electromagnéticos com
pactos impares en E, es isomorfo al subespacio impar del álgebra de cuaterniones, subtendido
a
por su subconjunto ortonormal q . Asociado a este subconjunto ortonormal tenemos el operador de Dirac q en un espacio curvo bidimensional. Este operador de Dirac representa al
2
operador de rotación L en las funciones vectoriales sobre la esfera que también corresponde a
la componente bidimensional del laplaciano. Obtenemos para esta acción, si separamos la
función de onda j en su autovector f de SU(2)S y su autovector y de SU(2) Q, y usamos el
hecho que la conexión de Levi-Civita es simétrica,
(q a a )
2
y = q aq b a b y = q (aq b )a b y + q [aq b ]a b y
= -g ab a b y = -Dy = L2 y .
(14.4.3)
Esta ecuación muestra que el cuadrado del operador curvo de Dirac es el operador de LaplaceBeltrami o de Casimir sobre la esfera, igual al cuadrado del momento angular. Por lo tanto, podemos
GEOMETRÍA FÍSICA
182
Capítulo 14

definir el generador electromagnético impar E como el cuaternión operador diferencial

E  q a  a    C 2 .
(14.4.4)

La dirección de E en el plano tangente impar es indeterminable porque no hay autovectores
impares comunes con +E y E2. Sin embargo el valor absoluto de este cuaternión debe ser la raíz
cuadrada del valor absoluto del cuaternión de Casimir. Los valores absolutos de +E y E definen
un ángulo polar Q en el álgebra su(2) como se indica en la figura 4.
El ángulo Q es una propiedad de las representaciones del algebra, independiente de la
normalización como se verifica sustituyendo E por NE. En la sección 7.4 utilizamos la
normalización natural del álgebra geométrica. Los generadores tienen una magnitud doble que
los generadores estándar de espín. Esta normalización introduce un factor de 2 en las constantes
de estructura de las relaciones de conmutación respectivas y determina que los autovalores de
los generadores, caracterizados por los números cuánticos de carga c, n, son el doble que los
autovalores estándares caracterizados por los números cuánticos de espín j, m. Sin embargo,es
conveniente utilizar las 2 diferentes normalizaciones para los subgrupos isomorfos SU(2)Q y
SU(2)S de acuerdo a la interpretación física de cuantos enteros de carga y semienteros de espín.
Con la normalización estandar, en la base los autovectores comunes de +E y E2, se tiene,
E 2 j , m = j ( j + 1) j , m ,
-
(14.4.5)
E j , m = q a a j , m = j ( j +1) j , m ,
(14.4.6)
E j ,m = m j ,m .
(14.4.7)
-
+
El generador electromagnético tiene una dirección acimutal indefinida pero una dirección
polar cuantizada determinada por los valores posibles de las traslaciones. Por lo tanto se obtiene,
como los valores absolutos de los cuaterniones son los autovalores respectivos,
-
E
+
E
=
C2
+
E
1
2
=
j ( j + 1)
m
º tan Qmj =
c (c + 2)
n
º tan Qnc .
(14.4.8)
Las direcciones internas del potencial A y de la corriente J en su(2)Q deben estar en las
direcciones posibles del generador electromagnético E. En la zona cercana definida por -mr  1
las componentes de A deben ser proporcionales a las traslaciones par e impar posibles. El vector
total A debe hallarse en un cono, que llamamos el electrocono, definido por un ángulo polar
cuantizado Qnc relativo a un eje en la dirección par y un ángulo acimutal arbitrario.
El estado fundamental c , n que representa a un cuanto de carga es 1, 1 y corresponde
al estado de rotación electromagnética
1
2
, 12 . El ángulo Q½½ correspondiente es
Masa de Excitaciones de Conexión
-
E
+
E
1
=
2
( 1 2 + 1)
1
( 3 ) º tan Q
= 3 = tan p
2
1
1
2
2
.
183
(14.4.9)
Las excitaciones de la conexión su(2) son funciones sobre la esfera bidimensinal SU(2)/
U(1) generada por los generadores impares E. Los generadores complejos de subir y bajar

- 
cargas E , que son distintos al generador impar E, pueden definirse en términos de los
generadores reales
-
E  = E 1  iE 2
(14.4.10)
y cumplen las relaciones
E -E c , n = (n  2) -E c , n .
+
(14.4.11)
Por lo tanto, estas excitaciones cargadas, definidas como representaciones del grupo SU(2)Q,
requieren un substrato con una dirección preferida a lo largo del cuaternión q3 en el sector
su(2) Q. Sólo la solución compleja, ec. (12.5.10), suministra un substrato adecuado.
Designemos este substrato como el substrato complejo impar.
Las soluciones complejas de substrato impar en el sector su(2) se reducen a
w = -wm0 (k0ˆ cos f  k1ˆk2ˆk3ˆ sin f)dx m = -Amdx m = -Aaq a
ˆ
-
(14.4.12)
y deben corresponder a los dos generadores -E de la esfera. Este subespacio impar de
su(2) generado por la solución compleja se interpreta físicamente como un substrato
electromagnético SU(2) impar, de vacío, con potencial -w que determina alcances que
pueden interpretarse como masas para las excitaciones A de la conexión electromagnética
a su alrededor. El alcance -m-1 es determinado por la componente bidimensional fundamental
de -w en el plano ecuatorial del substrato.
Las componentes par e impar de la excitación su(2) en la dirección E tienen que obedecer
las relaciones,
+
2
2
2
A + -A = A ,
(14.4.13)
Debido a la cuantización de su(2), en la zona cercana sólo están definidos dos valores posibles
de la conexión, asociados a una representación fundamental, los cuales se relacionan por
-
A
A
-
=
E
E
= sin Q1 2 .
(14.4.14)
Una excitación fundamental de la conexión su(2) Q debe ser el bosón de espín
1(representación de SU(2)S) que también sea una representación fundamental de SU(2)Q
donde los tres generadores componentes mantienen sus relaciones quantizadas
GEOMETRÍA FÍSICA
184
Capítulo 14
correspondientes a los autovalores de rotación electromagnética ½, ½, similar al de la
excitación poliádica (proton). Claro está que ellas difieren de acuerdo con el SU(2)S de espín
porque la primera es una representación de espín 1 y la segunda de espín ½. Designaremos
a esta excitación con el nombre de excitación fundamental completa. Cuando el ángulo Q se
escriba sin índices debe entenderse que se refiere a esta representación. Una fluctuación del
substrato impar
d ( -w ) = d ( -w 0 ) -q 
(14.4.15)
no suministra una excitación completa de su(2)Q.
Las corrientes de su(2)Q están similarlmente quantizadas y definen la carga impar formal.
Estas corrientes y cargas estan relacionadas por
-
j
j
-
=
E
E
-
= sin Q1 2 =
e
e
.
(14.4.16)
El factor g que expresa el cuanto de carga geométrica en unidades de la carga impar formal (o
carga débil) es
g = csc Q1 2 .
(14.4.17)
Los únicos alcances posibles asociados a una excitation su(2)Q deben ser proporcionales
a los dos únicos valores posibles de la conexión cuantizada
-
A
A
=
1
m
= sin Q =
.
g
m
(14.4.18)
Los valores posibles de alcance son
-
m=
2 2mg sin Q1 2
w
=
ag
a
(14.4.19)
y
m=
2 2mg
a
.
(14.4.20)
Por otro lado, los alcances de las excitaciones deben ser suministrados por la ecuación
(14.3.7) de campo de la excitación como el valor absoluto de alguna conexión de substrato.
El substrato complejo impar admite un substrato relacionado con un componente par
adicional de la conexión +w, que debe suministrar el valor de la diferencia de energía. Esta
parte par +w aumenta el módulo de la conexión total. Los valores posibles de +w deben
Masa de Excitaciones de Conexión
185
corresponder a los valores absolutos m permitidos de la conexión total de substrato.
Designaremos este substrato como el substrato complejo completo.
El valor m 2 representa el cuadrado de la energía de enlace de una excitación su(2)Q
fundamental completa (con sus tres componentes) alrededor del substrato complejo
completo con la ecuación,
2A(x ) - m 2A = -4 pd (x - x ¢) .
(14.4.21)
Como las orientaciones del potencial A y la conexión del substrato w están cuantizadas,
sus descomposiciones vectoriales en sus partes pares e impares están fijadas por la
representación de la conexión. Por lo tanto, este término de energía m2 se puede separar
usando el ángulo del electrocono característico Q,
m2 = m2 (cos 2 Q + sin 2 Q) = (m cos Q) + (m sin Q) º +m 2 + -m 2 .
2
2
(14.4.22)
El parámetro de energía +m corresponde a la componente par +w asociada al grupo U(1)
generado por el generador electromagnético par k5.
Esta energía m producida por las componentes de la excitación no puede descomponerse
sin disociar la excitación debido a la cuantización de la orientación de sus componentes. Si
la excitación completa se desintegra en sus componentes parciales, la ecuación par
correspondiente se separa del sector impar en K como indica la ec. (14.3.7) y tiene una
conexión abeliana. Por lo tanto, el término de masa no aparece en la ecuación par, lo que es
físicamente consistente con la masa cero del fotón. La energía +m asociada a +w en la
dirección k5 está disponible como energía libre. Por una corta duración la desintegración
extrae energía del substrato. Por otro lado, la energía -m corresponde al substrato complejo
impar y cuando la excitación completa se desintegra, la energía aparece como el término de
- 
masa en las ecuaciones acopladas (14.3.7) asociadas al par de generadores impares E .
2 -A(x ) - (m 2 - +m 2 ) -A + L1 (dw ) = -4 pd (x - x ¢) .
(14.4.23)
Podemos despreciar el término de acoplamiento L 1, como se hizo anteriormente en la ec.
(14.3.7)), de forma que la ecuación se puede escribir aproximadamente
2 -A(x ) - -m 2 -A = -4pd (x - x ¢) .
(14.4.24)
14.4.1. Valores de las Masas en el Espacio Libre.
Las soluciones fermiónicas fundamentales que representan a los fermiones estables
tienen la masa (energía), según la ec (12.3.27) en la representación definitoria. La única
manera de calibrar la masa geométrica mg que aparece también en la ec. (14.4.19) para w es a
través de las dos únicas masas físicas proporcionales a mg por la integración requerida para las
representaciones inducidas descritas en la sección 13.2. La calibración con la masa me de la
representación Sp(2,) es inadecuada para una excitación de partícula libre -A de la conexión
GEOMETRÍA FÍSICA
186
Capítulo 14
su(2) porque esta última requiere una representación SL(2,) completa de la fuente de corriente
material. Si mg se calibra con la masa mp se tiene
m p = 4mg ,
w=
(14.4.25)
1
tr wm* w m = 2 2mg = ag m .
4
(14.4.26)
Considerando estas relaciones, el ángulo Q también determina el cociente de las dos energías
o masas asociadas a la excitación fundamental,
m -A
mA
= sin Q .
(14.4.27)
Estas relaciones determinan que las energías o masas de las excitaciones nucleares de la
conexión SU(2) son proporcionales a la masa del protón m p,
mA = m =
2 2mg
a
m -A = -m =
=
m p sin Q
2a
mp
2a
= 90.9177 Gev. » mZ = 91.188 Gev.
= 78.7370 Gev. » mW = 80.42 Gev.
(14.4.28)
(14.4.29)
Estos valores indican una relación con los bosones débiles intermedios [6]. Tambien indican
una relación del ángulo electrocónico con el ángulo de Weinberg: el ángulo de Weinberg sería
el complemento del ángulo Q. Ellos admiten correcciones de orden a, en particular la masa de
los bosones cargados necesita correciones electromagnéticas. Por ejemplo, si usamos el valor
corregido de Q, obtenido de su relación con el valor experimental del ángulo de Weinberg,
m -A =
m p sin Q
2a
= 79.719 Gev » mW = 80.42 Gev .
(14.4.30)
Definamos una monoexcitación como una excitación que no forme una representación
completa o impar de SU(2)Q y que esté asociada a un solo generador. Una colisión puede
excitar una resonancia a la energía mA de la excitación fundamental A de la conexión
determinada por el substrato complejo completo. Esta excitación fundamental A de la
conexión que es una representación de SU(2) puede también disociarse o desintegrarse,
cuando la energía es suficiente, en sus tres componentes ( + A, - A  ) como dos
monoexcitaciones libres -A, cada una con masa (energía) m -A determinada por el substrato
complejo impar, y una tercera monoexcitación libre +A de U(1), de masa nula determinada
Masa de Excitaciones de Conexión
187
por la componente par del substrato complejo +w que es abeliana.
Esto determina simplemente la existencia de cuatro excitaciones de espín 1 o partículas
bosónicas asociadas a la conexión SU(2) y el valor teórico de sus masas:
1- La resonancia en la energía m del potencial fundamental A, que tiene que decaer
neutralmente en sus componentes (+A, -A) y puede identificarse con la partícula Z.
- ±
2- El par de monoexcitaciones libres A , cargadas ±1 con igual masa -m, que pueden
±
identificarse con las partículas W .
3- La monoexcitación libre +A, neutral sin masa que puede identificarse con el fotón.
De esta manera se puede dar una interpretación geométrica a los bosones intermedios W, Z y al
ángulo de Weinberg que equivale entonces al complemento del ángulo del electrocono Q.
14.4.2. Excitaciones de Conexión en una Red.
La ecuación para la excitación impar SU(2) tiene una corriente geométrica producida por la
misma excitación del campo. Esta componente de la corriente, con excitaciones cargadas de la
conexión, puede dominar la corriente efectiva total. En estos casos la ecuación original (14.3.7),
desacoplada e independiente del tiempo, determina una ecuación de Helmholtz [7] para una
onda colectiva coherente y auto sostenida del potential magnético su(2),
2A(x ) = w 2A(x ) - 4pa 2 -d j (x ) » w 2A(x ) .
(14.4.31)
Como aplicación, podemos considerar excitaciones alrededor de una red con potenciales
periódicos en algún medio. Toda onda en un medio periódico debe describirse como una onda
de Bloch [8]. Las propiedades de estas ondas están esencialmente basadas en la teoría de
Floquet [9] para ecuaciones diferenciales. Si tenemos un sistema de muchas excitaciones
compuesto de diferentes especies de partículas en el medio, debemos considerar las ecuaciones
de onda de Bloch para las ecuaciones de potential de Helmholtz y de partícula de Pauli para las
differentes especies. Las funciones de onda se comportan como ondas de Bloch que consisten
de una onda plana envolvente y una función periódica de Bloch unk(r) con la misma periodicidad
del potencial externo,
 


ynk (r ) = e ik r unk (r ) .
(14.4.32)
El índice n caracteriza las bandas de energía de las soluciones. Un vector de onda k de Bloch
representa al impulso conservado, módulo una suma de vectores de la red recíproca. La velocidad
de grupo de la onda también se conserva. Las partículas asociadas a la onda pueden propagarse
sin dispersión a través del medio, casi como partículas libres. Hay transferencias posibles de
energía e impulso entre las diferentes ondas.
Para el campo colectivo A, los dominios de las funciones de Bloch unk son celdas de red
donde existen perturbaciones. Estas perturbaciones deben producirse por los términos de
primer orden en a de la corriente, ec. (14.4.31) .
La ecuación (14.4.19) para el alcance m, usando la masa mp, nos da mW como se demostró
en la sección anterior. Para un estado colectivo de excitaciones, un estado -A de la excitación de
conexión no requiere de una representación particular de SL(2,) de la fuente material y puede
GEOMETRÍA FÍSICA
188
Capítulo 14
0
acoplarse también al generador k de una representación Sp(2,) con la otra masa fundamental
me. La misma expresión (14.4.19), usando esta masa me, nos da una masa mA de menor energía,
m -A = -m =
me sin Q
= 83.9171me = 42.8814 MeV .
2a
(14.4.33)
Por lo tanto, las excitaciones masivas colectivas complejas de la conexión SU(2) pueden estar
en solamente dos estados de distinta energía. Estas excitaciones obedecen estadísticas de BoseEinstein y bajo ciertas condiciones pueden condensarse en un estado coherente colectivo
correspondiente a la energía más baja. La masa dada por la ecuación (14.4.33) debe relacionarse
con los términos de energía en las funciones de Bloch unk de A. Usando esta masa colectiva en
vez de la masa mW del espacio libre obtenemos la relación cuántica requirida entre las
componentes par e impar del algebra su(2) completa, coherente y global,
2
2
A = tan 2Q e -2 mAr +A .
-
(14.4.34)
14.5. Ecuaciones para Campos sin Masa.
Como la masa efectiva de la conexión surge del término cúbico, un substrato curvo
es una condición necesaria para este efecto. Sin embargo esta condición no es suficiente.
Si el substrato curvo corresponde a una subálgebra abeliana, no existe el término cúbico.
Por lo tanto este efecto está asociado a un substrato curvo inabeliano. Como la
subálgebra abeliana de Cartan es tridimensional tenemos un máximo de tres campos de
excitación sin masa, de largo alcance. De acuerdo a lo indicado en la sección 7.2 cada uno de
estos campos sin masa está caracterizado por el número cuántico helicidad.
Uno de los tres campos sin masa está asociado con cualquiera de los generadores
compactos del SU(2) electromagnético. Por lo tanto esta excitación sin masa obedece
las ecuaciones electromagnéticas de Maxwell y se comporta como un fotón, en el
espacio plano. El segundo campo sin masa está asociado con cualquiera de los
generadores compactos del SU(2) de las rotaciones. Por lo tanto, esta excitación sin
masa obedece ecuaciones seudomaxwellianas, pero la acción de la conexión es una
rotación sobre los vectores espaciales (acción de espín) y debe ser interpretada como
parte de la gravitación.El tercer campo sin masa está asociado a cualquiera de los
generadores incompactos asociados a las impulsiones relativistas. Esta excitación
obedece ecuaciones lineales seudoelectromagnéticas, su acción corresponde a
impulsiones de Lorentz (aceleraciones) y debe ser interpretada como parte de la
gravitación.
Buscaremos ecuaciones ondulatorias. Una forma de conexión con una sola
componente algebraica a lo largo del generador k 2k 3 es un elemento par del álgebra que
induce una conexión en TM con una sola componente algebraica a lo largo del generador
de rotaciones en el plano 2-3 por medio del diferencial del homomorfismo de grupo de
SL(2,) a SO(3,1). Hagamos los cálculos en términos de las componentes de la tétrada
Masa de Excitaciones de Conexión
189
ortonormal. La métrica es constante pero las componentes tetrádicas son funciones de
las coordenadas. Las formas de conexión y curvatura se pueden escribir como
wbaˆˆ = 1E baˆˆ Amˆ q mˆ ,
d wbaˆˆ = 1E baˆˆ (dArˆ  q rˆ + Arˆd q rˆ
(14.5.1)
)
,
Wbaˆˆ = 1E baˆˆ F = 1E baˆˆ (¶[ mAn ]dx m  dx n ) .
(14.5.2)
(14.5.3)
Las ecuaciones de campo para la conexión dependen de la métrica o las tétradas del
espacio tiempo base. Para un espacio libre ellas son,
* *
d Wbaˆˆ = 1E baˆˆ *d *F = 0 ,
(14.5.4)
que pueden ser escritas en términos del codiferencial, o la métrica y la conexión de
Levi-Civita,
dd w = - Ln (g nl Ll wm )dx m = 0 ,
(14.5.5)
que lucen formalmente como las ecuaciones de Maxwell. Una ecuación similar se
obtendría para el tercer campo sin masa. En general tenemos que resolver
simultáneamente estas ecuaciones con aquellas que relacionan la conexión con la
tétrada.
De acuerdo al uso previo, indicamos por G los coeficientes clásicos de la conexión
de TM en coordenadas. En otras palabras, las G están relacionadas con las componentes
de la forma de conexión w por un cambio de bases de coordenadas. En cada punto m de
la variedad base M las transformaciones a coordenadas arbitrarias son transformaciones
lineales con unidad e inverso. Las transformaciones en un punto fijo se pueden
considerar matrices de GL(4,). Así, los coeficientes de la conexión en coordenadas
arbitrarias, en cada punto de una vecindad U de m, se pueden obtener de las 1-formas
de conexión en un sistema ortonormal por una transformación de una conexión GL(4,)
en cada punto de U, en otras palabras por una sección local en un fibrado principal
GL(4,) sobre M. Como un fibrado principal SO(3,1) se puede identificar como un
subfibrado del fibrado anterior, podemos escribir la transformación de la conexión w
por un elemento gÎGL(4,),
w ¢ = g - 1 w g + g -1 ¶ g .
(14.5.6)
Tomando para g la matriz correspondiente a las componentes de la cotétrada q en
coordenadas arbitrarias y por u su inverso, obtenemos los coeficientes de conexión en
términos de la forma de conexión, usando notación matricial. Podemos multiplicar por la
izquierda por q para definir las componentes mixtas,
GEOMETRÍA FÍSICA
190
ˆ
aˆ
aˆ b
aˆ
G ln
º wbl
ˆ qn + ¶l qn .
Capítulo 14
(14.5.7)
La parte antisimétrica de esta relación da la expresión para la torsión,
ˆ
ˆ
aˆ
b
aˆ
aˆ
S[aln
] º wbˆ [l qn ] + ¶[l qn ] = G [ln ] ,
ˆ
S aˆ = d q aˆ + wbaˆˆ  q b ,
(14.5.8)
(14.5.9)
La compatibilidad de la conexión con la métrica determina una relación entre la forma de
conexión, la tétrada ortonormal y la conexión de Levi-Civita (símbolos de Christoffel),
aˆ
gˆ
aˆ
gˆ
aˆ
gˆ
wgl
ˆ qaˆ ( m qn ) + wgn
ˆ qaˆ (l qm ) - w gm
ˆ qaˆ ( n ql ) = 0 ,
(14.5.10)
r
g mr { ln
} = gamG (aln ) + g an Slma + g alSnma .
(14.5.11)
Una solución de substrato que permita una excitación sin masa se puede obtener
resolviendo simultáneamente las ecuaciones (14.5.5, 14.5.9, 14.5.11).
14.5.1. Restricciones a Soluciones Posibles.
Dejaremos el caso general para consideraciones futuras. Aquí discutiremos el caso
especial cuando se satisfacen las ecuaciones de Einstein para la conexión. En este caso
la torsión es cero, las soluciones de vacío comunes de la ecuación de campo y la
ecuación de energía impulso son espacios de Einstein [10, 11]. El tensor de curvatura
de cualquier solución abeliana toma la forma,
aˆ
aˆ
aˆ
m
n
Rbmn
ˆ ˆ ˆ = E bˆ Fmn
ˆ ˆ = E bˆ (¶[ mAn ]dx  dx ) .
(14.5.12)
Como ejemplo supongamos ondas planas o sea que la superficie transversa sea
plana. La métrica transversa, en el plano 2-3, es euclidiana y podemos usar coordenadas
triviales para simplificar las ecuaciones. Ellas implican que F es cero, excepto una
componente
F01 = ¶0A1 - ¶1A0 ,
(14.5.13)
indicando que la conexión es trivial para un campo transverso. Para espacios de Einstein
con constante cosmológica nula no hay soluciones transversas de este tipo.
14.6. Resumen.
Hemos hallado ecuaciones para las excitaciones geométricas de conexión alrededor
de una geometría fija de substrato. En un caso particular mostramos que las ecuaciones
Masa de Excitaciones de Conexión
191
toman la forma de una ecuación de Yukawa. Las soluciones correspondientes se
comportan como campos de corto alcance, con el alcance determinado por una constante
asociada a la conexión de la solución de substrato. Esta constante, que en general
depende de las representaciones, puede interpretarse como la masa de una partícula
asociada a la excitación.
Especialmente, estudiamos las excitaciones que forman una representación de SU(2)Q. Se
demostró que los generadores asociados a estas excitaciones deben obedecer las reglas de
conmutación del grupo y que esto determina que la dirección interna de una fluctuación de la
conexión A debe estar a lo largo de una de las direcciones cuantizadas posibles. En consecuencia
el vector total A debe hallarse en un cono definido por un ángulo cuantizado Q relativo un eje
polar en la dirección par con un ángulo acimutal arbitrario.
Los únicos alcances posibles de una excitación que sea la representación fundamental de
su(2)Q deben ser proporcionales a los dos únicos valores absolutos posibles de su conexión
cuantizada, los cuales se relacionan por este ángulo polar. Las masas correspondientes, con
posibles correcciones de orden a, son aproximadamente iguales a las masas experimentales de
los bosones W y Z. El ángulo de Weinberg está relacionado con el ángulo polar Q.
La posibilidad de tener excitaciones de largo alcance sin masa alrededor de un
substrato constante, los campos clásicos, está limitada a la subálgebra de Cartan, que
tiene tres dimensiones. Una de las excitaciones sin masa corresponde al fotón. Las
otras dos están asociadas a la gravitación. La restricción a ecuaciones de Einstein en el
vacío hace que una solución particular se anule.
Referencias
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
G. González-Martín, USB preprint, 96a (1996).
G. González-Martín, ArXiv physics/0009066, USB Reporte SB/F/274-99 (1999).
G. González-Martín, ArXiv 0712.1538, USB Reporte SB/F349-07 (2007).
H. Yukawa, in Foundations of Nuclear Physics, R. T. Beyer, ed. (Dover Publications,
New York), p. 139 (1949).
G. González-Martín, I. Taboada, J. González, ArXiv physics/0405126, USB Reporte SB/F/
305.3-02, (2003).
R. E. Marshak, Conceptual Foundations of Modern Particle Physics, (World Scientific,
Singapore) ch. 6 (1993).
Philip M. Morse and Herman Feshbach, Methods of Theoretical Physics, 1st edition
(McGraw-Hill,New York), Vol.1, Chap.5.
F. Bloch, Z.Physik 52, 555 (1928).
G. Floquet, Ann. École Norm. Sup. 12, 47 (1887).
E. Fairchild, Phys. Rev. D14, 384 (1976).
G. González-Martín, Gen. Rel. and Grav. 22, 481 (1990). See chapters 3 and 5.
15. INTERACCIONES DÉBILES
15.1. Introducción.
Si la teoría geométrica tiene algo que ver con las interacciones débiles, debería ser
posible representar las interacciones entre el electrón y el neutrino dentro de estas ideas
geométricas, de la misma manera como se representan la gravitación y el electromagnetismo.
El rol que las álgebras de Clifford juegan en la estructura geométrica de la teoría suministra
un vínculo con las teorías de interacciones no clásicas. Una poliada par obedece la ecuación
del neutrino. Los grupos de holonomía de la conexión pueden ser usados geométricamente
para clasificar las interacciones contenidas en la teoría. La cadena de subgrupos SL(2,) É
Sp(2,) É SL(2,) caracteriza una cadena de subinteracciones con sectores reducidos de
interacciones no clásicas y posee una simetría interna SU(2)U(1) igual a la de las
interacciones débiles
Por otro lado, las ecuaciones de campo de la teoría admiten un conjunto de soluciones
constantes para el campo de conexión en términos de una unidad de distancia fundamental
[1]. Hemos visto en capítulos anteriores que podemos asociar el resultado de una medición
física a una de estas distancias para obtener una calibración de la unidad de distancia de
modo que la escala correspondiente pueda ser usada para obtener otras constantes físicas.
El cociente de las masas del protón y del electrón se calculó con gran precisión usando
estas ideas [2]. Posteriormente se calcularon las masas de los bosones W y Z [3] como se
indicó en el capítulo anterior. Estos resultados nos permiten esperar que efectivamente la teoría
geométrica pueda representar las interacciones débiles.
El modelo estándar ha tenido muchos triunfos describiendo las interacciones débiles y
fuertes que han llevado a una aceptación general de este modelo. Sin embargo, hoy día,
este modelo puede ser considerado como una teoría efectiva de otra teoría más general. La
historia nos ha enseñado que, en muchos casos, el progreso en física se obtiene por la
evolución y reemplazo de modelos que suministran ajustes parciales a los datos
experimentales por otros más generales. Por lo tanto, en la búsqueda de la unificación, la
falta de una relación a priori entre la geometría y el modelo estándar no debe impedirnos la
investigación de las posibles interpretaciones físicas del sector impar de la conexión que
precisamente tiene la clave para su relación con las interacciones no clásicas. El estudio de
hilos geométricos para representar partículas es una tendencia en esta dirección. En particular,
el sector par puede servir de vínculo con el modelo estándar. Aunque esto fuera imposible,
hay de hecho otro modelo [4], algunas de cuyas características eventualmente podrían
ofrecer un enfoque complementario a las partículas y sus interacciones, que puede estar
relacionado con nuestra teoría.
Como próxima tarea consideremos los aspectos de baja energía de las interacciones
débiles. En este capitulo nos ocuparemos principalmente de las conexiones de Sp(2,) y
Interacciones Débiles
193
SL(2,). Una sección e se relaciona a través de las cartas (coordenadas) con elementos del
grupo, SL(2,), los cuales son matrices que forman una base de espinores columnas de
SL(2,), en la representación definitoria. La conexión es una 1-forma valuada en sl(4,) que
actúa naturalmente en la sección e.
La ecuación de campo, que relaciona las derivadas de la curvatura con una fuente de
corriente J, es
D *W = k *J = 4 pa *J ,
(15.1.1)
J m = ek aˆ u amˆ e ,
(15.1.2)
en términos de la poliada material e, un subconjunto ortonormal k del álgebra, la
correlación en espacios espinoriales y la tétrada espacio temporal u. La constante de
acoplamiento es 4pa, donde a, es la constante de estructura fina. Para evitar
confusiones, en este capítulo usaremos el símbolo f para una sección general reservando
e para secciones electrónicas.
La ecuación de campo implica una ley de conservación para la corriente geométrica,
que determina una ecuación generalizada de Dirac en términos de las poliadas locales.
Esta ecuación, para las partes par e impar de una poliada f se reduce, bajo ciertas
condiciones [5, 6] a
k m¶m f+ = k mG m- f- = mf- ,
(15.1.3)
k m¶m f- = k mG m- f+ = mf+ ,
(15.1.4)
implicando que una poliada para un corpúsculo masivo debe tener partes par e impar.
Para una poliada par,
f- = 0  m =0 .
(15.1.5)
Por lo tanto, para una poliada par tenemos, multiplicando por k 0 ,
s m¶m f+ = 0 ,
(15.1.6)
que es la ecuación normalmente asociada a un campo de neutrino. Una fluctuación de
f + en un substrato fijo también obedece la última ecuación.
Anteriormente hemos sugerido que las partículas se pueden representar por
excitaciones en un substrato geométrico. En particular, el electrón y el neutrino, en
estados definidos corresponden a matrices con una sóla columna que no se anule y
que forme una representación del grupo.
194
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 15
15.2. Interacción Débil Geométrica.
Partiendo de la discusión previa, [7] consideremos que una interacción electrodébil
se puede relacionar con la acción del grupo de holonomía Sp(2,). El campo de
interacción total debe corresponder a una conexión G, una representación de Sp(2,).
La corriente material total debe asociarse a una poliada f de Sp(2,) que represente el
par de campos del electrón e y del neutrino n.
En un punto, la poliada total f de los e,n en interacción se relaciona con un elemento
del grupo Sp(2,), un elemento de un subespacio del álgebra geométrica R 3,1=R(4). La
poliada f se puede descomponer en campos asociados a las partículas e,n por medio de
la operación suma dentro del álgebra. Estos campos e, n no son necesariamente poliadas
porque la suma no preserva el subespacio del grupo Sp(2,) y geométricamente, e y n
no son secciones de un fibrado principal sino de un fibrado asociado, con el álgebra de
Clifford como fibra.
La corriente de fuente J en la teoría es
J = fk f = f k f ,
(15.2.1)
donde f es la sección de la poliada asociada al campo total del electrón y del neutrino y
k representa al subconjunto ortonormal. Para el grupo Sp(2,) la correlación se reduce
a la conjugación.
Debido a las propiedades que debe poseer el campo de una partícula neutra (no hay
efectos electromagnéticos ni masivos), consideremos que el efecto producido por n
debe ser pequeño relativo al efecto de e. Por lo tanto, podemos suponer que, en el
sistema compuesto, n es una perturbación del orden de la constante de estructura fina
a, la única constante física de la teoría.
f = e + an .
(15.2.2)
Entonces la corriente se convierte en
J = (e + an )k (e + an ) = e ke + a (e kn + nke ) + a 2nkn .
(15.2.3)
Los términos intermedios se pueden considerar como una perturbación de orden a
a una poliada material electrónica de substrato. La corriente de perturbación se puede
escribir separando e en sus partes par e impar y notando que n tiene solamente parte
par,
J -e ke = a éê(h + xk 0 ) kn + + n +k (h + k0 x )ùú .
ë
û
(15.2.4)
Como es usual en la teoría de partículas, despreciamos la gravitación que se toma
como una conexión par de SL(2,). Si buscamos aquellos efectos que no puedan
imputarse a la gravitación, es lógico centrar nuestra atención en la parte impar de la
corriente de perturbación como candidata para ser la corriente de interacción,
Interacciones Débiles
a -j m = a (hk m n + nk m h ) .
195
(15.2.5)
Esta expresión tiene la estructura de la corriente débil. Debe apuntarse que el neutrino
n se asocia automáticamente, por suma de Clifford, con la parte par h del electrón. Esto
corresponde a la asociación de Weinberg y Salam de las componentes izquierdas como
un doblete, con las mismas propiedades bajo una transformación de Lorentz .
Apliquemos la teoría de perturbaciones a las ecuaciones de campo, expandiendo la
conexión G en términos de la constante de acoplamiento a. Se tiene,
J = J 0 + aJ 1 + a 2J 2 +  ,
(15.2.6)
G = G 0 + aG 1 + a 2G 2 +  .
(15.2.7)
La ecuación del substrato y la ecuación de la primera variación, que es de segundo
orden en a, tienen la estructura siguiente,
(D *W)E = 4paJ E
,
(15.2.8)
d (D *W ) = 4 padJ .
(15.2.9)
En el límite estático, las excitaciones dJ se reducen a la subálgebra su(2)Q+su(2)S. Las excitaciones
son representaciones de SU(2)Q y por lo tanto sus componentes estan sujetas a la cuantización
de sus orientaciones electromagnéticas, de acuerdo a la sección 14.4. Debemos expresar el
término J1 en función de su componente impar. De esta manera dejamos que los términos de
primer orden sean, en función del ángulo Q del electrocono de la representación,
J 1 = j = -j sin Q ,
(15.2.10)
G 1 =W ,
(15.2.11)
y obtenemos para la variación, la ecuación lineal,
a (d *dW + LW ) = 4 pa 2 j ,
(15.2.12)
donde L es un operador diferencial de primer orden determinado por el substrato. Esta
ecuación se puede resolver, en principio, usando su función de Green . La solución en
a
términos de las componentes relativas a una base E del álgebra es
j
Wm i = 4paò dx ¢i mn (x -x ¢) jjn (x ¢)
.
(15.2.13)
Es bien conocido que la segunda variación de un lagrangiano sirve de lagrangiano
para la primera variación de las ecuaciones de Euler. Por lo tanto, el término GJ en la
196
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 15
derivada covariante presente en el lagrangiano [8] suministra un término de acoplamiento
de interacción, que puede tomarse como parte del lagrangiano para el proceso en
discusión. Cuando el término GJ se toma en unidades de energía, considerando que el
lagrangiano tiene un factor común, debe llevarnos a la energía de interacción del proceso.
La segunda variación (o diferencial) en una expansión de Taylor de la energía U,
corresponde al hessiano de U,
¶U i 1 ¶ 2U
U (0, dx ) =U (0 ) + i dx +
dx i dx j +  .
j
i
¶x
2 ¶x ¶x
(15.2.14 )
El término GJ da el lagrangiano de interacción para el substrato, en unidades de
energía,
E = - 41 tr ( 21 éêëJ Em GE m + GE mJ Em ùúû ) » -jEmAm ,
(15.2.15)
donde jA es claramente la energía eléctrica. Para las perturbaciones, el lagrangiano de
interacción está dado por 1/2 de la segunda variación o dJ . dG,
 = -a 2 41 tr 21 (Wm j m + j mWm ) .
(15.2.16)
Queda claro que esta interacción se propaga por G o W. Sin embargo, deseamos
obtener una interacción de corriente a corriente para compararla con otras teorías a
baja energía. La substitución de la ec. (15.2.13) en la última ecuación da la acción
correspondiente que para mayor claridad indicamos por
 = -2pa 3 41 tr ò dxdx ¢ ijmn (x - x ¢) éëêE i E l + E l E i ùûú j jm (x ) jln (x ¢) , (15.2.17)
que representa el hamiltoniano de interacción de corriente a corriente con una constante
de acoplamiento derivada de la constante de estructura fina. Esta nueva expresión se
puede interpretar como un lagrangiano para la interacción débil de Fermi. La constante
de acoplamiento es del mismo orden que la constante estándar de acoplamiento de
interacciones débiles, módulo términos de la función de Green  .
15.3. Relación con la Teoría de Fermi.
La acción, en términos de los elementos del álgebra y la traza, corresponde al
producto escalar. Para el caso de la solución homogénea isotrópica constante del
substrato [9], la función de Green es un múltiplo de la matriz unidad con respecto a las
componentes del álgebra. Supongamos que, para alguna clase de soluciones, la función
de Green tiene esta propiedad. Entonces, para esta clase de soluciones, la última ecuación
se puede escribir como
Interacciones Débiles
 = -4pa 3 41 tr ò dxdx ¢ mn (x - x ¢) j m (x ) j n(x ¢) ,
197
(15.3.1)
donde las j son matrices.
La corriente define una corriente par equivalente j -, la componente k 0 , al insertar
0 0
k k y conmutar como sigue,
j = (hk 0k 0k m n + nk 0k 0k m h ) = k 0 (h †s m n + n †s m h ) ,
- m
-
j- = h †sn + h.c. .
(15.3.2)
(15.3.3)
Cada componente de bloque 2´2, de cada matriz cuatridimensional, es una matriz par
que se puede representar como un número complejo, por el conocido homomorfismo
entre este álgebra compleja y una subálgebra de matrices 2´2. Así, podemos usar, en
vez de los espinores generalizados que forman la poliada f, los pares de espinores
estándares complejos, h 1 , h 2 y n 1 , n 2 que forman las matrices correspondientes,
respectivamente, a la parte par del electrón y del neutrino. El primer término de j -, que
corresponde a un término inhermítico, es
é h †1s mn1
h s n A = ê †1 m
êh s n
2
ë
ˆ
†B
h † 2s mn 1 ùú
.
h † 2s mn 2 úû
m
(15.3.4)
De esta manera, si usamos la notación estándar de la mecánica cuántica en la
representación de Weyl, cada componente es de la forma
- m
j =
1
Ye g m (1 + g 5 ) Yn = h †s m n ,
2
(15.3.5)
que puede reconocerse como la corriente inhermítica estándar de la interacción débil de
Fermi para el sistema electrón neutrino. Indiquemos esta corriente por j F y escribamos
j 0, la componente 0-0 de la matriz,
- m
0
j =
1
2
( jFm + jFm† )
.
(15.3.6)
Podemos evaluar la traza de las corrientes en la expresión para ,
tr ( -j -j ) = tr (k 0 -j- k 0 -j-) = tr ( -j-† k 0k 0 -j- ) = tr ( -j-† -j- ) .
(15.3.7)
Como se discutió anteriormente, dentro de esta teoría, las partículas se representarían
por excitaciones de poliadas materiales. Estas fluctuaciones son matrices que
corresponden a un estado, con números cuánticos definidos, de una representación
Capítulo 15
GEOMETRÍA FÍSICA
198
del subgrupo en cuestión. Esto significa que para cada par de espinores de una poliada
espinorial, solamente uno está activo para una matriz de fluctuación. En otras palabras,
para una fluctuación, una sola de las componentes de la matriz en la ec. (15.3.4) no es
cero y podemos omitir los índices en los espinores,
æ
tr ççç
çè
é h † (x ) s m n (x ) + h.c. 0 ù éh † (x ¢) s nn (x ¢)+ h.c.
ê
úê
ê
úê
0
0
0
ë
ûë
0 ùú
0 úû
ö
÷÷÷ = -j0m -j0n † =
÷ø
(h † (x )s mn (x ) + h.c.)´(h † (x ¢) s n n (x ¢) + h.c.)
, (15.3.8)
donde el lado derecho está en notación de números complejos en vez matrices 2´2.
Este término se combina con su conjugado hermítico. Debe apuntarse que al ir de las
realizaciones con matrices reales 4´4 a las de matriz compleja 2´2, el factor 1/4 enfrente
de la traza cambia a 1/2 y debido a la forma de las matrices de excitación aparece un
factor de 1/2.
La expresión resultante para  es
 =-
2pa 3
sin
2
dx dx ¢ (x - x ¢)
Qò
mn
j (x ) -j 0n (x ¢) .
- †m
0
(15.3.9)
Restrinjamos ahora la discusión a excitaciones alrededor de la solución compleja de
substrato constante indicada anteriormente, ec. (12.5.10). Entonces la función de Green
está determinada por la ecuación de fluctuación, como se hizo en la sección 14.3.
*
(
d *d dwdaˆ + 2 2mg
) dw
2
a
dˆ
(
+ 2 2 2mg
)
2
dwrrˆ ddaˆ = 4pa dJdaˆ ,
(15.3.10)
donde m g tiene el valor constante dado por la ec. (12.5.11), en la representación 4  4.
Podemos desacoplar las ecuaciones suponiendo un valor cero para los términos de
acoplamiento cruzado dw aa, e introducir la coordenada radial r como se hizo en la sección
mencionada. El resultado es una ecuación de Yukawa, donde hemos definido el coeficiente
constante dentro del paréntesis como el parámetro de masa m, en la correspondiente
representación de interés. En general, la función de Green tiene una función d de Dirac,
de un tiempo t’ que permite una integración temporal. La parte espacial de la función de
Green debe suministrar un rango equivalente para la interacción. Como m es una
constante, la ecuación se reduce, para una fuente puntual, a la ecuación radial. La
función de Green es
-m x -x ¢
=
-1 e
-1 e -mr
=
4p x - x ¢
4p r ¢
¢
.
(15.3.11)
Si suponemos adicionalmente que las corrientes varían poco en la pequeña región de
Interacciones Débiles
199
integración de forma que j(x’) es aproximadamente igual a j(x), obtenemos una
aproximación para el hamiltoniano contenido en la teoría geométrica,
¥
4p
1
w = - a ò dx -j0† (x ) · -j0 (x ) ò dr ¢r ¢e -mr ¢ ò d 2W ¢ =
2
0
0
-2pa
dx -j0† (x ). · -j0 (x ) . (15.3.12)
2
2
ò
m sin Q
El valor del ángulo Q, que indica la relación de la corriente impar con la corriente total, es
determinado por la cuantización de la orientación de las componentes en la representación que
corresponde a la corriente. Como la corriente J es cuadrática en función de la poliada e, su
excitación correponde a un par de excitaciones fundamentales de de su(2)Q y la excitación j de
la corriente es la representación con índice de espín electromagnético i=1 en la ecuación
(14.4.8). Se tiene entonces el ángulo del electrocono correspondiente que indicaremos por Q1 y
-
sin Q1 = sin Q =
1
1
j
j
-
=
j
- 2
+
j + j
2
=
i (i + 1)
i (i + 1) + 1
=
2
.
3
(15.3.13)
La expresión de las corrientes en la integral se puede reescribir de la manera siguiente,
- m - †
0
0m
j
j =
1
4
( jFm jF m + jFm † jF† m + 2 jFm jF† m )
,
(15.3.14)
Podemos evaluar este escalar en cualquier sistema de coordenadas. Escojamos un
sistema donde j F es a lo largo de la dirección temporal, esto es, que tenga solamente
0
una componente J F . Podemos escribir entonces,
- m - †
0
0m
j
j
= -j00 -j00† = 41 jF0 jF† 0 (e 2ij + e -2ij + 2) = jF0 jF† 0 cos 2 j
= jFm jF† m cos 2 j
,
(15.3.15)
en términos de una fase j. El ángulo j mide el grado de inhermiticidad de j F. Si j es
cero j F es hermítica. Podemos entonces suponer que j es p/2. Sin embargo, como j no se
mide en experimentos estándares, podemos esperar que su influencia en  sea a través
de su valor promedio < cos 2j > y es conveniente dejar esta expresión en la forma
j>
†
w = -2pa2 < cos
2
ò dxjF jF
m sin Q1
2
,
(15.3.16)
Capítulo 15
GEOMETRÍA FÍSICA
200
que determina el lagrangiano y la corriente j F que se suponen en la teoría de Fermi.
El valor de la constante de interacción G F es usualmente determinado de los resultados
de experimentos como el decaimiento del muón. Como siempre se hace en otras teorías
de interacciones débiles podríamos ajustar el valor de la constante al frente de la integral
a su valor experimental, fijando los valores de m y j.
-2pa < cos 2 j > -GF
=
.
m 2 sin 2 Q1
2
(15.3.17)
Por otro lado, ahora tenemos a nuestra disposición la posibilidad de calcular
teóricamente el valor de G F partiendo de la solución de substrato constante. El valor de
la masa m se obtiene teóricamente en una unidad geométrica debido a la representacion
usada,
m=
2 2mg
a
g -1
.
(15.3.18)
Esta unidad geométrica g se puede calibrar, en la representación de SL(4,) inducida
por SL(2,), usando el valor de la masa del protón m p en términos de una unidad de
masa. Esto es deseable porque la expresión teórica para el cociente de las masas del
protón y del electrón concuerda con el valor experimental [10]. El parámetro de masa
para el protón, expresado en la unidad geométrica en la representación definitoria, es
m p = 4mg
g -1 ,
(15.3.19)
y podemos calibrar la unidad fundamental de distancia g por el valor experimental de la
masa del protón. Debido a las similitudes de la corriente débil de Fermi con la corriente
electromagnética, que es hermítica, podemos fijar el factor relaciondo con la fase j igual a
1. El valor teórico de G F determinado de la masa del protón, sin otro valor experimental, es
GF =
2 2pa
2 2pa
=
= 1.176668 ´10-5 GeV -2
2
2
2
2
m sin Q1 æm p
÷÷ö æç 2 ÷÷ö
çç
çè a 2 ÷ø çè
3 ÷ø
» 1.16639 ´10-5
GeV -2 . (15.3.20)
Este valor está sujeto a correcciones de orden a debido las aproximaciones hechas.
En la representación inducida el valor calculado de la unidad geométrica es
1 g = 1.657012´10-14 cm = 0.1657012 f .
(15.3.21)
La perturbación general de la interacción geométrica de los campos del electrón y del
Interacciones Débiles
201
neutrino determina las ecs. (15.3.5, 15.3.16, 15.3.20) que esencialmente son la corriente, el
lagrangiano y la constante supuestos en la teoría de Fermi [11, 12] de interacciones
débiles [13, 14] de leptones. La teoría de Fermi esta contenida, como limite de baja
energía, dentro de la teoría unificada de conexiones y poliadas, o geometría física. Si la
teoría completa es aceptada hay ciertamente nuevos efectos e implicaciones, que deben
ser determinados sin hacer estas simplificaciones que muestran la relación de nuestra
teoría con las interacciones débiles a baja energía.
En particular, no debemos esperar que la teoría electrodébil esté relacionada a otra
constante de acoplamiento. Debido a la ilinealidad de la teoría, no es correcto suponer
que si substraemos de una solución completa, una solución parcial electromagnética,
obtenemos otra solución. Lo mismo pasa con las interacciones fuertes. Estas
interacciones nucleares fueron introducidas históricamente para contabilizar los
fenómenos físicos no explicados por los campos electromagnéticos y gravitacionales.
Desde nuestro punto de vista, podemos decir que los efectos nucleares corresponden
teóricamente al residuo de substraer soluciones de ecuaciones lineales de soluciones
de ecuaciones ilineales y en este sentido son residuales.
15.4. Resumen.
Se mostró que la técnica de perturbaciones generales para la interacción geométrica
de los campos del electrón y del neutrino conduce a las ecs. (15.3.5, 15.3.16, 15.3.20) que
son la corriente, el lagrangiano y la constante de acoplamiento de la teoría de Fermi de
interacciones débiles de leptones. La teoría de Fermi, es un límite de baja energía de la
teoría geométrica unificada. También está claro que si la teoría completa es un modelo
adecuado hay nuevos efectos que considerar.
La unidad geométrica fundamental de distancia, en la representación inducida, se
calibró en términos del valor experimental de la masa del protón. De esta calibración se
estimo un valor para la constante de acoplamiento débil G que es cercano al valor
aceptado actualmente, considerando las simplificaciones hechas. Claro está que
debemos considerar en el futuro aplicaciones a altas energías que puedan iluminar la
relación de esta geometría con el modelo estándar.
Referencias
1 G. González-Martín, USB preprint, 96a (1996).
2 G. González-Martín, ArXiv physics/0009066, USB Report SB/F/274-99 (1999); See chapter
13.
3 G. González-Martín, ArXiv 0712.1538, USB Reporte SB/F349-07 (2007).
4 W. T. Grandy, Found. of Phys. 23, 439 (1993).
5 Vea la sección 3.5.1
6 G. González-Martín, Phys. Rev. D35, 1225 (1987).
202
7
8
9
10
11
12
13
14
GEOMETRÍA FÍSICA
G. González-Martín, arXiv physics/0009045. USB Report SB/F/271-99 (1999).
Vea la ecuación 3. 2.2.
Vea el capítulo 12.
Vea el capítulo 13.
E, Fermi, Z. Physik 88, 161 (1934).
E. Fermi, N. Cimento, 11, 1 (1934).
R. Feynman and M. Gell-Mann, Phys. Rev, 109, 193 (1958).
E. C. G. Sudarshan and R. E. Marshak, Phys. Rev. 109, 1860 (1958).
Capítulo 15
16. INTERACCIÓN MAGNÉTICA FUERTE.
16.1. Introducción.
El electromagnetismo se representa por la conexión correspondiente a los generadores SU(2)Q,
que están sujetos a la cuantización de la misma manera que los generadores de impulso angular.
En particular, este acoplamiento geométrico suministra un potencial magnético atractivo con
4
dependencia radial fuerte 1/r que puede ser importante en procesos nucleares. El interés en los
efectos del electromagnetismo sobre la estructura nuclear es viejo [1]. Sin embargo, aquí
presentamos efectos nuevos debidos a esta interacción geométrica. Para ciertas aplicaciones no
es necesario usar la teoría completa y es suficiente tomar solamente el triple acoplamiento
electromagnético del subgrupo SU(2)Q.
16.2. Movimiento de una Excitación en
una Aproximación No Relativista.
Las ecuaciones de movimiento se discutieron en las secciones 3.3, 3.4 y 12.4. Son ecuaciones
linealizadas alrededor de la solución de substrato, con una fluctuación de la conexión
que representa autointeraciones. Para una aproximación no relativista podemos
despreciar los términos con bajas velocidades de orden v/c, que corresponden al sector
de impulsos del álgebra, o sea la impulsión  y las partes hermíticas de  y ,
h † = -h ,
(16.2.1)
x † = -x ,
(16.2.2)
para obtener
c† =
1
2
(h † + ix † ) = 12 (-h - ix ) = -j
,
(16.2.3)
j† =
1
2
(h † - ix † ) = 12 (-h + ix ) = -c
.
(16.2.4)
Como se hace usualmente en mecánica cuántica relativista [2] para obtener una
aproximación no relativista, sea
j  je -imt ,
(16.2.5)
c  ce -imt ,
(16.2.6)
Capítulo 16
GEOMETRÍA FÍSICA
204
obteniendo así funciones del tiempo que varían lentamente de acuerdo con las
ecuaciones
(i0 +
A0 )j - s m (im + +Am ) c = - -A0 j - s m -Am c +
+
- j¡0 - s m c¡m ,
(i0 +
(16.2.7)
A0 ) c - s m (im + +Am )j = -A0 c + s m -Am j +
+
+ c¡0 + s mj¡m - 2m c .
(16.2.8)
Despreciando  las ecuaciones se convierten, reconociendo las componentes

espaciales Am como un vector potencial magnético impar, en
(i0 +
+
A0 + -A0 )j - s m (im + +Am - -Am ) c = 0 ,
(i0 +
+
(16.2.9)
A0 ) c - s m ( im + +Am + -Am )j = - 2m c + -A0 c ,
(16.2.10)
donde c es una componente pequeña, de orden v/c relativa a la componente grande j.
Despreciamos los términos pequeños que son, como es usual, los términos c en la
ecuación (16.2.10) a no ser que estén multiplicados por m, y substituimos la expresión
resultante para  en la ecuación (16.2.9). El resultado es
(i0 +
A0 + -A0 )j -
+
s m (im + +Am - -Am ) s n (in + +Am + -Am )j
2m
=0 .
(16.2.11)
Como tenemos la bien conocida relación
s.a s.b = a.b + is.(a ´b ) ,
(16.2.12)
substituyendo en la ecuación (16.2.11) se obtiene, indicando el 3-vector potencial magnético
por A,
i0 j =
[
(i + +A - -A )⋅(i + +A + -A )
2m
s ⋅ (´( A + -A ))
+
-
2m
+
-( +A0 + -A0 ) +
s ⋅ ( -A´  )
m
-
is ⋅ ( -A ´ +A )
m
]j
(16.2.13)
Interacción Magnética Fuerte
205
que es una ecuación de Pauli [3] generalizada que depende de los vectores potenciales


magnéticos par e impar +A, A. El vector A decae exponencialmente en la forma característica
de Yukawa, como se vió en la sección 14.4. Las distancias mW r  1 definen una zona subnuclear
donde la exponencial se aproxima a 1. Las distancias mW r  1 definen una zona lejana donde
la exponencial es despreciable. En la zona lejana se obtiene la ecuación de Pauli,
é (i + A)2
s ⋅´A úù
ê
-V i0 y = ê
úy .
2
2
m
m
ëê
ûú
(16.2.14)
16.3. Momentos Magnéticos.
De acuerdo a la física geométrica [4] una solución G debe incluir los tres generadores
SU(2)Q. La ecuación de movimiento (16.2.13) muestra la notable estructura geométrica de triples.
Podemos asociar el efecto de una combinación de tres componentes de conexión SU(2)Q, uno
para cada posible P en G, como tres potenciales electromagnéticos A clásicamente equivalentes.
Se ha demostrado [5], en esta geometría, que todos los campos de largo alcance corresponden
a campos asociados al fibrado obtenido contrayendo el grupo de estructura SL(4,) a su
subgrupo par SL1(2,), que a su vez corresponde a los campos clásicos. Por lo tanto las
componentes de largo alcance de la conexión sl(4,) coinciden con las componentes
de largo alcance de una conexión sl 1(2,) correspondiente a una subálgebra par sl(2,)
u(1) de sl(4,) relacionada con campos gravitacionales y electromagnéticos. De hecho, cualquier
dirección en la subálgebra tridimensional electromagnética geométrica su(2)Q se puede identificar
como una dirección válida correspondiente a este remanente clásico electromagnético u(1) de
largo alcance. No hay una dirección preferida en su(2) Q. Si observamos un campo
electromagnético de largo alcance, siempre podemos alinear el campo clásico A con cualquiera
de los 3 generadores electromagnéticos geométricos k en su(2)Q, o una combinación lineal,
realizando una transformación SU(2)Q. Sin embargo los dos A adicionales deben hacer
contribuciones adicionales a la energía magnética del sistema G de corto alcance, como se
muestra en la ecuación (16.2.13), y por consiguiente al momento magnético correspondiente
[6]. Para estudiar esta energía nos restringimos a la zona subnuclear. Vea la sección 14.4 para
mas detalles sobre el subgrupo electromagnético SU(2)Q similar al subgrupo de espín SU(2)S.
La dirección interna del potencial A está a lo largo de las direcciones posibles del generador
electromagnético E en su(2)Q. Las componentes de A deben ser proporcionales a las traslaciones
par e impar posibles. En la zona subnuclear el vector A se halla en el electrocono definido por el
ángulo polar cuantizado Q [5] relativo a un eje en la dirección par y un ángulo acimutal arbitrario,
-
E
+
E
=
E2
+
E
1
2
=
i (i + 1)
n
º tan Qni .
(16.3.1)
GEOMETRÍA FÍSICA
206
Capítulo 16
-
La acción de los cuadripotenciales Am o A m sobre un vector propio común en el álgebra
+
se puede expresar simplemente en términos de la acción de Am,
(
Am y = ( +Am + -Am ) y = n + e -
(
= 1 +e-
-
mr
-
mr
)
l (i ) ym
)
l (i ) n n ym º (1 + tan Qn¢i (m, r )) +Am y º (1 + X ) +Am y .(16.3.2)
El potencial Am tiene una orientación en el álgebra de Clifford con el ángulo Q’ respecto al
potencial estándar, que se reduce en la zona subnuclear mW r  1 al ángulo electrocónico Qni
exigido por la quantización del generador de SU(2)Q en la representación (n,i), como se indicó en
la sección 14.4. El ángulo Q½½ de la representación fundamental es aproximadamente igual al
complemento del ángulo de Weinberg y puede sugerir su interpretación geométrica. Cuando el
ángulo Q se escriba sin índices debe entenderse que se refiere a la representación fundamental.
La energía magnética acoplada al espín en la ecuación (16.2.13) es, en la zona subnuclear,
s
s ⋅B
s ⋅ B æç
lö
⋅ (´( +A + -A ))j = (n + l )j = çè1 + ÷÷÷ønj
ç
2m
2m
2m
n
12ö
æ
çç (i (i + 1)) ÷÷ s
s
÷÷
= -ç1 +
⋅ ( ´ +A)j = -(1 + tan Qni )
⋅ ( ´ +A)j .(16.3.3)
ç
÷
2m
n
÷ø 2m
çè
U =-
Hemos introducido el ángulo electrocónico Q que representa la dirección del generador total A
de un G-sistema, en el álgebra su(2).
El estado fundamental que representa a un protón es el estado de SU(2)Q con carga +1,
correspondiente a los autovalores de rotación electromagnética ½, ½. En términos del
campo magnético par la energía se convierte en
(
)
12ö
æ
1+ 3
çç ( 1 2 ( 1 2 + 1)) ÷÷ s ⋅ +B
÷÷
U = -ç1 +
j =s ⋅ +B j .
çç
1
÷÷ 2m
2m
2
è
ø
(16.3.4)
El valor de Q es p/3. Estadísticamente esta dirección corresponde al promedio de la componente
proyectada de una dirección clásica aleatoria a lo largo de una dirección par escogida.
El primer termino en el paréntesis esta relacionado con el P-sistema que tiene solamente un
subgrupo electromagnético U(1) y donde no están presentes las complicaciones debidas a
2
SU(2). El subespacio impar complementario correspondiente a S no existe. La orientación de la
conexión electromagnética completa A siempre se puede tomar a lo largo de una dirección par
definida por la subálgebra física u(1). El ángulo Q puede tomarse igual a cero. Él corresponde a
0
un P-sistema, asociado al electrón, con solamente una componente electromagnética k . En
Interacción Magnética Fuerte
207
este caso la energía se reduce a
U=
-1
-1 +
s ⋅ ( ´ +A ) =
s⋅ B .
2m
2m
(16.3.5)
Si fuera posible hacer una transformación que alinee la dirección interna Q a lo largo de la
dirección par en todo lugar, realmente estaríamos lidiando con un P-sistema porque habríamos
restringido la conexión a un subgrupo P. Un P-sistema suministra una dirección preferida en el
0
subgrupo SU(2)Q de G, el único generador electromagnético k del grupo P asociado. Si usamos
una P-particula de prueba (un electrón) para interactuar con un campo magnético externo B,
realmente alinearíamos la componente de largo alcance A con esta dirección preferida. De esta
manera podemos explicar los experimentos físicos de largo alcance usando una ecuación de
campo electromagnético abeliano con una fuente remota y una ecuación de Dirac. Si usamos
una G-particula de prueba (un protón) para interactuar con un campo externo, lo mas que
podemos hacer es alinear la componente clásica de largo alcance A con una dirección aleatoria
i
en su(2). Parte del campo total interno B es solo observable en regiones de corto alcance. A
cada dirección interna de B relacionada por una transformación de SU(2)Q, corresponde una
dirección “asociada” de espín, que define productos escalares asociados s.B. Los productos
escalares adicionales, relativos a un P-sistema, surgen de los dos campos geométricos
n
adicionales, y/o, equivalentemente, de dos copias adicionales de matrices de Pauli k k en el
álgebra universal de Clifford, determinadas por las direcciones adicionales magnéticas y
1 2 3
5
espinoriales k, que se hallaban originalmente a lo largo de k k k y k . Los operadores adicionales
de espín, introducidos por los potenciales electromagnéticos de corto alcance “no clásicos”,
representan lazos de corrientes internas adicionales que generan un incremento “anómalo” de
la energía magnética intrínseca.
Hemos calculado la energía magnética de un G-sistema libre, con cero campo externo B, en
+
términos del campo interno par observable B cuya dirección interna coincide con la dirección
interna eventual de un campo externo B. En este experimento imaginario, el momento magnético
se define como la derivada parcial de la energía magnética, producida por el campo magnético
i
+
interno generalizado total B, con respecto a la componente par B en cuya dirección interna se
alinearía la dirección interna del campo externo B,
ma º -
¶U
.
¶ +Ba
(16.3.6)
Los métodos estándares de mediciones físicas del momento magnético son resonancia
paramagnética nuclear [7, 8 ], haces moleculares y espectroscopia óptica [9]. En un experimento
físico real, cuando la muestra se coloca en el campo externo, hay un cambio en la energía
magnética, ya sea de un G-sistema o de un P-sistema. Para ambos sistemas, nuestra partícula de
prueba responderá a un campo externo, sintiendo una variación del campo electromagnético
+
vinculado a la partícula de prueba, en la dirección interna del campo par B que es la única
componente observable a largo alcance. El cambio en la energía magnética, después de restablecer
GEOMETRÍA FÍSICA
208
Capítulo 16
en la ecuación las constantes físicas fundamentales e, , c que son todas iguales a 1 en nuestras
unidades geométricas, es
DU =
æ e ö÷ S ⋅ B
S ⋅B
¶U
ç
÷
D
B
tan
Q
=
2
1
+
= -gi mi
(
)
i ç
+
÷
ç

¶B
è 2mic ÷ø 
(16.3.7)
donde la variación vista por la partícula de prueba es igual al campo externo B, el ángulo interno
Qi es cero para el electrón o p/3 para el protón y mi es la masa respectiva. Esta expresión define
el magnetón (atómico o nuclear) mi y el factor giromagnético anómalo de Landé gi.
Los momentos magnéticos del protón y del electrón resultan,
æ e ö÷ sa
Sa
÷÷ = gi mi
ma = 2 (1 + tan Qi )ççç
,

è 2mic ÷ø 2
(16.3.8)
a
æ e ö÷ s a
÷÷ = g p mN S ,
map = 2 1 + 3 ççç
çè 2m pc ÷ø 2

(16.3.9)
(
)
æ e ö÷ sa
Sa
÷÷ = ge mB
mea = -2 çç
,
çè 2mec ÷ø 2

(16.3.10)
determinando los factores giromagnéticos anómalos del protón, 2(2.732) y del electrón, -2.
En EDC (QED) los valores calculados del momento magnético de orden cero para el
electrón y el protón, dados por el diagrama de difusión del campo externo de Coulomb, son
singulares. En cada caso, el hamiltoniano de interacción para el campo externo de Coulomb
difiere por el coeficiente anómalo adicional respectivo g, determinado por la ecuación (16.3.10).
El efecto de esta diferencia es adjuntar el coeficiente respectivo g al vértice externo en el
diagrama. Así después de la renormalización, los valores del momento magnético de orden
cero para el protón y el electrón son proporcionales por los factores respectivos de orden cero
g0. Las correcciones radiativas para el electrón fueron calculadas por Schwinger [10, 11, 12].
Para ambos, el electrón y el protón, las correcciones de primer orden, determinadas
exclusivamente por la parte de vértice del diagrama de difusión de Coulomb, son
proporcionales a los términos correspondientes de orden cero. Para el electrón el diagrama
de corrección de vértice, formado por una línea interna fotónica entre dos líneas internas
fermiónicas, da el factor de corrección de Schwinger a/2p. Para el protón, la triple estructura
electromagnética U(1) presente en el sector SU(2)Q del operador de interacción geométrica
JG, determina tres términos de acoplamiento estándar j.A. La triple estructura también está
presente en el sector incompacto del álgebra. Esto indica que una descripción completa de
una excitación protónica requiere tres momentos de impulsión ki. Consecuentemente una
Interacción Magnética Fuerte
209
descripción plena del diagrama de difusión del campo externo de Coulomb requiere de un
par de tripletes internos de momentos fermiónicos de impulsión, en vez de simplemente un
par de momentos electrónicos. Volveremos a esta cuestión en la sección 17.4. Hay procesos
radiativos U(1) adicionales entre las seis líneas internas fermiónicas correspondientes a los
tripletes. Por lo tanto, hay múltiples diagramas adicionales de vértices, que se obtienen
permutando la línea interna fotónica entre las líneas fermiónicas, que contribuyen a la corrección de
primer orden. La multiplicidad de las correcciones de vértice de las 6 líneas fermiónicas
tomadas dos a dos es
M=
n!
6!
=
= 15 .
p !(n - p )! 2 !4 !
(16.3.11)
Cada corrección es igual al valor de Schwinger, a/2p, debido a la equivalencia por el grupo
SU(2) Q. Hasta primer orden, el momento magnético del protón es
g 1 g 0 æç
15a ö÷
= ç1 +
÷ = 2.7321(1 + 0.01742) = 2.7796 .
ç
2
2è
2p ÷ø
(16.3.12)
Calculemos el momento magnético de una combinación de excitaciones en la cadena GPL. El
potencial electromagnético total es la suma del potencial A de SU(2)Q y AU de un U(1) diferente. Sea
j una función propia (½) de A y de AU. El momento magnético corresponde a [13]
s
⋅ (´(AU + +A + -A ))j
2m
12ö
æ
-s ⋅ B
-s çç (i (i + 1)) ÷÷
÷÷⋅ (´(AU + +A ) )j .(16.3.13)
=
(n + nU + l )j = çç1 +
2m
2m çè
n + nU ø÷÷
U =-
Incluyendo la corrección radiativa con la multiplicidad de 28 vértices, correspondiente a 4
excitaciones P en el álgebra su(2)+U(1) resultante, el momento magnético de la combinación es
æ
28a ÷öçæ e ÷÷ö sa
Sa
Sa
ç
.
ma = -2 1 + 3 2 çç1 +
=
g
m
=
2
1
967
m
.
(
)
÷
÷
n N
N
çè
2p ÷øçèç 2m pc ÷ø 2


(
)
(16.3.14)
Las discrepancias de estos momentos magnéticos con los valores experimentales, del protón
(2.7928) y del neutrón (1.9130), son del orden de 0.5% . El neutrón puede considerarse una
combinación del protón, el electrón y el antineutrino.
Capítulo 16
GEOMETRÍA FÍSICA
210
16.4. La Ecuación Modificada de Pauli.
Si la ecuación de Pauli generalizada (16.2.13) en la zona subnuclear sirve para calcular los
momentos magnéticos de los nucleones esperamos que esta ecuación intervenga en la interacción
nuclear. En particular nos interesa aplicarla al estudio de las propiedades de los nucleidos estables
livianos [14]. Substituyendo las ecuaciones (16.3.2) y (14.3.11) para estados cuánticos de A se obtiene,
[-2 + i +A ⋅ (X + 2) - (X 2 - 1) +A 2 - 2m (1 + X ) +V
- s ⋅ ((1 + X ) ´ +A + X ´ +A - 2X +A ´)]y = 2mE y .
(16.4.1)
Una solución de substrato ilineal implica la autointeracción entre las ecuaciones de campo y
movimiento de sus excitaciones. Es normal definir el autopotencial de una carga como positivo.
Con la definición adecuada del potencial clásico A, de acuerdo con la sección 12.4, se tiene,
Am º iG +m (Q ) = - +Am ,
(16.4.2)
ˆ W e -mWr tan Q + 2) - (e -2mWr tan 2 Q - 1)A 2
[-2 - iA ⋅ (-rm
+ 2m (1 + e -mWr tan Q )V - 2e -mWr tan Q ( s ⋅A ´)
(
)
+ s ⋅ (1 + e -mWr tan Q ) ´A - mW e -mWr rˆ ´A tan Q ]y = 2mE y . (16.4.3)
La relación de esta excitación con su substrato determina sus potenciales que dependen de
la masa bosónica mW. La excitación se descompone linealmente en excitaciones fundamentales
locales, con signos relativos de carga. Estos signos corresponden a la acción del operador A,
que ahora se considera un campo externo, sobre la función de onda Y. Ambos son autovectores
del operador carga de SU(2)Q con signos correspondientes a sus representaciones.
La conexión SU(2)Q es un campo de corto alcance [14]. A distancias atómicas, en la zona
lejana mW r  1 , Q es cero. Para el átomo, la función de onda Y corresponde a la excitación del
electrón de carga negativa y el potencial escalar A0 corresponde a la excitación del núcleo de
carga positiva. Obtenemos la ecuación estándar de Pauli (16.2.14) con el potencial
electromagnético clásico A de U(1) al incorporar la carga -e en las unidades usuales.
A distancias pequeñas en la zona subnuclear mW r  1 , la tangente del ángulo electrocónico
½
cuántico fundamental Q, que está relacionado con el ángulo de Weinberg, es 3 y obtenemos
(
)
+ s ⋅ ((1 + 3 ) ´A - m
(
)
ˆ W 3 + 2 - 2A 2 + 2m 1 + 3 V
[-2 - iA ⋅ -rm
W
)
rˆ ´A 3 - 2 3 s ⋅A ´]y = 2mE y . (16.4.4)
Interacción Magnética Fuerte
211
La presencia del sector impar de A, como ya se sugirió en la sección 12.4 cambia el signo del
término A2 de potencial, de acuerdo a las ecuaciones (16.2.13) y (12.4.13), de forma que este
potencial fuerte sea atractivo. En términos del momento magnético m y lacarga positiva q de una
fuente puntual, la ecuación es
 2
 
 
2
(m´r )
m ´r 
  m ´r
[- - 2i 3 ⋅ - 2
1
3
s
+
+
⋅
´
6
3
r
r
r
 

   
s ⋅ rˆ ´m ´r
s ⋅ m ´r ´ 2m 1 + 3 q
]y = 2mE y (16.4.5)
- 3mW
-2 3
+
3
3
r
r
r
(
)
(
)
donde vemos que los efectos dominantes son los términos magnéticos que incluyen un
potencial nuclear atractivo r -4.
Debe indicarse que el factor giromagnético y el espín son propiedades geométricas internas
de una partícula o excitación que están determinadas por los operadores geométricos (cuánticos)
electromagnéticos presentes en el término de la energía magnética interna de su ecuación de
movimiento interno. Por lo tanto, es conveniente reconocer un factor geométrico total g = mm
en el momento magnético m que incluya el factor giromagnético y el espín pero que excluya la
masa, que representa una reacción inercial secundaria en el movimiento de las cargas.
Dependiendo del sistema particular que se considere esta masa puede corresponder a la masa
reducida del sistema o a una masa total.
16.5. El Modelo Protón-Electrón-Protón para
el Deuterón.
Consideremos que la ecuación representa un sistema de excitaciones G y P, en particular un
sistema de un electrón y dos protones moviéndose alrededor del centro de masa del sistema.
Los campos están dominados por el campo magnético del electrón debido a su mayor momento
magnético m. El campo SU(2) resultante está caracterizado por la masa reducida del sistema que
es la masa m del electrón. Hay cuantos de flujo asociados a los protones p y al electrón e, uno
para cada partícula, que se enlazan entre sí. Esto hace conveniente usar las líneas de flujo o
hilos magnéticos para caracterizar los enlaces entre los momentos magnéticos de las partículas.
El potencial dominante es una fuerte atracción en la dirección radial ecuatorial que puede
considerarse como atracción entre líneas de flujo. Los tres hilos de cuantos de flujo indicados
no pueden enlazarse de forma que se atraigan todos en conjunto sin contradecir el principio de
exclusión de Pauli para los dos protones. Para que se atraigan todos es necesaria la presencia de
un cuarto hilo. Este hilo tiene que ser suministrado por la única excitación neutra fundamental
en la teoría, una excitación L o neutrino con un cuanto de flujo enlazado. El sistema resultante
(p,e, n , p ) es un modelo para el deuterón. La única manera posible de enlazar las líneas de flujo
GEOMETRÍA FÍSICA
212
Capítulo 16
atractivamente determina que el subsistema (e, n ) º e ¢ tiene los espines de e y  en la misma
dirección. Por lo tanto e’ tiene espín 1, la carga, masa y momento magnético del electrón. Los
operadores Ae del electrón e y Ap de los protones p dentro del sistema estable (p ,e ¢, p )
+
integran un único operador del campo coherente total A, que depende de la masa reducida, y
determina su excitación fundamental de SU(2). Es decir, el cuadripotencial A resultante tiene la
orientación requerida en el álgebra de Clifford por la representación cuántica fundamental del
generador en SU(2)Q. Esto determina el ángulo electrocónico geométrico Q de A con respecto al
+
potencial electromagnético par A. El campo A resultante afecta a todos los componentes del
sistema y en particular a los protones. La energía magnetostática interna dominante es la que
mantiene ligado el sistema (p ,e ¢, p ) de excitaciones y determina el valor propio E de su energía.
Decimos que es una disposición simétrica casi estática de dos protones alrededor del electrón
excitado en una formación protón-electrón-protón que facilita una solución estable.
Debido a la simetría podemos usar coordenadas cilíndricas con el eje z a lo largo del momento
magnético m del electrón. Es conveniente aproximar los potenciales a un r muy pequeño
conservando solamente el término dominante r -4 del potencial. Expresemos el autovalor de la
energía como una fracción de la masa E = me 2 . De esta manera obtenemos [14] la ecuación
é
ù
ê
ú
ê
ú
2
2
m
ê-2 - 2m 2 e 2 úy=0
.
ê
3ú
2
æ
ö
ê
ú
z
r 4 çç1 + 2 ÷÷÷ ú
ê
çè
êë
r ÷ø úû
(16.5.1)
Esta ecuación no es separable [15] debido la dependencia del ángulo espacial polar q
contenida en el producto vectorial.
Sin embargo, como el impulso angular orbital y el espín tienden a alinearse con el campo
magnético B, debemos esperar que la función de onda se concentre alrededor del plano
ecuatorial y que la mayor parte de la energía esté en la región ecuatorial. Un cálculo del
gradiente negativo del término dominante del potencial confirma esta consideración,
æ
ö
ç -2m 2 r 2 ÷÷
2m 2
ç
÷
- çç
=
3÷
3
çèç(r 2 + z 2 ) ÷÷ø r 4 (1 + z 2 r 2 )
éæ
ù
÷÷ö
6z 2
6z
êçç -4 +
ú
u
u
.
÷
êçç
2
2 zú
2
2 ÷ r
r +z
r (r + z )ø÷
êèç r
ú
ë
û
(16.5.2)
El gradiente negativo tiene una dirección hacia el plano ecuatorial z = 0 para todos los valores
de z y hacia el origen en una región ecuatorial definida por z 2 < 2r 2 . Esta región ecuatorial está
delimitada por dos conos cercanos al ecuador, caracterizados por un ángulo ecuatorial o latitud qe.
Interacción Magnética Fuerte
(p 2 - qe ) £ q £ (p 2 + qe ),
qe » z r 2 .
213
(16.5.3)
En el límite de r muy pequeño el problema se reduce a un problema bidimensional en el plano
ecuatorial. Por lo tanto, cerca de este límite debemos simplificar poniendo sin q » 1 , z » 0 ,
obteniendo una ecuación aproximada separable,
2
é 2
ê + 2m 2 e 2 + 2m4
ê
r
ë
ù
úy =0 ,
ú
û
2
2
2
é ¶2
ê 2 + 1 ¶ + 12 ¶ 2 + ¶ 2 + 2m 2 e 2 + 2m4
ê ¶r
r ¶r r ¶j
¶z
r
ë
(16.5.4)
ù
úy =0 .
ú
û
(16.5.5)
Como la dependencia en z es originalmente a través del ángulo polar espacial q, es conveniente
introducir en su lugar, en la zona ecuatorial, una coordenada de latitud angular z,
z = tan
z z
» .
r r
(16.5.6)
En términos de esta coordenada en la región ecuatorial la ecuación se convierte en
é 2 ¶2
2m 2
¶
¶2
¶2
2 2 2
êr
2
r
m
e
r
+
+
+
+
+
ê ¶r 2
r2
¶r ¶j 2 ¶z 2
ë
ù
úy =0
ú
û
(16.5.7)
porque
2
¶2
¶z ¶ æç ¶z ¶ ö÷ æç ¶z ö÷ ¶ 2
1 ¶2
»
»
÷»ç ÷
.
ç
¶z 2 ¶z ¶z çè ¶z ¶z ÷ø èç ¶z ø÷ ¶z 2 r 2 ¶z 2
(16.5.8)
Suponemos una solución separable en la región ecuatorial, de la forma
y = R (r ) L (j)Z (z ) .
(16.5.9)
La ecuación separada para Z es
¶ 2Z
= a 2Z
¶z 2
(16.5.10)
donde a es sólo una constante aproximada de separación.
La simetría cilíndrica implica la conservación del componente acimutal del impulso angular.
El espinor de Pauli Y, o componente grande del espinor de Dirac, es un autoespinor común de
GEOMETRÍA FÍSICA
214
Capítulo 16
los generadores de rotación Lz, de espín Sz y total Jz. Las autofunciones se pueden construir
usando las funciones exponenciales,
æe inj ö
L+ (j, n ) = n , + 12 = ççç ÷÷÷ ,
çè 0 ÷ø
(16.5.11)
æ 0 ö
L- (j, n ) = n , - 21 = çç inj ÷÷÷ .
çèe ø÷
(16.5.12)
Exigimos que la parte espacial de la autofunción sea monovaluada, lo cual determina que n es un
entero. De esta manera, la ecuación separada para la función angular es
¶2
n ,  21 = -n 2 n ,  12 .
¶j 2
(16.5.13)
Los valores n significan que el sistema tiene impulso angular orbital alrededor de su centro
de masa. Desde un punto de vista mecánico, esto implica una rotación del más liviano electrón
e alrededor del centro de masa de los dos protones p. Esto podría ser inconsistente con el
mecanismo casi estático, indicando una inestabilidad, y podríamos descartar los valores n ¹ 0 .
El modelo estable pudiera ser posible solamente con un sistema estático.
De acuerdo a lo indicado en la sección 16.4, el momento magnético está determinado por un
factor geométrico g que depende de los campos y las cargas en movimiento. El momento
magnético es inversamente proporcional a la masa que tiende a oponerse al movimiento. Es
conveniente hacer un cambio de variable a una variable radial adimensional compleja z
racionalizada a la masa,
r2 =
m 2
g
z = 2 z2 ,
me
m e
(16.5.14)
donde g para el electrón es ½. Se obtiene la ecuación radial separada que tiene puntos singulares
irregulares en cero y en el infinito [15],
é
ù
æ
1ö
z 2R ¢¢ + zR ¢ + ê 2 ge ççz 2 + 2 ÷÷÷ - (n 2 - a 2 )ú R = 0 .
çè
êë
úû
z ø
Si ponemos
(16.5.15)
z = e u obtenemos
R ¢¢ + éê 2ge (e 2u + e -2u ) - (n 2 - a 2 )ùú R = 0 ,
ë
û
que es la ecuación modificada de Mathieu [16, 17] con los parámetros
(16.5.16)
Interacción Magnética Fuerte
q = 2 ge ,
215
(16.5.17)
a = n 2 - a2 .
(16.5.18)
En la última ecuación los parámetros a y a deben ser considerado parámetros efectivos a
determinar por el conjunto de las tres ecuaciones porque, independiente de n2 y a2, a puede
incluir otras contribuciones asociadas a la ecuación (16.4.5). Sin embargo, los valores propios
de las ecuaciones angular y radial son los que determinan directamente los valores posibles del
par n, a y en consecuencia el valor efectivo de a2.
Este resultado aproximado de la aplicación de la ecuación de Mathieu para el sistema en
estudio podría obtenerse también partiendo del uso de coordenadas esféricas.
16.6. Energía de Ligadura del Deuterón.
Según el teorema de Floquet [18], una solución de la ec. (16.5.16) incluye un factor total, e su
donde s es una constante compleja. Si s es un entero se obtienen las funciones de Mathieu de
orden s. Una función de Mathieu [15] es una de las pocas funciones especiales que no son
casos especiales de la función hipergeométrica y por lo tanto la determinación de sus valores
propios difiere. Las funciones de Mathieu pueden expresarse como una serie de Fourier. Los
coeficientes de la expansión en serie son proporcionales a los valores de las raíces características
ar de un conjunto de ecuaciones de fracciones continuadas obtenidas de las relaciones de
recurrencia entre tríos de coeficientes de expansión. Estas raíces características se obtienen
como series de potencia en q.
Una solución de la ecuación de Mathieu puede expresarse también en términos de una serie
de funciones de Bessel con los mismos coeficientes de la serie de Fourier. Esta serie de Bessel
es conveniente para hallar el comportamiento asintótico de la solución. Reemplazando las
funciones de Bessel con las funciones de Neumann obtenemos una solución de la segunda
clase. Soluciones de la tercera y cuarta clase se obtienen al combinar las funciones de Bessel y
de Neumann para formar funciones de Hankel. Queremos una solución regular en cero que se
anule en el infinito. Exigimos que s = 0 para evitar un comportamiento asintótico singular u
oscillatorio. El comportamiento apropiado de exponencial negativo en el infinito se obtiene de
las funciones radiales de Mathieu de orden cero, de la tercera clase, o funciones de MathieuHankel indicadas por He0 (q , u ) .
Se conoce que las raíces características y los coeficientes correspondientes de la expansión
en serie de las funciones de Mathieu tienen singularidades de corte en el eje imaginario q y el
plano complejo a de las superficies correspondientes de Riemann [17, 20]. Por lo tanto, los
coeficientes de la expansión son multivaluados. En el problema estándar de valores propios de
la ecuación radial, la energía se determina eliminando las singularidades de la serie
hipergeométrica requiriendo que sus coeficientes se anulen después de cierto orden. En nuestro
caso, la energía debe determinarse eliminando las singularidades de corte de la serie de Mathieu
escogiendo coeficientes apropiados. Debemos exigir que los coeficientes de la función R de la
solución sean monovaluados así como se exigió para la función L. Para eliminar la posibilidad
GEOMETRÍA FÍSICA
216
Capítulo 16
de coeficientes multivaluados y obtener una solución regular debemos descartar todos los
puntos q en todas las ramas de las superficies de Riemann excepto los puntos comunes q0 de
todas las ramas. Exigimos que q sea el par de puntos comunes q0 en las ramas de la superficie de
Riemann correspondiente a las dos primeras raíces características a0 y a2 que determinan el
resto de los coeficientes de las funciones pares de Mathieu de período p.
Las constantes q0 y a han sido calculadas [19, 20, 21] con muchos dígitos significativos. El
valor q0 determina un único valor propio negativo degenerado para la energía de los estados de
la solución, como sigue,
q = 2ge = e = iq0 ,
(16.6.1)
y se tiene una solución estable con energía de ligadura por estado
E 0 = e 2me = -q 02me = -(1.4687686 ) me » -1.10237 Mev.
2
(16.6.2)
De acuerdo al modelo, ambos estados y = 0,  1 2 están ocupados y la energía total es
E = -2.20474 Mev. » -2.2246 Mev. = -U d
(16.6.3)
donde Ud es la energía de ligadura del deuterón. Esta es la energía necesaria para destruir la
disposición simétrica casi estática del sistema. Es requerida para desintegrar el sistema en un
protón y una excitación electrón-protón o neutrón, como se indica en la siguiente sección. Esta
energía negativa de ligadura es debida a la interacción electromagnética fuerte SU(2)Q. Por lo
tanto, la reacción física de un protón con un neutrón, que produzca un deuterón, debe
simultanemente liberar esta cantidad Ud de energia electromagnética en forma de radiación. Eso
determina la reacción
p +n  d + g .
(16.6.4)
Como los protones componentes deben estar en estados opuestos de impulso angular, el
espín del deuterón es igual al espín del sistema e’. Si encontrásemos la ecuación correcta para
el sistema e’ de espín 1, tendría un término de energía magnética similar a los encontrados
previamente donde el coeficiente del campo B es
me ¢ = ge ¢ mB Se ¢ = me = mB
(16.6.5)
en términos del magnetón de Bohr y una matriz S de espín 1. Esta ecuación descarta el estado de
espín 0 para e’ y para el deuterón. El deuterón sólo puede estar en los estados de espín ±1.
También muestra que e’ no tiene un factor giromagnético anómalo.
En general la barrera magnética nuclear del potencial para la “ligadura pep” del deuterón
está aproximadamente determinada por el bosón A [5] en la ecuación radial ecuatorial,
[-¶ 2
r
(3e
-2mAr
- 1)
4m r
2
4
-
1
2mr
3
-
2m
]y = 2mE y ,
r
(16.6.6)
Interacción Magnética Fuerte
217
con el 1 según y. La altura de la barrera de SU(2) depende criticamente del valor 2rmA = 1.3984
que determina la localización del máximo del término r -4 . Si el sistema está en un medio periódico,
la ec. (14.4.33) para el alcance 1/mA indica que la barrera pep disminuye por un factor de orden
8.8 ´10-14 facilitando que un protón la penetre, en una reacción de fusión de baja energía.
16.7. El Modelo Electrón-Protón para el
Neutrón.
Si el sistema estable de 2 protones bruscamente pierde un protón, podemos suponer que el
potencial producido por el electrón permanece constante durante una corta transición, mientras
el sistema se hace inestable. La disposición simétrica casi estática de los dos protones alrededor
del electrón en la formación protón-electrón-protón es destruida, conduciendo a una disposición
asimétrica con una fuerte dinámica en un sistema electrón-protón. En lugar de la representación
fundamental de SU(2) del potencial del sistema, se constituyen representaciones separadas de
U(1) y SU(2) del electrón y el protón respectivamente. Como se indicó anteriormente, el factor
giromagnético g es determinado por la interacción SU(2). La suma de los valores respectivos
determina el factor giromagnético anómalo del neutrón. Durante esta transición, los parámetros
magnéticos, en particular el factor giromagnético anómalo g, deben ajustarse a la nueva situación,
(
2 1+ 3
) rm = g
3
p
m
.
r3
(16.7.1)
El otro parámetro que se ajusta automáticamente es el valor propio de la energía E. Los
únicos términos potenciales en la ecuación (16.4.5), que deben cambiar son aquellos que
dependan de estos parámetros magnéticos. Así, consideremos la expresión
(
W = 2m 2 e 2 + 2 1 + 3
) rm = 2mE + g rm
3
3
(16.7.2)
que contiene los valores variables g y E, mientras se mantienen constantes r y los otros
términos potenciales en la ecuación (16.4.5). Es claro que el valor total de W también permanece
constante mientras E y g cambian. Por lo tanto,
dW = 2mdE +
m
dg = 0 .
r3
(16.7.3)
Esta última ecuación relaciona los cambios del valor propio de la energía con el cambio del
factor giromagnético mientras los campos magnéticos su(2) se ajustan,
dE
m
=ºK ,
dg
2m r 3
(16.7.4)
GEOMETRÍA FÍSICA
218
Capítulo 16
donde K se toma como constante. Suponemos que la constante de integración es igual a cero,
lo cual significa que E y g evolucionan proporcionalmente hacia el estado inestable y W es cero
después de la colisión y durante la evolución hacia el estado inestable. El valor propio de la
energía es proporcional al factor giromagnético y al término potencial del momento magnético
intrínseco que es una fracción del potencial efectivo total
E En E 0
=
=
.
g
gn
gp
(16.7.5)
El cociente de los valores propios de la energía de los dos nucleones es, entonces,
aproximadamente igual al cociente de los factores giromagnéticos. Sabemos de la sección 16.3
que ambos momentos magnéticos anómalos del protón y del neutrón están determinados y
calculados teóricamente según dos arreglos diferentes de los campos magnéticos su(2) en
sistemas de excitación nucleónica de masa mp. El sistema protón-electrón sufre cambios en sus
campos magnéticos su(2) hacia un sistema inestable del neutrón que eventualmente decae. La
energía de este último sistema queda teóricamente determinada por estos valores teóricos del
factor giromagnético,
En =
-1.967
(-1.10237 ) = 0.780 Mev. » mn - m p - me = 0.782 Mev.
2.780
(16.7.6)
Este sistema tiene un exceso de masa igual a En que libera en forma de energía cuando decae en
sus constituyentes protón y electrón.
La ecuación de Pauli (16.4.5) para el movimiento interno relativo al centro de masa, con la
masa reducida m, bajo el campo magnético interno, sirve para calcular efectos giromagnéticos
y energías de ligadura. Para el neutrón se tiene
é
ù
ê-2 - (-2) 1 + 3 gn s ⋅ B ú y = 2mE y .
n
ê
g p 2 úúû
êë
(
)
(16.7.7)
La ecuación de Pauli también sirve para estudiar el movimiento del centro de masa del sistema
neutrón bajo un campo magnético externo, ahora con la masa total resultante,
M n¢ = M p + me + E n .
(16.7.8)
En este caso la ecuación, con el mismo factor giromagnético geométrico en el término interno de
energía magnética, es
é i  2
ù
æ
ö
çç1 + 3 ÷÷æçç e ö÷÷ s ⋅ B ú y = i ¶y .
ê+
2
÷
ê
ç
2 ÷øèç 2M n¢c ø÷÷ 2 úûú
¶t
èç
êë 2M n¢
(16.7.9)
Interacción Magnética Fuerte
219
El sistema (p ,e , n ) es un sistema de espín ½ porque el espín del protón es opuesto al espín
de (e, n ) º e ¢ . Así, el neutrón y el protón que forman el deuterón tienen sus espines en la misma
dirección. El hecho de que el momento magnético del deuterón sea la suma aproximada de los
momentos del protón y del neutrón se explicaría porque la presencia de un campo magnético
externo hace que un protón reaccione por si solo y el resto del sistema, p, e’ reaccione ajustando
sus campos como un neutrón.
16.8. El Modelo de muchos Deuterones.
La presencia de impulso angular orbital, l ¹ 0 , rompe el mecanismo casi estático del modelo.
La ecuación determina sólo una excitación estable de ligadura correspondiente a los estados de
espín ±½ de las excitaciones de campos poliádicos bajo la interacción magnética fuerte. Esta
“ligadura pep” del deuterón es una excitacion fundamental (p,e’,p) y suministra otro mecanismo
de acoplamiento que permite la combinación de más de 2 protones. La partícula alfa, o excitación
a, puede considerarse como una excitación de 2 deuterones [22].
El rango de la interacción magnética define la zona subnuclear r  1 mW  rp , muy pequeña
respecto al radio de los protones rp. La ecuación de Mathieu determina una sóla energía de
ligadura pep en un par de protones. Para que los protones sientan la atracción fuerte sus
centros tienen que estar en la zona subnuclear. Por lo tanto, los protones están esencialmente
superpuestos. En el modelo a hay 4 protones y 2 electrones los cuales están también
superpuestos y deben compartir el campo magnético. El estado estacionario, de energía mínima,
es la superposición cuántica simetrizada, como en el ion molecular de hidrógeno. Los electrones
y protones son compartidos por todas las ligaduras pep posibles del sistema. Las ligaduras pep
posibles cumplen el principio de exclusión de Pauli y son sólo aquellas que comparten un
electrón solo e'. Los p participan en tantas ligaduras pep como posibles pares de protones.
Una diferencia en el modelo a es que la masa reducida m del sistema es aproximadamente la
mitad de la masa me del electrón debido a la presencia de dos electrones en el sistema. La
transformación de coordenadas requerida para obtener la ecuación de Mathieu difiere de la ec.
(16.5.14),
r2 =
m 2
g
g
z =
z2 =
z2 ,
2m 2 e
me
mem e
(16.8.1)
que cambia q proporcionalmente y determina una energía doble de enlace Ud’ por par,
q =e 2 ,
(16.8.2)
Ed¢ = 2E0¢ = 2e2m = 2 (2q ) m = -4q02me = -2Ud .
2
(16.8.3)
La energía Ed¢ =-2Ud es el único autovalor de Mathieu para cada ligadura pep aunque e' se
GEOMETRÍA FÍSICA
220
Capítulo 16
comparta. Este hecho junto con la simetría simplifica el cálculo de la energía del problema de n
cuerpos. Hay estados simétricos de agrupamientos cuyas energías están determinadas por sus
ligaduras pep. El agrupamiento a simétrico asociado a 4 protones tiene 6 ligaduras pep y por lo
tanto tiene la energia de estas 6 ligaduras menos la diferencia de masas electrónicas,
å
4 p , 2e ¢
p ,e ¢
4 p ,6 e ¢
mi = å p ,e ¢ mi - 4me ¢ ,
E(4 p ,2e ¢) = E 4 p ,6e ¢ - 4me = 6 Ed¢ - 4me = -28.501 Mev. º E a » -U a .
(16.8.4)
(16.8.5)
Similarmente tenemos las mismas consideraciones para 3 protones. El agrupamiento simétrico
asociado a los 3 protones tiene 3 ligaduras pep con energía única Ed de Mathieu,
E(3 p ,e ¢) = E 3 p ,3e ¢ - 2me = 3Ed - 2me = -7.636 Mev. º E 3He » -U 3He . (16.8.6)
El principio de exclusión prohibe 2e en una ligadura pep. Un e extra sí se puede vincular al p que
no esté al instante en una ligadura pep (imposible en el sistema a), con la energía de la ec.(16.7.6),
DE = me - (mn - m p ) ,
16.8.7)
E(3 p , 2e ¢) = E 3He + DE = -8.416 Mev. º E 3H » -U3H .
(16.8.8)
Estas ecuaciones determinan una identidad entre las masas de los isóbaros A=3. Como
nuestra notación usa la correspondencia (3p,e ¢) = (2p, n ) podemos escribir
m 3H + = mp + 2mn + E 3He + DE = 2m p + mn + me + E 3He
m 3H + º m3He 2++ me
(16.8.9)
lo cual indica una pequeña posibilidad de decaimiento b de 3H + a 3He+ de acuerdo a
consideraciones de energía total a pesar de las diferencias desfavorables de energía de enlace.
También implica que los átomos correspondientes 3He y 3H tienen esencialmente masas iguales,
con diferencias despreciables del orden de la interacción electrónica de Coulomb.
Hemos obtenido las energías de enlace para 4He y los nucleidos isóbaros 3H, 3He dentro de
un 1%. Por lo tanto, el modelo nos induce a considerar que las ligaduras pep o deuterones son
el componente esencial de agrupamientos más complejos en interacción electromagnética con
nucleones adicionales. Esto es consistente con los números protónicos y neutrónicos de los
nucleidos. Cualquier protón extra afuera de una ligadura pep cuando se asocie con e' puede
interpretarse como neutrón. La energía de enlace Ud determina una fuerza “nuclear” entre los
nucleones que es independiente de una asociación como neutrón.
Interacción Magnética Fuerte
221
16.9. Resumen.
La ecuación de movimiento se puede escribir, en una aproximación no relativista, como una
ecuación de Pauli modificada que nos permite hacer cálculos aproximados. Los resultados
numéricos obtenidos para los momentos magnéticos y las energías de enlace son
sorprendentemente cercanos a los valores experimentales, para este crudo modelo. Estos valores
teóricos admiten factores de corrección debido a las aproximaciones hechas.
Los principios teóricos geométricos requieren ligaduras magnéticas (p,e , n , p ) para formar
y combinar agrupamientos nucleares de manera similar a los enlaces atómicos. Desde un punto
de vista teórico es interesante conocer que este electromagnetismo “fuerte” SU(2)Q, sin ayuda
de ninguna otra fuerza, genera potenciales atractivos cuasiestáticos de corto alcance capaces
de suministrar la energía de ligadura de nucleidos livianos, compuestos de protones y electrones.
Puede ser que la consideración de los términos de interacción despreciados sea suficiente, sin
ninguna otra fuerza nuclear, para explicar todas las propiedades nucleares. En cualquier caso,
las implicaciones de la existencia de esta atracción electromagnética “fuerte” SU(2) deben jugar
un papel fundamental en las interacciones fotonucleares, la fusión nuclear, la estructura de los
nucleidos, el desarrollo de modelos nucleares, la espectroscopía de rayos gamma y otros campos
relacionados.
La energía de enlace del deuterón y otros nucleidos livianos sería esencialmente
magnetostática y las reacciones nucleares de fisión y fusión en un sistema de nucleidos serían
transiciones magnéticas multipolares. El campo electromagnético puede intercambiar radiación
electromagnética gamma del tipo M1 a través del correspondiente cuanto o fotón gamma. Si el
sistema interactúa con otro sistema (externo), además del canal radiativo habrían otros canales
posibles en la matriz de difusión S. El potencial total puede tener transferencias de energía en la
zona cercana no radiativa. Podrían abrirse canales cuasiestáticos entre el sistema de nucleidos
y el otro sistema a través del campo en esta zona electromagnética. En particular, si el potencial
es periódico y coherente podría reducirse la barrera magnética cuántica para intercambios
cuasiestáticos. De esta manera se transferiría energía magnética con baja radiación como sucede
usualmente entre sistemas electromagnéticos y materiales cercanos.
Desde un punto de vista práctico no se deben pasar por alto estos resultados por las
implicaciones que ellos puedan tener en entender los procesos de fusión de núcleos livianos. El
campo electromagnético sería un elemento activo de un generador de fusión. En particular,
puede suministrar posibles procesos de fusión para el desarrollo de la energía de fusión limpia,
sin los problemas presentes de alta radiación y radioactividad.
También, aparte de dificultades técnicas, campos magnéticos fuertes localizados relacionados
con una radiación gama dirigida en un plasma nuclear pueden ocasionar efectos de resonancia
que estimulen una reacción electromagnética de fusion y emisión de gammas. La reacción en un
sector de un plasma de protones, electrones y neutrones polarizados magnéticamente, con las
condiciones apropiadas, podría ser amplificada por estimulación debido a la presencia de la
radiación gamma M1 resonante desde otros sectores. En otras palabras, amplificación de la
fusión y la radiación por emisión estimulada de radiación gamma.
Se puede argumentar, que si este modelo se realiza en la naturaleza, existirían evidencias
222
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 16
experimentales adicionales en su favor. Al respecto, debemos apuntar que el rasgo más
extraordinario del SU(2) electromagnético es su estructura geométrica triple. En particular esta
estructura debe revelarse con la presencia de tríos de resonancias asociados a subexcitaciones
su(2) dentro de los nucleones. La evidencia experimental para estos fenómenos se enmascara
como quarkios. En vez de bloques fundamentales de materia, los quarkios pueden considerarse
estados internos excitados que realmente brindan soporte a la interacción electromagnética
geométrica SU(2).
Referencias
1 J. F. Carlson and J. R. Oppenheimer, Phys. Rev. 41, 763 (1932).
2 J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics (Mc Graw-Hill, New York,
ch. 1, (1964).
3 L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Mécanique Quantique, Théorie non Relativiste (Ed. Mir,
Moscow), 2nd. Ed. p. 496 (1965).
4 Vea las secciones 3. 6 y 4.2.
5 Vea las secciones 2.3 y 14.4
6 G. González-Martín, I. Taboada, J. González, ArXiv physics/0405126, USB Reporte SB/F/
305.3-02, (2003).
7 E. M. Purcell, H. C. Torrey, R. V. Pound, Phys. Rev. 69, p.37 (1946).
8 F. Bloch, W. W. Hansen, M. Packard, Phys. Rev., 70, p. 474 (1946).
9 N. F. Ramsey. Nuclear Moments, (Wiley, New York), (1953).
10 J. Schwinger, Phys. Rev. 73, 416 (1948).
11 J. Schwinger, Phys. Rev. 76, 790 (1949).
12 J. M. Jauch, F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, Springer-Verlag, New
York), Second Ed., p342 (1976).
13 G. González-Martín, ArXiv physics/0009066, USB Reporte SB/F/274-99 (1999). Vea el
capítulo 13.
14 G. González-Martín, ArXiv 0712.1531, USB Reporte SB/F/350.2-07 (2007).
15 Philip M. Morse and Herman Feshbach, Methods of Theoretical Physics, 1st edition
(McGraw-Hill,New York), Vol.1, Chap.5, p.655, 673.
16 E. Mathieu, J. Math. Pures Appl 13, 137 (1868).
17 Gertrude Blanche,” Chapter 20 Mathieu Functions” in Milton Abramowitz and Irene A.
Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1964)
18 G. Floquet, Ann. École Norm. Sup. 12, 47 (1887).
19 H. P. Mullholland and S. Goldstein, Phil. Mag. 8, 834 (1929).
20 Josef Meixner, Friedrich W. Schäfke, and Gerhard Wolf, in Mathieu Functions and
Spheroidal Functions and Their Mathematical Foundations, edited by A. Dold and B.
Eckman (Springer-Verlag), Berlin, Vol. 1, Chap.2, p.85.
21 C. J. Bouwkamp, Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 51, 891 (1948).
22 G. González-Martín, ArXiv 0805.0363, USB Report SB/F/361-08 (2008).
17. LA ESTRUCTURA GEOMÉTRICA DE
PARTÍCULAS E INTERACCIONES.
17.1. Introducción.
El grupo de la estructura geométrica del espacio tiempo en la relatividad especial es fundamental
para las teorías de campos de las partículas elementales, que se toman como representaciones de
este grupo. En contraste, la geometría de la relatividad general no ha jugado este rol fundamental.
Sin embargo, nuestra geométricamente unificada teoría relativista de la gravitación y el
electromagnetismo puede tener aplicaciones no triviales para la teoría de partículas [1, 2]. Algunos
de los valores numéricos obtenidos en capítulos anteriores y relacionados con propiedades de
las partículas se indican en los párrafos siguientes.
El quantum de flujo magnético posible de las partículas, ec. (7.5.3), es
f0 = h
2e
= p
e .
Los cocientes de masas del protón, el electrón y los bosones W y Z, ecs. (13.3.39),
(14.4.28), (14.4.29), son
m
mG V (K R )
=
= 6 p 5 = 1836.1181 » p = 1836.153 ,
mH V (C R )
me
mA = m =
2 2mg
a
m -A = mA sin Q =
=
mp
2a
= 90.9177 Gev. » mZ = 91.188 Gev.
m p sin Q
2a
= 78.7370 Gev. » mW = 80.42 Gev.
La energías de ligadura del deuterón, la partícula alfa y el exceso de masa del neutrón,
ecs. (16.6.3), (16.8.5), (16.7.6), son
Ed = 2e 2me = -2q 02me = -2.20474 Mev. » -2.2246 Mev. = -U d ,
E(4 p,2e¢) = E(4 p,6e¢) -4me =-6Ud¢ -4me =-28.5009 Mev. »-28.28 =-Ua ,
GEOMETRÍA FÍSICA
224
En =
Capítulo 17
Ed gn
= 0.780 Mev. » mn - m p - me = 0.782 Mev.
2g p
Los momentos magnéticos del protón y el neutrón, ecs. (16.3.12), (16.3.14), son



æ
ö÷æç e ö÷ s

15
a
S
S
mp = 2 1 + 3 çç1 +
,
֍
÷÷ = g p mN = 2 (2.7796 ) mN
çè
2 p ÷øççè 2m pc ÷ø 2


(
)



æ
ö÷æç e ö÷ s

28
a
S
S
÷÷ = g n mN = - 2 (1.967 ) mN
mn = - 2 1 + 3 2 çç1 +
֍
.
èç
2 p ø÷ççè 2m pc ÷ø 2


(
)
Estos valores y otros resultados anteriormente indicados no son valores “ad hoc” sino
consecuencias matemáticas de un modelo geométrico de la relatividad. Es decir, están
determinados geométricamente por primeros principios, lo cual no es cierto en otros modelos
populares de física de partículas que son incapaces de producir números equivalentes. Por
el contrario, muchos de estos modelos están llenos de parámetros arbitrarios.
Por lo tanto, en este capítulo discutiremos esta cuestión usando las propiedades e ideas
grupales y geométricas, evitando aquellos aspectos innecesarios que presenten obstáculos
en la comprensión de las implicaciones físicas de esta geometría para las partículas físicas.
Previamente, es conveniente hacer un resumen de las ideas principales como una
introducción a la discusión general.
El estudio de grupos que actúan en las estructuras geométricas de una teoría física
puede determinar propiedades físicas esenciales, sin resolver realmente las ecuaciones de
la teoría. Este enfoque particular, una realización del grupo geométrico como secciones de
un fibrado, es nuevo en el tratamiento de las partículas elementales y su interacción.
Es bien conocido que los grupos de holonomía de una conexión en un fibrado se pueden
usar para clasificar sus posibles conexiones. Es de interés usar este método para obtener
una visión de los tipos de interacciones físicas presentes en la teoría unificada.
En la teoría cuántica de campos (TCC o QFT) ciertas partículas adquieran masa por el
mecanismo de Higgs [3] que descansa en ciertas simetrías que posee el vacío. Esto parece
asignar al vacío un rol que no es completamente pasivo. Podemos asignarle al vacío un rol
mas activo. Esto se logra reconociendo que el vacío de partículas es un espacio geométrico
con significado físico, relacionado con esta teoría de física geométrica unificada ilineal.
Consideremos una aproximación, a la teoría ilineal, donde los objetos microscópicos se
realizan como excitaciones lineales alrededor de un espacio geométrico de substrato ilineal.
Esto es consistente con la interpretación en TCC de partículas como excitaciones del vacío.
Interpretemos las excitaciones como partículas y el substrato como vacío de partículas.
Con esta definición, una partícula recibe la acción del substrato y nunca esta realmente
libre excepto en un espacio absolutamente vacío (curvatura cero del substrato). El espacio
de substrato lleva propiedades inerciales universales. Una partícula libre es una idealización.
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
225
A un nivel fundamental, si aceptamos una física en el substrato, estamos suponiendo, en
parte, un principio holístico (Parménides) que debe ser consistente con las ideas de Mach
[4] y de Einstein [5] que asignan importancia fundamental a la materia distante en la
determinación de las propiedades inerciales de la materia local. Al contrario al suponer
solamente partículas aceptaríamos un principio atomístico (Democritus). Esto implicaría
que no hay física en el substrato.
La restricción a subgrupos de holonomía tiene también implicaciones para las ecuaciones
de movimiento de la materia. Como, en la teoría, las partículas se representan como
excitaciones de bases o poliadas materiales (secciones de un fibrado), podemos esperar
que la asociación geométrica de poliadas materiales a subgrupos de holonomía clasifique
naturalmente a las partículas y las asocie a interacciones. La esperanza de lograr este
objetivo descansa en los resultados de trabajos previos.
Las constantes asociadas a cierta conexión aparecen como parámetros constantes en
las ecuaciones de excitaciones y juegan un rol fundamental [6]. Como en relatividad general,
las ecuaciones covariantes pueden y deben referirse a bases (coordenadas) que deben
relacionarse con observadores determinados por el experimento físico en cuestión. De otra
forma, los resultados teóricos permanecen indeterminados. La libertad de escoger un
referencial, arbitrario por una transformación del grupo, genera una clase de soluciones
equivalentes representada por un referencial particular er.
Cualquier excitación debe ser asociada a un substrato definido. Una observación
arbitraria de una propiedad de una excitación depende tanto de la excitación como del
substrato, pero el observador físico debe ser el mismo para ambos, la excitación y el
substrato. Podemos usar la libertad de seleccionar la poliada referencial para referir la
excitación a la poliada física definida por su propio substrato, que satisface la ecuación
ilineal (1.4.2).
Entonces este substrato trivial está referido a sí mismo, como en el capítulo 12, y la
poliada e b , del substrato referida a e r se convierte en la identidad I. Realmente esto
generaliza las coordenadas comóviles (coordenadas adaptadas a las geodésicas de un
polvo material) [7]. Escojamos coordenadas adaptadas a la poliada del substrato porque
el único referencial que no es arbitrario es la propia poliada material. La materia libre no
muestra autoaceleracion ni autoacción. En el sistema de referencia propio estos efectos
desaparecen. Solamente los términos de autoenergía, determinados por la ilinealidad
del substrato, tienen sentido y deben ser el origen del parámetro de masa constante.
A distancias pequeñas l, característica de las excitaciones libres, tanto la conexión
como la poliada del substrato parecen simétricas. Matemáticamente podemos decir que
el substrato es localmente un espacio simétrico [8] o variedad hiperbólica. Reconocemos
la condición necesaria que el substrato sea un fibrado que admita localmente un
conjunto maximal de vectores de Killing de simetría del espacio tiempo, que anulen la
derivada de Lie de la conexión [9]. Esto implica que hay coordenadas de Killing tales
que la conexión es constante no nula en la región de interés de la partícula. (Una
conexión plana es una hipótesis demasiado fuerte).
Está claro de la definición de excitación, que una partícula libre es una representación
226
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 17
del grupo de estructura de la teoría y en consecuencia un elemento algebraico. Una
representación (y por lo tanto una partícula) está caracterizada por los autovalores de
los operadores Casimir. Los estados de una representación (partícula) están
caracterizados por los autovalores de una base de operadores en el subespacio de
Cartan. Esto suministra un conjunto de números cuánticos algebraicos a la excitación.
Se ha indicado que las partículas físicas son representaciones del grupo de holonomía
de la conexión, un subgrupo de SL(2,), inducidas del subgrupo SL(2,) y realizadas
como funciones en los espacios cocientes. De hecho, se ha mostrado que nuevas
consecuencias electromagnéticas de la teoría de la teoría determinan la cuantización de
la carga eléctrica [10] y del flujo magnético, suministrando una explicación para el efecto
Hall cuántico [11]. Las propiedades de las partículas deben estar determinadas por la estructura
geométrica.
Un aspecto importante es: ¿Cómo calculamos la masa en una forma consistente? La
masa surge de constantes con dimensión de longitud inversa correspondientes a una
solución de substrato de la ecuación de campo ilineal. Estas constantes aparecen en
las ecuaciones de excitaciones lineales de (13.1.1) para una poliada fermiónica y dw
(14.3.7) para una conexión bosónica, en la representación definitoria, donde m es el
parámetro de masa fermiónica expresado por la ec. (13.2.13) y w determina el parámetro
bosónico de masa expresado por la ec. (14.2.6). Ambos parámetros son determinados por
la métrica de Cartan-Killing en términos de las constantes de la solución de substrato.
Si consideramos excitaciones geométricas sobre un substrato, estas expresiones se
pueden expandir como una perturbación alrededor del substrato en términos de un
parámetro pequeño e, que caracterice la excitación. Esto indica que el término de orden
cero, la masa desnuda, está dado enteramente por la corriente y la conexión del substrato,
con correcciones que dependen de la autointeracción de las excitaciones. Como se
indicó en trabajos anteriores [12], estas correcciones corresponden a una teoría
geométrica de campos cuánticos.
De esta manera, el parámetro de masa desnuda de una partícula no se determina de
la propia ecuación lineal de la partícula, sino de la solución ilineal de substrato inercial
holístico. La existencia de una solución de conexión constante para estos campos
asintóticos (substrato de partículas libres) suministra una distancia fundamental, debida
a la ilinealidad, y da un mecanismo para calcular cocientes de masas en términos de
volúmenes de los respectivos espacios cocientes simétricos. El caso extremo de un
espacio vacío absoluto, que implique una autointeracción nula de la curvatura del
substrato, solo es matemáticamente posible en esta teoría para un universo vacío de
materia, debido a la ilinealidad de las ecuaciones de campo del substrato.
Sin embargo, la asociación de una masa a esta distancia geométrica permanece
arbitraria porque esta solamente calibra una escala geométrica de distancia en términos
de una escala física de masa. Como la unidad de masa es distancia inversa, podemos
asociar una masa física estándar a la distancia geométrica estándar. Después de esta
asociación podemos intentar el cálculo de cocientes de masa. Por ejemplo, si escogemos
la masa de la excitación protónica para calibrar la unidad geométrica, podemos calcular
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
227
la masa de la excitación electrónica, como se demostró en la ecuación (13.4.1) [13]. El
resultado de este cálculo, usando los cocientes de grupos de holonomía y la existencia
de esta solución constante de substrato, es el cociente de masas que esencialmente está
de acuerdo con el valor experimental. Similarmente podemos calcular la masa de los bosones
intermediarios en términos de la masa del protón, como se indica en las ecuaciones (14.4.28) y
(14.4.29).
La ecuación de movimiento se puede escribir, en una aproximación no relativista, como
una ecuación de Pauli modificada que nos permite calcular aproximadamente los momentos
magnéticos del protón y el neutrón [14], las energías de ligaduras del deuterón, la partícula
alfa, los isóbaros A=4 y el exceso de masa del neutrón [15].
Los resultados numéricos obtenidos son sorprendentemente cercanos a los valores
experimentales. En este capítulo nos planteamos como determinar la existencia y propiedades
de las partículas utilizando las propiedades algebraicas y topológicas de la geometría del
modelo y en particular como calcular los cocientes geométricos de las masas de las partículas
posibles.
17.2. Clasificación de la Conexión.
Para clasificar las interacciones busquemos los grupos dinámicos de holonomía H
de la conexión asociada. Es claro que H debe ser un subgrupo del grupo de estructura
de la teoría, SL(2,). Por razones físicas deseamos que las interacciones estén asociadas
a una evolución dinámica de las fuentes de materia. Los efectos dinámicos se producen
en la teoría por la acción del grupo, en particular, las aceleraciones deben ser producidas
por los generadores equivalentes a las impulsiones de Lorentz, referidas a un observador.
Por lo tanto, exigimos que los generadores de impulsiones, k 0 k a, estén presentes en
una conexión que pueda identificarse con una interacción dinámica por un observador
asociado al subespacio de Minkowski generado vectorialmente por k a. Debido a la
naturaleza de la corriente fuente,
J m = ek aˆ u amˆ e ,
(17.2.1)
que corresponde a la acción adjunta del grupo en el álgebra, debe estar claro que todos
los generadores de la forma k[ak b] de SL(2,) deben estar presentes en el grupo dinámico
de holonomía de una conexión de interacción física.
Si designamos el subgrupo par generado por k [ak b], como L, la discusión anterior
significa que
L Í H ÍG .
(17.2.2)
Adicionalmente, H debe ser simple. Las diferentes posibilidades se pueden obtener del
conocimiento de los subgrupos de G.
Los posibles subgrupos simples son los siguientes:
1. El subgrupo de 10 dimensiones P, generado por k a, k [b k g]. Este grupo es
isomorfo a los grupos generados por k [ak bk g], k [ak b] y por k [a k b k c], k [a k b], k 5 y
228
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 17
de hecho a cualquier subgrupo generado por una combinación lineal de estos
tres generadores.
2. El subgrupo de 6 dimensiones L, correspondiente a los generadores pares del
álgebra, k [ak b]. Este grupo es isomorfo al subgrupo generado por k a , k [a k b], y
por k 0 k [a k b] , k [a k b] y de hecho a cualquier subgrupo generado por una
combinación lineal de estos tres generadores.
3. El mismo grupo G.
El subgrupo P es Sp(2,), como puede verificarse explícitamente mostrando que los
generadores satisfacen el requisito simpléctico [16]. Este grupo es homomorfo a SO(3,2),
uno de los grupos de De Sitter. El subgrupo L es Sp(2,), isomorfo a SL(2,). En
adición hay solamente dos subgrupos compactos simples de G, no dinámicos, generados
por k [a k b] y por k 0, k 5, k 1k 2k 3, aparte de los grupos unidimensionales.
Entonces tenemos solamente tres posibles grupos dinámicos de holonomía: L, P, o
G. Para cada caso tenemos una clase de equivalencia de conexiones y una interacción
física posible dentro de la teoría. Como se mostró en la sección 3.7, la simetría interna
de la cadena L  P G, SU(2) U(1), coincide con la simetría de las interacciones débiles.
Los otros grupos de holonomía no son dinámicos, en el sentido que no producen una
acción aceleradora sobre la materia, determinada por la impulsión referida a algún
observador. Este es el caso de subgrupos de holonomía en la cadena no simple L U(1)L
 SU(2)L  G que podrían representar el electromagnetismo pero no suministran, por su
acción directa, una dinámica geométrica (fuerza) sobre la materia cargada. La dinámica
requeriría del postulado adicional de la fuerza de Lorentz [15].
17.3. Excitaciones Correspondientes a
Subgrupos.
Si restringimos el grupo a cualquiera de los subgrupos P o L, las matrices
correspondientes a la sección son elementos del subgrupo. La poliada completa f, que
es un elemento a del álgebra, se descompone en partes par e impar de acuerdo con la
descomposición general del álgebra de Clifford,
a = a + + k 0a- .
(17.3.1)
De resultados anteriores, las ecuaciones de movimiento para las partes par e impar de f
bajo ciertas restricciones son [16],
k m¶m f+ = k mG m- f- = mf- ,
(17.3.2)
k m¶m f- = k mG m- f+ = mf+ ,
(17.3.3)
que implican que la poliada para una partícula masiva debe tener partes impar y par. En
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
229
nuestro caso, si ponemos f - igual a cero obtenemos que también m es cero. Por lo tanto,
para una subbase L se tiene multiplicando por k 0,
s m¶m f+ = 0 ,
(17.3.4)
la ecuación del neutrino como se discutió anteriormente.
Adicionalmente, si calculamos las componentes izquierda y derecha, obtenemos
omitiendo los índices,
æ x ö æ0 ö
yL = 21 (1 + g 5 ) y = 12 (1 + g 5 )çç ÷÷÷ = çç ÷÷÷ ,
çèh ÷ø çèh ÷ø
(17.3.5)
æ x ö æx ö
yR = 12 (1 - g 5 ) y = 21 (1 - g 5 )çç ÷÷÷ = çç ÷÷÷ .
çèh ø÷ çè0ø÷
(17.3.6)
Tenemos que la componente izquierda es equivalente al campo h que se define
también en términos del campo par f +. Similarmente, vemos que la componente derecha
es equivalente al campo x y en consecuencia al campo impar f -. Por lo tanto, una poliada
par corresponde a una partícula izquierda como debe ser para un neutrino. Una excitación
de una poliada de Lorentz tiene las propiedades del neutrino. Es necesario apuntar que,
como la masa en esta ecuación es cero, el grupo pequeño de Wigner, que preserva el
impulso k, es ISO(2) en vez de SO(3) correspondiente a partículas masivas. Las
representaciones inducidas de la excitación neutrino son secciones sobre el 3-hipercono
de luz valuadas en representaciones de ISO(2) y están caracterizadas por el valor de la
helicidad.
Una excitación general de Sp(2,) tiene un generador k 0, que es un generador
electromagnético. Esta excitación representa a una partícula con un cuanto de carga y
un cuanto de espín. La componente de la corriente a lo largo de este generador coincide
con la corriente eléctrica estándar [17] en la mecánica cuántica. En adición, se mostró
que la técnica de perturbaciones generales para la interacción de los campos del electrón
y del neutrino conduce, esencialmente, a la corriente y el lagrangiano supuestos en la
teoría de Fermi de las interacciones débiles [18] de los leptones. Esto conduce a la
conjetura que una excitación Sp(2,) puede representar al electrón. Con esto en mente,
el valor del cociente de las masas del protón y del electrón se derivó, en una sección
anterior, de la definición de masa en términos de energía, usando las propiedades del
grupo de estructura y sus subgrupos y los cocientes respectivos.
Es posible definir el autovalor del operador de proyección al sector impar del álgebra
geométrica como un número cuántico que llamaremos rareza. Mas allá, las
transformaciones por el subgrupo SL(2,) dejan invariante los espacios par e impar de
una poliada. Como estos autoespacios corresponden a las partes izquierda y derecha,
o equivalentemente a los autovalores de helicidad, queda claro que, junto a una poliada
e L de Sp(2,), se puede asignar un compañero n L y puede ser considerado un binomio o
230
Capítulo 17
GEOMETRÍA FÍSICA
doblete, bajo otro grupo, mientras que e R no tiene un compañero n R y puede ser
considerado un monomio. Esto indica un vinculo posible con el modelo estándar de
interacciones débiles.
17.4. Estructura Algebraica de Partículas.
En general, la ecuación de movimiento de la materia,
2km m e + k aˆ m uamˆ e = 0 ,
(17.4.1)
es aplicable a las tres clases de poliadas dinámicas, de acuerdo a los tres grupos
dinámicos de holonomía. Las tres ecuaciones linealizadas, junto con la ecuación ilineal
de campo, deben tener soluciones relacionadas con la solución del estado de substrato.
Entonces podríamos asociar una excitación para cada clase de poliada alrededor de la
solución de substrato. Estas excitaciones son elementos del álgebra de Lie del grupo
de estructura de la teoría.
El subespacio maximal de generadores del álgebra de Lie sl(4,) que conmutan,
generado por el elemento regular escogido, [19] es una subalgebra de Cartan
tridimensional, subtendida por los generadores,
X 1 = k1k2 ,
(17.4.2)
X 2 = k0k1k2k3 ,
(17.4.3)
X 3 = k0k3 .
(17.4.4)
Es claro que X 1, y X 2 son generadores compactos y por lo tanto tienen autovalores
imaginarios. Debido a la forma en que fueron construidos, ellos deben asociarse,
respectivamente, al componente z de impulso angular y a la carga eléctrica. Ambos
pueden diagonalizarse simultáneamente en términos de los autovalores imaginarios.
Los cuatro miembros de la representación fundamental forman un tetraedro en el
espacio tridimensional de Cartan como se describe en el capítulo 7. Ellos representan la
combinación de los dos estados de espín y los dos estados de carga de la partícula
asociada. Por ejemplo,
carga espín flujo
-1
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
carga negativa con espín arriba
carga negativa con espín abajo
carga positiva con espín arriba
carga positiva con espín abajo
f-
f-
f+
f+
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
231
La representación fundamental de SL(2,), que puede indicarse por f +, f +, f - , f -
agrupa dos estados de excitación de carga positiva con dos estados de excitación de
carga negativa. La presencia de cargas opuestas en una representación nos obliga a
hacer una aclaración. Para evitar confusión, debemos restringir el término conjugación
de carga para indicar la operación original de Dirac para relacionar estados de carga
opuesta.
Hay otra representación fundamental f dual a f, de la misma dimensión, con todos
los signos invertidos, que es inequivalente a la original y corresponde al tetraedro
invertido en el subespacio de Cartan. Una de las dos representaciones se asigna
arbitrariamente para representar la excitación física. La matemática del álgebra de
representaciones indica que el estado se puede describir también como compuesto por
tres miembros de su representación dual. A la vez, la representación dual se puede
describir similarmente, con el mismo derecho, como compuesta por tres miembros de su
representación dual, que es la representación original. Esta descomposición mutua nos
recuerda la idea la “democracia nuclear” propuesta en la década de los 60 [20] pero
restringida a representaciones duales. Para evitar confusiones restrinjamos el uso del
termino dualidad para relacionar ambas representaciones inequivalentes.
En el lenguaje estándar de partículas, la antipartícula es la partícula dual, lo cual
implica que también es la conjugada de carga. Sin embargo, esta asignación de un par
partícula y antipartícula a la representación fundamental y su dual inequivalente no es
una implicación matemática de la teoría estándar de partículas, sino solamente una
hipótesis física. Como nuestra representación fundamental incluye cargas opuestas,
no es apropiado considerar la representación dual como antipartículas. Podemos, con
el mismo derecho, decir simplemente que la antipartícula se determina por la conjugada.
La partícula dual es solo una estructura matemática dual necesaria.
Entonces se tiene para un estado particular p de la representación fundamental,
p  º f+ = ( f+
f+
f- ) º (q + q + q- ) ,
(17.4.5)
en términos de los estados duales q. Similarmente para un estado particular q,
q + = (q+ q+ q- ) = (p+
p+
p- ) .
(17.4.6)
No implica esto necesariamente que los estados q sean estados de una excitación
física diferente, sino que los q forman un triplete matemático dual a los p que representan
la misma excitación. Esto permite una interpretación diferente para estas construcciones
matemáticas. Debe apuntarse que todos los p, q tienen carga eléctrica igual a la unidad
geométrica, carga electrónica e. Como estas excitaciones tienen propiedades de
partículas, hay una representación dual de la excitación física (partícula). Podemos
hacernos la siguiente pregunta ¿ Qué pasa si identificamos físicamente a p con el
protón, que matemáticamente puede expresarse como 3 q, interpretadas como quarkios?
En nuestra teoría no existe la necesidad de asignar cargas fraccionales a los quarkios.
232
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 17
De acuerdo con una “democracia nuclear restringida” podemos suponer que, a su vez,
los estados quarkios q pueden expresarse matemáticamente como 3 protones p, lo cual
podría justificar la gran masa experimental de estos estados.
La representación fundamental de Sp(2,), que se puede desplegar como un
cuadrado en un espacio de Cartan bidimensional, es e - , e -, e + , e + . Su representación
dual en Sp(2,), que se obtiene invirtiendo todos los signos, es matemáticamente la
misma e +, e + e - , e -. Similarmente, la representación n , n  de SL(2,) que puede
desplegarse en un espacio de Cartan unidimensional es matemáticamente su propia
dual en SL(2,). Por lo tanto, la única de las tres excitaciones con una estructura dual
inequivalente es p. Como los subgrupos Sp(2,) y SL(2,) se pueden incrustar en
SL(2,), los espacios de Cartan correspondientes de Sp(2,) y SL(2,) también se
pueden incrustar en el espacio de Cartan de SL(2,). El subespacio plano Q = -1,
incluyendo estados duales, tiene cargas de un signo definido y es una representación
de Sp(2,). Otro plano, Q = 1, que contiene cargas opuestas, es la parte complementaria
de la representación de Sp(2,) que completa el subespacio de Cartan de SL(2,).
El espacio SL(4,)/SU(2)SU(2) es un espacio nonadimensional riemanniano del
m
tipo incompacto. Hay 9 generadores de impulsiones B a. El SU(2) de rotaciones, indicado
por S, contenido en el SO(4) compacto maximal actúa sobre el índice m y el SU(2)
electromagnético, indicado por Q, contenido en SO(4) actúa sobre el índice a,
Qba Ban S nm = Bb¢m .
(17.4.7)
Similarmente el subespacio Sp(4,)/SU(2)U(1) es un espacio hexadimensional
riemanniano del tipo incompacto. El subespacio complementario dentro de SL(4,)/
SU(2)U(1) es tridimensional. Existe una triple infinidad de estos subespacios dentro
del espacio total, reflejo de la triple infinidad de grupos P en el grupo G, según se
escoja un generador electromagnético entre los tres posibles en SU(2).
En Sp(4,)/SU(2)U(1), con un generador electromagnético fijo, se tiene un vector
en el sector impar que representa un impulso k asociado a una excitación e. Como
tenemos esta situación en SL(4,)/SU(2)SU(2) para cada generador en SU(2), tenemos,
en efecto, 3 impulsos diferentes, k i, que pueden caracterizar una excitación p. Debemos
considerar excitaciones caracterizadas por 3 impulsos, k i, que pueden interpretarse
como tres subexcitaciones.
Tres P-subexcitaciones son necesarias para caracterizar una excitación protónica p,
pero no para las e ni las n. Matemáticamente tenemos un sistema caracterizado por 3
triimpulsos, k i, que puede difundirse por colisión en otro sistema de 3 triimpulsos, k j’.
Un análisis de difusión de excitaciones debe incluir todos los vectores de impulso en
funciones delta d que aparezcan en los resultados de la difusión. Experimentalmente
esto es una colisión con un sistema de 3 centros puntuales de difusión y se interpreta
como una colisión con 3 partones dentro la excitación protónica. En general está claro que
nuestra teoría no predice una excitación protónica puntual. En particular, la difusión de e
por p se puede reemplazar por una suma de difusiones incoherentes por P-excitaciones. Entonces
la invariancia de grupo implica que la sección eficaz de la colisión se puede expresar por dos
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
233
funciones de energía e impulso transferido, obteniendo, para difusión profunda, la ley de
escalamiento de Bjorken.
17.5. Interpretación Física en Términos
de Partículas e Interacciones.
Hemos encontrado propiedades de las excitaciones geométricas que son semejantes
a propiedades de partículas. Tomemos la posición que esto no es una coincidencia sino
que indica una estructura geométrica de la física. Como la corriente de fuente material J
depende de una poliada y para cada subgrupo de holonomía podemos asociar una clase
de poliadas se obtienen así tres clases de materia.
Como ya se discutió en la sección 3 para la L-conexión, la L-poliada correspondiente
representa una excitación geométrica puntual de masa desnuda cero, neutra, de espín ½,
de helicidad izquierda que obedece la ec. (17.3.4). Tiene las propiedades del neutrino.
Para la P-conexión, la P-poliada correspondiente representa una excitación geométrica
puntual, masiva, de carga negativa -1, de espín ½, con g-factor magnético desnudo -2, que
obedece la ecuación de Dirac. Tiene propiedades del electrón.
Para la G-conexión, la G-poliada correspondiente representa una excitación
geométrica tripuntual, masiva, de carga +1, espín ½, con g-factor magnético desnudo
2(2.7809), que obedece la ecuación de Dirac con una masa desnuda igual a 1836.12 veces
la masa desnuda de la excitación anterior. Tiene las propiedades del protón.
De esta manera, hemos asociado a cada uno de los tres grupos de holonomía, una de
las únicas tres partículas estables conocidas.
Para la L-conexión no es difícil reconocer que la interacción es la gravitación, de la
discusión en capítulos anteriores y el trabajo de Carmelli [21]. Similarmente se mostró
también en capítulos anteriores que el electromagnetismo (sin dinámica) se asocia a
uno de los generadores de SU(2) y que la interacción débil de Fermi está relacionada
con el sector impar de una P-conexión.
Proponemos aquí que los generadores P/L se pueden interpretar como una
interacción electrodébil y que los generadores G/P como interacciones nucleares fuertes.
Entonces las tres clases dinámicas de holonomía de la conexión deben corresponder a
las tres clases de interacciones como sigue:
1. La L-conexión describe la interacción gravitacional.
2. La P-conexión describe las interacciones acopladas gravitacional y
electrodébil.
3. La G-conexión describe las interacciones acopladas gravitacional, electrodébil
y nucleares fuertes.
Las L-poliadas obedecen ecuaciones que se obtienen de la ecuación general de
movimiento cuando la poliada e tiene solo parte par e +. De la ecuación de campo se ve
que una P-poliada genera una P-conexión y una G-poliada genera una G-conexión.
De esta clasificación se obtiene, en concordancia con las interacciones físicas:
234
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 17
1. Todas las poliadas interactúan gravitacionalmente entre sí.
2. Las L-poliadas solo interactúan gravitacionalmente entre sí (materia neutra).
3. Las G-poliadas (hadrones) son las únicas que interactúan fuertemente entre
sí (materia hadrónica).
4. Las G-poliadas interactúan entre sí con las tres interacciones.
5. Las P-poliadas interactúan entre sí con las interacciones gravitacional y
electrodébil pero no con la interacción fuerte (materia leptónica).
6. Las G-poliadas (materia hadrónica) y las P-poliadas (materia leptónica)
interactúan entre sí con las interacciones electrodébil y gravitacional.
17.6. Estructura Topológica de Partículas.
La estructura de esta teoría es compatible con una clasificación fenomenológica de
las partículas de una manera similar a la que se realiza con los grupos estándares de
simetría.
Primero debemos apuntar que la teoría sugiere naturalmente las tres partículas
estables o estados bases (n, e, p). De hecho, si consideramos la posibilidad de niveles
diferentes de estados excitados, cada partícula puede generar una clase de partículas
inestables o resonancias.
En particular, como las ecuaciones para cada una de las tres clases son las mismas,
difiriendo solamente en el subgrupo que se aplica, se puede esperar que haya cierta
relación entre los niveles correspondientes de excitaciones, formando familias.
El cociente de masas del hadrón de la familia del nivel base (el protón) con la masa
del leptón de la familia del nivel base (el electrón) se ha calculado del cociente de
volúmenes de espacios cocientes basado en la existencia de una solución trivial no
nula para la conexión de substrato. Esta solución trivial es la representativa de una
clase de soluciones equivalentes generada por la acción del grupo de estructura.
Consideremos ahora solamente las propiedades topológicas, independientes de la
conexión, del espacio de soluciones completas (substrato mas soluciones de excitación).
Los procesos de difusión de excitaciones alrededor de un substrato dado deben mostrar
naturalmente estas propiedades. Una solución de difusión entrante es una sección local
de un fibrado jetado, sobre un tubo de líneas universales en la variedad base, el espacio
tiempo, que describe la evolución de la solución en términos de un parámetro temporal
t desde el pasado infinito hasta un tiempo finito t. Similarmente, una solución saliente
es una sección local desde un tiempo t hasta el futuro infinito. Las secciones locales en
el fibrado representan clases de soluciones relativas a observadores locales. Las
soluciones de difusión en el infinito son soluciones de excitaciones asintóticamente
libres alrededor de un substrato. Los substratos (entrante y saliente) son equivalentes
entre sí y a la solución de substrato constante si escogemos observadores adaptados
a los substratos.
Las ecuaciones son de tipo hiperbólico y debemos suministrar condiciones iniciales,
en el infinito pasado t=-¥, para las soluciones sobre una hipersuperficie espacial
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
235
tridimensional inicial  -. Exijamos que toda solución entrante sobre la hipersuperficie
del infinito pasado  -, se reduzca a una excitación libre alrededor de la solución de
substrato sobre el subespacio bidimensional  -(¥) en el infinito espacial r=¥. Como
los substratos de todas estas soluciones son equivalentes a la solución constante de
substrato en el infinito espacial  -(¥), podemos tratar este infinito espacial como un
solo punto en  - realizando una compactificación puntual de  -, de modo que la
3
hipersuperficie inicial  -es homeomorfa a S . Todas las soluciones entrantes sobre  3
están clasificadas por las funciones sobre S . La misma exigencia se puede aplicar a las
soluciones salientes en el futuro remoto, y de hecho, a cualquier solución sobre una
hipersuperficie tridimensional intermedia , una sección del tubo universal. Así la
3
hipersuperficie final en el futuro infinito  + es también homeomorfa a S . Las secciones
locales de substrato sobre  - y  + deben pegarse en alguna región común ´R alrededor
del presente t, por medio de las funciones de transición del fibrado. La interacción de
difusión se representa por la acción grupal de las funciones de transición en t=0. Todos los
generadores del grupo producen una transformación a una expresión de la solución,
diferente pero equivalente bajo el grupo. Si el grupo de holonomía no es el grupo
completo, hay una base de referencia que reduce el grupo de estructura a este subgrupo
particular de holonomía. Pero, en general, hay soluciones generadas formalmente por
SL(4,). Como la región de transición, el “ecuador  compactificado” ´ R, tiene la
3
topología de S ´ R, las funciones de transición j del fibrado definen una aplicación, en
la hipersuperficie t=0,
j : S 3  SL (2, ) ,
(17.6.1)
que está naturalmente clasificada por el tercer grupo de homotopía [22] del grupo de
estructura SL(2,) o del subgrupo de holonomía correspondiente. Hay algunas
soluciones que no son deformables a la solución trivial por un homeomorfismo porque
j representa el torcimiento de los pedazos del fibrado cuando se pegó.
Para el grupo de homotopía de SL(2,) obtenemos, como se muestra en el apéndice
E,
p3 (SL(2,)) = p3 (SU (2) Ä SU (2))
= p3 (SU (2)) Ä p3 (SU (2)) = Z Ä Z .
(17.6.2)
Similarmente, se tiene para los grupos de homotopía de los otros dos grupos posibles
de holonomía,
p3 (Sp ( 2, )) = p3 (R Ä SU (2)) = p3 (SU ( 2)) = Z ,
(17.6.3)
p3 (SL (2, )) = p3 (SU (2)) = Z .
(17.6.4)
Estas soluciones de difusión se caracterizan por números enteros cuánticos
GEOMETRÍA FÍSICA
236
Capítulo 17
topológicos n relacionados con el SU(2) de rotaciones, para los tres grupos, y n’
relacionado con el SU(2) electromagnético sólo para el grupo G, conocidos como números
de envoltura o devanado. En todos los casos las soluciones de difusión se caracterizan
por un número topológico, el devanado n y en particular las soluciones de difusión
hadrónicas tienen un número topológico adicional n’. Este resultado implica que hay
soluciones w n, e n que no son equivalentes homotópicamente a w 0, e 0.
Todas las soluciones de excitación p, e, n con un n dado se pueden asociar entre
ellas debido al isomorfismo de los grupos de homotopía Z. Esto es una relación de
equivalencia. Dos excitaciones p, e, n con el mismo número n están en la misma clase
topológica determinada por el substrato. Cada clase de topología, caracterizada por el
número topológico cuántico n define una clase física, una familia de partículas con el
mismo devanado, que es respetado por las transiciones al igual que los otros números
algebraicos cuánticos s, q, f.
Por ejemplo, la asociación de una solución de cada tipo con cualquier valor n podría
ser parte de un esquema general de relaciones etiquetadas por n como sigue,
l0 = e ,
n0 = ne
h0 = pe
l 1 = m,
n1 = n m
h1 = p m
l2 = t ,
n 2 = nl
h2


 ,
(17.6.5)
entre los niveles de excitación del electrón (propiamente leptones), los niveles de
excitación del neutrino (otros neutrinos) y los niveles de excitación del protón
(propiamente hadrones).
Como en nuestra teoría geométrica la única constante que entra es a, el cociente de
masas de los estados excitados y el estado fundamental puede resultar en una expresión
relacionada con esta constante. Es posible que la teoría geométrica pueda suministrar
una explicación para la interesante relación aproximada de las masas de los leptones y
el electrón,
l
æ
ö
3
ç
ml = me ç1 +
n 4 ÷÷ .
å
çè
÷ø
2a 0
(17.6.6)
Esta ecuación fue propuesta por Barut [23] con n interpretado como el número de pares
 . Aunque esa interpretación está caracterizada también por el grupo Z, no está claro
que las dos interpretaciones sean compatibles.
En todo caso, la posibilidad existe que haya estados excitados que se puedan
interpretar como una partícula compuesta de p, e y n . De hecho, Barut [24] sugirió que
el muón podría ser considerado una excitación electromagnética del electrón. Aunque
los detalles son diferentes porque el enfoque de Barut es solamente de naturaleza
electromagnética y el nuestro es una interacción unificada, podríamos hacer la conjetura
que el muón es un estado excitado del electrón con devanado leptónico n = 1.
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
237
Similarmente el t sería una excitación con n=2.
17.7. Masas de Excitaciones Geométricas.
Si los leptones son excitaciones topológicas debe ser posible calcular sus cocientes
de masas [25] usando los métodos indicados en el capítulo 13. El integrando J  G en la
ecuación (13.2.13), correspondiente a una representación fundamental, es una constante
local del substrato igual para todo valor de n. El número de estados posibles de una
representación fundamental sólo depende del volumen de integración. Físicamente, al
integrar sobre el subespacio C R del espacio de De Sitter C, correspondiente a los
estados determinados por observadores inequivalentes por una transformación por L,
se ha contado el número de clases de equivalencia L de estados (puntos en el
hiperboloide de masa están en la misma clase de equivalencia relativista que el estado
de reposo de la representación) en forma local (solo contando los estados locales
n=0). Tomando en cuenta las características globales de la excitación topológica que
representaría a leptones pesados la cuenta ha de ser mas amplia, sobre todos las clases
de equivalencia L de los estados de una excitación de envoltura n. ¿Cuál es el número
de estados para cada valor de n?
Como estamos trabajando en variedades con atlas, la integración sobre el espacio
simétrico K se realiza en las cartas del atlas. En el fibrado principal (E,M,G), la función
de transición preserva la proyección y actúa, como un elemento del grupo, sobre la
fibra que es el grupo de estructura G del fibrado [26]. Para dos entornos U, V en la
variedad base M, que corresponde al espacio tiempo, tenemos las siguientes
aplicaciones: homeomorfismos h del fibrado al espacio modelo, funciones de transición
j entre las cartas e identidad parcial i sobre los puntos m  M,
hU
U (E ) ¾¾
U (M )´G
 iVU
 jVU
hV
V (E ) ¾¾
V (M )´G
.
(17.7.1)
La función de transición j actúa como un elemento de G sobre la solución de
3
difusión entrante, definida en una hipersuperficie homeomorfa a S , para producir la
solución de difusión saliente. Físicamente j representa una interacción de colisión. La
representación activa es la interacción de dos excitaciones observadas por un solo observador.
La representación pasiva es la observación de una sola excitación por diferentes observadores.
Las funciones de transición no triviales de clase [j n ], donde el índice n representa al
conjunto de números de envoltura (n, n’), se clasifican por las aplicaciones
S 3  G  S 3  SL (4,  ) .
(17.7.2)
238
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 17
Consideremos a G como un fibrado principal (G,K,G+). Las representaciones inducidas,
asignadas a puntos mM, son secciones del fibrado asociado a G que tiene por fibra
representaciones [L] del grupo de Lorentz que designamos por (D,K,[L],L) como se
mostró en el capítulo 13. Bajo un cambio de cartas, que representa un cambio de
observadores, la función de transición actúa en el fibrado D sobre la sección J  G
sobre K, que indicaremos por f(m).
Las funciones de transición pertenecen a las distintas clases determinadas por el
tercer grupo de homotopía de G. La clase [j n] se puede expresar usando el producto
homotópico en términos de la clase [j 1]
n
[jn ] = [j0 ]  [j1 ]1  [j1 ]2 [j1 ]n = [j0 ]  [j1 ]
.
(17.7.3)
Esta clase [j n ] se puede considerar generada por el producto de n elementos
independientes de la clase [j 1] y un elemento de la clase [j 0 ]. Observemos que la
aplicación homotópica
h : S 3  (G , K ,G+ )
(17.7.4)
determina esencialmente un envoltorio de subespacios s(m)G, envolturas homeomorfas
3
a esferas S , dentro de (G,K,G+). Cada una de las clases generadoras j está asociada
globalmente a un subespacio envuelto generador s en (G,K,G+), adicional y necesario,
vinculado al subespacio trivial original por una función de transición. De esta manera
la clase [j n ] está asociada a la envoltura trivial [s 0] y a (n, n’) envolturas adicionales
[s 1], definidas por la expresión para coordenadas u del punto m  M
jUiV (u (m ) , s (u (m ))) = (v (m ) , si (v (m ))) .
(17.7.5)
La excitación no se describe completamente por un subespacio único que correspondería
a un observador único s(m) en la representación pasiva. Por razones globales debemos
aceptar la presencia de tantas imágenes de subespacios generadores en la carta no
trivial como envolturas haya. Sin embargo, algunas de las envolturas pueden ser equivalentes
bajo el subgrupo de interés. Para el subfibrado trivial G hay una sola envoltura independiente
s0, la envoltura trivial (n=0), porque los subespacios sn son equivalentes bajo una transformación
por G. Para otros subfibrados una subálgebra tridimensional su(2), que actúa sobre el fibrado
del grupo completo G, genera transformaciones de los subfibrados P y L que no son equivalentes
bajo el subgrupo correspondiente. Se pueden generar hasta tres envolturas si(m) en subfibrados
Pi o Li que sean geométricamente independientes. Cualquier otra envoltura puede obtenerse
por alguna combinación de tres transformaciones en Pi o Li. Por esta razón el número de envolturas
independientes si en fibrados P o L es n2 y determina tres, y solo tres, familias de excitaciones.
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
239
17.7.1. Masas Leptónicas.
Las acciones de los n+1 subespacios si(m)Pi (0  i  n ) sobre una representación de
Lorentz sobre C, la sección f   del fibrado (D,C,[L],L),
f (m ) :C  D ,
-1
(17.7.6)
-1
aplican la fibra p sobre c en las fibras p sobre s i c por transformaciones lineales l i
[27],
si (m ) : p -1 (c (m ))  p -1 (si (m )c (m )) ,
(17.7.7)
si (m )( f (m , c (m ))) = li (si (m )) f (m , si (m )c (m )) ,
(17.7.8)
que determinan un conjunto de n+1 imágenes de f, secciones envueltas independientes
f i en la carta no trivial, una para cada envoltura independiente,
fi (m ) :C  D ,
fi (sic ) º li (si ) f (sic ) .
(17.7.9)
(17.7.10)
Las representaciones de Lorentz f i(s i c) pueden ser independientes de cualquier otra f a(s ac).
Por lo tanto, los estados físicamente posibles de una excitación envuelta de clase [j n]
corresponden 1a 1 a las clases de equivalencia L de los estados determinados en cada
una de las n + 1 imágenes de secciones f i . Si usamos la representación pasiva, en cada
m
imagen existen coordenadas de impulso ki relativas al observador local i
correspondiente , estados físicamente independientes entre sí. La integración debe
m
m
m
hacerse sobre todas las variables independientes k 0 ,k 1 ,...k n o sea sobre el conjunto
de espacios equivalentes a CR contenidos en un producto de n+1 espacios de De Sitter C.
Como se indicó anteriormente para las soluciones de substrato, el integrando J  G,
correspondiente a una representación fundamental, es una constante local igual para
todos los valores de n. Las masas desnudas quedan determinadas por los volúmenes de
integración. Designemos el espacio de integración que soporta a f i(m) como C*, igual al
producto de n+1 copias del espacio C R original, correspondientes a las n+1 envolturas
observadas
n +1
C * = (C R )
.
(17.7.11)
Para el caso trivial (n=0) el cálculo es estrictamente local, no es necesario considerar
cartas envueltas y la integración sobre C R se puede hacer localmente en cualquier carta
de la clase trivial. El subespacio s 0 se determina por el observador local.
GEOMETRÍA FÍSICA
240
Capítulo 17
Para estados envueltos (n 0) estamos obligados a utilizar las funciones de transición
no triviales [j n], con envoltura no nula n  0, que relacionan una carta envuelta de
clase [n] con la carta trivial. Por lo tanto es necesario considerar simultáneamente
(globalmente) este par de clases de cartas asociadas a las soluciones de difusión entrante
y saliente respectivamente. Físicamente es necesario considerar todas las clases de
equivalencia L de los estados posibles de acuerdo a observadores relacionados con
las cartas no triviales obtenidas de la carta trivial. Por lo tanto, para la clase [n0] es
necesario integrar sobre todas las cartas posibles con secciones “globalmente envueltas”,
producidas por la acción de las funciones de transición. En este caso la función de transición
puede ser cualquier elemento del grupo P. Restrinjamos la integración a aquellas cartas no
triviales que sean inequivalentes bajo una transformación relativista L. El número de posibles
cartas corresponde al volumen del subespacio P/L de clases de L-equivalencia CR.
Las excitaciones lineales topológicas se generan por la acción infinitesimal lineal del diferencial j * de la función de transición j que representa la interacción en t=0 . Al restringir las
funciones de transición a elementos del subgrupo P,
hU
V ¾¾
  (V ) =V ´P ,
(17.7.12)
debemos considerar solamente el efecto de la aplicación diferencial j *. El subespacio impar del
álgebra P, como diferencial, genera el cociente C. El único generador inequivalente a una impulsión
L es el generador compacto u(1). La acción diferencial produce un espacio menor de clases de
L-equivalencia. Si designamos el subgrupo compacto U(1)SU(2) de P por H, se tiene el
cociente incompacto BC
B=
P
H
.
(17.7.13)
El grupo P puede expresarse como un fibrado principal (P,B,H) sobre B. Si inyectamos
L en P, la imagen del subgrupo de rotaciones de L debe ser el subgrupo SU(2) de H pero
la imagen del sector “impulsión” de L no queda unívocamente definida dentro de B. El
grupo L actúa en P preservando su imagen en P. La subálgebra u(1) de H actúa en B,
como traslación dentro de P, aplicando el subespacio C de B a otro subespacio C’ de B
que es P-equivalente a C. Sin embargo C´ no es L-equivalente a C. Por lo tanto, los
estados inequivalentes por L posibles corresponden a la acción de traslación por el
subgrupo compacto U(1) no relacionado con el SU(2) de rotaciones. El número de
clases de equivalencia L de estas cartas posibles, sobre las cuales hay que integrar,
queda determinado por el volumen de este grupo U(1) electromagnético. El espacio
T
envuelto total C para una n-excitación (n  0) es el espacio formado por todos los
posibles espacios C* trasladados, inequivalentes relativisticamente,
C T =U (1)´C * .
(17.7.14)
El número de estados (diferentes valores de k) es, por lo tanto, proporcional al volumen
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
241
T
de este espacio total C , que se puede calcular,
(
V (C T ) =V (U (1))´ V (C R )
n +1
)
n ¹0 .
(17.7.15)
La masa desnuda de la excitación trivial (n=0) que es el electrón, según cálculo
anteriormente indicado, es proporcional al volumen de C R [28]
V (C R ) =
16 p
3
.
(17.7.16)
Las masas desnudas correspondientes a las n-excitaciones (n  0) son proporcionales
a los volúmenes
n +1
æ 16 p ö÷
V (C ) = 4 p çç
çè 3 ÷÷ø
T
0 <n £ 2 ,
(17.7.17)
que pueden expresarse en función de la masa desnuda del electrón m 0 ,
n
mn æç 16 p ö÷
=ç
÷ 4p
m0 çè 3 ÷ø
0 <n £ 2 .
(17.7.18)
Para excitaciones con envolturas 1 y 2 tenemos
m2
16 p
m
=V (C R ) =
= 16.75516 » t = 16.818
m1
3
mm
,
(17.7.19)
æ 16 p ö÷
m1 = m0 çç
4p = 0.5109989 ´ 210.5516
çè 3 ÷÷ø
= 107.5916 Mev » mm +O (a ) ,
(17.7.20)
æ 16 p ö÷
4p = 0.5109989 ´3527.825
m 2 = m0 çç
çè 3 ÷ø÷
2
= 1802.7 Mev » mt +O (a ) ,
(17.7.21)
que corresponden a las masas desnudas de los leptones m y t, debidas a la interacción
electromagnética U(1). Debemos aplicar energías de corrección de orden superior a mi, causadas
por la interacción electromagnética U(1) del electrón en la excitación topológica. Para el subfibrado
GEOMETRÍA FÍSICA
242
Capítulo 17
L podemos hacer un cálculo similar. Las masas desnudas de los neutrinos de las 3 familias se
anulan debido a que el volumen del espacio cociente L/L es cero, como se indica en la
sección 13.4. Nos referiremos a estas excitaciones topológicas, respectivamente, como
excitaciones TnP y excitaciones TnL.
17.7.2. Masas Mesónicas.
Las transformaciones de cartas bajo funciones de transición generales G trasladan, dentro
de G, la región CR de integración. Los únicos estados L-inequivalentes adicionales posibles,
corresponden a la acción de sectores compactos de grupos. Para hallar las diferentes posibilidades consideremos las dos cadenas relacionadas de espacios simétricos en G, no relacionados
con L
G
É
È
SU (2)
KR
É
È
É
SU ( 2) U (1)
CR
É I
È
É
U (1)
É I .
(17.7.22)
Los subespacios simétricos compactos CR y KR, respectivamente, contienen uno y dos
subgrupos electromagnéticos U(1) de los tres subgrupos U(1) equivalentes contenidos en el
SU(2) electromagnético. Notamos que un U(1) es común a ambos subespacios. Estamos interesados en extender la traslación dentro de G, mas allá de las funciones de transición U(1),
adjuntando sectores compactos. La interpretación física es que estas excitaciones están sujetas
a interacciones ilineales adicionales que incrementan la energía y por lo tanto sus masas. De la
misma manera que un movimiento relativista observable aumenta la masa estática a una masa
cinética, una interacción relativista observable aumenta la masa libre a una masa dinámica. Este
efecto relativista, incluido en la definición de masa, se realiza por la acción de las funciones de
transición en t=0.
Para excitaciones topológicas n0 las funciones de transición se pueden extender de U(1)
a CR. La interpretación física es que estas excitaciones topológicas están sometidas a las interacciones electrodébiles ilineales adicionales en un sistema P leptónico. Decimos que las excitaciones están «enmascaradas» por las interacciones electrodébiles ilineales. Las expresiones
de la masa para las clases [n0] de excitaciones enmascaradas deben ser multiplicadas por el
volumen del subespacio completo correspondiente de clases de L-equivalencia V(CR) en vez de
por su subespacio V(U(1)). La energía de interacción débil adquirida por las excitaciones n
corresponde al producto de los valores de las ecuaciones (17.7.20) y (17.7.21) por el cociente de
los volúmenes,
V (C R )
m1¢
4 m
=
= » p = 1.320957 .
m1 V (U (1)) 3 mm
(17.7.23)
Si usamos los valores experimentales de las masas de los leptones, obtenemos las
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
243
masas geométricas enmascaradas,
m1¢ = 140.8778 Mev » mp +O (a) ,
(17.7.24)
m 2¢ = 2369 Mev » m f +O (a ) .
(17.7,25)
Nos referiremos a estas excitaciones topológicas enmascaradas por CR (con interacciones electrodébiles) como excitaciones TnPC. Las excitaciones TnPC pueden considerarse componentes
de los mesones. En particular, un muón enmascarado m’ o excitación T1PC, ligado a una excitación T1L de baja energía, tiene la masa y otras propiedades del pión p.
Para excitaciones topológicas n0 las funciones de transición pueden ser extendidas mas
allá de CR para incluir el sector de KR correspondiente a ambos subgrupos U(1) en KR, que es un
2
sector compacto SU(2)/U(1) que puede ser identificado con la esfera S . La interpretación física
es que estas excitaciones están sometidas a la interacción fuerte electromagnética S2 adicional
de un sistema G hadrónico. La parametrización de espacios de grupo y sus cocientes simétricos
es, en gran medida, arbitraria. Ellas aplican diferentes puntos en el álgebra lineal de Lie a la
2
misma operación grupal. Como ambos subgrupos U(1) equivalentes en S tienen la misma
2
significación debido a la simetría de S , ambos deben contribuir equitativamente al volumen
2
invariante de S y es conveniente escoger una parametrización que explícitamente muestre este
hecho. Una parametrización que cumple esto es
SU (2) = exp (a+J + ) exp (a3J 3 ) exp (a-J - ) = S+U (1)S- ,
(17.7.26)
V (SU ( 2)) = 16 p 2 =V (S+ )V (U (1))V (S- ) = 4 pV 2 (S+ ) .
(17.7.27)
Adjuntemos el subespacio de grupo SKR, definido por la expresión en la ecuación (17.7.26),
al subespacio CR. Debido a la integración extendida en S, las excitaciones n adquieren una
energía de interacción fuerte correspondiente al cociente de los volúmenes
1
m1¢¢ V (SC R )
m
=
=V (S ) = (4 p )2 = 3.5449 » K = 3.5371 .
m1¢
V (C R )
mp
(17.7.28)
Se obtienen las masas geométricas para n=1 y n=2,
m1¢¢ = mpV (S ) = mp (4p )2 = 494.76 Mev = mK +O (a) ,
(17.7.29)
æm ö
1
æ 16 p ÷ö
¢ (4 p )2 » ççç t ÷÷÷mK = 8303 Mev .
m 2¢¢ = m 2¢V (S ) = çç
m
÷
1
çè 3 ÷ø
çè m m ÷ø
(17.7.30)
1
Estas excitaciones no están contenidas en el sector P definido por la envoltura n=0, sino por
244
Capítulo 17
GEOMETRÍA FÍSICA
una combinación de sectores P inequivalentes dentro de G. Por lo tanto, estrictamente, no
tienen excitaciones P constitutivas apropiadas. Nos referiremos a estas excitaciones topológicas enmascaradas por S (con interacciones fuertes) como excitaciones TnPS. En particular, un
muón enmascarado m’’ o excitación T1PS, ligado a una excitación T1L de baja energía por la
interacción fuerte, tiene la masa y otras propiedades del kaón K.
La interpretación física de estos leptones enmascarados sugiere que las excitaciones geométricas correspondientes se pueden combinar para formar pares de excitaciones que se interpreten como partículas. De acuerdo a esta interpretación, las combinaciones bajo interacciones
nucleares sólo son posibles si hay, por lo menos, un leptón enmascarado. Tomemos los leptoc
nes topológicos n=1 y construyamos un doblete l de un grupo combinatorio SU(2) asociando
un muón enmascarado y un leptón estable. Debemos indicar que la conjugación en el álgebra
c
geométrica, que es equivalente a la operación dual en sp(4,), no es la operación dual en su(2).
c
Tanto l y su conjugado son representaciones fundamentales 2 de su(2). El producto es
2 Ä 2 = 3 Å1 .
(17.7.31)
La primera posibilidad es que m sea un muon débilmente enmascarado m’, parte del sistema
leptónico (m’, n) o doblete de SU(2) caracterizado por la carga Q y el número muónico Lm.
Obtenemos la amplitud para la representación p:
é m ¢, n ù Ä é m ¢, n ù º éê p - , p 0 , p + ùú Å x
ë
û ë
û ë
û
= éênm ¢, (m ¢m ¢ - nn )
ë
1
2
, m ¢n ùú Å ((m ¢m ¢ + nn )
û
1
2
)
.
(17.7.32)
La única otra posibilidad es la combinación mas compleja donde el muon está fuertemente
enmascarado m’’. En adición al acoplamiento a n, como m’’ muestra una interacción fuerte
2
electromagnética S , m’’ también se acopla fuertemente al electrón e, formando dos sistemas
hadrónicos SU(2) relacionados. Podemos substituir n por e como el compañero del doblete
leptonico. Obtenemos la amplitud para la representación K:
+ù
é
ù é
ù é ëm ¢¢, n û Ä ë m ¢¢, n û º ëêK , KL , K ûú Å x L¢
= êénm ¢¢, (m ¢¢m ¢¢ - nn ) 12 , m ¢¢n úù Å ((m ¢¢m ¢¢ + nn )
ë
û
0ù
é
ù é
ù é 0
ë m ¢¢,e û Ä ë m ¢¢, e û º êëK , Ks , K úû Å x S¢
= éêe m ¢¢, (m ¢¢m ¢¢ - ee )
ë
1
2
, m ¢¢e ùú Å ((m ¢¢m ¢¢ + ee )
û
1
2
1
2
),
).
(17.7.33)
(17.7.34)
Las masas de estas partículas geométricas p y K son iguales a las masas de los estados
bases pertenecientes a la representación producto de estas representaciones. Sus masas geométricas, determinadas esencialmente por la masa del componente principal o leptón pesado enmascarado según las ecuaciones (17.7.24) y (17.7.29), corresponden aproximadamente a todas
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
245
las masas de los piones y kaones físicos. Podemos definir también
x ¢ = (x L¢ + x S¢ )
(x + x ¢)
1
2
1
2
= (2m ¢¢m ¢¢ + ee + nn ) 12 º h ¢ ,
ºh .
(17.7.35)
(17.7.36)
Estas definiciones corresponden a partículas físicas cuyas masas geométricas, determinadas
esencialmente por la masa del leptón pesado enmascarado, son aproximadamente,
mx ¢ » 990 Mev +O (a ) » 957.8 Mev = m h ¢
(17.7.37)
y usado el valor experimental de mh’,
mx » 549 Mev +O (a) » 547.3 Mev = mh .
(17.7.38)
Estos resultados sugieren una simetría mayor aproximada de la combinación pK, que puede
ser la contenida en la representación seudoescalar de mesones como se indica en la figura 5. En
otras palabras, los mesones escalares pueden considerarse pares de leptón y antileptón, como
sugirió Barut [29].
Adicionalmente a las propias excitaciones topológicas P, recién discutidas, podemos considerar excitaciones dentro de G. Para excitaciones P, [n=0], consideradas en G, hay un conjunto
de subespacios C que corresponden a las infinitas maneras de escoger PG, en vez del único C
definido para un electrón PP. Estos espacios C adicionales no son P-equivalentes y deben ser
incluidos en la integración. Para una triple interacción electromagnética hay tantos espacios C
como subgrupos U(1) dentro de SU(2), en otras palabras, tantos como puntos hay en la esfera
SU(2)/U(1). El volumen de integración debe ser multiplicado por 4p. Lo mismo pasa con las
excitaciones L. En otras palabras, las masas m0 de subexcitaciones leptónicas de clase [n=0],
presentes en un sistema G hadrónico, están enmascaradas por las interacciones fuertes ilineales.
2
Nos referiremos a estas excitaciones enmascaradas por S (con interacciones fuertes) como
subexcitaciones GS. Los valores de las masas geométricas de las subexcitaciones GS correspondientes a las excitaciones leptónicas fundamentales son 4p veces los valores anteriores de masa
leptónicas geométrica,
m ¢¢¢ (e , ne , m, n m , t , n t ) = (0.00641, 0, 1.77 , 0, 29.9, 0 ) Gev .
(17.7.39)
Las excitaciones enmascaradas están caracterizadas por los mismos números cuánticos que
caracterizan la excitación externa libre pero el valor de la masa enmascarada incluye el aumento
de energía debido otras interacciones. Si las excitaciones enmascaradas fueran eyectadas
(inyectadas) desde (hacia) un sistema G ellas perderían (ganarían) la energía debida a las
interacciones adicionales, y saldrían (entrarían) con los valores de masa geométrica desnuda,
como leptones libres normales. No hay partículas libres observables con estas masas enmascaradas. Experimentalmente la masa enmascarada nunca sería detectada por métodos de largo
alcance. Estas excitaciones leptónicas enmascaradas se comportan como los quarkios.
246
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 17
En particular, las subexcitaciones GS corresponden, una a una, a los leptones. Estas subexcitaciones GS determinan un espacio hexadimensional. En consecuencia cualquier otra subexcitación GS geométrica posible se puede expresar como una superposición lineal de estas subexcitaciones geométricas enmascaradas fundamentales. En contraposición podemos interpretar
algunas de estas subexcitaciones como estados quarkios. La estructura de las subexcitaciones
leptónicas enmascaradas es geométricamente equivalente a la estructura física de los quarkios.
Por ejemplo, una superposición de 2 electrones enmascarados e a bajas velocidades mas 1
neutrino enmascarado ne tiene 2/3 de carga y 4.2 Mev de masa total invariante y se puede
interpretar como un quarkio u. Similarmente una superposición de 2 muones enmascarados m a
bajas velocidades mas 1 neutrino enmascarado nm de baja energía tiene 2/3 de carga y 1.2 Gev
de masa total. Debe indicarse que, si los quarkios libres no son observables, toda información
experimental acerca de sus masas viene de estados quarkios ligados (resonancias de mesón) y
debe depender de alguna manera en argumentos teóricos acerca de estos estados. No existe el
problema de confinamiento de quarkios.
17.8. Modelo de Barut.
Como se mostró en la sección 17.4, un protón contiene subexcitaciones leptónicas. Podríamos considerar que existen subexcitaciones GS dentro de los hadrones. De esta manera podríamos identificar seis sabores de excitaciones geométricas leptónicas enmascaradas dentro de
todos los hadrones, suministrando una estructura equivalente a la de quarkios con sabores.
También hay otra estructura triple asociada a las representaciones duales, indicada también en
esa sección, que puede en principio suministrar otra estructura de quarkios. Sin embargo hemos
dicho que la dualidad es solo una estructura matemática dual necesaria pero equivalente. Además,
el problema estadístico del espín no existe con estos componentes geométricos y no hay
necesidad de un grado de libertad adicional (color). Por otro lado, Barut ha sugerido [29, 30, 31,
32, 33] un proceso para construir las partículas en términos de las partículas estables y el muón.
Por lo tanto, parece mejor constituir excitaciones geométricas que representen a las partículas
partiendo de las excitaciones geométricas fundamentales G (el protón), P (el electrón) y L (el
neutrino), junto con las excitaciones leptónicas enmascaradas TnPS que interactúan fuertemente.
En esta sección los símbolos m, m’, m” y t representan a leptones enmascarados, que son
inestables. En una escala hadrónica de tiempo un muón débilmente enmascarado se considera
estable y se puede representar aquí por sus componentes estables e e  .
Para adaptar nuestro modelo geométrico al modelo de Barut, establezcamos que los
números cuánticos de una excitación corresponden a los números cuánticos de sus
componentes. De esta manera, siguiendo la idea de Barut, se define la carga de una excitación
como el número neto de cuantos de carga de sus excitaciones componentes,
Q = N p -Ne .
(17.8.1)
Similarmente, el número bariónico (atómico) de una excitación es el número de excitaciones
constitutivas G, representativas de protones p,
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
n pe

  pe    


p
 
 

 pp  
0 p 
 0 p 

0
  p    
247
0



   pe   



 0 p   e 
Octeto bariónico
J
P

1
2


Figura 5
A º Np
(17.8.2)
y el número leptónico de una excitación es el número de excitaciones constitutivas P y L, en
clases n de acuerdo a sus estados topológicos excitados Tn, representativas de los leptones
fundamentales e, n,
L º Ne + N n .
(17.8.3)
En un sistema hadrónico de excitaciones la extrañeza es el número de muones componentes
m, enmascarados por la interacción fuerte, capaces de una excitación T1PS o m’’,
-S º N m
(17.8.4)
y, similarmente, la belleza es el número de leptones componentes t fuertemente enmascarados
capaces de excitaciones T2PS,
B º Nt .
(17.8.5)
Capítulo 17
GEOMETRÍA FÍSICA
248
K 0   e  
K      
 00e
e  
 
     
1
2

 2 eee  1e6  
2 2
1
1
2
      
      
K      
K 0   e  
Octeto mesónico seudoescalar
 J P  0 
Figura 6
El encanto y la verdad son, respectivamente, el número de excitaciones componentes T1L y
T2L, representativas de neutrinos nm y nt,
C º N n (m) ,
(17.8.6)
T º N n (t ) .
(17.8.7)
El espín isotópico depende del número de excitaciones estables constitutivas G, P y L,
representativas de protones p, electrones e y neutrinos n, de la manera siguiente,
2I 3 º N p - N e + N n .
(17.8.8)
De estas definiciones es posible derivar la fórmula de Gell-Mann, Nakano y Nishijima,
Q = I 3 + 21 (A + S ) .
y definir la hipercarga fuerte
(17.8.9)
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones

  pe  e   





   p


 0 p  
  0 p 
pe   


 0 pe  





  pe  

    pe   

   p   
249
  0  p    e  


 p

   e  

Décuplo bariónico  J P  32 
Figura 7
Y º A+S .
(17.8.10)
En adición a estas definiciones de Barut, es también posible definir geométricamente la
hipercarga débil para una P-excitación en términos del número leptónico y la rareza [34]
del elemento algebraico representativo,
y º -(L + r ) .
(17.8.11)
Los estados hadrónicos incluyen protones. En la figura 4 se muestran los estados
P
+
P
+
del octeto bariónico J =1/2 y en la figura 6 los estados del décuplo bariónico J =3/2 .
Los estados mesónicos son estados ligados de dos leptones como se indican en el
P
octeto mesónico J =0 de la figura 5.
Adicionalmente, la teoría geométrica permite una discusión de la interacción cuántica
aproximada entre dos estados de excitaciones leptónicas enmascaradas, o estados quarkios,
Capítulo 17
GEOMETRÍA FÍSICA
250
que formen un sistema (¿quarkonio?). Podemos especular que el potencial efectivo no
relativista sea similar al de CDC (QCD) porque hay similitudes matemáticas entre las
teorías. Si este fuese el caso (tiene que ser demostrado) el potencial efectivo sería [35]
a
V (r ) = - + kr
r
(17.8.12)
y se podrían ajustar los niveles excitados experimentales de Y como se hace en CDC.
Las excitaciones de una base completa tienen propiedades protónicas. Dentro de la
teoría geométrica, las excitaciones de quarkios no son parte fundamental de la materia.
Ellas son subexcitaciones útiles y necesarias en la descripción de una serie de
excitaciones hadrónicas.
17.9. Relación con la Teoría de Partículas.
La triple estructura geométrica determina varias estructuras compatibles con la descripción
de quarkios. Encima de esta geometría, como se hace en el modelo estándar sobre la
geometría de la relatividad especial, es posible añadir una estructura aproximada para
ayudar a entender fenológicamente las partículas físicas. Se conoce que los núcleos
pesados pueden entenderse parcialmente usando los grupos SU(N), U(N), O(N) para
asociar protones y neutrones en una forma dinámica simétrica o supersimétrica [36].
Esto es, esencialmente, el uso de teoría de grupos para estudiar las combinaciones de
las dos partes fundamentales, protones y neutrones, que se suponen forman los núcleos.
De la misma manera podemos usar ciertos grupos para describir las combinaciones de
los tres objetos geométricos fundamentales introducidos por la geometría física,
protones, electrones y neutrinos que se suponen forman otras partículas.
Nos interesa combinar excitaciones de G, P y L. Añadiremos L-excitaciones a Pexcitaciones y estas, posteriormente, a G-excitaciones. Como se indicó en la sección
3.7, esta combinación no es unívoca sino que depende de la identificación de un
subgrupo H con un subespacio en el espacio fibrado del grupo G. Cualquier generador
incompacto es equivalente a una impulsión o simetría externa, por la acción adjunta de
un generador compacto. De esta manera, los generadores compactos generan una
simetría interna en la combinación de excitaciones.
En particular, la identificación de L dentro de P no es unívoca. El grupo L puede
3
expresarse como un fibrado principal (L, B,S), donde la fibra S es el SU(2) R asociado a
3
las rotaciones y B es el espacio simétrico tridimensional de impulsiones,
B=
3
SL (2, )
.
SU (2)R
(17.9.1)
6
6
El grupo P se puede expresar como el fibrado principal (P, B,SU(1)) donde B es el
espacio simétrico hexadimensional de impulsiones dobles,
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
B=
6
Sp (4,  )
SU (2)R ÄU (1)Q
.
251
(17.9.2)
El espacio de impulsiones de L (generadores pares), escogido dentro de P, depende de
la acción del grupo U(1) en la fibra de P, generado por k 0, una rotación dentro del sector
de impulsión doble en P.
[k0 , k1 ] = 2k0k1
.
(17.9.3)
Matemáticamente esto corresponde a la acción adjunta del único generador compacto
en el cociente impar P/L.
Similarmente, la identificación de P dentro de G tampoco es unívoca. El grupo G
9
puede expresarse como el fibrado (G, B,SQ) donde Q es el SU(2)Q asociado a la carga
9
y B es el espacio simétrico nonadimensional de impulsiones triples,
B=
9
SL (4,  )
SU (2)R Ä SU (2)Q
.
(17.9.4)
La selección del sector de impulsiones de L y P dentro de G depende de la acción del
SU(2) en la fibra de G, generado por los generadores compactos electromagnéticos.
Matemáticamente esto corresponde a la acción de todos los generadores compactos en
el cociente G/L. La simetría interna total de identificar primero LP y entonces (LP)G
es el producto de los dos grupos. Por lo tanto, hay una acción de simetría interna de un
grupo igual a SU(2)U(1), pero diferente de los subgrupos de G, en la identificación de
los subgrupos en la cadena GPL.
Hay una simetría inducida en las combinaciones de excitaciones de L y P sobre
excitaciones de G correspondientes a esta simetría SU(2)U(1). La acción de este grupo
combinatorio se puede interpretar como la determinación de las combinaciones posibles
de excitaciones L y P para dar sabor a los estados de excitaciones de G y P y así
relacionarse con las interacciones débiles.
Este grupo SU(2) F relaciona estados de P-excitaciones equivalentes a electrones o
estados de L-excitaciones equivalentes a neutrinos. Claramente, a energías
suficientemente altas la masa de cualquier excitación parece muy pequeña
cinemáticamente y sus efectos sobre los resultados son desviaciones pequeñas de
aquellos que se obtienen para excitaciones de masa cero, que siempre corresponden a
alguna L-excitación del subgrupo par. Por esta razón, a altas energías, la parte par
(parte izquierda) de una P-excitación se puede relacionar con una L-excitación (par) por
una transformación SU(2). Ambas excitaciones leptónicas físicas, correspondientes a
la parte par e + o e 0 y n, pueden ser consideradas miembros de un binomio (doblete),
etiquetado por rareza 0 o hipercarga débil -1, mientras que la parte impar e - o e 1 es a
monomio etiquetado por rareza 1 o hipercarga débil -2. Esta asociación de interacción
débil de leptones en estados de hipercarga tiene la simetría aproximada SU(2)F. En
252
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 17
adición, hay una orientación indeterminada de L 1 dentro de G que depende de la acción
de SU(2)U(1). Bajo este enfoque, el potencial electromagnético físico estándar A, la
conexión de U + (1) en SL 1(2,), tiene un ángulo de orientación dentro del SU(2)U(1)
quiral que debe estar relacionado con el ángulo polar Q en la ec. (14.4.8).
Como nuestra descripción puede hacerse en términos de la representación protón
o, equivalentemente, en términos de su representación dual quarkia como se indicó
en la sección 17.7.4, podemos obtener realizaciones duales complementarias de las
relaciones entre diferentes resultados experimentales. Estas son realmente diferentes
percepciones o cuadros de la misma realidad física de la materia. El protón o G-excitación
tiene estructura de quarkios: se comporta como formado por tres puntos. Usando la
representación quarkia para construir otras partículas, podemos considerar que, en G,
los 3 estados quarkios subtienden un subespacio bidimensional de Cartan. Hay una
simetría combinatoria unitaria, SU(3), relacionada con este subespacio de un espacio A 3
de Cartan, que puede interpretarse como el color de las combinaciones de estados de G
y así relacionarse con interacciones fuertes. Los estados de G-excitaciones exhiben
una simetría SU(3)C.
De esta manera, la geometría física determina una simetría combinatoria interna
aproximada caracterizada por el grupo combinatorio de simetría S C.
SC = SU (3)C Ä SU (2) F ÄU (1) .
(17.9.5)
Si la probabilidad de combinación se propagase infinitesimalmente por una conexión,
tenemos los elementos de un modelo cuasiestándar para altas energías. Podemos esperar
la aparición de resonancias de gran masa a energías altas. Queda claro que para obtener
el potencial electromagnético a bajas energías, la parte quiral de esta simetría interna
combinatoria fenomenológica debe romperse.
El modelo estándar se construye de ciertos aspectos generales de los resultados
experimentales. En particular las transformaciones de SU(3), entre un triplete de
componentes, o el modelo quarkio-parton [37, 38], y las transformaciones de SU(2) L de
las partes quirales de un doblete, o la teoría electrodébil [39, 40], son los puntos de
partida del modelo [41]. Como estos aspectos están presentes en la geometría física,
como se mostró en las secciones anteriores, tenemos la posibilidad real de construir un
modelo “cuasiestándar” sobre esta geometría. Los grupos combinatorios realmente
relacionarían estados asintóticos discretos, entrantes y salientes, en una teoría de
difusión de las excitaciones. Es posible, en una forma aproximada, “calibrar” estos
grupos en una teoría dinámica aproximada. Teóricamente, la evolución infinitesimal de
los sistemas físicos o dinámica se determina por los generadores de SL(4,) de acuerdo
con las ecuaciones de la teoría, pero las soluciones de difusión deben mostrar simetrías
relacionadas con el grupo combinatorio.
Sin embargo, existe otra alternativa al enfoque indicado en los párrafos anteriores. Puede ser
mejor continuar el desarrollo de este modelo geométrico dejando que la estructura matemática
(geometría) nos guíe, como Dirac sugirió alguna vez, sin imponer otros modelos preconcebidos.
Combinamos las L-excitaciones, P-excitaciones y G-excitaciones usando consideraciones ma-
Estructura Geométrica de Partículas e Interacciones
253
temáticas y físicas. Cualquier subgrupo HG determina geométricamente un fibrado (G,G/H,H,U).
El grupo de estructura U del fibrado no puede identificarse, unívoca y matemáticamente, con un
subespacio H fijo en G. Él actúa en cada subespacio equivalente H, mientras la fibra se transporta a través del espacio G/H, y representa una clase de equivalencia de subespacios. Interpretamos U como un grupo diferente isomorfo a cada H. Matemáticamente, esto implica que las
combinaciones de la cadena de subgrupos GPL se realicen como productos directos. Sin
embargo desde punto de vista físico reconocemos que todos los subgrupos de esta cadena
están relacionados. El subgrupo compacto SU(2)R en L, P y G se interpreta como rotaciones
espaciales externas. Los otros dos subgrupos compactos en P y G son U(1) y SU(2)Q y se
interpretan como rotaciones electromagnéticas internas. El sector complementario incompacto
se interpreta como impulsiones generalizadas (internas). Físicamente esto implica que los números cuánticos del producto de representaciones en la cadena GPL obedezcan una regla
de adición. Como se indicó in las secciones 17.7 y 16.3, las combinaciones de excitaciones
parecen determinar las masas, momentos magnéticos, números cuánticos, etc. de partículas
físicas. El neutrón y el pión corresponderían, respectivamente, a las combinaciones
fundamentales de las cadenas GPL y PL.
Las construcciones discutidas en esta sección deben compartir ciertos aspectos y resultados con el modelo estándar mientras que habría diferencias en algunos otros aspectos. Debido a la variedad de resultados experimentales en la física de partículas, no está
claro en este momento, como se compararían estas diferencias con los experimentos,
particularmente porque las ideas geométricas y el grupo SL(4,) [42] podrían introducir
un reordenamiento de los resultados experimentales. Esto podría ser un programa a
realizar. Es cierto que el modelo estándar ha tenido triunfos, pero esto no implica que
no exista una manera mejor de clasificar los resultados físicos.
17.10. Resumen.
La triple estructura geométrica determina varias estructuras físicas triples en la clasificación
de partículas. La teoría geométrica unificada representa interacciones que pueden clasificarse
en tres clases por los grupos dinámicos de holonomía de las conexiones físicas posibles. Las
tres clases corresponden a las interacciones gravitacionales, electrodébiles y fuertes.
Las soluciones de las tres ecuaciones de excitaciones de poliadas correspondientes, que
representan la materia, poseen números cuánticos algebraicos y topológicos. Los números
algebraicos corresponden a la carga eléctrica, el espín y el flujo magnético. Los números topológicos corresponden a números de envoltura (devanado) de niveles superiores de excitación
que definen tres familias de excitaciones leptónicas de 2 miembros.
Usando estos números, cocientes de masa calculados y otras propiedades, se identifican
tres clases de excitaciones fundamentales, correspondientes a las tres únicas partículas estables: el neutrino, el electrón y el protón. Las masas y los momentos magnéticos calculados
concuerdan con los valores experimentales. La combinación fundamental de estas tres excitaciones tiene un momento magnético calculado que concuerda con el valor experimental del
momento magnético del neutrón. Los valores de masas y momentos magnéticos de las 6 excita-
254
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 17
ciones topológicas concuerdan con los de los leptones.
El pión, el kaón y otros mesones se pueden considerar como sistemas de dos leptones
enmascarados. Las masas de los mesones pseudoescalares se pueden entender como las masas
de los estados bases de la representación producto de dos representaciones fundamentales de
leptones enmascarados. La geometría determina el espectro de masas de los estados base de las
excitaciones geométricas, que para masas pequeñas, esencialmente concuerda con el espectro
de masas de partículas físicas. Es posible clasificar las partículas en términos de las partículas
estables: el protón, el electrón y el neutrino (p, e, n), junto con las excitaciones leptónicas.
El protón muestra una estructura triple en términos de subexcitaciones que geométricamente corresponden a estas excitaciones leptónicas. Se identifican estos seis tipos de subexcitaciones geométricas leptónicas “enmascaradas” dentro de todos los hadrones, suministrando una
estructura geométricamente equivalente a la de quarkios con sabores.
Las interacciones sentidas por estas excitaciones concuerdan con el esquema de clasificación general de las partículas en neutrinos, leptones y hadrones. Las combinaciones de las
excitaciones fundamentales exhiben una simetría SU(3)SU(2)U(1).
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12 G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 24, 501 (1992). Vea el capítulo 6.
13 G. González-Martín, ArXiv physics/0009066, (2000). Vea el capítulo 13.
14 G. González-Martín, ArXiv physics/0405126, (2004). Vea el capítulo 16.
15 G. González-Martín, ArXiv physics/0712,1531, (2007). Vea el capítulo 16.
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17 Vea la sección 2.6.1.
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26 Vea el apéndice E.
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28 Vea el capítulo 12
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18. LA CONSTANTE ALFA.
18.1. Introducción.
Se conoce que la constante de estructura fina a es esencialmente igual a una expresión
algebraica en términos de p y números enteros que parece estar relacionada con el volumen
de ciertos grupos [1, 2]. Esta expresión es determinada por la medida invariante definida por
la solución de substrato. Partiendo del grupo de estructura de la geometría física [3, 4] y
usando el hecho geométrico que el espacio tiempo es una variedad hiperbólica modelada
en el espacio simétrico K, la medida invariante en este espacio simétrico, obtenida de
grupos asociados, se transporta al espacio tiempo. Esta relación se debe a que la fibra del
espacio tangente al espacio tiempo es la imagen de un subespacio minkowskiano del álgebra
geométrica, como se vio en el capítulo 2.
18.2. Una Medida Geométrica.
La corriente *J es una 3-forma en M valuada en el álgebra de Clifford A. Se construye
partiendo de campos vectoriales en el espacio simétrico K. Este espacio es G/G+ donde G es
el grupo simple cuya acción genera los automorfismos de A y G+ es el subgrupo par, relativo
al subconjunto ortonormal. Estos campos vectoriales son las imágenes, bajo la inyección k
de Clifford, de campos vectoriales en el espacio tiempo M. Esta inyección nos permite
definir a *J como la forma retroinducida de una 3-forma definida en K. La integración de esta
3-forma en un espacio borde tridimensional de una región R en K es equivalente a la
integración de la 3-forma retroinducida en un espacio borde tridimensional de la imagen de
la región R en el espacio tiempo M. Las formas se definen por la existencia de una medida
invariante en G/G+. El coeficiente constante de esta medida invariante se puede calcular en
el caso particular cuando el fibrado es plano y la ecuación de campo se reduce a la ecuación
lineal equivalente al electromagnetismo. Esta relación define una interpretación geométrica
de la constante de acoplamiento de la teoría unificada: “La constante de acoplamiento es el
coeficiente constante de *J introducido por la medida invariante en el espacio simétrico G/
G+”.
18.2.1. Espacio Simétrico K.
Como se indicó anteriormente, el grupo G es SL(2,) y el grupo par G+ es SL1(2,). El
espacio simétrico K es una forma real incompacta del espacio simétrico complejo
correspondiente a la extensión compleja del grupo incompacto SU(2,2) y sus cocientes. La
serie de espacios simétricos correspondientes coincide con la serie del grupo SO(4,2) como
se muestra en el apéndice B. En particular, podemos identificar los cocientes con el mismo
La Constante Alfa
257
carácter, +4, para escribir esta serie de espacios en la siguiente forma,
Rº
SO (4, 2)
SL (4,  )
SO (6 )
»
@ K @ »
.(18.2.1)
SO (4 )´SO (2) SL (2, )´SO (2)
SO (4 )´SO (2)
Esta serie incluye los dos espacios simétricos que nos interesan: el riemanniano
hermitiano incompacto R y el seudoriemanniano inhermitiano incompacto K. Como
algunos de estos grupos y cocientes no son compactos, usaremos la medida invariante
normalizada m N calculada de una medida conocida, como es usual cuando se trabaja con
grupos incompactos. Para grupos compactos, la integral de la medida invariante sobre
el espacio parametrizado del grupo nos da el volumen del grupo. En general, la medida
normalizada da solamente la estructura funcional del elemento de volumen, en otras
palabras, la medida invariante módulo una constante multiplicativa.
Anteriormente hemos discutido el espacio simétrico K [5]. El centro de G, que no es
discreto, contiene un elemento generador k 5 cuyo cuadrado es -1. Designemos por 2J
la restricción de ad(k 5 ) al espacio tangente TK k . Este espacio tiene como base las 8
matrices k 5 y k 5 k b y es el espacio propio correspondiente al autovalor -1 del operador
2
J , o,
J 2 (x lkl + y lkl k5 ) = 41 éêk5 , éëêk5 , x lkl + y lkl k5 ùûú ùú =
ë
û
l
- x kl - y lklk5 .
(18.2.2)
El endomorfismo J define una estructura cuasicompleja sobre K. Adicionalmente,
usando la métrica de Cartan-Killing en la representación de Clifford hemos demostrado
que la estructura compleja preserva la métrica seudoriemanniana (minkowskiana). Es
más, la torsión S se anula,
S (a ,b ) = [a ,b ] + J [Ja ,b ] + J [a ,Jb ]-[Ja ,Jb ] = 0 .
(18.2.3)
De esta manera se cumplen las condiciones para que J sea una estructura compleja
integrable y el espacio K sea un espacio simétrico complejo inhermitiano.
18.2.2. Realización del Espacio Simétrico K como un
Polidisco Unidad.
La métrica bilineal compleja de K es invariante bajo SO(4,) y no tiene una signatura
definida. Usando el truco unitario de Weyl en las coordenadas minkowskianas complejas
del espacio simétrico K con componentes x l, y l , encontramos que su estructura compleja
está relacionada con la estructura compleja de R. De los generadores del cociente K, 2
son compactos y 6 no lo son en vez de los 8 generadores incompactos del cociente R.
Ambos cocientes tienen la estructura matricial [6],
GEOMETRÍA FÍSICA
258
éé
êê
êê
êê
êê
ê
K = ê êê
êë
ê
êé
êê
êê
ëë
*
*
ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ú
úû
éx 0
ê
êx 1
ê
êx 2
ê
êx 3
êë
éx 4
ê
êx 5
ë
y 0 ùú ùú
y 1 úú úú
y 2 úú úú
ú ,
y 3 úúû ú
ú
y 4 ùú ú
ú
y 5 úû úû
Capítulo 18
(18.2.4)
donde la matriz inferior derecha es
1
4ù
é 4
é1 + x · x
x ·y ù 2
êx y ú = ê
ú .
5
5
êx y ú ê y · x
úû
1
+
y
·
y
ë
ë
û
(18.2.5)
Las condiciones impuestas por los grupos asociados SL(2,  ) y SO(4,2) sobre las
coordenadas correspondientes en estos espacios, expresadas por el producto escalar
en esta submatriz, están relacionadas respectivamente por las metricas minkowskiana y
euclidiana.
a
Definamos las seis coordenadas complejas t en R que relacionan este espacio con
6
el espacio complejo C , donde R esta inmerso, o sea,
t a = x a + iy a
0 £a £ 5 .
(18.2.6)
Estas coordenadas pueden expresarse en términos de las cuatro coordenadas
correspondientes u a sobre K reconociendo la correspondencia de los productos
escalares en la ec. (18.2.5),
dmnt mt n « -hmn u mu n = I k( mkn )
0£m£3 ,
(18.2.7)
si introducimos nuevas coordenadas t sobre K,
tm = um ,
t 0 =i u 0 ,
(18.2.8)
(18.2.9)
Encontramos así las mismas condiciones sobre las coordenadas t en K que existían
sobre las coordenadas t en R.
4
5
5
Las condiciones sobre las coordenadas t y t nos permiten reducir a C el plano
complejo donde se sumerge la realización de K. Si definimos las cuatro coordenadas
complejas proyectivas z m, obtenemos la realización,
La Constante Alfa
zm =
tm
t 4 - it 5
0£m£3
259
.
(18.2.10)
Si indicamos la traspuesta por z’ las condiciones en estas coordenadas son las de un
4
5
polidisco unidad, D ÌD , que se define por
{
}
D n (K ) = z ÎC n ; 1 + zz ¢ - 2zz ¢ > 0, zz ¢ < 1 .
2
(18.2.11)
De esta manera, las coordenadas complejas definen un difeomorfismo holomorfo h de K
sobre el interior de un dominio simétrico D. La realización acotada del espacio K es el
4
4
polidisco unidad D (K) [6]. Esta realización D (K) corresponde a la realización acotada del
4
espacio R, el polidisco unidad D (R), por un cambio de coordenadas. Estos espacios
octodimensionales son parte de una serie de formas reales de espacios simétricos que
puede indicarse por 8Sn,4-n y son determinados por el grupo compacto que caracteriza la
serie. En nuestro caso el grupo es SU(4) y los espacios se muestran en las ecuaciones 4.9
4
y 4.10 del apéndice B. El polidisco D suministra realizaciones de cada miembro de esta serie
4
según las coordenadas complejas utilizadas. Aunque el interior de D no es compacto
podemos aplicar las técnicas matemáticas existentes sobre los dominios acotados clásicos
al estudio de los espacios 8Sn,4-n. En particular podemos encontrar medidas invariantes
normalizadas para los espacios K y R.
18.2.3. Medida Invariante en el Polidisco.
Para construir estas medidas es conveniente definir ciertos dominios [7] relacionados
n
con D . El borde de Silov, la generalización de la circunferencia como el borde del disco
complejo unidimensional, se establece por las transformaciones de Fourier en el espacio
n
n
simétrico D . Es el espacio característico de D , en otras palabras, nos permite caracterizar
n
las funciones holomorfas en D por sus valores en este borde. Se define por
Q n (K ) = {x = xe i q; x Î R n , xx ¢ = 1, 0 £ q £ p} .
(18.2.12)
El núcleo de Poisson P n (z,x) sobre D ´ Q se define como la medida euclidiana
n
invariante sobre el espacio característico Q . Este núcleo tiene el valor,
n
Pn (z , x ) =
j (z , x )
V (Q n )
=
(
2
1 + zz ¢ - 2zz ¢
n
n
)
2
¢
V (Q )´ (z - x )(z - x )
n
n
,
(18.2.13)
determinado por Hua [7]. La construcción de la medida sobre Q 4, debida a Wyler, se
n
indica en la sección siguiente. La expresión de las funciones armónicas sobre D es
GEOMETRÍA FÍSICA
260
j (z ) = ò Pn (z , x )j (x )d x
Q
,
Capítulo 18
(18.2.14)
n
que, para el caso del círculo, se reduce a la solución del problema de Dirichlet usando
la fórmula integral de Poisson que nos da la función armónica conociendo su valor en
la circunferencia borde,
2p
j (z ) = ò P (z , q )j (q )d q
.
(18.2.15)
0
n
Una estructura kahleriana es definida sobre D por el núcleo de Bergman que tiene la siguiente
propiedad sobre las funciones armónicas,
j (z ) = ò Bn (z , w )j (w )dw
.
(18.2.16)
Dn
n
n
Los núcleos de Poisson y de Bergman definen formas normalizadas sobre Q y D
respectivamente si la función armonica es la función unidad.
Las medidas invariantes retroinducidas desde los dominios complejos acotados hacia
cada uno de estos espacios simétricos en la serie tienen un coeficiente numérico común
debido a que ellos son las distintas formas reales del mismo grupo complexificado y al uso
de medidas normalizadas. Existen subespacios cuatridimensionales 4Sn,4-n que corresponden
a espacios simétricos cuyos espacios tangentes en un punto son copias de espacios
n,4-n
ortogonales R . Estos espacios son las formas reales determinadas por el subgrupo
compacto USp(4) con su subespacio simétrico compacto S4 que caracteriza la serie,
4
mostrados en las ecuaciones 4.11 y 4.12 del apéndice B. El polidisco D realiza cada uno de
4
los Sn,4-n en subespacios según las coordenadas complejas usadas en la parametrización
del grupo, que se relacionan por el truco unitario de Weyl. Para poder retroinducir una
medida invariante desde los dominios complejos acotados es necesario sumergir
n
topológicamente todos los 4Sn,4-n en algún borde de Silov Q . Es claro de la ec. 18.2.12 que la
4
4
necesaria inmersión topológica de S , que caracteriza la serie, es irrealizable en Q . Es
5
necesario hacer la inmersión en Q que si es topológicamente adecuado. Además como las
5
4
realizaciones de todos estos espacios se definen inmersas en C la medida en D se obtiene
5
n
de la medida kahleriana en dimensión D , así como la medida en la esfera S se obtiene de la
n+1
medida euclidiana en R . Esto determina el uso de grupos de mayor dimensión. Para
4
5
evaluar esta medida, es necesario hacer la inmersión, i:D D , definida sobre la
5
5
5
intersección de D con el plano z =0. Como D es un espacio homogéneo bajo la acción
del grupo compacto SO(5)SO(2), usando este grupo y SO(5,2) podemos obtener la
medida en el cociente R [6], que es igual a la medida sobre K. Hay aplicaciones inyectivas,
k
h
i
M 4 ¾¾
 K 8 ¾¾
 D 4 ¾¾
D5 ,
(18.2.17)
La Constante Alfa
261
que corresponden a la aplicación de Clifford k y a la aplicación holomorfa h. La inmersión
topológica de M en Q5 se puede expresar por
b
Q 5 .
(i  h  k )(M 4 ) ¾¾
(18.2.18)
La aplicaciones indicadas i y b nos permiten retroinducir una forma desde el espacio
5
5
4
característico Q , borde de D , hacia D , la cual indicaremos como sigue,
*
i *b *mQ éëêD 4 ùûú = (b  i ) mQ éêë(h  k )M 4 ùûú º mQ éëê(b  i  h  k)M 4 ÍQ 5 ùûú . (18.2.19)
18.3. La Medida de Wyler en el Espacio K.
En principio se puede obtener el coeficiente común de las medidas de los espacios simétricos
en la serie usando cualquier grupo correspondiente en la serie. El cálculo más transparente es
usando el grupo SO(5,2) como hizo Wyler. En lo que sigue indicamos este cálculo para hallar
5
5
el valor del coeficiente constante de la medida sobre Q , el borde de Silov de D . Esta
medida se obtiene de la construcción de la medida invariante de Poisson bajo
5
transformaciones generales de coordenadas complejas en D , por el grupo SO(5,2) de
5
aplicaciones analíticas de D sobre sí mismo.
El cálculo se basa en la proposición siguiente: el subgrupo de isotropía en el origen,
5
SO(5) SO(2), actúa transitivamente sobre Q y el núcleo de Poisson P n(z,x), armónico
n
5
en D , representa una medida invariante de esta acción de SO(5) SO(2) sobre Q . El
núcleo de Poisson, aplicado al elemento de volumen, define una forma invariante
normalizada sobre el espacio característico,
jC 0 (z , x )d x
m éêëQ ùúû = P5 (z , x )d x =
V (Q 5 )
Q
N
5
=
mQ éëêQ 5 ùûú
V (Q 5 )
,
(18.3.1)
en términos de j C0, que es el jacobiano complejo o determinante de la matriz jacobiana
J C0 de la transformación zG(z) del grupo SO(5,2) que transporte el punto z al origen. La
5
forma mQ representa una forma invariante no normalizada sobre Q . La estructura kahleriana
n
de los dominios complejos acotados (polidiscos) D está determinada por la estructura
geométrica definida por el núcleo de Bergman y la métrica h que esta define [8]. Este núcleo
queda determinado por cualquier base ortonormal fn del subespacio de Hilbert que forman
n
la funciones holomorfas sobre el polidisco D . Como las soluciones de los operadores
diferenciales invariantes, obtenidas por sus operadores inversos o funciones de Green, son
n
funciones armónicas holomorfas sobre D debemos tomar como medida invariante aquella
n
definida por esta estructura kahleriana de D [9]. El grupo SO(5,2), de transformaciones de
5
5
coordenadas, actúa sobre D y consecuentemente sobre Q . El núcleo de Poisson, aunque
invariante bajo el subgrupo de isotropía SO(5) SO(2) en el origen, no es invariante bajo el
grupo completo SO(5,2). Una medida invariante bajo este grupo G requiere una densidad
GEOMETRÍA FÍSICA
262
Capítulo 18
de volumen en el cociente G/G I, para ser incorporada como un factor adicional en mN.
Hua estableció una relación entre el núcleo de Bergman y la densidad de volumen
5
sobre el dominio D . El núcleo de Bergman se puede escribir como
B5 =
1
(
V (D )´ 1 + zz ¢ - 2zz ¢
5
2
)
n
=
det JC (z )
V (D 5 )
2
.
(18.3.2)
La métrica compleja de Bergman hC se define por la forma bilineal invariante
ds 2 =
dzJC¢ (z )JC (z )dz ¢
V (D 5 )
.
(18.3.3)
En una manera natural el núcleo de Bergman suministra una densidad de volumen r
proporcional, para los dominios D5, como indicó Hua,
r =V (D 5 ) B5 = det JC (z ) .
2
(18.3.4)
La parte real de la métrica kahleriana de Bergman induce una métrica real riemanniana hR que
debe ser usada al restringir las coordenadas complejas a las coordenadas reales del borde de
5
5
5
Silov Q . Queremos pasar del borde Q al interior de D cuando se reemplacen las coordenadas
5
reales x por las coordenadas complejas z. Consideremos el efecto en Q de la transformación
zG(z), donde G es el SO(5,2) completo. Un factor de 1, igual a la determinante de una métrica
real euclidiana local en el origen que es una densidad tensorial de peso -2, se transforma por el
jacobiano real jR relacionado con el jacobiano complejo jC de la transformación,
(det hR¢ ) jR2 = (det hR¢ ) jC4 = (1) jC4 = (det hR ) .
(18.3.5)
El jacobiano jC, que incluye transformaciones por el subgrupo de isotropía en el origen y el
cociente correspondiente G/G I, debe expresarse usando una descomposición por cociente
del jacobiano en dos factores correspondientes respectivamente al subgrupo y al cociente.
El núcleo de Bergman es proporcional a la determinante de la métrica de Bergman hC [8, 9].
Para eliminar este factor constante de proporcionalidad V(D5), que aparece en el denominador
de la determinante de la métrica h de Bergman, es necesario realizar una transformación que
afecta a esta determinante por la acción del jacobiano inverso. Esto permite evaluar el coeficiente
geométrico constante jg introducido por esta transformación en la medida invariante,
jC4 = jC¢-4 jC4 0 = jg4 jC4 0 =V (D 5 ) jC4 0 .
(18.3.6)
La medida invariante bajo el grupo completo SO(5,2) se obtiene aplicando jC a la medida en la
ec.(18.3.1). Los jacobianos jC0 se combinan dentro de la forma invariante m para obtener
La Constante Alfa
(V (D 5 ))
263
1
4
jg
jg jC¢ 0 mQN êëéQ 5 úûù =
j ¢¢ (z , z )d 5z ) =
mQ éêëQ 5 ùúû .
5 ( C0
5
V (Q )
V (Q )
(18.3.7)
4
Para obtener la medida invariante en D , es necesario reducir la acción del grupo de
isotropía I(5,2) al subgrupo de isotropía I(4,2). Esto nos permite definir la medida invariante
normalizada en el polidisco D4,
V (D 5 )) V éI (4, 2)ù * * Q
V éëI (4, 2)ùû * *
(
* * Q
ë
û i b m = a i *b *mQ .(18.3.8)
i b mNg =
i b mN¢ =
g
V éëI (5, 2)ùû
V (Q 5 ) V éëI (5, 2)ùû
1
4
El inverso de la medida del cociente de los grupos de isotropía es
V éëSO (5)´SO (2)ùû V
=
V éëSO (4)´SO ( 2)ùû V
5
3 2
éSO (5)ù
2
ë
û =V (S 4 ) = 2p = 2 p
éSO (4 )ù
G (5 2)
3
ë
û
.
(18.3.9)
5
Bajo esta reducción, el coeficiente del núcleo de Poisson sobre Q , o coeficiente
constante de la medida normalizada m Ng en la ec.(18.3.8), define el coeficiente de la medida
sobre D4
(V (D ))
=
5
ag
1
4
V (Q 5 )
5
V éëI (4, 2)ùû (V (D )) ´V (SO (4 ))
=
.
V éëI (5, 2)ùû
V (Q 5 )´V (SO (5))
1
4
(18.3.10)
Los volúmenes indicados se conocen. El volumen del polidisco es
V (D n ) =
pn
2n -1 n !
(18.3.11)
y el volumen del borde de Silov es el inverso del coeficiente en el núcleo de Poisson,
n +1
2p 2
V (Q ) =
G ( n2 )
n
.
(18.3.12)
En particular se tiene,
V (D 5 ) =
p5
24 ´5 !
,
(18.3.13)
GEOMETRÍA FÍSICA
264
V (Q 5 ) =
23 p 3
3
.
Capítulo 18
(18.3.14)
La substitución de estas expresiones en la ec. (18.3.10) nos da el coeficiente de
Wyler de la medida invariante inducida,
1
32 æ p 5 ö÷4
÷ .
ag = 6 5 çç 4
2 p çè 2 ´ 5 !÷÷ø
(18.3.15)
18.4. Valor del Coeficiente Geométrico.
La ecuación (18.3.8) suministra una medida invariante normalizada geométrica mNg en el espacio
simétrico K y nos permite retroinducir una medida similar en el espacio tiempo M,
Q
mNg [kM ] º h *i *b * mNg
[kM ] = ag h *i *b *mQ éëk (M )ùû º ag m [kM ] .
(18.4.1)
El uso de una medida normalizada tiene sentido y es necesario en un subespacio incompacto
de M. Para calcular el coeficiente de la medida invariante en este espacio incompacto debemos
restringir la medida mNg a este subespacio, integrando sobre un subespacio complementario
compacto. Este último espacio debe ser el subespacio compacto característico de las funciones
armónicas en M. Hay una contribución de la integración en este espacio al valor del coeficiente
geométrico en el subespacio complementario incompacto. Como mNg está definida en el espacio
cotangente en un punto *TMm y sólo depende de las propiedades de la fibra simétrica K en m,
esta contribución debe ser independiente de cualquier solución de la ecuación de campo. Por lo
tanto, sin perdida de generalidad podemos suponer las condiciones de estaticidad y simetría
4
esférica que permitan una descomposición del espacio tiempo M y sus formas en dos
2
subespacios ortogonales, las esferas espaciales S y el espacio tiempo suplementario
2
M con sus formas,
mNg êék (M 4 )úù = ag
ë
û
( m êëék (M )úûù  m¢ êëék (S )úûù )
2
2
2
2
.
(18.4.2)
El espacio M 2 tiene localmente la estructura de cono nulo del espacio relativistico
bidimesional de Minkowski.
Restrinjamos el problema al caso especial del electromagnetismo puro en el espacio tiempo
plano. Toda solución se puede hallar por la suma de soluciones fundamentales que corresponden
a la función de Green del campo electromagnético. La función de Green determina el campo de
una fuente puntual que siempre corresponde a un campo estático esféricamente simétrico relativo
a un observador en reposo con la fuente. Estos campos potenciales armónicos esféricamente
simétricos quedan determinados, usando la fórmula de Poisson, por su valor en una esfera.
Vemos que el espacio característico, donde se integra para hallar soluciones del problema físico,
La Constante Alfa
265
es la esfera S en R . Geométricamente, de acuerdo con nuestra teoría, la forma mNg debe integrarse
sobre la imagen de una esfera en el espacio K, determinada por la aplicación de Clifford k. Por lo
2
2
tanto el espacio característico es k(S ). Como S es compacto la medida suministrada por el
elemento de volumen m no require normalización. La medida mNg integrada sobre el espacio
característico dá,
2
òm
= ag 2m  ò 2m ¢ = 2ag 2m ò k*m ¢ = 8pag 2m ,
Ng
kS
3
kS
2
2
S
(18.4.3)
2
El volumen de k(S ), indicado en la ecuación anterior, es el doble del volumen de S
debido al homomorfismo 2-1 entre espinores estándares y vectores, determinado por
sus grupos homomorfos SU(2) y SO(3).
Después de la integración obtenemos una medida geométrica restringida al subespacio
M2,
2
2
mNg éêk (M 2 )ùú = 8 pag 2m éêk (M 2 )ùú º a 2m éêk (M 2 )ùú = a k * 2m éëêM 2 ùûú .
ë
û
ë
û
ë
û
2
(18.4.4)
Por lo tanto, el valor del coeficiente geométrico completo a se obtiene substituyendo en
la última ecuación, el valor del coeficiente de Wyler calculado en la sección anterior,
1
1
2 p 3 æ p 5 ö÷4
9 æç p ö÷4
1
÷÷ =
a = 6 5 çç 4
» ae ,
÷÷ =
3 ç
ç
÷
ç
2 p è 2 ´5 !ø
16 p è 120 ø
137.03608245
3
2
(18.4.5)
que es igual al valor físico experimental de la constante alfa ae.
En una manera natural podemos obtener un elemento de distancia geométrica, una 1-forma
2
mg, usando el producto interior de la 2-forma normalizada geométrica mNg por el vector unitario
4-velocidad u de cualquier corriente física J arbitraria,
mg éëêM 1 ùúû º k * 2mNg
1
éM 2 ù u = ak* 2m éM 2 ù u º a 1m éM 1 ù .
êë
úû
ëê ûú
ëê ûú
(18.4.6)
1
Tomemos m como el diferencial radial dr y usémoslo para construir un elemento euclidiano
3
de volumen d x ortogonal a u para R3 . Tenemos una 3-forma geométrica de volumen sin
normalizar wg,
wg [M ] = a 1m  d 2W = ad 3x = adrr 2d 2W .
3
(18.4.7)
También obtenemos naturalmente una corriente geométrica *J g proporcional al elemento de
volumen wg. La 3-forma de la corriente física *J, dual de la corriente a lo largo de u, se puede
definir de *J g,
*
J g º rwg = ar d 3x º a *J .
(18.4.8)
266
GEOMETRÍA FÍSICA
Capítulo 18
Si vamos al sistema en reposo de la corriente reconocemos a r como la densidad de carga
valuada en el álgebra. La ecuacion de campo se puede escribir como sigue,
D *W = 4p *J g º 4pa *J .
(18.4.9)
En el capítulo 12 mostramos que en la solución de substrato la conexión es proporcional a la
1-forma de corriente. Por lo tanto, la 3-forma de corriente geométrica que determina la conexión de
substrato también define una 4-forma natural en el substrato, invariante bajo G ,
w  *J g = mg¢J g  *J g º mg¢ (J g , J g ) mS = mg¢ rg2 mNg .
(18.4.10)
La 4-forma invariante m S definida de esta manera geométrica después de normalizada es
precisamente la medida invariante normalizada mNg en K, inducida de la medida en el borde
de Silov Q5.
18.5. Resumen.
La constante geométrica de acoplamiento a de la teoría unificada es el coeficiente de la
medida invariante obtenida de los dominios complejos relacionados y se puede calcular del
volumen de ciertos espacios simétricos relacionados con el grupo de estructura de la teoría y sus
subgrupos. El valor numérico obtenido es igual al valor físico de la constante alfa de estructura
fina. No hay ninguna otra constante arbitraria en la teoría.
Esta medida invariante determina esencialmente que la fuente material de la ecuación de
campo se representa por una corriente geométrica. Si suponemos la corriente geométrica podemos
definir de vuelta la medida invariante.
Referencias
1
2
3
4
5
6
A. Wyler, Acad, Sci. Paris, Comtes Rendus, 269A, 743 (1969).
A. Wyler, Acad, Sci. Paris, Comtes Rendus, 271A, 180 (1971).
G. González-Martín, Gen. Rel. Grav. 26, 1177 (1994).
G. González-Martín, ArXiv physics/0009051, USB Report SB/F/277-00, (2000).
Vea la sección 13.3.2.
R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and some of their applications (John Wiley and
Sons, New York), ch. 9 (1974).
7 L. K. Hua, Harmonic Analysis in the Classical Domains (Science Press, Peking) (1958),
translated by l Ebner, A Korányi (American Mathematical Soc., Providence) (1963).
8 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)
p. 298 (1962).
9 A. Wyler, The Complex Light Cone, Symmetric Space of the Conformal Group, Report,
(The Institute for Advance Study, Princeton) p. 15 (1972).
A. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA.
A.1. Introducción.
Aquí presentamos ciertas nociones necesarias de álgebras de Clifford y espinores. El
tratamiento no es completo, pero sirve para establecer conceptos y la notación usada en el
libro. Se supone un conocimiento general de álgebra y espacios ortonormales. Para mayores
detalles vea las referencias [1, 2, 3, 4].
A.1.1. Álgebras de Clifford y Espinores.
p,q
Para cualquier espacio ortogonal de n dimensiones finitas, X=R , donde p y q son
respectivamente los números de negativos y positivos de la signatura (p,q), existe un álgebra
asociativa real, A(p,q)=Rp,q, con unidad I, que contiene copias isomorfas de R y X como
subespacios lineales de forma tal que, para todo x en X,
x 2 = -x x .
(1.1)
Si el álgebra se genera como anillo por las copias de R y X, o equivalentemente,
como un álgebra real por {I} y X entonces se dice que A es un álgebra geométrica (de
n
Clifford) de X. Las álgebras de Clifford de dimensión máxima 2 son únicas, módulo
isomorfismos, y se llaman álgebras universales de Clifford.
Estrictamente hay una inyección lineal k tal que para todo x
(k (x ))
2
= -x x I = -g (x , x ) I
.
(1.2)
Se puede probar que si ei es una base ortonormal en X, su imagen en A satisface
(ei ) = -ei ei = 1
2
,
e(ie j ) = 21 (eie j + e jei ) = 0 .
(1.3)
(1.4)
La involución de A, inducida por la involución ortogonal -1 X se denotará por â y
se llamará la involución principal. Las antiinvoluciones de A inducidas por las

i n v o l u c i o n e s o r t o n o r m a l e s 1 X y -1 X s e d e n o t a r á n p o r a , a y se llamaran
respectivamente reversión y conjugación.
Se puede considerar que un álgebra de Clifford actúa sobre un espacio espinorial.
De hecho, cada álgebra universal de Clifford R p,q es el álgebra de endomorfismos de un
p,q
espacio Q-lineal derecho V, llamado el espacio espinorial del espacio ortogonal R .
GEOMETRÍA FÍSICA
268
Apéndice A
Un espacio lineal derecho sobre un anillo inconmutativo Q consiste de un grupo
aditivo y una aplicación
X ´Q  X ,
(1.5)
 xq = x q
(x ,q ) ¾¾
,
(1.6)
tales que se cumplen los axiomas usuales de distributividad y unidad y que satisfacen.
( x q )q ¢ =
x qq ¢ .
(1.7)
Similarmente, un espacio izquierdo satisface
q ¢ (q x ) = q ¢q x .
(1.8)
El espacio espinorial no tiene una estructura métrica propiamente. Una correlación
x en un espacio Q-lineal es una aplicación Q-semilineal, de derecha a izquierda, a su
espacio dual,
x : X ¾¾
XL ,
(1.9)
x ( x q ) = q f (x x
)
,
(1.10)
x( x )= x x .
(1.11)
Toda correlación en el espacio espinorial induce una antiinvolución del álgebra de
endomorfismos, la antiinvolución adjunta correspondiente. Consideremos los espacios
Q-lineales derechos X, Y, de dimensión finita. Dada una aplicación Q-lineal,
t : X ¾¾
Y ,
(1.12)
se define la aplicación adjunta, con respecto a las correlaciones x en X y h en Y, como la única
aplicación t*,
t * :Y ¾¾
X ,
(1.13)
que satisface para todo x, y,
x
y h (tx ) = (t *y ) x
.
(1.14)
Una aplicación en el espacio espinorial no necesariamente preserva una correlación.
Un automorfismo correlacionado t es una aplicación Q-lineal, tal que para todo a,b  X,
preserva el producto,
Álgebra Geométrica
h
(ta ) tb = a x b
,
269
(1.15)
que puede probarse equivalente a la condición sobre t
t *t = 1 .
(1.16)
Se puede probar el teorema siguiente: Sea V el espacio de espinores para el espacio
p,q
ortogonal R , con su álgebra de endomorfismos R p,q. Entonces si p>0, (p,q) (1,0), la
antiinvolución conjugación en R p,q coincide con la antiinvolución adjunta de End(V)
inducida por una correlación semilineal neutral en V. Este teorema indica que hay una
correlación en el espacio espinorial, asociada a la conjugación en A.
0,1
El álgebra geométrica para el cuerpo de los reales, como un espacio ortonormal R
con una métrica de signatura definida positiva, es el cuerpo de los complejos , considerado como un álgebra real. El cuerpo de los cuaterniones , también considerado como un
0,2
0,3
álgebra real, es un álgebra geométrica para ambos R y R . El valor absoluto del producto de cuaterniones obedece la relación
2
2
ab = abab = baab = bbaa = a b
2
,
ab = a b .
(1.17)
(1.18)
Las álgebras universales de Clifford se pueden construir por inducción. El paso en
el proceso de inducción está dado por el siguiente teorema. Sea X un espacio -lineal,
2
donde es  o  y  es ,  o  y sea h={e i} un subconjunto ortonormal de End(X)
de tipo (p,q), que genera End(X) como un álgebra real. Entonces un subconjunto
2
ortonormal h’ de tipo (p+1,q+1) que genera End(X ) está dado por las siguientes
matrices,
ì
ï
ïéêei
h¢ = í
ê
ïïë 0
î
0 ù
ú,
-ei ûú
é 0 e0 ù
ê
ú,
êe0 0 ú
ë
û
é0
ê
ê
ëe0
-e0 ù üï
ú ýï ,
ï
0 ûú ï
þ
(1.19)
donde e0 es la identidad en . Se sobreentiende el uso de la identificación estándar de la parte
par + con , + con  y exp(ip) con -1.
A.2. Representación del Álgebra A.
En particular, el subconjunto ortonormal del álgebra R3,1 se obtiene del subconjunto
ortonormal del álgebra R2,0. Esta última corresponde al espacio ortogonal bidimensional
con signatura (-1,-1). Las dos matrices reales de Pauli satisfacen las propiedades del
subconjunto ortonormal de este álgebra. El álgebra de Clifford del espacio ortonormal de
signatura opuesta (1,1) es el álgebra de cuaterniones , generada por su subconjunto
GEOMETRÍA FÍSICA
270
Apéndice A
ortonormal, los cuaterniones j, k que se pueden representar por las matrices imaginarias is1
y is3. Introduzcamos las matrices reales que anticonmutan,
é0 1ù
ú ,
r=ê
êë 1 0 úû
(2.1))
é1 0 ù
ú .
s=ê
êë0 -1 úû
(2.2))
Estos elementos anticonmutantes forman un subconjunto ortonormal que podemos designar
por,
ri = {r, s } .
(2.3)
y generan dos matrices adicionales
é 0 1ù
ú ,
e=ê
êë-1 0 úû
(2.4)
é1 0ù
ú .
e=ê
êë0 1úû
(2.5)
que juntas forman una base para las matrices reales 2´2
[r s e e ] = [r1 r2 r1r2 r1r1 ]
.
(2.6)
Las matrices R(2) forman el anillo inconmutativo de las matrices reales
bidimensionales, que es el álgebra de Clifford R 2,0. Estas matrices son similares a los
cuaterniones  pero no son álgebras isomorfas. El anillo R(2) no es un anillo con
división como el anillo de los cuaterniones y sus productos no son equivalentes. Este
2,0
0,2
anillo está asociado al espacio R en vez del espacio R asociado a los cuaterniones.
Sin embargo, las partes pares de ambos anillos son isomorfas y se pueden identificar
con los complejos . Debido a estas similitudes designemos este anillo sin división
con el nombre de seudocuaterniones .
Por consiguiente, el álgebra R 3,1 se obtiene de R 2,0 poniendo
ïìé r 0 ù
ú,
h ¢ = ïíê
ïîïêë 0 -r úû
és 0 ù
ê
ú,
êë 0 -s úû
é0 e ù
ê
ú,
êëe 0 úû
é0 -e ù ïïü
ê
ú .
êëe 0 úû ýï
þï
(2.7)
Este conjunto genera el álgebra R3,1 que designaremos por A. Es conveniente usar otro
Álgebra Geométrica
271
subconjunto ortonormal equivalente ka definido usando solamente la matrices impares ri.
ìïé 0 r ù é-r 0 ù és 0 ù é 0 r ù ï
ü
ú, ê
ú, ê
ú, ê
úï
k =ï
.
íêê
ú ê
ú ê
ú ê
úý
ï
ïë-r 0 û ë 0 r û ë 0 s û ë r 0 û ï
ï
î
þ
(2.8)
Del significado geométrico del álgebra, los elementos k a están asociados a triadas
de orientación opuesta. En principio, ambos conjuntos de signo opuesto pueden ser
usados como el subconjunto ortonormal k a del álgebra. El signo arbitrario se determina
por la relación estándar de productos de matrices de Pauli, en términos de la dualidad
de Hodge e ijk y la dualidad de Clifford (compleja) i. Debemos adherirnos a la misma
convención al escoger el signo de las k a. La orientación estándar en el espacio tiempo
[u 0,u 1 ,u 2,u 3] induce una orientación en el álgebra geométrica que debe ser usada para
definir la dualidad geométrica de Clifford k 0 k 1 k 2 k 3. Esta operación de dualidad,
designada por k 5, y la dualidad de Hodge deben relacionar las matrices que representan
a l a s m a t r i c e s d e P a u l i e n e l á l g e b r a , p r e s e r v a n d o l a r e l a c i ó n e s t á n d a r.
Matemáticamente,
k0k1k2k3 = k5 º i = s0 s1s2 s3 = k0k1k0k2k0k3 ,
si = k0ki .
(2.9)
(2.10)
Los elementos del álgebra se pueden expresar como matrices 2´2 sobre el anillo
. Explícitamente en esta representación, el subconjunto ortonormal del álgebra es,
módulo equivalencia bajo automorfismos,
é 0 0
ê
é 0 rù ê 0 0
ú=ê
k0 = ê
êë-r 0 úû ê 0 -1
ê
ê-1 0
ë
1ù
ú
0ú
ú
0 úú
0úû
,
(2.11)
é 0 -1 0 0 ù
ê
ú
é-r 0 ù ê-1 0 0 0 ú
ú
ú=ê
k1 = ê
êë 0 r úû ê 0 0 0 1ú
ê
ú
ê 0 0 1 0ú
ë
û
,
(2.12
0
1
0
0
GEOMETRÍA FÍSICA
272
é1 0
ê
és 0 ù ê0 -1
ú=ê
k2 = ê
êë 0 s úû ê0 0
ê
ê0 0
ë
é0
ê
é 0 r ù ê0
ú=ê
k3 = ê
êë r 0 úû ê0
ê
ê1
ë
0
0
1
0
0 0ù
ú
0 0ú
ú
1 0 úú
0 -1úû
0
1
0
0
1ù
ú
0ú
ú
0úú
0 úû
,
Apéndice A
(2.13
.
(2.14)
Este subconjunto ortonormal k m genera el resto de la base,
é0
ê
ê0
k0k1 = ê
ê1
ê
ê0
ë
é 0
ê
ê 0
k0k2 = ê
ê 0
ê
ê-1
ë
é1
ê
ê0
k0k3 = ê
ê0
ê
ê0
ë
0
0
0
1
1
0
0
0
0ù
ú
1ú é0 I ù
ú=ê
ú = s1
0 úú êëI 0 úû
0úû
,
(2.15)
0 -1ù
ú
1 0 ú é0 -eù
ú=ê
ú = s2
0 0 úú êë e 0 úû
0 0 úû
,
(2.16)
0 0
0ù
ú
1 0 0 ú éI
0ù
ú=ê
ú = s3
0 -1 0 úú êë0 -I úû
0 0 -1úû
,
(2.17)
0
0
1
0
Álgebra Geométrica
é 0
ê
ê-1
k1k2 = ê
ê 0
ê
ê 0
ë
1
0
0
0
0 0ù
ú
0 0ú é e 0 ù
ú=ê
ú = i s3
0 -1úú êë0 -eúû
1 0 úû
é 0
ê
ê 0
k2k3 = ê
ê 0
ê
ê-1
ë
0 0 1ù
ú
0 -1 0ú é0 eù
ú =ê
ú = is1
1 0 0úú êë e 0úû
0 0 0úû
é0 0
ê
ê0 0
k3k1 = ê
ê
ê 1 0
ê 0 -1
ë
1 0ù
ú
0 1ú é 0
ú =ê
0 0 úú ëê-I
0 0 úû
,
,
Iù
ú = is2
0 ûú
273
(2.18)
(2.19)
,
(2.20)
é0 0
ê
ê0 0
k1k2k3 = ê
ê-1 0
ê
ê0 1
ë
1 0ù
ú
0 -1ú é 0 s ù
ú=ê
ú
0 0 úú êë-s 0 úû
0 0 úû
,
(2.21)
é-1
ê
ê 0
k0k2k3 = ê
ê 0
ê
ê 0
ë
0 0ù
ú
0 0 ú é-s 0ù
ú=ê
ú
1 0 úú êë 0 s úû
0 -1 úû
,
(2.22)
0
1
0
0
GEOMETRÍA FÍSICA
274
é0
ê
ê1
k0k3k1 = ê
ê0
ê
ê0
ë
1
0
0
0
é0 0
ê
ê0 0
k0k1k2 = ê
ê1 0
ê
ê0 -1
ë
é 0
ê
ê-1
k0k1k2k3 = ê
ê 0
ê
ê 0
ë
0
0
0
1
0ù
ú
0ú ér 0 ù
ú=ê
ú
1úú êë 0 r úû
0 úû
1 0ù
ú
0 -1 ú é 0 s ù
ú=ê
ú
0 0 úú êës 0 úû
0 0 úû
1 0
0 0
0 0
0 -1
,
Apéndice A
(2.23)
,
0ù
ú
éI 0 ù
0ú ée 0ù
ú=ê
ú =i ê
ú
êë0 I úû
1úú êë0 e úû
0 úû
(2.24)
.
(2.25)
El subconjunto ortonormal k m del álgebra R 3,1 obedece la relación,
k(akb ) = -hab I 2e » -hab I 4 ,
(2.26 )
donde la métrica plana se toma con la signatura temporal (1, -1, -1 -1). Este álgebra no es
isomorfa al álgebra de Dirac R1,3, que obedece también la última ecuación pero con la métrica
tomada con la signatura espacial (-1, 1, 1, 1) y es generada por las matrices g de Dirac. Sin
embargo sus subálgebras pares si son isomorfas.
Para cada elemento a del álgebra A, la antiinvolución conjugada es
a = k0a †k0†
(2.27)
que corresponde a la conjugación de Dirac. La antiinvolución † es la transpuesta de las matrices
4 x 4 reales. La involución principal,
â = k5†ak5 ,
(2.28)
induce una descomposición de suma directa de A en su subálgebra par A + y su parte
complementaria impar A-. Asociado a los autovalores de la involución principal, podemos
introducir el autovalor del operador de proyección impar, un número cuántico r que indica la
presencia de la parte impar o rara del álgebra y
Álgebra Geométrica
rar (a ) =
a -aˆ
.
2
275
(2.29)
El álgebra A actúa sobre un espacio lineal espinorial V. Cada elemento de A es una
matriz 2 ´ 2 sobre el anillo de los seudocuaterniones . Sea V un modulo bidimensional
sobre , el espacio espinorial de R 3,1. Los elementos de V se pueden representar por
matrices de 2 columnas y 4 filas,
é ér11 r21 ù ù
êê
úú
ék1 ù êê êër12 r22 úû úú
ê úê
ú .
êk 2 ú ê ér
r23 ù ú
ë û
13
úú
ê êê
êë ër14 r14 úû úû
(2.30)
Se define la correlación o conjugación inducida, en el espacio espinorial V, por la
conjugación en el álgebra. Para cualquier espinor v de V se tiene,
v = v †k0† .
(2.31)
Es posible dar otra representación a este álgebra geométrica A. Definamos los
cuerpos de matrices  y  isomorfas al cuerpo de los cuaterniones, con bases
respectivas,
la = {I , k1k2 , k2k3 , k3k1 } ,
(2.32)
qa = {I , k0 , k1k2k3 , k0k1k2k3 } .
(2.33)
Los cuerpos  y  conmutan. Se puede definir el producto tensorial  que tiene como
base
E ab = la Ä q b .
(2.34)
El conjunto  satisface los postulados para ser un anillo, que llamaremos
bicuaterniones, con producto y adición definidos por
l Ä q ´l ¢ Ä q ¢ º ll ¢ Ä qq ¢ ,
(2.35)
l Ä q + l ¢ Ä q ¢ º (l + l ¢) Ä (q + q ¢) .
(2.36)
El subconjunto ortonormal ka se puede expresar en términos del anillo,
GEOMETRÍA FÍSICA
276
ka = {q1l0 , q 2l1 , q 2l2 , q 2l3 } .
Apéndice A
(2.37)
Este conjunto de productos tensoriales de matrices es homomorfo al conjunto de matrices 44
generado por el subconjunto ortonormal con el producto matricial estándar. El homomorfismo
es 2 a 1 debido al producto directo en la definición. La base E subtiende el álgebra geométrica
de Clifford A.
A.3. Espacio Correlacionado del Grupo G.
La conjugación en V no determina un producto invariante. Sin embargo es conveniente
usar un producto invariante definido en V. Se conoce que el grupo SL(4,) preserva la
4
correlación [1] del espacio (hbR) , cuya dimensión es el doble que la de V. En las secciones
siguientes se discute la relación entre estos espacios y los espinores usuales de Weyl y de
Dirac. El producto invariante y el espacio correlacionado S se expresan en términos de
una transformación del grupo SL(4,) y su inversa. Una manera de construirlo se indica a
continuación.
Asociado a R3,1 consideremos un espinor de primera clase v que transforma como
gSL(4,) y un espinor de segunda clase w que transforma inequivalentemente como g 1
y formemos el espacio S con vectores reales de 8 dimensiones de la forma
év ù
y=ê ú
êëw úû
v ¢ = gv ; w ¢ = g -1w .
(3.1)
Ahora introduzcamos una correlación e inducida por la conjugación del álgebra e de acuerdo
a la regla hiperbólica,
y = [w v ] .
(3.2)
que también puede ser escrita en términos de matrices reales 8´8 indicadas como matrices
2´2 diagonales con submatrices 4´4,
æ ék
y = ççç ê 0
çè êë 0
0 ù é0 I ù é v ù ö÷
úê
ú ê ú÷
k0 úû êëI 0 úû êëw úû ÷÷ø
†
.
(3.3)
Está claro que las bases e y e 1 son de clase opuesta y juntas definen una base en S.
Representemos los automorfismos de S, inducidos por la acción del elemento g,
definiendo una aplicación r a las matrices 2´2 diagonales con submatrices 4´4 de la
forma
r :G  2G ,
(3.4)
Álgebra Geométrica
ég
t =r ( g ) = ê
êë 0
0 ù
ú
g -1 úû
Î 2G .
277
(3.5)
La aplicación r induce su aplicación derivada en la identidad. Debe estar claro que
hay una correlación inducida en el álgebra que para cualquier a en sl(4,) nos da la
relación
r*I : A  2A ,
(3.6)
2
donde A representa también matrices 2´2 diagonales con submatrices 4´4 determinadas por
algún elemento a del álgebra.
Usando el subconjunto ortonormal k m podemos definir cuatro matrices 2 k que
2
pertenezcan a A de la forma
ékm
km º ê
ê0
ë
2
0 ù
ú
-km úû
(3.7)
y una matriz g,
é0 I ù
ú .
g=ê
êëI 0 úû
(3.8)
Podemos entonces definir t como sigue,
(t y ) = (t y) 2k 0† g= yt
~
†
,
(3.9)
donde
é g -1
t = g 2k0t † 2k0† g = ê
ê 0
ë
0 ùú
= t -1
ú
gû
Î 2G .
(3.10)
Como t es el inverso de t, se tiene que la correlación en S se preserva por el automorfismo
correlacionado t del espacio S.
2
2
2
La operación ~ se puede trasladar a A. Si indicamos los elementos de G y A por
los elementos componentes g y a, se tiene
g = exp (a) = g -1 = exp (-a ) ,
(3.11)
éa 0 ù
ú
r*I (a ) = ê
êë0 -a úû
(3.12)
a Î A º sl (4,  ) ,
GEOMETRÍA FÍSICA
278
Apéndice A
que tiene un inverso.
El producto de Clifford en A induce un producto  en 2A,
éa 0 ù
ê
ú
êë0 -a úû
éb 0 ù
ê
ú  2A ,
êë 0 -b úû
(3.13)
por medio de la expresión,
a  2b º r*I {r*-I1 ( 2a ) r*-I1 ( 2b )}
2
a , 2b Î 2A ,
2
(3.14)
que da explícitamente
éa 0 ù éb 0 ù éab
0 ù
ê
úê
ú=ê
ú .
êë0 -a úû êë0 -b úû êë 0 -ba úû
(3.15)
Si representamos las matrices 2 a Î A por sus componentes a de A, el producto  se
puede indicar por el producto de Clifford en A,
2
a  2b «a b .
2
(3.16)
En una forma estricta debemos tener una notación que distinga los elementos
asociados a S de aquellos asociados a V. Sin embargo, puede ser conveniente indicar
los elementos correspondientes asociados a ambos espacios con el mismo símbolo,
confiando que se pueda determinar del contexto si el elemento está asociado a S o V.
Esta convención es usada en algunos lugares a través del libro. Prácticamente esto
significa que todos los cálculos se pueden hacer usando los elementos a Î A. Al final,
2
la otra componente en A se puede obtener por conjugación.
éab 0 ù
ú ,
a b  êê
ú
ab
0
ë
û
(3.17)
que da explícitamente el mismo resultado
éab
0 ù
ú .
a  2b = ê
êë 0 -ba úû
2
(3.18)
De una manera informal podemos escribir,
éa 0 ù
é-a 0 ù
ê
ú =ê
ú .
êë0 -a úû
êë 0 a úû
~
(3.19)
Álgebra Geométrica
279
A.4. Relación de A(3,1) con A(2,0).
Es de interés discutir la relación entre las involuciones y antiinvoluciones
correspondientes de las álgebras R 3,1 y R 2,0. Esta última, como se indicó anteriormente,
es generada por los elementos r 1 (igual a r) y r 2 (igual a s) que obedecen las relaciones
(ri ) = 1
2
.
(4.1)
r1r2 = -r2 r1 = -e ,
(4.2)
e 2 = -1 .
(4.3)
La operación transposición sobre estas matrices nos da la antiinvolución reversión
de este álgebra de Clifford, que indicaremos por *. La involución principal del álgebra,
indicada por ^, se puede expresar como
â = ea e* ,
(4.4)
y la antiinvolución conjugación es a^*.
Está claro que tenemos las siguientes relaciones:
rˆi = -ri ,
(4.5)
ê = e ,
(4.6)
mostrando que la subálgebra par está subtendida por 1 y e. Esta subálgebra par es isomorfa a
los números complejos. La antiinvolución reversión se reduce a conjugación compleja dentro
de la subálgebra par. Esta es la razón para seleccionar el símbolo * para indicar la reversión en
R2,0. También se tienen las relaciones,
ri* = ri ,
(4.7)
e* = -e .
(4.8)
Si indicamos por  el anillo generado por estas matrices debe quedar claro que el
grupo SL(4,) es homomorfo al grupo SL(2,), donde cada elemento de la matriz
2´2 pertenece a  . Las operaciones en el álgebra se pueden expresar usando las de 
como sigue. La conjugación es
a = k0a †k0† = k0a *t k0* t
,
(4.9)
donde t indica la transpuesta de las matrices 2´2 y † la transpuesta de las matrices 4´4. Debe
destacarse que, con esta notación, la operación † es equivalente a las operaciones *t en el
subálgebra par, como debe ser para coincidir con la notación compleja de la conjugación
hermítica. Similarmente la involución principal es
GEOMETRÍA FÍSICA
280
Apéndice A
â = k5ak5† = k5ak5*t ,
(4.10)
é e 0ù éb c ù é-e 0 ù éêbˆ cˆ ùú
úê
úê
ú=
aˆ = ê
êë0 e ûú ëêd f ûú ëê 0 -eûú êêdˆ fˆúú
ë
û
(4.11)
y la reversión es
aˆ = k0aˆ *t k0*t .
(4.12)
El grupo SL(2, ) actúa sobre un espacio bidimensional sobre el anillo  , que es el
espacio espinorial asociado V. Un elemento de V se puede descomponer sobre el anillo
complejo,
éa + a 2 e + b i ri ù éa +rb ù éa ù
éb ù
ú=ê
ú = ê ú +r ê ú .
v=ê 1
i
ê
ú ê
ú ê ú
êëd úû
ëc1 + c2 e + d ri û ëc +r d û ëc û
(4.13)
El espacio espinorial V = R 3,1 está compuesto por dos espacios espinoriales R 2,0. La
parte par de V es isomorfa al espacio usual de espinores complejos asociados a SL(2,),
la parte par de SL(2, ).
A.5. Relación de Espinores de los
Grupos G y L.
El grupo SL(4,) es homomorfo al grupo SL(2,). La conjugación en el álgebra
de Clifford es
a = k0a †k0† ,
(5.1)
_
†
†
é r d †r r b †r ù
éa b ù
é 0 r ù éa b ù é 0 r ù
ú
ê
ú =ê
ú ê
ú ê
ú =ê
ê-r c †r r a †r ú
ëêc d ûú
ëê-r 0 ûú ëêc d ûú ëê-r 0 ûú
ë
û
(5.2)
y en el espacio espinorial, para xÎV
æé 0 r ù éa ù ö÷
ú ê ú÷ = éêb †r -a †r ùú .
x = çççê
ë
û
çèêë-r 0 úû êëb úû ÷÷ø
†
(5.3)
Si restringimos a SL(2,), el subgrupo par que preserva la métrica, la conjugación
se reduce al intercambio hiperbólico de las componentes complejas porque el anillo 
Álgebra Geométrica
281
se reduce a su subanillo complejo. Se tiene entonces,
-
éa b ù
é0
ê
ú =ê
êëc d úû
êë-I
æé 0
x = ççç ê
çè êë-I
Iù
ú
0 úû
Iù
ú
0 úû
éa b ù é 0
ê
ú ê
êëc d úû êë-I
†
é d † -b † ù
Iù
ú ,
ú =ê
ê-c † d † ú
0 úû
ë
û
éa ù ö÷
ê ú÷÷ = éêb † -a † ùú .
ë
û
êëb úû ÷ø
(5.4)
†
(5.5)
Las matrices 2´2; a, b, c, d; se pueden expresar como números complejos,
x = éêëb * -a * ùúû ,
(5.6)
o en forma matricial
x = (ex )
†
.
(5.7)
En esta forma se ve que los espinores x corresponden a 2-espinores de Weyl. La
operación de multiplicación de matrices se puede escribir con índices, usando e para
subir y bajarlos,
eAB x B º xA ,
(5.8)
teniendo cuidado al bajar y subir los índices debido a la antisimetría de e. Adoptemos la
convención que el signo es positivo cuando la línea que uniría índices sumados adyacentes es
/. Indiquemos también los índices de espinores inequivalentes conjugados complejos con un
punto. De esta manera escribimos
xA = -eBAx B ,
(5.9)
x1 = x 2 ,
(5.10)
x2 = -x 1 ,
(5.11)

x1* = x *2 ,

x2* = -x *1 .
(5.12)
(5.13)
También apuntamos las relaciones siguientes,
eAB = eAB ,
(5.14)
GEOMETRÍA FÍSICA
282
Apéndice A
eAB e BC = -1 = e 2 ,
(5.15)
x A = xB eBA = eBC xC eBA = xC dCA .
(5.16)
La parte par del subconjunto ortonormal k corresponde a las matrices s de Pauli,

sa AX s b AX = 2dab ,


smXAs Ym B = 2dAB dYX .
(5.17)
(5.18)
Como s representa la parte par de la aplicación k, del espacio de Minkowski al álgebra A, nos
sirve como aplicación entre vectores y espinores de Sl(2,) de segundo rango. Podemos
intercambiar índices espinoriales y vectoriales usando s, como sigue,


AWBX 
,
Tcab « TCY

 


WXC
W
X
g C ab
,
TABY
 = saAsbB sY Tg

xX saXAh A = va .
(5.19)
(5.20)
(5.21)
Si tenemos un espinor de dos componentes sobre  la acción del subgrupo par L
del grupo G, se puede expresar en términos de las partes par e impar del espinor original,
que son espinores de dos componentes sobre el cuerpo complejo,
l n = l (h + rx ) = l h + l rx = l h + rl *x ,
(5.22
h¢ = lh ,
(5.23)
x ¢ = l* x
(5.24)
y vemos que las partes par e impar transforman como representaciones conjugadas
inequivalentes de L. Se puede formar un espinor complejo de cuatro componentes,
é x1 ù
ê ú
êx 2 ú
y = êê 1 úú ,
êh ú
êh 2 ú
ëê ûú
que se reconoce como un 4-espinor de Dirac.
(5.25)
Álgebra Geométrica
283
A.6. Bases Espinoriales Pares y Bases
Vectoriales.
Una base espinorial par f, de SL(2,), compuesta de dos espinores que satisfacen,
ˆ
ˆ
C D
,
eCD
ˆ ˆ fA fB = eAB
(6.1 )
define una base vectorial q, en una forma canónica, usando el homomorfismo que envía SL(2,)
a SO(3,1),
qmaˆ sa = 12 tr f†smf .
(6.2)
La métrica asociada a esta base espinorial es




g mn = 41 hab fYB smBAfXAsYa X fDZ snDC fWC sZbW

,
(6.3)

X Y
.
g mn = eAC eXY
  s mAsnC
(6.4)
La métrica también satisface,
é q0 + q 3
g = det êê 1
2
êëq + iq
q 1 - iq
q0 - q 3
2
ù
ú = det (s q a )
a
ú
úû
,
(6.5)
en términos de las matrices hermíticas s. Una seudorotación SO(3,1) deja invariante la métrica.
La nueva matriz hermítica inducida por la base rotada se relaciona con la vieja por una
transformación l del grupo L formado por matrices complejas 2´2. Si la métrica permanece
invariante bajo L
g ¢ = g = det (l sa q al † ) ,
(6.6)
se cumple la siguiente relación,
det l † det l = 1 ,
(6.7)
det l = e ia .
(6.8)
El grupo de transformaciones L que preserva la métrica es SL1(2,), el grupo lineal especial en
dos dimensiones sobre el cuerpo complejo con determinante compleja de modulo unidad.
A.7. Derivada del Subconjunto
GEOMETRÍA FÍSICA
284
Apéndice A
Ortonormal.
Consideremos el fibrado AM con fibra A sobre el espacio tiempo M. Consideremos una
base Ea en el álgebra. Hay una manera de definir una conexión en AM tal que el conjunto
Ea tenga derivada covariante nula [5]. Hay una base interna para la cual todas las matrices
Ea son iguales en cada punto. Como el grupo de holonomía es el mismo para cada punto,
uno puede, para un punto fijo m0ÎM y cada punto mÎM asignar un camino de m0 a m. El
conjunto U de matrices Ea, generado por el grupo de holonomía está formado por funciones
-1
analíticas de las coordenadas. Entonces, una transformación interna de las bases U (m)
resultará en un conjunto de matrices independientes del punto m.
Hay una conexión en AM definida partiendo de la conexión dada en VM, asociada a E.
La derivada covariante de las matrices Ea es
mEa = ¶mEa + G mEa - Ea G m - Eb G mba ,
(7.1)
donde podemos escribir los términos que involucran la conexión en VM como,
éG m , Ea ù = G md [Ed , Ea ] = G mdcdb aEb
ëê
ûú
(7.2)
y obtener
b
m Ea = ¶ mEa + (G mdcda
- G mba ) Eb .
(7.3)
Si ahora definimos la conexión en AM por la relación,
b
G mba º cda
G md ,
(7.4)
se tiene,
(E )ma = ¶m Ea = 0
.
(7.5)
En particular, para un subconjunto ortonormal, compuesto de cuatro de las matrices
E a y designado por los símbolos k a se tiene,
b
(k )maˆ = 0 = éëêGm , kaˆ ùûú - G ma
ˆ Eb
.
(7.6)
Referencias
1
2
3
4
I. Porteous, Topological Geometry, (Van Nostrand Reinhold, London), ch 13 (1969).
E. Cartan, Theory of Spinors, (M.I.T. Press, Cambridge) (1966).
R. Penrose, W. Rindler, Spinors and Space-Time (Cambridge University Press,
R. Penrose, in Relativity, Groups and Topology, ed. by DeWitt and DeWitt (Gordon
and Breach Sc. Publ., New York), p. 565 (1963).
5 Loos, J. Math. Phys. 8, 2114 (1967).
B. GRUPOS Y ESPACIOS SIMÉTRICOS.
Presentamos ciertos grupos de Lie y espacios simétricos relacionados con el álgebra de
Clifford. Para un tratamiento general consulte, por ejemplo, los libros de Gilmore y Helgason
indicados en las referencias.
B.1. Grupos de Lie.
Los grupos de Lie tienen una estructura de variedad diferenciable en adición a su estructura
algebraica de grupo. A ellos se les puede asignar una estructura de fibrado principal, con un
subgrupo H como fibra y un espacio simétrico M como base. Como se muestra en la sección 4,
los cocientes de grupos son espacios simétricos,
M =G H ,
(1.1)
Si escribimos la descomposición por cociente izquierdo como
G = MH ,
(1.2)
claramente se indica la acción por la derecha de H sobre G, y sobre si mismo como acción
vertical sobre la fibra del fibrado principal (G,M,H).
B.1.1.
El Diferencial de una Aplicación.
El álgebra de Lie de un grupo es el álgebra de los generadores diferenciales del
grupo, correspondientes a los elementos del espacio tangente al grupo en la identidad,
TG I . Para ver esto geométricamente, introducimos primero el concepto de diferencial
de una aplicación. Supongamos dos variedades M, N y una aplicación m,
m : M ¾¾
N .
(1.3)
Sea tÎTM, entonces se tiene tÎTM m para algún mÎM. Tomemos una curva g con t su
vector tangente en m. Como
g : R ¾¾
M ,
(1.4)
N
(m  g ) : R ¾¾
(1.5)
es una curva en N. Su tangente en m(m) indicada por m *t define la aplicación
m* :TM ¾¾
TN .
(1.6)
que nos da una tangente en N. La definición de m * podría depender de la curva g
Apéndice B
GEOMETRÍA FÍSICA
286
escogida. Mostraremos que m * es independiente de g usando una definición equivalente.
Si tÎTM, es suficiente decir como m *tÎTN opera sobre las funciones F(n), donde n es
m(m). Si fÎF(n), se tiene f mÎF(m) y definamos,
(m*t )( f ) = t ( f  m)
f Î F (N ) , t ÎTM ,
m*t ÎTN .
(1.7)
Esta definición no depende de g y veremos que es equivalente a la primera definición,
como sigue,
( tangent m  g )( f ) =
d
d
( f  (m  g ))0 = (( f  m)  g )0 ,
dl
dl
m*t ( f ) = ( tangent g )( f  m ) = t ( f  m) .
(1.8)
(1.9)
Por lo tanto las dos definiciones concuerdan.
Se puede mostrar que m * es lineal,
m* (t + s ) = m*t + m*s .
(1.10)
m* (at ) = a m*t
(1.11)
y también, si tenemos la aplicación,
t :N  P ,
(1.12)
que obedece a la regla de la cadena,
(t  m)* = t*  m*
.
(1.13)
Debemos apuntar que si N=R, m * se reduce al diferencial.
Debe estar claro que, para las proyecciones p en TM y p en TN,
p :TM ¾¾
M ,
(1.14)
p :TN ¾¾
N ,
(1.15)
se tiene
pt = m  pm*t = mm = n .
(1.16)
Si tenemos un campo de formas diferenciales a en N, esto es, una sección en *TN,
podemos definir una sección en *TM por composición. Definamos a*m en M por,
m *a º am(m )  m* ,
y se tiene para cualquier campo vectorial n en M,
(1.17)
Grupos y Espacios Simétricos
287
(m*a)(v ) = a (m*v ) .
(1.18)
Por lo tanto obtenemos un campo de formas diferenciales en M, que llamaremos forma
retroinducida a*m, que determina una sección en *TM.
B.1.2.
El Algebra de Lie de un Grupo.
El álgebra de Lie A de un grupo de Lie G es el espacio vectorial TG I con un producto
heredado del producto en el grupo. Para definir este producto, introduzcamos los
campos invariantes por la derecha (izquierda) sobre la variedad del grupo G en la
forma siguiente. Consideremos la multiplicación por la derecha (izquierda) por un
elemento aÎG,
Ra :G ¾¾
G
Ra (b ) = ba
(1.19)
a ,b Î G ,
(1.20)
que es un difeomorfismo con inverso R a-1 (L a-1 ). El diferencial de esta aplicación,
Ra * :TGb  TGba ,
(1.21)
es un isomorfismo de espacios tangentes. Un campo vectorial sobre G es invariante
 , si satisface
por la derecha (izquierda), denotado por X
Ra *X = X
a ÎG ,
(1.22)
para todo aÎG. Esto significa que
Ra *Xb = Xba ,
(1.23)
que es cierto si y sólo si
Ra *XI = Xa ,
(1.24)
Ra *Rb *XI = Rba *XI = Xba .
(1.25)
En consecuencia dado X IÎTG I hay un campo vectorial invariante por la derecha
 con el valor X I en la identidad. Se puede probar que X
 es C . De una
(izquierda) X
manera similar se pueden definir campos vectoriales invariantes por la izquierda.
Los campos vectoriales invariantes nos permiten definir una operación en TG I ,
usando la derivada de Lie, poniendo,
¥
[X ,Y ] = ( XY )I = éêëX ,Y ùûú I
.
(1.26)
GEOMETRÍA FÍSICA
288
Apéndice B
El espacio vectorial TG I, con esta operación como producto, forma el álgebra de Lie
del grupo G. Este producto obedece,
[X ,Y ] = -[Y , X ]
,
(1.27)
éX , [Y , Z ]ù + éY , [Z , X ]ù + éZ , [X ,Y ]ù .
ë
û ë
û ë
û
(1.28)
Las constantes de estructura c se definen usando una base Xa en el álgebra,
éX i , X j ù = ci jk X k .
ë
û
(1.29)
La representación adjunta se puede definir en términos de multiplicación por la
derecha y por la izquierda. Consideremos
Lg Rg-1 :G ¾¾
G ,
(1.30)
TG
(LgRg-1 )* :TG ¾¾
.
(1.31)
Podemos definir
Ad g º (Lg Rg-1 )
*I
,
(1.32)
que claramente actúa sobre el álgebra A,
Ad g : A ¾¾
A
(1.33)
y pertenece a End(A).
Consideremos ahora que
Ad :G ¾¾
 End (A) ,
(1.34)
Ad* :TG ¾¾
T (End A) = End A .
(1.35)
Podemos definir
ad º Ad *I ,
(1.36)
que claramente también actúa sobre A,
ad: A 
 End A .
(1.37)
En términos de expresiones explícitas, se tiene, si
g = e la
g ÎG ,
a ÎA ,
(1.38)
Grupos y Espacios Simétricos
(Lg Rg-1 )elb = exp (lb + l 2 [a ,b ] +O (l 3 ))
.
289
(1.39)
Como la identidad corresponde a l=0 podemos escribir,
(Lg Rg-1 )* (lb ) = lb + l 2 [a ,b ] +O (l 3 )
,
Ad g (b ) = b + l [a ,b ] +O (l 2 ) .
(1.40)
(1.41)
Si expandimos alrededor de g=I, se tiene,
Ad g (b ) = AdI (b ) + l ada (b ) +  ,
(1.42)
pero como Ad I es la identidad, comparando las dos últimas ecuaciones, se obtiene,
ada (b ) = [a ,b ] .
(1.43)
Debe apuntarse que
Ad exp(la ) = exp (l ada ) .
(1.44)
B.2. Subespacios de Cartan.
Las constantes de estructura satisfacen las reglas de conmutación y la identidad de
Jacobi. Por lo tanto suministran una representación R del álgebra, llamada regular,
k
R (Xi )j Xk = cijk Xk = éëXi , X j ùû ,
(2.1)
que corresponde a la representación adjunta
ada (b ) = [a ,b ] .
(2.2)
La métrica de Cartan-Killing se define usando la traza en esta representación regular,
g (a ,b ) = tr (R (a ) R (b )) .
(2.3)
En cualquier representación se puede definir una métrica de la misma manera. En
general las métricas en distintas representaciones no son iguales ni proporcionales.
Sin embargo, si el álgebra es simple, el producto de dos vectores es una propiedad del
álgebra solamente. Si las representaciones están relacionadas por adición de representaciones,
podemos relacionar matemáticamente las métricas en representaciones correspondientes (por
ejemplo, vea el teorema de Wigner-Eckart). En este caso, el producto interno en cualquier
representación se puede expresar en términos de un producto abstracto. En las
GEOMETRÍA FÍSICA
290
Apéndice B
aplicaciones usamos una métrica normalizada de manera que la norma del operador unidad, en
un álgebra de Clifford asociada, sea 1.
Considere la ecuación de valores propios en la representación regular,
ada (x ) = [a , x ] = lx .
(2.4)
Esta ecuación conduce a una ecuación secular que tiene soluciones determinadas por
las raíces complejas del polinomio asociado.
Para cualquier elemento H en A y cada autovalor l de adH consideremos el
subespacio
{
k
}
A(H , l ) = X Î A : (ad H - lI ) X = 0
.
(2.5)
Se puede probar que A es una suma directa sobre estos subespacios,
r
A = å A(H , li )
.
(2.6)
i =0
Hay un subespacio que corresponde a los autovalores cero, llamado subespacio de
Cartan, subtendido por generadores que conmutan entre sí. Una subálgebra de Cartan
no se determina unívocamente sino que está determinada por la escogencia de un
elemento regular del álgebra completa. Existe un automorfismo de la extensión
compleja del álgebra que vincula cualquier par de subálgebras de Cartan. Un elemento
H es regular si
dim A(H , 0 ) = min (dim A(X , 0 )) .
(2.7)
Los n generadores que subtienden el espacio de Cartan se pueden considerar
componentes de un vector H. Los autovalores correspondientes se pueden representar
en el espacio de Cartan por el vector peso w,
Hyw = wyw .
(2.8)
Similarmente, las raíces se pueden representar en el espacio de Cartan como vectores
raíces r(a). De hecho, se puede transferir toda la información contenida en las raíces
y la métrica de Cartan-Killing a la información contenida en el subespacio, más
pequeño, de Cartan. Las relaciones de conmutación se pueden poner en la forma
canónica,
éH i , H j ù = 0 ,
ë
û
[ H,E a ] =  (a)E a
(2.9)
,
(2.10)
Grupos y Espacios Simétricos
[Ea , E-a ] =  (a) · H
291
,
(2.11)
N E
E , E        
,
 0
(2.12)
donde N es un factor de normalización.
Los espacios de raíces de Cartan se pueden clasificar usando las relaciones que
existen entre las diferentes raíces posibles, que en conjunto forman figuras geométricas
en este espacio. De esta manera se puede probar que existen cuatro series infinitas de
estos espacios que se designan con las letras A, B, C y D. Cada elemento de una serie
está determinado por la dimensión del espacio de Cartan. Además existen otras clases
excepcionales, de dimensiones limitadas designadas E, F, G. Existen los siguientes
isomorfismos entre algunos de estos espacios,
A1 = B1 = C1
B2 = C 2
A 3 = D3
D 2 = A1 ´ A1
A4 = E4
D5 = E 5
.
(2.13)
Se puede probar el siguiente teorema debido a Cartan: Un álgebra de Lie incompacta
A’ se puede descomponer en una suma directa,
A ' = A+ Å A- ,
(2.14)
donde la métrica de Cartan-Killing es definida negativa cuando se restringe a A + y
definida positiva cuando se restringe a A - y existe una Z 2-gradación,
éA+ , A+ ù Ì A+ ,
ë
û
(2.15)
éA+ , A- ù Ì A- ,
ë
û
(2.16)
[A- , A- ] Ì A+
(2.17)
.
En otras palabras A + es compacta y A - es incompacta. Decimos que A + es la
subálgebra compacta maximal de A. Asociada a A’ existe un álgebra real compacta,
C
forma real de la extensión compleja A de A, definida por el truco unitario de Weyl,
A º A+ Å iA- ,
(2.18)
En general la acción de los automorfismos involutivos de la extensión compleja
del álgebra produce una descomposición que cumple con la Z 2 -gradación de los
subespacios con valores propios +1 y -1,
TAT -1 = A ,
(2.19)
GEOMETRÍA FÍSICA
292
T2 =1 .
Apéndice B
(2.20)
Solo existen tres automorfismos diferentes de este tipo,
T =* ,
(2.21)
é+I p
T =ê
ê 0
ë
0 ù
ú º I p ,q .
-I q úû
(2.22)
é 0
T =ê
ê-I p
ë
+I p ù
ú º J p ,p .
0 úû
(2.23)
Se puede probar el siguiente teorema: Sean A’ y B’ dos álgebras de Lie, reales
semisimples, con respectivas descomposiciones de Cartan. Entonces A’ y B’ son
isomorfas si y sólo si las formas reales compactas A y B son isomorfas por un
isomorfismo que manda A + a B +.
Esto indica que las álgebras semisimples se pueden clasificar determinando los
pares (A,A +) o sea un álgebra compacta y una subálgebra compacta maximal. Las
álgebras relacionadas con esta descomposición se obtienen, partiendo del álgebra
compacta A, utilizando el truco unitario de Weyl en el subespacio con autovalor -1 de
una de las involuciones indicadas. Las formas reales de los grupos se obtienen partiendo
de la forma compacta G al aplicar el mismo procedimiento. Los grupos clásicos reales
corresponden a las series A, B, C y D de espacios de Cartan.
El espacio A n-1 caracteriza el grupo complejo SL(n,) y todas sus formas reales. La
forma real compacta es SU(n). Bajo la conjugación compleja se construye el grupo
SL(4,) que es la forma real normal del grupo complejo. Bajo la involución I p,q se
obtiene el grupo SU(p,q). Bajo la combinación de J n,n y conjugación se obtiene el
grupo SU*(2n).
El espacio B n caracteriza el grupo complejo SO(2n+1,). La forma real compacta
es SO(2n+1,) que es también la forma real normal. La conjugación es trivial y la
involución J n,n no existe. Por lo tanto el único automorfismo no trivial es I p,q que
determina el grupo SO(p,q) para q+p impar.
El espacio C n caracteriza al grupo complejo Sp(2n,). La forma real compacta es
USp(2n). La conjugación y J n,n producen el mismo resultado, el grupo Sp(2n,) que
es la forma real normal. El automorfismo I p,q determina el grupo USp(2p,2q)
El espacio D n caracteriza el grupo complejo SO(2n,). La forma real compacta es
SO(2n,) que es también la forma real normal. La conjugación es trivial. El
automorfismo I p,q determina el grupo SO(p,q) para p+q par. El automorfismo J n,n
determina el grupo SO*(2n).
Grupos y Espacios Simétricos
293
B.3. El Grupo G.
Dentro del álgebra de Clifford A hay un grupo definido como el subconjunto de
elementos de A con inverso. Como el álgebra es el elemento geométrico determinante,
este grupo se genera por la exponenciación del álgebra en términos de la base
ortonormal del álgebra. Ambos tienen una acción natural sobre el espacio lineal V que
llamamos el espacio espinorial asociado de A.
Consideremos el grupo en A, las transformaciones lineales GL(2,), compuesto de
todas las matrices invertibles aÎA, 2 ´ 2 sobre . En otras palabras, es el grupo lineal
bidimensional sobre el anillo de seudocuaterniones  (submatrices reales 2 ´ 2). Los
elementos de GL(2,) se pueden representar por matrices reales 4´4, indicadas por
R(4). Podemos definir la determinante de GL(2,) por la determinante correspondiente
en R(4). Este grupo produce endomorfismos lineales del espacio espinorial V. Estamos
interesados en el subgrupo unimodular SL(2,), el grupo G de automorfismos internos
del álgebra R 3,1.
En particular, los automorfismos internos del álgebra, producidos por G, son de la
forma,
a ¢ = g -1a g .
(3.1)
donde g es un elemento de SL(2,) contenido en el álgebra A. Como el álgebra es la
representación adjunta, esta acción corresponde al grupo adjunto de G, Ad(G), actuando
sobre A.
También nos interesan los automorfismos producidos por los grupos cubrientes.
Como el grupo cubriente correspondiente a un álgebra que sea una suma directa es el
producto de los grupos cubrientes de las componentes invariantes del álgebra, se tiene
GL (2, ) = R Ä SL (4,  ) .
(3.2)
La adjunta del centro de este grupo, actuando sobre el álgebra corresponde a la
identidad. Entonces hay automorfismos triviales producidos por el subgrupo R +. Los
automorfismos no triviales corresponden al grupo cubriente de SL(4,). El subgrupo
SL(2,) esta representado por SL(4,) y tiene como álgebra de Lie sl(4,). Entonces
debemos tener un homomorfismo
SL ( 2, ) =
SL (4,  )
Di
,
(3.3)
donde D i es un subgrupo discreto del centro.
En topología algebraica existe la secuencia general de homotopía [1] que relaciona
diferentes grupos de homotopía p k,
GEOMETRÍA FÍSICA
294
Apéndice B
D*
i*
p*
D*
p k+1 (B ) ¾¾
 pk (H ) ¾¾
 pk (G )) ¾¾
 pk (B ) ¾¾
 pk -1 (H ) , (3.4)
para un fibrado G con fibra H sobre el espacio base B.
El primer grupo de homotopía de SL(4,) se puede determinar como sigue. Se
tiene la secuencia general exacta de homotopía,
é SL (4,  ) ù
é SL (4,  )ù
ú ¾¾
ê
ú . (3.5)
é
ù
é
ù
p2 êê

p
SO
4
¾¾

p
SL
4
,

¾¾

p
(
)
(
)
1ë
1 ë
1 ê
û
û
ú
ú
SO
4
SO
4
(
)
(
)
êë
úû
êë
úû
El espacio simétrico B es el espacio riemanniano incompacto generado por el sector
incompacto complementario al álgebra maximal compacta,
B=
SL (4,  )
SL (4,  )
.
=
SO (4)
SU (2) Ä SU (2)
(3.6)
Debido a las propiedades homotópicas del espacio B, que es contráctil, sus grupos de
homotopía son la identidad y esta secuencia colapsa a la secuencia exacta corta,
I  p1 éëSO (4 )ùû  p1 éëSL (4,  )ùû  I .
(3.7)
que implica que los grupos correspondientes de homotopía son isomorfos,
p1 éëSL (4,  )ùû = p1 éëSO (4 )ùû = Z 2 .
(3.8)
y SL(4,) es doblemente conexo, como el bien conocido SO(4). El grupo cubriente de
SO(4) es
SO (4) = SU (2 ) Ä SU ( 2) .
(3.9)
Para obtener el grupo cubriente de G necesitamos la secuencia
I  p1 éëSU (2) Ä SU (2)ùû  p1 éëG ùû  I .
(3.10)
Esta distinción se puede lograr en el álgebra envolvente de Clifford A, usando la
representación del álgebra suministrada por su estructura bicuaterniónica. Para tener
lugar para un subgrupo SU(2)  SU(2) dentro de G, hay que romper la igualdad
e plep q = I 4
(3.11)
de multiplicación matricial, para l=1, q=1. Las operaciones suministradas por el anillo
 determinan que el inverso aditivo (negativo) de la identidad en , indicado por
I , no es equivalente al inverso respectivo en , indicado por I .
Es posible definir matrices sobre el anillo . En particular consideremos el
Grupos y Espacios Simétricos
295
grupo lineal en una dimensión sobre el anillo abstracto inconmutativo  designado
como GL(1,). Definamos el subgrupo especial de bicuaterniones de modulo unidad
(dos cuaterniones de modulo unidad), SL(1,). Este grupo es generado por el
álgebra de Lie
sl (1,  Ä ) = dqala Ä I + I  Ä dfaqa +dbabla Ä qb ,
(3.12)
que es isomorfa a sl(4,). Un grupo obtenido por exponenciación de este álgebra es
homomorfo a SL(4,).
Si usamos el producto tensorial , como en el álgebra A, el centro invariante
discreto del grupo se determina por
lI  = 1 ,
(3.13)
qI  = 1 .
(3.14)
Por lo tanto, el grupo lineal especial SL(1,) tiene el subgrupo discreto
invariante D compuesto por los elementos,
{{I

, I } ,
{ -I , I  } , {I , -I  } , { -I , -I }}
.
(3.15)
Los subgrupos invariantes de D son
{I , I } = I
,
(3.16)
{{I
, I } ,
{ -I , I  }} = Z 2
,
(3.17.
{{I
, I } ,
{I , -I }} =  Z 2
,
(3.18)
{{I
, I } ,
{ -I , -I }} =  Z 2



,
(3.19)
que son distintos aunque los tres últimos son isomorfos.
Si usamos la identificación estándar que define las operaciones - I  y -I  como
equivalentes, como en multiplicación matricial, claramente se obtiene el grupo SL(4,).
El subgrupo invariante de SL(4,) se puede escribir como
D
= {{I , I  } ,
Z2

{ -I , I  }} = {I 4 ,
-I 4 } .
(3.20)
En otras palabras, SL(4,) es doblemente conexo y se obtiene dividiendo por la
296
GEOMETRÍA FÍSICA
Apéndice B
relación de equivalencia,
SL (1,  Ä  )
SL (4,  )
= SL (4,  ) = 
,

Z2
Z2
(3.21)
de la cual podemos identificar el grupo cubriente de SL(4,), módulo un isomorfismo,
SL (4,  ) = SL (1,  Ä  ) .
(3.22)
El subálgebra compacta es generada por
slC (1,  Ä  ) = dqa la Å dfaqa = su (2) Å su (2)
(3.23)
y se obtiene el subgrupo maximal compacto
H = SU ( 2) Ä SU (2) .
(3.24)
El grupo tiene la estructura de un fibrado sobre B con fibra el subgrupo compacto H,
correspondiente a una descomposición por cociente izquierdo,
G = BH .
(3.25)
El grupo no simple U(1)SL(2,) es el subgrupo par de SL(1,) y el homomorfo
SL 1(2,), las matrices 2´2 de determinante compleja de módulo unidad, es el subgrupo
par de SL(2,) o SL(4,).
B.4. Espacios Simétricos.
Los espacios simétricos son variedades cuyo tensor de curvatura es invariante bajo
todo transplante paralelo,
R = 0 .
(4.1)
Considere cualquier geodésica que pase por un punto p=g(0), en una variedad
riemanniana. La simetría geodésica aplica simétricamente puntos a lo largo de la
geodésica,
s p : g (l ) ¾¾
 g (-l ) .
(4.2)
Una variedad riemanniana es localmente simétrica si para cada pM hay un entorno
normal N p donde la simetría geodésica es una isometría.
Existe una demostración que la invariancia de la curvatura es equivalente a la
condición que la simetría geodésica, con respecto a cada punto, sea una isometría
local. Por lo tanto, los espacios simétricos tienen un grupo transitivo de isometrías G’
y pueden ser representados por un cociente G’/H. [2, 3]. La clasificación de estos
espacios fue realizada por Cartan utilizando esta relación de los espacios simétricos
Grupos y Espacios Simétricos
297
con los cocientes de grupos de Lie.
La métrica de Cartan-Killing de un espacio cociente de grupos, G’/H, se toma como
la métrica en el subespacio del álgebra de G’ complementario al álgebra de H. La
exponenciación de este espacio es un espacio globalmente simétrico [4] porque
cualquier punto y su entorno se pueden trasladar a cualquier otro punto por una
operación del grupo. De esta forma, se puede probar que la métrica es invariante.
Como tanto el grupo G’ como el subgrupo H están relacionados con grupos
compactos por medio de involuciones, hay distintos cocientes relacionados entre sí
por dos involuciones que indicaremos por s y t. Las posibilidades para la involución
t son exactamente las mismas disponibles para las involuciones s, indicadas en la
sección anterior. Por lo tanto, la clasificación de los espacios simétricos queda
determinada aplicando un par de involuciones tomadas del conjunto indicado, que
conmuten y agoten las posibilidades. Los valores propios simultáneos de este par
pueden usarse para describir A
A = A++ Å A+- Å A-+ Å A-- .
(4.3)
El automorfismo involutivo t sirve para señalar un subgrupo compacto, partiendo
de un grupo compacto G
G+t = exp (A++ Å A-+ )
(4.4)
y el espacio simétrico compacto complementario con métrica definida es
exp (i (A+- Å A-- )) =
G
G+ t
.
(4.5)
El otro automorfismo s sirve para convertir el subgrupo compacto a un subgrupo
incompacto
s
G+t = exp (A++ Å A-+ ) ¾¾
 exp (A++ Å iA-+ ) = G+s t
(4.6)
y para convertir el espacio simétrico con métrica definida en uno con métrica indefinida
G
Gs
s
= exp (i (A++ Å A-- )) ¾¾
 exp (i (A+- Å iA-- )) = s .
G+ t
G +t
(4.7)
El espacio simétrico G/G + posee una métrica definida negativa derivada de la métrica
de Cartan-Killing. El espacio dual G*/G +, donde G* es la forma grupal incompacta
maximal y G + es el subgrupo compacto maximal, posee una métrica igual pero definida
positiva, derivada de la métrica de Cartan-Killing restringida al subespacio
complementario de A*. Ambos espacios son por lo tanto espacios riemannianos.
Hay un teorema que dice que los espacios simétricos hermitianos irreducibles
incompactos son exactamente las variedades G/H donde G es un grupo simple conexo
GEOMETRÍA FÍSICA
298
Apéndice B
(no) compacto con centro {I} y H es el grupo compacto maximal de G con un centro no
discreto [5]. Existe una notación estándar para la clasificación de estos espacios
riemannianos, que consiste en indicar el tipo de espacio de Cartan (A,B…), el tipo de
involución (I,II,III) y las dimensiones que caracterizan a los grupos (2n,p,q).
C
Hay otras formas reales del grupo complejo G entre los extremos G y G* y por lo
tanto también hay una serie de espacios simétricos que son formas reales de la extensión
compleja del cociente,
C
æG ö÷
GC
ç
çè G+ ÷÷ø = G+C ,
(4.8)
que se encuentran entre los dos espacios extremos riemannianos. Estos espacios
intermedios poseen una métrica indefinida y se consideran espacios
seudorriemannianos. El carácter de una forma real se define como la traza de la forma
canónica de la métrica. Este número entero corresponde a la diferencia entre el número
de generadores compactos e incompactos. Los distintos espacios, dentro de una serie,
se clasifican por el carácter de su forma real. La serie se puede caracterizar por su
grupo incompacto final.
Las series de espacios cocientes relacionados con el espacio de Cartan A 3 son de
interés. En particular, escogemos el automorfismo involutivo t del tipo AIII(p=2,q=2)
que determina un subgrupo compacto G + heptadimensional. Se obtiene, de esta manera,
una serie de espacios octodimensionales, caracterizados por el grupo incompacto
SU(2,2), correspondiente a los espacios riemannianos G/G + y su dual G*/G +,
SU (4)
SU *(4)
SU (2, 2)
»
»
»
SU (2) Ä SU (2) ÄU (1) SL (2, ) Ä SO (2) SL (2, ) Ä SO (1, 1)
SL (4,R )
SU (2, 2)
.(4.9)
»
»
SL (2, ) Ä SO (2) SU (2) Ä SU (2) ÄU (1)
Debido al isomorfismo de los espacios A 3 y D 3 se tiene la serie isomorfa, de espacios
caracterizados por el grupo incompacto SO(4,2), correspondiente a los espacios
riemannianos G/G + y su dual G*/G + con involución t del tipo BDI(p=4,q=2),
SO (6 )
SO (5, 1)
SO (4, 2)
»
»
SO (4) Ä SO (2) SO (3, 1) Ä SO (2) SO (3, 1) Ä SO (1, 1)
SO (3, 3)
SO (4, 2)
.
»
»
SO (3, 1) Ä SO (2) SO (4) Ä SO (2)
(4.10)
Los caracteres de las formas reales de ambas series isomorfas son -8, -4, 0, +4, +8.
Grupos y Espacios Simétricos
299
Otras series de interés están relacionadas con el espacio de Cartan C 2. En particular,
escogemos el automorfismo involutivo t del tipo CII(p=2,q=2) que determina un
subgrupo compacto G+ hexadimensional. Se obtiene una serie de espacios
cuatridimensionales, caracterizados por el grupo incompacto USp(2,2), correspondiente
a los espacios riemannianos G/G + y su dual G*/G +,
USp (4)
USp (2, 2)
Sp (4,  )
»
»
»
USp (2) ÄUSp (2) Sp (2, ) Sp (2,  ) Ä Sp (2,  )
Sp (4,  )
USp (2, 2)
.
»
»
Sp (2, ) USp (2) ÄUSp (2)
(4.11)
También, debido al homomorfismo de los espacios B 2 y C 2 se tiene la serie isomorfa, de
espacios caracterizados por el grupo incompacto SO(4,1), correspondiente a los espacios
riemannianos G/G + y su dual G*/G + con involución t del tipo BDI(p=4,q=1),
SO (5) SO (4, 1) SO (3, 2) SO (3, 2) SO (4, 1)
»
»
»
»
.
SO (4) SO (3, 1) SO (2, 2) SO (3, 1)
SO (4 )
(4.12)
Los caracteres de las formas reales de ambas series isomorfas son -4, -2, 0,+2, +4.
Referencias
1 G. W. Whitehead, Elements of Homotoy Theory (Springer Verlag, New York) (1978).
2 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)
p. 163 (1962).
3 E. Cartan, Bull. Soc. Math. France 55, 114 (1927).
4 R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applications (John Wiley and
Sons, New York), p. 350 (1974).
5 S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)
p. 310 (1962).
C. CONEXIONES EN FIBRADOS.
Presentamos ciertas nociones necesarias de las conexiones en fibrados. El tratamiento
no es completo pero sirve para establecer conceptos y la notación usada en el libro. Se
supone un conocimiento general de geometría diferencial y fibrados. Para mayores detalles
vea las referencias [1, 2, 3, 4].
C.1. Un Campo Fundamental.
Sea A el álgebra de Lie de un grupo G que actúa sobre una variedad M por la derecha.
Por cada aÎA, tenemos una curva en G.
t ¾¾
 exp (ta ) .
(1.1)
Para cada punto mÎM, esto produce una curva en M,
t ¾¾
 meta .
(1.2)

Indiquemos por am el vector tangente a M en t=0. Así, se tiene un campo vectorial

sobre M. El vector a también se puede describir como sigue. Para mÎM sea la
aplicación
sm :G ¾¾
M ,
(1.3)
sm ( g ) = m g ,
(1.4)
entonces es

am = sm *I (a ) .
(1.5)
Está claro que, si indicamos por S el conjunto de secciones de un fibrado,
s* : A  S (TM )
es lineal. También se puede probar que
 
a ,b ] = éêa ,b ùú
[
ë
û
.
(1.6)
Si ahora tomamos M que sea un fibrado principal E, sabemos que G actúa por la

derecha sin punto fijo. Por lo tanto, tenemos un campo vectorial fundamental a
correspondiente a cualquier aÎA. Para cada eÎE, la aplicación
Conexiones en Fibrados
301

a ¾¾
 ae
(1.7)
es un isomorfismo porque G actúa libremente. Como las aplicaciones R g:EE envían

los espacios verticales sobre sí mismos, el conjunto de todos los ae es precisamente el
conjunto de vectores verticales en pe.
C.2. La Conexión de Ehresmann.
Una conexión en un fibrado principal (E,M,G,p), con álgebra A correspondiente al
grupo de estructura G, es una 1-forma w sobre E valuada en A, tal que
w :TE ¾¾
A ,
(2.1)

w (a ) = a ,
(2.2)
w (Rg *t ) = Ad-g 1 w (t )
t Î TE .
(2.3)
Para cada eÎE la aplicación
we :TEe ¾¾
A
e ÎE
(2.4)
es sobreyectiva, de modo que su núcleo H es un subespacio de TE e que tiene las
e
mismas dimensiones que M. Este H e se llama
el subespacio horizontal de TE e
determinado por la conexión. Los vectores tangentes en H e se llaman vectores
¥
horizontales. Se puede probar que H es una distribución C que satisface
TEe =Ve Å H e ,
(2.5)
H e g = Rg *H e .
(2.6)
También se puede probar que un H que satisfaga estas ecuaciones determina la forma de conexión w.
Partiendo de la descomposición en suma directa y del hecho que el subespacio
vertical V e es el núcleo de
p* :TEe ¾¾
TM pe ,
(2.7)
queda claro que
p* : H e ¾¾
TM pe
(2.8)
es un isomorfismo para cada e. En consecuencia, para cada campo vectorial X en TM
hay un campo vectorial único X* en E que es horizontal en todas partes y se proyecta
GEOMETRÍA FÍSICA
302
Apéndice C
de vuelta en X,
p*Xe* = X pe ,
(2.9)
que se llama el vector horizontal elevado de X. Se puede probar que
Rg *X * = X * ,
*
(X +Y ) = X * +Y *
(2.10)
,
(2.11)
*
(fX ) = f  pX *
[X ,Y ] = hor éëêX * ,Y * ùûú
*
f :M  R ,
.
(2.12)
(2.13)
1
Si c es una curva segmentada C en E, decimos que c es horizontal si y sólo si todos
1
sus tangentes son horizontales. En aquellos puntos donde c no sea C requerimos que
ambos c’ + y c’ - sean horizontales. Si
c : [0, 1] ¾¾
M
(2.14)
1
es una curva segmentada C en M, se define la curva elevada de c como la curva
horizontal,
c * : [0, 1] ¾¾
E ,
(2.15)
que se proyecta de vuelta en c,
p c* = c .
(2.16)
Esta curva es única dado el punto inicial c*(0), que se proyecta en c(0).
Podemos ahora definir el transporte paralelo de los espacios verticales del fibrado
E a lo largo de cualquier curva c en M, como el isomorfismo de los espacios vectoriales,
tt : p-1c (0 ) ¾¾
 p-1c (t ) ,
(2.17)
definido por
ttc * (0 ) = c * (t ) .
(2.18)
Si el fibrado principal es un fibrado de poliadas e, bases de un espacio vectorial V
de n dimensiones, está asociado naturalmente al fibrado vectorial VM con el espacio V
como fibra. Una sección e de E induce un isomorfismo,
e : R n ¾¾
VM pe
(2.19)
Conexiones en Fibrados
303
y se tiene
tt e  e -1 :VM p(e ) ¾¾
VM p(te ) ,
(2.20)
lo cual nos permite definir el transporte paralelo de vectores de V, secciones de VM,
partiendo del transporte paralelo de e
tt (Ym ) = tte  e -1 (Ym )
Ym ÎVM m .
(2.21)
Podemos definir ahora la derivada covariante,
XY = lim
t -1Y (c (t )) -Y (c (0 ))
t 0
t
,
(2.22)
donde c(0) es m y
X m = c ÎTM m
m = c (0 ) .
(2.23)
En particular, si el fibrado vectorial VM es el fibrado tangente TM, el fibrado
principal E es un fibrado de poliadas asociado al fibrado tangente TM. Entonces ambos
vectores en la derivada covariante cumplen X,YÎTM m y la derivada  define una
conexión de Koszul en el fibrado TM. Si el grupo de estructura G se puede reducir al grupo
real ortogonal O(p,q) hay una métrica g, invariante grupal con derivada covariante cero, en la
variedad base M.
C.3.
Las k-Formas Tensoriales.
Dado un espacio vectorial V con un número finito de dimensiones y una representación
lineal del grupo de estructura(G) en V, podemos definir tensores de tipo (G) sobre el
fibrado principal E como la aplicación,
t : E ¾¾
V ,
(3.1)
tal que
te g = -1 ( g )te
g ÎG .
(3.2)
Consideremos un atlas que cubra el espacio base con las cartas U i y una sección local
e i del fibrado E en cada carta. Para cada mÎU iÇU j tenemos un elemento g ji de G tal que
e j = ei g ij
g ij ÎG
(3.3)
y podemos considerar un tensor local en M,
ti º ei*t ,
(3.4)
GEOMETRÍA FÍSICA
304
(e *j t )m = te (m)
i
Apéndice C
,
(3.5)
obteniendo,
(e j*t )m = -1 ( g ji )(ei*t )m
.
(3.6)
Puede verse que las s* it pueden considerarse las imágenes, por el homeomorfismo
local, de una sección en el fibrado sobre M con fibra V y grupo estructural (G) que
puede llamarse el fibrado tensorial de tipo (G).
Una q-forma a sobre E, con valores en V, se llama una q-forma tensorial de tipo
(G) si satisface las dos propiedades siguientes,
a (X 1 , X 2 , Xq ) = 0
X i Î T v E ÌTE
,
a (Rg *X 1 , Rg *X 2 , Rg *Xq ) =  -1 ( g ) a (X 1 , X 2 , Xq ) .
(3.7)
(3.8)
v
donde T E es el subfibrado vertical.
Un tensor de tipo (G) se puede considerar una 0-forma. Si tenemos un atlas con
secciones locales e i podemos definir q-formas locales sobre M con valores en V,
ai¢ (X 1 , X 2 , Xq ) = ei*a (X 1 , X 2 , Xq ) = a (ei *X 1 ,ei *X 2 , ei *Xq ) ,
(3.9)
que satisfacen
aj¢ (X 1 , X 2 , Xq ) =  -1 ( g ij ) ai¢ (X 1 , X 2 , Xq ) .
(3.10)
Inversamente, un conjunto de a’ i locales que cubran M y satisfagan la última
ecuación, determina una q-forma tensorial sobre E.
Debe quedar claro que una q-forma tensorial con valores en V define canónicamente
q
q
un tensor sobre E, un elemento del fibrado tensorial sobre M con fibra VÄL donde L
es el espacio de q-formas.
Adicionalmente consideremos una q-forma a sobre E con valores en un espacio
vectorial V. Definamos una (q+1)-forma valuada en V, llamada la derivada exterior
covariante de a, por la siguiente expresión,
D a (X 1 , X 2 ,  Xq +1 ) = d a (hX 1 , hX 2 , hXq +1 ) ,
(3.11)
donde X iÎTE m y hX es la parte horizontal de X.
Está claro que si cualquiera de los vectores X 1 , X 2, ...X q es vertical,
D a (X 1 , X 2 , Xq ) = 0 .
Además se tiene,
(3.12)
Conexiones en Fibrados
305
D a (Rg *X 1 , Rg *X 2 ,Rg *X k +1 ) = d a (hRg *X 1 , hRg *X 2 , )
= d a (Rg *hX 1 , Rg *hX 2 ,) = -1 ( g )d a (hX 1 , hX 2 ,)
= -1 ( g )Da (X 1 , X 2 , X k +1 ) .
(3.13)
Por lo tanto, se tiene que si a es una q-forma tensorial del tipo (G), entonces Da es
una (q+1)-forma tensorial del mismo tipo.
C.4.
Curvatura y Torsión.
En cualquier fibrado principal con conexión se puede definir la 2-forma tensorial curvatura
W por la ecuación
W º Dw .
(4.1)
Si se tiene el fibrado de poliadas del espacio tangente TM, se puede definir una 1n
forma valuada en R proyectando y tomando componentes,
Qe :TEe ¾¾
 Rn ,
(4.2)
Qe = e -1  p* ,
(4.3)
que llamamos la forma canónica Q de la forma dual (copoliada) q de la poliada vectorial
tangente u.
Para una sección s se tiene la forma en M
s *Q (Ym ) = Qs (m ) (s*Ym ) = s -1 (m )(p*s*Ym ) =s -1 (m )(Ym )
Y ÎTM , (4.4)
Si tomamos para Y todos los vectores de una poliada tangente u y consideramos una
sección local
s (m ) = u .
(4.5)
obtenemos
u -1u = I ,
(4.6)
que son las componentes de una copoliada q con respecto a la poliada u. Claramente
s*Q coincide con q.
Se puede definir la forma de torsión S en términos de esta forma canónica, a través
de la expresión
S º DQ .
(4.7)
Si la torsión es cero y las poliadas son ortonormales, la conexión es riemanniana o
306
GEOMETRÍA FÍSICA
Apéndice C
seudorriemanniana dependiendo del grupo de estructura O(p,q).
Si definimos un campo vectorial básico en un fibrado de poliadas, para cada punto
n
xÎR ,
*
xˆ = (e (x )) ,
(4.8)
se pueden probar las siguientes relaciones,
()
Q xˆ = x ,
(4.9)

Rg* = ( g -1x )
g Î GL (n , R ) ,
(4.10)
éa, xˆù = (
ax )
ëê ûú
a Î gl (n , R ) º A ,
(4.11)
h Î He , a Î A .
(4.12)
[a, h ] Î He
Las propiedades de transformación de las formas W, Q, S son
Rg*W (X ,Y ) = Ad ( g -1 )W (X ,Y ) ,
(4.13)
Rg*Q (X ) = g -1Q ,
(4.14)
Rg*S (X ,Y ) = g -1S (X ,Y ) .
(4.15)
Se puede probar que estas formas obedecen un conjunto de ecuaciones de estructura
de Cartan que son,
W (X ,Y ) = d w (X ,Y ) + éëw (X ) , w (Y )ùû ,
(4.16)
S (X ,Y ) = d Q (X ,Y ) + (w (X )Q (Y ) - w (Y )Q (X )) ,
(4.17)
las cuales se pueden escribir en términos de formas ordinarias. Con respecto a una
n
base estándar e de R ,
Q = ei Qi ,
(4.18)
S = ei Qi
(4.19)
y una base estándar E de gl(n,)
Conexiones en Fibrados
307
w = Eij wij ,
(4.20)
W = Eij Wji .
(4.21)
Entonces se tiene
Wji = d w ij + wki  w kj ,
(4.22)
S i = d Qi + wki  Qk ,
(4.23)
y omitiendo los índices,
W = dw + w  w ,
(4.24)
S = dQ + w  Q .
(4.25)
Estas formas satisfacen ciertas identidades, llamadas identidades de Bianchi. En
cualquier fibrado principal, se puede probar la primera identidad de Bianchi,
DW = 0
(4.26)
y si el fibrado es un fibrado de poliadas de TM, la segunda identidad de Bianchi es,
DS = W  Q .
(4.27)
C.5. Formas Inducidas de Conexión,
Curvatura y Torsión.
Si tenemos secciones locales e i , en E, podemos inducir formas correspondientes en
el espacio base, la conexión e i *w, la poliada dual e i*Q, la curvatura e i *W y la torsión
e i *S.
 ÎTM en el punto m, corresponden los vectores en TE
A cada vector tangente m
tales que
ei *m ÎTE ,
(5.1)
p*ei *m = m .
(5.2)
Si hacemos un cambio de sección referencial,
e j = ei g ij ,
obtenemos
(5.3)
GEOMETRÍA FÍSICA
308
ej = e i g ij + ei g ij ,
Apéndice C
(5.4)
donde los vectores tangentes g ÎTG en gÎG, corresponden a un elemento a del álgebra
de Lie A del grupo G tal que,
a = g -1d g (m ) .
(5.5)
Si dejamos que w actúe sobre e tenemos,
w (ej ) = w (ei g ij ) + w (ei g ij ) ,
(5.6)
pero
w (e g ) = w (Rg *e) = Ad-g 1 w (ei ) ,
(5.7)
w (ei g ) = w ( g -1d g (m )) = g -1d g (m ) ,
(5.8)
resultando
w (e j *m ) = Ad-g 1 w (ei *m ) + g -1d g (m ) ,
e *j w = Ad-g 1 (ei* w ) + g -1d g = g -1ei* w g + g -1d g ,
(5.9)
(5.10)
que es la ley de transformación de una forma local de conexión en M bajo un cambio
de referencial.
La derivada covariante  también se puede usar para definir las formas locales de
conexión e*w inducidas de la sección local e del fibrado principal E, en componentes
con respecto a la base o poliada e y una base u de TM, como sigue,
e = e (e * w ) ,
(5.11)
que se puede escribir en forma de componentes
meAM = eBM (e *w )
B
Am
.
(5.12)
La acción por la derecha se expresa por la sumatoria sobre índices poliádicos. Esta
ecuación da la velocidad de cambio de la poliada e referida a sí misma, a lo largo de
curvas en M con los elementos de la base u como tangentes.
El grupo de estructura puede actuar sobre la fibra del fibrado principal, una base
vectorial poliádica e de un fibrado vectorial asociado, de dos maneras: primero como
una acción sobre todos los vectores de la base poliádica transformándolos entre sí, la
Conexiones en Fibrados
309
transformación activa por la derecha; y segundo como una acción sobre las
componentes de cada vector de la base poliádica, respecto a otra base, la transformación
pasiva por la izquierda. En el fibrado principal asociado, el conjunto de bases se puede
tomar isomorfo al grupo de estructura. Los diferentes miembros de la poliada se pueden
indicar con un índice con barra. De esta manera, la acción del grupo por la derecha o
transformación activa se puede escribir,
ea = eb g ab ,
(5.13)
mientras que la acción del grupo por la izquierda o transformación pasiva se puede
escribir,
e m = glme l .
(5.14)
La forma de conexión w, definida en términos de la acción por la derecha sobre la
base (una transformación activa), tiene una expresión en términos de la acción por la
izquierda (transformación pasiva) sobre un vector v de la fibra V
 (ev ) = ev + ev = e (e * wv + ¶v ) .
(5.15 )
La derivada covariante de un campo vectorial v en VM es, en componentes,
m v M = ¶mv M +e *wNMmv N ,
(5.16)
u omitiendo los índices,
v = ¶v + e *w v .
(5.17)
En particular, para las componentes vectoriales de la poliada e, referida a otra arbitraria
s, podemos escribir,
e = ¶ e + s *we = ¶ e + G e ,
(5.18)
donde denotamos por G el conjunto de componentes (coeficientes de conexión) de
s*w respecto a una poliada arbitraria s.
La derivada covariante de una q-forma tensorial f se puede expresar por
q +1
Df (A1 , A2 Aq +1 ) = å (-1)
i +1
i =1
å (-1)
i +j
i <j
((
))
Ai f A1 Aˆi Aq +1 +
(
)
f éëAi , Aj ùû , A1 Aˆi Aˆ j Aq +1 .
(5.19)
Para una 0-forma vectorial v la última expresión se reduce, en una base de coordenadas,
GEOMETRÍA FÍSICA
310
m vM = ¶m vM + e *wNMm vN .
Apéndice C
(5.20)
La acción por la izquierda se expresa por la sumatoria sobre los índices de componentes.
Similarmente para una 1-forma vectorial q se tiene,
D q (¶ m , ¶n ) = m qn -n qm .
(5.21)
Si el fibrado VM es TM, podemos asociar secciones de poliadas de coordenadas
holonómicas ¶, a las coordenadas del atlas en la variedad base M. Asociada a una
poliada arbitraria (inholonómica), una sección s de E, y su copoliada dual (inversa),
hay matrices respectivas u, q, que son elementos del grupo GL(4,). Podemos
transformar la expresión de la forma de conexión en la base de coordenadas, ¶*w, a la
expresión en la base arbitraria, s*w , por la ley de transformación, ec. (5.10). Debemos
tomar para g el elemento de grupo u, cuya acción por la derecha envía ¶ a s.
s *w = q (¶ *w )u + q du .
(5.22)
La expresión de coordenadas de los coeficientes de conexión G de ¶*w se puede obtener
por la transformación inversa,
G º ¶ *w = u (s *w ) q + u d q .
(5.23)
Podemos escribir, para una base u en TM,
l n
m ual = ¶mual + G nm
ua ,
(5.24)
u omitiendo los índices,
u = ¶ u + G u .
(5.25)
Si tenemos una forma F de grado p con valores en L(S,S), en otras palabras valuada
en matrices, podemos escribir la derivada covariante,
D F = d F + éëês *w , F ùûú ,
(5.26)
donde el paréntesis se define, para dos matrices a y b de grado p y q respectivamente,
por
pq
[a, b ] = a  b - (-1) b  a
.
(5.27)
Aplicando repetidamente estas relaciones y usando la definición de curvatura, se obtiene
D 2 F = éëês *W , F ùûú .
(5.28)
Conexiones en Fibrados
311
Referencias
1 M. Spivak, Differential Geometry (Publish or Perish, Berkeley), ch. 8 (1970).
2 A. Lichnerowicz, Théorie Globale des Connexions et des Groupes d’Holonomie, (Ed.
Cremonese, Roma), p. 62, 101 (1972).
3 J. A. Schouten, Ricci-Calculus, 2nd ed. (Springer -Verlag, Berlin), (1954).
4 I. Vaisman, Cohomology of Differential Forms, (Marcel Dekker, New York), (1973).
D. FIBRADOS JETADOS.
D.1.
Fibrados Jetados.
¥
k
Consideremos E un fibrado C . Sea S(E) el espacio de todas las secciones de E y C (E)
k
el subespacio de secciones C . Sea e Î E tal que p(e) = m’ y sea U un entorno abierto de m
m
con coordenadas locales x tales que exista una trivialización
j : EU U ´Em ¢
(1.1)
y sea W un entorno abierto de e m, en la fibra E m con coordenadas locales y i. Indiquemos
derivadas parciales de orden | a | por
¶a=
¶a
¶x 1a1 ... ¶x nan
,
(1.2)
donde a = {a 1 ,....a n,} es un conjunto de enteros no negativos y |a|=a 1+…+a n .
Definamos una relación de equivalencia sobre las secciones en un punto, enunciando
que (x, S 1 (x)) es equivalente a (x’, S 2 (x’)) si
x¢ =x ,
(1.3)
¶ a (y i (s1 )) = ¶ a (y i (s 2 ))
m
(1.4)
m
k
e indiquemos el cociente de S(E) por esta relación de equivalencia por J (E) m . Para
una sección s, sea j ks(m) la clase de secciones con iguales derivadas en m hasta el
k
¥
orden k. Unívocamente podemos tomar J (E) m como las fibras C de un fibrado vectorial
k
¥
k
¥
J E sobre M tal que j k s Î C (J E) para todas las secciones s Î C (E), que llamaremos
el fibrado jetado [1, 2] de orden k del fibrado E. La aplicación lineal
jk :C ¥ (E )  C ¥ (J k E )
(1.5)
se llama el mapa de prolongación k-jeta de una sección.
k
Dos secciones equivalentes de J E tienen las mismas derivadas parciales en el punto
1
especificado. El J E tiene como espacio vertical en un punto todas las clases de
secciones que tienen el mismo valor y las mismas primeras derivadas parciales en el
punto especificado.
k
Hay una proyección natural p desde J E hacia E definida al enviar un punto j k s m Î
k
J E sobre m Î M al punto de E que tiene como espacio vertical en m la clase de
equivalencia de j ks m. Se tiene
Fibrados Jetados
313
p ( j k sm ) = sm .
(1.6)
k
El espacio vertical J E e es el conjunto de todas las clases de secciones, definidas
cerca de m=p(e), tales que s(m)=e, relativa a la relación de equivalencia s 1 ~ s 2 si y
k
k
k
sólo si (¶ s 1 ) m ~ (¶ s 2) m. Los elementos de J E e definidos por la sección s son la k-jeta
de s en m, indicado por j ks m
Las funciones (x m ,y,z i m) definidas sobre p -1[ j -1 (U´W)] por la regla
x m ( j1sm ) = x m (m ) ,
(1.7)
y i ( j1sm ) = y i (s (m )) ,
(1.8)
¶y i
z ( j1sm ) = m (s (m )) ,
¶x
(1.9)
i
m
donde y i =y i (x m ) son las ecuaciones de la sección s relativas a las coordenadas x m, y i y la
trivialización j que hemos escogido, forman un sistema de coordenadas locales en
1
1
J E, llamadas las coordenadas canónicas sobre J E.
Puede verse que este formalismo suministra un ambiente natural para plantear
ecuaciones diferenciales. Podemos pensar que un sistema de ecuaciones diferenciales
se define por un conjunto de relaciones de la forma
i
i
FA (x m , y i , z mi , z mn
...z mn
...x ) = 0 ,
(1.10)
donde las coordenadas z están vinculadas a las derivadas parciales de las variables
i
m
independientes y en términos de las variables dependientes x . Geométricamente, las
k
funciones F A representan superficies en el fibrado jetado J E y determinan un subespacio
k
k
SÎJ E. Se puede pensar que una solución del sistema es una sección s en J E que
satisfaga
jk s Ì S .
(1.11)
Es posible introducir una forma fundamental asociada al fibrado jetado, que puede
usarse para caracterizar geométricamente problemas variacionales. Para esto sigamos
v
1
el tratamiento presentado por García [3, 4, 5]. Transportemos la fibra de TE hacia J E
v
1
construyendo el fibrado inducido p*TE como sigue. Para un punto dado js(m)ÎJ E se
obtiene un punto de E,
p ( j1s (m )) = s (m ) Î E .
(1.12)
Sea p*TE el conjunto {j 1 s(m), v s(m) } donde v s(m)ÎTE indica un vector en s(m) que
satisfaga
v
v
Apéndice D
GEOMETRÍA FÍSICA
314
(
)
p ( j1s (m )) = q vs (m ) = s (m ) ,
(1.13)
donde q: TE E. El fibrado p*TE tiene la proyección
v
v
q ¢ : p *TE v  J 1E ,
(
(1.14)
)
q ¢ j1s (m ) , vs (m ) = j1s (m ) .
(1.15)
1
Ahora podemos definir una 1-forma diferencial sobre J E, llamada la forma de
v
1
estructura Q, valuada en p*TE . Si U es un entorno abierto de e en J E con coordenadas
v
canónicas (x m,y i,z im ) entonces p*¶/¶y i es una base para la fibra de p*TE y Q tiene la
siguiente expresión:
Q :TJ 1E  p *T v E ,
Q (V ) = qa (V ) p *
¶
¶y a
(1.16)
V ÎTJ 1E
,
(1.17)
donde las q son las 1-formas ordinarias
i
qa = dy a - z aadx a .
(1.18)
Por consiguiente, la prolongación 1-jeta j l s de la sección s sobre E es la única
1
sección sobre J E tal que
p  j1s = s ,
(1.19)
Qj s = 0 .
(1.20)
Es conveniente introducir la definición siguiente: Una transformación infinitesimal
k
de contacto se genera por un campo vectorial V, una sección de TJ E, por medio de la
derivada de Lie, si satisface
V Q = h · Q ,
(1.21)
donde h es un homomorfismo de la fibra de p*TE y · es el producto bilineal usual.
Se puede probar que hay prolongaciones de vectores en analogía con prolongaciones
de secciones. Sea V una sección en TE. Entonces existe una transformación infinitesimal
1
de contacto jV, proyectable por p, una sección de TJ E, tal que p *jV = V. Llamaremos a
este jV la prolongación 1-jeta de V. La aplicación VjV es una inyección del álgebra
1
de Lie de los vectores sobre E dentro del álgebra de campos vectoriales sobre J E.
v
Fibrados Jetados
315
D.2. Secciones Críticas y Vectores de
Jacobi.
Si tenemos una orientación h en la variedad base M, que llamaremos el elemento
de volumen de M, podemos inyectarla por (pp)* en el álgebra de formas diferenciales
1
1
sobre J E. Podemos hablar de la 4-forma Lh en J E donde L es el lagrangiano. Definamos
un funcional sobre el conjunto de secciones diferenciables s de E por
A (s ) = ò Lh ,
(2.1)
js
donde js es la prolongación 1-jeta de s. El funcional A se define en el conjunto S de
aquellas secciones tales que la integral exista.
Llamaremos el diferencial del funcional A en una sección dada sÎS, denotado por
dA s al funcional lineal sobre el espacio {j 1V} de transformaciones infinitesimales de
contacto, con soporte compacto, definido por
dAs ( jV ) = ò jV (Lh ) .
(2.2)
js
Diremos que una sección s es crítica cuando
dAs ( jV ) = 0 .
(2.3)
Definamos una (m-1)-forma L, llamada la forma de transformación de Legendre,
L : Äm-1TJ 1E  p *TE v * ,
(2.4)
que cumpla con la siguiente expresión local:
L = Li · p *dy i ,
(2.5)
donde
Li = -
J ¶L
e
dx a  dx b  dx m -1 .
i mab
m ! ¶ zm
(2.6)
Definamos también la m-forma de Poincaré-Cartan P, asociada al problema
variacional por medio de las relaciones
P : ÄmTJ 1E  R ,
(2.7)
Apéndice D
GEOMETRÍA FÍSICA
316
P = Q  ·L - Lh ,
(2.8)
donde el producto exterior se toma con respecto al producto bilineal definido por la
noción de dualidad.
La expresión para la derivada de Lie en la ec. (2.2) se puede calcular. Para cada
transformación canónica infinitesimal jV se tiene
j V (Lh ) = Q ( jV ) · (D L + f h ) -d ( jV P ) + Q ·L¢ ,
(2.9)
donde L’ es una (m-1)-forma sobre J E valuada en p*TE * y f es una sección única de
v
p*TE *. El símbolo  indica el producto interior de formas. Llamaremos la m-forma
resultante DL+fh, la forma de Euler-Lagrange asociada al problema variacional dado.
Notando que Q js = 0 y despreciando la forma exacta en la ec. (2.9) obtenemos de la
ec. (2.2) que una sección s Î S es crítica si y sólo si la forma de Euler-Lagrange es
cero sobre la extensión 1-jeta de la sección (ecuación de Euler),
1
(DL + f h )js = 0
v
.
(2.10)
Dada una sección s de E, sea X s el espacio de todas las secciones V s de s*T E. Al
identificar M con s(M) por la sección s, cada V sÌX s, define un campo vectorial vertical
v
1
de E sobre s(M). Entonces hay un campo vectorial V de J E, unívocamente definido
1
sobre j s(M), tal que
p*Vs =Vs ,
(2.11)
( Q) (
(2.12)
Vs
js M )
=0 .
Partiendo de la definición de prolongación jeta podemos demostrar que Vs es el valor
tomado sobre j 1s(M) por la prolongación 1-jeta j 1V de alguna extensión local V de V s.
Si s es crítica, podemos definir el hessiano de L en s como el funcional simétrico
bilineal
d 2As : Xs ´Xs  R ,
(2.13)
d 2As (Vs ,Vs¢) = ò jV ¢jV (Lh ) = ò Q ( jV ) jV ¢ (D L + f h ) .
js
(2.14)
js
El núcleo de (d L) s es el subespacio de X s definido por aquellos campos vectoriales
V sÌX s tales que cumplen
2
Fibrados Jetados
jVs (D L + f h ) = 0 .
317
(2.15)
Llamaremos campos vectoriales de Jacobi, sobre las secciones críticas s, a estos campos
vectoriales que satisfacen esta última ecuación de segunda variación (o ecuación lineal
de la variación de la ecuación de campo).
Referencias
1 R. S. Palais, Foundations of Global Non linear Analysis, (W. A. Benjamin, New York)
(1968).
2 R. Hermann, The Geometry of Non Linear Differential Equations, Bäcklund
Transformations and Solitons (Math. Sci. Press, Brookline) (1976).
3 P. L. García, Symp. Math. 14, 219 (1974).
4 P: L. García, J. Diff. Geom. 12, 209 (1977).
5 P: L. García, Rep. on Math. Phys. 13, 337 (1978).
E. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS FIBRADOS.
Agrupamos aquí ciertas definiciones sobre variedades, fibrados y su topología. Para un
tratamiento completo vea las referencias [1, 2, 3, 4].
E.1.
Variedades.
Un atlas valuado en una pseudocategoría topológica o-atlas es un trío (Q(E), ,h)
que consiste de lo siguiente:
1- Una pseudocategoría Q(E) formada por los subespacios abiertos Ui no vacíos de un
espacio E de Hausdorff, como objetos, y las aplicaciones de identidad parcial, como
morfismos,
i
U i ÇU j ¹ Æ $ U i ¬¾
U j
e ÎE ;
(1.1)
2- Un funtor covariante (U)
 :Q (E )   ,
(1.2)
que es una asignación, para cada objeto (carta) de Q(E), de un objeto de la
pseudocategoría topológica ;
3- Un isomorfismo funtorial que aplica el funtor covariante de encaje I, desde Q(E)
hacia Ens, en las funciones de transición
h :I  j
(1.3)
y que determina las aplicaciones locales (homeomorfismos), h U para cada U, que
obedecen el siguiente diagrama conmutativo
hU
U ¾¾
  (U )
 iVU
 jVU
hV
  (V )
V ¾¾
(1.4)
y las fu n c i o n e s l o c a l e s d e t r a n s i c i ó n j V U q u e s o n a p l i c a c i o n e s b i y e c t i v a s
(homeomorfismos) que pueden formar un grupo,
jVU : hU (U ÇV )  hV (U ÇV ) ,
(1.5)
Algunas Propiedades de los fibrados
jVU = hV  iVU  hU-1 .
319
(1.6)
Un atlas es cubriente si la unión todos los U es E. Dos atlas son compatibles si su
suma es también un atlas valuado en . Un atlas es completo si es cubriente y contiene
todos los atlas compatibles.
Una -variedad es el espacio de Hausdorff E junto con un -atlas completo. Si los
objetos de son espacios de Banach, Hilbert o de Euclides obtenemos respectivamente
variedades de Banach, Hilbert o de Euclides. Si los objetos de  son espacios simétricos
X de n dimensiones con su grupo G de similaridad como funciones de transición
obtenemos una (X,G)-variedad [5]. En particular tenemos una variedad hiperbólica si
X es un espacio hiperbólico H y G su grupo de isometría I(H).
E.2.
Fibrados.
Definamos un fibrado de la siguiente manera [6]. Sea
p :E  M
(2.1)
un objeto de S(Top), la categoría saeta (“arrow”) de espacios topológicos (categoría
formada por todos los morfismos de la categoría Top como objetos y los diagramas
conmutativos como morfismos). Si la aplicación p es sobreyectiva decimos que es una
proyección, E es el espacio total, M es el espacio base y el trío es un espacio proyectado.
Si m Î M se define el espacio vertical,
p -1 (m ) º Em vertical .
(2.2)
El espacio proyectado se llama un fajo (“sheaf”) si la proyección es un homeomorfismo
local. Todo punto e de E tiene un entorno abierto homeomórfo a un entorno abierto de
p(e).
Definamos la pseudocategoría (M,F) tomando como objetos los productos U´F,
donde los U son los subconjuntos de abiertos de M y F es un espacio topológico, y
como morfismos que preservan la proyección sobre U,
a :U ´F V ´F ,
prV  a = id prU
(2.3)
U ÇV ¹ Æ .
(2.4)
Un espacio fibrado es la variedad formada por un espacio proyectado E sobre M
con un atlas valuado en(M,F) compatible con la proyección p. Si las funciones de
transición del atlas forman un grupo obtenemos un fibrado con grupo de estructura G.
Si la fibra coincide con el grupo de estructura se tiene un fibrado principal (E,M,G).
En un fibrado principal (E,M,G,p), una sección local s sobre un conjunto abierto UÌM
¥
es una aplicación C tal que
GEOMETRÍA FÍSICA
320
s :U ¾¾
E ,
Apéndice E
(2.5)
p s = I ,
(2.6)
con p  s la identidad en U. Entonces, si s es global, cualquier punto e se puede escribir
como s(m)g y (m,g)ÎM´G es un producto directo, trivialización de E. Si un fibrado
principal tiene una sección global el fibrado es trivial.
Consideremos un fibrado principal p:EM con grupo estructural G y álgebra de
Lie correspondiente A. Denotemos por T G E el fibrado de campos vectoriales Ginvariantes en E. Denotemos por AdE el fibrado adjunto de E, que es el fibrado asociado
con E por la representación adjunta de G. Es el subfibrado de T GE definido por los
campos vectoriales G-invariantes que son tangentes a la fibra (verticales). Es un fibrado
de álgebras de Lie.
Una conexión en el fibrado principal se puede definir por una dicotomía de la
secuencia exacta corta de fibrados vectoriales [6],
p
0  AdE  TG E ¾¾
TM  0 ,
(2.7)
donde la dicotomía
w :TM  TG E = H ÅV
(2.8)
es un homomorfismo que define los subespacios horizontales del fibrado principal.
Esos subespacios horizontales definen una forma de conexión w.
Una conexión en E se puede identificar con una sección del fibrado de conexiones
p:W M definido como sigue. Para un punto mÎ M , sea W m el conjunto de
homomorfismos w: TM  TE tales que
pw =I .
(2.9)
Definimos W = U MW m siendo p la proyección natural de W sobre M.
Se puede ver que cada punto w m del espacio vertical W m del fibrado W corresponde
a un complemento de espacio vectorial de AdE en T GE. Se conoce [7] que un espacio
de complementos lineales de un subespacio vectorial tiene una estructura afín natural.
Por lo tanto, la fibra de W es un espacio afín con parte lineal L(T GE/AdE, AdE) »
L(TM, AdE).
E.3.
Producto Homotópico.
Hay espacios topológicos caracterizadas por un número entero asociado a sus grupos
de homotopía, que llamaremos devanado o, mas apropiadamente, envoltura n para los
distintos grupos de homotopía. Para un tratamiento completo de este tema vea las
referencias [2, 3].
El entorno de curvas C(Y,y 0 ) en una variedad Y es la colección de todas las
aplicaciones continuas
Algunas Propiedades de los fibrados
321
f : I 1 Y
(3.1)
del intervalo unidad que cumplan
f (0 ) = y0 = f (1) .
(3.2)
Sean f y g dos aplicaciones en C(Y,y 0). La yuxtaposición de f y g es el elemento de
C(Y,y 0) dado por
( f * g )(x ) = f (2x )
= g (2x )
(0 £ x £ 1 2)
( 1 2 £ x £ 1)
.
(3.3)
Similarmente consideremos las aplicaciones del n-cubo en Y
f : I n Y
(3.4)
tales que envíen el borde de I al punto y 0 de Y. El borde bI de I se define como los
puntos que cumplen
n

n
x (1 - x i ) = 0 .
i =1 i
n
n
(3.5)
O sea que f cumple
f (b I n ) = y 0 .
(3.6)
Designemos al conjunto de estas aplicaciones por C n (Y,y 0).
Definamos una relación de homotopía en Cn(Y,y 0) diciendo que f y g son homotópicas
módulo y 0 si hay una aplicación continua
h : I n ´I 1  Y
(3.7)
tal que cumpla
h (x , 0 ) = f (x )
x ÎIn ,
(3.8)
h (x , 1) = g (x )
x ÎI n ,
(3.9)
h (bI n , t ) = y 0
0 £t £ 1 .
(3.10)
Esta es una relación de equivalencia en C n (Y,y 0 ) y lo descompone en clases de
equivalencia formadas por los componentes conectados por arco de C n(Y,y 0)
La yuxtaposición de dos elementos de C n(Y,y 0) es el elemento dado por
Apéndice E
GEOMETRÍA FÍSICA
322
(0 £ x £ 1 2)
( 1 2 £ x £ 1)
( f * g )(x ) = f (2x 1 , x 2 ,x n )
1
= g ( 2x 1 - 1, x 2 , x n )
.
1
(3.11)
El grupo de homotopía p n de Y en el punto y 0 se define como las clases de C n(Y,y 0 )
con la operación de grupo definida por la yuxtaposición,
[ f ]  [g ] = [ f * g ]
.
(3.12)
Estas definiciones, basadas en las aplicaciones del n-cubo en Y, pueden expresarse
como aplicaciones de las esferas
h : S n Y
E.4.
.
(3.13)
Tercer Grupo de Homotopía.
En particular nos interesa el tercer grupo de homotopía de los espacios de grupos,
tomados como fibrados sobre cocientes. Tenemos la secuencia general de homotopía
[3],
(
p4 G
H
) ¾¾ p (H ) ¾¾ p (G )) ¾¾ p (G H )
D*
i*
3
p*
3
3
.
(4.1)
Para determinar p 3(G), reconozcamos que la aplicación exponencial desde su subálgebra
incompacta maximal es un difeomorfismo [4] hacia el cociente G/H donde H es el
subgrupo compacto maximal. Este cociente es un espacio riemanniano incompacto
que es contráctil y su tercer grupo de homotopía es la identidad. Por lo tanto, tenemos
una secuencia exacta corta
i
 p3 (H ) ¾¾
 p3 (G ) ¾¾
 {0}
{0} ¾¾
*
,
(4.2)
que implica que la aplicación intermedia es un isomorfismo y obtenemos
p3 (G ) = p3 (H )
(4.3)
donde H es el subgrupo compacto maximal.
También se sabe que hay un isomorfismo entre los grupos de homotopía de un
grupo y su grupo cubriente, exceptuando el primer grupo de homotopía [8]. Para el
grupo de homotopía de SL(4,) obtenemos entonces
p3 (SL (4,  )) = p3 (SU (2) Ä SU ( 2))
= p3 (SU (2)) Ä p3 (SU (2)) = Z Ä Z
,
(4.4)
Algunas Propiedades de los fibrados
323
Similarmente, se tiene para los grupos de homotopía de los otros dos subgrupos posibles
de holonomía,
p3 (Sp (4,  )) = p3 (R Ä SU (2)) = p3 (SU (2)) = Z ,
(4.5)
p3 (SL (2, )) = p3 (SU (2)) = Z .
(4.6)
Referencias
1
2
3
4
5
6
7
8
I. Vaisman, Cohomology of Differential Forms, (Marcel Dekker, New York), p. (1973).
J. G. Hocking, G.S. Young, Topology (Addison-Wesley, Reading) p. 159 (1961).
G. W. Whitehead, Elements of Homotoy Theory (Springer Verlag, New York) (1978).
S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces (Academic Press, New York)
p. 130, 137, 214 (1962).
J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds (Springer-Verlag, New York)
(1994)
P. L. Garcia, Rep. on Math. Phys. 13, 337 (1978).
I. Porteous, Topological Geometry, (Van Nostrand Reinhold, London), ch 13 (1969)
F. H. Croom, Basic Concepst in Algebraic Topology, (Springer Verlag, New York)
(1978).
F. GRAVITACIÓN DE NEWTON Y TEORÍAS
GEOMÉTRICAS.
F.1.
Límites del Espacio Tiempo.
F.1.1.
Propagación Instantánea.
La relación matemática entre las teorías geométricas del tipo de Einstein y la teoría de
gravitación de Newton es de interés. Esta relación se simplifica si se usa la representación
geométrica de esta última, en otras palabras, la teoría de Newton-Cartan [1, 2, 3]. La
principal dificultad matemática es que esta formulación no suministra una métrica sino
que se basa en una conexión afín irriemanniana, un tensor de valencia (2,0) y rango 3
(métrica singular) y una función escalar de tiempo. Como hemos tomado la conexión de la
geometría necesaria del espacio tiempo como la representación fundamental de la
gravitación en general, estamos en posición de expresar esta relación apropiadamente.
Sabemos que, en la teoría de Newton, las señales gravitacionales viajan
instantáneamente y sería natural esperar que las teorías del tipo de Einstein se reduzcan a
la de Newton en el límite de propagación instantánea. Es conocido que las señales
gravitacionales deben propagarse en frentes de onda formados en las hipersuperficies
características del sistema de ecuaciones diferenciales. En estas hipersuperficies,
caracterizadas por un vector nulo normal, el problema de valor inicial de Cauchy no puede
resolverse sin restricción. En cada punto de esta hipersuperficie existe también localmente
un cono tangente característico de vectores nulos. Los rayos de propagación de los
disturbios o bicaracterísticas del sistema son sus geodésicas nulas normales. Para obtener
un límite geométrico, buscaremos un límite de los conos nulos gravitacionales
característicos de las teorías correspondientes.
Introduzcamos tétradas u (cuatro vectores linealmente independientes) en cada punto
[4, 5, 6], formando un sistema que llamaremos referencial, de manera que la métrica es
ˆ
g mn = hab
u aˆ u b
ˆˆ m n
(1.1)
donde
é1
0 ù
ê
ú
=
hab
ˆˆ
ê0 -c -2d ˆ ú .
âb
ë
û
(1.2)
Esta forma muestra explícitamente que la métrica está localmente de acuerdo con la
Gravitación de Newton y Teorías Geométricas
325
relatividad especial. Ahora descomponemos la métrica covariantemente en
ˆ
ˆ
g mn = u m0 un0 -
1
1
ˆ
d ˆ ˆu maˆunb = t mn + 2 hmn .
2 ab
c
c
(1.3)
que sirve como definición de unos tensores singulares t de rango 1 y h de rango 3.
Estrictamente, la estructura expresada por la ecuación (1.3), es seudoriemanniana pero
la llamaremos riemanniana como es costumbre.
En relatividad especial se hace la hipótesis que la velocidad máxima de las señales
es igual a la velocidad de la luz expresada en las ecuaciones de Maxwell. Por el
momento no hacemos ninguna hipótesis acerca de una relación posible entre las
velocidades de señales gravitacionales y electromagnéticas. Así, queda abierta la
posibilidad que la velocidad de propagación de disturbios en el campo métrico
gravitacional pueda diferir de la velocidad de la luz. Las unidades de distancia y tiempo
se suponen determinadas por procesos independientes de la gravitación. La unidad de
tiempo puede ser definida por alguna frecuencia atómica definida. La unidad de
distancia puede ser derivada de la unidad de tiempo por el requisito que la velocidad
de la luz sea la unidad de velocidad. De esta manera todos las componentes del tensor
métrico son adimensionales. Entonces c, el parámetro en la métrica de Lorentz h, sería
realmente un cociente adimensional de la velocidad local de las señales gravitacionales
sobre la unidad velocidad (velocidad de la luz).
Si ahora tomamos un vector nulo l, sabemos
ˆ
ˆ
g mnl ml n = u m0u n0l ml n + hmn l ml n c 2 = 0 ,
(1.4)
por lo tanto encontramos
c =
2
-hmnl ml n
(
ˆ
ua0l a
)
2
=
l2
(
ˆ
u a0l a
)
2
(1.5)
donde hemos definido el escalar l. La expresión en el denominador es la proyección
del vector nulo sobre el vector temporal de la tétrada. Podemos definir un escalar
adimensional característico e para los conos nulos característicos.
ˆ m
e º u m0 l
l
.
(1.6)
Para hacer la hipótesis usual de igualdad de la velocidad de ondas gravitacionales y
electromagnéticas, solamente fijamos e igual a 1 in nuestras ecuaciones. La hipótesis
matemática que cualquier vector nulo, que no sea el vector cero, sea ortogonal al vector
temporal de la tétrada es equivalente a la hipótesis física que las señales gravitacionales
se propagan instantáneamente. Esta hipótesis geométrica nos va a servir para establecer el
límite buscado.
GEOMETRÍA FÍSICA
326
Apéndice F
Investigaremos la geometría expresada por la ecuación (1.3) en el límite matemático
e  0, l  0, que llamaremos el límite de propagación instantánea [7]. En este límite la
velocidad de las señales gravitacionales tiende al infinito. El cono nulo gravitacional
local en un punto, o lugar geométrico de todos los vectores nulos, se abre al acercarse
a este límite, reduciéndose a un sólo hiperplano local, normal a la dirección temporal,
que separa el futuro absoluto del pasado absoluto. Podemos llamar este hiperplano el
plano local de simultaneidad. Cuando e es igual a 1, tenemos la geometría usual de
Riemann de las teorías del tipo de Einstein. Cuando e es igual a 0 obtenemos el límite
de instantaneidad donde los frentes de onda gravitacionales se propagan con velocidad
infinita a lo largo del límite de las bicaracterísticas de la métrica. De otra manera
tenemos espacios de Riemann donde las ecuaciones gravitacionales rigen pero la luz
no necesariamente viaja a lo largo de las bicaracterísticas de la métrica. Este límite es
equivalente al límite estacionario en el cual e representaría el cociente de la velocidad
característica sobre c y puede ser usado como una aproximación a baja velocidad.
F.1.2.
Límite Local.
Suponemos que la dependencia singular de la métrica en el parámetro e es la
dependencia minimal requerida por el acuerdo local con la relatividad especial.
é1
0 ù
ê
ú
=
hab
ˆ
ˆ
ê0 -c 2d ˆ ú .
âb û
ë
(1.7)
En cierto sentido, lo que hacemos es introducir una estructura geométrica en nuestra
variedad e investigar los límites en que el escalar e vaya a cero. Para definir el concepto
de límites de variedades seguimos, en general, el trabajo de Geroch [8] y lo extendemos
al caso de métricas singulares [7]. Por una estructura geométrica entendemos la
especificación general de los tipos de campos bajo consideración, esto es, el número
de conexiones, el número y valencias de campos tensoriales, etc. Por una realización
de una estructura geométrica entendemos una variedad conectada de Hausdorff,
equipada con campos del tipo descrito por la estructura geométrica dada.
Sean M y M’ variedades con realizaciones f y f’, respectivamente, de una estructura
geométrica dada. Por una isoafinidad entendemos un difeomorfismo de M sobre un
subconjunto de M’ que lleva f a f’, preservando la estructura geométrica.
Consideremos una familia uniparamétrica de variedades, esto es, para cada valor de
un parámetro e > 0 tenemos una variedad cuatridimensional M(e) con alguna estructura
geométrica. Estamos interesados en encontrar los límites de esta familia mientras e va
a cero. Supongamos ahora que las variedades M(e) se pueden poner juntas para formar
una variedad pentadimensional de Hausdorff M. Cada M(e) debe ser una subvariedad
de M. El parámetro e ahora representa un campo escalar en M mientras la estructura
geométrica en M(e) define una estructura geométrica en M.
El problema de hallar límites a la familia (M(e), f(e)) se reduce a ponerle un borde
Gravitación de Newton y Teorías Geométricas
327
apropiado a M. Definimos un espacio límite de M como una variedad pentadimensional
M’ con borde  M, equipada con una estructura geométrica continua, un campo escalar
y una aplicación suave, una a una, Y de M en el interior de M’ tal que las siguientes
condiciones sean satisfechas:
1) Y es una isoafinidad, p.e. envía f a f’ y e a e’.
2)  M’ es la región dada por e=0. Requerimos que  M’ sea conectada, Hausdorff y
no vacía.
La primera condición asegura que M’ realmente representa a M con un borde adherido;
la segunda condición asegura que el borde representa un límite cuando e tiende a cero.
Es siempre posible, dado un espacio límite M’ de M, hallar alguna familia continua
0
l
C de referenciales que asume un límite cuando e  0. Por una familia de continua C
de referenciales en M entendemos una tétrada u(e) asignada a un sólo punto m(e) de
l
M(e) por cada e  0 tales que los u(e) son campos vectoriales continuos de clase C en
el parámetro e a lo largo de la curva suave en M definida por los puntos m(e).
Representemos los puntos de M(e) en un entorno de m(e) en un sistema de coordenadas
normales basado en u(e). En términos de estas coordenadas, las componentes de los
objetos geométricos regulares en los M(e) se acercan a un límite cuando e  0 y los
límites de las componentes son precisamente las componentes de un objeto geométrico
en  M’ en un entorno de m(0). Así la familia de referenciales u(e) unívocamente define
una estructura geométrica en el espacio límite M’ al menos en un entorno
suficientemente pequeño de u(0). Las propiedades globales del límite se discutirán
posteriormente.
Entonces, podemos decir que un límite de la familia de variedades M(e) se
0
caracteriza localmente por una familia continua C de referenciales. Hemos relacionado
la métrica en cualquier punto con la tétrada en ese punto por las ecuaciones definitorias
(1.1) y (1.7). Esta tétrada representa el sistema en reposo de un observador ubicado en
ese punto, y define el cono nulo local que el observador puede determinar por
experimentos. Mientras variamos e abriendo el cono nulo, obtenemos una familia
uniparámetrica de teorías del tipo de Einstein, cada una con diferente valor de e, hasta
alcanzar la teoría límite en e=0. Cada teoría se representa por una variedad
cuatridimensional (espacio tiempo) M(e  0) y todas se juntan para formar una variedad
pentadimensional M’.
En cada una de las variedades M(e  0) tenemos un observador, que define un sistema
en reposo en algún punto. Tenemos que definir como aplicamos los puntos y
observadores de una variedad a otra con valor diferente de e. Esto es, somos libres de
especificar cuando un punto y un observador en M(e’) han de ser considerados los
mismos que otro punto y otro observador en M(e). En un lenguaje más matemático,
definimos una curva en M que contiene el conjunto de puntos en cada M(e) que son
considerados puntos equivalentes y definimos una familia de tétradas en M que contiene
el conjunto de tétradas (observadores) en cada M(e) que son considerados tétradas
equivalentes. Somos libres de definir esta equivalencia de puntos y tétradas solamente
GEOMETRÍA FÍSICA
328
Apéndice F
para un sólo punto y una sóla tétrada, porque la estructura geométrica que supondremos
es una estructura rígida (en el sentido de Geroch), y la equivalencia de otros puntos y
tétradas queda determinada por la estructura geométrica, como veremos en la próxima
sección.
F.1.3.
Límite Global.
Geroch [8] supone que la métrica es regular en el límite, para probar que el espacio
límite tiene una extensión única. En nuestro caso la métrica es singular en el límite y
tenemos que generalizar [7] los teoremas probados por Geroch. Para hacer esto
descansaremos en la conexión afín en lugar de la métrica. Sabemos que en la
formulación cuatridimensional de la teoría de Newton, la conexión afín no es singular
[7]. Nuestro objetivo es demostrar que la conexión newtoniana es de hecho un límite
de la conexión de Riemann, pero por el momento hacemos la hipótesis que nuestra
variedad M ’ está provista de una conexión afín continua, que nos da la estructura
geométrica necesaria. Representemos puntos en M(e  0) en términos del sistema de
coordenadas normales basado en u(e  0). En términos de estas coordenadas las
componentes de la conexión en M(e  0) tienen límites cuando e  0 y por lo tanto
definen una conexión afín en  M’ en un entorno del punto m(0).
Sean M y M’ variedades conectadas provistas de una estructura afín y sea (v 1, v 2...
v n ) cualquier colección v de n vectores que no sean cero en el punto m en M.
Construyamos una geodésica quebrada como sigue. Sea g 1 la geodésica, que pasa por
m cuyo vector tangente en m es v 1. Escojamos un parámetro afín l tal que es cero en m
y obedece
v1a a l = 1 .
(1.8)
Sea m 1 el punto en g 1, a una distancia afín unidad desde m. Transportemos paralelamente
los n-1 vectores v restantes a lo largo de g 1, hasta m 1. Ahora repitamos esta construcción
con estos n-1 vectores en m 1 y así definamos un punto m 2. Repitamos con n-2 vectores
en m 2 y así definamos un punto m 3 , etc. Después de n pasos obtendremos un punto m n
(Nos restringimos a conjuntos de n vectores v en m para los cuales, en cada paso de la
construcción, las geodésicas apropiadas se pueden extender una unidad de distancia
afín). Como cualquier punto arbitrario m’ de M se puede unir a m por una geodésica
quebrada, siempre podremos escoger n y el conjunto v de manera que m’ sea m n.
Sean Y, Y* dos isoafinidades de M a M’ que envían una tétrada u en m a otra tétrada
u’ en m’ preservando la conexión. Entonces Y y Y* tienen la misma acción en cualquier
vector v y ambas Y(m) y Y*(m) son definidas por geodésicas quebradas en M’ con el
mismo conjunto inicial de vectores. Por lo tanto, Y coincide con Y* para cada punto m
de M y tenemos (teorema 1) [8]: hay al máximo una isoafinidad de M a M’ que envía
G a G’ y u a u’. Decimos que tenemos una estructura rígida de orden 1
Sean M 1 y M 2 dos espacios límites de M. Decimos que M 2, es una extensión de M 1
Gravitación de Newton y Teorías Geométricas
329
si existe una aplicación suave de M 1 adentro de M 2 que preserva la estructura geométrica
y deja invariante cada punto de M. El teorema anterior implica que, si M 1 es una
extensión de M 2 y M 2 es también una extensión de M 1 entonces M 1 es igual a M 2.
Construyamos la unión disyunta de todas la extensiones de M’ y denotémosla por
N. Ahora definamos una relación de equivalencia en N. Si m 1 pertenece a  M’ 1 y m 2
pertenece a  M’ 2 escribimos m 1 m 2 si existe una familia de tétradas en M que en M 1 ,
tiene un límite en m 1 y en M 2 tiene un límite en m 2 . Vemos que siempre cuando m 1 m 2
existen entornos de m 1 y m 2 que también están identificados. Así el conjunto de clases
de equivalencia forma en una manera natural un espacio límite M + . Por construcción
M + es una extensión de cada extensión de M’. Si M* es una extensión de M +, debemos
tener que M* es igual a M + y por lo tanto M + no tiene extensión apropiada. Entonces
tenemos (teorema 2) [8]: cada espacio límite M’ tiene una única extensión M + tal
que (1) M + no tiene extensión apropiada y (2) M + es una extensión de cada
extensión de M’.
Hemos definido una relación de equivalencia en M, y las clases de equivalencia de
puntos y tétradas (observadores), que son particiones, representan los puntos y tétradas
(observadores) en la variedad cuatridimensional original de Riemann. Si la familia de
tétradas definida por una clase de equivalencia de puntos y observadores tiene un
límite en  M’, selecciona una geometría límite particular del borde entre todas las
geometrías posibles en el límite de instantantaneidad.
La cuestión de si una familia particular de tétradas, construida de esta manera tiene
o no un límite, no puede resolverse a menos que añadamos más información. Al requerir
que esta familia de observadores o tétradas sea continua, hemos introducido una
importante hipótesis física. El límite de instantaneidad se selecciona al requerir que
alguna familia de tétradas definida por las ecuaciones (1.1) y (1.7) es de hecho continua
C 0. El límite newtoniano se determina haciendo otras hipótesis acerca de la distribución
de materia. Cualquier tétrada permisible (observador) se define por la ecuación (1.1)
módulo una transformación de Lorentz de las tétradas. En otras palabras, una vez que
especifiquemos como el espacio tangente de un punto particular m de M deba ser
aplicado dentro del espacio tangente de un punto particular m’ de M’, el comportamiento
de Y, en todo lugar queda determinado por la acción de Y sobre el espacio tangente. Por
lo tanto cada familia de tétradas diferenciable o bien no define espacio límite o bien
define un espacio limite que es maximal. En nuestro caso, podemos decir que el límite
newtoniano que se obtenga en un entorno pequeño por el uso de la familia de tétradas u
se puede extender univocamente.
F.1.4. Postulados.
Para discutir la geometría de espacios newtonianos como un límite de la geometría
de espacios relativísticos hemos hecho los siguientes postulados:
1. - Hay un difeomorfismo Y de M adentro de M’ que es una isoafinidad (p. e. envía
G a G’, u a u’, e a e’, etc.).
GEOMETRÍA FÍSICA
330
Apéndice F
2. - El borde  M’ es la región definida por e igual a cero. Requerimos que  M’ sea
conectado, Hausdorff y no vacío. También requerimos que  M’ sea un espacio con la
misma topología de los espacios M(e  0).
3. - Una familia de tétradas u(e  0), correspondiente a un único observador en un
punto único y relacionado con la métrica de Riemann por las ecuaciones (1.1) y (1.7),
0
es continua de clase C a lo largo de una curva g en M’ (hipótesis de instantaneidad).
Ahora, para asegurar la rigidez necesaria, añadamos un cuarto postulado:
4. - La aplicación, dada una geometría riemanniana, del campo tetrádico u a la
0
conexión afín G es continua de clase C a lo largo de la curva g en M’.
F.2.
Condición de Rigidez Geométrica.
Sabemos que en un espacio de Riemann la conexión es métrica y la derivada
covariante del tensor métrico es cero
a g mn = 0 .
(2.1)
Nuestro postulado general (4) implica que esta ecuación tiene un límite en el borde
 M’ en un entorno del punto límite de la curva g. Consideramos que esta ecuación nos
da una aplicación entre el campo tetrádico y el campo de conexión, que podemos
escribir como sigue
m1 : uaˆ  G .
(2.2)
Como esta aplicación m es continua (postulado 4) y su dominio es continuo (postulado
3) concluimos que su rango, la conexión, es también continuo de clase C 0 a lo largo la
curva g in M’. La conexión afín en el punto m’ en el borde  M’ debe obtenerse
suavemente de la conexión de Riemann cuando e  0. Esto suministra la rigidez
necesaria de nuestro espacio límite M’ como se describió en una sección anterior.
Una función escalar de coordenada tiempo 0t, definida en el espacio borde  M se
puede extender del punto 0m’ en el borde  M a un semientorno abierto U’ de 0m’ en M’
al asignar el mismo valor de t a puntos equivalentes en cada M’(e). Así hemos definido
una función t en U’. Podemos definir el campo vectorial ortogonal t en U’
t m = ¶m t .
(2.3)
Usando la libertad que tenemos en seleccionar la dirección de las tétradas en cada
M(e) sin cambiar la métrica [4, 5] podemos escoger u(e) tal que su vector u 0 se alinee
con la dirección del campo vectorial t en cada punto en U’.
ˆ
u m0 = ztm .
En una sección anterior hemos separado la métrica en
(2.4)
Gravitación de Newton y Teorías Geométricas
ˆ
ˆ
ˆ
g mn = u m0un0 - e 2 dabˆ ˆu maˆunb º t mn + e 2hmn
331
(2.5)
y su inverso en
ˆ
g mn = u0mˆ u0nˆ - e-2uamˆ ubnˆ d abˆ .
(2.6)
Si expresamos el campo tetrádico en el entorno de un punto m en la curva g, en
términos de las coordenadas adaptadas a la tétrada en el punto m, las componentes del
campo tetrádico deben ser continuas en un entorno de la curva g. Tenemos entonces
que existen coordenadas normales regulares, basadas en la familia de tétradas u, donde
ambos t y h no son singulares cuando e  0. En este límite obtenemos una relación
válida en U’ en M’. Usando coordenadas adaptadas indicadas por  , en el entorno U’
tm  dn0
(2.7)
y podemos escribir
éz 2
t mn  ê
ê0
ë
0ùú
.
0úû
(2.8)
También obtenemos, en U, debido a la ortogonalidad de las tétradas,
ˆ
u m0uiˆm = 0 ,
(2.9)
é0
0 ù
ú
h mn  ê
êë 0 -h mn úû
(2.10)
y su normalización,
ˆ
u m0u0mˆ = 1  z 2t 0 ,
(2.11)
éz - 2 ù
tm  ê m ú ,
êA ú
ë û
(2.12)
éz -2
t mn  ê n
êA
ë
(2.13)
Am ùú
,
z 2Am An úû
donde A es la proyección del vector t m en la hipersuperficie de tiempo t constante. El
3-vector A es cero si t m es ortogonal a la hipersuperficie.
332
GEOMETRÍA FÍSICA
Apéndice F
De la relación de la métrica g con su inverso obtenemos
é-z 4A2 z 2Am ù
ú
hmn  ê 2
mn ú
êz A
h
n
ë
û
(2.14)
donde h es una 3-métrica en las hipersuperficies de t constante y
Am  hmn An .
(2.15)
De la ecuación (2.1) se tiene que
2
a tmn = -e a hmn .
(2.16)
Esta ecuación es equivalente a la expresión de la conexión en función de las tétradas.
En otras palabras, ella no impone ninguna restricción en el orden de la conexión. La
única contribución posible a alguna singularidad de la conexión viene del término e -2
asociado a h en la métrica. Tomando en consideración la ortogonalidad de h y t tenemos
para las posibles singularidades
h ab
-h ab
¶
t
+
¶
t
-¶
t
=
¶ b t mn .
(
)
m nb
n mb
b mn
2e 2
2e 2
(2.17)
De las ecuaciones (2.8) y (2.16) vemos que debemos tener, para e pequeño ,
¶a z 2 = O (e 2 ) ,
(2.18)
de manera que las derivadas no sean singulares as e  0. La conexión tiene un límite
cuando e  0, suministrando la estructura rígida necesaria al espacio pentadimensional
M. Como z(0) es constante se puede fijar igual a 1 redefiniendo la función 0 t in  M.
Esto implica que t puede ponerse en la forma
t mn = z 2t mtn º (1 + 2e 2j)t mtn
(2.19)
donde j permanece finito cuando e  0. También tenemos
0
a tm = 0 .
(2.20)
Un punto en el espacio de Riemann original es equivalente a un punto en el espacio
borde cuando ellos están representados por una geodésica quebrada construida de
vectores con las mismas componentes con respecto a nuestra familia de tétradas. Hemos
supuesto en nuestros postulados que la topología del borde  M’ (espacio newtoniano)
es igual a la topología en los espacios M(e  0) (espacios de Riemann) de forma que
puntos separados sean equivalentes a puntos separados. Esto introduce una
Gravitación de Newton y Teorías Geométricas
333
correspondencia una a uno entre los puntos de los espacios de Riemann y Newton. Las
clases de equivalencia de puntos en la variedad pentadimensional M, discutida en
anteriores secciones, se puede extender al espacio límite M’.
F.3.
Conexión Geométrica del Borde.
La métrica g es singular cuando e  0. En vez de intentar asociar esta métrica singular
con la teoría de gravitación newtoniana hemos escogido tomar la conexión como
fundamental. La conexión afín en el borde  M’ es el límite de la conexión en el espacio
de Riemann. Es importante indicar que este límite no es trivial, esto es, el no conduce
a un espacio afín cuatridimensional plano, mostrando que hay efectos gravitacionales
en este límite.
0
Definimos la conexión afín del borde o G como el límite, cuando e  0, de la
conexión en el espacio de Riemann.
g ab
( ¶m gnb + ¶n g mb - ¶b g mn ) .
e 0 2
G mna = lim
0
(3.1)
En esta expresión, substituimos la métrica g por t y h e indicamos que el término de
las derivadas de t se convierte, usando coordenadas adaptadas, en
¶m tnb + ¶n t mb - ¶b t mn = tb {2e 2 (tn ¶m j + tm ¶n j)} - 2e 2t mtn ¶b j .
(3.2)
Entonces, tomando en cuenta que t es ortogonal a h, obtenemos para G
0
Gmna
0
G
0
a
mn
ìï- h ab + e 2t at b (1 + 2e 2j) t t ¶ j + e 2t a (t ¶ j + t ¶ j) üï
)mn b
ïï (
ïï
n m
m n
ï
ïý
= lim í
æ h ab e 2t at b
ö
e 0 ï
2
÷
ç
+ç
+
1 + 2e j)÷÷(¶m hnb + ¶n hmb - ¶b hmn )ïïï (3.3)
ïï
(
÷ø
ç
2
è 2
ïîï
ïþï
h ab
= - h tmtn ¶b j +
¶m 0hnb + ¶n 0hmb - ¶b 0hmn )
(
2
0 ab
0
0
(3.4)
que es cierto en cualquier sistema de coordenadas.
En detalle tenemos, en coordenadas adaptadas,
G mn0  0 ,
(3.5)
0
0 2
G 00a  0h ab ¶b 0j - 0h ab ( ¶ 0 A
b + ¶b A 2 ) ,
(3.6)
0
0
GEOMETRÍA FÍSICA
334
G ma 0 
0
Apéndice F
- 0h ab
¶m 0Ab - ¶0 0hmb - ¶b 0Am ) ,
(
2
G m0 0  0 ,
0
a
a
G mn
 0G mn

0
(3.7)
(3.8)
h ab
¶m 0hnb + ¶n 0hmb - ¶b 0hmn ) .
(
2
0
(3.9)
Estos resultados para nuestro espacio borde son válidos en un entorno
suficientemente pequeño de un punto, pero usando los resultados generales de las
secciones anteriores sabemos que el espacio límite obtenido se puede extender
univocamente. La conexión en el borde tiene la estructura de la conexión newtoniana.
Podemos definir
ab
h
Gmna º -h abtmtn ¶b j +
(¶m hnb + ¶nhmb - ¶b hmn )
2
(3.10)
y separar la conexión como sigue
a
mn
G
e 2t at b
a

= Gmn +
1 + 2e 2j)(¶m hnb + ¶n hmb - ¶b hmn - 2¶b jtmtn )
(
2
- 2e 2t at(m ¶n )j .
(3.11)
Por consiguiente el tensor de Riemann no es singular cuando e  0 en coordenadas
adaptadas. Sin embargo, el escalar R puede ser singular. El límite del tensor de Ricci
es, en términos de 3-tensores del subespacio tridimensional,
R00  0 m 0G00m - ¶0 0Gmm0 - 0Gmn0 0Gnm0 ,
(3.12)
R0 m  0 n 0Gmn0 - ¶m 0Gnn0 ,
(3.13)
Rmn  0Rmn .
(3.14)
0
0
0
F.4.
Conexión Newtoniana.
Hasta ahora nos hemos concentrado en discusiones acerca de los límites de la tétrada
y la conexión. Ahora mostraremos que la conexión del borde, definida anteriormente
por nuestro procedimiento de límite, es la misma conexión dada en la formulación
Gravitación de Newton y Teorías Geométricas
335
cuatridimensional de la teoría de Newton y por lo tanto la llamaremos la conexión
newtoniana. Si tenemos una teoría de gravitación con una ecuación de campo que
relaciona la geometría con el tensor que representa a la materia podemos añadir otro
mn
postulado para lograr este objetivo. En general, el tensor de energía impulso T se
define como el tensor contravariante definido por variaciones del campo lagrangiano
con respecto a la métrica g. Consideramos que la solución de nuestra ecuación ilineal
de campo es una aplicación ilineal entre el campo tensorial de energía impulso y el
campo de conexión y debemos requerir que esta aplicación sea diferenciable. Por lo
tanto haremos la hipótesis que las ecuaciones ilineales que surgen en nuestro análisis
son expresiones de aplicaciones diferenciables ilineales.
Postulado 5.- La aplicación, dada por la ecuación de campo gravitacional, de la
conexión afín G y el campo tetrádico u al tensor energía impulso T es continua de
0
clase C a lo largo de la curva g en M’.
Para la estructura geométrica de las teorías del tipo de Einstein, incluyendo la teoría
geométrica física, este postulado implica que las ecuaciones de campo son válidas en
el límite e  0 (son hereditarias). Consideramos que las ecuaciones de campo nos dan
una aplicación entre el tensor energía impulso y la tétrada, que escribimos como sigue
m2 : (u , G )  T .
(4.1)
Los postulados 4 y 5 implican que el tensor energía impulso también debe ser
continuo a lo largo de la curva g en M’. En el límite la relación entre los escalares
R y T se rompe debido a la singularidad en la métrica. Aunque R puede ser
singular, tenemos que T no es singular cuando e  0 en coordenadas adaptadas.
Obtenemos, de las ecuaciones de campo que exhiben la dependencia explícita en la
métrica, las siguientes ecuaciones en el límite
æ
ö
1
lim Rmn = lim k ççg mag nbT ab - g mn g abT ab ÷÷÷ ,
e 0
e 0 ç
è
ø
2
æ1
ö 1
Rmn = lim çç kT abtat bt mtn +O (e 2 )÷÷÷ = 0k 0T abtat bt mtn .
e 0 ç
è2
ø 2
0
(4.2)
(4.3)
En particular
æ
ö
1
Rmn = lim Rmn = lim k ççgmagn bT ab - gmn g abT ab ÷÷÷ = limO (e 2 ) = 0 .
e 0
e 0 ç
è
ø e 0
2
0
(4.4)
Esta ecuación implica que el tensor tridimensional de Ricci es cero en las
hipersuperficies de tiempo t del borde cuando e  0. En tres dimensiones el tensor de
Riemann tiene solamente seis componentes no nulas como consecuencia de sus
Apéndice F
GEOMETRÍA FÍSICA
336
propiedades de simetría. Por lo tanto el valor cero de este tensor de Ricci implica el
valor cero del tensor tridimensional de Riemann del borde. Por lo tanto el espacio
tridimensional del borde es plano y su métrica h (0 ) puede igualarse a d, como debe
ser para que haya acuerdo con la teoría de Newton (el espacio borde cuatridimensional
todavía permanece curvo).
Las ecuaciones (3.13) implican
Rom 
0
-1
¶a (¶m 0Aa - ¶a 0Am ) = 0 .
2
(4.5)
Esta ecuación acepta soluciones, en coordenadas apropiadas, con A igual a cero. Los
tensores asociados a la métrica riemanniana se convierten, finalmente,
é1 0ù
ú ,
t mn  ê
êë0 0 úû
(4.6)
é0 0 ù
ú .
hmn  ê
ê0 dmn ú
ë
û
(4.7)
0
0
El vector t m es ahora ortogonal a hipersuperficies de simultaneidad t como debe ser en
la teoría de Newton. Las hipersuperficies de simultaneidad del espacio borde son
realmente los hiperplanos de simultaneidad de la teoría de Newton.
Con estos tensores, la conexión afín del borde dada por la ecuación (3.4) se reduce
a la conexión newtoniana. Esta conexión se puede separar en una conexión inercial
newtoniana tridimensional y un campo tensorial gravitacional newtoniano.
Gmna = 0Gmna + 0h ab ¶b jtmtn
0
(4.8)
y el tensor de Riemann se convierte en
Rmn = 0a 0G00a tmtn = ¶a dab ¶b 0j tmtn .
0
(4.9 )
La ecuación de campo se reduce a la ecuación de campo de Newton en la formulación
cuatridimensional si definimos la densidad energía material r,
Rmn = kr tmtn .
0
(4.10)
Adicionalmente, esta ecuación se reduce a la ecuación de Poisson
¶a ¶ a j = 4 pG r .
(4.11)
La ecuación geodésica de la conexión newtoniana G nos da las ecuaciones
0
Gravitación de Newton y Teorías Geométricas
337
newtonianas para un monopolo. Para un tensor energía impulso T arbitrario las
ecuaciones de movimiento de Einstein están dadas por
a T ab = 0
(4.12)
si hay suficiente conocimiento acerca de T (p.e. conocimiento acerca de la estructura
del cuerpo). Esta ecuación se reduce exactamente a las ecuaciones newtonianas de
movimiento de un fluido
a 0T ab = 0
0
.
(4.13)
Por lo tanto, el límite e  0 reduce las teorías del tipo de Einstein a la teoría de
Newton si aceptamos los postulados generales indicados en las secciones 1.4 y 4.
Referencias
1
2
3
4
5
6
7
8
E. Cartan, Ann. Ecole Norm. 40, 325 (1923).
E. Cartan, Ann. Ecole Norm. 41, 1 (1924).
K. Friedrichs, Math. Ann. 98, 566 (1927).
F. Pirani, Acta Phys. Pol. 15, 389 (1956).
F. Pirani, Bull. Acda. Pol. Sci. C1 III, 5, 143 (1957).
C. Pellegrini, J. Plebanski, Mat. Fys. Skr. Dan. Vid. Selsk. 2, 4 (1963).
G. González-Martín, Boston U. Ph. D. Dissertation, unpublished (1970).
R. Geroch, Comm. Math. Phys. 13, 180 (1969).
ÍNDICE
A
acción de grupo
sobre sí mismo 158
acoplamiento
canónico
gravitación y espín 8
inabeliano 31
adjunta 268
afinidad 123
alcance
largo
campo magnético 205
alfa 256. See constante: alfa
partícula
energía de ligadura 219
álgebra
álgebra A 26. See álgebra geométrica
Clifford 267. See álgebra geométrica
cuaterniones 269
Dirac 274
del espacio tiempo 14
envolvente 70
de campos vectoriales 72
Grassmann 72
Lie 287. See álgebra de Lie
operador 68
álgebra de Lie
constantes de estructura 141
elemento regular 290
semisimple
clase A 292
clase B 292
clase C 292
clase D 292
clasificación 292
álgebra geométrica 267
A(1,3) 274
A(2,0) 279
A(3,1) 269
A(p,q) 267, 279
álgebra A
automorfismos 32
descomposición 26
del espacio tiempo 11
producto de Clifford
grado 72
producto de Lie 72
producto exterior 71
producto interior 71
análisis global ilineal 69
ángulo
de Weinberg 186, 206, 210
electrocónico 182, 195, 199, 205, 210
anillo
bicuaterniones 275
seudocuaterniones 279
antiinvolución
adjunta 268
conjugación 267
reversión 267
aplicación
adjunta 268
diferenciable ilineal 69
diferencial de 285
inclusión 11
prolongación jeta 312
atlas 318
autointeracción
ecuaciones ilineales 37
automorfismo
álgebra A 13
correlacionado 268
autorreacción 6
en cuantización de campos 77
autovalor
Índice
masa 158
B
bariones 249
bariónico
número
de excitación 246
barrera de potencial
magnética nuclear
ligadura pep 217
base
espacio
de un fibrado 319
espinores
correlacionados 276
ortonormal
álgebra de Clifford 272
belleza
de una excitación 247
Bianchi 5
identidades 307
bicuaterniones 275
Bjorken
ley de escalamiento 233
borde 321
de Silov 259
volumen 263
borde límite
conexión en 333
curvatura del 334
estructura rígida del 328
C
campos
bosónicos 77
corchete 75
conexión 75
cuánticos 68
ecuación 21
fermiónicos 77
corchete 75
materiales 75
canónicas
coordenadas
de un jetado 313
canónico
acoplamiento
gravitación y espín 8
carga
eléctrica 88
cuanto 106
en el efecto Hall 130
índice en el efecto Hall 134
signos opuestos 93
medida 105
número cuántico 80
número de
de una excitación 246
Cartan
descomposición 82
ecuaciones de estructura 306
generadores canónicos 82
geométricos 86
por subconjunto ortonormal 84
generadores geométricos
partículas 230
subálgebra 290
automorfismo de 85
elemento regular 85
subespacio 290
carga y flujo 81
clasificación de partículas 230
Cartan-Killing
métrica 21. See métrica: Cartan-Killing
Casimir
operador
electromagnetismo SU(2) 80
rotaciones 80
operador electromagnético
en momentos magnéticos 180
clasificación
conexiones 227
grupo G 228
339
340
GEOMETRÍA FÍSICA
grupo L 228
grupo P 227
de excitaciones materiales 233
de interacciones 233
Clifford
álgebra 11
cociente
C
estructura matricial 166
volumen 166
espacios
serie AIII 298
serie CII 299
K 256
en cocientes de masa 169
estructura matricial 257
formas reales 169
realización como polidisco 259
relación de equivalencia 170
volumen 169
simétrico
constante alfa 256
en el grupo de estructura 162
estructura compleja 257
hiperboloide 167
volúmenes 173
coeficiente geométrico
de la medida invariante de Wyler 264
color
de una excitación 252
compacta maximal
subálgebra 291
compleja
estructura 169
métrica 170
condición
de integrabilidad 6
conductividad
fraccional
EHCF (FQHE) 136
conexión 20
clasificación 227
coeficientes de 310
como dicotomía 74
de secuencia exacta 320
como sección de un fibrado 74
fibrado de conexiones 320
como subespacio horizontal 301
fibrado de conexiones 320
del fondo cósmico 113
del substrato trivial 145
curvatura 146
ecuación de excitación 178
excitaciones 156
Ehresmann 301
en borde límite 333
en definición de masa 113
en fibrado principal
definición 301
en principio físico 5
espacio tiempo 45
excitación
como fotón 188
ecuación 178
masa 177
inducida
en el espacio base 307
Koszul 303
Levi-Civita 57
métrica 45
riemanniana 305
seudorriemanniana 306
newtoniana 335
par
retroinducida 41
parte impar 26
parte par 26
retroinducida 20
conexión de interacción
solución 70
conjugación 267
álgebra A 274
carga 89
de Dirac 231
Índice
conmutación
relaciones de 118
del álgebra de Lie 288
Heisenberg 116
relaciones canónicas de Cartan 290
teoría cuántica de campos 77
conservación
corriente
material 22
constante
acoplamiento 6
identificación 106
alfa
coeficiente de medida invariante 256
de estructura fina 106
expresión geométrica 265
carga electrónica e 106
de interacciones débiles G
debida al substrato 200
gravitacional G 66
determinada por el substrato 149
Planck 110
velocidad unidad 110
contacto
transformación de
en jetado 314
coordenadas
comóviles 141
copoliada 20
corchete
como anticonmutador 75
como conmutador 75
como derivación 75
operación sobre 73
campos de Jacobi de conexión 118
campos de Jacobi materiales 118
reducción a corchete de Lie 74
correlación 268
preservada por SL(4,R) 276
corriente
canónica
como electromagnética 104
de una variación 99
conservación 8
de interacción 194
en notación estándar 197
fuente 6
geométrica 256
geométrica
de una excitación 99
material 20
corriente eléctrica 33
en EDC 120
corriente geométrica
asociada a medida geométrica
en cociente K 256
medida geométrica
normalizada 265
cosmología
galaxias rotantes
velocidad anómala 151
Coulomb
ley de 107
covariancia
principio 1
generalizado 5
covariante
derivada 303
crítica
sección
en jetado 315
cuadro
de Heisenberg 119
de interacción 121
de Schrödinger 119
cuantización
fraccional 94
cuanto fundamental
carga eléctrica 88
medición 106
energía de excitación 125
flujo magnético 88
aplicación 93
impulso angular 88
341
342
GEOMETRÍA FÍSICA
cuaterniones 269
que generan álgebra A 275
seudocuaternión 270
curvatura 20
en la geometría física 5
forma tensorial 305
inducida
en espacio base 307
Maxwell 44
parámetro de
en límite newtoniano 66
substrato 146
Riemann 44
substrato trivial 146
2-componentes 28
forma general 112
generalizada 8
espinor 29
dual
formulación
teoría geométrica 31
dualidad
de Clifford 271
de Hodge 271
de representación 89
fundamental 231
D
ecuación de
campo 5
newtoniana 336
principio variacional 21
solución de substrato 141
substrato 144
conservación
corriente material 22
dipolo 48
Dirac 115
2-componentes 28
generalizada 8
generalizada con masa explícita 151
y definición de masa 110
Dirac generalizada
aproximación no relativista 203
Einstein
generalizada 60
energía e impulso 24
y gravitación 54
estructura
de Cartan 306
Euler 316
Helmholtz 187
Klein-Gordon 33
límite newtoniano 65
Maxwell 44
movimiento 6
De Sitter
espacio 80
derecha
componente
de espinor 30
partícula 229
derivada
covariante 303
de base de Clifford 284
exterior 304
exterior covariante
de q-forma tensorial 309
en términos de derivada covariante 310
Lie 70
generalizada 75
deuterón
energía de ligadura 216
model 211
difusión
clasificación topológica de soluciones
como funciones sobre S 235
solución entrante 234
solución saliente 234
Dirac
álgebra 14
ecuación 115
E
Índice
geodésico 52
Lorentz 52
multipolos 48
principio variacional 22
movimiento newtoniano
en general 336
en geometría física 44
Pauli
a distancias nucleares 210
deuterón 214
generalizada 205, 210
Poisson
en geometría física 65
gravitación en general 336
Stephenson-Yang
gravitacional 61
Yang
gravitacional 44
Yukawa 179
efecto Hall
conductividad 135
mesetas 136
valores fraccionales 135
modelo de portadores
vórtice magnético 134
modelo de vórtices
flujo vinculado 134
nivel de Landau
condición de llenado 134
seminivel
población 134
Ehrenfest
teorema 116
Einstein
ecuación 55
generalizada 60
espacios 61
tensor 59
Einstein-Maxwell
teoría 2
eléctrica
corriente 120
electrocono
ángulo del 182, 195, 199, 205
subespacio cuántico
en su(2) electromagnético 182
electrodinámica
clásica 44
movimiento 52
cuántica 117
técnicas estándares 121
electromagnetismo
ecuación
Maxwell 44
estándar 15
generador
estándar 34
generadores
cuantización 180
generalizados 104
identificación 52
generalizado 52
potencial vector 152
ángulo polar 191
en ecuación de Pauli 205
excitación SU(2) 182
momentos magnéticos 205
subgrupo 52
electrón 233
carga
negativa 93
papel que juega 106
unidad fundamental 107
componente izquierda
neutrino asociado 229
masa 174
momento magnético
correcciones radiativas 209
electrónico
campo
libre 119
encanto
de una excitación 248
energía
343
344
cambio de
como parámetro 123
de ligadura
deuterón 216
fusión 221
isóbaros N=3 220
partícula alfa 219
equipartición 161, 163
interacción
neta 121
magnética
de excitación 206
operador 116
oscura 60
aparente 151
energía e impulso
de campos cocientes 56
de campos geométricos 60
de corriente material 56
de torsión 58
ecuación 24
y gravitación 54
entramado 19
espinorial 7
envoltura
de subespacios 238
número de 235
homotopía 320
equipartición
de la energía 161, 163
equivalencia
principio 1
generalizado 5
relación de
en cociente K 170
en espacios C y K 173
relativista 164
escalamiento
ley de Bjorken 233
espacio
A(p,q) 267
afín 74
GEOMETRÍA FÍSICA
base
de un fibrado 319
característico 259
De Sitter 80
Einstein 61
externo 158
impulsos 158
interno 158
ortogonal 267
raíces
A3 81
clasificación 291
simétrico 296. See cociente
clasificación 297
en límite newtoniano 65
tangente
al espacio de soluciones 70
total
de un fibrado 319
espacio tiempo
métrica 45
espín
cuántico 88
geométrico 102
isotópico
de una excitación 248
espinor 267
Dirac 282
en la geometría física 29
entramado de 7
Weyl 281
estadística
interpretación 122
estado
de la materia 16
puro 104
estados enredados
de Schrödinger 124
estándar
modelo
relación con 252
estructura
Índice
compleja 169
ecuaciones de
Cartan 306
forma de
en jetado 314
grupo de un fibrado 319
en la geometría física 4
hiperbólica 15
rígida
del borde limite 328
triple geométrica 222
envolturas topológicas 238
impulsos 232
momento magnético 205
Euler
ecuación de 316
evolución
visión activa 119
visión pasiva 119
excitación geométrica
aniquilación 77
como parámetro extensivo 123
como partículas
clasificación 79
números cuánticos 224
como representación de grupo 79
sobre cociente simétrico 159
conectiva
ecuación 178
en una red 187
libre 119
masa 176
sin masa 188
creación 77
cuanto de energía 125
de m-corpúsculos 126
G-partícula
comparada con P-partícula 92, 93
define carga positiva 93
números cuánticos 89
L-partícula
números cuánticos 92
P-partícula
carga negativa 93
números cuánticos 92, 93
poliádica
libre 119
potencial 123
aplicación 126
en experimento de Young 127
puntual 100
topológica 237
expectación
valor de 101
experimental
cuanto de flujo 93
extensivo
parámetro 123
extrañeza
de una excitación 247
F
familias
leptónicas 238
partículas 236
Fermi
corriente de
de interacciones débiles 197
lagrangiano
de interacciones débiles 196
teoría de
corriente y lagrangiano 200
fibrado
afín 74
de conexiones 320
en la geometría física 74
de poliadas 302
definición 319
jetado 312
principal 319
campo vectorial fundamental 300
en la geometría física 19
SM 105
flujo
345
346
GEOMETRÍA FÍSICA
de excitaciones
densidad 123
magnético
cuanto 130
flujo magnético
cuántico 88
cuanto de magnetización 132
cuanto orbital 131
cambio discreto en 132
desnudo 132
encerrado por lazo 131
neto 132
cuantos posibles 133
índice de 133
forma
canónica dual
de cotétrada 305
conexión 301
curvatura 305
de estructura
de un jetado 314
de Euler-Lagrange
en un jetado 316
de Poincaré-Cartan
en un jetado 315
de transformación de Legendre
en un jetado 315
fundamental
de un jetado 313
retroinducida 287
soldadura 305
en la geometría física 42
tensorial 304
de potencial 113
torsión 305
fotón
como excitación de conexión 188
masa cero 188
fraccional
cuantización 94
efecto Hall cuántico 94
fuente
corriente 6
función
Green
de la ecuación de fluctuación 198
en interacciones débiles 196
para excitaciones de conexión 179
funcional
Dirac 100
hessiano 316
fundamental
forma
de un jetado 313
representación 88
fusión
energía de ligadura 221
G
galaxias rotantes
cosmología
velocidad anómala 151
Gell-Mann y Nishijima
fórmula de 248
generador
de variaciones
como operador cuántico 104
electromagnético 104
cuantización 180
estándar 34
rotaciones 102
geometría
del substrato 139
germen de la mecánica cuántica 97
geometría física
y la carga electromagnética 79
y la gravitación 54
y la teoría cuántica de campos 68
y las mediciones 98
y las partículas 223
geométrica
álgebra 11
teoría 7
electrodinámica 119
Índice
triple estructura
envolturas topológicas 238
impulsos 232
momento magnético 205
unidad
de carga 107
geométrico
espín 102
grupo G 79
régimen 122
subgrupo L (espín) 79
subgrupo P (De Sitter) 79
subgrupo SU(2)
electromagnetismo 80
rotaciones 80
gradación
del producto 73
Z 291
gravitación
constante G 66
Einstein
ecuación 55
energía e impulso
tensor geométrico 60
excitación sin masa 188
ecuación 190
límite newtoniano 64
y el substrato 148
Newton 64
problema interno 62
simetría esférica 62
torsión 58
Yang 44
grupo
G 79
geométrico 79
GL(2,Q) 293
ISO(3,1) (Poincaré) 81
L 79
Lie 285
O(p,q)
y la métrica 303
y la torsión 306
P 79
SL(2,C) (espín) 80
grupo de homotopía 323
números topológicos 235
y relatividad 4
SL(2,K) 5
SL(2,Q)
en la geometría física 5
grupo cubriente de 296
números topológicos 235
significación física 13
subgrupos 79
SL(4,R) 5
grupo cubriente de 296
grupo de homotopía de 322
números topológicos 235
SO(3) (rotaciones) 80
SO(3,1) (Lorentz) 80
en relatividad 2
SO(3,2) (De Sitter) 80
SO(4) 80
SO(4,C) 170
Sp(2,Q) 80
números topológicos 235
Sp(4,R) 80
grupo de homotopía 323
números topológicos 235
SU(2) 80
electromagnético 52
rotaciones 102
SU(2) electromagnético
y carga 104
SU(3)xSU(2)xU(1) 252
U(1) 3
grupo de
estructura 319
en la geometría física 4
homotopía 322
tercer grupo 322
isotropía
acción en borde de Silov 263
347
348
GEOMETRÍA FÍSICA
tercer 322
producto 238
secuencia de 293
H
Hall
efecto
conductividad 94
cuántico fraccional 94
hamiltoniano
interacción 121
Heisenberg
cuadro de 119
relaciones de conmutación 116
helicidad 81
campos sin masa 188
fotón 125
Helmholtz
ecuación 187
hermiticidad
grado de inhermiticidad 199
hessiano
funcional 316
hiperbólica
estructura 15
solución
substrato 146
variedad 319
substrato 142
hiperboloide
C
parametrización 168
K
parametrización 172
unidad 167
hipercarga
débil 249
fuerte 248
holonomía
grupo de 192
Sp(2,Q) 194
homomorfismo
entre SO(3,1) y SL(2,C) 41
homotopía 321
grupo de 322
I
identidad
Bianchi 307
en la geometría física 5
impulso
canónico 131
cinético 131
conjugado 99
operador 116
en la geometría física 158
punto de vista geométrico 25
y operador de Casimir geométrico 159
tétrada 25
vector
punto de vista cuántico 25
impulso angular
cuanto 130
niveles orbitales 131
número cuántico 80
operador 103
inabeliano
acoplamiento 31
inclusión
aplicación 11
de L en G 40
integrabilidad
condición 6
intensivo
parámetro 123
interacción
clasificación de
generadores P/L como electrodébil 233
corriente de 194
energía de
neta 121
interacciones
clasificación de
generadores G/P como nucleares 233
Índice
débil 192
corriente de Fermi 197
lagrangiano de Fermi 196
Weinberg-Salam 251
electromagnética 44
generadores 52
gravitacional 55
en la geometría física 44
geométrica 60
nuclear fuerte 234
magnética 211
modelo de quarkios y partones 252
simetría SU(3) 252
interferencia
de excitaciones geométricas 126
experimento de Young 124
interno, problema
gravitación
simetría esférica 62
interpretación
estadística 122
probabilista 123
en experimento de interferencia de
Young 128
involución
principal 267
inyección
lineal 267
irreducible
representación
fundamental 88
isotópico
espín
de una excitación 248
izquierda
componente
de espinor 30
partícula 229
J
Jacobi
campo
doble estructura algebraica 71
estructura algebraica canónica 71
vector 317
campo vectorial
en EDC 118
en soluciones de conexión 74
en soluciones poliádicas 70
operador
fijo 119
interactuante 121
móvil 119
jetado
fibrado 312
en la geometría física 69
K
Kaluza 3
kaón 244
Killing
métrica 21. See métrica: Cartan-Killing
vector 142
Klein-Gordon
ecuación 33
L
lagrangiano
para la primera variación 195
leptón
como excitación topológica 237
familias 238
masas 240. See masas numéricas
enmascaradas 242
expresión general 241
muón 241
tau 241
leptónico
número
de una excitación 247
Levi-Civita
conexión 57
ley
349
350
GEOMETRÍA FÍSICA
de Coulomb 107
Lie
álgebras 287
derivada 70
grupos 285
producto 287
ligadura
pep 216
ligadura pep
magnética nuclear
barrera de potencial 217
límite
newtoniano
de un espacio tiempo 326
en la geometría física 64
postulados generales 329
significación física 324
y el substrato 148
linealización 69
ecuación de primera variación 195
Lorentz
ecuación de movimiento 7
de la conservación de corriente 52
grupo
en la geometría física 11
en relatividad 2
M
Mach 1, 156
magnético
campo
movimiento en 130
momento 205
electrón 208
neutrón 209
protón 208
potencial
fuerte 211
markoffianos
sistemas 123
masa
autovalor 158
cero 188
excitación de conexión 188
excitación gravitacional 188
de excitaciones de conexión 176
definición 113
densidad newtoniana 65
desnuda 161
correcciones a 162
correcciones a cocientes de masas 174
de G-excitaciones 165
de H-excitaciones 165
en general 109
en la representación inducida 165
y el substrato 145
exceso de
neutrón 218
leptones
expresión general 241
relación fenomenológica 236
relación topológica 240
parámetro en la ecuación de campo
de bosones 226
parámetro en la ecuación de Dirac 110
cambio en 112
constante 114
de fermiones 226
en cocientes de masas 160
en EDC 121
en representación inducida 163
en representaciones diferentes 149
y el substrato 145
unidades de longitud inversa 110
masas numéricas
bosones débiles 186
enmascaradas 242
eta 245
kaón/pión 244
leptones pesados
muón/electrón 241
tau/electrón 241
partículas estables
electrón/protón 173
Índice
neutrino/protón 174
pión/muón 243
materia
clasificación 233
corriente 20
estado 16
oscura 60
aparente 148, 151
poliada
en la corriente 7
significación física 19
Mathieu
ecuación de
deuteron 214
funciones
hiperbólicas radiales 215
Maxwell
curvatura 44
mecánica cuántica
estructura compleja 104
partículas libres 28
medición
de corriente 99
física 98
geométrica
como funcional 100
resultado 101
representación matemática 99
medida
de Wyler
coeficiente de 264
en el borde de Silov 259
invariante
normalizada 257
mesones 249
métrica 303
bilineal simétrica compleja 257
en el espacio K 170
Cartan-Killing
definición 289
en distintas representaciones 149
en gravitación 55
351
en principio variacional 21
en representaciones distintas 149
en representaciones inducidas 163
y cocientes de masa 160
y definición de masa 114
y el substrato 140
y masa de excitaciones 177
en la geometría física 20
espacio tiempo
de Schwarzschild 62
definida por poliada espinorial 45
en el límite newtoniano 64
en función de tensores newtonianos 325
en principio variacional 21
en relatividad 1
gravitacional 57
Killing 21. See métrica: Cartan-Killing
modelo
Barut 246
masas de leptones 236
de quarkios y partones 252
deuterón 211
estándar 252
Weinberg-Salam 252
módulo
sobre anillo A 72
momento
magnético 205
aumento anómalo 207
correcciones radiativas 209
electrón 208
neutrón 209
protón 208
movimiento
ecuación 22
multiexcitaciones
régimen de 122
multiplicativa
relación
entre números cuánticos 88
multipolos
descomposición 47
352
GEOMETRÍA FÍSICA
ecuación 48
muón
masa
como excitación topológica 241
N
neutrino 233
asociado a parte par del electrón 229
en interacciones débiles 195
como perturbación de poliada 194
ecuación 29
en interacciones débiles 193
partícula 229
masa 174
neutrón 209
exceso de masa 218
Newton
densidad de masa 65
gravitación 64
newtoniana
conexión 335
ecuación de campo 336
ecuación de movimiento 337
newtoniano
límite
de un espacio tiempo 326
en la geometría física 64
postulados generales 329
significación física 324
y el substrato 148
tensor de curvatura 336
niveles de energía
degenerados
de electrones en órbita 132
degenerados con superflujo
cuantos posibles 133
Landau 130
primer 132
cuantos de magnetización 132
cuantos netos de flujo 132
nuclear fuerte
interacción
como espacio simétrico G/P 233
interacción magnética 211
núcleo
de Bergman 262
de Poisson 259
números cuánticos
algebraicos 231
topológicos 235
O
observable 99
observador
completo 12
normal relativista 13
onda
de m-partícula 126
operación
corchete 73
operador
Casimir
electromagnetismo 80
en momentos magnéticos 180
rotaciones 80
sobre cociente 159
La Place-Beltrami 159
operador cuántico 70
bosónico 77
cambio en 75
energía 116
fermiónico 77
impulso
en la geometría física 158
punto de vista geométrico 116
y operador de Casimir geométrico 159
impulso angular 103
operador de aniquilación 77
operador de creación 77
orientación
enredo de 12
estándar 271
ortonormal
subconjunto 20
Índice
en la geometría física 7
tétrada 20
P
paralelo
transporte
en fibrados 302
parametrización
de hiperboloide
espacio C 168
espacio K 172
parámetro
de curvatura 146
extensivo 123
intensivo 123
partícula
clásica
de prueba 45
multipolos 46
tétrada ortonormal 45
como excitación geométrica 224
componente derecha 229
componente izquierda 229
familias 236
libre
campo de 119
puntual 100
tripuntual
como protón 232
partícula alfa
energía de ligadura 219
partículas
bosón débil 186
clasificación geométrica
familias 236
G-poliada como materia hadrónica 234
L-poliada como materia neutra 234
P-poliada como materia leptónica 234
estables fundamentales
electrón 233
neutrino 233
protón 233
leptones 241
masas
fundamentales 227
kaones 243
leptones 241
piones 243
mesones 244
modelo de Barut 246
decuplete bariónico 249
octeto bariónico 247
propiedades
carga 230
envoltura 236
espín 230
flujo 230
masas 226
momentos magnéticos 205
Pauli
ecuación generalizada 205, 210
a distancias nucleares 210
pep
lbarrera de potencial
magnética nuclear 217
ligadura 216
perturbación
del substrato 194
pesos
vectores canónicos 290
en la geometría física 83
geométricos de G 87
geométricos del subgrupo P 91
pión 243
Planck
constante de 110
Poincaré
grupo 81
Poisson
ecuación
en gravitación 336
en la geometría física 65
núcleo de 259
poliada 20
353
354
GEOMETRÍA FÍSICA
clasificación 233
compuesta
sistemas interactuantes 194
correlacionada 276
doble dimensión 276
material 20
autovectores 100
como conjunto de estados 100
en la corriente 8
estados puros 104
estructura geométrica 104
significación física 19
par 283
parte impar 26
parte par 26
referencial 19
comóvil 141
en fibrado jetado 118
poliada material
variedad de soluciones
fibrados jetados 70
polidisco
unidad 259
volumen 263
potencial
del substrato 145
contribución a la masa 165
en la conexión 113
fuerte
magnético 203, 211
vector
ángulo polar 191
electromagnético 152
en excitaciones SU(2) 182
en la ecuación de Pauli 205
en momentos magnéticos 205
principal
fibrado 319
principio
atomístico 225
covariancia 1
generalizado 5
de acción de Schwinger 76
equivalencia 1
generalizado 5
holístico 225
incertidumbre
de Heisenberg 116
inercia 1, 156
relatividad especial 11
generalizado 12
variacional 20
probabilista
interpretación 123
producto
Clifford
de doble dimensión 278
convolución 114
en cocientes de masa 163
homotópico 322
Lie 287
en EDC 117
prolongación jeta 70
de sección 312
de vectores 314
protón 233
carga
definida 93
estructura de quarkios 231
partícula tripuntual 232
masa 174
momento magnético
correcciones radiativas 209
proyección
de un fibrado 319
Q
quarkio
como excitación
geométrica 246
como excitación geométrica
tripuntual 232
como representación dual de G 231
sabores 246
Índice
superposición de
excitaciones leptónicas 246
quarkonio
conjetura 250
R
radiación
campo
libre 119
raíces
A3
tetraedro 89
espacio
A1 90
A3 81
C2 90, 92
clasificación 291
colapso de A3 a C2 92
colapso de C2 a A1 92
vectores canónicos 290
en la geometría física 83
geométricos de G 87
geométricos del subgrupo P 91
rareza
de una excitación 249
operador
como proyector impar 274
referencial
poliada 19
comóvil 141
en jetado 118
sección 118
régimen
de multiexcitaciones 122
geométrico 122
regular
elemento
álgebra de Lie 290
como generadores de carga y espín 86
relación
de conmutación
canónicas de Cartan 290
del álgebra de Lie 288
Heisenberg 116
de conmutación o anticonmutación 77
en EDC 118
de equivalencia
relativista 164
multipicativa
entre números cuánticos 88
relatividad de interacciones 16
relatividad especial
principio 11
generalizado 12
representación
adjunta 288
dual 89
fundamental 231
dual fundamental del grupo G
como quarkios 231
inducida por subgrupo 79
como sección de un fibrado 159
de G 80
irreducible fundamental 88
clasificación de partículas 230
de G como protón 231
de L como neutrino 232
de P como electrón 232
subgrupo L 92
subgrupo P 92
regular 289
representación inducida
métrica de Cartan-Killing
en cocientes de masas 163
en el substrato 149
residual
fenómeno 36
resistividad
fraccional
EHCF (FQHE) 136
retroinducida
forma 287
reversión 267
Ricci
355
356
GEOMETRÍA FÍSICA
tensor 59
Riemann
curvatura 44
en borde límite 334
tensor 58
rotación
generadores 102
rotación y espinores 12
S
sabor
de una excitación 246
como excitaciones L y P 251
Schrödinger
cuadro de 119
estados enredados 124
secciones críticas 70
en jetado 315
secciones poliádicas
como funciones de onda 104
como referencial 118
semisimple
álgebra
clasificación 292
seudocuaterniones 270
simetría
combinatorial 252
geodésica 296
simétrico
espacio 296. See cociente
en grupo de estructura G 162
SL(2,Q)
grupo 15
soldadura
forma 42
soluciones
de fondo 114
de substrato 142
vacío 61
subálgebra
compacta maximal 291
de Cartan 290
subconjunto
ortonormal 269
en la geometría física 7
subespacio
de Cartan 290
horizontal
en fibrado tangente 301
vertical
en fibrado tangente 301
substrato 139
como vacío de partículas 224
conexión 145
curvatura 146
formas ortogonales 143
parámetro de masa 148
potencial del 113
propiedades inerciales 224
sección de
fija 119
móvil 119
movimiento libre 121
solución 142
ecuaciones 144
T
tau
masa
como excitación topológica 241
tensor
Einstein 59
Ricci 59
Stephenson 58
Weyl 59
teoría
campo antisimétrico 3
cuántica
de campos 68
Einstein-Maxwell 2
Fermi
interacciones débiles 196
geométrica 7
Índice
electrodinámica cuántica 117
y el modelo estándar de partículas 251
Kaluza 3
Newton
gravitacional 64
Weinberg-Salam 251
Weyl 3
ya unificada 3
Yang
gravitacional 44
teoría cuántica de campos
principio variacional 76
tétrada
ortonormal 20
tetraedro
representación fundamental 88
clasificación de partículas 230
proyección a cuadrado 92
topológica
clasificación
de soluciones de difusión 235
números cuánticos 235
excitación 236
números cuánticos 237
torsión 42
forma 305
gravitación 58
inducida
en espacio base 307
transformación
activa 309
de contacto
infinitesimal 314
pasiva 309
transición
funciones de 318
transpuesta 279
triple estructura
geométrica
envoltura topológica 238
impulsos 232
momento magnético 205
357
U
ultrarrelatividad 12
efectos pequeños 16
unidad
carga
gaussiana 107
geométrica 107
masa
geométrica 200
V
vacío
como substrato 150
de partículas
como substrato 224
soluciones 61
valor
de expectación 101
autovalores 103
carga 105
variación
de sección del observador 71
de sección material 71
generador 99
como operadores cuánticos 104
variacional
principio 20
variedad 319
de secciones 69
de soluciones 69
Hilbert 319
en la geometría física 77
hiperbólica 319
en la geometría física 15
substrato 142
y partículas 225
vector
campo fundamental de fibrado principal
300
campo vectorial elevado
en fibrado 302
358
GEOMETRÍA FÍSICA
invariante por la derecha 287
Jacobi 317
en EDC 118
Killing 142
peso 290
raíz 290
verdad
de una excitación 248
volumen
cociente simétrico C 166
función de integral de impulsiones 169
módulo equivalencia 173
cociente simétrico K 169
función de integral de impulsiones 172
módulo equivalencia 173
W
Weinberg
ángulo de 186, 206, 210
Weinberg-Salam
teoría de 252
Weyl 3
tensor 59
Y
Yang
gravitación 44
Young
experimento de interferencia 124
Yukawa
ecuación 179
359
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Primera Parte: Fundamentos
1. PRINCIPIOS FÍSICOS GEOMÉTRICOS.
1.1. Geometría de la Relatividad General.
1.2. Unificación Electrogravitacional.
1.3. Hacia una Geometría Física.
1.4. El Grupo de Estructura.
2. ULTRARRELATIVIDAD.
2.1. Introducción.
2.2. Extensión de la Relatividad.
2.3. Relatividad de las Interacciones.
2.4. Resumen.
3. UNA TEORÍA UNIFICADA.
3.1. Objetos Geométricos de la Teoría.
3.2. Principio Variacional.
3.3. Algunas Relaciones Algebraicas.
3.4. Ecuaciones de Movimiento para la Poliada Material.
3.5. Relación con la Teoría Cuántica.
3.5.1. Acuerdo con la Mecánica Cuántica.
3.5.2. Diferencias en Acoplamiento Inabeliano.
3.6. El Sector Electromagnético.
3.7. Otras Interacciones.
3.8. Resumen.
4. TEORÍAS CLÁSICAS.
4.1. Relación de los Fibrados.
4.2. Los Campos Clásicos.
4.3. Partículas Clásicas Geométricas.
4.4. Movimiento de las Partículas Clásicas.
4.5. Ecuaciones de Movimiento de Lorentz.
4.5.1. Inclusión de la Subálgebra Par.
4.5.2. Interpretación.
4.6. Resumen.
5. EL CAMPO GRAVITACIONAL.
5.1. Introducción.
5.2. Una Ecuación para el Tensor de Einstein.
5.2.1. La Ecuación de la Energía.
5.2.2. La Ecuación de Einstein.
5.3. Ecuaciones para una Solución Interna Geométrica de Schwarzschild.
5.4. El Límite Newtoniano.
5.5. Resumen.
1
1
2
3
5
11
11
11
14
17
19
19
20
25
27
28
28
31
33
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37
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40
44
45
46
49
51
52
53
54
54
55
55
59
62
63
66
366
6. CUANTIZACIÓN DE CAMPOS.
6.1. Introducción.
6.2. Linealización de Campos.
6.3. Soluciones Poliádicas.
6.4. Soluciones de Conexión.
6.5. El Corchete como Derivación.
6.6. Teoría Geométrica de Campos Cuánticos.
6.7. Resumen.
7. CARGA Y FLUJO CUANTIZADOS.
7.1. Introducción.
7.2. Representaciones Inducidas del Grupo de Estructura G.
7.3. Subálgebras de Cartan.
7.4. Relación Entre Números Cuánticos.
7.5. Interpretación Física.
7.6. Representaciones del Subgrupo P.
7.7. Aplicaciones.
7.8. Resumen.
8. MEDICIÓN DE OBSERVABLES GEOMÉTRICOS.
8.1. Introducción.
8.2. Mediciones de Corrientes Geométricas.
8.3. Espín Geométrico.
8.4. Carga Geométrica.
8.5. Resumen.
9. DEFINICIÓN DE MASA.
9.1. Introducción.
9.2. El Concepto de Masa.
9.3. Masa Invariante.
9.4. El Operador Impulso.
9.5. Resumen.
10. ELECTRODINÁMICA CUÁNTICA.
10.1. Introducción.
10.2. Relaciones Geométricas.
10.2.1. Producto de Operadores de Jacobi.
10.2.2. Relaciones de Conmutación.
10.3. Electrodinámica Geométrica.
10.3.1. Partículas Libres y Corrientes.
10.3.2. Electrodinámica Cuántica.
10.3.3. Interpretación Estadística.
10.4. Aplicaciones.
10.5. Resumen.
68
68
69
70
74
75
76
78
79
79
79
81
84
88
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93
95
97
97
98
102
104
107
109
109
110
112
114
116
117
117
117
117
118
119
119
120
121
124
128
367
Segunda Parte: Aplicaciones
11. EFECTOS CUÁNTICOS FRACCIONALES.
11.1. Introducción.
11.2. Cuantos de Flujo Magnético.
11.3. El Efecto Hall Cuántico Fraccional.
11.4. Resumen.
12. EL SUBSTRATO Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA.
12.1. Introducción.
12.2. La Ecuación de Campo.
12.3. Una Solución de Substrato.
12.3.1. La Conexión del Substrato.
12.3.2. La Curvatura del Substrato.
12.3.3. Relación con el Límite Newtoniano.
12.3.4. Significación Física del Substrato.
12.4. Ecuación General de Movimiento.
12.5. Substrato General.
12.6. Resumen.
13. COCIENTES DE MASA.
13.1. Introducción.
13.2. Masas Desnudas.
13.3. Cocientes Simétricos.
13.3.1. Volumen del Espacio C.
13.3.2. Volumen del Espacio K.
13.3.3. Razón Geométrica de Volúmenes.
13.4. Cociente de Masa Física.
13.5. Resumen.
14. MASA DE EXCITACIONES DE CONEXIÓN.
14.1. Introducción.
14.2. Forma General de la Ecuación de Excitación.
14.3. Una Solución Particular.
14.4. Excitaciones SU(2) Masivas.
14.4.1. Valores de las Masas en el Espacio Libre.
14.4.2. Excitaciones de Conexión en una Red.
14.5. Ecuaciones para Campos sin Masa.
14.5.1. Restricciones a Soluciones Posibles.
14.6. Resumen.
15. INTERACCIONES DÉBILES
15.1. Introducción.
15.2. Interacción Débil Geométrica.
15.3. Relación con la Teoría de Fermi.
15.4. Resumen.
130
130
130
134
137
139
139
139
141
141
146
147
148
151
153
156
158
158
160
166
166
169
173
173
174
176
176
176
178
180
185
187
188
190
190
192
192
194
196
201
368
16. INTERACCIÓN MAGNÉTICA FUERTE.
203
16.1. Introducción.
203
16.2. Movimiento de una Excitación en una Aproximación No Relativista.
203
16.3. Momentos Magnéticos.
205
16.4. La Ecuación Modificada de Pauli.
210
16.5. El Modelo Protón-Electrón-Protón para el Deuterón.
211
16.6. Energía de Ligadura del Deuterón.
215
16.7. El Modelo Electrón-Protón para el Neutrón.
217
16.8. El Modelo de muchos Deuterones.
219
16.9. Resumen.
221
17. LA ESTRUCTURA GEOMÉTRICA DE PARTÍCULAS E INTERACCIONES.
223
17.1. Introducción.
223
17.2. Clasificación de la Conexión.
227
17.3. Excitaciones Correspondientes a Subgrupos.
228
17.4. Estructura Algebraica de Partículas.
230
17.5. Interpretación Física en Términos de Partículas e Interacciones.
233
17.6. Estructura Topológica de Partículas.
234
17.7. Masas de Excitaciones Geométricas.
237
17.7.1. Masas Leptónicas.
239
17.7.2. Masas Mesónicas.
242
17.9. Modelo de Barut.
246
17.9. Relación con la Teoría de Partículas.
250
17.10. Resumen.
253
18. LA CONSTANTE ALFA.
256
18.1. Introducción.
256
18.2. Una Medida Geométrica.
256
18.2.1. Espacio Simétrico K.
256
18.2.2. Realización del Espacio Simétrico K como un Polidisco Unidad. 257
18.2.3. Medida Invariante en el Polidisco.
259
18.3. La Medida de Wyler en el Espacio K.
261
18.4. Valor del Coeficiente Geométrico.
264
18.5. Resumen.
266
369
Tercera Parte: Apéndices
A. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA.
267
A.1. Introducción.
267
A.1.1. Álgebras de Clifford y Espinores.
267
A.2. Representación del Álgebra A.
269
A.3. Espacio Correlacionado del Grupo G.
276
A.4. Relación de A(3,1) con A(2,0).
279
A.5. Relación de Espinores de los Grupos G y L.
280
A.6. Bases Espinoriales Pares y Bases Vectoriales.
283
A.7. Derivada del Subconjunto Ortonormal.
283
B. GRUPOS Y ESPACIOS SIMÉTRICOS.
285
B.1. Grupos de Lie.
285
B.1.1. El Diferencial de una Aplicación.
285
B.1.2. El Algebra de Lie de un Grupo.
287
B.2. Subespacios de Cartan.
289
B.3. El Grupo G.
293
B.4. Espacios Simétricos.
296
C. CONEXIONES EN FIBRADOS.
300
C.1. Un Campo Fundamental.
300
C.2. La Conexión de Ehresmann.
301
C.3. Las k-Formas Tensoriales.
303
C.4. Curvatura y Torsión.
305
C.5. Formas Inducidas de Conexión, Curvatura y Torsión.
307
D. FIBRADOS JETADOS.
312
D.1. Fibrados Jetados.
312
D.2. Secciones Críticas y Vectores de Jacobi.
315
E. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS FIBRADOS.
318
E.1. Variedades.
318
E.2. Fibrados.
319
E.3. Producto Homotópico.
320
E.4. Tercer Grupo de Homotopía.
322
F. GRAVITACIÓN DE NEWTON Y TEORÍAS GEOMÉTRICAS.
324
F.1. Límites del Espacio Tiempo.
324
F.1.1. Propagación Instantánea.
324
F.1.2. Límite Local.
326
F.1.3. Límite Global.
328
F.1.4. Postulados.
329
F.2. Condición de Rigidez Geométrica.
330
F.3. Conexión Geométrica del Borde.
333
F.4. Conexión Newtoniana.
334
ÍNDICE ................................................................................................................................. 338